数学（文）试题

(1)

高三年级数学考试（文科）

时间 120 分钟满分：150 分

第Ⅰ卷

（选择题 共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数 z=

2i

1 i

+

(i 为虚数单位)，则 z·

z

=( )A．

2

B．2 C．1 D．

1

2

2．已知集合 A={x∈Z|y=

4 x x

− −

2

3

}，B={a，1}，若 A∩B=B，则实数 a 的值为( ) A．2 B．3 C．1 或 2 或 3 D．2 或 3

3．设

a b 

,

(

1,

+

)

，则“

a



b

”是“

log

_a

b 

1

”的( )

A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知

a

 

b

0,

c



1

，则下列各式成立的是( )

A．

sin

a



sin

b

B．

c

a



c

b C．

a

c



b

c D．

c

1 c

1 b

a

−

_

−

5．若则 ( ) A． B． C． D． 6.某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（） A．4

3

π B．

32

3

π C．4π D．

8 2

3

π 7．数列

 

a

_n 是等差数列，

a =

₁

1

，公差 d∈[1，2]，且

a

₄

+



a

₁₀

+

a

₁₆

=

15

，则实数



的最大值为( ) A．

7

2

B．

53

19

C．

23

19 −

D．

1

2 −

8．已知 x，y 满足条件

0

2

0 y

y

x

y

k







_



 + + 



(k 为常数)，若目标函数 的最大值为 8，则（） A． B． C． D．6 9．如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：① ；② ； ③ 面；④ 面，其中恒成立的为（） A．①③ B．③④ C．①② D．②③④

,

5

3 )

4 cos(



−



=

sin

2 

=

25

7

5

1

5

1 −

25

7 −

3 z

= +

x

y

k =

16 −

−

6

8

3 −

S

−

ABCD

E

M

N

BC

CD

SC

P

MN

EP

⊥

AC

EP BD

∥

EP∥

SBD

EP ⊥

SAC

(2)

10．正三角形 ABC 边长等于 3，点 P 在其外接圆上运动，则AP→·PB→的取值范围是( ) A．[－3 2， 3 2] B．[－ 3 2， 1 2] C．[－ 1 2， 3 2] D．[－ 1 2， 1 2] 11．已知点

F

是拋物线 C： 2

2 x

=

py

(p>0)的焦点，若点 M(1，

y

₀)在抛物线 C 上，且|MF|=

5

0

4 y

， 斜率为 k 的直线

l

经过点 Q(−1，3)，且与抛物线 C 交于 A，B(异于 M)两点， 则直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为（） A．2 B．−2 C．

1

2

D．−

1

2

12．若

0 

x

₁



x

₂



1

，则（） A. 2 1 2 1

ln

x x

e

−

e



x

−

x

B. 1 2 2 1

ln

x x

e

−

e



x

−

x

C. 1 2 2 1 x x

x e



x e

D. 1 2 2 1 x x

x e



x e

二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 18 件.那么此样本的容量 n= . 14．某公司

10

5 位员工的月工资（单位：元）为

x

₁，

x

₂，…，

x

₁₀₅，其均值和方差分别为 3800 和 500，若从下月起每位员工的月工资增加

100

元，则这

10

位员工下月工资的均值和方差分别为 15．设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为_____． 16．已知数列{

a

_n}的前 n 项和为

S

_n，对任意 n∈N*，

S

_n=(−1)n

a

_n+

1

2

n +2n−6， 且(

a

_n₊₁−p)(

a

_n−p)<0 恒成立，则实数 p 的取值范围是____． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17.（本题12分）已知锐角



ABC

面积为

S

，



A

,



B

,



C

所对边分别是

a

,

b

,

c

，



A

,



C

平分线相交于点

O

,

b

=

2

3

且

(

)

4

3

2 2 2

b

c

a

S

=

+

−

. 求：（1）



B

的大小；（2）



AOC

周长的最大值.

)

(x

f

( )

2

x

4(

0)

f x

=

−

x



f a −

(

2)



0 a

(3)

18（本题 12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下. （1）求，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，元件寿命落在之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在

100 ~ 200

之间，一个元件寿命落在

200 ~ 300

之间”的概率. 19．（本题 12 分）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2 2 ，E、F 分别是 DC 和 BC 的中点，H 是正方形的对 角线 AC 与 EF 的交点，N 是正方形两对角线的交点，现沿 EF 将△ CEF 折起到△PEF 的位置，使得 PH ⊥AH，连接 PA，PB，PD(如图 2)． （Ⅰ）求证：BD⊥AP；（Ⅱ）求三棱锥 A−BDP 的高． 20．（本题 12 分）已知椭圆

(

)

2 2 2 2

1

0 x

y

a

b

a

+

b

=

 

的离心率为

1

2

，点

3 1,

2 











在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点

F

作互相垂直的两条直线

l

₁，

l

₂，其中直线

l

₁交椭圆于 P，Q 两点， 直线

l

₂交直线

x =

4

于 M 点，求证：直线 OM 平分线段 PQ． 0

y

20 100 ~ 300

100 ~ 300

2

(4)

21．（12 分）已知函数

f x

( )

kx

_kx

1 ke

−

=

（

_k



_R

，

_{k }

₀

）. （1）讨论函数

f x

( )

的单调性；（2）当

x 

1

时，

f

( )

x

ln

x

k



，求 k 的取值范围. 请考生在第

₂₂

～

₂₃

两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为

x

2

₂

t

y

t

=



 =



（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，过极点的两射线

l

₁、

l

₂相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O）， 且

l

₁的倾斜角为锐角



. （1）求曲线 C 和射线

l

₂的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时



的值． 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数