利用動態數據做系統之監控偵錯與數據調諧(1/3)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

利用動態數據做系統之監控偵錯與數據調諧(1/3)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2214-E-002-022- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學化學工程學系暨研究所 計畫主持人： 黃孝平 計畫參與人員： 湯永堂、姜家豪 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 5 月 31 日

利用動態數據做系統之監控偵錯與數據調諧(1/3)

Monitoring, fault detection and data reconciliation using dynamic data (1/3)

一、 摘要 本研究的目的在於演伸次空間識別方法，簡化複雜的次空間識別運算，識別出系統的 脈衝響應序列，並且設計出閉環架構，來執行此方法。此外，繼電器回饋測試亦是常用的 閉環識別方法，本計畫提出一個利用繼電器回饋測試的新識別方法，可以更準確的得到程 序模式。在識別過程中若有未知干擾進入系統，也能夠藉由一自動調節機制來消除此干擾 的影響。此兩種方法皆可應用於動態程序中的錯誤偵測與判定。 關鍵詞:次空間識別法、脈衝響應序列、閉環架構、繼電器回饋測試 Abstract

In this project, a simplified subspace algorithm is developed to identify the impulse response sequence of the process. In addition, a closed-loop structure has been designed for the identification. On the other hand, the relay feedback test is also a popular identification method under closed-loop. A novel approach using relay feedback test for identification is proposed in this project. During the identification, an automatic adaptive mechanism is presented to eliminate the effect of unknown disturbance. Both of these identification methods are useful in the monitoring and diagnosis of dynamic systems.

Keywords: subspace identification, impulse response sequence, closed-loop, relay feedback test

二、 緣由與目的

利用動態數據做系統之監控偵錯與數據調諧的首要工作項目即是發展閉環架構下之 動態模式識別方法。在動態系統的模式識別研究方面，一個發展非常完整的方法為 Prediction Error Minimization (PEM) (Ljung, 1999)，此研究在 70 年代及 80 年代以 Ljung 為 先驅，由於其穩固的理論基礎及軟體工具的完成，PEM 成為目前廣泛使用的方法。然而， 應用此類方法需要事先知道某些系統的資訊，例如系統階數(order)與時延(delay)等等，使 此方法受到限制。此外對於多變數的結構中，PEM 需要特殊的參數及 nonconvex 的最佳 化。因此在 90 年代，系統識別有了另一個進展，稱之為次空間方法(subspace approach)， 它正可解決 PEM 於上述所面臨之問題。首先 Larimore(1990)根據統計的理論，使用大量的 主角度(principle angles)及主方向(principle directions)提出方法，稱之為 CVA (canonical variate analysis)，接著 Verhaegen(1994)提出的 MOESP(multi-variable output-error state space) 及 Van Overschee 和 De Moor(1994)所提出的 N4SID(numerical algorithm for subspace state space identification)則是根據幾何和線性代數的觀念發展而成。次空間演算法提供了以下幾 個優點 : (i) 有關系統的階數及控制性等之先前資訊不需要知道 (ii) 沒有反覆運算及非線性最佳化的部份存在 (iii) 且不在意初始值是否為零 次空間識別演算法針對線性系統的識別成效相當不錯，然而，次空間識別演算不論在

運算過程或數學符號的運用都非常複雜。由於本研究所欲得到之系統模式為轉移函數形 式，因此需要簡化此次空間識別過程，在運算中找出各個符號特性，將步驟化簡，並達到 相同識別效果。

此識別方法有一個前提限制，當識別用之輸入訊號為白色隨機雜訊(white random noise) 時，才可以得到準確的結果。若在系統開環的情況下識別，則我們可以直接輸入白色隨機 訊號，然而，對於評估一個正在運作中的控制系統，開環測試實際上並不可行，理想的情 況應該是維持系統在閉環路下來進行識別的工作。為此目的，必須在閉環路系統中產生類 似隨機訊號的輸入。 除了次空間識別演算法之外，另一種常用的閉環路模式識別方法為繼電器回饋測試。 以往利用此方式來估計程序之等效時延比較困難，或是結果有相當程度的誤差，因此本計 畫提出一個新的方法，利用繼電器回饋測試的資料，可以準確的來估計程序之等效時延， 並且計算出其他之模式參數。 在模式識別的同時，難免會有一些未知的干擾進入系統，這將會使識別的準確性大幅 降低，因此，如何排除這些未知干擾的影響也是本計畫的研究重點之一。 三、結果與討論 次空間(subspace)識別演算法

本研究擬使用之模式識別方法乃是根據次空間識別演算法(N4SID, Van Overschee and De Moor, 1994)之觀念演伸簡化而來。主要的想法為，利用過去的輸入、輸出值以及未來的 輸入資料來預測未來的輸出值，為此目的，將觀測得到之輸入、輸出資料排列成如下之漢 可矩陣(Hankel matrix)形式： 過去輸入 (0) (1) ( 1) (1) (2) ( ) ( 1) ( ) ( 2) p u u u j u u u j U u i u i u i j −       =    _{− + −}    L L M M O M L (1) 過去輸出 (0) (1) ( 1) (1) (2) ( ) ( 1) ( ) ( 2) p y y y j y y y j Y y i y i y i j −       =    _{− + −}    L L M M O M L (2) 未來輸入 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( ) (2 1) (2 ) (2 2) f u i u i u i j u i u i u i j U u i u i u i j + + −    _{+ + +}    =    _{− + −}    L L M M O M L (3)

未來輸出 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( ) (2 1) (2 ) (2 2) f y i y i y i j y i y i y i j Y y i y i y i j + + −    _{+ + +}    =    _{− + −}    L L M M O M L (4) 因此，預測之未來輸出可由下式來表示： ˆ p f p p f p u y f U Y Y U       = Θ_ Θ Θ _{ }     (5) 上式之 p p f u y Θ Θ Θ   為參數矩陣，Θup、 p y Θ 與Θf 可藉由將 _ˆ 2 ||Yf −Yf || 最小化而得到，也 就是解最小方差法的問題，其解為： 1 ( ) p p f f T T u y Y X XX − Θ Θ Θ =   其中 p p f U X Y U     =_{ }     (6) 藉由這樣的演算法，應該可以改善傳統利用最小方差法來識別脈衝響應序列時，因為矩陣 維度過大而面臨到矩陣反轉換的問題。由此方式解出之Θf 為一個下三角Toeplitz矩陣(lower

block triangular Toeplitz matrix)，具有如下之形式：

1,1 1,2 1, 1 2,1 2,2 2, 2 1 ,1 ,2 , 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f f f i f f f i f f f f i i i i i i z z z z z z θ θ θ θ θ θ θ θ θ − −    _{  }  _{  }  _{  } Θ =_ =     _{  }    _{  } L L L L L M M O M M M M O M L L (7)

事實上，根據N4SID演算法，可以得到程序之狀態空間(state-space)模式(A,B,C)，經觀察後

發現一個特殊現象，式(7)中之zi與CAi-1B相等，而系統之脈衝響應序列與狀態空間模式具 有如下之關係： 1 ( ) i 0,1, 2, 3, h i =CA B− i= L (8) 因此，我們可以得到一個結論，經由上述方法求出之Θf ，反向取其最後一列之元素即為系 統之脈衝響應序列。得到脈衝響應序列之後，系統可表示為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) (0) ( ) k i k p y k h k i u i h p u k p h p u k p h u k = − =

∑

− = − + − − + + +L ₍₉₎ 為了方便應用，接下來要將其轉換成低階轉移函數模式。程序之穩態增益為： ( ) p i k =

∑

h i ₍₁₀₎ 若將系統簡化為FOPDT模式，脈衝響應序列在一段時間(時延效應消失)後存在如下式之關 係：

( )

(

1)

T

h i

e

h i

τ

φ

−

= =

−

(11) 由上式可計算出時間常數τ ，而時延θ可由下式求出： 0 ( ) 1 p y t dt k θ = ∞_ − _ −τ  

∫

(12) 若要將系統簡化為SOPDT模式，此時，脈衝響應序列在一段時間後存在如下式之關係： 1 2 ( ) ( 1) ( 2) h i =φh i− +φ h i− 其中 1 2 1 2 1 2 T T T T e e e e τ τ τ τ φ φ − − − − = + = (13) 而時延為： 1 2 0 ( ) 1 p y t dt k θ = ∞_ − _ − −τ τ  

∫

(14)

此脈衝響應序列的識別方法必須在輸入訊號為白色隨機雜訊(white random noise)時，才

可以得到準確的結果。然而，對於評估一個正在運作中的控制系統，理想的情況應該是維 持系統在閉環路下來進行識別的工作。在閉環路系統中產生類似隨機訊號的輸入，可由如 圖一所示之架構來達成。

圖一 閉環路模式識別架構

在圖一中，加入一PRBS(pseudo-random binary sequence)訊號於控制器輸出u_c上，此PRBS

訊號之大小必須足夠大，以致可以壓制過控制器輸出訊號，使得該PRBS訊號之正負號不

會受到u_c的影響，然後再通過一個繼電器(relay)，將訊號的大小限制於+h₁與−h₂之間，如

此一來，真正進入程序的訊號 u 就是一個大小為+h₁與−h₂之PRBS訊號，我們便可根據 u 與

y來識別程序Gp之脈衝響應序列，進而得到其簡化低階模式。

此識別方法亦可延伸至多環路系統中，藉以識別每個環路之等效開環模式(effective

open-loop process，EOP)。以2 2× 系統為例，其類比於圖一之識別架構如圖二所示，識別之

圖二 2 2× 系統之閉環路模式識別架構 使用次空間識別演算法在各種程序(包含 SISO、MIMO)，以一個正常訊號通入真實程 序G，得到正常的輸出值，有效利用這一組數據來識別此真實程序 G ，獲得最佳的模式， 即系統參數A,B,C,D。經由次空間演算法，可獲得系統參數(A,B,C,D)，及程序輸出及模式輸 出差，繪出及計算程序及模式的輸出的數值差作比較，如圖三所示，可得到不錯之結果。 SISO: _{1 2 1} 2 3 1 u s s y + + = (15) WB:





































+

−

+

+

−

+

=













− − − − 2 1 3 7 3 2 1

1

4

.

14

4

.

19

1

9

.

10

6

.

6

1

0

.

21

9

.

18

1

7

.

16

8

.

12

u

u

s

e

s

e

s

e

s

e

y

y

s s s s (16) OR:                           + + + + + − + − + − + + − + − + =           − − − − − − − − − 3 2 1 5 . 3 4 . 9 2 . 9 2 . 1 3 5 . 6 5 . 3 6 . 2 3 2 1 ) 1 8 . 18 )( 1 89 . 3 ( ) 1 61 . 11 ( 87 . 0 1 9 . 10 2 . 46 1 15 . 8 68 . 34 1 09 . 7 01 . 0 1 5 36 . 2 1 25 . 3 11 . 1 1 06 . 9 0049 . 0 1 64 . 8 61 . 0 1 7 . 6 66 . 0 u u u s s e s s e s e s e s e s e s e s e s e y y y s s s s s s s s s (17)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 SISO y y yn 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −100 −50 0 50 y WB y1 y2 y1n y2n 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −50 0 50 100 150 y OR(3*3) y1 y2 y3 y1n y2n y3n 圖三 程序和模式的輸出差異 繼電器回饋測試法 在繼電器回饋測試中，繼電器輸出之高度為+h與−h，可量測到輸出訊號週期性震盪之 最大高度A以及震盪週期P_u，進一步可由下式估計出程序之極限增益與極限頻率： 4 2 ; cu u u h k A P π ω π = = (18) 所謂等效時延θ乃是指在FOPDT或SOPDT模式中之時延，用來近似高階程序之效應。在 繼電器回饋測試中，等效時延可由兩個量測的數值來代表其效應，即A_θ A與θ Tp，其中Tp 為輸出由設定點到其最大高度所需時間，A_θ為輸出由設定點經過一段時間θ後所到達的高 度。在一個 SOPDT 程序中，此兩個數值為τ (= /τ θ)與ζ 的函數，因此，為了尋求此函數 關係，我們針對各種SOPDT程序來進行模擬，其中使用之SOPDT程序涵蓋廣大範圍之τ 與ζ ，並且將此函數關係訓練成神經網路以方便使用，亦即只要輸入A_θ A與θ Tp，就可計 算出與之對應的τ 與ζ 。 對於一個SOPDT程序， ( ) _{2 2} 2 1 s p p k e G s s s θ τ τζ − = + + ，在極限頻率時有如下式之關係

1 2 2 2 tan 1 u u u ω τζ ω θ π ω τ −   + _{ }= −   (19)

(

_{2 2}

)

2 _{2 2 2} 1 1 4 p cu u u k k ω τ ω τ ζ = − + (20) 利用這個關係，估計程序等效時延的步驟如下： 1. 以程序之真正時延θo 為θ之初始猜值，θo 可由輸出訊號讀出。 2. θ給定之後，由輸出訊號可得到A_θ A與θ Tp，將其輸入神經網路可計算出

τ

與ζ ，然 後將θ、τ 與ζ 代入式(21)檢查是否滿足，若不滿足，則增加θ直到Tp為止。 3. 當某一個θ使得式(21)滿足時，該θ即為SOPDT程序之等效時延。 當估計完成後，同時求解式(21)與(22)可得到

τ

與ζ 如下：

( )

( )

( )

1 cos sin 2 1 cos p cu u u p cu u p cu u k k k k k k ω θ τ ω ω θ ζ ω θ + = = + (21) 若程序之ζ 大於0.707，則該程序也可以表示為FOPDT模式， ( ) 1 s p p k e G s s θ τ − = + ，其中：

(

)

2 1 2 1 tan 1 u u u u K K τ ω π θ ω − − = − − = (22) 未知干擾進入之排除 在上述兩種識別過程中，假設繼電器之輸出訊號為對稱，當系統有負荷干擾進入時， 系統之輸出訊號會變成不對稱，此時可在繼電器的輸出訊號上加入一偏差值u_b，目的為使 系統之輸出訊號恢復成對稱，如此一來便可消除為知干擾的影響，使模式識別的工作順利 進行。此繼電器的偏差值可以是輸出y或誤差 e 的函數，即： ( , ) b u = f y e (23) 舉例來說，當y位於設定點之上的面積遠大於設定點之下的面積時，則應該減少繼電器之 正輸出值或增加繼電器之負輸出值，即u_b應為負值；反之亦然，自動化調整繼電器的高度 來消除負荷的影響，可由下式表示此關係： ( ) T b a u = −k

∫

y t dt (24) 其中 ka是一常數，用來改變每一次調整量的大小，此自動適應調節機制可使得系統之輸出 訊號漸漸恢復成對稱訊號。 舉例而言，假設一個高階程序為

(

)

(

)

2.2 2 2 ( ) 4 2.8 1 1 s p e G s s s s − = + + + ，當利用繼電器回饋識別

0 20 40 60 80 100 120 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time y 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 time o ut p ut Actual process Identified model 時，有一未知干擾進入，圖四顯示這個適應機制下所產生的輸出應答，可以看出系統之輸 出由不對稱漸漸被調整為對稱，而後識別的結果為 3.38 2 ˆ ( ) 6.54 3.43 1 s p e G s s s − = + + ，其步階響應與 真實程序之比較如圖五，兩者相當接近。 圖四 未知干擾進入下經調節後之輸出應答 圖五 程序和模式的步階響應比較 四、結論 本研究提出了兩種模式識別方法，第一為簡化之次空間識別運算法，識別出系統的脈 衝響應序列，並且設計出以閉環架構執行此方法。此方法不僅可用於單變數系統，亦可用 於多變數系統之中；第二為新的繼電器回饋測試法，兩者識別之效果皆不錯。此外，並提 出一個自動調節機制來排除識別時外界干擾之影響，未來將應用此方法於動態程序中的錯 誤偵測與判定。 五、參考文獻

(1) Larimore, W. E. ‘‘Canonical variate analysis in identification, filtering, and adaptive control”,

Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, 2, 596-604, (1990).

(2) Ljung, L. System identification: theory for the user, 2nd ed., Prentice-Hall: Upper Saddle

River, NJ, (1999).

(3) Verhaegen, M. ‘‘Identification of the deterministic part of MIMO state space models given in

innovations form from input-output data”, Automatica, 30, 61-74, (1994).

(4) Van Overschee, P. and De Moor, B. ‘‘N4SID:Subspace algorithms for the identification of