數學科

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命中率分析

數學科

戰地記者龍騰報導

今年的題目以基本定義與觀念題型居多，其中基本且重要的觀念題型為：單選第 2、3、4、7 題，選填第 C、D、E 題。也有好些有趣的題目，例如：多選第 8、12 題，

選填第A、B、G 題。也有好幾題值得深思的考題，例如：多選第 9、13 題，選填第 F 題。待會試題解析時，應屆考生、未來考生、數學同好們，讓我們一起來好好享受這些題目。

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黃信淳／臺南女中

2 4 8

109 年 1 月 31 日

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命中率分析

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命中率分析

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大考風向球

前言

計算錯誤，萬劫不復；戒慎恐懼，高分錄取。

這次的學測題目偏向基礎概念的應用，預計各題的答對率都會比以往高。因此一旦不小心計算錯誤，就會有巨大的影響。去年、今年、明年這三年的考試型態比較接近，首先是各校系招生比序不得採取五科，其次是考試內容為99 課綱。既然去年與今年的學測數學試題都偏向基礎概念的應用，明年又是99 課綱的最後一年，因此筆者猜測明年的試題方向也會跟這兩年類似，畫下一個完美的句點。因此請明年的考生，確實掌握基礎概念，並且謹慎作答。

近年各大學院校科系，逐年提高學測錄取名額。再加上一般而言，學測數學難度比指考數學甲簡單，比指考數學乙難。而學測英文為四千單字，指考英文為七千單字，難度差異也相當大。因而歷年來對於自然組學生而言，學測無疑是最佳的升學途徑。

對社會組學生而言，由於指考數學乙真的非常簡單，非選擇題的部分，依照往年的出題情況，有七成以上的比例會有一大題是線性規劃。但是指考英文較難，所以學測和指考算是平分秋色，英文出色的考生考指考，數學出色的學生考學測。

科系招生條件至多採計四科，自然組與社會組科系做出明顯分流，考生可依自己的優勢科目選擇科系。去年首次實施至多採計四科，因此在選填「個人申請入學」的校系時，有些難以評估。今年的考生可以參照去年學長姐的數據來選填校系，務必慎重。否則高分落榜後，社會組的學生或許還有數學乙這條退路，但是自然組的考生，拿到數學甲的試卷，必定悔恨不已。

去年的學測是第一次各校系招生比序不得採取五科，而數學試題雖然對於全體考生的鑑別度高，

對於絕大多數的科系招生都能有效地分出差異。但是頂尖考生數學幾乎都可以拿到15 級分，因此去年醫學、中醫、牙醫的招生上有些混亂。而今年的題目難度跟去年類似，因此去年發生的事情，今年應該也都會發生，因此今年的考生拿到學測成績後，在選填科系及面試上，務必參照去年的情況，特別是目標是醫科的考生。

109 學測命題特色

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大考風向球

歷年題型分配

102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年

單選題 6 6 4 6 7 7 6 7

多選題 6 6 6 7 6 5 7 6

選填題 8 8 10 7 7 8 7 7

109學測試題分布（有外圈的題號表示該題目跨章節）

冊章單元名稱題號配分小計

一

1 數與式 5 5

17.5 2 多項式函數 ○7 ，10 7.5

3 指數、對數函數 ○6 ，○11 5

二

1 數列與級數 ⑧，○11 ，A 10 2 排列、組合 ⑧ 2.5 25

3 機率 ○6 ，B 7.5

4 數據分析 12 5

三

1 三角 1，○7 ，○13 ，D，G 20

35 2 直線與圓 ○3 ，C 7.5

3 平面向量 ○3 ，9 7.5

四

1 空間向量 2，○13 ，○E 10 2 空間中的平面與直線 ○^E 2.5 22.5

3 矩陣 4 5

4 二次曲線 F 5

這次學測，整體特色為計算量低，注重基本觀念。

比例偏重的部分如下：

1. 跨章節的題目高達 7 題。有單選題 3、6、7，多選 8、11、13，選填 E。

2. 與三角函數有關題目有 5 題，比例甚高。考三角函數的題目為單選 1、選填 D。扇形面積與三角形面積為選填G，也算是三角函數範疇。單選 7 主要考y ax ³的對稱性，但也有考到三角函數的負角變換。多選13 主要考空間概念中二面角的觀念，部分選項與三角函數有關。

試題評析 單選題

第01 題：基本定義，只考ysinx 對邊除以斜邊。

第02 題：內積重要觀念： AB AC

   

 AB AD

．．，可推得C 點與 D 點在直線 AB 上的投影點相同。

第03 題：跨章節。將 OP



拆解成基底的線性組合xOC y OE

 



，接著應用線性規劃中的平面分割原理，

觀察出x y 需符合的不等式。 ,

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大考風向球

第04 題：矩陣基本運算，但不要算反矩陣A^¹與矩陣B ，可以大幅度降低計算量。

第05 題： 101 與 38 的估算與不等式的交集。

第06 題：跨章節。應用對數基本運算得到a b² 10，列舉a b² 10的情況，利用機率的基本定義就可以得到答案。

第07 題：跨章節。由y ax ³的對稱性可得P Q 兩點對稱於原點，接著由, ^cos

 

^{ }^ ^cos^^，

 

sin    sin 選出正確選項。

多選題

第08 題：跨章節。列舉第三顆骰子的 6 種狀況，刪除不符合的，條件中用到等差數列的定義。

第09 題：列舉與 L 夾 30的 4 個向量，應用內積的基本定義

   

a b  a b cos

．．選出正確選項。

第10 題：多項式因式分解即可選出正確選項。

第11 題：跨章節。由對數的基本定義得到 , ,a b c ，即可選出正確選項。選項與等比數列有關。

第12 題：表格判讀即可選出正確選項。

第13 題：跨章節。主要考空間概念中的四面體，前 4 個選項應用三角形全等與三角函數處理，選項(5) 考二面角，可用距離越近，視角越大快速得到答案。

選填題

第A 題：用等比數列即可得到調降三次的利潤，進而得出售價。

第B 題：機率基本運算。

第C 題：用線性規劃的平行線法即可得到極值會出現在端點上。

第D 題：用餘弦定理得到 BD ，接著算出箏形面積即可得到 AC 。

第E 題：跨章節。用空間直線參數式假設交點，利用垂直時內積為零得出答案。

第F 題：解析幾何，將等腰梯形的 4 個頂點適切地放到平面坐標系上，再利用拋物線的標準式

 

2 4

x  c y k 時，焦距為 c 。 第G 題：素養題。用半圓、1

3圓、△PQT 的面積即可得到月亮的面積。

結語

1. 選填第 A、G 題，以上題目是目前強調的素養導向試題，計算並不複雜，仔細理解題意後，冷靜思考，便能扎實得分。

2. 多選第 8 題，選填第 B 題，是以應用題的方式出排列組合與機率的考題。

3. 多選第 12 題是表格判讀與資料解析，題目並不困難，很容易就能選出正確選項。

4. 這個課綱明年是最後一次命題，兩年後是新課綱的第一屆考生，新舊課綱差異甚大。在此鼓勵看到這一份學測解析的高二學生，仔細熟練這兩年的學測考題，抓到難度的標準，並著重基礎概念，計算時多加小心，明年的學測獲得優異成績，口試、面試正常發揮，順利進入自己的理想學院校系就讀。

(7)

大考風向球

每個章節都會出題是必然的，但是比重上不免有所落差。數與式乃高中數學入門課程，與國中銜接的宣示意味較大，明年應該也是只出一題與絕對值或算幾不等式相關的問題。二次曲線逐年弱化，

明年應該也是只出一題基本觀念。數據分析這一門與統計學高度相關的學問，也是一題為主。考試不得使用計算機的現在，對數出題多所限制，也是一題為主。那麼接下來的16 題就是四分天下的局面。

首先是實力最強勁的線性代數領域（向量、矩陣），這囊括了第三冊與第四冊絕大部分的範圍，因 此出題量會最多。

接著是幾何領域（三角函數、直線、圓），而且幾何領域跟線性代數領域的相性非常好，師出同門，

算是同一領域也不為過，容易出成跨章節的多選題考題。今年的三角函數相關考題就是相當好的範例，

跨章節考題並不會出的很難，而是希望考生能統整各個章節學到的觀念。

然後是組合（指數、等比數列、等比級數、遞迴關係、排列、組合、機率），這一部分是整個第二 冊的主軸，各個章節的觀念彼此呼應，考題很難細分出自哪一個章節，因此也是跨章節考題的核心。

最後是多項式，延續國中時代二次多項式的學習，因此在第一冊第二章就早早登場。但是多項式的學習，要等到學完微積分，才能對高次方多項式函數的圖形有全盤的了解，才算完整。因此學測的多項式考題無法過度深入，一般是以兩題為主。

以下所列這八大取向的題目，往後（明年以及108 課綱施行以後）的考試，都是教學以及命題的重點，考生宜參考本次學測深奧幽玄的問題以及筆者靈機一閃的詳解，深入了解數學思考的真意。

1. 基本定義與觀念：單選 1，單選 4，多選 10，多選 11，選填 A，選填 B。

2. 重要概念：向量內積 AB AC AB AD

     

  ABCD

．．（單選2）。

向量基底線性組合

  

c  x a y b

（單選3）。

y ax 3的對稱性（單選7）。

物體遠近與視角大小的關係（多選13）。

線性規劃中，由平行線法的觀念可知極值必發生在端點上（選填C）。

餘弦定理（選填D）。

參數式（選填E）。

拋物線標準式與焦距的關係（選填F）。

3. 估算：單選 5。

4. 列舉：單選 6，多選 8，多選 9。

5. 生活情境：多選 8，選填 A，選填 B，選填 G。

6. 閱讀素養：多選 8，多選 12，選填 G。

7. 圖表解讀：多選 12。

8. 巧思妙解：單選 4，多選 13，選填 F。

未來命題趨勢

(8)

試題大剖析

第壹部分：選擇題（占 65 分）

（此份試卷解題係依據大學考試中心於 109 年 1 月 20 日所公告之答案為主）

說明：第1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項 者，該題以零分計算。

1

直角三角形的邊角關係

已知兩個直角三角形三邊長分別為3, 4,5 、 5,12,13 ， ,  分別為它們的一角，如下圖所示。試選出正確的選項。

(1)sin sin sin 30 (2) sin sin 30 sin (3) sin sin sin 30 (4)sin sin 30 sin (5) sin 30 sin sin。

出處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角 解題觀念：正弦函數ysinx 對邊除以斜邊。

答案：(2)

解析： 1 sin 30 0.5

  2 ， 3 sin 0.6

  5 ， 5

sin 0.38

 13 ，因此sin sin 30 sin ，

故選(2)。

一、單選題（占 35 分）

(9)

試題大剖析

2

空間向量的內積

空間中有相異四點A B C D ，已知內積 AB AC, , ,

   

 AB AD

．．。試選出正確的選項。

(1)AB CD

 

0

． (2) AC AD (3) AB



與CD



平行 (4)AD BC

 

0

． (5) , , ,A B C D 四點在同一平面上。

出處：龍騰版《數學 4》第 1 章空間向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 11 單元空間向量 解題觀念：向量內積相等時，表示兩者的投影點相同。

答案：(1)

解析：如圖， AB AC AB AD

   



  OC OE

。

(10)

試題大剖析

出處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 9 單元直線與圓龍騰版《數學3》第 3 章平面向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 10 單元平面向量 解題觀念：向量表示為基底的線性組合，與線性規劃的平面分割。

答案：(2)

解析：如圖。令 OP xOC yOE

  

 

，

P 落在直線 OE 右側的條件為x ， 0 P 落在直線 OD 左側的條件為x y  ， 0 P 落在直線 DE 下方的條件為y ， 1 故選(2)。

4

矩陣的運算 令 1 0

I 0 1

  

 ， 1 1 A 3 4

  

 ，B I A A   ^¹，試選出代表BA 的選項。

(1) 1 0 0 1

 

 

  (2) 6 0 0 6

 

 

  (3) 4 1 3 1

  

 

  (4) 1 1 3 4

 

 

  (5) 6 6 18 24

 

 

 。

出處：龍騰版《數學 4》第 3 章矩陣

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 13 單元矩陣 解題觀念：單位矩陣、反矩陣、矩陣乘法與加法。

答案：(5)

解析： ² 1 1 1 1 4 5 3 4 3 4 15 19 A         

     ，



¹



²

BA I A A  ^ A A A   I

1 1 4 5 1 0 6 6 3 4 15 19 0 1 18 24

       

       

       ，故選(5)。

(11)

試題大剖析

5

數線上的幾何

試問數線上有多少個整數點與點 101 的距離小於5，但與點 38 的距離大於 3？

(1) 1 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 10 個。

出處：龍騰版《數學 1》第 1 章數與式

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 1 單元數與式 解題觀念：根號的估算，與不等式的交集。

答案：(3)

解析： 101 10.  ， 38 6. ，令所求整數為 n。

如上圖，細線為 101 5  n 101 5 ，粗線為n 38 3 或n 38 3 。故 38 3  n 101 5 9. n 15. n 10,11,12,13,14,15，

符合的整數有6 個，故選(3)。

6

機率的定義與性質

連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為a b 。試問發生, ^log

 

^a² ^^log^b^{ 的機率為多少？}¹

(1)1

3 (2)1

2 (3)2

3 (4)3

4 (5)5 6。

出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數、對數函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 3 單元指數與對數函數龍騰版《數學2》第 3 章機率

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 6 單元機率

解題觀念：對數加法，與機率列舉法。

答案：(4)

(12)

試題大剖析

解析：^log

 

^a² ^^log^b^{ }¹ ^log

 

^{a b}² ^^log10

2 10

a b 。右圖中，斜線格子為a b² 10，白色格子為a b² 10。

因此所求機率為27 3 36  ， 4 故選(4)。

7

出處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 2 單元多項式函數龍騰版《數學3》第 1 章三角

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角 解題觀念：三次函數的點對稱性質，與三角函數的換算。

答案：(4)

解析：如圖，三次函數y  3x³以原點為對稱中心，

由對稱性可知P Q 兩點對稱於原點， , 因此Q 點坐標為



^^{cos , sin}^ ^ ^



^。

選項中只有選項(4)



^^{cos ,sin}^

 

^^



化簡後為



^^{cos , sin}^ ^ ^



^，

故選(4)。

(13)

試題大剖析

說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5 分；

答錯1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未 作答者，該題以零分計算。

8

邏輯、集合與計數原理

有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，

可得到獎金100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。

（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數

（B）三個點數由小排到大為等差數列

若已知有兩顆骰子的點數分別為1,3，且所得獎金為100 元，則未知的骰子點數可能為何？

(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6。

出處：龍騰版《數學 2》第 1 章數列與級數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 4 單元數列與級數龍騰版《數學2》第 2 章排列、組合

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 5 單元排列、組合 解題觀念：排列組合列舉法。

答案：(1)(2)

解析：三顆骰子點數為1,3,1，可得 100 元。僅符合(A)。

三顆骰子點數為1,3, 2 ，可得100 元。僅符合(B)。

三顆骰子點數為1,3,3，可得100 元。僅符合(A)。

三顆骰子點數為1,3, 4 ，可得0 元。(A)(B)都不符合。

三顆骰子點數為1,3,5 ，可得200 元。(A)(B)都符合。

三顆骰子點數為1,3,6 ，可得0 元。(A)(B)都不符合。

故選(1)(2)。

二、多選題（占 30 分）

(14)

試題大剖析

9

平面向量的內積

在坐標平面上，有一通過原點O 的直線 L ，以及一半徑為 2、圓心為原點 O 的圓 。 ,P Q 為 上相異2 點，且OP OQ 分別與 L 所夾的銳角皆為 30 ，試選出內積 OP OQ,

 

．之值可能發生的選項。

(1) 2 3 (2) 2 3 (3) 0 (4) 2 (5) 4 。

出處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 10 單元平面向量 解題觀念：向量內積的定義。

答案：(4)(5)

解析：如圖， ,P Q 為 , , ,A B C D 四點其中相異兩點，

因此POQ可能為60 、120 、180 ， 2 2cos 4cos

OP OQ

 

  POQ POQ

．，

4cos 60  ， 4cos1202    ， 4cos1802    。 4 故選(4)(5)。

10

 有一根介於 1 與 2 之間。 ⁰

出處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 2 單元多項式函數

(15)

試題大剖析

解題觀念：因式分解。

答案：(1)(4)

解析： ^{f x}

 

^



³^x²^¹



^x²^⁴



^。

11

對數

設a b c 為實數且滿足 log, , a1.1、logb2.2、logc3.3。試選出正確的選項。

(1)a c 2b (2)1 a 10 (3)1000 c 2000 (4)b2a

(5) , ,a b c 成等比數列。

出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數、對數函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 3 單元指數與對數函數龍騰版《數學2》第 1 章數列與級數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 4 單元數列與級數 解題觀念：對數換成指數，次方為有理數時的估算。

答案：(3)(5)

解析：a10^1.1，b10^2.2，c10^3.3，log 2 0.3010 10^0.3010  。 2 選項(1)(5)：^b^¹⁰^2.2 ^

 

¹⁰^1.1 ² ^^a²^，^c^¹⁰^3.3 ^

 

¹⁰^1.1 ³ ^^a³^，

因此a b c 的關係應為, , ac b ，而非² a c 2b，且a b c 為等比數列。 , , 選項(2)：a10^1.1，10 10 ¹10^1.110^1.3010 20，因此10 a 20。

選項(3)：c10^3.3，1000 10 ³10^3.3 10^3.3010 2000，因此1000 c 2000。選項(4)：b a ² 2a。

故選(3)(5)。

(16)

試題大剖析

12

一維數據分析

下表是2011 年至 2018 年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如2011 年總就業人口為 1,070.9 萬人，65 歲以上男性農業就業人口為69.1 千人。試根據表格資料選出正確的選項。

就業人口男性農業就業人口按年齡別分

年別總就業人口

（萬人）

農業就業人口

（萬人）

男性農業就業人口

（千人）

39 歲以下

（千人）

40-49 歲

（千人）

50-64 歲

（千人）

65 歲以上

（千人）

2011 年 1,070.9 54.2 386.3 67.6 85.4 164.2 69.1 2012 年 1,086.0 54.4 394.9 67.5 87.0 169.5 70.9 2013 年 1,096.7 54.4 391.5 66.6 83.9 171.3 69.7 2014 年 1,107.9 54.8 391.2 65.8 79.8 173.0 72.6 2015 年 1,119.8 55.5 403.1 71.7 76.9 181.3 73.2 2016 年 1,126.7 55.7 404.5 77.4 77.4 176.4 73.3 2017 年 1,135.2 55.7 405.1 73.9 78.1 178.3 74.8 2018 年 1,143.4 56.1 415.1 72.0 78.8 184.9 79.4 (1)從 2013 年至 2018 年，65 歲以上的男性農業就業人口逐年遞增

(2)從 2013 年至 2018 年，50 歲至 64 歲之男性農業就業人口逐年遞增

(3)上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五

(4)上表中，每一年 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口都少於 49 歲以下之男性農業就業人口 (5)就 65 歲以上之男性農業就業人口而言，2018 年比 2011 年增加了不到一萬人。

出處：龍騰版《數學 2》第 4 章數據分析

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 7 單元數據分析 解題觀念：表格判讀。

答案：(1)(3)

解析：選項(1)： 69.7 72.6 73.2 73.3 74.8 79.4     ，逐年遞增。

選項(2)：2015 年為 181.3 千人，2016 年為 176.4 千人，人數減少。

選項(3)：總就業人口都超過 1000 萬人，而男性農業就業人口都低於 50 萬人。

選項(4)：2011 年就不符合了，50 至 64 歲為 164.2 千人，49 歲以下為 67.6 85.4 153  千人。

選項(5)：增加了 79.4 69.1 10.3  千人。

故選(1)(3)。

(17)

試題大剖析

13

空間概念

如示意圖，四面體OABC 中，△ OAB 和△ OAC 均為正三角形，BOC  。試選出正確的選項。 30 (1) BC OC

(2)△ OBC 是等腰三角形

(3)△ OBC 的面積大於△ OAB 的面積 (4)CAB  30

(5)平面 OAB 和平面 OAC 的夾角（以銳角計）小於 30 。

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角龍騰版《數學4》第 1 章空間向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 11 單元空間向量 解題觀念：正弦定理、三角形面積等於1

2absinC 與二面角。

答案：(2)(4)

解析：選項(2)(4)：令 OA a 。△ OBC 與△ ABC 中， BO BA a  ， CO CA a  ，共用 BC ， 因此△OBC 與△ ABC 全等，且兩者皆為 30 -75 -75   的等腰三角形。

又CAB COB   。 30 選項(1)：由正弦定理：

sin 30 sin 75 sin 75 BC  OB  OC

  ，因此BC OC 。選項(3)：△ OBC 的面積為1 ²

sin 30

2a  ，△ OAB 的面積為1 ² sin 60 2a  ，因此△OBC 的面積小於△ OAB 的面積。

選項(5)：如圖，由視角的觀念：長度固定的木棒離眼睛越近，兩端與眼睛所構成的視角越大，故兩平面的夾角大於30 。選項(5)詳細說明：

令OA中點為 D ，所求兩平面的夾角為 BDC ，而BOC  。 30 在等腰三角形DBC 中， 3

DB DC  2 a。

在等腰三角形OBC 中， 3

OB OC  a 2 a。如圖所示，因此BDC   。 30

故選(2)(4)。

(18)

試題大剖析

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14-36）

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A

數列

網路賣家以200 元的成本取得某件模型，並以成本的 5 倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三

次後該模型的售價為元。

出處：龍騰版《數學 2》第 1 章數列與級數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 4 單元數列與級數 解題觀念：等比數列a_n  a r₁ ⁿ^¹。

答案：300

解析：成本為 200 元，一開始的售價為 1000 元，利潤為 800 元，

調降三次後利潤為

1 3

800 100 2

     元，售價為200 100 300  元。

B

機率的定義與性質

有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的機率各為1 2；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為1

3，不同色的機率為2

3。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為。（化為最簡分數）

出處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 6 單元機率 解題觀念：機率的樹狀圖。

答案：1 9

解析：黑黑黑的機率為1 1 1 1

2 3 3 18   ，白白白的機率亦同，

故所求機率為 1 1 18  。 2 9

○14 ○15 ○16

○17

○18

(19)

試題大剖析

C

線性規劃

設S 為坐標平面上直線 2x y 10被平行線x2y15 0 與x2y 所截的線段（含端點）。若0 直線3x y c  與 S 有交點，則 c 的最小值為。

出處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 9 單元直線與圓 解題觀念：線性規劃的極值發生在端點。

答案： 5

解析：由線性規劃中，平行線法的觀念可知， 3x y c  的極值必發生在端點上。

   

2 15 0

, 1,8 2 10

x y

A x y x y

  

  

  

 。

   

2 0

, 4, 2 2 10

x y

B x y x y

 

  

  

 。

以點^A

 

^1,8 ^代入^{3x y c}^{  ，可得}^c^{  。}⁵

以點^B

 

^4,2 ^代入^{3x y c}^{  ，可得}^c^¹⁰^。

故c 的最小值為 。 5

D

正弦定理、餘弦定理

平面上有一箏形ABCD ，其中AB BC 2，AD CD  ，2 BAD135。

則AC 。（化為最簡根式）

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角 解題觀念：餘弦定理，與三角形面積等於1

2absinC 。

答案：2 10 5

○19 ○20

○21 ○22 ○23

○24

(20)

試題大剖析

解析：由餘弦定理：BD²  2²2² 2 2 2cos135  2 4 4 10

    BD 10 。

△ABD 的面積為1

2 2sin135 1

2    ，箏形 ABCD 的面積為 2。

因此1 4 2 10

2AC BD  2 AC 10  5 。

E

空間直線方程式

^。

出處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 12 單元空間中的平面與直線 解題觀念：空間直線的參數式，與兩個向量垂直時內積為零。

答案：



^{  }^{3, 1, 2}



解析：^BC



^{ }



^{2, 2, 2}^{ }



^{2 1,1, 1}



^ ^



，直線BC 的參數式之一為 2

6 3 x t

y t

z t

  

   

  



，t  。

令交點P 的坐標為



²^{  }^t^{, 6} ^t^,3^{ ，則}^t



^AP



^{   }



^{1 , 13}^t ^t^,1^^t



_。

由於直線AP 垂直直線 BC ，所以AP BC

 

0

．



^{1 , 13}^t ^t^,1 ^t

 

^{2, 2, 2}



⁰

     ．   2 2t 26 2t 2 2t 0

         6t 30 0   ， t 5 5

t 代入



²^{  }^t^{, 6} ^t^,3 可得交點 P 的坐標為^t

 

^{   。}^{3, 1, 2}



○25 ○26 ○27 ○28 ○29 ○30

(21)

試題大剖析

F

拋物線

坐標平面上有一條拋物線 ，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱軸與  的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為4、下底為 6、高為 14，則 的焦距為。（化為最簡分數）

出處：龍騰版《數學 4》第 4 章二次曲線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 14 單元二次曲線 解題觀念：解析幾何，從拋物線標準式計算焦距。

答案： 5 56

解析：如圖，定坐標^A

 

^3,0 ^，^A



^^3,0



^，^B



^2,14



^，^B



^^2,14



^，

令拋物線 的方程式為^{y a x}^



^代入可得¹⁴^{ }⁵^a^{ }^a ^₅¹⁴^，

拋物線 的方程式為^y^ ^₅¹⁴



^x²^{ }⁹



^x² ^₁₄^⁵^y^{ ，}⁹

焦距為1 5 5 4 14 56

   。

○31

○32 ○33

(22)

試題大剖析

G

廣義角與極坐標

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧QRT 是一個以O 點為圓心、QT 為直徑的半圓，QT 2 3。圓弧QST 的圓心在 P 點，PQ PT  。圓弧 QRT 與圓弧 QST 所圍出的灰色區域2 QRTSQ 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 a  b，其中 為圓周率，a 為有理數，b 為整數，則 a （化為最簡分數），b 。

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角 解題觀念：扇形面積，與三角形面積。

答案： 1

a ，6 b 3

解析：△ PQT 為等腰三角形，OQ OT  3，因此△OPQ 與△ OPT 為全等的直角三角形。

直角三角形OPQ 中，PQ ，2 OQ 3，

因此OP ，且△ OPQ 為 30 -60 -901    的直角三角形，QPT 120 。扇形PQST 的面積為1 ² 4

3 2 3

 

  ，

半圓QRT 的面積為1 ² 3 2 3 2

 

  ，

△PQT 的面積為1

2 3 1 3 2   ，因此斜線區域面積為3 4 1

3 3

2 3 6

       ，

故 1

a ，6 b 。 3

○34

○35 ○36

(23)

試題大剖析

參考公式及可能用到的數值

 

cos A B cos cosA Bsin sinA B，

 

^tan ^tan

tan 1 tan tan

A B

A B A B

  

 。

3. △ ABC 的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A B C  R（R 為△ ABC 外接圓半徑）；

△ABC 的餘弦定理：c²a²b²2abcosC。 4. 一維數據 X ：x₁, x₂, …, x ， _n

算術平均數



1 2



1

1 1 ⁿ

X n i

i

x x x x

n n





   ^ 



^，

標準差

 

²

1

1 ⁿ

X i X

i

n x

 





 ² ²

1

1 ⁿ

i X

i

x n

n 



  

相關係數

  

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 



 





，

迴歸直線（最適合直線）方程式 , Y

 

Y X Y X

X

y  r  x 

    。

6. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,  3.142。 7. 對數值：log 2 0.3010₁₀  , log 3 0.4771₁₀  , log 5 0.6990₁₀  , log 7 0.8451₁₀  。 8. 角錐體積 1

 底面積3  高。