1114 不等式 解答

－ 1 －

1114 不等式 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.滿足 0 0 2 0 2 3 26 0 2 0 x y x y x y x y          _{  }       ， 的條件下，f (x , y)  x  2y 的最 小值為 (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 解答 B 解析 0 0 2 0 2 3 26 0 2 0 x y x y x y x y      _{  }   _{  }      滿足方程組之區域為斜線部分 所圍區域之端點(2 , 0)、(13 , 0)、(4 , 6)、(0 , 2) 代入 f (x , y)  x  2y  f (2 , 0)  2  2  0  2 f (13 , 0)  13  2  0 13 f (4 , 6)  4  2  6 8 f (0 , 2)  0  2  24  f (x , y)的最小值為8 （ ）2.若 x、y 為實數且 2x  3y 2 13，則 x2 _{ y}2_的最小值 為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解答 D 解析 (x2 _y2₎₍₂2 ₃2₎  _(2x  _3y)2  _x2 _y2 2 (2 13) 13  4 （ ）3.某工廠製造甲、乙種產品，均須使用 A、B、C 三種原 料，製造 1 噸的甲產品須 A、B、C 三種原料分別為 2 噸、3 噸、1 噸，且可獲得 2 萬元的利潤；製造 1 噸 的乙產品須使用 A、B、C 三種原料分別為 4 噸、1 噸、 5 噸，且獲利 3 萬元。現工廠內 A、B、C 三種原料均 有 30 噸的庫存，該工廠製造 x 噸甲產品、y 噸乙產品 時，將可獲得最大的利潤為 p 萬元，則 (A)x  3 (B)y  5 (C)p  27 (D)p  25 解答 C 解析 由題意知：利潤函數 f (x , y)  2x  3y（萬元） 且限制條件為 0 0 2 4 30 3 30 5 30 x y x y x y x y     _{ }          ， 不等式組所成區域如圖中斜線部分： 由不等式組兩兩聯立解得多邊形各頂點坐標分別為(0 , 0)、(10 , 0)、(9 , 3)、(5 , 5)、(0 , 6) 又 f (x , y)  2x  3y 則 f (0 , 0)  0，f (10 , 0)  20，f (9 , 3)  27，f (5 , 5)  25， f (0 , 6)  18 ∴ 當 x  9，y  3，最大利潤 p  27 （ ）4.設 a、b 為實數，不等式 ax2 _{ bx2  0 之解為} 1 2 2 x 3    ，則 a  b  (A)2 (B)3 (C)5 (D)1 解答 C 解析 ax2 _bx  ₂  _{0 的解為} 1 2 2 x 3     [ ( 1)]( 2) 0 2 3 x  x   ( 1)( 2) 0 2 3 x x  



2x1 3



x2



0  6x2  x  2  0  6x2 x  2  0 比較 ax2 bx  2  0  a 6，b  1 ∴ a  b  6  1 5 （ ）5.不等式3 2 1 3 1 5 4 6 2 2 x x x     之解為 (A)x  2 (B)x  2 (C)x  2 (D)x  2 解答 C 解析 3 2 1 3 1 5 4 6 2 2 x x x     12 9x  2(2x  1)  6(3x  1)  30  5x  2  18x  24  13x  26  x  2 （ ）6.不等式(x  1)(1  2x)  0 之解為 (A)x  1 (B)1 1 2 x (C) 1 2 x (D) 1 2 x 或 x  1 解答 B 解析 (x  1)(1  2x)  0  (x  1)(2x  1)  0  1 1 2 x （ ）7.若 P(x , y)是如圖三角形區域內的點，則 h (x , y)  1 3 y x   的最大值為

－ 2 － (A)6 7 (B) 1 3 (C) 1 5  (D)3 解答 D 解析 h (x , y)表 A(3 , 1)與 P 點連線之斜率，取 h (2 , 2)得 最大值為 2 1 3 2 3     （ ）8.設 a  0，b  0，若 a  b  9，則 ab2_{的最大值為 (A)108} (B)81 (C)54 (D)9 解答 A 解析 ∵ 2 2 3 3 2 2 b b a b b a      ∴ ₃ 1 2 3 4 a b ab  _  2 3 9 1 3 4ab  ab 2_ 108 （ ）9.不等式 9x2  30x  25  0 之解為 (A)x 為任意實數 (B) 無解 (C)3  x  5 (D)x5 3 解答 D 解析 9x2 _30x  ₂₅  ₀ 



_3x₅



2_0（_{0 為不可能）}  (3x  5)2 0  x 5 3 （ ）10.滿足 0 5 0 6 7 x y x y            的整數解有幾個？ (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 解答 C 解析 x _{1 2 3 4} y _{1、2、3、4、5 1、2、3、4、5 1、2、3、4 1、2、3} ∴ 有5 5 4 3 17    個 （ ）11.3x2 _{ 2x  a  0 之解為} 4 ₂ 3 x    ，則 a  (A)8 3 (B)8 (C)8 (D)4 解答 B 解析 3x2 2x  a  0 之解為 4 2 3 x     3 4 [ ( )]( 2) 0 (3 4)( 2) 0 3 x  x   x x   3x2 2x  8  0 比較 3x2 _2x  _a  ₀  _a ₈ （ ）12.設 x、y  0，若 xy2  36，則 3x  y 的最小值為 (A)9 (B)12 (C)18 (D)27 解答 A 解析 ∵ 3 3 2 2 ₃ 3 2 2 y y x y y x      ∴ 2 3 3 3 3 4 x y xy    3x  y  33 3 2 4xy  9 （ ）13.一直線 L 過二點(1 , 3)、(2 , 4)，L 將平面分成之兩半 平面中，包含點(1 , 2)部分之半平面滿足 (A)3x  y  0 (B)3x  y  2  0 (C)x  3y  10 (D)x  3y  10 解答 D 解析 直線 L：y  3  3 4 ( 1) 1 2 x      y  3  1 ( 1) 3 x ， 即 x  3y  10  0，而含(1 , 2)之半平面應滿足 x  3y  10 （ ）14.設一函數 f (x)  (x2 _{ 4x  5)(x}2 _{ 2x  3)，若 f (x)  0，} 則 x 之範圍為 (A)1  x  5 (B)5  x  1 (C)1  x  3 (D)1  x  3 解答 D 解析 ∵ f (x)  0  (x2 _4x  _5)(x2 _2x ₃₎  ₀ 但 x2 4x  5 恆為正數  x2 2x  3  0  (x  1)(x  3)  0 ∴ x 之範圍為1  x  3 （ ）15.滿足不等式2 3 4 3 2 3 x _ x 之最小整數為 (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 解答 C （ ）16.若(1 , k)為 3x  y  4 圖形內一點，則 k 的範圍為 (A)k  7 (B)k  7 (C)k  1 (D)k  1 解答 B （ ）17.求不等式_x2  _{x 1 0的解為何？ (A)無實數解 (B)} 所有實數 (C) 1 2 x  (D)所有不等於 1 2  的實數 解答 B 解析 ∵ 2 2 ₁ 1 3 2 4 x   x _x _    恆正 ∴ 2 1 0 x   x 的解為所有實數 （ ）18.不等式1 2(x  1)  1 3(x  2)的解為 (A)x  7 (B)x  1 5 (C)x  7 (D)x 1 5 解答 A （ ）19.圖中所示的斜線部分，是下列哪一個不等式的圖形？

－ 3 － (A)2x  y  2  0 (B)2x  y  2  0 (C)x  2y  2  0 (D)x  2y  2  0 (E)2x  y  2  0 解答 D 解析 經過(0 , 1)、(2 , 0) 兩點的直線方程式為 1 2 1 x_{ }y _ x  2y  2  0 圖解區域在直線 x  2y  2  0 的右側， 就 x 項而論不等式應為「x  」，故所求的不等式為 x  2y  2  0 （ ）20.下列何者為不等式|x  5|  |2  x|的解？ (A) 3 2 2 x    (B) 3 2 x  (C)  5  x  0 (D)x   5 解答 B 解析 ∵ |x  5|  |2  x|  (x  5)2 ₍₂  _x)2 ₀  [(x  5)  (2  x)]  [(x  5)  (2  x)]  0  7(2x  3)  0 ∴ 3 2 x  （ ）21.已知正數a、b 、c滿足abc16，則a2b2c的最 小值為 (A)8 (B)12 (C)16 (D)20 解答 B 解析 利用算幾不等式 3 3 3 2 2 2 2 4 64 4 3 a b c a b c abc   _{     } 2 2 12 a b c     ∴ a2b2c的最小值為12 （ ）22.已知正數a、 b 滿足ab16，當 4a b 為最小值時， 此時a (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解答 A 解析 利用算幾不等式 4 4 64 8 2 a b a b  _{   } 4a b 16    4a b 的最小值為16，此時4ab ∴ 4a b 8  a2，b8 （ ）23.設 a、b 為實數，若一元二次不等式 ax2  x  b  0 的 解集合為{ | 1 2 } 5 3 x   x ， x為實數 ，則 2a  b  (A)  5 (B)  4 (C)4 (D)5 解答 B 解析 ∵ 1 2 5 x 3     ( ( 1))( 2) 0 5 3 x  x   1 2 ( )( ) 0 5 3 x x   2 7 2 0 15 15 x  x  15 ( ) 7    15 2 2 0 7 x x 7     與 ax2 x  b  0 比較，得 15 7 a  ， 2 7 b 因此2 2 ( 15) 2 4 7 7 a   b    （ ）24.已知a、 b 為實數，若不等式 2  x ax b 之解為 5 3   x ，則a b  (A) 17 (B) 13 (C)13 (D)17 解答 D 解析   5 x 3  [x ( 5)](x 3) 0  (x5)(x 3) 0  2 2 15 0    x x  2 2 15   x x 上式與 2  x ax b作比較， 則a2，b15 故a b  2 15 17 （ ）25.在x0，y2， 2x y 8的條件下，則 3x2y的 最大值為 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 解答 B 解析 如圖，可行解區域的頂點為

 

0, 2 、

 

3, 2 和

 

0,8

       

, 0, 2 3, 2 0,8 3 2 4 5 16 x y x y   ∴ 最大值為5