右圖是艾薛爾的作品《漩渦》，圖中大小不同的魚之間存在著伸縮關係，而 大小相同的魚之間存在著旋轉關係。事實上，只要利用伸縮、鏡射、旋轉，有系 統地變換圖案的大小、位置與角度，便可產生如圖 1 的畫面。 ▲ 圖 1 如何利用二階方陣將坐標平面上的點作變換是本單元所要學習的內容。
甲 平面上的線性變換
凱利 （A. Cayley，英，1821 ～1895）是矩陣理論的 先驅，在該領域有著無 可取代的重要貢獻。 在坐標平面上，如果將點P x y
,
依線性關係式3
2
x
x y
y x
y
對應到點P x y
,
，那麼這關係式可用矩陣表示為3
1
1 2
x
x
y
y
。 例如：當點 P 的坐標為
3, 2
時，由上列的關係式， 得3
1 3
7
1 2 2
7
x
y
， 即對應到的點為P x y
,
P
7, 7
。在上例中，我們稱二階方陣
3
1
1 2
將點P
3, 2
作線性變換到點P
7, 7
， 而且點P
7, 7
稱為點P
3, 2
的對應點，如圖 2 所示。 ▲圖 2 一般而言，將平面上點的線性變換定義如下。 平面上點的線性變換 設二階方陣A
a b
c d
。在坐標平面上，當點P x y
,
依線性關係式x
a b x
y
c d y
（即x ax by y cx dy
,
） 對應到點P x y
,
時，稱二階方陣 A 為坐標平面上的一個線性變換，且點
,
P x y
稱為點P x y
,
的對應點。 來練習點的線性變換。 【例题 1】 設二階方陣3 2
2 1
A
。 (1) 已知 A 將P
1, 2
對應到P
點，求P
點的坐標。 (2) 已知 A 將 Q 點對應到Q
5, 4
，求 Q 點的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 因為3 2 1
1
2 1
2
0
，
(2) 設Q 的坐標為
x y
,
。因為3 2
5
2 1
4
x
y
， 所以
13 2
5
1
1
2 5
3
2 1
4
1
2 3 4
2
x
y
。 故Q 的坐標為
3, 2
。 【隨堂練習 1】 設二階方陣2 1
5 3
A
。 (1) 已知 A 將P
2, 1
對應到P
點，求P
點的坐標。 (2) 已知 A 將 Q 點對應到Q
3, 4
，求 Q 點的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 因為2 1 2
3
5 3
1
7
， 所以P
2, 1
的對應點P
之坐標為
3, 7
。 (2) 設Q 的坐標為
x y
,
。 因為2 1
3
5 3
4
x
y
， 所以 12 1
3
3
1 3
5
5 3
4
5 2 4
7
x
y
。 故Q 的坐標為
5, 7
。 利用矩陣的運算可以求得代表線性變換的二階方陣，底下來做個練習。【例题 2】 已知二階方陣 A 分別將
P
3, 1
與Q
1, 2
對應到
9,8
P
與Q
8, 1
，求 A。 Ans： 【詳解】 設A
a b
c d
。依題意可得3
9
,
1
8
a b
c d
1
8
2
1
a b
c d
。 將上列二式合併寫成3
1
9
8
1 2
8
1
a b
c d
。 故二階方陣 A 為 19
8 3
1
8
1
1 2
9
8
1
2 1
8
1
5
1 3
2
3
3 1
a b
c d
【隨堂練習 2】 已知二階方陣 A 分別將P
2,1
與Q
0, 1
對應到
0, 5
P
與Q
2, 3
，求 A。 Ans： 【詳解】 設A
a b
c d
， 根據題意可得2
0
a b
a b
0
2
將上列二式合併寫成
2 0
0
2
1
1
5
3
a b
c d
。 故二階方陣 A 為 10
2 2 0
5
3 1
1
0
2
1
1 0
5
3
2
1 2
1 2
1 3
a b
c d
．
。 在例題 1 中，二階方陣3 2
2 1
A
分別將 P(1，2)與 Q(3，2)對應到 P(1，0)與 Q(5，4)。今在直線PQ y
:
2
上取一點 R(4，2)，計算3 2 4
8
2 1
2
6
， 即方陣 A 將R
4, 2
對應到點R
8, 6
；同時注意到：點R
8, 6
會落在直線: 2 3
2 0
PQ
x
y
上，如圖 3(a)所示。這個現象並非偶然，事實上，當 R 點為 直線 PQ 上的任何一點時，經過 A 變換後的R
點也會在直線PQ
上。 (a) (b) ▲圖 3 由上述亦可推得，向量PQ
經過 A 變換後，仍然會是一個向量，即向量PQ
， 如圖 3(b)所示。將以上線性變換的性質整理如下。線性變換的性質 若二階方陣
A
a b
c d
的行列式不為 0，則坐標平面上的線性變換有以下性 質： (1)直線經過 A 變換後仍為直線。 (2)線段經過 A 變換後仍為線段。 (3)向量經過 A 變換後仍為向量。 那麼，要怎麼進行向量的線性變換呢？例如向量u
1, 2
經過二階方陣1
1
0 2
A
變換後，會是什麼向量呢？首先，將向量u
1, 2
視作向量OP
， 其中 O 為原點，P 為點
1, 2
，如圖 4 所示。接著，因為1
1 0
0
0 2 0
0
且1
1 1
1
0 2 2
4
， 所以 O 點經過 A 變換後仍為 O 點，P
1, 2
經過 A 變換後為P
1, 4
。 ▲ 圖 4 最後，綜合以上可得：經過 A 變換後，向量u
1,2
的對應向量為向量
1, 4
。 因此，當我們處理向量u
a b
,
的變換時，只需考慮點
a b
,
的對應點即 可。來練習一道例題。【例题 3】 設二階方陣
2 4
3
3
A
。已知 A 將向量u
2,3
對應到向量u
， 求向量u
。 Ans： 【詳解】 因為2 4 2
8
3
3 3
3
， 所以向量u
2,3
的對應向量為u
8, 3
。 【隨堂練習 3】 設二階方陣4
3
1 2
A
。已知 A 將向量u
對應到向量
18, 7
u
，求向量u
。 Ans： 【詳解】 因為4
3
18
1 2
7
x
y
， 所以 14
3
18
1
2 3
18
3
1 2
7
5
1 4
7
2
x
y
， 故向量u
為
3, 2
。接下來介紹向量經過矩陣變換後的線性組合意涵。首先，設向量
u
x y
,
經過1
3
2
4
A
變換後對應的向量為u
x y
,
，其關係式為
1
3
1
3
2
4
2
4
x
x
y
x
y
x
y
y
， 接著，利用矩陣的加法與係數積，將上式改寫成
1
1
3
1
3
3
2
2
4
2
4
4
x
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
， 最後，設a
1,2 ,
b
3, 4
，那麼，以上矩陣的關係式可用向量表示成u
x a y b
， 也就是說，向量u
x y
,
可視為二階方陣 A 中第一行與第二行所對應向量a
與b
的線性組合，且線性組合的係數來自於向量u
x y
,
中的 x 與 y。 二階方陣乘向量的線性組合意涵 設二階方陣 1 1 2 2a b
A
a b
，且a
a a
1,
2
,
b
b b
1,
2 。在坐標平面上，若向量
,
u
x y
經過 A 變換對應的向量為u
x y
,
，即 1 1 2 2a b
x
x
a b
y
y
， 則u
x a y b
。 事實上，以上的線性組合意涵與第三冊學過的「二元一次聯立方程式的向量 觀點」是殊途同歸的：第三冊學過可將聯立方程式3
x
y x
從向量的觀點寫為
1, 2
3, 4
,
x
y
x y
， 又此聯立方程式的矩陣表示為1
3
2
4
x
x
y
y
， 所以向量u
x y
,
可視為二階方陣1
3
2
4
中第一行與第二行所對應向量
1, 2
與
3, 4
的線性組合。乙 重要的線性變換
接下來，介紹生活中常見的幾種線性變換。 （一）伸縮 圖 5 是常見的地圖局部放大圖，其做法是以一個點為中心，沿著同一個方向 將圖片的尺寸等比例放大。這個原理與坐標平面上的伸縮是一樣的。 在坐標平面上，若以原點 O 為中心，將點P x y
,
沿著 x 軸方向伸縮 h 倍 （h
0
），且沿著 y 軸方向伸縮 k 倍（k
0
）後，得點P x y
,
，則x y
,
該如何 求呢？ ▲ 圖 5 如圖 6，根據平面上伸縮的定義，得0
0
x hx hx
y
y ky
x ky
， 即0
0
x
h
x
y
k y
。 ▲ 圖 6 我們將這個以原點 O 為中心作伸縮的線性變換整理如下。伸縮矩陣 在坐標平面上，若以原點 O 為中心，將點
P x y
,
沿著 x 軸方向伸縮 h 倍（h
0
）， 且沿著 y 軸方向伸縮 k 倍（k
0
）後，得點P x y
,
，則0
0
x
h
x
y
k y
。 這類矩陣0
0
h
k
稱為伸縮矩陣。 來練習伸縮變換。 【例题 4】 已知正方形 PQRS 的四個頂點坐標為P
6, 6 ,
Q
6, 6 ,
R
6, 6 ,
S
6, 6
。 將此四個頂點分別以原點 O 為中心，沿著 x 軸方向伸縮 2 倍，沿著 y 軸方向 伸縮1
3
倍，得P Q R S
, , ,
四點。 (1) 利用伸縮矩陣求P Q R S
, , ,
四點的坐標。 (2) 求四邊形PQRS
的面積。 Ans： 【詳解】 (1) 依題意，此時的伸縮矩陣為2 0
1
0
3
。代入P
6, 6
，得2 0
6
12
1
6
2
0
3
， 即P
12, 2
。用同樣的方法，可得
12, 2 ,
12, 2 ,
12, 2
Q
R
S
。 (2) 因為四邊形PQRS
是長為 24，寬為 4 的矩形， 所以其面積為24 4 96
。【隨堂練習 4】 已知伸縮矩陣
2 0
3
0
2
A
將O
0, 0 ,
P
3, 0 ,
Q
0, 2
三點分別對應到O P Q
, ,
三點。 (1) 在坐標平面上畫出△OPQ
。 (2) 求△OPQ
與△OPQ 的面積比。 Ans： 【詳解】 (1) 在伸縮的矩陣表示中，代入O
0, 0
， 得2 0 0 0
3 0 0
0
2
，即O
0, 0
。 用同樣的方法，可得P
6, 0 ,
Q
0, 3
。 在坐標平面上畫出△OPQ
，如圖所示。 (2) 因為△OPQ 的面積1
3 2 3,
2
△1
6 3 9
2
OPQ
， 所以△OPQ
與△OPQ 的面積比為9: 3 3:1
。 （二）旋轉 圖 7 是引言中提及的艾薛爾作品《漩渦》，其中將紅色的魚以作品中心逆時 針旋轉90
即可得到藍色的魚。坐標平面上的旋轉也是一樣的道理，說明如下。▲圖 7 在坐標平面上，若以原點 O 為中心，將點
P x y
,
依逆時針方向旋轉
角後 得點P x y
,
，則x y
,
該如何求呢？ 如圖 8，在坐標平面上，點P x y
,
滿足cos
sin
x r
y r
，其中r OP
0
。 若以原點 O 為中心，將 P 點依逆時針方向旋轉
角後得點P x y
,
，則,
OP OP r OP
與 x 軸正向的夾角為
，且x y
,
滿足
cos
sin
x r
y r
。 利用和角公式展開，得
cos cos
sin cos
sin sin
cos sin
cos
sin
sin
cos
x r
x
y
y r
x
y
。 這關係式可用矩陣表示為cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
。 ▲圖 8 將以上的結果整理如下。旋轉矩陣 在坐標平面上，若以原點 O 為中心，將點
P x y
,
依逆時針方向旋轉
角後得點
,
P x y
，則cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
。 這類矩陣cos
sin
sin
cos
稱為旋轉矩陣。 下面是旋轉變換的一個應用。 【例题 5】 已知正三角形 OPQ 中二頂點坐標為O
0, 0 ,
P
4, 2
，求頂點 Q 的坐標。 Ans： 【詳解】 如右圖，因為△OPQ1與△OPQ2都是正三角形， 所以所求的頂點 Q 有二解，分別計算如下： ① 以O 為中心，將 P 點逆時針旋轉60
後得Q
1點。 利用旋轉矩陣，計算cos60
sin60
4
sin60
cos60
2
1
3
4
2
3
2
2
2
3
1
1 2 3
2
2
， 得Q
1的坐標為
2
3,1 2 3
。 ② 以O 為中心，將 P 點順時針旋轉60
後得Q
2點。 利用旋轉矩陣，計算
1
3
4
4
2
3
cos 60
sin 60
2
2
2
2
sin 60
cos 60
3
1
1 2 3
2
2
， 得Q
2的坐標為
2
3,1 2 3
。 綜合①與②所得，頂點Q 的坐標為
2
3,1 2 3
或
2
3,1 2 3
。 【隨堂練習 5】 如右圖，已知中心為原點 O 的正八邊形之一個頂點為
4, 2
A
，求此正八邊形的另二個頂點 B 與 C 的坐標。 （小提醒：直線 BC 不垂直 x 軸） Ans： 【詳解】 (1) 以O 為中心，將 A 點逆時針旋轉 45後得 B 點。 利用旋轉的矩陣表示，計算2
2
cos45
sin45
4
2
2
4
2
sin45
cos45
2
2
2
2
3 2
2
2
， 得B 的坐標為
2,3 2
。 (2) 以O 為中心，將 A 點順時針旋轉 90後得 C 點。 利用旋轉的矩陣表示，計算
4
0 1 4
2
cos 90
sin 90
2
1 0 2
4
sin 90
cos 90
， 得C 的坐標為
2, 4
。來做一題結合伸縮與旋轉的線性變換。 【例题 6】 在坐標平面上，
O
0, 0 ,
P
5, 2
，且 Q 點在第一象限。已知△OPQ 為等腰直 角三角形且
P
90
，求 Q 的坐標。 Ans： 【詳解】 如右圖，分二步驟計算如下： ① 以O 為中心，將 P 點逆時針旋轉45
後得P
點， 而且P
落在OQ
上（因為
POQ
45
）。 利用旋轉矩陣，計算cos45
sin45
5
sin45
cos45
2
2
2
3 2
5
2
2
2
2
2
2
7 2
2
2
2
， 得P
的坐標為3 2 7 2
,
2
2
。 ② 因為OQ
2
OP
2
OP
，所以以O 為中心， 將P
點沿著x 軸方向伸縮2
倍， 沿著y 軸方向伸縮2
倍後得Q 點； 利用伸縮矩陣，計算3 2
2
0
2
3
7
0
2 7 2
2
， 得Q 的坐標為
3, 7
。【隨堂練習 6】 在坐標平面上，
O
0, 0 ,
P
2, 3
，且 Q 與 R 兩點都在 第一象限。已知 OPQR 為矩形且OP OR
:
1: 3
，求 (1) R 的坐標。 (2) Q 的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 分二步驟計算R 的坐標如下： ①以 O 為中心，將 P 點逆時針旋轉 90後得P
點， 而且P
落在OR
上（因為
POR
90
）， 利用旋轉矩陣，計算cos90
sin90
2
0
1 2
3
sin90
cos90
3
1 0
3
2
， 得P
的坐標為
3, 2
。 ②因為OR OP OP
3
3
，所以以 O 為中心， 將P
點沿著 x 軸方向伸縮 3 倍， 沿著 y 軸方向伸縮 3 倍後得 R 點， 利用伸縮矩陣，計算3 0 3
9
0 3 2
6
， 得 R 的坐標為
9, 6
。 (2) 設Q 的坐標為
a b
,
。 因為PQ OR
，即
a
2,
b
3
9, 6
， 所以a
11,
b
3
。故Q 的坐標為
11, 3
。（三）鏡射 圖 9 是常見的城市倒影照片，使用的影像編輯手法即為鏡射。接下來說明坐 標平面上的鏡射。 ▲ 圖 9 在坐標平面上，直線 L 是過原點且斜角為
的直線。若點P x y
,
對於直線 L 的對稱點為P x y
,
，如圖 10(a)所示，則x y
,
該如何求呢？ (a) (b) ▲圖 10 在圖 10(b)，設
為OP
與 x 軸正向的夾角。首先，將點P x y
,
對於 x 軸作對 稱，得對稱點
,
Q x
y
。 其次，因為OQ OP OP
，且
2
QOP
， 所以，以原點 O 為中心，將Q x
,
y
點依逆時針方向旋轉2
後可得點P x y
,
。 最後，利用旋轉矩陣，得cos2
sin2
sin2
cos2
x
x
y
y
cos2
x
sin2
y
cos2
sin2
sin2
cos2
x
y
。 我們將以上這種變換稱為對直線 L 的鏡射，並將結果整理如下。 鏡射矩陣 在坐標平面上，直線 L 是過原點且斜角為
的直線。若點P x y
,
對直線 L 鏡射 得點P x y
,
，則cos2
sin2
sin2
cos2
x
x
y
y
。 這類矩陣cos2
sin2
sin2
cos2
稱為鏡射矩陣。 底下來練習鏡射變換。 【例题 7】 已知直線L y
:
3
x
，求點P
4, 2
對直線 L 鏡射的對應點P
之坐標。 Ans： 【詳解】 因為直線 L 通過原點且斜角為 60， 所以利用鏡射矩陣，計算cos120
sin120
4
sin120
cos120 2
1
3
4
2
3
2
2
2
3
1
1 2 3
2
2
， 得對稱點P
的坐標為
2
3,1 2 3
。 【隨堂練習 7】 已知直線L y
:
x
，求點P
4, 2
對直線 L 鏡射的對應點P
之坐標。 Ans：【詳解】 因為直線 L 通過原點且斜角為 135， 所以利用鏡射的矩陣表示， 計算
cos270
sin270
4
0
1 4
2
sin270
cos270
2
1 0 2
4
， 得對稱點P
的坐標為
2, 4
。 直線y x x
,
軸與 y 軸是探討鏡射時常討論的三條對稱軸。因為y x x
,
軸與 y 軸皆通過原點且其斜角分別為45 ,0
與90
，所以有以下結果（參考圖 11）： (1) 以直線y x
為對稱軸的鏡射矩陣為cos90
sin90
0 1
sin90
cos90
1 0
。 (2) 以 x 軸為對稱軸的鏡射矩陣為cos0
sin0
1 0
sin0
cos0
0
1
。 (3) 以 y 軸為對稱軸的鏡射矩陣為cos180
sin180
1 0
sin180
cos180
0 1
。 ▲圖 11 （四）推移 國家地震工程研究中心的網頁介紹了建築碰到地震 的狀況，當地震來臨時，如圖 12(a)的長方形空間就會變形 成如圖 12(b)的平行四邊形，這就是水平推移的概念。 在坐標平面上，若點P x y
,
的 y 坐標保持不變，而將 x 坐標增加 y 坐標的 k 倍（k 是一個常數），得點P x y
,
， 如圖 13 所示，則x y
,
滿足x x ky
y y
， 即1
0 1
x
k x
y
y
。 這個沿 x 軸推移 y 坐標 k 倍的線性變換，可以用矩陣 表示如下。 水平推移矩陣 在坐標平面上，若將點P x y
,
水平推移 y 坐標的 k 倍，得點P x y
,
，則1
0 1
x
k x
y
y
。 這類矩陣1
0 1
k
稱為水平推移矩陣。 來練習推移變換。 【例题 8】 已知矩形 OPQR 的四頂點坐標為O
0, 0 ,
P
2, 0 ,
Q
2,1 ,
R
0,1
。分別將此 四個頂點水平推移 y 坐標的 3 倍，得O P Q R
, , ,
四點，求四邊形OPQR
的 面積。 Ans： 【詳解】 利用水平推移矩陣，代入R
0,1
，得1 3 0
3
0 1 1
1
， 即R
3,1
。用同樣的方法，可得
0, 0 ,
2, 0 ,
5,1
O
P
Q
， 即 O 與 P 兩點的對應點是自己本身。 因為四邊形OPQR
是底為 2， 高為 1 的平行四邊形，所以其面積為2 1 2
。 ▲圖 13丙 線性變換的面積比
由上面的討論，我們知道線性變換可能會將原圖形改變，例如圖 14 中黑色魚 由外而內按固定的比例伸縮而改變其大小。那麼，經過線性變換後的新圖形的面 積與原圖形的面積之間存在什麼關係呢？ ▲ 圖 14 以三角形為例，因為平面上的線段經過線性變換後仍為線段，所以三角形經 線性變換後仍為三角形。因此，當使用線性變換來變換一個三角形時，只要逐一 計算出三頂點變換後的位置，再連接三邊就可得變換後的三角形。底下，我們來 計算坐標平面上的三角形經線性變換後，新三角形與原三角形的面積比。 不失一般性，將原三角形的三頂點設為P
0, 0 ,
Q x y
1,
1
與R x y
2,
2
，經過 二階方陣A
a b
c d
作線性變換後的對應點分別為
0, 0 ,
1 1,
1 1
,
2 2,
2 2
P
Q ax by cx dy R ax by cx
dy
， 如圖 15 所示。 ▲圖 15 因為PQ
x y PR
1,
1,
x y
2,
2
，所以△PQR 的面積 1 1 2 2
1
|
|
2
x
y
x
y
。 又因為PQ
ax by cx dy PR
1
1,
1
1
,
ax by cx dy
2
2,
2
2
，所以 △PQR
的面積 1 1 1 1 2 2 2 21
|
|
2
ax by
cx dy
ax by cx dy
1 1
2 2
2 2
1 1
1
2
ax by cx dy
ax by cx dy
1 21
2
acxx
adx y bcx y bdy y
1 2
2 1
1 2
acxx
1 2
bcx y adx y
1 2
2 1
bdy y
1 2 1 2 2 1 1 2 2 11
2
adx y bcx y bcx y adx y
1 2 2 1
1 2 2 1
1
2
ad x y
x y
bc x y
x y
1 2 2 1
1
2
ad bc x y
x y
1 1 2 21
|
| |
|
2
x
y
a b
x
y
c d
|
a b
|
c d
(△PQR 的面積)。 這結果告訴我們：變換後三角形的面積為變換前的|
a b
|
c d
倍。 線性變換的面積比公式 若二階方陣A
a b
c d
將平面上的△PQR 變換成△PQR
，則 △PQR
的面積|
a b
|
c d
△PQR 的面積。 底下練習線性變換的面積比公式。【例题 9】 已知二階方陣
1 2
3 4
A
將△PQR 變換成△PQR
，且△PQR 三頂點坐標為
1, 2 ,
4, 6 ,
3, 7
P
Q
R
，求△PQR
的面積。 Ans： 【詳解】 因為向量PQ
3, 4 ,
PR
2,5
， 所以△PQR 的面積為3 4
1
7
|
|
2 5
2
2
。 利用線性變換的面積比公式， 得△PQR
的面積為1 2
|
|
3 4
△PQR 的面積7
2
7
2
。 【隨堂練習 9】 已知坐標平面上兩點P
5, 2 ,
Q
3, 2
，且二階方陣1 4
2 5
A
，求由OP
與OQ
決定的平行四邊形經 A 線性變換後的四邊形之面積。 Ans： 【詳解】 因為向量OP
5,2 ,
OQ
3, 2
， 所以OP
與OQ
決定的平行四邊形面積為5 2
|
| 16
3
2
。 利用線性變換的面積比公式， 得OP
與OQ
決定的平行四邊形面積為1 4
|
|
2 5
OP
與OQ
決定的平行四邊形面積3 16 48
。 最後，利用線性變換的面積比公式，分別來計算平面上的一個三角形經伸縮， 旋轉，鏡射或推移變換後，所得新三角形的面積與原三角形的面積之關係： (1) 伸縮：因為0
0
h
hk
k
，所以沿著 x 軸方向伸縮 h（h
0
）倍，沿著 y 軸方向 伸縮 k（k
0
）倍後面積為原來的 hk 倍。(2) 旋轉：因為
cos
sin
cos
2sin
21
sin
cos
，所以旋轉後面積保持不變。(3) 鏡射：因為
cos2
sin2
cos 2
2sin 2
21
sin2
cos2
，所以鏡射後面積保持不 變。 (4) 推移：因為1
1
0 1
k
，所以推移後面積保持不變。丁 轉移矩陣
矩陣在機率問題上有一個重要的應用。底下將從一道「市區與郊區之間的人 口遷移」問題開始，來探討它的應用。 ▲ 圖 16 假設某城市的市區與郊區目前的人口比例分別為 a 與 b，其中a b
1
，且每 年人口遷移的狀況如下： 住在市區的人隔年有 90％仍留在市區，另 10％遷移至郊區； 住在郊區的人隔年有 20％遷移至市區，另 80％仍留在郊區。 上述遷移的狀況，可用圖 17 的樹狀圖呈現如下。 ▲圖 17 由樹狀圖得知： 一年後市區人口的比例為0.9
a
0.2
b
； 一年後郊區人口的比例為0.1 0.8
a
b
。 這些資訊可用矩陣表示如下：0.9
0.2
0.9 0.2
0.1
0.8
0.1 0.8
a
b
a
a
b
b
一年後市區人口的比例
一年後郊區人口的比例
。 接下來，令 目前 隔年 市區 郊區 市區 0.9 0.2(1)
0.9 0.2
0.1 0.8
A
。 (2)X
0a
b
。 (3)X
n表示 n 年後市區與郊區人口比例的矩陣，即 nX
n
n
年後市區人口的比例
年後郊區人口的比例
。 那麼，當求一年後人口比例的矩陣X
1時，其計算過程相當於作矩陣 A 與X
0的乘 積，即 1 00.9 0.2
0.9
0.2
0.1 0.8
0.1 0.8
a
a
b
X
AX
b
a
b
。 同樣地，兩年後人口比例的矩陣為 2 1X
AX
， 依此類推，可得三年後、四年後…乃至於 n 年後的人口比例的矩陣分別為 3 2,
4 3, ,
n n1X
AX X
AX
X
AX
。 接下來，以實際的數據練習使用矩陣來計算上述市區與郊區的人口比例。 【例题 10】 承接上述的遷移狀況，已知目前市區與郊區人口的比例分別為 70％與 30％， 求 (1) 一年後市區與郊區人口的比例。 (2) 兩年後市區與郊區人口的比例。 Ans： 【詳解】 根據例題 10 之前課文的敘述， 可得a
0.7,
b
0.3
，即 00.7
0.3
X
。 (1) 因為 1 00.9 0.2 0.7
0.9 0.7 0.2 0.3
0.69
0.1 0.8 0.3
0.1 0.7 0.8 0.3
0.31
X
AX
，(2) 因為 2 1
0.9 0.2 0.69
0.9 0.69 0.2 0.31
0.683
0.1 0.8 0.31
0.1 0.69 0.8 0.31
0.317
X
AX
， 所以兩年後市區與郊區人口的比例分別為 68.3％與 31.7％。 例題 10 中的方陣0.9 0.2
0.1 0.8
A
具有下列兩個特性： (1) A 的每一個元都是大於或等於 0 的實數。 (2) A 中每一行的各元之和都等於 1。 當一個方陣具有上述兩個特性時，稱此方陣為轉移矩陣， 例如下面兩個矩陣都是轉移矩陣：3 1
1 0.4
5 3 ,
2 2
0 0.6
5 3
。 雖然例題 10 也可以使用樹狀圖來求得一年後人口的比例，但是如果想要求 更多年以後人口的比例，樹狀圖會相當的龐大與複雜；相較之下，利用轉移矩 陣計算就較為簡便了。再練習一道轉移矩陣的應用問題。 【例题 11】 某銀行統計其信用卡客戶每月的還款情形發現： 準時還款的人隔月有 80％仍準時還款，另 20％會延遲還款； 延遲還款的人隔月有 40％會準時還款，另 60％仍延遲還款。 (1) 寫出描述上述現象的轉移矩陣A。 (2) 已知本月的客戶中有 75％準時還款，分別求一個月後 與兩個月後此批客戶準時還款人數的比例。 Ans： 【詳解】 ▲ 圖 18(1) 依題意製作右表，並得符合題意的轉移矩陣
0.8 0.4
0.2 0.6
A
。 (2) 因為本月的客戶中有 75％準時還款， 所以 00.75
0.25
X
。 依序計算 1 00.8 0.4 0.75
0.7
0.2 0.6 0.25
0.3
X
AX
； 2 10.8 0.4 0.7
0.68
0.2 0.6 0.3
0.32
X
AX
。 故一個月後與兩個月後此批客戶準時還款人數的 比例分別為 70％與 68％。 【隨堂練習 11】 某公司針對新進三年內的員工輪調規則如下： 總公司的員工隔年有 15％調到分公司； 分公司的員工隔年有 35％調到總公司。 (1) 寫出描述上述現象的轉移矩陣A。 (2) 已知今年新進且簽約三年的員工中有 50％在總公司， 求一年後與兩年後此批員工在總公司人數的比例。 Ans： 【詳解】 (1) 依題意製作表，並得符合題意的轉移矩陣0.85 0.35
0.15 0.65
A
。 今年 明年 總公司 分公司 總公司 0.85 0.35 分公司 0.15 0.65 本月 隔月 準時 延遲 準時 0.8 0.4 延遲 0.2 0.6(2) 因為今年新進且簽約三年的員工中有 50%在總公司， 即 50%在分公司，所以 0
0.5
0.5
X
， 計算 1 00.85 0.35 0.5
0.6
0.15 0.65 0.5
0.4
X
AX
； 2 10.85 0.35 0.6
0.65
0.15 0.65 0.4
0.35
X
AX
， 故一年後與兩年後此批員工在總公司人數的比例分別為 60%與 65%。 若我們繼續計算例題 11 中此批客戶三個月後與四個月後準時還款人數的比 例，則可得 3 2 4 30.672
0.6688
,
0.328
0.3312
X
AX
X
AX
。 觀察發現：準時還款人數的比例由 75％逐漸減少。如果長時間持續下去，準時還 款人數的比例會減少到零嗎？事實上，數學家已證明最終選用準時還款與延遲還 款人數的比例會趨近「穩定狀態」。更精確來說，依序計算
1 0 2 2 1 0 0 0 2 2 3 3 2 0 0 0 0,
,
,
,
n nX
AX
X
AX
A AX
AA X
A X
X
AX
A A X
AA X
A X
X
A X
當 n 趨向無限大時，矩陣X
n會趨近一個矩陣 X，且矩陣 X 滿足： (1) 矩陣 X 中各行所有元的和為 1。 (2)AX X
。 利用以上的兩個性質，可以來求例題 11 長時間持續下去最終準時還款與延遲 還款人數的比例： (1) 設長時間持續下去準時還款人數的比例為 k，即延遲還款人數的比例為1 k
， 可得1
k
X
k
。(2) 因為 X 滿足
AX X
，所以0.8 0.4
0.2 0.6 1
1
k
k
k
k
， 得
0.8
0.4 1
0.2
0.6 1
1
k
k
k
k
k
k
， 解得2
3
k
，即2
3
1
3
X
。 也就是說，長時間持續下去，準時還款人數的比例會趨近2
3
，並不會減少到零。 值得一提的是：在穩定狀態時，矩陣 A 與 X 會滿足AX X
，即2
2
1
1.6 0.4
2
0.8
0.4
0.8 0.4 3
3
3
3
3
0.2 0.6 1
0.2
2
0.6
1
0.4 0.6
1
3
3
3
3
3
， 此時，準時還款與延遲還款人數的比例每月均保持不變。 【隨堂練習】 根據某地區統計資料顯示： 開車的人隔年有 30％改為不開車； 不開車的人隔年有 20％改為開車。 已知該地區開車與不開車人口的比例每年均保持不變， 求開車人口的比例。 Ans： 【詳解】 根據題意製作表， 今年 明年 開車 不開車 開車 0.7 0.2 不開車 0.3 0.8並得符合題意的轉移矩陣
