95 學科能力測驗試題

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入

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考

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驗

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題

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考

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第一部分：選擇題（佔 55 分）

壹、單選題（佔 25 分）

說明：第 1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。 1. 設一元二次整係數方程式 ax2_{＋bx＋c＝0 有一根為 4+3i 。若將此方程式的兩根與原點} 在複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為 (1) 5， (2) 6， (3) 12， (4) 16， (5) 24。 Ans：(3) 【詳解】 整係數方程式 ax2_{＋bx＋c＝0 有一根為 4＋3i，則另一根為 4－3i。} 如下圖，所圍ABC 的面積為 12。 4 2 -2 -4 5 Area ABC = 12.00 cm2 C: (4.00, -3.00) B: (4.00, 3.00) A: (0.00, 0.00) C B A 2. 在右圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子。選出的兩個格子 不在同行（有無同列無所謂）的機率為 (1) 1 20，(2) 1 4 ，(3) 3 4 ，(4) 3 5，(5) 4 5 。 Ans：(5) 【詳解】 共 16 格中任取 2 格，其取法有 C(16，2)＝120 種。 從四行中任取二行，其取法有 C(4，2)＝6； 再從此二行中每一行各取一個，其取法有 44＝16 種。 故選出的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的機率為6 4 4=4 120 5   。

3. 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且OD＝8。 問：直角三角形OAB的高 AB為何？ (1) 1， (2) 6－ 2， (3) 7－1， (4) 3， (5) 2 Ans：(4) 【詳解】

AB＝OBsin15＝OCcos15sin15＝ODcos30cos15sin15 ＝8〃cos30〃1 2 sin30＝4〃 1 2 sin60＝2 3 2 ＝ 3。 4. 下列哪一個數值最接近 2？

(1) 3cos 44° + sin 44°，(2) 3cos54° + sin 54°，

(3) 3cos64° + sin 64°，(4) 3cos74° + sin 74°，

(5) 3cos84° + sin84°。

Ans：(4)

【詳解】

(1) 3cos 44°＋sin 44°＝2(sin60cos44＋cos60sin44)＝2sin104。

(2) 3cos54°＋sin 54°＝2(sin60cos54＋cos60sin54)＝2sin114。

(3) 3cos64°＋sin 64°＝2(sin60cos64＋cos60sin64)＝2sin124。

(4) 3cos74°＋sin 74°＝2(sin60cos74＋cos60sin74)＝2sin134。

(5) 3cos84°＋sin84°＝2(sin60cos84＋cos60sin84)＝2sin144。 0＜sin144＜sin135＝ 2

故 2sin134最靠近 2。 5. 在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每兩個 小時可以成長為兩倍，細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始 兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10？ (1) 24 小時。(2) 48 小時。(3) 69 小時。(4) 96 小時。(5) 117 小時。 Ans：(5) 【詳解】

設 x 小時後細菌 A 的數量為 f(x)＝ax_{，則 f(2)＝a}2_{＝2，故 a＝}

1 2 2 。 設 x 小時後細菌 B 的數量為 g(x)＝bx_{，則 g(3)＝b}3_{＝3，故 b＝} 1 3 3 。 bx＝10〃ax  1 1 x x 3 2 3 =10 2  1 3 x〃log3＝1＋ 1 2 x〃log2  2x〃log3＝6＋3x〃log2  x＝ 6 = 6 2 log 3 3log2 2 0.4771 3 0.3010   ≒118。

貳、多選題

（佔 30 分）

說明：第 6 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選 項標示在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項 可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。 6. 假設 a，b，c 是三個正整數。若 25 是 a，b 的最大公因數，且 3，4，14 都是 b，c 的 公因數，則下列何者正確？ (1) c 一定可以被 56 整除。 (2) b ≧ 2100 。 (3) 若 a ≦100 ，則 a＝25 。 (4) a，b，c 三個數的最大公因數是 25 的因數。 (5) a，b，c 三個數的最小公倍數大於或等於 25×3×4×14 。 Ans：(2)(3)(4)

【詳解】 (1) c 可能為 28 × 3。 (2) b 為 25，3，4，14 的倍數，故 b 為 25347 倍數，即 b＝2100k。 (3) a 為 25 的倍數，且與 2，3，7 互質，故 a50，75，100。 (4) a 與 2，3，7 互質，故 a，b，c 三個數的最大公因數是 25 的因數。 (5) a，b，c 三個數的最小公倍數大於或等於 25×3×4×14。 7. 考慮坐標平面上所有滿足 (x2)2y2 (x2)2(y4)2＝10 的點 (x，y)所成的圖 形，下列敘述何者正確？ (1) 此圖形為一橢圓。 (2) 此圖形為一雙曲線。 (3) 此圖形的中心在(2，−2) 。 (4) 此圖形對稱於 x－2=0。 (5) 此圖形有一頂點 (2，3) 。 Ans：(1)(3)(4)(5) 【詳解】 設 F1(2，0)，F2(2，4)，P(x，y)，則 2 2 2 2 (x2) y  (x2) (y4) ＝10 即PF +PF ＝10， _{1 2} 表已 F1，F2為焦點，長軸長為 10 的橢圓， 其中心為F F 的中點(2，_{1 2} 2)。 長軸為 x＝2，短軸為 y＝2。 長軸頂點為(2，3)，(2，7)。

8. 假設實數 a1，a2，a3，a4 是一個等差數列，且滿足 0＜a1＜2 及 a3＝4。若定義 bn＝2an，

則以下哪些選項是對的？

(1) b1，b2，b3，b4 是一個等比數列。

(2) b1`＜b2。 (3) b2＞4。 (4) b4 ＞32。 (5) b2 ×b₄＝256 。

Ans：(1)(2)(3)(4)(5)

【詳解】

設<an>的公差為 d，則 a1＝4－2d，a2＝4－d，a4＝4＋d。

0＜a1＝4－2d＜2 4＜2d＜2  1＜d＜2。 b1＝24 2d ，b2＝24 d ，b3＝24＝16，b4＝24+d。

(1) 2 3 4 d 2 3 b b b = = =2 b1 b b ，故b1，b2，b3，b4 是一個等比數列。 (2) 2 3 4 d 2 3 b b b = = =2 b1 b b ＞1，故 b2＞b1。 (3) 1＜d＜2  2＜4－d＜3  22＜b2＜23 b2＞4。 (4) 1＜d＜2  5＜4＋d＜6  25＜b4＜26 b4＞32。 (5) b2b4＝24 d 24+d＝28＝256。 9. 學生練習計算三次多項式 f(x)除以一次多項式 g(x)的餘式﹒已知 f(x)的三次項係數為 3﹐ 一次項係數為 2﹒甲生在計算時把 f(x)的三次項係數錯看成 2（其他係數沒看錯）﹐乙生 在計算時把 f(x)的一次項係數錯看成 2 （其他係數沒看錯）﹒而甲生和乙生算出來的餘 式剛好一樣﹒詴問 g(x)可能等於以下哪些一次式﹖ (1) x，(2) x－1，(3) x－2，(4) x＋1，(5) x＋2﹒ Ans：(1)(3)(5) 【詳解】 設 f(x)＝3x3_＋ax2_{＋2x＋b，g(x)＝x－c。}

f1(x)＝2x3＋ax2＋2x＋b  f1(c)＝2c3＋ac2＋2c+b……(A) f2(x)＝3x3＋ax2－2x＋b  f2(c)＝3c3＋ac2－2c＋b……(B)

(A)－(B)＝c3－4c＝0  c＝0 或 c＝2 或 c＝2，

10. 下圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分比數字代表各體重區間的相對 次數，其中各區間不包含左端點而包含右端點）。該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤， 標準差為 12.5 公斤。曲線 N 代表一常態分佈，其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣 本中，若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上（即體重超過 80 公斤 以上），則下列敘述哪些正確? (1) 曲線 N（常態分佈）中，在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%。 (2) 曲線 N（常態分佈）中，在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%。 (3) 該樣本中，體重的中位數大於 55 公斤。 (4) 該樣本中，體重的第一四分位數大於 45 公斤。 (5) 該樣本中，「體重過重」（體重超過 80 公斤以上）的比例大於或等於 5%。 Ans：(1)(2)(4)(5) 【詳解】 (1) ○：在 N 中，平均為 55，前、後各佔一半。 (2) ○：在(55－25，55＋25)中佔 0.95，比 80 大的佔1 95 =2.5 2   。 (3) ：55 公斤時為 53％，故 50％時比 55 公斤小。 (4) ○：Q1為 25％，由圖知大於 45 公斤。 (5) ○：85 公斤以上者就有 5％了。

11. 將正整數 18 分解成兩個正整數的乘積有 1×18，2×9，3×6 三種，又 3×6 是這三種分解 中，兩數的差最小的，我們稱 3×6 為 18 的最佳分解。當 p×q(p≦q) 是正整數 n 的最 佳分解時，我們規定函數 F(n)＝ p q ，例如 F(18)＝ 3 1 6 2，下列有關函數 F(n) 的敘述， 何者正確？ (1) F(4) = 1。 (2) F(24)＝3 8。 (3) F(27)＝ 1 3。 (4) 若 n 是一個質數，則F(n)＝1 n 。 (5) 若 n 是一個完全平方數，則 F(n) =1。 Ans：(1)(3)(4)(5) 【詳解】 (1) 4＝14＝22  F(4)＝2 2 ＝1。 (2) 24＝124＝212＝38＝46  F(24)＝4=2 6 3。 (3) 27＝127＝39  F(27)＝3=1 9 3。 (4) n 是一個質數，則 n＝1n  F(n)＝1 n。 (5) n＝k2 ＝kk  F(n)＝k k ＝1。

第二部分：選填題

（佔 45 分）

說明： 1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12–32)。 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中（男，女）代表第一個 小孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭，餘類推。由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的 男、女孩性別比約為________:100。（四捨五入至整數位）。 家庭別 家庭數 （男，男） 261 （男，女） 249 （女，男） 255 （女，女） 235 Ans：105 【詳解】 男孩有 2612＋249＋255＝1026， 女孩有 249＋255＋2352＝974， 男、女孩性別比為 1026：974＝105.4：100。 B. 下圖為一正立方體，若 M 在線段AB上，BM 2AM，N 為線段BC之中點，則 cos∠MON ＝__________ 10。（分數要化成最簡分數） Ans：4 10 15 【詳解】 設此正立方體的邊長為 6。建立空間座標系， O(0，0，0)，A(0，0，6)，M(2，0，6)，N(6，3，6)，則 OM＝(2，0，6)，ON＝(6，3，6)，

cosMON＝ 2 2 2 2 2 2 OM ON 2 6+0 (-3)+6 6 12+36 4 = = = 10 15 2 10 9 OM ON _{2 +0 +6 6 +(-3) +6}      。 C. 給定平面上三點 (−6，−2)，(2，−1)，(1，2)。若有第四點和此三點形成一菱形（四邊長 皆相等），則第四點的坐標為___________

。

Ans：(9，3) 【詳解】 如下圖， AB＝ 2 2 (2+6) +( 1+2) = 65 ，AC＝ 2 2 (1+6) +(2+2) = 65 ， 故AB與AC為兩鄰邊。 CD=AB＝(8，1)，故 D(9，3)。 4 2 -2 -5 5 10 m DC = 8.06 cm m DB = 8.06 cm m AB = 8.06 cm m CA = 8.06 cm D: (9.00, 3.00) C: (1.00, 2.00) B: (2.00, -1.00) A: (-6.00, -2.00) D C B A D. 如圖所示，ABCD 為圓內接四邊形：若 ∠DBC=30°，∠ABD=45°，CD=6，則線段 AD ＝_____________。

Ans： 72

【詳解】

由附圖知DAC＝DBC＝30，ACD＝ABD＝45，

在ACD 中，由正弦定理知 AD CD = sin 45 sin 30  AD＝ 2 6 CD sin 45 ₂ = =6 2 1 sin 30 2     。 E. 新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有 八款鞋可供選擇，其價格如下： 款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 價格 670 670 700 700 700 800 800 800 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款 鞋之一）。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法 一共有__________種。 Ans：21 【詳解】 買丙丁戊鞋均可送甲乙 2 種，共有 32＝6。 買己庚辛鞋均可送甲乙丙丁戊 5 種，故共有 35＝15。 故共有 6＋15＝21 種。 F. 某地共有 9 個電視頻道，將其分配給 3 個新聞台、4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型。 若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共有 ___________。 Ans：576 【詳解】 2 個體育台共 2!＝2 種。 3 個新聞台可選第 3，4，5，或第 7，8，9 頻道，共 3!2＝12 種。 4 個綜藝台共 4!＝24 種。 故共有 21224＝576 種分配方式。

G. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形： 拼第 95 個圖需用到___________塊白色地磚。 Ans：478 【詳解】 拼第 95 個圖需有 95 個黑地磚，故共有 955＝475 個白地磚， 再加最右側 3 個，故供需 478 個白地磚。 H. 在三角形 ABC 中，若 D 點在BC邊上，且AB＝7，AC＝13，BD＝7，CD＝8，則AD ＝___________。 Ans：7 【詳解】 由餘弦定理知 cosADB＝ 2 2 2 x +7 7 2 7x  ， cosADC＝ 2 2 2 x +8 (13) 2 8x  ，

因 coxADC＝cosADB，故

2 2 2 x +7 7 2 7x  ＝－ 2 2 2 x +8 (13) 2 8x   8x2＝7(x2－105)  15x2＝7105  x2＝72  x＝7。 I. 設 A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6)為坐標平面上的四個點。如果直線 y＝m(x－7)＋4。將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊，那麼 m＝__________。 Ans：1 2 【詳解】 7 8 13 7 m AD = 4.96 cm m CB = 11.43 cm DB = 4.48 cm CD = 6.94 cm m CA = 9.90 cm m AB = 5.33 cm B A C D

6 4 2 5 10 Area GHA B = 29.97 cm2 D: (0.00, 6.00) _{C: (10.00, 6.00)} B: (10.00, 0.00) A: (0.00, 0.00) H D C B A G 矩形 ABCD 的面積為 60，高AB＝10，故 L：y＝f(x)＝m(x－7)＋4 中 f(10)＝3m＋4，f(0)＝7m＋4，3m＋4－7m＋4＝6  m＝1 2 。

公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式 ax2 +bx+c=0 的公式解：x＝ b b 4 2 ac a     。 2. 平面上兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離為P P1 2  (x1x2)2(y1y2)2 。 3. 通過(x1，y1)，與(x2，y2)的直線斜率 2 1 2 1 y y m x x    ，x1x2。 4. 等比數列<ark-1 >的前 n 項之和 (1 ) 1 n n a r s r    ，r1。 5. 三角函數的公式： sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA cos(A+B) = cosAcosB−sinAsinB sin 2θ = 2sinθ cosθ

6. ΔABC 的正弦定理：sinA sinB sinC

a  b  c 。 ΔABC 的餘弦定理：c2 ＝a2 ＋b2 －2abcosC。 7. 棣美弗定理: 設 z=r

(

cosθ+isinθ

)

， 則 zn_＝rn

₍

_{cosnθ+isinnθ}

₎

_{，n 為一正整數。} 8. 算術平均數： _{1 2} 1 1 1 ( ) ( ) n n i i M X x x x x n n _      



。 (樣本)標準差： 2 2 1 1 1 1 ( ) (( ) ) 1 1 n n i i i i S x X x nX n _ n _     







。 9. 參考數值：log2＝0.3010，log 3＝0.4771， sin15＝ 6 2 4  cos15＝ 6 2 4  。 10. 常態分佈：常態分佈的資料對稱於平均數 μ，且當標準差為 S 時， 該資料大約有68% 落在區間 (μ −S,μ +S) 內， 約有 95% 落在區間 (μ −2S,μ +2S) 內，