理工學院優秀專題競賽論文
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q
,
r
t
k
T
r
t
q
,
R
,
二維雙曲線型微觀熱傳導的探討
Study of two-dimensional hyperbolic andmicroscale heat conduction problem
林森溥 賴柏叡 陳祈翰 黃志軒 彭振傑 張允維 國立聯合大學機械工程學系
摘要
本文主要針對二維等向性介質的雙曲線型微觀熱傳導問題進行分析，採用變數分離方法來求解雙
曲線型微觀熱傳導，並與傳統傅利葉熱傳導模式作比較，且考慮鬆弛時間參數對雙曲線型微觀熱傳導
的影響。
關鍵字：傅利葉熱傳導、雙曲線型微觀熱傳導、二維。1. 前言
傳統熱傳導理論是以傅利葉熱傳導理論[1]為依據，設熱 通量和溫度梯度間宜成比例關係，其數學表示式為 (1) 其中k
為熱傳導係數，是物質的重要基本熱物理性質之一。 傅利葉熱傳導理論預測熱在介質內的傳遞速率為無窮快，雖 然此一假設不符合實際的物理現象，但在一般常溫及高溫的 情況下仍能合理的解釋絕大部份的熱傳導問題，因此傅利熱 傳導方程式仍然廣泛的應用在一般工程的熱傳分析。 早期處理熱傳導問題均採用傅利葉熱傳導理論來作分析，然 而在科技精進的今日，材料的製造已可到次微米或更小的尺 寸，溫度的控制也可低至絕對零度附近，而高功率短脈衝的 雷射加熱裝置其輪出功率可到幾百瓦至幾十萬瓦，脈衝時間 可達10
9秒至10
12秒。在這些極低溫、極大的溫度梯度、 極高的熱傳以及極短的作用時間等特殊的情況之下，傅利葉 熱傳導理論的適用性？成為當極具挑戰性的熱傳課題。 為了符合實際的物理現象，許多學者對傅利葉熱傳導理 論提出了修正，重新假設熱的傳遞速率並非無窮快，亦即在 熱通量與溫度梯度之間存在著一段延遲時間，數學表示式為 (2) 其中
R 是鬆弛時間常數，為物質的本質熱物理性質之 一。修正過後的熱傳導理論稱為非傅利葉熱傳導理論，由於 在此理論模式下熱是以波動的形式來傳遞，故亦稱為熱波理 論[2~5]。非傅利葉熱傳導理論適用於極短的反應時間、極小 的物理尺寸、極高的溫度或熱通量變化，及趨近於絕對零度 的物理模式等特殊情況。研究結果發現熱傳遞速率對這些狀 況的熱傳分析影響很大，若以傳統的傅利葉熱傳定律描述這 些熱傳現象，通常會低估了實際的溫度分佈。因此，對於本 專題所探討極小物理尺寸之方塊板的熱傳導現象，必須採用 非傅利葉熱波理論來分析。2.研究方法
為了符合物質內實際的熱傳遞現象，考慮熱的傳遞速率非無 窮大，如此物質內熱通量的生產與溫度梯度之間必定存在一 段延遲時間，因此傅利葉熱傳導定律改寫成如(2)式所示。將 (2)式中熱通量取泰勒級數展開，得)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
O
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2k
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t
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q
t
r
q
t
r
q
R R
(3)
若鬆弛時間常數
R很小，可將上式中的高次項忽略，此即 為非傅利葉熱傳導定律。 考慮二維平板雙曲線熱傳導方程式，其介質熱傳導係數 及熱波均為等向性，邊界條件則取等溫邊界條件，藉由 暫態立體溫度分佈圖來探討二維平板熱波傳遞情況。 其物理模式為一初始溫度為T
0大於四周環境之溫度T
a的 正方形平板，如圖 1 所示，當時間大於零後，在平板內之高組別: █實作組□設計組
溫向四周邊界散熱，其傅利葉熱傳導及非傳利導模式與相對 應初始條件及邊界條件分述如下： 【傅利葉熱傳導模式】 溫度統御方程式
t
T
y
T
x
T
1
2 2 2 2 ,d
x
0
, 0 yd ,t
0
(4) 初始條件
x
,
y
,
0
T
0T
(5) 邊界條件
y
t
T
aT
0
,
,
(6a)
d
y
t
T
aT
,
,
(6b)
x
t
T
aT
,
0
,
(6c)
x
d
t
T
aT
,
,
(6d) 【非傅利葉熱傳導模式】 溫度統御方程式 2 2 2 2 2 21
t
T
t
T
y
T
x
T
R
,d
x
0
, 0yd, t0 (7) 初始條件
x
,
y
,
0
T
0T
,
,
,
0
0
y
x
t
T
(8) 邊界條件
y
t
T
aT
0
,
,
(6a)
d
y
t
T
aT
,
,
(6b)
x
t
T
aT
,
0
,
(6c)
x
d
t
T
aT
,
,
(6d) 此時定義下列的無因次參數 a aT
T
T
T
0
,d
x
X
, d y Y , d2 t
, d2 R (9) 則(4)及(7)分別為
2 2 2 2Y
X
(10) 及 2 2 2 2 2 2
Y
X
(11) 初始條件(5)及(8)為1
)
0
,
,
(
X
Y
；(
,
,
0
)
0
Y
X
(12) 邊界條件(6)為0
)
0
,
,
0
(
Y
(13a)0
)
0
,
,
1
(
Y
(13b)0
)
,
0
,
(
X
(13c)0
)
,
1
,
(
X
(13d) 當0126
.
0
8
1
2
以變數分離法解之，可得溫度分佈式如下： 【傅利葉熱傳導模式】
X
Y
A
e
mX
nY
m n mn n m
sin
sin
,
,
1 1 2 2
(14) 【非傅利葉熱傳導模式】
X Y
A q B q
e
mX
nY m n mn mn mn mn
sin sin sin cos , , 1 1
(15) 其中
m
m
；m
1
,
2
,
3
,
4
, . . . .
n
n
；n
1
,
2
,
3
,
4
,...
..
n m n m mnA
4
1
cos
1
cos
2
1
2
1
4
2 1 2 2
m n mnq
mn mn mnA
q
B
3.結果與討論
舉例模擬如下：
0 傅利葉 0.02 0.1 0.2 0.01 圖 2a 圖 3a 圖 4a 圖 5a 0.05 圖 2b 圖 3b 圖 4b 圖 5b 0.1 圖 2c 圖 3c 圖 4c 圖 5c 圖 2 為傅利葉熱傳導模式之散熱情形，正方形平板從 中心點由內向外對四周逐漸散熱。本專題所探討，矽材料的 熱 擴 散 係 數89
.
2
10
m /
s
2 6
， 鬆 弛 時 間s
R 710
23
.
2
[5]，其極小物理尺寸微觀熱傳導的邊 長為d
0
.
03154
mm
，得
0
.
02
，其非傅利葉雙曲 線型熱傳導溫度分佈如圖 3 所示。很明顯的，在初期由邊界 對四周散熱，即因熱波抵達等溫邊界，反彈後之熱波和原來 熱波產生消減的作用，仍未影響到中心點之散熱，但逐漸移 向中心點；時間漸增，中心點之散熱將與反彈後之熱波產生 加成或消減的作用，此與圖 2 不受反彈熱波影響有所不同。 再由圖 3 與圖 4 及圖 5 比較，得知物質鬆弛時間之快 慢，將影響中心點散熱的快慢，鬆弛時間越少，則中心點處 之散熱越快受到等溫邊界散熱反彈熱波的影響，增進其散熱 效應。4.結論與建議
等方向性物質之正方形等溫邊界的平板，對四周散熱， 其傅利葉熱傳模式與非傅利葉熱傳模式有明顯不同。尤其， 在中心點散熱，非傅利葉熱傳模式將受等溫邊界反彈熱波的 影響有加成或消減的作用。並知，物質鬆弛時間越小，影響 其散熱效應愈快。5.參考文獻
[1]. Holman, J.P., 1990,"Heat Transfer," Mc Graw-Hill, New York.
[2]. Cattaneo, C., 1948,"Sulla conduzione de calore," Atti del
Seminar, Mat. Fis. Univ., Modena.
[3].賴昱瑄,2001 年,“應用熱波理論探討二維非等向性介質 之暫態熱傳現象”,國立交通大學,機械工程研究所碩士論文. [4].徐彥平,1995 年,“二維雙曲線型暫態熱傳導現象分析”, 國立交通大學,機械工程研究所碩士論文. [5].胡哲銓,2004 年,“二維雙曲線型微態熱傳導之研究”,逢 甲大學,航空工程研究所碩士論文.
6.圖表彙整
圖 1.極小尺寸之熱傳導物理模式平面示意圖 圖 2a. 傅利葉熱傳導之溫度分佈圖，時間
0
.
01
。 圖 2b. 傅利葉熱傳導之溫度分佈圖，時間
0
.
05
。圖 2c. 傅利葉熱傳導之溫度分佈圖，時間
0
.
1
。 圖 3a. 鬆弛時間
0
.
02
的非傅利葉熱傳導之溫度 分佈圖，時間
0
.
01
。 圖 3b. 鬆弛時間
0
.
02
的非傅利葉熱傳導之溫度 分佈圖，時間
0
.
05
。 圖 3c. 鬆弛時間
0
.
02
的非傅利葉熱傳導之溫度 分佈圖，時間
0
.
1
。 圖 4a. 鬆弛時間
0
.
1
的非傅利葉熱傳導之溫度分 佈圖，時間
0
.
01
。 圖 4b. 鬆弛時間
0
.
1
的非傅利葉熱傳導之溫度分 佈圖，時間
0
.
05
。圖 4c. 鬆弛時間
