牛頓運動定律
F＝ma 何時正式出現
姚珩
1* 李秉書
2 1國 立 臺 灣 師 範 大 學 物理 系 2臺 北 市 立 大 理 高 級 中 學壹、前言
古 典 物 理 最 主 要 與 最 普 遍 的 定 律 可 能 就 是 牛 頓 第 二 運 動 定 律 ， 國 內 外 的 中 學 與 大 學 教 科 書 皆 將 它 寫 成 F=ma（ 國 立 台 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 中 心 ，1995，88 頁 ； Halliday, Resnick & Walker, 2010, p. 91）， 但 檢 視 牛 頓 （I. Newton 1642-1727） 的所 有 著 作 ， 從 未 發 現 此 關 係 式 。 大 部 分 學 者 也 都 認 同 該 寫 法 並 非 出 自 牛 頓 之 手 ， 歷 年 來 有 不 少 專 家 皆 主 張 該 表 示 式 最 先 是 由 瑞 士 數 學 家 歐 拉 （L. Euler, 1707-1783） 在 1736 年 所提 出（Jammer, 1997, pp. 88-89； Sharm, 2014）， 然 而 我 們 研 究 發 現 ， 事 實 並 非 如 此 ， 那 麼 F=ma 到 底是 何 時 、 又如 何 出 現 在 歷 史 舞 台 上? 這 是 本 篇 欲 要 呈 現 的 主 旨 。貳、力與牛頓運動定律
牛 頓 是 古 典 物 理 學 的 奠 基 者 ， 他 開 啟 了 物 理 學 極 為 有 效 的 思 考 方 法 ， 並 解 決 了 天 文 與 地 表 上 的 許 多 自 然 現 象 。 科 學 史 家 R. Westfall（1924-1996） 稱： *為本 文 通 訊 作 者 通 過 在 物 質 和 運 動 的 基 礎 上 ， 加 上 一 個 新 的 範 疇 力，牛頓使數學力學 和 機 械 論 哲 學 彼 此 協 調 。 牛 頓 把 力 放 在 一 個 精 確 的 物 理 背 景 中 ， 在 其 中 力 通 過 它 產 生 的 動 量 加 以 計 量 。 這 些 力 都 由 數 學 精 確 地 描 述 。（ 韋 斯 特 福 爾 ，1971/2000, p152） 牛 頓 大 膽 創 造 使 用 了 「 力 」 概 念 來 詮 釋 運 動 現 象 ， 而 力 概 念 的 提 出 與 澄 清 更 是 促 成 古 典 物 理 學 獲 得 重 大 成 果 的 轉 捩 點 （Westfall, 1977/2001）。 什 麼是 力 呢? 在 他 的 巨 著《 自 然 哲 學 的 數 學 原 理 》 後人 稱 為 古 典 物 理 的 聖 經 中寫道： 定義4：外力（impressed force）是施予在物 體的作用，可改變其處於靜止或沿一 直線作等速度運動的狀態。（Newton, 1687/1846, pp. 73-74） 也 就 是 說 「 外 力 」 或 力 並 不 涉 及 推 、 拉 、 壓 縮 與 碰 撞 ， 只 要 當 物 體 運 動 「 狀 態 」 改 變 ， 我 們 便 可 說 有 力 作 用 在 物 體 上 。 而 力 與 運 動 狀 態 改 變 的 量 化 關 係 ， 則 由 他 所 寫 下 的 第 二 運 動 定 律 來 描 述 ： 定 律 II ： 運 動 的 變 化 與 外 加 的 運 動 力 (motive force)成比例；且運動的變化是沿著外力的直線方向 上。(Newton, 1687/1846, p. 83) 在 此 ， 運 動 的 變 化 ， 指 的 就 是 動 量 的 變 化 （ 邱 韻 如，2012）。若 以 現 今 的 符 號 表 示 ， 第 二 運 動 定 律 最 初 的 原 意 應 該 比 較 接 近 於 動 量p 的 變 化 率與 外 力 F 成正 比 ， 即 dp F dt
在 《 原 理 》 中 第 二 運 動 定 律 之 前 ， 及 重 要 的 八 個 定 義 之 後 ， 牛 頓 曾 加 上 底 下 的 說 明 ： 運 動 量 來 自 於 速 度 與 質 量 ； 運 動 力 來 自 於 加 速 度 與 質 量 的 結 合 （motive force arises from the accelerative force taken jointly with the same quantity of matter）。（Newton, 1687/1846, p. 75） 雖 然 上 述 第 二 句 話 與 後 來 大 家 所 孰 悉 的 第 二 運 動 定 律 的 表 示 很 相 似 ， 但 畢 竟 他 從 未 指 出 力 、 質 量 與 加 速 度 之 間 的 等 號 關 係 ， 也 未 以 符 號 表 示 ， 更 未 提 及 彼 此 方 向 如 何 相 關 。 在 《 原 理 》 的 序 言 中 牛 頓 寫 道 ：「 我 奉 獻 這 一 作 品 ， 作 為 哲 學 的 數 學 原 理 ， 因 為 哲 學 的 全 部 困 難 似 乎 在 於 從運動的 現 象 去 研 究 自 然 界 中 的 力 ， 然 後 從 這 些 力 去 說 明 其 他 自 然 現 象 。 」( 牛 頓 ， 1687/2005)。「力 」概 念 是 他建 構 出 整 個牛 頓 物 理 學 的 根 本 骨 架 ， 也 是 一 種 全 新 的 心 智 創 見 ， 也 可 說 沒 有 力 概 念 的 使 用 ， 就 沒 有 牛 頓 物 理 學 。
參、伐立農以微分符號呈現運動定
律
第 二 運 動 定 律 在 原 文 中 是 以 一 種 文 字 敘 述 來 呈 現 ； 即 使 在 運 算 時 ， 牛 頓 也 從 未 以 數 學 等 式 來 表 示 他 的 第 二 定 律 ， 他 總 是 以 幾 何 或 比 例 的 關 係 來 描 述 。 首 次 將 牛 頓 第 二 運 動 定 律 以 近 代 數 學 式 來 描 述 的 人 是 法 國 數 學 家 伐 立 農 （ P. Varignon, 1654-1722）。他 大 力 推 展 微 分 數 學，於1700 年 首 先 引 用 同 為 歐 洲 大 陸 上 的 德 人 萊 布 尼 茲 （G. Leibniz, 1646-1716）的 微 分 符 號 ， 將 速 度 v 與 加 速 度 y（ 尚 未使 用 現 今 流行 的 符 號 a） 分 別表 示 為 位 移 x 與 速 度 v 對 時 間 t 的 導 數，即：（Varignon, 1700, p. 23） dx v dt dv y dt 接 著 在1707 年，伐立 農 統 合 了海 峽 另 一 邊 的 牛 頓 定 律 ， 最 早 寫 下 力 f 或 φ 與 加 速度 之 數 學 關 係 式 ：（Varignon, 1707, p. 268） 1. / / f du dt dv d (對於一特定物體 A，其中 u 為物體 A 之速度；以及 對於另一特定物體B，其中 v 為物體 B 之速度，θ 為時間) 2. f : mdu dt/ :dv d/ (對於質量分別為 m、μ 之兩不同物體 A、B 之受力比) 他 認 為 當 討 論 個 別 物 體 A、 B 的運 動 時， 只 需 考 慮 各 自 物 體 的 加 速 度 du/dt、 dv/dθ就 足 夠 了 。 若 要 進 一 步 對 不 同 物 體 A、 B 所 受 的 運 動 力 同 時 進 行 比 較 時 ， 則 各 自 的 質 量 m、 μ 也 應該 要 加 以 考量 。 在 此 ，伐 立 農 所 提 出 的 「
f
正 比 於 mdu/dt」 之 寫 法 ， 可 說 是 最 早 出 現 的 第 二 運 動 定 律 之 數 學 表 示 式 。肆、白努利正式將運動定律表示為
F = ma
1736 年 ，伐 立 農的 摯 友 瑞 士數 學 家 白 努 利 （J. Bernoulli, 1667-1748）寫 下 ： （Bernoulli, 1736, p. 6） 為求更好的了解，必須視運動力為一絕對 量，因為它是由物體質量，與加速度所組 成。亦即若以f 表示運動力，m 表示物體 質量，a 表示加速度，則我們有 f = ma (1) 這 便 是 歷 史 上 首 先 清 楚 地 以 F=ma 正 式表 示 牛 頓 第 二 運 動 定 律 的 出 處 。 由 於 此 式 清 晰 、 簡 潔 ， 之 後 便 一 直 成 為 教 科 書 中 所 採 用 第 二 運 動 定 律 的 標 準 寫 法 ， 並 對 以 後 力 學 的 運 算 及 發 展 有 很 大 的 推 促 作 用 ， 影 響 深 遠 。 牛 頓 本 人 並 不 需 對 力 定 義 任 何 單 位 ， 便 可 發 現 許 多 重 要 的 自 然 現 象 ， 後 人 為 了 運 算 方 便 與 精 確 要 求，才 在1861 年 利 用 定 律 式(1) 首 次 訂 出 力 的 單 位 達 因 (dyne)(Rossiter, 1879)，距 離牛 頓 提 出 第二 運 動 定 律 ， 約 已 近 兩 百 年 。 隨 後 在 1948 年 於 第9 屆 國 際度 量 衡 會 議中(The General Conference on Weights and Measures)採 用 了Newton 為 力 的 國 際 標 準 單 位 (SI Units)， 並 開 始 沿 用 至 今 。 此 外，應 注 意 的 是 第 二 運 動 定 律F=ma 左 邊 的 F， 並 非如 教 科 書 中常 說 的 固 定推 力 或 拉 力 ， 牛 頓 所 討 論 的 力 常 是 指 地 表 物 體(如 蘋 果 )受 到 地 球 、 或 行 星 受 到 太 陽 作 用 的 向 心 力 ， 也 就 是 一 種 物 體 與 力 心 距 離 的 位 置 函 數 ， 他 從 未 提 過 機 械 或 人 所 施 予 物 體 的 向 上 拉 力 或 推 力(Newton, 1687/1846, p. 83)。
伍、歐拉所表示的運動定律
目 前 幾 乎 所 有 文 獻 皆 沿 襲 科 學 史 家 M. Jammer (1915-2010) 的 說法，認 為 f=ma 最 早 是 由 歐 拉 在1736 年的 論文─ Mechanica 中 所 寫 下(Jammer, 1997, pp. 88-89)，但檢 視 該 原 始 著 作 (Euler, 1736/2008)，全 書 皆 無 (1)式 的寫 法 ， 僅有 較 為 接 近的 dc = n pdt/A 其 中 c, t, A, p 分 別 代表 速 度、時 間、質 量、 與 力 ，n 為 比 例常 數 ， 因 著不 同 的 測 量單 位 ， 而 會 有 所 不 同 。 如 果 我 們 自 己 將 力p 以 F 代 表，質 量 A 以 m 代 表，並 利 用 速度 c (或 v)對 時 間 的導 數 為 加 速 度 a， 則 可將 其 改 寫 成 現 代 的 相 關 式 ： F = (1/n)m dv/dt = (1/n) ma 但 斷 然 不 是 F=ma 的 形 式 。 隨 後 歐 拉 於 1750 年探 討 在 三維 空 間 中 質 量 為 M 物 體所 受 之 力，將 它 沿 x-方向 之 分 量 P 與 位 移變 化 的 關 係表 示 為 (Euler, 1750；Sharm, 2014) 2MddxPdt2若 我 們 將 其 改 寫 ， 及 利 用 位 置 x 對 時 間的 二 次 導 數 為 加 速 度 a， 可 得分 力 P 或 F 為 2 2 2 / 2 F P Md x dt Ma 依 然 無 法 得 到F=ma 的 結 果。1765 年 歐拉 在 介 紹 剛 體 轉 動 慣 量 時 ， 曾 將 剛 體 運 動 分 解 成 質 心 的 直 線 運 動 及 相 對 轉 動 ， 而 提 出 了 質 心 的 運 動 方 程 式(Euler, 1765) / 2 F Ma g 其 中2g 為 比 例 常數 。 最 後 在 1775 年 ， 歐 拉 藉 著 六 個 聯 立 方 程 式 ， 試 著 建 立 起 任 一 物 體 動 力 學 的 普 遍 方 程 式(Euler, 1775)，其 中 分 力P 遵 循 2 / 2 P
dMd x dt 我 們 若 將 質 量 積 出
dM M，可 以 得 到 與 F=Ma 相 似 的 結 果 ， 但 這 是 經 過 了 改 寫 ， 而 非 直 接 出 自 歐 拉 。 回 顧 歐 拉 之 著 作 ， 他 終 其 一 生 均 未 正 式 寫 出F=ma 的 確 定關 係 ，因 此 我 們 應將 昔 日 多 人 對 第 二 運 動 定 律 的 代 數 式 出 自 於 歐 拉 此 說 法 ， 更 正 為 ： 牛 頓 第 二 運 動 定 律 的 數 學 形 式，f 正 比 於 mdv/dt 或 f=ma，分 別 是 由 伐 立 農 及 白 努 利 在 1707 年 與 1736 年 ， 最 先 寫 下 。陸、結論
現 今 每 本 力 學 教 科 書 中 常 使 用 的 牛 頓 第 二 運 動 定 律 式 F=ma， 並 非 是 由 牛 頓 在 《 原 理 》 一 書 中 所 寫 出 ， 第 二 運 動 定 律 最 初 的 原 意 應 該 較 接 近 於 動 量 變 化 與 外 力 成 正 比 ， 即 F=dp/dt。 約 在 《 原 理 》 一 書 發 表 50 年之 後 ， 才 由 白 努 利 於 1736 年 最 早 清 楚 寫 下 f=ma，且 此 式 從未 出 現 在 歐拉 著 作 裡。大 家 普 遍 認 為 是 由 歐 拉 在 1736 年的 論 文 中 提 出F=ma 的 觀點，有 所 謬誤，應 予 避免。 由 於 學 子 對 此 式 耳 熟 能 詳 ， 且 不 斷 在 使 用 ， 值 得 教 師 們 強 調 其 正 確 出 處 ， 與 注 意 它 和 原 初 定 律 式 F=dp/dt 之 異 同。參考文獻
牛 頓 （Newton, I. [1687], 2005） ：自 然 哲 學 的 數 學 原 理。台 北：大 塊 出 版 社。 邱 韻 如（2012）：牛頓有 說 過 F = ma 嗎 ？ 科 學 月 刊 ，43(3)， 174-175。 韋 斯 特 福 爾（Westfall, R. [1971], 2000）： 近 代 科 學 的 建 構機械論與力學。 上 海 ： 復 旦 大 學 出 版 社 。 國 立 台 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 中 心（1995）： 高 級 中 學 物 理 第 一 冊 （ 吳 大 猷 主 編 ） 。 台 北 市 ： 國 立 編 譯 館 。 Bernoulli, J. (1736). Recherches physiques etgéométriques sur la question: Comment se fait la propagation de la lumière. Paris:
Imprimerie Royale.
Euler, L. (2008). Mechanica (I. Bruce, Trans.). from http://www.17centurymaths.com/ contents/mechanica1.html.(Original work published 1736).
Euler, L. (1750). De´couverte d’un nouveau
principe de Me´canique, Me´moires de l’
acade´mie des sciences de Berlin, 6, Berlin: Berlin Academy, 185–217. Euler, L. (1765). Theoria motus corporum
solidorum seu rigidorum ex primisnostrae cognitionis principiis stabilita, ad omnes motus, qui in hujusmodicorpora cadere possunt, accommodata Greifswald: Rostochii et
Gryphiswaldiae litteris et impensis, A. Rose, Germany.
Euler, L. (1775). Nova methodus motum
corporum solidorum rigidorum determinandi. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 20, 208-238.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2010).
Fundamentals of Physics (8th ed.). New
Jammer, M. (1997). Concepts of Mass in
classical and modern physics. New York:
Dover.
Newton, I. (1846). Newton’s Principia: The
Mathematical Principles of Natural Philosophy (A. Motte, Trans.). New
York: Daniel Adee. (Original work published 1687).
Rossiter, W. (1879). Dictionary of Scientific
Terms, London: William Collins,
Sons/Coy, Lond, p. 109.
Sharm, A. (2014). Isaac Newton, Leonhard
Euler and F=ma. Physics Essays, 27(3),
503-509.
Varignon, P. (1700). Maniére générale de
déterminer les Forces, les Vitesses, les Espaces & les Tems. In Académie Royale des Sciences (Ed.), Histoire de
l'Academie royale des sciences-Avec les memoires de mathematique & de physique, Année 1700, 22-27. Paris: Jean Boudot.
Varignon, P. (1707). Des mouvements variés à
volonté, comparés entre eux et avec les uniformes. In Académie Royale des Sciences (Ed.), Histoire de l'Academie
royale des sciences-Avec les memoires de mathematique & de physique, Année 1707, 222-275. Paris: Gabriel Martin.
