92 年度上學期期末考

(1)

普通物理第二次期中考試卷

卷號：____________學號_______________ 姓名 ________________________ 計算題（除特別註明，每小題 1 分），答案寫在答案卷上，考完後連同試卷交回 1. 有兩顆球，mass，position，velocity 與 acceleration 分別如下表所列：（33 分）球號 mass

(kg) position (m) velocity (m/s) acceleration (m/s

2₎ 1 2.00 (1.00, -2.00, 0.00) v1  _{= -1.00} iˆ + 2.00 ˆj + 10.0 kˆ 1 a = 5.00_iˆ + 2.00ˆj + 1.00 kˆ 2 3.00 (1.00, 3.00, 5.00) _v₂_{= 4.00}_iˆ_{- 3.00}ˆ_j 2 a = 2.00ˆj + 1.00_kˆ

(1) 球 1 與 2 所組成系統的 total mass mtotal 為何？ (2) 球 1 的 position vector r1 為何？

(3) 球 2 的 position vector r2 為何？

(4) 球 1 與 2 所組成系統 center of mass 的 position 為何？（2 分） (5) 球 1 的 momentum p1 為何？

(6) 球 2 的 momentum p2 為何？

(7) 球 1 與 2 所組成系統的 total momentum ptotal為何？

(8) 球 1 與 2 所組成系統 center of mass 的 velocity vCM為何？

(9) _{作用於球 1 的 force}F₁ 為何？ (10) 作用於球 2 的 force F2



為何？

(11) 作用於球 1 與 2 所組成系統的 total external force Ftotal 

為何？ (12) 球 1 與 2 所組成系統 center of mass 的 acceleration aCM為何？

(13) 球 1 的 speed v1 為何？（2 分） (14) 球 2 的 speed v2 為何？（2 分） (15) 球 1 的 kinetic energy KE1 為何？ (16) 球 2 的 kinetic energy KE2 為何？

(17) 球 1 與 2 所組成系統的 total kinetic energy KEtotal 為何？ (18) vCM 的 speed vCM 為何？（2 分） (19) 球 1 與 2 所組成系統 vCM 所造成的 kinetic energy KECM 為何？ (20) 球 1 對 vCM 的 relative velocity v 為何？₁ (21) 球 2 對 vCM 的 relative velocity v 為何？2 (22) v 的 speed ₁ v 為何？（2 分）₁ (23) _v 的 speed ₂ _{v 為何？（2 分）}₂ (24) 球 1 因 v 所造成的 kinetic energy 1 K  為何？ E1 (25) 球 2 因 v 所造成的 kinetic energy 2 K  為何？ E2

(26) 兩球對 vCM relative velocity 所造成 kinetic energy 總合 K Etotal 為何？ (27) KECM + K Etotal = ？

(2)

2. 在一交角成 60 的路口發生一汽車（ 1）與卡車（2）相撞的車禍，座標定義如右圖所示。 ■ 汽車 mass 為 m1 =1500 kg，貨車 mass m2 = 2000 kg。 ■ 相撞前，汽車 speed 為 v1i = 25.0 m/s ，卡車 speed 為 v2i = 10.0 m/s。

■ 二者成 completely inelastic collision。（16 分） x y 

60

1 2  v_2i v_1i v_f (1) 汽車（1）在碰撞前的 velocity v1i = ？ (2) 汽車（1）在碰撞前的 momentum p1i = ？ (3) 卡車（2）在碰撞前的 velocity v2i = ？ (4) 卡車（2）在碰撞前的 momentum p2i = ？ (5) 兩部車在碰撞前的 total momentum pi = ？ (6) 兩部車在碰撞後的 total momentum pf = ？ (7) 兩部車在碰撞後的 velocity vf = ？ (8) 兩部車在碰撞後的 speed vf = ？（2 分） (9) 兩部車在碰撞後移動方向對 x 軸夾角  為多少度？（3 分） (10) 汽車（1）在碰撞前的 kinetic energy KE1i = ？ (11) 卡車（2）在碰撞前的 kinetic energy KE2i = ？ (12) 兩車在碰撞前的 total kinetic energy KEi 為何？

(13) 兩車在碰撞後的 total kinetic energy KEf 為何？

3. 如右圖所示在汽車碰撞試驗中，一 mass 為 1500 kg 的汽車以 vi = 15.0 m/s 的 speed 對牆碰撞，然後以 vf = 2.60 m/s 的 speed 彈回，碰撞歷時 0.15 s。座標定義如圖所示。（7 分） x (1) 汽車撞牆前的 velocity vi = ？ (2) 汽車撞牆後的 velocity vf = ？ (3) 汽車撞牆前的 momentum pi = ？ (4) 汽車撞牆後的 momentum pf = ？ (5) 汽車撞牆前後的 momentum 差 p _{= ？} (6) 汽車撞牆期間所受的 impulse I= ？

(7) _{汽車撞牆期間所受的 average force}F_ave = ？ 4. 計算右圖所示均勻塊狀物的 center of mass 位置（5 分）

(3)

■ 彈簧在未吊掛物體時的長度為 L = 4.50 m。 ■ 彈簧 spring constant 為 50.0 Nt/m。

■ 當彈簧平衡後再將物體向下拉 0.200 m 後釋放。 ■ Acceleration due to gravity g = 10.0 m/s2_。

■ 令 h = 0.00 m 為物體釋放點，朝上為正。

■ 令物體在釋放點時的 gravitational potential energy PEgrav = 0.00 J ■ 振動過程中忽略空氣阻力與摩擦力。 (1) 物體 weight 的 magnitude 為何？ (2) 吊掛物體後彈簧伸長量為何？ (3) 吊掛物體後彈簧長度為何？ (4) 物體釋放後彈簧振動的 angular frequency  = ？ (5) 物體釋放後彈簧振動的 period T = ？ (6) 物體釋放後彈簧振動的 frequency  = ？ (7) 物體釋放後彈簧振動的 amplitude 為何？ (8) 在振動過程中，於 h = 0.00 m 時，物體 kinetic energy KE =？ (9) 在振動過程中，於 h = 0.00 m 時，彈簧的伸長量 x = ？

(10) 在振動過程中，於 h = 0.00 m 時，彈簧的 potential energy PEspring？

(11) 在振動過程中，於 h = 0.00 m 時，物體與彈簧系統的 total mechanical energy E =？ (12) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，物體與彈簧系統的 total mechanical energy E =？ (13) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，物體的 gravitational potential energy PEgrav =？ (14) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，彈簧的伸長量 x = ？

(15) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，彈簧的 potential energy PEspring =？ (16) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，物體 kinetic energy KE =？

(17) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，物體的 speed 為何？

(18) 在振動過程中，於 h = 0.300 m 時，物體與彈簧系統的 total mechanical energy E =？ (19) 在振動過程中，於 h = 0.300 m 時，物體的 gravitational potential energy PEgrav =？ (20) 在振動過程中，於 h = 0.200 m 時，彈簧的伸長量 x = ？

(21) 在振動過程中，於 h = 0.300 m 時，彈簧的 potential energy PEspring =？ (22) 在振動過程中，於 h = 0.300 m 時，物體 kinetic energy KE =？

(23) 在振動過程中，於 h = 0.300 m 時，物體的 speed 為何？

6. 哈雷彗星的繞日 period 為 75.6 年，近日點距離太陽 0.570 AU。（9 分） (1) 哈雷彗星的 semimajor axis 為多少 AU？（3 分）

(2) 哈雷彗星軌道的遠日點（aphelion）距離太陽多少 AU？（2 分） (3) 查閱課本上的資料，哈雷彗星的遠日點位於哪兩個行星（planet）之間？（2 分） (4) 哈雷彗星橢圓軌道焦點（foci）半長度 c 為多少 AU？ (5) 哈雷彗星軌道的 eccentricity  = ？ 7. 本題相當於課本 P.272 的第 18 題，但改用分解動作求解： 如右圖所示，一密度均勻 radius 為 R mass 為 M 的圓球形星球以  的 angular speed 自轉，位於其赤道上有一 mass 為 m 的物體。 （12 分） R w  m N

(1) 該物體所受的 gravitational force w 的 magnitude 為何？（答案只能含 universal gravitational constant G，M，m 與 R ）

(2) 該物體的 centripetal acceleration 的 magnitude ac 為何？（答案只能含 m， 與 R ）

(3) 星球表面作用於物體的 normal force 的 magnitude N 為何？（答案只能含 G，M，m， 與 R ）

(4) 若星球自轉過快或 radius 過大時，赤道處的任何物體（包括星球本身的物質）會被

(4)

若  為已知，radius R 必須維持在哪個範圍內才能使星球不會被自己的自轉弄散 掉？（答案只能含 G，M，m， 與 R ）（3 分） (6) 圓球體積 V = 3 3 4 R  ，密度  = M/V，將上題所得關係改寫成  對 frequency  的關 係。（答案只能含 G，M，m， 與  以及必要的常數）（3 分） (7) 根據觀測，如右圖所示的蟹狀星雲中心有ㄧ顆中子星每秒鐘自轉 33 次，此中子星的密度至多或至少為何？水的密度為 1000 kg/m3_{（3 分）}

(5)

大學物理第二次期中考解答

 該寫成向量（vector）的，寫成純量（scalar）不給分。題目裏的符號已經顯示哪個答案應該是向量；但 magnitude 一律為純量。  用填充題方式答題者，自行承擔風險。  答案不標單位者，每題扣 1 至 3 分。 1. (1) mtotal = m1 + m2 = 2 +3 = 5.00 kg (2) rˆ₁ = 1.00iˆ - 2.00ˆj m (3) rˆ₂ = 1.00iˆ + 3.00ˆj + 5.00_kˆ m (4) total 2 2 1 1ˆ ˆ rˆ m m m CM r r  

  

i

j

i

j

k



_i

_j

_k

_ˆ00.

3 ˆ00.

1 ˆ00.

1

00.

5 ˆ00.

3 ˆ00.

1

00.

3 ˆ00.

2 ˆ00.

1

00.

2 











m

=> center of mass 的 position 為 (1.00, 1.00, 3.00) m

(5) p₁ = m1v1 = 2.00(-1.00iˆ + 2.00 ˆj + 10.0kˆ ) = -2.00iˆ + 4.00ˆj + 20.0kˆ

kg-m/s

(6) p₂ = m2v2 = 3.00(4.00iˆ - 3.00ˆj) = 12.0iˆ - 9.00ˆj kg-m/s

(7) ptotal = p1 + p2 = (-2.00iˆ + 4.00ˆj + 20.0kˆ ) + (12.0iˆ - 9.00ˆj)

= 10.0iˆ - 5.00ˆj + 20.0_kˆ kg-m/s (8) CM v ₌ 00 . 5 ˆ 0 . 20 ˆ 00 . 5 ˆ 0 . 10 total total i j k p _   m  =2.00iˆ - 1.00ˆj + 4.00_kˆ m/s (9)



i

j

k



i

j

k

a

F



₁

 

m

₁



2

00.

5 ˆ00.



2

00. 

1ˆ

ˆ00.



10 ˆ0.



4 ˆ00.



2 ˆ00.

Nt (10)





k

j

k

j

a

F



₂

 

m

₂



.3

00 .2

00 ˆ



.1

00 ˆ



.6

00 ˆ



.3

00 ˆ

Nt (11) F_total = F1  + F2  = (10.0iˆ + 4.00ˆj + 2.00_kˆ) + (6.00ˆj + 3.00_kˆ) = 10.0iˆ + 10.0ˆj + 5.00_kˆ Nt (12) CM a ₌ 00 . 5 ˆ 00 . 5 ˆ 0 . 10 ˆ 0 . 10 total total i j k F _   m  = 2.00iˆ + 2.00ˆj_{+ 1.00}_kˆ_m/s2 (13) _v₁₌ __1.00_2_2.002_10.02 _ 105_{=10.2 m/s} (14) v2 = 4.002 3.002 0.02  25.0 =5.00 m/s (15) KE1 =

 

2 105



2 1 2 1 2 1 1v  m = 105 J (16) KE2 =

  

3 25 2 1 2 1 2 2 2v  m = 37.5 J (17) KEtotal = KE1 + KE2 = 105 + 37.5 = 143 J

(6)

(18) vCM = 2.002 1.002 4.002  21.0 = 4.58 m/s (19) KECM =



5.00



21.0



2 1 2 1 2 CM totalv  m = 52.5 J (20) _v = ₁ v₁ - vCM = (-1.00iˆ + 2.00 ˆj + 10.0kˆ) - (2.00iˆ - 1.00ˆj + 4.00kˆ) =-3.00iˆ + 3.00 ˆj + 6.00_kˆ (21) _{v =}₂ v₂ - vCM = (4.00iˆ - 3.00 ˆj) - (2.00iˆ - 1.00ˆj + 4.00kˆ) =2.00iˆ - 2.00 ˆj - 4.00_kˆ (22) _{v =}₁ __3.00_2 _3.002 _6.002 _ 54.0_{= 7.35 m/s} (23) _{v =}₂ 2.002___2.00_2 ___4.00_2 _ 24.0 = 4.90 m/s (24) 1 E K  =





  

2 .

00

54 .

0 

2

1

2

1

2 1 1

v

m

54.0 J (25) 2 E K  =





  

3 .

00

24 .

0 

2

1

2

1

2 2 2

v

m

36.0 J (26) K E_total = K  + E1 K  = 54.0 + 36.0 = 90.0 JE2 (27) _KE_CM₊K E_total_{= 52.5 + 90.0 = 143 J} 2.. (1) v1i = 25.0iˆ m/s (2) p1i = m1v1i = 1500(25.0 iˆ) = 3.75



104iˆ kg-m/s

(3) v2i = 10(iˆ cos60 +ˆjsin60) = 5.00iˆ + 5 3 ˆj = 5.00iˆ + 8.66ˆj m/s (4) p2i = m2v2i = 2000(5.00iˆ + 5 3 ˆj) = 1.00



104iˆ + 1.00



104 3 ˆj = 1.00



104 iˆ + 1.73



104ˆj kg-m/s (5) pi = p1i + p2i = 3.75



104iˆ + 1.00



104iˆ + 1.73



104ˆj = 4.75



104 iˆ + 1.73



104ˆj kg-m/s (6) pf = pi = 4.75



104iˆ + 1.73



104ˆj kg-m/s (7) f v  ₌ 2000 1500 ˆ 10 73 . 1 ˆ 10 75 . 4 4 4 2 1       j i p m m f  = 13.6_iˆ + 4.95ˆj m/s (8) vf = 13.624.952  209.5  14,5 m/s (9) 364 . 0 6 . 13 95 . 4 tan    fx fy v v  _=>_ __tan1₀_.₃₆₄_₂₀ (10) KE1i = 12 ₂



1500



252 4.69 105 1 2 1 _ _ _ i iv m J (11) KE2i = 2 22



2000



102 1.00 105 2 1 2 1 _ _ _ i v m J (12) KEi = KE1i + KE2i = 4.69105 + 1.00105 = 5.69105 J (13) KEf =



1 2



2



1500 2000



209.5 3.67 105 2 1 2 1 _ _ _ _ _ f v m m J 3. (1) vi = -15.0iˆ m/s (2) vf = 2.60iˆ m/s (3) pi = mvi = 1500(-15.0iˆ) = -2.25



104iˆ kg-m/s (4) pf = mvf = 1500(2.60iˆ) = 3.9



103iˆ kg-m/s

(5) p ₌pf - pi = 3.9



103iˆ - (-2.25



104iˆ) = 2.64



104iˆ kg-m/s (6) _I = p _{= 2.64}



₁₀4 iˆ kg-m/s (7) 15 . 0 ˆ 10 64 . 2 4_i I F     t ave   =1.76



105_Nt

4. 六個分割塊狀物 center of mass 的 position vector 分別為：

1

ˆ

(7)

2 ˆ r = 15.00iˆ + 5.00ˆj cm 3 ˆ r _{= 25.00}_iˆ _{+ 5.00}ˆj cm 4 ˆ r = 5.00iˆ + 15.00ˆj cm 5 ˆ r _{= 5.00}_iˆ _{+ 25.00}ˆj cm 6 ˆ r _{= 15.00}_iˆ _{+ 25.00}ˆj_cm



i j



i j r r r r r r _ˆ 3 . 13 ˆ 7 . 11 ˆ 0 . 80 ˆ 0 . 70 6 1 6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ rˆ _ 1 2 3 4 5 6 _ _ _ _ CM cm/s 5. (1) w = mg = (2.50)(10.0) = 25.0 Nt (2) kx = w => x = w/k = 25.0/50.0 = 0.50 m (3) L = 4.50 + 0.50 = 5.00 m (4) 5 2 0 . 20 5 . 2 0 . 50     m k  = 4.47 1/s (5) 5 5 2 2 2     _ _  T _{= 1.41 1/s} (6)    1  5 T = 0.712 s (7) A = 0.200 m (8) KE = 0 J (9) x = 0.200 + 0.500 = 0.700 m (10) PEspring = 2



50.0



0.700



2 2 1 2 1 _ kx = 12.25 J

(11) E =KE + PEgrav + PEspring = 0 + 0 + 24.5 = 12.25 J (12) E = 12.25 J (13) PEgrav = mgh = (2.50)(10.0)(0.200) = 5.00 J (14) x = 0.500 + 0.200 -0.200 = 0.500 m (15) PEspring = 2

 

50 0.500



2 2 1 2 1 _ kx = 6.25 J (16) KE = E – PEspring – PEgrav = 12.25 – 6.25 – 5 = 1.00 J (17)

_{ }

_

800 . 0 50 . 2 00 . 1 2 KE 2 2 1 KE_ 2 _ _ _ _ m v mv = 0.894 m/s (18) E = 12.25 J (19) PEgrav = mgh = (2.50)(10.0)(0.300) = 7.5 J (20) x = 0.200 + 0.500 – 0.300 = 0.400 m (21) PEspring = 2

 

50 0.400



2 2 1 2 1  kx = 4 J (22) KE = E – PEspring – PEgrav = 12.25 – 4 – 7.5 = 0.750 J (23)

_{ }

_

600 . 0 50 . 2 750 . 0 2 KE 2 2 1 KE_ 2 _ _ _ _ m v mv = 0.775 m/s 6. (1)





       2/3 3 2 3 2 3 2 3 earth 2 earth 3 2 6 . 75 AU 1 yr 1 yr 6 . 74 AU 1 yr 1 _a a a T a T 17.9 AU (2) 2a = raph + rperi => raph = 2a – rperi = (2)(17.9) – 0.570 = 35.2 AU (3) Neptune 與 Pluto (4) c = a – rperi = 17.9 – 0.57 = 17.3 AU (5) ₀_.₉₆₈ 9 . 17 3 . 17 _   a c  7. (1) 2 R GMm w (2) a_c __2R

(8)

(3) R m R GMm N R m N R GMm ma N w _c 2 2 2 2           (4) 1/3 2 2 3 2 2 0 0                  R R GM R GM m R GMm N (5)     4 3 4 3 3 4 3 3 3 M R R M R M V M _ _ _ _    2 G GM M GM R 2 2 2 2 3 3 4 4 3 _           (6)

 







  _11 2 10 67 . 6 33 3  1.54



1014_kg/m3