體積全像儲存系統的儲存容量與誤碼率研究

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

體積全像儲存系統的儲存容量與誤碼率研究

Study on Storage Capacity and Bit Error Rate of

Volume Holographic Memories

研 究 生：何啟新

指導教授：許根玉

i

體積全像儲存系統的儲存容量與誤碼率研究

Study on Storage Capacity and Bit Error Rate of Volume Holographic

Memories

研 究 生：何啟新 Student：Chi-Hsin Ho

指導教授：許根玉 Advisor：Ken-Yuh Hsu

國立交通大學

光電工程研究所

碩士論文

A Thesis

Submitted to Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Electro-Optical Engineering July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

ii

體積全像儲存系統的儲存容量與誤碼率研究

研究生：何啟新 指導教授：許根玉

國立交通大學光電工程研究所碩士班

摘要

我們在論文中探討體積全像多工儲存系統中雜訊對系統參數的影響。根據通訊頻道 模型，我們可以估計光學不完美產生之雜訊對輸出訊號所造成的影響。在多工記錄全像 於同一位置後，頁面串音雜訊會隨著繞射光一同出現，套用波恩近似法，我們可以得到 輸出訊號的光強度機率分布(PDF)，經過計算我們可以得到系統的效能參數包括：儲存 頁數、誤碼率、以及儲存容量，亦可求得最佳化的系統架構參數。在光學實驗中，我們 可藉由讀取第一張全像的輸出訊號 PDF 來預測系統所能容忍的儲存頁數，我們藉由設 定誤碼率上限值來決定儲存頁數上限，並利用儲存頁數數據來建構電腦程式模擬與設計 光學實驗。文中採用的光學架構為離軸式角度多工體積全像儲存系統，所使用的全像材 料為光資訊實驗室研發的 PQ-PMMA 感光高分子材料。

iii

Study on Storage Capacity and Bit Error Rate of Volume Holographic

Memories

Student：Chi-Hsin Ho Advisor：Ken-Yuh Hsu

Institute of Electro-Optical

Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

We report the influence of hologram multiplexing on the noises in volume

holographic memories. Based on the communication channel model, we can

estimate the influence caused by optical imperfection noise. After multiplexing

recording, inter-page crosstalk noise will come out with the diffraction light. By

applying Born approximation, the probability density function (PDF) of the

readout signals can be calculated. Then, the system parameters such as

maximum storage pages, bit error rate, and storage capacity of the memory

system are obtained. Optimizations of the system parameters are investigated.

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致謝

總算把我的論文完成啦！碩士班和小我兩歲的妹妹同時畢業真是一種奇妙的感 覺。大學畢業後的求學之路走得不太平順，卻更加地精彩！一切都要從考上交大，遇到 許老師開始說起，三年的碩班生活有男哥帶我做實驗、俊華學長告訴我好馬不吃回頭 草、阿龍學長教大家打網球、聽柏霖學長講實驗室祕辛、陪我一起挨罵的翊安、總是信 口胡謅的阿倫學長、很愛宅在實驗室的周信甫、信奉神密宗教的仁崇學長、永遠老神在 在的江昶慶、笑起來很邪惡的李功賀、非常抬舉我的朱怡安和永遠精神飽滿的小個，大 家都是我三年記憶中鮮明的剪影，很高興能夠成為許老師實驗室的一分子，也謝謝大家 長時間以來的陪伴。最後要感謝家人的精神和經濟支持，讓我在研究工作之餘沒有其他 煩惱。最後的最後，如果有辦第二屆 IO_Lab 網球排名賽的話我一定要再度衛冕冠軍寶 座！誰都不能跟我搶！！

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目錄

表目錄 ... vii 圖目錄 ... viii 符號說明 ... ix 一、緒論 ... 1 1.1 雲端運算帶動儲存科技的革新 ... 1 1.2 體積全像儲存系統 ... 1 1.2.1 DVD 光儲存與全像儲存系統比較 ... 1 1.2.2 體積全像多工儲存系統的重要特性 ... 2 1.3 文獻回顧 ... 2 1.3.1 光學繞射觀點 ... 3 1.3.2 通訊頻道觀點 ... 4 1.4 研究動機 ... 5 1.5 內容編寫次序 ... 6 二、原理 ... 7 2.1 研究方法 ... 7 2.1.1 系統簡介 ... 7 2.1.2 光學不完美雜訊 ... 8 2.1.3 多工儲存頁面串音雜訊 ... 9 2.2 體積全像儲存之通訊理論模型 ... 12 2.2.1 誤碼率 ... 12 2.2.2 單位頻道之儲存容量 ... 14 2.2.3 系統儲存容量 ... 19 三、電腦模擬 ... 20 3.1 電腦模擬步驟 ... 20 3.2 電腦模擬結果 ... 21 四、光學實驗 ... 31 4.1 光路設計 ... 31 4.1.1 參考光中心角度設計 ... 31

vi 4.1.2 訊號光成像系統 ... 31 4.2 光學實驗 ... 35 4.2.1 全像材料簡介 ... 35 4.2.2 全像材料記錄位置 ... 36 4.2.3 記錄單一頁面 ... 37 4.2.4 參考光角度多工 4f 系統 ... 42 4.2.5 材料動態區間與多工頁面曝光時程 ... 42 4.2.6 繞射資訊頁面範例 ... 44 4.3 討論 ... 46 4.3.1 實驗數據與電腦模擬對照 ... 46 4.3.2 記錄密度估計 ... 47 五、結論 ... 49 參考文獻 ... 50 附錄 A 電腦模擬程式 ... 51

vii

表目錄

表 1.以 40°角度記錄一張全像之繞射影像與 PDF ... 22 表 2.頁碼編號對繞射頁面訊號之影響 ... 23 表 3.中心記錄角度 30°與 40°串音雜訊對不同頁碼編號頁面的影響 ... 27 表 4.中心記錄角度 50°與 60°串音雜訊對不同頁碼編號頁面的影響 ... 28 表 5.不同中心記錄角度所對應的儲存參數整理表 ... 30 表 6.透鏡成像系統對光結果 ... 34 表 7.實驗 1 記錄單一全像 ... 37 表 8.實驗 2 記錄單一全像 ... 39 表 9.實驗 3 記錄單一全像，改變輝度值比例 ... 40 表 10.繞射頁面範例 ... 44 表 11.範例頁面之 PDF 與該頁之單位容量及誤碼率 ... 45

viii

圖目錄

圖 1.全像干涉記錄架構示意圖 ... 3 圖 2.全像儲存系統示意圖 ... 7 圖 3.光學不完美雜訊對光訊號影響示意圖 ... 9 圖 4.影像範例(a)輸入影像(b)輸出影像 ... 13 圖 5.輸出範例頁面之光強度機率分布圖 ... 13 圖 6.輸出閥值與誤碼率的關係圖 ... 14 圖 7.二位元的統計熵值與事件機率的關係 ... 15 圖 8.互信息計算的文氏圖 ... 16 圖 9.輸出資訊熵計算 ... 17 圖 10.雜訊資訊熵值計算(a)訊號 1 的響應(b)訊號 0 的響應 ... 18 圖 11.模擬程式步驟流程圖 ... 21 圖 12.(a)記錄單張頁面繞射資訊的 PDF 分布 ... 24 圖 13.多工頁面串音雜訊造成 PDF 變形之範例說明 ... 25 圖 14.中心角度 40°儲存系統誤碼率與頁面編碼(i)的關係(a)線性圖(b)指數圖 ... 25 圖 15.(a)單位容量與頁碼編號之關係(b)儲存容量與儲存頁數之關係 ... 26 圖 16.30°-60°中心角度設計的(a)誤碼率線性圖(b)誤碼率指數圖(c)單位容量 ... 29 圖 17. 30°-60°中心角度設計的總儲存容量 ... 29 圖 18.全像儲存系統實驗架構 ... 31 圖 19.由空間光調制器到材料表面光路圖 ... 32 圖 20.(a)傅氏全像的繞射影像(b)Fresnel 全像的繞射影像 ... 36 圖 21.動態區間參數(M/#)實驗結果與曲線擬合參數 ... 42 圖 22.全像頁面曝光時程(a)修正前(b)修正後 ... 43 圖 23.記錄頁面的繞射效率(a)修正前(b)修正後 ... 44 圖 24.繞射頁面 PDF 與 Rician 函數參數擬合結果 ... 46 圖 25.(a)單位容量隨著頁碼編號的變化(b)誤碼率隨著頁碼編號的變化 ... 47

ix

符號說明

Probability density function(PDF) 光光強度機率分布函數

I 光強度灰階值 p1/0 (I) 機率密度函數 S1/0 訊號光強度平均值 σ1/0 Rician 函數的標準差 m 記錄時全像頁碼編號 i 讀取時全像頁碼編號 N 系統儲存頁數 λ 介質中的光波波長 f 透鏡焦距 a,b,t 材料 x,y,z 方向尺寸 θ 介質中參考光/讀取光中心角度 △θ 介質中參考光/讀取光角度偏移量 △ε 介質中折射率的改變量 Sm 第 m 張輸入圖像的振幅函數(二位元) fm 第 m 張記錄圖像的振幅函數(灰階) Rm 第 m 張參考光的振幅函數 gi 第 i 張輸出圖像的振幅函數 Nmax 最大儲存總頁數 Nuseful 錯誤修正可還原的總頁數

Signal to noise ratio(SNR) 訊噪比

Bit error rate (BER) 誤碼率

R(A;B) 互信息/單位容量

CN 單位頻道容量

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一、緒論

1.1 雲端運算帶動儲存科技的革新

近年來，網路的蓬勃發展帶動了各領域全新的變革，隨著雲端運算概念的提出，未 來個人電腦將反璞歸真回到過去終端機的模式；所有資料的儲存與運算將被集中在一 處，由高速電腦管理之。從此程式運算與資料搜尋的處理，是由用戶端的指令藉由網路 傳輸至高速電腦中心，直接使用高速電腦的運算資源或資料庫。現行的各種電腦或處理 器將逐漸被取代，用戶端只有輸入與輸出的使用者介面，用戶端所有操作將由網路傳送 至雲端處理，因用戶端看不見處理器的存在，故以雲端來形容位於網路遙遠彼端的高速 電腦。屆時，用戶端只需要在伺服器中申請專屬的空間，即可享受雲端電腦所提供的各 種服務，諸如應用軟體、資料存取、病毒防護等等。 在雲端運算服務的架構下，高速網路和高容量、高存取速率的儲存系統是技術的關 鍵；新一波的應用將帶動儲存科技產業的革新，全像儲存系統以下列三項重要特性成為 新一代技術中最有潛力的研究方向。 1. 高儲存容量：資訊儲存於記錄媒體的體積中，根據光學繞射極限，儲存容量的 理論上限為儲存媒介體積除以光波波長三次方，可達每立方公分 1012_位元之 密度（1012 bits/cm3）。 2. 高存取速率：頁面式（page-oriented）儲存架構之特性可一次讀取一整頁的資 訊內容，可達每秒 10 億位元（1Gb/s）以上。 3. 光學運算特性：可同時處理多筆資料的光學平行運算特性，在圖像辨識領域中 應用相當廣，可同時比對近千張影像。

1.2 體積全像儲存系統

1.2.1 DVD 光儲存與全像儲存系統比較

現行的光儲存元件如 DVD 的光儲存系統是使用位元式（bit-oriented）的方式來做 記錄，也就是一個資料點儲存一位元的資訊。現在使用光學成像技術來製造儲存系統， 出現了頁面式（page-oriented）的方式來記錄資訊，也就是利用透鏡聚焦，將一頁的資 訊壓縮在一個資料點中，而全像儲存技術就是利用頁面式的架構來儲存資訊。 值得注意的是：上述的記錄架構都是在二維平面上，也就是儲存介質的表層來做記 錄；DVD 的記錄資料點大小受限於透鏡的聚焦能力，而總儲存量則受限於碟片面積， 舉例來說，單層 DVD 儲存容量約在 5GB 左右。而體積全像記錄則是採取多工的方式做 儲存，利用多工的技巧，將二維平面的干涉條紋妥善分布於三維體積當中，可將許多頁

2 面資訊儲存於介質中同一單位體積，利用儲存介質的體積來記錄資訊，比傳統的記錄方 式多了一個維度，可藉由增加第三個維度（厚度方向）來提升資訊儲存容量。 提高了儲存容量之後，資料存取的速度就更加重要了，然而採用序列式資料逐點掃 描的方式記錄及讀取於平面媒體上，存取速度受限於光碟機的轉速，舉例來說，現行 24 倍轉速的光碟機存取速度為 32.4MB/s。全像儲存系統的光學平行處理的特性可以一次儲 存或讀取一整頁的資訊，具有資訊高傳輸速率的潛能，當今之顯示及偵測元件畫素已達 1,000x1,000 以上，理論上，一頁資訊可達 106位元，其讀取時間受限於位址輸入、以及 輸出元件的反應時間。

1.2.2 體積全像多工儲存系統的重要特性

在 DVD 的序列式資料儲存架構下，只要各個資料點之位置分得夠開，各個資料點 就不會重疊，不會互相干擾，因此串音干擾的問題比較輕微。全像儲存系統採用頁面多 工的方式將許多頁面儲存在同一單位體積當中，此舉可提升系統儲存密度與容量，以二 維平面來填滿三維體積，若以幾何的觀點來說，儲存頁面數目沒有具體的限制。 多工儲存可大量提升全像儲存系統的儲存容量，但在讀取某一頁面時，讀取光也同 時照到記錄於相同體積的其他頁面資訊，而對繞射光場造成影響。結果是，輸出訊號的 影像品質會隨著記錄在同一位置的多工頁數之增加而降低，造成讀取資訊的雜訊上升， 因而產生誤碼，進而限制系統的儲存容量。 總結上述，全像多工儲存技術，由於多工頁面之間串音雜訊干擾的影響，限制了多 工頁面總數。因此，如何降低多工頁面串音雜訊而得到最大儲存容量是重要的課題。

1.3 文獻回顧

一般而言，資訊儲存系統的主要特性可由幾個重要參數來判別：儲存容量(Storage

Capacity，SCN)、誤碼率(Bit Error Rate，BER)及訊雜比(Signal to Noise Ratio，SNR)。

針對全像資訊儲存系統，為了建構有效的評估模型，可以分成下列兩種主要的觀點：1. 光學繞射觀點、2.通訊頻道觀點。以下是對上述兩種不同觀點的文獻回顧。

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1.3.1 光學繞射觀點

Gu 在 1992 年提出的論文[1]採用圖 1 的全像干涉記錄架構，圖中 f 為透鏡的焦距， t 為全像材料的厚度，θ 則為訊號光與參考光在介質中的夾角。在記錄階段，訊號光波由 （x0, y0）平面出發，經過透鏡 L1傅氏轉換後抵達全像材料所在的平面（x, y）；另一道 由（x1, y1）平面出發的點光源為參考光，經過 L2透鏡的傅氏轉換後，在材料平面（x, y） 上產生各種不同入射角度的平面波；訊號光波與參考光波兩道光在材料平面上產生的干 涉圖案由全像材料記錄下來。在讀取階段，使用光學條件與參考光相同的讀取光照射全 像材料，經過材料的繞射光即為輸出光場，此繞射光經過透鏡 L3 的傅氏轉換抵達輸出 平面（x2, y2），由光偵測器陣列例如 CCD 偵測後，即可獲得輸出頁面資訊。欲探討多 工頁面串音雜訊對系統的影響，可採用光波繞射的波恩近似法（Born approximation）來 分析多工頁面對讀取光場的影響。由[1]的推導得到雜訊與訊號之比值為                            



 2 2 2 2 2 4 ) ( 2 sin 2 2 cos ) 2 cos 2 ( cot 1 sin sinc f y y f y y f y y f y f y y f y y f y y f y y f y f y y t signal noise i m i m i m i m i m i m i m i m i m       。 (1) (1)式中，信號（signal）意指第 i 頁所繞射之信號，雜訊（noise）意指在第 i 頁所讀 到的其他頁面信號總合，λ 為光波在介質中的波長，θ 為訊號光與參考光在介質中的夾 角，ym代表記錄時參考光在（x1, y1）平面上光源的位置（令 xm為 0），yi代表讀取時讀 取光在（x1, y1）平面上光源的位置（令 xi為 0）。我們令 f y_   ， i, m,2，則可將(1) 式簡化為 x1 x2 x0 x y1 y0 L1 y L3 y2 L2 z  f f f t f 參考光波 輸出平面 訊號光波 圖 1.全像干涉記錄架構示意圖

4





) sin sin cos sin cos cot sin cot sin 2 sin ( sinc 2 4 3 3 2 2 2                       



 t signal noise i m ， (2) 依照近軸近似的觀念只保留ξ 的一次項，可將(2)式近似為：



   i m i m f y y t signal noise ) sin ( sinc2   。 (3) 由上式可以說明，巧妙設計不同頁碼的參考光源在透鏡前焦平面上的平移距離（ym- yi），則可以將多工頁面串音雜訊有效地降低。由 sinc 函數之特性知，訊號光與參考光 夾角為θ 度記錄架構下，欲得到最低的雜訊干擾，則在參考光源在透鏡前焦平面的平移 距離為   sin t f   ， (4) 其中， y_my_i，λ 為記錄光源波長，f 為透鏡焦距，t 為記錄材料厚度。若換成入射 光角度，由(4)式知，角度多工之參考光的角度偏移量為    sin t   。 (5) 在上述的角度偏移量條件下，相鄰兩頁面之角度位置為中心頁面之布拉格零點位 置，因此讀取中心頁面時受到其他頁面之串音雜訊影響最小。 Gu 進一步使用波恩近似法來探討角度多工全像儲存系統的最大儲存容量。考慮頁面 串音雜訊最嚴重的情況，發生於次頁（或其他頁）輸入訊號為全亮時，利用波恩近似法 推導出最大儲存總頁數(Nmax)與訊雜比(SNR)間的關係，求得一個位置所能儲存的最多頁 數為（相當於系統之最大容量） re SNR d tf N ) ( 2 max _ ， (6) 其中，d=2y2max為輸出偵測器的寬度，(SNR)re則代表光偵測器對系統訊噪比的需求。

1.3.2 通訊頻道觀點

Heanue 與 Hesselink 於 1995 年發表的論文[2]，將全像記錄光學系統視為許多條平行 傳輸的光通道，由空間光調制器連結到接收器上的像素，光線傳輸過程的像差、散射可

5 視為光通道中的雜訊干擾，因此，資訊由儲存到讀取的過程可視為資訊在有雜訊干擾的 通訊頻道中傳輸。基於先前[3]的研究結果說明，利用 Rician 函數可以精確地描述全像儲 存系統傳輸過程中，受到雜訊影響的輸出訊號光強度機率分佈函數(Probability Density Function，PDF)： ) ( ) 2 exp( 2 1 ) ( ₂ 0 / 1 0 / 1 0 2 0 / 1 0 / 1 2 0 / 1 0 / 1 _{  } IS I S I I p    ， (7) 其中 I 代表輸出像素光強度的灰階值，p1/0代表輸出訊號 1 或 0 的 PDF，I0為第 0 階修正 型 Bessel 函數，σ1/0代表訊號 1 或 0 的雜訊標準差，S1/0代表原始輸入訊號 1 或 0 光強度 的平均值。利用 Rician 函數可相當準確地描述系統雜訊對輸出訊號的影響，尤其是可以 估算靠近機率密度函數尾端對產生誤碼率之影響。他們在論文中利用輸出資訊誤碼率來 評估各種不同的編碼方式，經過全像系統的儲存與讀出後的表現，最後結論指出，以二 進位編碼的方式來做資料儲存可以得到最低的誤碼率。 將上述的研究結果套入訊息理論，Neifeld 於 1997 年提出藉由計算輸入與輸出資訊 間的互訊息(mutual information)而得到系統的儲存容量上限[4]。他的作法是：假設輸入、 輸出訊號的光強度機率分佈函數都是 Rician 分布，則多工頁面雜訊的影響是使輸出訊號 的 SNR 下降，與儲存頁面成 N2_{反比關係[5]；反映在 Rician 函數中即為(7)式中雜訊標準} 差(σ1/0)的大小。假設所有儲存頁面受到相同程度的雜訊干擾，經過推導後得到：儲存頁 數增加會造成輸入與輸出資訊互訊息的降低，因而限制了使用者能夠存取的最大容量， 由[4]每一頻道之單位容量以 CN表示之，則如下式所示。 ] ) ( ) ( ) ( )[log ( ] ) ( ) ( ) ( )[log ( 0 0 1 1 0 2 0 0 255 0 1 1 0 0 1 2 1 1 N          



 p I p I I p I p I p I p I p I p C I       ， ₍₈₎ (8)式中 I 為輸出頁面像素光強度之灰階值，π1/0為頁面中訊號 1 與訊號 0 所佔的比例， (8)式表示，一個頻道之儲存容量由輸出訊號之機率密度函數決定之，而機率密度函數的 標準差 σ1/0 值又受儲存頁數 N 所影響，由(8)式可以推得在某個位置之資訊儲存容量 (Storage Capacity)，以 SCN表之，可寫成 N N N R C SC    ， (9) (9)式中，N 為儲存頁面總數，R 為頁面的解析度。由(9)式中可以發現，系統在一個位置 的最大儲存容量 SCN正比於每一頁可提供之頻道數目 R，以及每一頻道可傳輸之單位容 量 CN。

1.4 研究動機

我們利用角度多工方式將全像片儲存於介質的體積當中，在單一儲存位置上可以多

6 工記錄許多頁面。但系統中存在雜訊的干擾，若是存入的頁數太多，使得雜訊干擾太嚴 重，導致原始資訊無法正確地讀取出來，這樣就表示所存入的頁面數目已經超過系統對 雜訊的容忍度；我們希望利用記錄第一張全像所得的輸出資訊 PDF 來預測系統所能容 忍的最大儲存總頁數。 前一節的文獻回顧中，Gu 採用波恩近似法來推導儲存頁數與訊雜比（SNR）之間的 關係式；但 Gu 的模型不考慮系統光路中光學元件所產生的誤差，只考慮多工頁面串音 雜訊對系統儲存參數的影響，且 Gu 的模型只有考慮其它頁面像素為全亮（位元訊號為 1）之情形，並無描述其他頁面的位元訊號 1 對本頁之位元訊號 0 的影響，或其他頁面 的位元訊號 0 對本頁面之影響，而實際上各頁面的資訊應該是 1 與 0 隨機分布的。除此 之外，訊雜比無法提供誤碼率（BER）的相關資訊，誤碼率為儲存系統使用錯誤修正碼 的重要依據。 Neifeld 的模型則是不考慮系統雜訊的來源，直接以 Rician 函數來描述輸出頁面訊 號受到雜訊（其論文中沒有設定雜訊的來源）的影響。我們由程式模擬的結果發現，經 過多工頁面儲存後，輸出訊號之機率分布函數已經不再是 Rician 分布，需要以逐點統計 的方式來得到輸出訊號之機率分布函數，更重要的是，每一頁受到雜訊干擾的程度都不 相同，因此，多工儲存 N 頁之後，CN隨著頁碼編號變大而減小，真正的 SCN不等於直 接相乘，而是必頇逐頁加總。 根據通訊頻道模型，我們可以估計光學不完美雜訊對輸出訊號所造成的影響。在多 工記錄全像於同一位置後，頁面串音雜訊會隨著繞射光一同出現，套用波恩近似法，我 們可以得到輸出訊號光的光強度機率分布(PDF)，經過計算我們可以得到系統的效能參 數包括：儲存頁數、誤碼率、以及儲存容量，亦可求得最佳化的系統架構參數。我們藉 由設定誤碼率上限值來決定系統所能容忍的儲存頁數，並利用儲存頁數數據來建構電腦 程式模擬與設計光學實驗。 本論文所探討的為穿透式全像儲存系統，使用離軸記錄的架構，角度多工記錄的中 心角度為 30°-60°（材料中訊號光與參考光的夾角）之間。輸入頁面搭載二位元資訊（假 設訊號 1 與 0 的出現機率各為一半，頁面像素的圖像為隨機分布），在這樣的架構下來 評估系統的最大儲存容量及輸出資訊的誤碼率，比較接近真實的資訊儲存系統。

1.5 內容編寫次序

本論文的編寫次序如下，第一張為緒論，說明體積全像儲存系統的應用與理論背 景。第二章原理，說明探討全像儲存系統所使用到的理論模型：以波恩近似法和訊息理 論建立系統模型，以及重要儲存參數的公式推導。第三章電腦模擬，則是將上述的評估 方法套入實際的物理參數，利用電腦程式模擬，探討輸出頁面訊號的機率分布函數、誤 碼率、多工儲存總頁數以及總儲存容量。第四章為光學實驗，包括光路設計、光學實驗 結果以及實驗結果的討論。第五章結論，則是對體積全像系統的儲存容量與誤碼率研究 成果作一個總結。

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二、原理

本章說明體積全像儲存系統的原理，並建立評估系統性能的理論模型。針對體積全 像儲存系統，我們將輸出頁面雜訊的來源分成兩大類：光學元件不完美產生的雜訊和多 工頁面串音雜訊，前者來自於光學器件與材料之不完美，後者則由於在同一體積中以全 像多工方式儲存資訊而造成的。我們將使用訊息理論的觀點以及波恩近似法來建構理論 模型，以評估全像儲存系統的效能參數，包括誤碼率及系統儲存容量。

2.1 研究方法

2.1.1 系統簡介

圖 2 為體積全像儲存系統的示意圖，原先儲存在電腦中的資訊為二位元的電子訊 號，電訊號由空間光調制器（例如：反射式液晶顯示器，LCOS）轉換成光強度的明暗 資訊搭載於訊號光當中，而另外一道光波則是由多工定址器選擇參考光波，兩道光波同 時入射至全像材料當中，這兩道光必頇是具有同調特性的雷射光，方可在材料中產生干 涉，全像材料受到干涉光場的影響而感光，隨著干涉光場駐波強弱改變局部的光學特 性，而將原始資訊儲存於材料當中。值得注意的是：全像材料中儲存資訊的位置與空間 光調制器上顯示資訊的位置並不是一對一的空間對應關係，而是以干涉條紋分散記錄在 材料中。因訊號光經過透鏡的傅立葉轉換至空間頻率域，而使每個位元所攜帶的資訊分 散到記錄材料的體積，如此，即使全像材料局部損壞或透光不均勻，不至於導致原始資 訊完全喪失。其次，當儲存第二頁時，電腦將第二頁的資訊輸入到空間光調制器上，多 圖 2.全像儲存系統示意圖

8 工定址器則選擇另一種參考光波來與訊號光干涉，並在材料的同一單位體積中重複感 光；如此不斷重複上述干涉記錄過程，達到多工儲存的效果，可提高資料的儲存密度。 在資訊讀出時，我們只要入射與記錄時相同光學條件的讀取光波照射儲存材料，即可重 建原始資訊，此時，繞射出來的資訊是光強度的明暗分布，需要透過二維光偵測器(例 如 CCD)來將光強度資訊轉變為電訊號，才能被電腦存取使用。這個讀出的時間包含讀 取光尋址、光波繞射、光偵測器感測時間以及訊號在系統中之傳輸與辨識的處理時間。

2.1.2 光學不完美雜訊

對於系統雜訊的描述，一般可分為 Gaussian 和 Rician 兩種函數。Ricain 函數雜訊的 主要來源是同調性(Coherent)之雜訊對光場之擾動，如光學像差、器件不完美、材料不 均勻繞射等等，影響繞射光之振幅。過去的研究[3]指出，Rician 函數較能夠準確描述全 像儲存系統輸出訊號的機率分布，因此我們採用了 Rician 函數來描述光訊號經過光學元 件產生誤差所引入的訊號變形，即所謂光學不完美雜訊，(7)式中 σ1/0的大小則代表光學 不完美雜訊的強弱。影像在干涉記錄之初就受到空間光調制器以及光學透鏡等光學不完 美雜訊影響，因此記錄於儲存媒介上的影像已經不是理想訊號，讀取時又受到材料不均 勻以及成像透鏡不完美影響，以致於光偵測器上的輸出訊號與原始輸入訊號分布不同， 因此得到 Ricain 函數的機率分布。圖 3 說明光線由空間光調制器出發，原為顯示明暗訊 號 1 與 0 二位元光強度資訊，經過全像儲存系統受到光學不完美雜訊的影響，在光偵測 器上偵測到的訊號光強度分布跟原始像素光強度分布不同，圖 3 中輸出訊號 PDF 使用 的 Rician 函數參數為 S1=200，S0=20，σ1=σ0=0.6。

9

2.1.3 多工儲存頁面串音雜訊

以圖 1 描述的 4f 角度多工儲存系統為例，藉由攜帶輸入資訊的空間光調制器（x0-y0） 調製平面波形成訊號光波，與以中心角為θ入射於材料的參考光波干涉記錄。我們利用 波恩近似法模擬系統儲存與讀取資訊的過程[1]。假設我們在材料中一個位置儲存 N = 2M+1 張全像頁面資訊，我們以 m = -M，-(M-1)，…，0，…，M-1，M 來編號資訊頁面， 則儲存在材料干涉條紋中的折射率變化可表示為：



    M M m mS cc R* . .  ， (10) 其中，Rm為參考光波，Sm為訊號光波，分別以下列的函數來表示：

Communication

channel

光強度 輸入圖像 圖 3.光學不完美雜訊對光訊號影響示意圖 輸出圖像 通訊頻道 光學不完美雜訊 輸入訊號 PDF 輸出訊號 PDF 光強度 機 率 機 率

10 r k r  j m m e R ( ) ， (11)                    



) 2 1 ( 0 0 2 0 0 ) ( ) ( 2 0 0 2 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 ) , ( ) , ( ) ( f y x jkz m jkn kf j y x f z f j yy xx f j m jkz jkn kf j m e y x f F f j e dy dx e e y x f e f j e S       r ， (12) 其中訊號光 Sm(r)為空間光調制器光場的傅立葉轉換，參考光 Rm(r)為角度多工的平面 波，fm(x0,y0)代表第 m 頁的訊號光資訊，(x0,y0)為訊號光平面上的座標，(x,y,z)為 L1透鏡 後焦平面的座標，f 為透鏡焦距，△0為透鏡的最大厚度， _  2  k 為雷射光源的波向量。 資訊記錄完成之後，當我們以讀取光照射材料時，我們以波恩近似法則來描述參考 光在材料中繞射的行為，由[6]的推導流程，我們可以將輸出光場表示為



       ' ) ' ( 4 ) ( ' 3 2 r r r k r K r r k r k d e e e E j j j i   ， (13) (13)式中Kk_dk_i，kd指繞射後的平面波波向量，上式的物理意義為：全像材料的體 積中包含許多繞射點光源，每個點光源產生的繞射光振幅正比於入射光場振幅以及該處 的折射率變化大小，而在光偵測器所得到的繞射光等於材料中所有點光源的貢獻加總。 利用圖 1 中的坐標關係，我們以（x2-y2）坐標來表示經過材料繞射的波向量：                22₂ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , 2 , 2 f y f x f y f x d _      k 。 (14) 綜合上式，經過推導得到輸出平面的繞射光場通式為 0 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 2 2 ) ( 2 sinc ) 2 ( 2 sinc ) 2 ( 2 sinc ) , ( ) , ( dy dx f y y x x t f y y b f x x a V y x f y x g iz mz M M m iy my ix mx m i                  _{ }        _{ }  

 

           k k k k k k ， (15) 其中 m 代表儲存階段的頁碼編號，i 代表讀取階段的頁碼編號，fm(x0,y0)代表記錄時所使

用的第 m 張輸入訊號，a，b，t 為材料 x，y，z 方向的尺寸，V=abt 為全像材料的體積。 接下來我們假設材料橫向尺寸（a,b）遠大於光源在焦平面的空間頻寬，則 x，y 方

11 向的 sinc 函數可以進一步簡化成 δ 函數，並使積分式簡化成為                       



  ) / 4 ( 2 sinc ) 2 , 2 ( ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 2        miy mix miy mix miz M M m miy mix m i f y x t t f y f x f y x g K K K K K K K ， (16) 其中△Kmi=km-k，代表第 i 道讀取光與 m 頁參考光波向量的向量差。為了將坐標系統一，i 我們將參考光平面上的向量以（x,y,z）坐標來表示，則可得到：               cos 2 1 1 2 sin 2 sin 2 1 1 2 cos 2 0 2 2 2                                        f y f y f y f y f x i i iz i i iy i ix k k k 。 (17) 上式中，θ 為參考光光軸與訊號光光軸的夾角。上式即為參考光經過坐標轉換後的 結果，為了計算全像多工頁面串音雜訊干擾，我們令參考光沿著 y1方向調變其位置，令 xi恆為 0。於是，就可以寫出參考光與讀取光的向量差：      _{ }          _{ }       f y y f y y f y y f y y i m i m miz i m i m miy mix         cos 2 1 sin 2 sin 2 1 cos 2 0 K K K 。 (18) 經過上述一連串的推導，當我們利用讀取光照射全像材料時，得到在輸出平面上的 光波訊號為

12





                     _{ }            _{   }  



         cos 2 2 1 cot 2 1 sin sinc ) sin 2 1 cos )( ( , , 2 2 2 2 2 2 f y y f y f y y f y y f y f y y t f y y y y y x f y x g i m i m i m i m M m M m i m i m m i 。 (19)

上式中，yi 代表讀取時點光源在（x1，y1）平面的位置，ym 代表記錄時參考光點光

源在（x1，y1）平面的位置，t 為儲存材料厚度，f 為透鏡焦距，λ 為光波波長，式中之總 和代表所有記錄在材料中資訊頁面的布拉格不匹配訊號對於第 i 頁輸出訊號的影響。 (19)式說明讀取第 i 頁訊號時，其他頁面訊號產生的串音干擾，因為儲存媒介中所儲存 的全像總數為 N=2M+1，因此，共有 2M 頁對第 i 頁產生雜訊干擾。而多工儲存的頁數 越多，則串音干擾越大。

2.2 體積全像儲存之通訊理論模型

體積全像儲存系統儲存資訊的過程如 2.1.1 所述。若由通訊系統的角度觀察全像儲 存系統存取過程，整個訊號傳遞的過程形成一個通訊頻道，由輸入端之空間光調制器的 每一像素發出信號經過全像材料而到光偵測器之行為，相當信號於經過一個頻道連接到 輸出平面的感光元件上，空間光調制器成像到光偵測器陣列上面相當於多頻道平行傳輸 系統。因此，我們可以利用通訊理論來探討體積全像儲存系統的各項特性。

2.2.1 誤碼率

系統對於訊號 1 與 0 的響應是判斷通訊頻道傳輸品質的重要指標。若在輸出平面上 觀測到對應訊號光數位位元 1 與 0 的光強度機率分布圖能夠清楚的分辨出來（機率分布 沒有重疊），即可以完整地讀出儲存的資訊。倘若輸出訊號的光強度機率分布圖產生重 疊區域；需要以閥值來強制分辨 1 與 0 訊號，此時可能產生誤判，而稱之為錯誤碼，若 雜訊或串音增加而使錯誤碼的機率增加，就稱之為誤碼率增加。 誤碼率的意義為：訊號經過通訊頻道之後訊號誤判的機率；作法是，比對輸入與輸 出資訊，然後將錯誤的位元數除以傳輸的位元總數。根據資訊處理技術，針對沒有錯誤

修正碼（Error Correction Code）的純資料，頁面誤碼率若低於 5x10-3_{，則可利用錯誤修}

正碼完美回復正確資料[7]，因此，我們將之訂為系統誤碼率的上限；由這項標準來決定 多工儲存頁面的總數。由通訊理論得知，誤碼率的公式[2]如下





    T T I I I I p I p I BER 0 1 1 255 0 0 ( )



( )



， (20) 其中π1/0表示輸入資料頁面中訊號 1 與 0 的機率值，I 表示輸出訊號的灰階值，p1/0(I)表

13 示訊號 1 與 0 的機率分佈函數，IT表示判別訊號 1 與 0 之閥值。 系統的傳輸特性決定了輸出訊號的機率分布，誤碼率就是判定儲存系統優劣的參數 之一。由(20)式看出要得到誤碼率除了需要輸出訊號之機率分布函數外，還需要得到另 外一個參數：閥值 IT。 所謂閥值就是用來判定信號為邏輯 1 或 0 之灰階值。輸出像素灰階值高於閥值的像 素判定為 1；低於閥值的像素判定為 0。這是由於系統的傳輸過程中經過了全像材料， 以及 CCD 偵測器的種種影響，使得輸入訊號與輸出訊號的輝度值之間並不是線性比 例，需依照系統的傳輸特性尋找最佳的閥值參數。今以圖 4 為例說明閥值之求法。圖 4 (a) 與圖 4 (b)分別是輸入與輸出頁面的影像，經過輸入輸出圖像互相比對後，將輸出影像信 號 1 與 0 的灰階強度分布圖正規化之後，得到圖 5 的機率分布圖。 直接觀察圖 4 的輸入與輸出影像不難發現這是通訊品質極差的系統，原本黑白分明 的圖 4 (a)輸入，卻變成一團灰灰的圖 4 (b)輸出。以圖 5 觀之，輸出圖像的p1(I)與p0(I) 幾乎互相重疊，混淆難分，當灰階值在 60~150 之間時，很難判別原本輸入資訊是 1 或 是 0；換句話說，誤判的機率相當高。 (a) (b) ) ( 0 I p p₁(I) 灰階值 機 率 圖 5.輸出範例頁面之光強度機率分布圖 圖 4.影像範例(a)輸入影像(b)輸出影像

14

圖 6 說明了選擇不同的輸出閥值會影響誤碼率的大小，圖中係將閥值由 0 逐值變化 至 255，以(20)式計算所得的誤碼率，圖 6 表示當閥值取為灰階值 100 時誤碼率最小， 這就是最佳輸出閥值，在此條件下能夠客觀代表系統的傳輸特性。

2.2.2 單位頻道之儲存容量

我們引用通訊理論的傳輸線單位容量(Per bit capacity)來評估全像儲存系統的最大 容量。傳輸線單位容量係指在一個頻道上傳輸資料時，讀取資訊與輸入資訊間的互訊息 （mutual information）；係指輸入輸出資訊間相關的程度，互訊息的值為 1 則代表輸入 與輸出資訊完全相關，互訊息小於 1 則代表訊號品質降低，輸入與輸出資訊比對後會出 現誤碼。在全像儲存系統，是以一個頁面儲存與讀取，一個頁面上有許多畫素，相當於 許多頻道平行傳輸系統，因此，求出傳輸線單位容量乘以一頁的頻道數目，得到一頁之 儲存容量。而在全像多工系統中，我們將許多張資訊頁面以多工方式儲存在材料的同一 體積中，因此，材料某個位置的總儲存容量就等於一頁儲存容量乘以多工頁數。 首先，若要評估傳輸線單位容量，則需先引入統計熵值（statistical entropy）的概念 來說明傳輸線中的資訊容量。統計熵值為評估系統不確定性（uncertainty）的參數，資 料的不確定性愈高，則其所包含的資訊量越多；因此，統計熵值愈高，代表頻道中傳輸 的資訊愈多，或者說，資訊儲存容量愈高。統計熵值的計算公式如下式 輸出閥值 圖 6.輸出閥值與誤碼率的關係圖

15





a all

p

a

a

p

A

H

₂

)

(

1

log

)

(

)

(

。 (21)

(21)式中，A 為輸入事件的集合，a 代表各別事件，p(a)則是各別事件發生的機率；

p(a)的加總為 1。(21)式的物理意義為：將系統事件完全編碼所需使用的資訊量，稱為位 元數。值得注意的是：若考慮二位元系統(21)式以 p(a)為變數，得到圖 7 的結果，由圖 看出，二進位系統中，資訊熵與事件機率的關係呈現對稱的曲線，且在事件 p(a)=0.5 時 達到最大值。亦即，當系統中所有狀態的事件機率均等，此時系統的資訊熵會達到最大 值，代表系統中包含最大之資訊量。而當事件機率不為均勻分布時，則系統儲存的資訊 量將遞減。以全像光學系統之觀點，二位元的資訊是以像素光強度明暗來表示之，明暗 像素各占一半的機率，則統計熵值才能到達最大值，或輸出端的頻道通訊量為最大值， 另外，這代表在記錄全像時，每一頁訊號光的平均光強度相等，以致於與參考光干涉時 可得到較穩定的干涉條紋之對比度。 計算通訊頻道的容量需要引入單位容量的觀念，在訊息理論中則稱為互訊息（mutual information）[8]。互信息有兩個重要特性：1.系統互信息總和不為負數；雖然對於單一 事件的互信息可能會有負值出現，但系統總合互信息的最小值為 0，即輸入與輸出系統 互為獨立事件。2.對稱性；R(X;Y) = R(Y;X)。互信息的相互關係文氏圖（Venn diagram） 與計算公式如圖 8 與(22)式所示 p(a)的機率值 H( A) 統 計 熵 值 圖 7.二位元的統計熵值與事件機率的關係

16 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ; (A B H B H B A H A H A B R     。 (22) (22)式中，R(A;B)為輸入與輸出訊號的互信息；即單一頻道上所儲存的資訊量，H(B) 為輸出信號（具有灰階值，假設有 256 灰階）所攜帶資訊熵的平均值，H(B|A)代表條件 資訊熵，它表示如果已經完全知道隨機變數 A 的前提下，隨機變數 B 的資訊熵還有多少； 物理意義為：當輸入系統為全黑或全白資訊（資訊熵為 0 bits）時，輸出端會接收到對 應的訊號機率分佈所攜帶的資訊熵，其產生原因乃是來自通訊頻道中的雜訊。因此，計 算輸出端接收的信號機率分佈所包含的資訊熵，即可得到對應訊號 1 或 0（白或黑）的 雜訊資訊量（noise entropy）。H(A)代表輸入信號所攜帶資訊熵的平均值，H(A|B)代表傳 輸過程所損失的資訊所攜帶的資訊熵，稱為資訊損失。因為雜訊的存在，雜訊會使原始 機率分佈形變，並產生許多微小的機率分佈，而欲將這些微小的機率編碼需要很多位元 (bits)，因此 H(B)在大部分的情況都會大於 H(A)。 接下來說明輸出資訊熵的計算方式，當系統輸入頁面資訊為棋盤格排列，經過通訊 頻道傳輸後，可以在輸出端接收到訊號強度的資訊，將輸出訊號作統計可以得到其 PDF 分布，並可利用(21)式計算輸出資訊熵 H(B)，計算的結果如圖 9 所示





      255 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 255 0 2 ) ( ) ( 1 log ] ) ( ) ( [ ) ( 1 log ) ( ) ( I I I p I p I p I p I p I p B H     _。 (23) (23)式中_1/0表示輸入資料頁面中訊號 1 與 0 的機率值，I 表示輸出訊號的灰階值， ) ( 0 / 1 I p 表示訊號 1 與 0 的機率分佈函數。 圖 8.互信息計算的文氏圖 輸入資訊熵 輸出資訊熵 雜訊熵值 互訊息 資訊損失

17 輸出圖像和輸入圖像比對後可以得到系統對訊號 1 與訊號 0 的響應，我們可以將輸 出 PDF 分成 p1(I)與 p0(I)來討論，系統的雜訊資訊熵可分為輸入事件為 1 與 0 兩種情形， 兩種雜訊之和為輸出之總體雜訊，計算公式與計算結果如(24)式、(25)式與圖 10 所示 ) | ( ) | ( ) | (B A ₁H₁ B A ₀H₀ B A H   ， (24) (I) 1 log (I) (I) p 1 log (I) ) 0 | ( 1 log 0) | (b ) 1 | ( 1 log 1) | (b ) | ( 1 a)log | (b (a) ) | ( 0 2 255 0 I 0 0 1 2 255 0 I 1 1 2 0 2 1 b all 2 p p p b p p b p p a b p p p A B H b all b all a all













           。 (25) 輸出 輸入 圖像 PDF π0=0.5, π1=0.5 資訊熵 H(A)=1bit H(B)=6.28bits 灰階值 機 率 灰階值 機 率 圖 9.輸出資訊熵計算

18 將上述的推導結果代入(22)式，可得到傳輸線單位容量 R(A;B)，以 CN表之， 圖 10.雜訊資訊熵值計算(a)訊號 1 的響應(b)訊號 0 的響應 (b) (a) 輸出 輸入 圖像 PDF π0=0, π1=1.0 資訊熵 H(A)=0bit H1(B|A)=6.10bits (b) p1(I) 輸出 輸入 圖像 PDF π0=1.0, π1=0 資訊熵 H(A)=0bit H0(B|A)=4.46bits 灰階值 機 率 灰階值 機 率 p0(I) 灰階值 機 率 灰階值 機 率

19 N I I I I I C I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p I p A B H A B H B H B A R                               











     ] ) ( ) ( ) ( )[log ( ] ) ( ) ( ) ( )[log ( ] ) ( 1 log ) ( ) ( 1 )[log ( ] ) ( 1 log ) ( ) ( 1 )[log ( ) ( 1 log ) ( ) ( 1 log ) ( ) ( ) ( 1 log )] ( ) ( [ ) | ( ) | ( ) ( ) ; ( 0 0 1 1 0 2 0 0 255 0 1 1 0 0 1 2 1 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 255 0 1 2 0 0 1 1 2 1 1 255 0 0 2 0 0 255 0 1 2 1 1 0 0 1 1 2 0 0 255 0 1 1 0 1                   (26) 由上式與圖 9 與圖 10 範例中的 PDF 結果我們知道，這個系統的傳輸線單位容量為 6.28-0.5(6.10+4.46)=1bit。有關於單位容量最大值的探討，由於輸入訊號為二進位系統，

H(A)最大值為 1 bit/unit，且 R(A;B)≦H(A) = 1 bit。計算出單位容量後可得到通訊頻道中

每個頻道所能傳送的訊息量，之後乘上頁面所有的頻道數即可得到單頁容量。

2.2.3 系統儲存容量

在體積全像多工儲存系統中，當多工儲存愈多張全像時，代表在傳輸線中的資訊量 愈多，代表統計熵值愈高，系統的容量愈大。理想上，以一個頻道的單位容量 CN乘上 一頁的頻道數目 R，再乘上儲存的資料總頁數（N）即可求得儲存容量 SCN，但是由於 受到頁面之間互相干擾，使得雜訊升高，而提升資訊在傳輸線中傳遞時之損耗，使得單 位容量降低，以致於不能將單頁的儲存容量直接乘以儲存頁數而得到該位置之儲存容 量。由於全像系統各頁面所對應之參考光角度不同，產生之雜訊熵值亦不同，而頁數增 加時，雜訊也隨之累積，因此，輸出頻道的強度機率函數隨著總頁數 N 以及各頁對應的 參考光記錄角度（以下以頁碼編號 i 代表之，每一個頁碼編號代表其對應的參考光記錄 角度）而變化。考慮這些因素之後，可將通訊頻道單位容量公式重新整理而得到記錄在 一個位置上的全像資訊總儲存容量公式如下 ) ( ) ( ) ( log ) ( ) ( ) ( ) ( log ) ( max 1 255 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1

 

                   N i I i i i i i i i i i i i i i i N R I p I p I p I p I p I p I p I p SC       ， ₍₂₇₎ 其中π1/0表示輸入資料頁面中訊號 1 與 0 的機率值，i 表示輸出頁面編號，Nmax表示記錄 在該位置全像頁面之最大儲存總頁數，I 表示輸出訊號的灰階值，p1/0(I)表示訊號 1 與 0 的機率分佈函數，R 表示每一頁的像素數目。

20

三、電腦模擬

上一章已經說明，我們將全像儲存系統視為由許多通訊頻道組成之傳輸系統，由輸 入頁面的一個像素經過光學系統到輸出 CCD 之對應像素稱為一個通訊頻道。在頻道中， 因光學元件不完美，使每一頁資訊在儲存於全像材料之初，就已經不是單純的 1 與 0 之 數位訊號，而是有一個光強度機率分布。其次，在全像多工儲存系統，由於多工頁面儲 存所產生的串音雜訊又更進一步地降低訊號傳輸的影像品質。為了探討這兩種雜訊來源 對誤碼率及系統儲存容量的影響，本章將進行電腦模擬，以求出各種系統參數對於輸出 頁面的誤碼率、單位容量，以及總儲存容量之影響。

3.1 電腦模擬步驟

電腦模擬的流程圖如圖 11 所示，我們考慮在一個位置上儲存許多張全像的多工儲 存特性。首先，模擬在系統中儲存一張全像片之繞射影像。由於光學系統之不完美，例 如像差、對光不準、儲存材料及元件不均勻等等因素而產生雜訊，而使得繞射影像不同 於輸入影像，而可能產生誤差，甚至錯誤碼輸出。光學不完美雜訊可以實驗方法求之， 此處為說明原理以及模擬方便，我們假設輸入訊號為二位元資訊，S1=200，S0=20，而光 學不完美雜訊使得繞射影像輸出光強度機率分布為 S1=200，S0=20，σ1=σ0=0.6，則代入 (7)式之 Rician 函數可得出 PDF 分布。第二步，輸入光學系統的物理參數，包括：參考 光中心角度θ=40°，光源在空氣中的波長 λ0=473nm、透鏡焦距 f=50mm、空間光調制器 的像素數目為 640x480；其像素間距為 8.1μm、全像材料厚度 t=2mm 以及材料折射率為 1.487，可以利用上述的參數代入式(5)來計算干涉記錄時頁面間的角度偏移量 Δθ=0.014°。接下來，考慮在一個位置上儲存 10,001 張全像，由於相鄰頁面串音雜訊之 影響，繞射影像品質將比儲存單張時還要差，由(19)式計算可得各頁之繞射影像訊號。 第四步，比對輸入與輸出影像，再經由統計可得到訊號 1 與訊號 0 的光強度機率分布函 數p1(I)與p0(I)。最後將p1(I)與p0(I)代入(20)式、(26)式以及(27)式，可分別求得誤碼 率、單位容量以及系統儲存容量等系統效能參數。模擬程式及詳細的說明請參閱附錄 A。

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3.2 電腦模擬結果

首先，說明當系統記錄第一張全像時的繞射影像 PDF，在表 1 中所呈現的結果為記 錄第一張全像資訊的繞射影像，我們可以發現，繞射影像訊號的 PDF 分布已經失真了， 因為尚未進行多工記錄，故導致失真的雜訊來源就是光學不完美雜訊，繞射影像訊號 PDF 函數的詳細參數就如 3.1 節中所敘述。 光學不完美影響 頁面像素光強度 計算多工記錄 對繞射光場的影響 輸出重建影像 輸入輸出影像比對 系統效能評估 誤碼率､單位容量､ 系統儲存容量 gray level P D F (光通信理論) (光波繞射理論) 圖 11.模擬程式步驟流程圖

22 表 1.以 40°角度記錄一張全像之繞射影像與 PDF 輸入影像 繞射影像 圖像 訊號 PDF 接下來，我們開始模擬當儲存頁數 N=10,001 頁時的情況。各頁的輸入資訊圖像由 隨機產生，假設其所受到相同程度之光學不完美雜訊，以求出該頁之繞射圖像 gi(x2,y2) （i=-5000~5000），跟輸入圖像比對及統計後可得該頁之 PDF。表 2 中分別顯示 i=-3000, -1,500, 0 三個情形，其中，當頁碼編號 i > 0，也就是參考光角度大於 40°的頁面都不會 有誤碼產生，且其輸出頁面 PDF 就如同記錄單一張全像時的狀況一樣，我們可以說， 這些頁面不會受到頁面串音雜訊的影響，故在表 2 中只顯示 i < 0 的輸出頁面訊號 PDF。 灰階值 灰階值 機 率 機 率

23 表 2.頁碼編號對繞射頁面訊號之影響 頁碼編號 輸入頁面 2 0 0, )| ( | fm x y 輸出頁面 2 2 2, )| ( |gi x y PDF i=-3,000 i=-1,500 i=0 表 2 表示繞射圖像受頁碼編號之影響。為了進一步說明，我們將 PDF 函數圖重繪 於圖 12，並利用(20)式與(26)式計算輸出頁面的誤碼率和單位容量，圖 12(a)表示記錄單 一頁面之繞射頁面訊號 PDF。圖 12 (b)表示讀取光頁碼編號 i 為 0 的頁面，我們可以發 現，讀取光在此中心角度可以完美地重建輸入頁面的光強度分布，在此頁面看不出多工 頁面串音雜訊的影響，其誤碼率為 0，通訊頻道之單位容量為 1bit。圖 12 (c)表示，讀取 光頁碼編號 i 為-1,500 之繞射圖像的強度分布圖，可以看出，輸出頁面訊號已經開始失 真，頁面串音雜訊變得較為顯著，但此時明暗像素仍然明確可辨，因此雖然繞射影像已 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 機 率 灰階值 機 率 灰階值 機 率 灰階值

24 經失真，經過影像辨識演算法仍然可以完全回復原始資訊，故誤碼率仍為 0，單位容量 為 1 bit。圖 12 (d)表示，讀取光頁碼編號 i 為-3,000 之繞射圖像的強度分布圖，我們可 以發現這個頁面多工頁面串音雜訊之影響很強，訊號 1 與 0 之 PDF 出現嚴重重疊的區 域，造成誤碼率上升而單位容量降低。 為了進一步說明了多工頁面串音雜訊對輸出頁面 PDF 的影響，我們將圖 12 (d)之情 形重繪說明於圖 13，此 PDF 圖為頁碼編號 i=-3,000 繞射頁面之強度分布。圖中的機率 分布產生 4 個峰值，造成這現象的原因為：原始資料受到鄰近頁面像素光強度判定為 1 的資料點所影響，在圖 13 中，標號 1 的峰值為原本光強度判定為 0 的資料點，且其相 鄰頁面同一個位置的位元多為 0，標號 2 的峰值為原本為 0 的資料點受到相鄰頁面同一 個位置的 1 資料點的多工頁面串音干擾而光強度提升，標號 3 的峰值為原本光強度判定 為 1 的資料點，且其相鄰頁面同一個位置的位元多為 0，標號 4 的峰值為原本為 1 的資 料點受到相鄰頁面同一個位置的 1 資料點的多工頁面串音干擾而提高強度。觀察圖 13 可以發現當繞射訊號位元的灰階值介於 75~150 間時，訊號 0 或訊號 1 混淆不清，通訊 (a) (b) (c) (d) 圖 12.(a)記錄單張頁面繞射資訊的 PDF 分布 (b)讀取光頁碼編號 i 為 0 頁面輸出資訊 PDF 分布 (c)讀取光頁碼編號i為-1,500 頁面輸出資訊 PDF 分布 (d)讀取光頁碼編號 i 為-3,000 頁面輸出資訊 PDF 分布 機 率 機 率 灰階值 灰階值 灰階值 灰階值 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 機 率 機 率 BER=0.8882 CN=0.754 BER=0 CN=1 BER=0 CN=1 BER=0 CN=1

25 頻道雜訊造成誤碼的出現，證明多工頁面串音干擾確實會影響系統輸出頁面資料的誤碼 率，進而限制系統的最大儲存容量。 經由計算，我們可以所得到輸出頁面訊號的 PDF，這些 PDF 的數據可以利用(20) 式、(26)式、以及(27)式，估算誤碼率、單位容量以及總儲存容量，其誤碼率計算結果 如圖 14 所示，圖中頁面誤碼率以兩種方式來表達，圖 14 (a)為線性，圖 14 (b)為指數形 式，我們可以發現，第一個出現誤碼率的頁碼編號在 i=-1,700，其誤碼率為 3.5x10-6_，這 是因為模擬程式所採用的頁面解析度為 640x480（3.5x10-6 =1/640x480），頁面串音雜訊 使 i=-1,700 頁產生 1 個誤碼。在圖 14 中頁碼編號 i 大於-1,700 的頁面都沒有誤碼產生， 故其誤碼率為 0，由圖中，我們也可以發現，頁碼編號 i 較小的頁面會有較大的誤碼率。 對照單位容量與頁碼編號 i 的關係圖我們可以得到與上述相同的結論，如圖 15(a) 所示，圖 15 (b)則是將每一頁的儲存容量加總後的系統儲存容量對儲存頁面 N 的關係 圖，圖中斜線是理想的多工儲存容量增加趨勢，而全像多工儲存系統受到通訊頻道中雜 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 1 2 3 4 圖 13.多工頁面串音雜訊造成 PDF 變形之範例說明 機 率 灰階值 -5000 -2000 0 2000 5000 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 頁碼編號(i) BE R( 指數 ) (b) -50000 -2000 0 2000 5000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 頁碼編號(i) BE R( 線性 ) (a) 圖 14.中心角度 40°儲存系統誤碼率與頁面編碼(i)的關係(a)線性圖(b)指數圖 頁碼編號(i) 頁碼編號(i) 誤 碼 率₍ 指 數₎ 誤 碼 率₍ 線 性₎

26 訊的影響，其儲存容量存在一個最大值，單位容量隨著頁數增加的趨勢逐漸減緩，終至 將為 0，使得儲存容量呈現飽和的狀態，由圖上觀察可知約為 7,000 頁左右，此後，雖 然儲存頁數增加到 10,001 頁，但儲存資訊量也不再增加。 以下則是探討改變參考光中心角度之影響。同樣以儲存 10,001 也為例，改變參考光 中心角度，首先求出各頁的 PDF，其次計算單位容量（CN）、誤碼率（BER）及儲存容 量（SCN），各頁 PDF 統計的結果如表 3 與表 4 所示，我們發現，採用最小角度偏移量 的設計，則中心頁面（i = 0）完全不會受到多工頁面串音雜訊的干擾。由 PDF 函數圖形 變看來，頁碼編號較大的頁面（i > 0），因為布拉格選擇性的函數寬度比中心頁面窄， 因此不會受到多工頁面串音干擾的影響，意即，頁碼編號 i > 0 的繞射頁面訊號 PDF 都 與中心頁面的 PDF 相同。反之，頁碼編號較小的頁面（i < 0）則布拉格選擇性較寬鬆， 故以等間距之角度分離做多工儲存時，較易受到多工頁面串音訊的影響，而造成 PDF 變形，以致於頁碼編號較小的頁面單位容量降低，而使儲存容量受限。 (a) (b) 圖 15.(a)單位容量與頁碼編號之關係(b)儲存容量與儲存頁數之關係 單 位 容 量_C N [b its ] 頁碼編號(i) 儲 存 容 量_SC N [ Mb its ] 儲存頁數(N)

27 表 3.中心記錄角度 30°與 40°串音雜訊對不同頁碼編號頁面的影響 30° 40° i=-3000 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 i=-1500 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 i=0 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 灰階值 BER=0.4440 CN=0.022 機 率 灰階值 BER=0.8882 CN=0.754 機 率 灰階值 BER=0.0601 CN=0.818 機 率 灰階值 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 BER=0 CN=1

28 表 4.中心記錄角度 50°與 60°串音雜訊對不同頁碼編號頁面的影響 50° 60° i=-3000 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 i=-1500 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 i=0 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 50 100 150 200 250 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率 灰階值 BER=0 CN=1 機 率

29 由表 3 與表 4 中取得輸出頁面 PDF 後，代入(20)式和(26)式，進行各頁誤碼率、單 位容量的計算，計算的結果如圖 16 所示。 接下來，利用(27)式，我們將各頁的單位容量加總得到一個位置的總儲存容量，結 果以圖 17 表示之。 -5000 -2000 0 2000 5000 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 頁碼編號(i) 誤碼率 (指數 ) 30o 40o 50o 60o (b) -50000 -2000 0 2000 5000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 頁碼編號(i) 誤碼率 (線性 ) 30o 40o 50o 60o (a) -50000 -2000 0 2000 5000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 頁碼編號(i) 單位容量 30o 40o 50o 60o (c) 圖 16.30°-60°中心角度設計的(a)誤碼率線性圖(b)誤碼率指數圖(c)單位容量 頁碼編號(i) 誤 碼 率₍ 指 數₎ 頁碼編號(i) 誤 碼 率₍ 線 性₎ 頁碼編號(i) 單 位 容 量 儲存頁面(N) 儲 存 容 量_SC N [Mb its ] 圖 17. 30°-60°中心角度設計的總儲存容量

30 由圖 17 我們可以發現：角度多工方式雖然可以提供大量的多工頁面參考光角度， 但系統受到雜訊干擾的限制，輸出頁面的誤碼率隨著儲存頁面數目上升而提高，以 30° 中心角度為例，當儲存頁面數目到達 6,700 頁時已到達系統所能存入的儲存容量最大 值，即使繼續存入頁面資訊也無法提高系統的儲存容量，此儲存容量的最大值與 Neifeld 所計算的理論最大值的概念相符，即為系統儲存頁數已達 Nmax。 若以資訊儲存系統使用者的觀點來看，由誤碼率分析中可以發現：在系統的最末幾 頁（i < -2,000）誤碼率極高，實務上幾乎不可能分辨哪些位元呈現正確的資訊，錯誤修 正碼所能還原純資料(raw data)的誤碼率上限為(BER<5x10-3)，由於誤碼率會隨著儲存頁 面數目增加而上升，我們以此誤碼率上限來決定系統的儲存頁面數 Nuseful，並在最大儲 存頁面數的架構下探討各頁的誤碼率 BER 與單位容量 CN，以及系統總儲存容量 SCN。 經過上述概念修正後，我們重新考慮各種角度設計的錯誤修正可還原總頁數 Nuseful 及儲存容量 SCN。固定在 N=10,001 之條件下，中心角度為 30°時，多工頁面雜訊干擾最 嚴重，當頁碼小於 i=-1,200 開始，誤碼率將高於 5x10-3，則還原的資料不能使用，因此， 實際上能夠正確使用的頁碼為 i=-1,200~i=5,000，總數只有 6,700 頁，而總容量有 2,058Mb 或 257MB。同法，可求出中心角度為 40°時，可儲存範圍為 i=-2,340~i=5,000，總容量 為 2,254Mb 或 282MB。當中心角度為 50°時，可儲存範圍為 i=-4,010~i=5,000，總容量 為 2,767Mb 或 346MB。當中心角度為 60°時，可儲存範圍為 i=-4,500~i=5,000，總容量 為 2,918Mb 或 365MB。我們將上述結果整理於表 5，在誤碼率低於 5x10-3的限制下， 各種不同中心角度設計的儲存容量上限。 表 5.不同中心記錄角度所對應的儲存參數整理表 30° 40° 50° 60° △θ 0.0183° 0.0142° 0.0120° 0.0106° Nuseful 6,700 7,340 9,010 9,500 SCN 257MB 282MB 346MB 365MB 由表 5 可以發現中心記錄角度越大，所帶來的好處有： 1. 頁面間參考光角度偏移量△θ 較小，同樣的參考光角度範圍可以擁有較多儲存 容量。 2. 頁面間的串音雜訊容忍度較高，單一個位置的儲存容量 SCN可達 365MB。 因此，在設計全像儲存系統記錄架構時，應選用較大的中心記錄角度，才能得到最佳化 的儲存參數。 中心角度 儲存參數

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四、光學實驗

在本章介紹光學實驗中的光路設計、光學實驗結果與結果討論。

4.1 光路設計

4.1.1 參考光中心角度設計

由前一張的模擬結果得知：參考中心角度越大，系統對頁面串音雜訊的容忍度最 高，可以多工的全像頁面數目最多，舉例來說，中心角度 60°，多工儲存頁面數目可達 9,500 頁。要得到如此大的夾角，訊號光與參考光都需要以與材料法線夾 48°外角入射 材料表面，才能使訊號光與參考光在材料內的夾角為 60°。而在實驗中我們設定訊號光 正交入射材料表面，限制上述條件主要的原因為：實驗所使用的感光高分子材料，其材 料特性是利用折射率變化來記錄干涉條紋的資訊，材料感光前與感光後的折射率不同， 倘若訊號光為斜向入射，重建時繞射光受到材料折射率改變的影響，經過折射後抵達輸 出平面時會偏移原本訊號光波的成像位置，因此設定訊號光入射方向與材料表面正交， 如此可以避免訊號光重建後影像偏移的困擾。也因為訊號光正交材料表面入射，訊號光 與參考光的夾角最大值為 90°，折射進入材料後，材料內夾角的最大值為 42.3°。

4.1.2 訊號光成像系統

圖 18.全像儲存系統實驗架構 Ir Is Laser 473nm CCD LCOS s 偏振 4f 系統 p 偏振 半波片 分光鏡 偏振 分光鏡 s 偏振

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如圖 18 所示，在記錄階段，波長為 473nm 的藍光雷射經過空間濾波器與透鏡後成 為 s-偏振的平面波，我們利用分光鏡將雷射光分成參考光與訊號光。其中，參考光經過 旋轉平台入射 4f 系統，將旋轉平台的轉軸置於透鏡的前焦平面，頁面間分離角度即是 由旋轉平台改變光路入射 4f 系統的角度來控制。訊號光則是經過半波片旋轉偏振態成 為 p-偏振，入射於反射式矽晶板液晶空間光調制器（Liquid crystal on silicon, LCOS）， LCOS 上代表訊號 1 的像素是將入射 p-偏振旋轉成 s-偏振並反射，經過偏振分光鏡 PBS 反射至 CCD 偵測器被偵測到訊號 1 的亮像素，至於 LCOS 上代表訊號 0 的像素則不改 變 p-偏振態，無法經過 PBS 反射至 CCD，因而偵測到代表訊號 0 的暗像素，訊號光經 過第一個標準鏡頭後，我們在標準鏡頭的後焦平面使訊號光與參考光產生干涉並放置全 像記錄材料，此時記錄的圖案為，訊號光之傅氏轉換與平面波參考光干涉的結果。在讀 取階段，遮蔽訊號光，使用讀取光照射全像材料，經過材料繞射的光場帶有記錄時訊號 光的資訊，經過第二個標準鏡頭將影像成像至 CCD 偵測器上。 由於 LCOS 的像素大小（8.1μm）與 CCD 像素大小（6.7μm）不匹配，因此需要 架設由 LCOS 到 CCD 間的成像系統；我們使用兩個標準鏡頭來達成。這樣的架構與模 擬時所設定的 4f 訊號光架構不同，用以下的推導來說明改變後的系統與模擬系統的差 異。 如圖 19 所示，訊號光由空間光調制器所在的平面(ξ,η)出發，抵達透鏡所在平面 (x,y)，過程中自由空間傳遞的特性符合近場 Fresnel 繞射可得下式的關係：            d d e e U e d j e y x U d x y j d x y k j jkd d k j 2 _{( )} ) ( 2 ) 2 2 ( 2 2 2 ) , ( ) , ( 



_          ， (28) 接下來訊號光受到透鏡相位調製後的光場分布為： ) ( 2 2 2 ) , ( ) , ( ' y x f k j e y x U y x U    ， (29) 最後則是由透鏡所在平面傳遞至全像材料所在的平面： 圖 19.由空間光調制器到材料表面光路圖 全像記錄碟片 空間光調制器