第十章

(1)

第十章

統計估計

應用統計學林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 2006

(2)

學習目的

1. 了解點估計的意義、估計的步驟與限制。

(3)

學習目的

2. 了解優良估計式的性質。

(4)

學習目的

3. 了解區間估計的意義。

(5)

學習目的

4. 了解大樣本與小樣本母體常態、變異數已知與未知下，單一母體平均數區間估計的方法。知悉 t 分配的 意義與機率值。

(6)

學習目的

5. 了解單一母體比例區間估計的方法。

(7)

學習目的

6. 了解單一母體變異數區間估計的方法。了解卡方分配的意義與卡方值。

(8)

學習目的

7. 了解區間估計的方法在經濟、政治、社會及企業管理方面的應用。

(9)

學習目的

7. 了解區間估計的方法在經濟、政治、社會及企業管理方面的應用。

8. 利用 Excel 做統計估計。

(10)

本章結構

統計估計

點估計母體變異數

的區間估計

Excel 的使用估計式的

判斷標準

判斷估計式的應注意

事項點估計

的意義點估計的步驟點估計的限制

區間估計

樣本數的選擇母體平均數的區

間估計－大樣本母體變異數

已知

母體比例的區間估計不偏性

有效性一致性

母體平均數的區間估計－小樣本

母體變異數未知

母體常態變異數已知

母體常態變異數未知

母體常態變異數已知

母體常態變異數未知卡方分配

的意義卡方分配

的性質

由卡方分配導出母體變異數的信賴

區間

(11)

•

統計估計是利用樣本統計量去推估母體參數的方法。

統計估計

(12)

•

^{點估計的意義}

由母體抽取一組樣本數為 n 的隨機樣本，並以由此得 到的樣本統計量作為母體參數的估計值。

點估計

(13)

•

^{點估計的步驟}

1. 抽取具代表性的樣本。

點估計

(14)

•

2. 選擇一個較佳的樣本統計量作為估計式。

點估計

(15)

•

3. 計算樣本統計量的值。

點估計

(16)

•

3. 計算樣本統計量的值。

4. 以樣本統計量的值推論母體參數值並做決策。

點估計

(17)

595 1,400 620 790 800 820 1,250 1,380 1,388

890 898 928 1,100 950 960 980 980 620

650 698 698 750 750 760 998 1,050 1,080

838 850 850 850 850 850 860 880 930

台北市區房屋的價格

資料來源：各房屋仲介公司 93 年 2 月。單位：百萬元。

(18)

工具 → 資料分析 → 敘述統計

(19)

台北市區房屋價格的估計

(20)

•

^{不偏性－不偏估計式}

估計式的評斷標準

若估計式的平均數等於母體參數值（），則該估計式為不偏估計式，否則為偏誤估計式。即若，則

為的不偏估計式。

E i` j = iV iV

i

E i` j = iV

(21)

• 估計式的評斷標準

E i` j = iV iV

i

E i` j = iV

不偏估計式

(22)

• 估計式的評斷標準

E i` j = iV iV

i

E i` j = iV

正偏誤估計

(23)

• 估計式的評斷標準

E i` j = iV iV

i

E i` j = iV

負偏誤估計

(24)

• 估計式的評斷標準

E i` j = iV iV

i

E i` j = iV

x f(x)

0 0.4

1 0.2

2 0.3

3 0.1

吃漢堡的機率分配（母體）

µ = 1.1

(25)

X

^{= 1.03}

• 估計式的評斷標準

E i` j = iV iV

i

E i` j = iV

x 相對次數

0 0.42

1 0.18

2 0.35

3 0.05

吃漢堡的相對次數分配（樣本）

(26)

•

^有效性

1. 相對有效性

估計式的評斷標準

設 、均為 θ 的估計式，若的平均平方誤差相對的 平均平方誤差較小，即

則稱 相對在估計 θ 時具相對有效性。

i V

i V W

MSE i a k V W MSE i ` j V

1 1

i V W i V

i V

i V W

(27)

•

^有效性

1. 相對有效性

2. 不偏估計式的相對有效性

估計式的評斷標準

設 、均為 θ 的估計式，若的平均平方誤差相對的 平均平方誤差較小，即

則稱 相對在估計 θ 時具相對有效性。

i V

i V W

MSE i a k V W MSE i ` j V

1 1

i V W i V

i V

i V W

設 、均為 θ 的不偏誤估計式，若則相對 為有效估計式。

i V

i V W i V W

i V

V i` j V iVV a kW _{< 1}

(28)

與 m ^e 的相對有效性

X

(29)

高偏差低變異

(30)

高偏差高變異高偏差低變異

(31)

高偏差高變異高偏差低變異

低偏差高變異

(32)

高偏差高變異

低偏差低變異高偏差低變異

低偏差高變異

(33)

•

^一致性

1. 一致性的定義

估計式的評斷標準

設

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若，

則

為 θ 之一致性估計式。其中 ε 為正的極小數值。

iV

n lim

n " 3P iV

n - i 1 f

a k = 1

iV

n

(34)

•

^一致性

估計式的評斷標準

設

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若，

則

為 θ 之一致性估計式。其中 ε 為正的極小數值。

iV

n lim

n " 3P iV

n - i 1 f

a k = 1

iV

n

一致性估計式

(35)

•

^一致性

2. 一致性估計式的定理

估計式的評斷標準

設

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若，

則

為 θ 之一致性估計式。其中 ε 為正的極小數值。

iV

n lim

n " 3P iV

n - i 1 f

a k = 1

iV

n

若

為不偏誤估計式或漸進不偏估計式，且當 n 趨近於

無窮大時，其變異數趨近於零，即

，則為 θ 之一致性估計式。

iV

n

iV

lim

n

n " 3

V i V

`

n

j = 0

(36)

估計式的評斷標準

•

判斷估計式的應注意事項 1. 不偏性具平均的性質

就單一估計值而言，並不保證合於不偏性者較偏誤估計式佳，但就大多數情況而言（或平均而言），合於不偏性者產生偏誤的可能性較小。

(37)

估計式的評斷標準

•

判斷估計式的應注意事項 1. 不偏性具平均的性質

就單一估計值而言，並不保證合於不偏性者較偏誤估計式佳，但就大多數情況而言（或平均而言），合於不偏性者產生偏誤的可能性較小。

2. 有效性

平均平方誤差最小者為一優良估計式，但不容易找到。因此一般均先尋找不偏估計式，然後再選擇有效性較高的估計式。

(38)

估計式的評斷標準

3. 一致性為大樣本的性質

當樣本數小時，並不保證一致性估計式會趨近母體參數，不過當樣本數增大時，偏誤會縮小，當 n → ∞ 時，估計式趨近於母體參數值的機率為

1。

(39)

區間估計的意義

•

^區間估計

對未知的母體參數估計出一個上下限的區間，並指出該區間包含的母體參數的可靠度。

(40)

區間估計的意義

•

^區間估計

•

^信賴區間

信賴區間是在一個既定的信賴水準下所構成的一個區間，是由樣本統計量及抽樣誤差所構成的一個（包含上限、下限的）區間。

(41)

區間估計的意義

•

^區間估計

•

^信賴區間

信賴區間是在一個既定的信賴水準下所構成的一個區間，是由樣本統計量及抽樣誤差所構成的一個（包含上限、下限的）區間。

•

^{信賴水準（信賴係數）}

信賴水準是指信賴區間包含母體參數的信心（或稱可靠度、信賴度）。

(42)

區間估計的意義

母體平均數的信賴區間

(43)

母體平均數的區間估計－大樣本

•

大樣本變異數已知，母體平均數的信賴區間

X ! Z

a 2

v

X

(44)

母體平均數的區間估計－大樣本

•

大樣本變異數已知，母體平均數的信賴區間

•

大樣本變異數未知，母體平均數的信賴區間

X ! Z

a 2

v

X

X ! Z

a 2

n

S

(45)

區間估計的步驟

•

^步驟一

選擇較佳的點估計式並計算點估計值。

(46)

區間估計的步驟

•

^步驟一

•

^步驟二

取得樣本統計量的抽樣分配。

(47)

區間估計的步驟

•

^步驟一

•

^步驟二

的抽樣分配

X

(48)

區間估計的步驟

•

^步驟一

•

^步驟二

抽樣誤差小於等於 1.96 的區間

v

X

(49)

區間估計的步驟

•

^步驟一

•

^步驟二

•

^步驟三

導出母體參數的信賴區間。

抽樣誤差小於等於 1.96 的區間

v

X

(50)

95% 信賴水準

95% 信賴水準的含意是指，隨機抽取一組樣本所得的區間包含母體平均數的機率（或稱可靠度、信賴度）為 0.95。

或說區間不包含母體平均數的機率為 0.05。

區間估計的步驟

•

^步驟一

•

^步驟二

•

^步驟三

(51)

母體平均數 µ 的信賴區間

(52)

區間估計的步驟

•

^步驟一

•

^步驟二

•

^步驟三

•

^步驟四

求出母體參數的信賴區間值並做統計推論。

(53)

母體平均數 µ 的信賴區間

(54)

信賴水準 1 − α α α / 2 Z α / 2 信賴區間

0.90 0.10 0.05 1.645

0.95 0.05 0.025 1.96

0.99 0.01 0.005 2.575

X ! Za 2vX

X ! 1.645vX

X ! 1.96v

X

X ! 2.575v

X

不同信賴水準下母體均數 µ 的信賴區間

(55)

f x → 統計 → CONFIDENCE

α

(56)

f x → 統計 → CONFIDENCE

α

σ

(57)

f x → 統計 → CONFIDENCE

α

σ

n

(58)

影響信賴區間長度的因素

•

所選擇的點估計式的抽樣分配。

(59)

影響信賴區間長度的因素

•

^樣本數。

(60)

影響信賴區間長度的因素

•

^樣本數。

•

機率區間上下限的取法。

(61)

影響信賴區間長度的因素

•

^樣本數。

•

機率區間上下限的取法。

•

^{信賴係數。}

(62)

母體平均數的區間估計－小樣本

•

小樣本常態母體變異數已知，母體平均數的信賴區間

X ! Z

a 2

n

S

(63)

母體平均數的區間估計－小樣本

•

小樣本常態母體變異數已知，母體平均數的信賴區間

•

小樣本常態母體變異數未知，母體平均數的信賴區間

X ! Z

a 2

n S

自由度

n - 1 的 t 分配 X ! t

n - 1 , a 2

n

S

(64)

t 分配

n S

X - n

~ t

_{n - 1}

•

^{自常態母體}^{X ~ N(µ}^x^{, σ}^x²) 隨機抽取樣本 (X1, X2 , ... , Xn)，

則統計量為

W. L. Gosset

(65)

t 分配

•

^{t 分配的性質}

1. t 分配為一個以平均數 0 為中心的對稱分配，不同的自 由度

v 有不同的 t 分配。

(66)

t 分配

•

v 有不同的 t 分配。

自由度：統計量中隨機變量可以自由變動的數目（個數）。

(67)

t 分配

•

v 有不同的 t 分配。

(68)

t 分配

•

v 有不同的 t 分配。

2. t 分配不與橫軸相交。t 分配曲線下的總面積等於 1。

(69)

t 分配

•

v 有不同的 t 分配。

(70)

t 分配

•

v 有不同的 t 分配。

3. t 分配決定於自由度 v，它是 t 分配唯一的參數。

(71)

t 分配

•

v 有不同的 t 分配。

3. t 分配決定於自由度 v，它是 t 分配唯一的參數。

4. 自由度趨近於無窮大時 (v → ∞)，t 分配趨近於標準常 態分配，即

t

v

~ N(0 , 1)。一般若 v ≥ 30，則以標準常態

分配代替

t 分配

(72)

d.f. t0.10 t0.05 t0.025 t0.010 t0.005 d.f.

1 3.078 6.314 10.706 31.821 63.657 1 2 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 2 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4 5 1.473 2.015 2.571 3.365 4.032 5 6 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 6 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.449 7 8 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 8

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29

∞ 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 ∞

t 值表

(73)

d.f. t0.10 t0.05 t0.025 t0.010 t0.005 d.f.

1 3.078 6.314 10.706 31.821 63.657 1 2 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 2 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4 5 1.473 2.015 2.571 3.365 4.032 5 6 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 6 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.449 7 8 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 8

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29

∞ 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 ∞

t 值表

v = 2 α = 0.025

(74)

d.f. t0.10 t0.05 t0.025 t0.010 t0.005 d.f.

1 3.078 6.314 10.706 31.821 63.657 1 2 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 2 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4 5 1.473 2.015 2.571 3.365 4.032 5 6 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 6 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.449 7 8 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 8

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29

∞ 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 ∞

t 值表

v = 2 α = 0.025

v = 5 α = 0.05

(75)

利用 Excel 求 t 分配的機率值

（

f

x

→ 統計 → TDIST）

t 值

(76)

利用 Excel 求 t 分配的機率值

（

f

x

→ 統計 → TDIST）

t 值

v 自由度

(77)

利用 Excel 求 t 分配的機率值

（

f

x

→ 統計 → TDIST）

t 值

v 自由度

1 尾或 2 尾

(78)

利用 Excel 求 t 分配的機率值

（

f

x

→ 統計 → TDIST）

t 值

v 自由度

1 尾或 2 尾

利用 Excel 求 t 值

（

f

x

→ 統計 → TINV）

機率

(79)

利用 Excel 求 t 分配的機率值

（

f

x

→ 統計 → TDIST）

t 值

v 自由度

1 尾或 2 尾

利用 Excel 求 t 值

（

f

x

→ 統計 → TINV）

機率

v 自由度

(80)

的信賴區間

1 - a

] g X

µ µ

(81)

母體比例的區間估計

•

大樣本母體比例的信賴區間

W p

! Z

a/2

p n

W q U

(82)

1 - a

] g

W

p

的機率區間

母體比例的區間估計

•

W p

! Z

a/2

p n

W q U

(83)

母體比例的區間估計

•

^常用公式

W p

! Z

a/2

p n W q U

W p

! Z

a/2

2 n

1 # 2 1

(84)

母體比例的區間估計

•

^常用公式

•

^{民意調查的信賴區間}

支持率 ± 抽樣誤差

W p

! Z

a/2

p n W q U

W p

! Z

a/2

2 n

1 # 2 1

(85)

樣本數的選擇

•

估計母體平均數時樣本數的選擇

•

^{估計誤差不差過}

^{d 值}

X - n = Z

_{a 2}

n

v # d

(86)

樣本數的選擇

•

^{d 值}

•

估計母體平均數時的樣本數

X - n = Z

_{a 2}

n

v # d

n $ d

²

Z

²_a/2

v

²

(87)

樣本數的選擇

•

^{d 值}

•

估計母體平均數時的樣本數

•

估計母體平均數時的樣本數（母體變異數未知）

X - n = Z

_{a 2}

n

v # d

n $ d

²

Z

²_a/2

v

²

n $ d

²

Z

²_a/2

S

²

(88)

樣本數的選擇

•

估計母體比例時樣本數的選擇

•

估計母體比例時的樣本數

n $ d

²

Z

²_a/2

W p

q U

(89)

樣本數的選擇

•

估計母體比例時樣本數的選擇

•

估計母體比例時的樣本數

•

^常用公式

n $ d

²

Z

²_a/2

W p

q U

n $ d

²

Z

²_a/2

^] 0.25 ^g

(90)

母體變異數的區間估計

•

^卡方分配

•

^{樣本變異數}

•

^{卡方統計量}

S

²

= n - 1 X

_i

- X

^ h

²

i = 1

/

n

v

²

n - 1

] g S

²

= v

²

X

_i

- X

^ h

²

i = 1

/

n

(91)

卡方分配的性質

1. 卡方分配為一定義在大於等於 0（正數）範圍的右偏分 配，不同的自由度決定不同的卡方分配。

(92)

卡方分配的性質

(93)

卡方分配的性質

2. 卡方分配只有一個參數，即自由度，表為 v。卡方分配 的平均數與變異數為：

E | ^

_v²

h = v

，

V | ^

_v²

h = 2v

(94)

卡方分配的性質

3. 卡方分配隨自由度增加而逐漸對稱，當自由度趨近於無窮大時（

v → ∞），卡方分配會趨近於常態分配。

E | ^

_v²

h = v

，

V | ^

_v²

h = 2v

(95)

卡方分配的性質

3. 卡方分配隨自由度增加而逐漸對稱，當自由度趨近於無窮大時（

v → ∞），卡方分配會趨近於常態分配。

4. 令，則 Z

^Z

²

⁼ ^b ^{X - n} _v ^l

² ²為自由度

1 的卡方分配。

E | ^

_v²

h = v

，

V | ^

_v²

h = 2v

(96)

d.f χ²0.995 χ²0.95 χ²0.90 χ²0.10 χ²0.05 χ²0.005 d.f

1 .0000393 .0039321 .0157908 2.70554 3.84146 7.87944 1 2 .0100251 .102587 .21072 4.60517 5.99147 10.5966 2 3 .0717212 .351846 .584375 6.25139 7.81473 12.8381 3 4 .20699 .710721 1.063623 7.77944 9.48773 14.8602 4 5 .41174 1.145476 1.61031 9.23635 10.0705 16.7496 5 6 .675727 1.63539 2.20413 10.6446 12.5916 18.5476 6

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

17 5.69724 8.67176 10.0852 24.769 27.5871 35.7185 17 18 6.26481 9.39046 10.8649 25.9894 28.8693 37.1564 18 19 6.84398 10.117 10.6509 27.2036 30.1435 38.5822 19 20 7.43386 10.8508 12.4426 28.412 31.4104 39.9968 20

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

卡方值

(97)

d.f χ²0.995 χ²0.95 χ²0.90 χ²0.10 χ²0.05 χ²0.005 d.f

1 .0000393 .0039321 .0157908 2.70554 3.84146 7.87944 1 2 .0100251 .102587 .21072 4.60517 5.99147 10.5966 2 3 .0717212 .351846 .584375 6.25139 7.81473 12.8381 3 4 .20699 .710721 1.063623 7.77944 9.48773 14.8602 4 5 .41174 1.145476 1.61031 9.23635 10.0705 16.7496 5 6 .675727 1.63539 2.20413 10.6446 12.5916 18.5476 6

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

17 5.69724 8.67176 10.0852 24.769 27.5871 35.7185 17 18 6.26481 9.39046 10.8649 25.9894 28.8693 37.1564 18 19 6.84398 10.117 10.6509 27.2036 30.1435 38.5822 19 20 7.43386 10.8508 12.4426 28.412 31.4104 39.9968 20

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

卡方值

(98)

d.f χ²0.995 χ²0.95 χ²0.90 χ²0.10 χ²0.05 χ²0.005 d.f

1 .0000393 .0039321 .0157908 2.70554 3.84146 7.87944 1 2 .0100251 .102587 .21072 4.60517 5.99147 10.5966 2 3 .0717212 .351846 .584375 6.25139 7.81473 12.8381 3 4 .20699 .710721 1.063623 7.77944 9.48773 14.8602 4 5 .41174 1.145476 1.61031 9.23635 10.0705 16.7496 5 6 .675727 1.63539 2.20413 10.6446 12.5916 18.5476 6

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

17 5.69724 8.67176 10.0852 24.769 27.5871 35.7185 17 18 6.26481 9.39046 10.8649 25.9894 28.8693 37.1564 18 19 6.84398 10.117 10.6509 27.2036 30.1435 38.5822 19 20 7.43386 10.8508 12.4426 28.412 31.4104 39.9968 20

⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

卡方值

(99)

利用 Excel 計算卡方值

f x → 統計 → CHIINV

機率值

(100)

利用 Excel 計算卡方值

f x → 統計 → CHIINV

機率值

v 自由度

(101)

母體變異數的區間估計

•

^{母體變異數的信賴區間}

|

n - 1 , a/22

n - 1

] g S

²

# v

²

# |

n - 1 , 1 -a 22

n - 1

] g S

²

(102)

母體變異數的區間估計

•

^{母體變異數的信賴區間}

值的機率區間

1 - a

] g |

²

|

n - 1 , a/22

n - 1

] g S

²

# v

²

# |

n - 1 , 1 -a 22

n - 1

] g S

²

第十章

第十章

統計估計

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

本章結構

•

統計估計

•

點估計

•

•

點估計

•

•

點估計

•

•

點估計

•

•

點估計

台北市區房屋的價格

台北市區房屋價格的估計

•

估計式的評斷標準

i

•

估計式的評斷標準

i

•

估計式的評斷標準

i

•

估計式的評斷標準

i

•

估計式的評斷標準

i

µ = 1.1

X

•

估計式的評斷標準

i

•

估計式的評斷標準

i V

i V W

MSE i a k V W MSE i ` j V

1 1

i V W i V

i V

i V W

•

估計式的評斷標準

i V

i V W

MSE i a k V W MSE i ` j V

1 1

i V W i V

i V

i V W

i V

i V W i V W

i V

與 m e 的相對有效性

X

•

估計式的評斷標準

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若 ，

為 θ 之一致性估計式。其中 ε 為正的極小數值。

•

估計式的評斷標準

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若 ，

與 m ^e 的相對有效性

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若，

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若，

為樣本數 n 之 θ 的估計式，若，

，則為 θ 之一致性估計式。