§６．1 周期函数 Fourier 级数

第六章 Fourier 级数

§６．1 周期函数 Fourier 级数

1.1 引言

在科学与工程中时常遇到周期现象, 自然地, 通常用周期函数刻画它们. 蒸汽机和各种 转动设备都是周期现象的实例, 由发电机产生的交流电也是周期现象的实例. 这样, 如蒸汽 机中十字头的路程、速度、加速度、蒸汽压力和交流电中的电压、电流等都用周期函数来刻 画.

如果存在一个正数T >0, 使得

) ( ) (t T ϕ t

ϕ + = ^,

我们就称ϕ(t)为周期函数, T 称为一个周期. 如果存在最小的周期T₀, 我们称ϕ(t)^是以T0

为周期的周期函数.

最简单的周期函数是正弦型函数：

Asin(ωt +α), （1）

它正好刻画了力学上的调和振动（或简谐振动）. 其中ω是频率, 它与周期的关系是

T

ω = 2π , （2）

A是振幅, α^{是初始相位.}

用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数. 因为频率相等的正弦型函数之 和仍是一个同频率的正弦型函数, 所以用以组成复杂函数的各正弦型函数必须有不同的频 率.

例如三个正弦型函数之和

t t

t sin3

4 2 1 2sin

sin +1 + ,

图形就已经相当复杂了. 在 Mathematica 软件中可画它的图形.

P l o t [ S i n [ t ] + 1 / 2 S i n [ 2 t ] + 1 / 4 S i n [ 3 t ] , { t , - 2 P i , 2 P i } ] . 可以想象如果用无穷级数, 就可以表示各种各样的复杂函数了：

∑

^+∞

=

+ +

=

1

0 sin( )

) (

n

n

n n t

A A

t ω α

ϕ , （3）

几何上看, （3）表明周期函数ϕ(t)的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成. 力学上

看, 由函数ϕ(t)表示的复杂振动可以分解成调和振动的和. 将周期函数分解成调和振动函

数的过程称为调和分析. 作简单变量替换x=ωt^{, 得函数} _



 



=  ϕ ωx x

f( ) , 则（3）式成为

∑

^+∞

=

+ +

=

1

0 sin( )

) (

n

n

n nx

A A

x

f α . （4）

由和差化积公式, 我们可把（4）改写为

∑

^+∞

=

+ +

=

1

0 ( cos sin )

) (

n

n

n nx b nx

a a

x

f , （5）

其中A₀ −a₀,A_nsinα_n =a_n,A_n cosα_n =b_n. （5）式称为周期函数f(x)的 Fourier 级数 展开. 这里产生一系列基本的数学问题：

（1）　 给定一个周期2π 的函数, 在什么条件下它有 Fourier 级数展开式？

（2）　 如果一个函数存在 Fourier 级数展开式, 如何获得这种展开, 即如何确定展开系数

n n b

a , , 它们也称为 Fourier 系数.

（3）　 Fourier 级数展开式何时在某种意义下收敛？收敛到什么值？

（4）　 何种条件下 Fourier 级数展开式收敛到f (x)？

本章将部分地解决这些问题, 它们的完全解决须要一门专业课程.

1.2 Fourier 级数展开

函数f(x)^在[−π,π]上 Riemann 可积, 我们可以推出 f(x)在[−π,π]上也 Riemann 可 积. 当积分

∫

^{−ππ f(x)dx}有瑕点时, 我们假设它绝对可积. 这两种情况合在一起, 我们称之为 绝对可积.

定义：以2π 为周期的函数f(x)^在[−π,π]上绝对可积, 则存在它的 Fourier 级数展开

∑

^+∞

=

+ +

1

0 ( cos sin )

~ ) (

n

n

n nx b nx

a a

x

f ,

其中

. , 3 , 2 , 1 ,

sin ) 1 (

, , 3 , 2 , 1 ,

cos ) 1 (

, ) 2 (

1

0

L L

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

−

−

−

m mxdx x

f b

m mxdx x

f a

dx x f a

m m

π π π

π π

π

π π π

（6）

需要说明公式（6）中三个积分有意义：

) (x

f ^在[−π,π]^{上绝对可积, 即}

∫

−^π < +∞

π f(x)dx , 则

. )

1 ( sin

) 1 (

sin ) 1 (

, )

1 ( cos

) 1 (

cos ) 1 (

, )

2 ( ) 1 2 (

1

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

−

−

−

−

+∞

<

≤

≤

+∞

<

≤

≤

+∞

<

≤

π π π

π π

π

π π π

π π

π

π π π

π

π π

π

π π

π

π π

dx x f dx

mx x

f mxdx

x f

dx x f dx

mx x

f mxdx

x f

dx x f dx

x f

这时我们不知道 Fourier 级数是否收敛, 更不知道它是否收敛到f(x). 如果我们假设它收敛, 即（5）式成立, 且可逐项积分（一致收敛可保证这一点）, 则我们有

∑ ∫ ∫

∫

− ^+∞₌ − − 

 +

+

=

1

0 cos sin

2 ) (

n

n

n nxdx b nxdx

a a

dx x

f ^π

π π

π π

π π ^.

容易看出

, cos 0

sin

, sin 0

cos

− =

−

=

− =

=

∫

∫

−

−

π π π π

π π π

π

n nxdx nx

n nxdx nx

因而 =

∫

−^π

π π f x dx

a ( )

2 1

0 .

类似地,

. cos sin cos

cos cos

cos ) (

1

0

∫ ∑ ∫ ∫

∫

− − ^+∞₌ − − 

 +

+

=

n

n

n nx mxdx b nx mxdx

a mxdx

a mxdx x

f ^π

π π

π π

π π

π

右端第一项等于零, 且不论n,m如何, 有

[

^{sin( ) sin( )}

]

⁰

2 cos 1

sin =

∫

+ + − =

∫

− −

π π π

π nx mxdx n m x n m x dx ,

而当n≠m时

[

^{cos( ) cos( )}

]

⁰

2 cos 1

cos =

∫

+ + − =

∫

− −

π π π

π nx mxdx n m x n m xdx ,

最后当n=m^时有

π π

π π

π =

∫

+ =

∫

− − mxdx

mxdx 2

2 cos 1 2

cos² 1 .

这样我们得到

L , 3 , 2 , 1 ,

cos ) 1 (

=

=

∫

− f x mxdx m

a_m ^π

π π ^,

同样我们可得到

L , 3 , 2 , 1 ,

sin )

1 ( =

=

∫

− f x mxdx m

b_m ^π

π π ^.

1.3 正交函数系

定义 2：区间[a,b]^上函数系

{

ϕn^(x)

}

^{, 如果满足}

（1）

∫

^abϕn(x)2dx<+∞^,

（2） ^b x x dx n m

a n m = ≠

∫

^{ϕ ( )ϕ ( ) 0, ,}

（3）

∫

^abϕn2(^x)^dx=^λn >0^,

则称

{

ϕn^(x)

}

为正交函数系, 进而如果λ_n =1, 称之为规范正交函数系.

如果

{

ϕn^(x)

}

是一正交函数系, 则











 1 ( )

n x

n

λ ϕ 就是一规范正交函数系了.

例 1：

{

^{1,cosx,sin x,cos2x,sin 2x,L,cosnx,sinnx,L}

}

^{就是[−π,π]}上一正交函数系, 由此 可得一规范正交函数系







 L sin ,L

cos , , 2 , ,sin 2 ,cos ,sin ,cos 2 1

π π

π π

π π π

nx nx

x x

x

x .

例 2：

{

^{1,cosx,cos2x,L,cosnx,L}

}

^或者

{

^{sin x,sin2x,L,sinnx,L}

}

^{是[0,π]上的正交函数}

系, 由此可得规范正交函数系







 L cos ,L

, 2 , ,cos ,cos 2 1

π π

π π

nx x

x 或







 L sin ,L

, 2 , ,sin sin

π π

π

nx x

x .

例 3： 



 L cos ,L

, 2 , ,cos ,cos

1 l

x n l

x l

x π π

π 或者







 L sin ,L

, 2 , ,sin sin

l x n l

x l

x π π

π 是区间

] , 0

[ l 上的正交系.

例 4：Legendre 多项式

[

^{( 1)}

]

^{, 1,2,3,L}

! 2 ) 1 ( , 1 )

( ²

0 = = x − n=

dx d x n

X x

X _n ⁿ

n n n

是区间[−1,1]上的正交系, 这时

∫

− = +

= ¹

1 2

1 2 ) 2

(x dx n X_n

λn .

例 5：Haar 系. 定义 Haar 函数







≤

≤

<

≤

= −

. 2 1

, 1 1

2, 0 1

, 1 ) (

x x ψ x

考虑二进伸缩和整点平移



 



= ⁻  −_j

k i

k x x

j

2 2 )

( ²

, ψ

ψ ^,

则

{

ψi_,k(x)

}

j_,k∈Z^是(−∞,+∞)上规范正交函数系.

定义 3：对于区间[a,b]^{上正交函数系}

{

ϕn^(x)

}

^{和函数f (x):}

∫

^{ab f(x)2dx}<+∞^{, 级数}

∑

^+∞

=0

) (

n n

n x

c ϕ ^{其中 =}

∫

^{ab n}

n

n f x x dx

c 1 ( )ϕ ( ) λ

称为函数 f(x)^{关于正交函数系}

{

ϕn^(x)

}

的（广义）Fourier 级数, c_n为（广义）Fourier 系数, 记为

∑

^+∞

=0

) (

~ ) (

n n

n x

c x

f ϕ ^.

如果

∑

^+∞

=

=

0

) ( )

(

n n

n x

c x

f ϕ 一致收敛, 就可逐项积分, 我们有

m b

a m

m m b

a m

m

a dx x a

dx x x

f =

∫

=

∫

^{( ) ( ) , 1 ( )}

1 ϕ₂

ϕ λ

λ ^.

当

{

ϕn^(x)

}

是规范正交函数系时,

∑

^+∞

=0

) (

~ ) (

n n

n x

c x

f ϕ ^,

其中^{cn =}

∫

^{abf(x)ϕn(x)dx.}

如果

∑

^+∞

=

=

0

) ( )

(

n n

n x

c x

f ϕ 一致收敛, 我们还可得到

∑

∑ ∫

∫ ∑ ∫

∞ +

=

≠ +∞

=

=

+

=

0 2 0

2 2 2

.

) ( ) ( )

( )

(

n n

n m

b

a n m

m n n

b a n n b

a

c

dx x x c

c dx x c

dx x

f ϕ ϕ ϕ

这可以看成勾股定理向无穷维的推广. 勾股定理

2 2

2 a b

c = +

几 何 上 可 以 看 成 二 维 向 量c=( ba, ) , 向 量 长 度 的 平 方 等 于 分 量 平 方 和. 在n ^{维 空 间} )

, , (a₁ a_n

x = L ^{, 也有}

∑

=

= ⁿ

i

ai

x

1 2

2 .

用L²[a,b]^表示区间[a,b]上所有平方可积函数的空间, 其中用

∫

>=

< ^b

a f x g x dx g

f, ( ) ( )

定义内积, 它成为一个内积空间. 如果

{ }

ϕn 是一个完备的规范正交函数系, 则对任何

] , [ )

(x L² a b f ∈ , 有

>

=<

∑

^+∞

=

n n

n n

n x c f

c x

f( )~ ϕ ( ), ,ϕ

0

,

且有

∫

⁼

∑

^+∞₌

=

0 2 2

2 ( )

n n b

a f x dx c

f ^.

这就是无穷维的勾股定理, 即无穷维向量 f(x)长度的平方等于分量平方和. 这时级数

∑

^+∞

=0

) (

n n

n x

c ϕ ^在L²[a,b]范数下收敛到函数 f (x). 有几个概念目前还没讲清楚：何谓完备的

规范正交函数系；何谓L²[a,b]^{范数收敛；还有}L²[a,b]在 Riemann 积分意义也不完备, 其 完备化需要 Lebesgue 积分概念, 这些学完实变函数论和泛函分析课程后可以解决. 不过这 个观点对理解 Fourier 级数还是非常有用的.

§８．2 Fourier 级数的例子

上节定义指出只要f (x)是2π 周期（广义）绝对可积的函数,

∫

^{02π f(x)dx<+∞, 就}

有 Fourier 级数展开式

∑

^+∞

=

+ +

1

0 ( cos sin )

~ ) (

n

n

n nx b nx

a a

x

f ^.

现在我们计算一些例子.

例 1：在区间[−π,π]^{内展开函数}

) 0 ( )

(x =e a≠ 常数

f ^ax .

解： π

π π

π

π π π

π a

a a

e dx e

e a

a a

ax sh

1 2

0 = = − ⁻ =

∫

− ^,

π π π π π

π

π

π a

n a e a

n a

nx n nx nxdx a

e a

n ax

ax

n 1 cos sin ( 1) 2 sh

1 cos

2 2 2

2 +

= − + −

= +

=

∫

− ,

π π π π π

π

π

π a

n a e n

n a

nx n nx nxdx a

e b

n ax

ax

n 1 sin cos ( 1) 2 sh

1 sin

2 2 1 2

2 +

= − + −

= −

= ⁻

∫

− ^,

[ ]







 −

+ + −

∴

∑

^+∞

=1 (2 1) 2 cos sin 2

sh 1

~ 2

n

n

ax a nx n nx

n a a a

e π

π ^.

例 2：在区间[0,2π)内展开函数

) 2

( x

x

f =π − .

解： 0

0 2 2 1 2

1 2

1 ² ₂

0 0  =



 

 −

− =

=_π

∫

^{ππ xdx} _π ^{πx x π}

a ,

0 2 sin

1 0 sin 2 ) 2 (

cos 1 2

1 ²

0 2

0 − = − − =

=_π

∫

^{ππ x nxdx} _π ^{π x} _n^{nx π} _nπ

∫

^{π nxdx}

a_n ,

nxdx n n

n x nx x nxdx

b_n 1

2 cos 1 0 cos 2 ) 2 (

sin 1 2

1 ²

0 2

0 − =− − − =

=_π

∫

^ππ _π ^{π π} _π

∫

^{π ,}

∑

^+∞

=

∴ −

1

~ sin

2 n n

nx π x

.

以下是一些常用2π 周期函数的 Fourier 级数展开式：

（3） 

<

≤

−

<

= ≤

. 2 ,

1

, 0

, ) 1

( π π

π x x x

f

∑

^+∞

= +

+

1 2 1

) 1 2

~ sin(

) (

k k

x x k

f ^.

(4) f(x)如图：



 



 x− x+ x−L

x

f sin5

5 3 1 3 sin sin 1

~ 8 )

( _{2 2 2}

π ^.

（5） f(x)如图：



 



 + + +

+ x x x L

x

f cos5

5 3 1 3 cos cos 1

4 2

~1 )

( _{2 2 2}

π ^.

（6） f(x)= sin x, x∈[0,2π).



 



 −

− ⋅

− ⋅

− ⋅ x x x L

x

f cos6

7 5 4 1 5cos 3 2 1 3cos 1

1 2 1

~ 4 )

( π ^.

（7） f(x)= x², x∈[0,2π).

∑

∑

^+∞

= +∞

=

− +

1 1

2

2 sin

cos 4 3 4

~ 4 ) (

n

n n

nx n

x nx

f π π

.

（8） 

<

≤

<

≤

−

= −

. 0

, 1

, 0 ,

) 1

( π

π x x x

f



 



 + + +L

5 5 sin 3

3 sin sin

~ 4 )

( x x

x x

f π ^.

由奇偶函数的性质可得它们的 Fourier 系数有如下特点：

1º 若周期2π 可积函数f(x)是奇函数, 则

L , 2 , 1 , 0 ,

0 cos

)

1 ( = =

=

∫

− f x nxdx n

a_n ^π

π π ^.

即

∑

^+∞

=1

sin

~ ) (

n

n nx

b x

f , 奇函数 Fourier 级数只含正弦项.

2º 若周期2π 可积函数f(x)是偶函数, 则

L , 3 , 2 , 1 ,

0 sin

)

1 ( = =

=

∫

− f x nxdx n

b_n ^π

π π ^.

即

∑

^+∞

=

+

1

0 cos

~ ) (

n

n nx

a a

x

f , 偶函数 Fourier 级数只含余弦项（包括常数项）.

例子 2, 3, 4, 8 为奇函数, 其 Fourier 级数只含正弦项；例子 5, 6 为偶函数, 其 Fourier 级数只 含余弦项.

用 Mathematica 软件可以直观地看出 Fourier 级数部分和收敛的性质. 如 P l o t [ S i n [ x ] + 1 / 3 S i n [ 3 x ] , { x , - P i , P i } ]

P l o t [ S i n [ x ] + 1 / 3 S i n [ 3 x ] + 1 / 5 S i n [ 5 x ] , { x , - Pi,Pi}]

P l o t [ S i n [ x ] + 1 / 3 S i n [ 3 x ] + 1 / 5 S i n [ 5 x ] + 1 / 7 S i n [ 7 x ] , { x , - Pi,Pi}]

…

§８．3 Fourier 级数的收敛性

3.1 Fourier 级数的部分和

设f(x)在[−π,π]上绝对可积, 那么它有 Fourier 级数

∑

^+∞

=

+ +

1

0 ( cos sin )

~ 2 ) (

k

k

k kx b kx

a a x

f ^.

为了考察 Fourier 级数的收敛性, 我们先考察它的部分和

. ) ( 2 cos

) 1 1 (

) sin sin cos

(cos ) 1 (

) 2 (

1

) sin cos

2 ( ) , (

1 1 1

0

du x u k u

f

du kx ku kx

ku u

f du

u f

kx b kx a a

x f S

n

k n

k n

k

k k

n



 + −

=

+ +

=

+ +

=

∫ ∑

∫ ∑ ∫

∑

− =

= −

−

=

π π

π π π

π

π

π π

利用公式

sin 2 2

2 sin 1 2 cos

1

1 t

t n kt

n

k



 

 +

= +

∑

=

,

我们记

sin 2 2

2 sin 1 )

( t

t n t

D_n



 

 +

= ^,

它被称为 Dirichlet 核, 则

du u x D u f x

f

S_n( , )=

∫

− ( ) _n( − )

π

π .

Dirichlet 核D_n(t)有如下性质：

（1）

∫

− ( ) =1

π

π D_n t dt ,

（2）D_n(t)是偶函数,

（3）D_n(t)是2π 周期函数.

利用这三条性质我们可以改写部分和公式

[

^{( ) ( )}

]

^{( ) .}

) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) ( )

, (

0

0 0

dt t D t x f t x f

du u D u x f du

u D u x f

du u D u x f

du u x D u f x

f S

n

n n

n n n

∫

∫

∫

∫

∫

− + +

=

+ +

+

=

+

=

−

=

−

−

−

π

π π

π π π

π

3.2 Riemann-Lebesgue 引理

引理（Riemann-Lebesgue） 如果函数g(t)^在[a,b]上绝对可积, 则

. 0 cos

) ( lim

, 0 sin

) ( lim

∫

∫

=

=

+∞

→ +∞

→ b a p

b a p

ptdt t

g

ptdt t

g

证明：只证第一式. 首先我们有不等式

2. cos

sin cos

p p

p

ptdt = p − ≤

∫

α^{β α β}

先设g(t)在 Riemann 意义下可积. 分割

b t t

t t

t

a= ₀ < ₁ <L< _i < _i+1 <L< _n =

将区间[a,b]^分成n个小区间, 并据此分解积分

∑∫

∫

^{ab ()sin = n}_i=⁻₀^{1 tt}i^{i+1 ()sin}

ptdt t

g ptdt

t

g .

用m_i^表示g(t)^在[t_i,t_i+1]上的下确界, 则

[ ] ∑ ∫

∑∫

∫

^{ab ()sin =n}_i=⁻₀^{1 tt+1 ( )− i sin + n}_i=⁻₀^{1 i tt}i^i+1sin i

i

ptdt m

ptdt m

t g ptdt

t

g ,

进而

∑

∫

^≤

∑

₌^{− ∆ +} ₌⁻¹

0 1

0

sin 2 ) (

n

i i n

i

i i b

a m

t p ptdt

t

g ω ^.

对∀ε >0, 首先选一个分割, 使得

2

1

0

ω ∆ <ε

∑

⁻

= n

i

i

i t ；

是由 Riemann 可积性保证的. 由这个分割, m_i已经确定, 选取

∑

⁻

=

> ¹

0

4ⁿ

i

mi

p ε ^{, 则}

ε

∫

^{abg(t)sin ptdt} < ^.

如果g(t)广义绝对可积, 假定在[a,b]^上只有b是个瑕点. 设0<η<b−a, 将积分分成两 部分

∫ ∫

∫

= ^−η+ − η b

a b b b

a .

第二个积分有估计

∫

∫

− ≤ ^b−

b b

b g t ptdt g t dt

η

η ( )sin ( ) ；

选η^{充分小, 使它小于} 2

ε . 对于第一个积分

∫

^{ab−ηg(t)sin ptdt,}

它是 Riemann 可积的, 因此

∫

⁻

+∞

→ ^{b η} =

p a

ptdt t

g( )sin 0

lim .

可选p充分大, 使

sin 2 )

( ε

η <

∫

^{ab− g t ptdt .}

这样就完成了引理证明.

推论：若 f(x)在[a,b]上绝对可积, 则它的 Fourier 系数a_m,b_m →0(m→+∞). 3.3 局部化定理（Riemann）

定理：以2π 为周期的绝对可积的函数 f(x), 在一点x₀处的收敛及发散的性质只与函数 )

(x

f 在点x₀附近的性质有关.

证明：∀δ >0^{, 不妨设}δ <π, 我们考虑部分和

[ ]

.

sin 2 2

2 sin 1 ) ( ) 1 (

) , (

2 0 1

0 0 0

0

I I

t dt t n t

x f t x f x

f S_n

+

= +

=



 

 +

− +

+

=

∫

∫

∫

π δ δ

π

π

在I₂中 , 函 数

sin 2 2

) ( )

( _{0 0}

t t x f t x

f + + −

在[δ,π]绝 对 可 积 , 由 Riemann-Lebesgue 引 理 ,

2 →0

I 当n→+∞时. 这样

1

0) lim

, (

lim S f x I

n n

n→+∞ = →+∞ ^,

I1仅与f(x)在x₀的邻域(x₀ −δ,x₀ +δ)性质有关, 证毕.

注：事实上

[ ]

^{2 .}

sin 1 ) ( ) 1 (

lim ) , (

lim 0 0 0 0 dt

t t n t

x f t x f x

f

Sn n

n



 

 +

− +

+

= →+∞

∫

+∞

→

δ

π 为此我们注意到

) 0 ( 0 sin 2

2

) 2 (

2

sin 2 2

sin 2 1 2

sin 2 2

1

2

→

→



 

 +

−

− =

=

− t

t t t t o t t t

t t

t t ^.

补充函数 t t

1

sin 2 2

1 − ^在t =0时定义为0, ^{则这函数在}[0,π]上连续有界. 再由 Riemann-

Lebesgue 引理得

[ ]

⁰

2 sin 1 1

sin 2 2 ) 1 ( ) 1 (

lim 0 0 0  =



 

 +

















−

− +

∫

+

+∞

→ n tdt

t t t

x f t x f

n

δ

π ^,

由此可得

[ ]

^dt

t t n t

x f t x f I

x f

Sn n n

n



 

 +

− +

+

=

= →+∞ →+∞

∫

+∞

→

2 sin 1 ) ( ) 1 (

lim lim

) , (

lim 0 1 0 0 0

δ

π ^.

3.4 Dini 判别法

记ϕ(t)= f(x₀ +t)+ f(x₀ −t)−2S₀^{, 注意到} 1 )

0 ( =

∫

^{πDn t dt ,}

我们有

t dt t n t S

x f S_n

sin 2 2

2 sin 1 ) 1 (

) ,

( 0 0 0



 

 +

=

− _π

∫

^{πϕ .}

定理（Dini 判别法）以2π 为周期的绝对可积的函数 f(x), 在x₀附近满足 Dini 条件：

+∞

∫

^{0δ ϕ}_t^(t)dt < ^,

则函数 f(x)的 Fourier 级数在x =x₀^处收敛到S0. 证明：由 Dini 条件, 可以得出

sin 2 2 ) (

sin 2 2

) (

t t t

t t

t ϕ

ϕ =

在区间[0,δ]上也绝对可积. 另外也容易得出函数 sin 2 2

) (

t ϕ t _在

] ,

[δ π 上也绝对可积. 这样函数

sin 2 2

) (

t ϕ t _在

] , 0

[ π 上绝对可积. Riemann-Lebesgue 引理推出

(

⁻

)

⁼ →+∞

∫

^_^{ + }_^{ =}

+∞

→

π ϕ

π ⁰

0

0 0

2 sin 1

sin 2 2

) 1 (

lim )

, (

lim n tdt

t S t

x f

Sn n

n .

应用 1：f(x)^在x₀点连续, 取S₀ = f(x₀), 这时若满足 Dini 条件, 即

+∞

± <

∫

^{0δ f(x0} +^t_t^{) f(x0)dt ,}

则S_n(f,x₀)→ f(x₀)^.

应用 2：f(x)在x₀有第一类间断点, 取

[

^{( 0) ( 0)}

]

2 1

0 0

0 = f x + + f x −

S ,

又设它满足 Dini 条件, 即

+∞

± <

−

∫

^{0δ f(x0} ±^t) _t ^{f(x0 0)dt ,} 则

[

^{( 0) ( 0)}

]

2 ) 1 ,

(f x₀ → f x₀ + + f x₀−

S_n .

定理（Lipschitz 判别法）设 f (x)为2π 周期的绝对可积函数, 在x =x₀^点满足α阶 Lipschitz 条件：

1 0

, ,

) ( )

(x₀ +t − f x₀ ≤ct^α t ≤δ <α ≤

f ,

则S_n(f,x₀)→ f(x₀)(n→+∞). 证明：设α =1^{, 则}

t

x f t x f x f t x f t

t) ( ) ( ) ( ) ( )

( = ₀ + − ₀ + ₀ − − ₀

ϕ .

当0<t ≤δ 时, c t

t) 2

( ≤

ϕ , 在[0,δ]^{上绝对可积.}

设α <1^{, 则ϕ}( ) ≤ 2_1−α t

c t

t , 也在[0,δ]上绝对可积. 由 Dini 判别法, 知

) (

) ( ) ,

(f x₀ → f x₀ n→+∞

S_n .

注：设f(x)为2π 周期的绝对可积函数, 在x 可导, 或单侧可导, 甚至在x 间断, 但有如下

意义的单侧导数

t x f t x f t

x f t x f

t

t −

−

−

− +

− +

+

+ →

→

) 0 ( ) lim (

), 0 ( )

lim ( ^{0 0}

0 0

0 0

,

则

[

^{( 0) ( 0)}

]

^{( ( ))}

2 ) 1 ,

(f x₀ f x₀ f x₀ f x₀

S_n → + + − ^{或 .}

定义（逐段可微）在[a,b]存在有限个点a= x₀ < x₁ <L<x_n =b, 函数f(x)在(x_i,x_i+1)

可导, 且存在f(x_i +0),f(x_i+1−0)及 f′(x_i +0), f′(x_i+1−0), 则称f (x)在[a,b]逐段可 微.

定理：设 f(x)为2π 周期函数, 在[−π,π]逐段可微, 则

) 2 (

) 0 ( ) 0 ) (

,

( _{0 0} ⁰ + + ⁰ − →+∞

=

→ f x f x n

S x f

S_n .

3.5 Dirichlet 判别法

引理：设函数g(x)在[ h0, ]上单调增加并有界, 则

∫

^{= +}

+∞

→ h

g x dx

x x

0g ( 0)

2 )sin

(

lim λ π

λ .

证明：

[ ]

.

) sin 0 sin (

) 0 ( ) sin (

) (

0 0

0

J I

x dx g x

x dx g x

x g x dx

x x

g ^{h h}

h

+

=

+ + +

−

=

∫ ∫

∫

^{λ λ λ} .

对于J, 我们有

).

0 2 (

) sin 0 sin (

) 0 sin (

) 0

( 0 0 0

+

=

+

→ +

= +

=

∫ ∫ ∫

^+∞

g

t dt g t

t dt g t

x dt g x

J ^{h h}

π

λ ^λ

对于I, 我们有

[ ] [ ]

1 2

0

) sin 0 ( ) sin (

) 0 ( )

( dx I I

x g x

x g x dx

g x x g

I =

∫

− + +

∫

δ^h − + = +

δ λ λ

. 对于I₁, ∀ε >0^, ∃δ >0^{, 使得当}0< x≤δ 时, 有

g L x

g( ) ( 0) 4 0≤ − + < ε ^, 其中L满足

L t dt

t

x ≤

∫

^{0sin .}

用积分第二中值定理, 我们有

[ ]

[ ]

[ ]

2.

sin sin

4

) sin 0 ( ) (

) sin 0 ( ) (

) sin 0 ( ) (

0 0

1 0

ε ε

δ δ λ

λ

λη λδ

λδ λη δ η δ

≤



 



 +

<

+

−

=

+

−

=

+

−

=

∫

∫

∫

∫

∫

t dt dt t

t t L

t dt g t

g

x dx g x

g

x dx g x

x g I

对于I₂,

x g x

g( )− (+0)_在 ] ,

[δ h 绝对可积, 由 Riemann-Lebesgue 引理知 lim ₂ =0

+∞

→ I

λ . 即

>0

∆

∃ ^{, 当}λ >∆^{时, 有}

2.

2

< ε I 于是当λ>∆^{时, 有}

ε

<

+

≤ I₁ I₂

I ,

即 lim =0

+∞

→ I

λ . 从而

∫

^{= +}

+∞

→ h

g x dx

x x

0g ( 0)

2 )sin

(

lim λ π

λ .

注：若g(x)^在[ h0, ]上单调减少并有界, 引理也成立.

若把[a,b]分成有限个区间, f(x)在每个区间单调, 则称f(x)在[a,b]逐段单调.

定 理 ： 设 f(x)为2π 周 期 绝 对 可 积 函 数 , 且 存 在h >0, 使 得 f(x)在[x₀ −h,x₀],

] ,

[x₀ x₀ +h ^{分别单调, 则}

[

^{( 0) ( 0)}

]

^{( )}

2 ) 1 ,

(f x₀ → f x₀ + + f x₀ − n→+∞

S_n .

证明：由局部化定理只须证明

[ ]

[

^{( 0) ( 0)}

]

^.

2 1

2 sin 1 ) ( ) 1 (

lim

0 0

0 0 0

− +

+

=



 

 +

− +

∫

+

+∞

→

x f x

f

t dt t n t

x f t x f

h

n π

由条件知 f(x₀ +t)^在[ h0, ]单调, f(x₀ −t)^在[ h0, ]单调, 并都有界, 由引理得

[ ]

[ ]

[

^{( 0) ( 0)}

]

^.

2 1

) 0 ( ) 0 2 (

1

2 sin 1 ) ( ) 1 (

lim

0 0

0 0

0 0 0

− +

+

=

− +

+

⋅

=



 

 +

− +

∫

+

+∞

→

x f x

f

x f x

f

t dt t n t

x f t x

h f

n

π π

π

定理（Dirichlet 判别法）设f(x)为2π 周期函数, 在[−π,π] 逐段单调, 则

[

^{( 0) ( 0)}

]

^{( )}

2 ) 1 ,

(f x₀ → f x₀ + + f x₀ − n→+∞

S_n .

定义：若

∑

^+∞

=

+ +

1

0 ( cos sin )

~ 2 ) (

n

n

n nx b nx

a a x

f ^{, 且在某个区间}[a,b]上成立

∑

^+∞

=

+ +

=

1

0 ( cos sin )

) 2 (

n

n

n nx b nx

a a x

f ^,

则称它为 f(x)在区间[a,b]上的 Fourier 级数展开式.

上述定理, 即 Dini, Lipschitz, Dirichlet 判别法, 给出函数能展开成 Fourier 级数的充分条件.

3.6 Fourier 展开式的例

1． sin , ( , ).

) 1 ( 2

1

1 ∈ −π π

−

=

∑

^+∞

=

+ x

n x nx

n

n

特别地, = − + − + −L 9 1 7 1 5 1 3 1 1 4

π .

2． ^{( 1) 4 cos ,}

[

^,

]

^.

3 1

1

2 2

2 = π +

∑

^+∞ − ∈ −π π

=

x n nx

x

n

n

特别地,

4 . 1 3

1 2 1 1 12

3 , 1 2 1 1 6

2 2 2 2

2 2 2

L L

+

− +

−

=

+ + +

= π π

3 ．

[

^,

]

^.

, 2 cos

) 1 ( 2

2 cos cos 2

1 2 1

cos sin _{2 2 2 2 2}

π π

α α α

α α

α α

π α απ

−

∈



 



 +

− − +

− −

− +

−

=

x

n nx x

x

x L ⁿ L

在上式令x =π 后, 再用sinαπ除两边, 可以得到