数集与函数

(1)

第一章·数集与函数

微积分课程

2020 年 8 月 29 日

(2)

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数集与区间

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第一节

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函数的概念

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第二节

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的构建

.

第四节

(3)

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数集与区间

.

第一节

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集合

.

A

.

实数集

.

B

.

区间

.

C

.

邻域

.

D

(4)

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集合的概念

集合是具有某种属性的事物的全体；

(5)

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集合的表示法

1 列举法：比如 A = {,b,c,d}

(6)

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全集与空集

由所研究所有对象构成的集合称为全集，记为 Ω．

(7)

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子集与包含

如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集． 记为 A _{⊂ B 或 B ⊃ A} 或称为 A 包含于 B，或 B 包含 A

(8)

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集合的运算

1 交运算：A∩ B = { |  ∈ A 且  ∈ B} 2 并运算：A∪ B = { |  ∈ A 或  ∈ B} 3 差运算：A− B = { |  ∈ A 且  ̸∈ B} 4 补运算：A = { |  ∈ Ω 且  ̸∈ A}

(9)

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集合的运算

(10)

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集合的运算

(11)

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集合的运算

(12)

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集合运算律

1 交换律 A∩ B = B ∩ A A∪ B = B ∪ A · · · · 2 结合律 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) · · · · 3 分配律 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) · · · · 4 对偶律 A∩ B = A ∪ B A∪ B = A ∩ B

(13)

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集合运算律

(14)

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集合运算律

(15)

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集合运算律

(16)

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集合运算律

(17)

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集合运算律

(18)

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集合运算律

(19)

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集合运算律

(20)

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集合运算律

(21)

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集合运算律

1 交换律 A∩ B = B ∩ A A∪ B = B ∪ A · · · · 2 结合律 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) · · · · 3 分配律 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) · · · · A∩ B = A ∪ B A∪ B = A ∩ B

(22)

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集合运算律

1 交换律 A∩ B = B ∩ A A∪ B = B ∪ A · · · · 2 结合律 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) · · · · 3 分配律 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) · · · · A∪ B = A ∩ B

(23)

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集合运算律

1 交换律 A∩ B = B ∩ A A∪ B = B ∪ A · · · · 2 结合律 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) · · · · 3 分配律 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) · · · ·

(24)

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集合的笛卡尔乘积

设有集合 A 和 B．对任意的  _{∈ A，y ∈ B，所有二元} 有序数组 _(,y) 构成的集合，称为集合 A 与 B 的笛卡尔乘积，记为 A_{× B，即有} A× B = {(,y)| ∈ A,y ∈ B}

(25)

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数集与区间

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第一节

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集合

.

A

.

实数集

.

B

.

区间

.

C

.

邻域

.

D

(26)

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数集

人类对数的认识是逐步发展的：自然数集 _N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R ←− 微积分的研究对象 复数集 C

(27)

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：自然数集 _N 整数集 _Z 有理数集 Q 实数集 R ←− 微积分的研究对象 复数集 C

(28)

.

数集

(29)

.

数集

(30)

.

数集

(31)

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数集

人类对数的认识是逐步发展的：自然数集 _N 整数集 _Z 有理数集 Q 实数集 R _{←− 微积分的研究对象} 复数集 C

(32)

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数集与区间

.

第一节

.

集合

.

A

.

实数集

.

B

.

区间

.

C

.

邻域

.

D

(33)

.

有限区间

区间可分为有限区间和无限区间两类．有限区间有如 下四种（其中  和 b 称为区间的端点）： (,b) = { |  <  < b} 开区间 [,b] = { |  ¶  ¶ b} 闭区间 (,b] = { |  <  ¶ b} 左开右闭区间 [,b) = { | ¶  < b} 左闭右开区间例子用区间表示下列数集： (1) { | 1 <  < 3} (2) { | −5¶  < 0}

(34)

.

有限区间

区间可分为有限区间和无限区间两类．有限区间有如 下四种（其中  和 b 称为区间的端点）： (,b) = { |  <  < b} 开区间 [,b] = { |  ¶  ¶ b} 闭区间 (,b] = { |  <  ¶ b} 左开右闭区间 [,b) = { | ¶  < b} 左闭右开区间例子用区间表示下列数集：

(35)

.

无限区间

无限区间有如下五种： (−∞,b) = { |  < b} (,+∞) = { |  > } (−∞,b] = { |  ¶b} [,+∞) = { | ¾ } (−∞,+∞) =R 例子用区间表示下列数集： (1) { |  < 3} (2) { |  ¾2}

(36)

.

无限区间

无限区间有如下五种： (−∞,b) = { |  < b} (,+∞) = { |  > } (−∞,b] = { |  ¶b} [,+∞) = { | ¾ } (−∞,+∞) =R 例子用区间表示下列数集： |  < 3} |  ¾

(37)

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绝对值

一个实数的绝对值定义为 _{|| =} ( ,  ¾ 0 −,  < 0 ． 去绝对值号的方法（设 ,b > 0）： || < b 等价于 −b <  < b || >  等价于  < − 或  >   < || < b 等价于 −b <  < − 或  <  < b 绝对值的三角不等式： | + y| ¶ || + |y| | − y| ¾|| − |y|

(38)

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绝对值

(39)

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绝对值

(40)

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绝对值

(41)

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绝对值

(42)

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绝对值

一个实数的绝对值定义为 _{|| =} ( ,  ¾ 0 −,  < 0 ． 去绝对值号的方法（设 ,b > 0）： || < b 等价于 −b <  < b || >  等价于  < − 或  >   < || < b 等价于 −b <  < − 或  <  < b 绝对值的三角不等式： | − y| ¾|| − |y|

(43)

.

绝对值

一个实数的绝对值定义为 _{|| =} ( ,  ¾ 0 −,  < 0 ． 去绝对值号的方法（设 ,b > 0）： || < b 等价于 −b <  < b || >  等价于  < − 或  >   < || < b 等价于 −b <  < − 或  <  < b 绝对值的三角不等式：

(44)

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区间

例 1 用区间表示下列数集： (1) ¦| − 2| < 1©． (2) ¦| + 3|¾ 5©． (3) ¦1¶ | + 1| < 4©．

(45)

.

练习 1 用区间表示下列数集： (1) ¦| + 2|¶ 3© (2) ¦| − 4| > 7© (3) ¦2 < | + 3|¶ 5© 解答 (1) [−5,1] (2) (−∞,−3) ∪ (11,+∞) (3) [−8,−5) ∪ (−1,2]

(46)

.

练习 1 用区间表示下列数集： (1) ¦| + 2|¶ 3© (2) ¦| − 4| > 7© (3) ¦2 < | + 3|¶ 5© 解答 (1) [−5,1] (2) (−∞,−3) ∪ (11,+∞)

(47)

.

区间

例 2 用区间表示下列数集： (1) ¦2_{−  − 2 < 0}© (2) ¦2_{+  − 6}_¾ ₀© 练习 2 用区间表示下列数集： (1) ¦2+ 2 − 3 ¶ 0© (2) ¦2_{− 3 + 2 > 0}© 例 3 用区间表示数集 ¦|2− 3 − 2| < 2©．

(48)

.

区间

例 2 用区间表示下列数集： (1) ¦2_{−  − 2 < 0}© (2) ¦2_{+  − 6}_¾ ₀© 练习 2 用区间表示下列数集： (1) ¦2+ 2 − 3 ¶0© (2) ¦2_{− 3 + 2 > 0}© 例 3 用区间表示数集 ¦|2− 3 − 2| < 2©．

(49)

.

区间

例 2 用区间表示下列数集： (1) ¦2_{−  − 2 < 0}© (2) ¦2_{+  − 6}_¾ ₀© 练习 2 用区间表示下列数集： (1) ¦2+ 2 − 3 ¶0© (2) ¦2_{− 3 + 2 > 0}©

(50)

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数集与区间

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第一节

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集合

.

A

.

实数集

.

B

.

区间

.

C

.

邻域

.

D

(51)

.

邻域

 的邻域 U(,δ)： ¦ | − | < δ© = ( − δ,+ δ)  的去心邻域 _U˚_(_,_δ_)： ¦ 0 < | − | < δ©= ( − δ,) ∪ (,+ δ)  的左邻域：_{( − δ},)  的右邻域：_(,+ δ) 其中  称为邻域的中心，δ 称为邻域的半径．

(52)

.

邻域

 的邻域 U(,δ)： ¦ | − | < δ© = ( − δ,+ δ)  的去心邻域 _U˚_(_,_δ_)： ¦ 0 < | − | < δ©= ( − δ,) ∪ (,+ δ)  的左邻域：_{( − δ},)  的右邻域：_(,+ δ) 其中  称为邻域的中心，δ 称为邻域的半径．

(53)

.

邻域

 的邻域 U(,δ)： ¦ | − | < δ© = ( − δ,+ δ)  的去心邻域 _U˚_(_,_δ_)： ¦ 0 < | − | < δ©= ( − δ,) ∪ (,+ δ)  的左邻域：_{( − δ},)  的右邻域：_(,+ δ)

(54)

.

数集与区间

.

第一节

.

函数的概念

.

第二节

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的构建

.

第四节

(55)

.

函数的概念

.

第二节

.

函数的定义

.

A

.

函数的记号

.

B

.

自然定义域

.

C

(56)

.

定义 1 设非空数集 D _⊂ R，如果存在一个对应规 则 ƒ ，使得对每个  _{∈ D，都有一个确定的实数 y} 与之对应，则称 ƒ 为定义在 D 上的一个函数，记为 ƒ : D −→ R，简记为 y _{= ƒ ()．}  称为自变量； y 称为因变量； D 称为定义域； Z = ¦yy= ƒ (), ∈ D© 称为值域．

(57)

.

定义 1 设非空数集 D _⊂ R，如果存在一个对应规 则 ƒ ，使得对每个  _{∈ D，都有一个确定的实数 y} 与之对应，则称 ƒ 为定义在 D 上的一个函数，记为 ƒ : D −→ R，简记为 y _{= ƒ ()．}  称为自变量； y 称为因变量； D 称为定义域； Z = ¦yy= ƒ (), ∈ D© 称为值域．

(58)

.

注记两个函数相同，当且仅当两者的定义域和对应规则都相同．例 1 研究 y _{=  和 y =}  2  是不是相同的函数．例 2 研究 y _{=  和 y =}p2 _{是不是相同的函数．}

(59)

.

注记两个函数相同，当且仅当两者的定义域和对应规则都相同．例 1 研究 y_{=  和 y =}  2  是不是相同的函数．例 2 研究 y _{=  和 y =}p2 _{是不是相同的函数．}

(60)

.

注记两个函数相同，当且仅当两者的定义域和对应规则都相同．例 1 研究 y_{=  和 y =}  2  是不是相同的函数．例 2 研究 y_{=  和 y =} p2 _{是不是相同的函数．}

(61)

.

函数的概念

.

第二节

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函数的定义

.

A

.

函数的记号

.

B

.

自然定义域

.

C

(62)

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函数的记号

例 3 已知 ƒ_{() = ( + 1)，求 ƒ ( − 1)．}

(63)

.

函数的记号

例 3 已知 ƒ_{() = ( + 1)，求 ƒ ( − 1)．}

(64)

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函数的记号

练习 1 已知 ƒ_{(3 − 1) = 9}2_{+ 6 − 2，求 ƒ ()．} 解答 ƒ() = 2+ 4 + 1．练习 2 已知 ƒ₍_−1₊₁_{) =  + 2，求 ƒ ()．} 解答 ƒ() = _−3₋₁．

(65)

.

函数的记号

(66)

.

函数的记号

(67)

.

函数的记号

(68)

.

函数的概念

.

第二节

.

函数的定义

.

A

.

函数的记号

.

B

.

自然定义域

.

C

(69)

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自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它的自然定义域．例如 (1) y =p 的定义域为 D = [0,+∞)， (2) y = log_ 的定义域为 D = (0,+∞)， (3) y = 1_ 的定义域为 D _{= (−∞},0) ∪ (0,+∞)． 求函数的自然定义域时有三个基本要求： (1) 根号里面要求大于等于零； (2) 对数里面要求大于零； (3) 分母要求不能等于零．

(70)

.

自然定义域

(71)

.

自然定义域

(72)

.

自然定义域

(73)

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自然定义域

(74)

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它的自然定义域．例如 (1) y =p 的定义域为 D = [0,+∞)， (2) y = log_ 的定义域为 D = (0,+∞)， (3) y = 1_ 的定义域为 D _{= (−∞},0) ∪ (0,+∞)． 求函数的自然定义域时有三个基本要求： (1) 根号里面要求大于等于零； (3) 分母要求不能等于零．

(75)

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它的自然定义域．例如 (1) y =p 的定义域为 D = [0,+∞)， (2) y = log_ 的定义域为 D = (0,+∞)， (3) y = 1_ 的定义域为 D _{= (−∞},0) ∪ (0,+∞)． 求函数的自然定义域时有三个基本要求： (1) 根号里面要求大于等于零；

(76)

.

自然定义域

例 6 用区间表示下列函数的定义域： (1) y = ln(2 + 6) +p5−  (2) y = _ln_(−5)1 练习 4 用区间表示下列函数的定义域： (1) y = ₄_−1 ₂ +p+ 3 (2) y = ln(_+1₋₁)

(77)

.

自然定义域

例 6 用区间表示下列函数的定义域： (1) y = ln(2 + 6) +p5−  (2) y = _ln_(−5)1 练习 4 用区间表示下列函数的定义域： (1) y = ₄_−1 ₂ +p+ 3 (2) y = ln(_+1₋₁)

(78)

.

数集与区间

.

第一节

.

函数的概念

.

第二节

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的构建

.

第四节

(79)

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的奇偶性

.

A

.

函数的周期性

.

B

.

函数的单调性

.

C

.

函数的有界性

.

D

(80)

.

函数的奇偶性

定义 1 给定函数 y _{= ƒ ()，} (1) 若 ∀ _{∈ D，总有 ƒ (−) = ƒ ()，则称 ƒ ()} 为偶函数． (2) 若 ∀ _{∈ D，总有 ƒ (−) = −ƒ ()，则称 ƒ ()} 为奇函数．例子 , 3, 1 , 1 3, sin , tn  为奇函数．例子 2, 4, 1 2, 1 4, cos  为偶函数．

(81)

.

函数的奇偶性

定义 1 给定函数 y _{= ƒ ()，} (1) 若 ∀ _{∈ D，总有 ƒ (−) = ƒ ()，则称 ƒ ()} 为偶函数． (2) 若 ∀ _{∈ D，总有 ƒ (−) = −ƒ ()，则称 ƒ ()} 为奇函数．例子 , 3, 1 , 1 3, sin , tn  为奇函数．例子 2, 4, 1 2, 1 4, cos  为偶函数．

(82)

.

函数的奇偶性

定义 1 给定函数 y _{= ƒ ()，} (1) 若 ∀ _{∈ D，总有 ƒ (−) = ƒ ()，则称 ƒ ()} 为偶函数． (2) 若 ∀ _{∈ D，总有 ƒ (−) = −ƒ ()，则称 ƒ ()} 为奇函数．例子 , 3, 1 , 1 3, sin , tn  为奇函数．

(83)

.

函数的奇偶性

例 1 判断下列函数的奇偶性： (1) ƒ() = 4− 22+ 1 (2) ƒ() = 3+  (3) ƒ() = 2+  + 1 练习 1 判断下列函数的奇偶性： (1) ƒ() = 1_{cos }−2 · · · ·偶函数 (2) ƒ() = e_e−1₊₁ · · · ·奇函数

(84)

.

函数的奇偶性

例 1 判断下列函数的奇偶性： (1) ƒ() = 4− 22+ 1 (2) ƒ() = 3+  (3) ƒ() = 2+  + 1 练习 1 判断下列函数的奇偶性： (1) ƒ() = 1_{cos }−2 · · · ·偶函数 · · · ·奇函数

(85)

.

函数的奇偶性

例 1 判断下列函数的奇偶性： (1) ƒ() = 4− 22+ 1 (2) ƒ() = 3+  (3) ƒ() = 2+  + 1 练习 1 判断下列函数的奇偶性： (1) ƒ() = 1_{cos  · · · ·}−2 偶函数

(86)

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的奇偶性

.

A

.

函数的周期性

.

B

.

函数的单调性

.

C

.

函数的有界性

.

D

(87)

.

函数的周期性

定义 2 对于函数 y _{= ƒ ()，如果存在正常数 T 使得} ƒ( + T) = ƒ () 恒成立，则称此函数为周期函数；满 足这个等式的最小正数 T，称为此函数的周期．例子 y = sin  和 y = cos  以 2π 为周期． 例子 y = tn  和 y = cot  以 π 为周期．

(88)

.

函数的周期性

(89)

.

函数的周期性

(90)

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的奇偶性

.

A

.

函数的周期性

.

B

.

函数的单调性

.

C

.

函数的有界性

.

D

(91)

.

函数的单调性

定义 3 设函数 y _{= ƒ () 在区间  上有定义，对于区} 间  上的任意两点 1 和 2， (1) 若当 1 < 2 时有 ƒ(1) < ƒ (2)，则称 ƒ () 在区间  上是单调增加的； (2) 若当 1 < 2 时有 ƒ(1) > ƒ (2)，则称 ƒ () 在区间  上是单调减少的；

(92)

.

函数的单调性

例子 y =  在 (−∞,+∞) 上是单调增加的． 例子 y = ln  在 (0,+∞) 上是单调增加的． 例子 y = 1/ 在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上单调减少． 例子 y = 2 在 _(−∞,0] 上单调减少，在 [0,+∞) 上单调增加．

(93)

.

函数的单调性

(94)

.

函数的单调性

(95)

.

函数的单调性

(96)

.

函数的性质

.

第三节

.

函数的奇偶性

.

A

.

函数的周期性

.

B

.

函数的单调性

.

C

.

函数的有界性

.

D

(97)

.

函数的有界性

定义 4 设函数 y _{= ƒ () 在数集  上有定义，如果存} 在一个正数 M，对于所有  _{∈ ，恒有 |ƒ ()|}_¶ M，则 称函数 ƒ_{() 在数集  上}有界．若这样的 M 不存在， 则称 ƒ_{() 在  上}无界．如果函数在其定义域上有界，则称它为有界函数；否则称它为无界函数．

例子 y = sin ，y = cos  是有界函数．

(98)

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函数的有界性

(99)

.

函数的有界性

(100)

.

函数的有界性

(101)

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函数的有界性

例 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − 2 cos  (2) y = 1 3+2 练习 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − ₂_+1 2 (2) y = 2 1+2 解答 (1) |y| ¶ 3₂ (2) |y| ¶ 1

(102)

.

函数的有界性

例 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − 2 cos  (2) y = 1 3+2 练习 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − ₂_+1 2 (2) y = ₁_+22 解答 (1) |y| ¶ 3₂ (2) |y| ¶ 1

(103)

.

函数的有界性

例 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − 2 cos  (2) y = 1 3+2 练习 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − ₂_+1 2 (2) y = 2 1+2 解答 (1) |y| ¶ 3₂ (2) |y| ¶ 1

(104)

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函数的有界性

例 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − 2 cos  (2) y = 1 3+2 练习 2 证明下列函数为有界函数 (1) y = sin  − ₂_+1 2 (2) y = 2 1+2 解答 (1) |y| ¶ 3 (2) |y| ¶ 1

(105)

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函数的有界性

类似地，我们可以定义函数有上界和有下界的概念． 对于所有 ，恒有 _{|ƒ ()| ≤ M ...}有界对于所有 ，恒有 ƒ_() _¶ M1 . . . .有上界对于所有 ，恒有 ƒ_() _¾ M2 . . . .有下界定理 ƒ() 有界 ⇐⇒ ƒ () 有上界而且有下界．

(106)

.

函数的有界性

类似地，我们可以定义函数有上界和有下界的概念． 对于所有 ，恒有 _{|ƒ ()| ≤ M ...}有界对于所有 ，恒有 ƒ_() _¶ M1 . . . .有上界对于所有 ，恒有 ƒ_() _¾ M2 . . . .有下界定理 ƒ() 有界 ⇐⇒ ƒ () 有上界而且有下界．

(107)

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数集与区间

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第一节

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函数的概念

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第二节

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函数的性质

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第三节

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函数的构建

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第四节

(108)

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函数的构建

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第四节

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反函数

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A

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复合函数 .

B

.

初等函数 .

C

(109)

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反函数

定义 1 设 y _{= ƒ () 的定义域为 D，值域为 Z．如果} 对每个 y _{∈ Z，有唯一的  ∈ D 满足 y = ƒ ()，则可} 以得到定义在 Z 上的函数 _{= ƒ}−1_{(y)，称为 y = ƒ ()} 的反函数．例 1 求函数 y _{= 3 − 1 的反函数．} 例 2 求函数 y _{= 2 ln  + 1 的反函数．}

(110)

.

反函数

(111)

.

反函数

(112)

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反函数

练习 1 求下列函数的反函数

(1) y = _−1₊₂ (2) y = e_e−2

(113)

.

反函数

练习 1 求下列函数的反函数

(1) y = _−1₊₂ (2) y = e_e−2

(114)

.

函数的构建

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第四节

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反函数

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A

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复合函数 .

B

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初等函数 .

C

(115)

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复合函数

定义 2 设 y _{= ƒ () 的定义域是 D(ƒ )， = g() 的} 值域是 Z_{(g)，D(ƒ ) ∩ Z(G) 非空，则称 y = ƒ [g()]} 为 y _{= ƒ () 和  = g() 的}复合函数．例 3 两个函数 y ₌ p 和 = 1 − 2 的复合函数是 y = p1− 2_．例 4 三个函数 y _{= sin 、 = }2_{− 1 和  = e} _的 复合函数是 y _{= sin(e}2_{− 1)．}

(116)

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复合函数

定义 2 设 y _{= ƒ () 的定义域是 D(ƒ )， = g() 的} 值域是 Z_{(g)，D(ƒ ) ∩ Z(G) 非空，则称 y = ƒ [g()]} 为 y _{= ƒ () 和  = g() 的}复合函数．例 3 两个函数 y ₌ p 和 = 1 − 2 的复合函数是 y =p1− 2_．例 4 三个函数 y _{= sin 、 = }2_{− 1 和  = e} _的 复合函数是 y _{= sin(e}2_{− 1)．}

(117)

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复合函数

定义 2 设 y _{= ƒ () 的定义域是 D(ƒ )， = g() 的} 值域是 Z_{(g)，D(ƒ ) ∩ Z(G) 非空，则称 y = ƒ [g()]} 为 y _{= ƒ () 和  = g() 的}复合函数．例 3 两个函数 y ₌ p 和 = 1 − 2 的复合函数是 y =p1− 2_．例 4 三个函数 y _{= sin 、 = }2_{− 1 和  = e} _的

(118)

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函数的构建

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第四节

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反函数

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A

.

复合函数 .

B

.

初等函数 .

C

(119)

.

三角函数

1 正弦函数 y = sin  2 余弦函数 y = cos  3 正切函数 y = tn  4 余切函数 y = cot  5 正割函数 y = sec  = 1 cos  sec2_ _{= tn}2__{+ 1} 6 余割函数 y = csc  = 1 sin  csc2 = cot2+ 1

(120)

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三角函数

(121)

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三角函数

(122)

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三角函数

(123)

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三角函数

(124)

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三角函数

(125)

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三角函数

1 正弦函数 y = sin  2 余弦函数 y = cos  3 正切函数 y = tn  4 余切函数 y = cot  5 正割函数 y = sec  = 1 cos  sec2_ _{= tn}2__{+ 1} 余割函数 y _{= csc  =} 1 csc2 = cot2+ 1

(126)

.

三角函数

1 正弦函数 y = sin  2 余弦函数 y = cos  3 正切函数 y = tn  4 余切函数 y = cot  5 正割函数 y = sec  = 1 cos  sec2_ _{= tn}2__{+ 1} 余割函数 y _{= csc  =} 1

(127)

.

反三角函数

1 反正弦函数 y = rcsin  ...  = sin y  ∈ [−1,1], y ∈ [−π₂,π₂] 2 反余弦函数 y = rccos  ...  = cos y  ∈ [−1,1], y ∈ [0,π] 3 反正切函数 y = rctn  ...  = tn y  ∈ (−∞,+∞), y ∈ (−π₂,π₂) 4 反余切函数 y = rccot  ...  = cot y  ∈ (−∞,+∞), y ∈ (0,π) 例子 rccos(1₂) = π₃，rctn₍p₃3_{) =} π₆．

(128)

.

反三角函数

(129)

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反三角函数

(130)

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反三角函数

(131)

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反三角函数

(132)

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反三角函数

(133)

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反三角函数

(134)

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反三角函数

1 反正弦函数 y = rcsin  ...  = sin y  ∈ [−1,1], y ∈ [−π₂,π₂] 2 反余弦函数 y = rccos  ...  = cos y  ∈ [−1,1], y ∈ [0,π] 3 反正切函数 y = rctn  ...  = tn y  ∈ (−∞,+∞), y ∈ (−π₂,π₂) 4 反余切函数 y = rccot  ...  = cot y ∈ (−∞ +∞) ∈ (0 ) 例子 rccos(1₂) = π₃，rctn₍p₃3_{) =} π₆．

(135)

.

反三角函数

1 反正弦函数 y = rcsin  ...  = sin y  ∈ [−1,1], y ∈ [−π₂,π₂] 2 反余弦函数 y = rccos  ...  = cos y  ∈ [−1,1], y ∈ [0,π] 3 反正切函数 y = rctn  ...  = tn y  ∈ (−∞,+∞), y ∈ (−π₂,π₂) 4 反余切函数 y = rccot  ...  = cot y ∈ (−∞ +∞) ∈ (0 )

(136)

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初等函数

下面这六种函数，统称为基本初等函数： 1 常值函数 y = c； 2 幂函数 y = μ； 3 指数函数 y = ； 4 对数函数 y = log_；

5 三角函数 y = sin ，y = cos ，等；

6 反三角函数 y = rcsin ，y = rccos ，等．

由六种基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合

(137)

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初等函数

5 三角函数 y = sin ，y = cos ，等；

(138)

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初等函数

5 三角函数 y = sin ，y = cos ，等；