4-2-4排列組合-組合

全文

(1)第四冊 2-4 排列組合-組合【重點】組合：由 n 個相異物品中取出 m 個作組合(不排列)，其方法數共有 C mn = ( nm )種， n!. n n! 。其中 C n = Pm = n × (n − 1) × " × (n − m + 1) = ( n − m )! = m m! m! m! m!(n − m)! 註：可以想成 Pmn = C mn × m! ，也就是將排列想成先選出來之後再排列。【性質】 1. C 0n = 1 。. 2.. C nn = 1 。. 3.. C mn = C nn− m 。(即從 n 取出 m 個出來，也就是從 n 取出 n − m 個丟掉。). 4.. C mn = C mn −1 + C mn −−11 。 (即巴斯卡原理，可想成針對某甲，取甲或不取甲兩種情形方法數相加。) n m + 1 n +1 C mn = C mn −−11 = C m +1 。 m n +1. 5..

(2) 方程式的非負整數解(有序分拆) 【定義】重複組合：由 n 類相異物品中(每種至少有 m 個)任意取出 m 個為一組，可重複選取，其方法數有 H mn 種，其中 H mn = C mn + m −1 。 1. 想法一：想成由 n 種相異物品中(每種至少有 m 個) 取出 m 個為一組，每種可重複選取，其方法數有 H mn = C mn + m −1 = C nn−+1m −1 種。 2. 想法二：方程式的非負整數解(有序分拆) 想成第 k 類物品取出 x k 個每一種可以任取(即 0 ≤ x k ≤ m, k = 1,2," , n ) 則滿足 n 元一次方程式 x1 + x2 + " + xn = m 之非負整數解( x1 , x 2 , " , x n ≥ 0 )個數也就是所有的方法數總計有 H mn = C mn + m −1 = C nn−+1m −1 種。 3. 想法三：分球問題想成 m 個相同的球分給 n 個人，且是任意分因為分給 n 個人需要 n − 1 個隔板故先加入 n − 1 個球則現在有 m + n − 1 個球此時將隔板放置於球上共有 m + n − 1 個位置可以選取而共要選取 n − 1 個位置來放置隔板以便將球分成 n 個區域以便給 n 個人(可能有人取到 0 個) 共有 C mn+m−1 種方法。 | | ○ Ο Ο Ο ○ Ο Ο 【例題】 1. 將 3 種相異物(每種都至少有 10 個)，取出 10 個，可重複取或不取，其方法數有多少？ 2. 試求滿足 x1 + x 2 + x3 = 10 的非負整數解有幾組？ 3. 將 10 個相同的球分給 3 個人，任意分，其方法數有多少種？.

(3) 正整數的分拆(有序分拆) 【定義】正整數的分拆：將正整數分成幾個正整數之和，分成有序分拆及無序分拆。有序分拆即分拆後的表達式不僅與各項的數值有關，也與各項的次序有關。【定義】對於有序分拆而言： 1. 第 i 個分部量： x1 + x2 + " + xn = m ( x1 , x 2 ," , x n ≥ 1 )中 xi 叫做該有序分拆的第 i 個分部量。 2. m 的 n 分拆數： m 的 n 分拆的個數稱為 m 的 n 分拆數。 3. m 的分拆數： m 的所有各種可能的( n 取遍所有可能的值)分拆的個數稱為 m 的分拆數。例如： 1. 4 = 2 + 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 2 是 4 的所有可能的有序 3 分拆， 2. 而 4 = 2 + 1 + 1 是 4 的唯一一個無序 3 分拆。.

(4) 方程式的正整數解(有序分拆) 【定義】由 n 類相異物品中(每種至少有 m 個)取出 m 個為一組，每種可重複選取且每種至少取出 1 個，其方法數有 H mn −n 種。此時可以想成將相同的 m 個球分給 n 個人，每人至少一個之方法數。 1. 想法一：想成由 n 種相異物品中(每種至少有 m 個) 取出 m 個為一組，每種可重複選取且每種至少取出 1 個，其方法數有 H mn − n = C nm−−11 種。 2. 想法二：方程式的正整數解(有序分拆) 想成第 k 類物品取出 x k 個每一種至少取一個(即 1 ≤ x k ≤ m, k = 1,2," , n ) 則滿足 n 元一次方程式 x1 + x2 + " + xn = m 之正整數解( x1 , x 2 , " , x n ≥ 0 )個數也就是所有的方法數總計有 H mn − n = C nm−−11 種。註：可以先丟給每人一個，就轉換成為非負整數解的問題。 3. 想法三：想成 m 個相同的球分給 n 個人，每人至少一個，則此時共有 m − 1 個空格可以選取而共要選取 n − 1 個位置來放置隔板以便將球分成 n 個區域給 n 個人共有 C nm−−11 種方法。 Ο Ο Ο | ( | ( 【問題】 1. 試求滿足 x1 + x 2 + x3 = 10 的正整數解有幾組？ 2. 將 10 個相同的球分給 3 個人，每人至少要有 1 個球，其方法數有多少種？ 3. 試求滿足 x1 + x 2 + x3 = 10 ，且 x1 ≥ 1, x 2 ≥ 2, x3 ≥ 3 的整數解有幾組？ 4. 試求以下各題各有幾組解？ (1)試求 x + y + z ≤ 10 的非負整數解共有幾組？ (2)若要求 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 時，則有幾組解？ (3)若要求 x, y 都為偶數時，則有幾組解？ (4)若要求 x, y 都為奇數時，則有幾組解？ (5)若要求 x, y , z 都為偶數時，則有幾組解？ 5. 將正整數 2m 分拆成 n 個分部，且各分部量都是正偶數的有序分拆有幾個？解： C nm−−11 。 6. 將正整數 m 分拆成 n 個分部，若 m 與 n 同為奇數或同為偶數，則 m 的各分部量都是奇數的有序分拆數為何？ ⎛. 解： ⎜⎜. m−n ⎞ −1 ⎟ 2. ⎟ ⎝ n −1 ⎠. 。.

(5) 【性質】 1. H mn = H mn −1 + H mn −1 。 2. 1 + H 1n + H 2n + " + H mn = H mn +1 (其中 m, n 均為正整數)。【重點】分組組合：將 n 個人分成 k 組方法數之討論又有指定數字與不指定數字兩種情形。註： 1. 連續的 C 相乘表示為有序的，也就是有指定給誰的含意。 2. C 本身為表示無序的。 3. P 可以表成為一連串的 C 相乘。分堆組合：將 n 個人分成 k 堆方法數之討論。也就是看分組組合後，再除以重複數。將 8 個相異物品分給 4 個人，個數及分法如下表，其方法數為何？類別分組且不指定數字分組且依序指定數字分堆個數指定給甲乙丙丁四人指定給甲乙丙丁四人不指定，只分四堆 4! C 28 C 26 C 24 C 22 × (2,2,2,2) C 28 C 26 C 24 C 22 C 28 C 26 C 24 C 22 4! 4! C 58 C13 C12 C11 C 58 C13 C12 C11 (5,1,1,1) C 58 C13 C12 C11 × 1!×3! 3! 8 5 3 1 4! C 3 C 2 C 2 C1 C 38 C 25 C 23 C11 (3,2,2,1) C 38 C 25 C 23 C11 × 1!×2!×1! 2! 8 5 2 1 4! C 3 C 3 C1 C1 C 38 C 35 C12 C11 (3,3,1,1) C 38 C 35 C12 C11 × 2!×2! 2!×2! 【問題】 1. 解撲克牌的問題及擲骰子問題也就是分組分堆的問題。 2. 將 4 個人分成甲，乙兩組，各有 2 人，其方法數為何？若改成各有 1 人及 3 人，其方法數為何？ 3. 將 4 個人分成兩堆，各有 2 人，其方法數為何？若改成各有 1 人及 3 人，其方法數為何？ 4. 將 9 本不同的書籍，就下列之情形去分，有幾種分法？ (1)分給甲 4 本，乙 3 本，丙 2 本 (2)等分給甲乙丙三人 (3)分給 3 人，其中二人各得 2 本，另一人 5 本 (4)分成 4，3，2 三堆 (5)分成 2，2，5 三堆 (6)等分成三堆。 5. 將 5 支筆分給 8 個人，依下列情形，方法各有幾種？ (1)筆不同，每人所得的筆無限制數量。(可能沒拿到) (2)筆不同，每人至多得一支。 (3)筆相同，每人至多一支。 (4)筆相同，每人所得的筆無限制數量。(可能沒拿到) (5)筆相同，每人至多一支。.

(6) 6.. 7.. 8.. 9.. (6)筆不同，每人至多得一支。 6 個相同的玩具分給四個兒童， (1)若每人均可兼得，有多少種不同的給法。 (2)若每人至少得一件，有多少種不同的給法。 (3)若為相異的玩具，每人均可兼得，有多少種不同的給法。 (4)若為相異的玩具且每人至少得一件，有多少種不同的給法。 5 種不同的酒，注入 3 個空杯子，酒不可混合，不得有空杯子，求下列各注入法有幾種？ (1)杯子不同，且各杯的酒亦不同◦ (2)杯子不同，且各杯的酒可相同◦ (3)杯子相同，且各杯的酒亦不同◦ (4)杯子相同，且各杯的酒可相同◦ (函數的個數) f : A → B 為一個函數 (1)若 n( A) = 6, n( B ) = 3 ，則 f 的個數有幾種？ (2)若 n( A) = 3, n( B ) = 7 ，且 f 為一對一函數，則 f 的個數有幾種？ (3)若 n( A) = 9, n( B ) = 2 ，且 f 為映成函數，則 f 的個數有幾種？ (1)試求滿足條件 1 ≤ (2)試求滿足條件 1 ≤ (3)試求滿足條件 1 ≤ (4)試求滿足條件 1 ≤ (5)試求滿足條件 1 ≤ (6)試求滿足條件 1 ≤. x < y < z < u ≤ 20 的整數解個數？ x ≤ y ≤ z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ x, y , z , u ≤ 20 的整數解個數？ x < y ≤ z < u ≤ 20 的整數解個數？ x ≤ y < z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ x < y ≤ z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？.

(7) 第二類 Stirling 數【定義】分割：設 A1 , A2 ," , Ak 是 A 的 k 個子集，若它們滿足 1. Ai ≠ φ (1 ≤ i ≤ k ) 2. Ai ∩ A j = φ (1 ≤ i ≠ j ≤ k ) 3. A = A1 ∪ A2 ∪ " ∪ Ak 則稱 { A1 , A2 ," , Ak } 是 A 的一個 k 分割 •. •. •. 記成 A = A1 ∪ A2 ∪" ∪ Ak 並稱 Ai (1 ≤ i ≤ k ) 為 A 的 k 分割的一個塊。第二類 Stirling 數：一個 n 元集合的全部 k 分割的個數叫做第二類 Stirling 數，記作 S ( n, k ) 。【問題】 1. 集合 A = {1,2,3,4} 的 2 分割共有如下 7 個： A = {1,2,3,4} •. = {1} ∪{2,3,4} •. = {2} ∪{1,3,4} •. = {3} ∪{1,2,4} •. = {4} ∪{1,2,3} •. = {1,2} ∪{3,4} •. = {1,3} ∪{2,4} •. = {1,4} ∪{2,3} 故 S ( 4,2) = 7 •. 且 A = {1,2,3,4} 的二分割 {1,2} ∪{3,4} 中， {1,2}, {3,4} 是該 2 分割的一個塊。 2. 請列出集合 A = {1,2,3,4,5} 的所有 2 分割。 3. 請列出集合 A = {1,2,3,4,5} 的所有 3 分割。 4. 請列出集合 A = {1,2,3,4,5} 的所有 4 分割。 5. 請列出集合 A = {1,2,3,4,5} 的所有 5 分割。【性質】 1. 試證明： S ( n,1) = 1 。 2. 試證明： S ( n, n) = 1 。 3. 試證明： S ( n, k ) = 0, ( k > n) 。 4. 試證明： S ( n + 1, k ) = S ( n, k − 1) + kS (n, k ), (1 ≤ k ≤ n) 。提示：對 {a n +1 } 是否為 A 的 k 分割中的一個塊分兩類來討論。 5. 試利用上述性質求出 S (5,2) = ？ S (6,2) = ？.

(8) 6.. 試證明： S (n,2) = 2 n −1 − 1 。提示一：利用遞推關係求出(即利用上述性質 4)。 S (n,2) = S (n − 1,1) + 2S (n − 1,2) = 1 + 2 + 4S (n − 3,2) """ = 1 + 2 + +2 2 + " + 2 n− 2 S (2,2) = 2 n −1 − 1. 7.. 提示二：也可想成對於 a1 ，其它元素都有兩種選擇(與 a1 在一起或不在一起)，扣除全部元素都在一起的，以求出。試證明： S (n, n − 1) = C 2n 。提示一：利用遞推關係求出(即利用上述性質 4)。 S (n, n − 1) = S (n − 1, n − 2) + (n − 1) S (n − 1, n − 1) = S (n − 2, n − 3) + ( n − 2) S (n − 2, n − 2) + (n − 1) """ = S (2,1) + 2 + 3 + " + (n − 1) n(n − 1) = 2 n = C2. 8.. 提示二：想成必有一個塊是兩個元素。第二類 Stirling 數 S ( n, k ) 滿足 S ( n + 1, k ) =. n. ∑C. n n − m S ( m, k. m = k −1. − 1) =. n. ∑C. n m S ( m, k. − 1) 。. m = k −1. 例如： n. (1) S (n + 1,3) = ∑ C nn− m S (m,2) = C nn− 2 S (2,2) + C nn−3 S (3,2) + " + C nn− n S (n,2) m=2. 4. (2) S (5,3) = ∑ C m4 S (m,2) = C 24 S ( 2,2) + C 34 S (3,2) + C 44 S ( 4,2) m=2. = 6 × 1 + 4 × 3 + 1 × 7 = 25 。【列表】 k 1 2 3 4 S ( n, k ) n 1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 6 1 31 90 65 7 1 63 301 350 8 1 9 1 10 1. 5. 6. 7. 1 15 140. 1 21. 1. 8. 9. 10. 1 1 1.

(9) 無序分拆【定義】 B ( n, k ) : 表示 n 的 k (無序)分拆的個數。 B (n) : n. 表示 n 的所有(無序)分拆的個數，且 B (n) = ∑ B (n, k ) 。 k =1. 說明： n 的 k (無序)分拆中，各分部的次序無關緊要，一般按遞降順序排列若 x1 + x k + " + x k = n 且 x1 ≥ x 2 ≥ " ≥ x k 那麼將分拆記為 n = k1 × 1 + k 2 × 2 + " + k n × n 或 n = 1k1 2 k 2 " n k n 【例題】 B (9,5) = 5 ，9 的所有 5 分拆如下： 9 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1× 5 + 4 ×1 = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 1× 3 + 1× 2 + 3 × 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 2 × 3 + 3 ×1 = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 1× 3 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 4 × 2 + 1×1 【列表】類型： k 1 2 3 4 5 6 n 1 11 2 21 12 3 31 11 21 13 4 1131 ,2 2 41 12 21 14 5 11 41 ,2131 12 31 ,11 2 2 51 13 21 15 6 7 個數： k 1 2 3 4 5 6 7 B ( n, k ) n 1 1 2 1 1 3 1 1 1 4 1 2 1 1 5 1 2 2 1 1 6 1 3 3 2 1 1 7 1 1 8 1. 7. B (n). 1 2 3 5 7 11 1.

(10) 【性質】 1. 試證明： B ( n,1) = 1 。 2. 試證明： B ( n, n) = 1 。 3. 試證明： B ( n, k ) = 0, (k > n) 。 4. 試證明： B ( n + k , k ) = B ( n,1) + B ( n,2) + " + B ( n, k ) n ⎢n⎥ ⎢n⎥ 5. 試證明： B (n,2) = ⎢ ⎥ ，其中 ⎢ ⎥ 表示小於或等於的最大整數。 2 ⎣2⎦ ⎣2⎦ 【總結】各種不同條件下的排列方法數：. n 個球. r 個盒子. 是否可以有空盒. 方法數. 不同. 不同. 可. rn. 不同. 不同. 不可. r! S ( n, r ). 不同. 相同. 可. r. ∑ S ( n, k ) k =1. 不同. 相同. 不可. S ( n, r ). 相同. 不同. 可. C nn +r −1. 相同. 不同. 不可. C rn−−11. 相同. 相同. 可. r. ∑ B ( n, k ) k =1. 相同. 相同. 不可. B ( n, r ). 【重點】排列組合的問題有幾種重要的類型： 1. 數字排列問題：數字和問題、倍數問題。 2. 數列排序問題：大於、小於、大於等於、小於等於。 3. 函數對應問題：函數對應、一對一函數、映成函數、一對一且映成函數、遞增函數。 4. 整數解問題：非負整數解、正整數解、有限制範圍的整數解。 5. 子集合問題：二項式定理的應用。 6. 道路問題：走捷徑、不回頭、有陷阱、每條道路恰走一次、每個頂點恰走一次。 7. 塗色問題。 8. 一筆劃問題。 9. 幾何問題：交點數、平面分割數、直線數、三角形個數、正方形數、矩形數。.

(11) 【重點】基本上排列組合的問題，依照物品及箱子的相同或相異性，可以分成以下幾類重要型態，現在先假設有 m 件物品， n 個箱子：類型物品箱子條件方法數 n ≥ m 且每箱 Pmn 直線排列相異相異至多放一件物品 m ≥ n 且每箱第二類 S 2 (m, n) 至少放一件相異相同 Stirling 數物品重複排列相異相異無 nm n ≥ m 且每箱 C mn 組合相同相異至多放一件物品 m ≥ n 且每箱重複組合 H mn − n = C mm−−n1 = C nm−−11 至少放一件相同相異 (正整數解) 物品重複組合 H mn = C mn + m −1 (非負整數相同相異可重複取解) n ≥ m 且每箱相異相同至多放一件 1 物品 m ≥ n 且每箱第二類 S 2 (m, n) 至少放一件相異相同 Stirling 數物品任意分成幾 n Bell 數相異相同堆，每堆至少 B(m, n) = ∑ S 2 (m, k ) k =1 一件 n ≥ m 且每箱相同相同至多放一件 1 物品 m ≥ n 且每箱 Pnm 正整數分割相同相同至少放一件物品任意分成幾 n P (m, k ) 相同相同堆，每堆至少 ∑ k =1 一件.

(12)