1-1-1基礎概念-簡單的邏輯概念

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(1)1-1 基礎概念-簡單的邏輯概念【定義】命題：可判斷真偽的敘述叫做命題。通常形如「若…則…」或「若(前提)，則(結論)」。命題可能是對的，也可能是錯的。註：通常命題為真則證明，命題為假則舉一個反例。蘊涵：一般而言，當 p → q 為正確命題時，我們用符號 p ⇒ q 表示，讀作 p 蘊涵 q。原命題：若 p 則 q ，記為 p → q 。逆命題：前提與結論互換的兩個命題，稱為逆命題，記為 q → p 。否命題：將前提與結論都否定的命題，稱為否命題，記為 ~ p →~ q 。逆否命題：將前提與結論都否定並互換的命題，稱為否命題，記為 ~ q →~ p 。等價命題：同時為真或同時為偽的兩個命題，稱等價命題。【性質】原命題與逆否命題為等價命題。 p⇒q q⇒ p 互逆互為逆否互否. 互否互為逆否. ~ p ⇒~ q. ~ q ⇒~ p. 互逆. 【性質】若數學命題的真實性是大家公認而不需加以證明的，我們稱之為公理或公設。推論一個正確的命題時，可能有很多方法，但不能將前提與結論弄錯。推理是從已有的性質與命推導出新的性質或命題的思維過程。數學命題的論證是逐步推理的過程，要有正確的邏輯形式及正確的前提。【定義】且(and)：符號記為 ∧ ，表串聯之意。或(or)：符號記為 ∨ ，表並聯之意。否定(not)：符號記為 ~ p ，表 p 的相反之意。【性質】敘述 p 與 q ： 1. 當 p 與 q 都真時，則 p ∧ q 為真，否則為假。 2. 當 p 與 q 至少一真時，則 p ∨ q 為真，否則為假。 1.

(2) 註：可用真值表表示如下 p q p ∧ q p ∨ q ~ p p ⇒ q ~ q ⇒~ p q ⇒ p ~ p ⇒~ q T T T T F T F F T F F T F T T F F F F T 【定義】充分條件、必要條件：當命題「若 p 則 q 」為真時，即 p ⇒ q 時，稱 p 是 q 的充分條件， q 是 p 的必要條件。表示有條件 p 就充分保證結論 q 必然成立。沒有 q 時，必然沒有 p ( ~ q ⇒ ~ p 或 ~ p ∧ q )。註：在集合中若滿足 A ⊂ B ，則 A 即表示充分條件， B 表示必要條件。充要條件：當命題「若 p 則 q 」與命題「若 q 則 p 」皆為真時， p 是 q 的充分條件也是必要條件，此時 p 與 q 互稱為充要條件。【問題】若 p ⇒ q ，則下列何者正確？ 1. 有 p 必有 q ？ 2. 無 p 必無 q ？ 3. 無 q 必無 p ？ 4. 有 q 必有 p ？【定義】直接證法：設前提 p 成立，經由 p ⇒ p1 , p1 ⇒ p 2 , ", p n ⇒ q ，得證結論 q 成立。反證法：假設前提 p 成立下，結論 q 不成立，接著導出與 p 矛盾的結果，因此證明得到結論 q 必定要成立。主要步驟為 1.反面假設。2.導出矛盾。3.肯定結論。通常也稱歸謬證法。窮舉歸謬證法：當命題的反面可能有多種情況，則可將其一一列出，並一一駁斥，以推論出原結論正確。【問題】 1. 試證明質數有無限多個？ 2. 試證明鴿籠原理？ 3. 試證明平均數原則？ 4. 至多一個 x 有性質 P(x) 的否定敘述為何？ 5. 存在一個 x 有性質 P(x) 的否定敘述為何？. 2.

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