以知識結構與認知診斷模式探討學生學習微積分的困難

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教育部教學實踐研究計畫成果報告

Project Report for MOE Teaching Practice Research Program

計畫編號/Project Number：PMS107045

學門分類/Division：數理學門

執行期間/Funding Period：2018-08-01-2019-07-31

由迷思概念的探討改善學生在微積分課程的學習成效

配合課程:微積分

計畫主持人(Principal Investigator)：魏傳昇

共同主持人(Co-Principal Investigator)：無

執行機構及系所(Institution/Department/Program)：逢甲大學應用數學系

繳交報告日期(Report Submission Date)：2019/9/16

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1

由迷思概念的探討改善學生在微積分課程的學習成效

一. 報告內文

1. 研究動機與目的

探討學生在學習此課程中常見的迷思概念及其所衍生出作答的錯誤類型，透過迷思概念的探討掌握學生對教材內容認知屬性的精熟度，據此編輯相應教材並改變教學的方式亦將學生產生的錯誤類型融入教學之中，在學生產生錯誤概念前給予提醒及警示，以期減少迷思概念的發生，最終達到改善學習成效的目的。

2. 文獻探討

(1)迷思概念 迷思概念(misconception)一詞最早出現在 Hancock (1940)所發表的文章中，也是建 構主義學者的研究方向之一。而本研究所談的迷思概念指的是，學生在學習的過程中形成的概念與該領域的專業知識有所出入，因而造成不當認知與理解。對於迷思概念產生的原因探討，國內外學者在這方面提出不少觀點與看法(郭重吉，1988; Gilbert & Watts, 1983; Head, 1986; Wandersee, Mintzes, & Novak, 1994)，大致可歸納為日常生活經驗與觀察、同儕文化、生活用語與科學用語混肴等。謝青龍(1995)指出，找出學生的迷思概念，可以提供教師改進教學的參考資料，促使學生發生概念改變(conceptual change)。以建構主義的觀點來說，教學者若能了解學習者的迷思概念，便能刺激學習者的認知衝突，使學習者對原本錯誤的概念產生質疑，進而達到概念改變的目標。關於概念改變的教學模式，有許多專家提出精闢的看法與見解，國內學者亦對這些文獻作出了完整的分類與整理，可供後續研究者之參考(邱美虹，2000; 張靜儀，2002)。

(2)微積分的錯誤類型或迷思概念學者 Tall(1993)指出，大部分的微積分初學者僅是片面的學習其計算的部份，然而，對理論的部分卻沒能深入的瞭解。因此，只在乎計算的程序能夠簡潔快速的後果，便是在概念上產生錯誤的理解而不自知，而這類錯誤的概念即文獻上所謂的迷思概念 (Gilbert & Watts, 1983)，同時，也是教學與學習產生阻力的原因（Fisher, 1985）。另一

方面，若學生在數學的計算式中產生錯誤的步驟，可依據其錯誤關鍵處分成若干種類，即稱其為錯誤類型(Kathleen, 1987)，而錯誤類型通常伴隨著某種迷思概念。國內外關於微積分的錯誤類型或迷思概念的研究可參考鄭俊彥（2011）整理的表格。

3. 研究方法

A.實驗場域描述

微積分不僅是大學數學教育的基礎科目，同時也是銜接進階課程(經濟學、統計學、工程數學等)的重要橋梁。該科的知識邏輯及組織結構相當嚴謹，而且概念之間具有高度的階層關係。

B.研究對象描述

(3)

以逢甲身所開

C.研究

D.資料

資料來項目項目項目以上項

E.研究

以 R 語進行下 CTT:根 TAM: 配度 GDIN 的狀況

4. 教

(

甲大學修習開設的理工

究架構

料蒐集方法

來源有以下 1.課前基本 2. Google 表 3.隨堂紙筆項目透過人

究分析方法

語言的套件下列分析: 根據古典測 :根據試題反。(詳見附錄 NA:根據認知況。

教學暨研究

(1) 教學過

教學內課堂中以下的課前測以下為習微積分課程工科微積分

法與工具

下 3 個項目: 本能力測驗( 表單線上練筆測驗: 了解人工統計或線

法

件(CTT, TAM 測驗理論，分反應理論，分錄二) 知診斷模式

究成果

過程與成果

內容著重觀念中以問答方式的統計結果為測驗參與者為答對率在六程的大一學，共有四個

圖一

(紙筆測驗) 練習:檢測基解學生解題線上系統將 M, GDINA) 分析試題的分析學生能式，分析學生

果

念的建立與式幫助學生為 106 與 1 ：106 學年六成以下的 2 學生(含重修個班級，人數

一、研究架

: 蒐集學生基本概念為主題的演示能力將學生的作答 ) 的通過率、鑑能力與試題難生認知屬性與概念的釐清生強化思考 07 學年度學年度共有 220 的先備知識與修生)為主要的數約有 200

架構圖

生先備知識的主的評量。力。答資料轉換鑑別度及誘難度的相對性的擁有率，清，針對學，即時修正學生參與前 0 人，107 學與答題情況的研究對象 0 名左右。

的表現。換為 CSV 檔誘答力。(詳對位置以及試，進而探討學學生常犯的錯正錯誤觀點前測的統計結學年度共有況。(完整題象，課程為檔後進行分析詳見附錄三) 試題與學生學生的迷思錯誤類型詳。結果：有 201 人。題目請見附錄為研

究者本

析。 ) 生能力的適思概念發生詳加提醒。錄一)

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3 一、選擇題 5. 請問集合 | 代表下列哪個區間? (A) , ∞ (B) , ∞ (C) ∞, (D) ∞, 106 學年度答對率約 57.5%，答錯者選 C 的約 24%，選 A 的約 11%。 107 學年度答對率約 59.7%，答錯者選 C 的約 20%，選 A 的約 10%。 8.若函數 √ ，則函數的定義域為 (A) 0 (B) 整個實數軸 (C) 0 (D) 0 106 學年度答對率約 54.1%，答錯者選 A 的約占 36%。 107 學年度答對率約 45.3%，答錯者選 A 的約占 31%。註: 約 3~4 成學生認為根號裡不能為 0 9. 若函數 √ ，則函數的定義域為 (A) 0 (B) 整個實數軸 (C) 0 (D) 0 106 學年度答對率約 29.5%，答錯者選 A 的約占 32%，選 C 的約占 35% 107 學年度答對率約 30.8%，答錯者選 A 的約占 28%，選 C 的約占 36% 註: 約 6~7 成學生認為開 3 次根號函數的定義域非負值。二、填充題 4. 試分解 3 4 12。 106 學年度答對率約 60% ， 107 學年度答對率約 57.2%。註: 約 4 成學生對三次多項式的因式分解有障礙。 5. 方程式 5 / ₅ _{0 則} _x__?_。 106 學年度答對率約 10.5% ， 107 學年度答對率約 16.9%。註: 正確答案為 1，106 與 107 學年度分別有七成與五成的學生漏掉答案 1 6. 試化簡 √ 106 學年度未考此題， 107 學年度答對率約 17.9%。註: 正確答案為 | | ，約有七成學生的答案漏掉絕對值。 11. 試解不等式 1 2 0 。 106 學年度答對率約 44.5% ， 107 學年度答對率約 48.3%。註: 五成多的學生無法正確解出三次多項式的不等式。 22. 試求 sec 0 的值。 106 學年度答對率約 51.4% ， 107 學年度答對率約 55.2%。

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4 此外，我們設計 50 題測驗題(完整題目:https://forms.gle/w8x8z3EVYejdUkch8)來檢測學生對於極限單元的基本概念是否掌握，參與人數共有 172 人。題目中涵蓋以下技能：編碼極限概念相關技能 A1 能計算函數的函數值 A2 能判斷出函數的極限值 A3 能判別函數值趨近正、負無窮大 A4 能使用極限法則的加、減法律 A5 能使用極限法則的乘法律 A6 能使用極限法則的除法律 A7 能使用極限法則的根式律 A8 能分辨函數的左、右極限 A9 能使用函數的左、右極限與極限存在的關係 A10 知道極限值 0 sin lim 1 x x x   A11 知道極限值 0 cos 1 lim 0 x x x   _ A12 能分辨左、右極限的函數值趨近正無窮大或負無窮大 A13 能分辨趨近無窮大之極限值 A14 能利用 lim 1_n 0, x_x  n 為正整數編碼先備知識技能 A15 能化簡(消去)絕對值 A16 能化簡有理函數(因式分解及上下對消) A17 能運算正變數的平方開根號 A18 能運算負變數的平方開根號

利用 R 語言的認知診斷套件(GDINA)分析，我們獲得下列學生技能擁有率的情況: 編碼 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 擁有人數 154 144 93 134 133 124 141 133 124 擁有率 89.5% 83.7% 54.1% 77.9% 77.3% 72.1% 82.0% 77.3% 72.1%

編碼 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 擁有

人數 122 111 28 131 117 108 117 124 94 擁有率 70.9% 64.5% 16.3% 76.2% 68.0% 62.8% 68.0% 72.1% 54.7%

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以

以及利用套件表試題

件 CTT 分析題分析表析試題的通過 5 過率、鑑別別度及信度的結果如下

下：

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(

二. 參考文

中文部邱郭 pp.35 葉教育學張 49-56 劉分基本謝 pp.23

(2) 教師教

教師應

助學生

(3) 學生學

文獻(Refer

部分邱美虹(200 郭重吉(198 1-378。葉明達(200 學術研討會張靜儀(200 6。劉湘川、白本公式之錯謝青龍(199 -29。

教學反思

應於課前檢

生搭起鷹架

學習回饋

rences)

00)。概念改 88)。從認知 00)。〈高中會。 02)。科學迷白宗恩、鄭俊錯誤類型。《 95)。從「迷

檢視學生的

架，降低學

改變研究的省知觀點探討自中生函數迷思迷思概念的俊彥、黃玉《測驗統計年迷思概念」到 6

的起點行為

學生獲得新

的省思與啟示自然科學的思概念及函的研究與概玉臺、謝俊年刊》，18( 到「另有架構

為，授課時加

新知識的困難

示。《科學教的學習。《國函數表徵轉換概念改變教學俊逸、陳建憲 (2)，pp.35-構」的概念

加強先備知

難度。

教育學刊》，國立臺灣教育換能力之初學。《屏東科憲、蔡閎任 -49。念改變。《科

知識的的複

，8 (1)，pp 育學院學報初探〉。第十科學教育》任、劉育隆( 科學教育月刊

複習，幫

.1-34。報》，(13)，十六屆科學》，16，pp. (2010)。微刊》，180，

(8)

7

鄭俊彥(2011)。大學微積分電腦化建構反應題及自動分析機制研發。國立臺中教育大學教育統計測驗研究所碩士論文，未出版，臺中市。

西文部分

Driver, R. (1981). Pupils’ alternative frameworks in science. European Journal of Science

Education, 3, pp. 93-101

Fisher, K. (1985). A misconception in biology: Amino acids and translation. Journal of

Research in Science Teaching, 22, pp. 53-62.

Gilbert, J. K., & Watts, D. M. (1983). Concepts, misconceptions and alternative conceptions: Changing perspective in science education. Studies in Science Education, 10, pp. 61-98.

Hancock, C. H. (1940). An evaluation of certain popular science misconceptions. Science

Education, 24, pp. 208-213.

Head, J. J. (1986). Research into alternative frameworks: promise and problems.

Research in Science & Technological Education, 4(2), pp. 203-211

Hewson, M. G., & Hewson, P. W. (1983). Effect of instruction using students’ prior knowledge and conceptual change strategies on science learning. Journal of Research in

Science Teaching, 20, pp. 731-743.

Janvier, C. (1987). Translation procceses in mathematic education. In C. Janvier (Ed.),

Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 27-32).

Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Kathleen, T. T. (1987). Error reduction strategies for whole number operations in grade

four (Doctoral Dissertation, Brigham Young University).

Markovits, V., Eylon, B., & Bruckheimer, M. (1986). Function today and yesterday. For

the learning of mathematics, 6(2), pp. 18-28.

Novak, J. D. (1977). An alternative to Piagetian psychology for science and mathematics education. Science Education, 61(4), pp. 453-477.

Özkan, E. M., & Ünal, H. (2009). Misconception in Calculus-I: Engineering students’ misconceptions in the process of finding domain of functions. Procedia - Social and

Behavioral Sciences,1(1), pp.1792-1796.

Tall, D. (1993). Student’s difficulties in calculus. Proceedings of working group 3 on

students’ difficulties in calculus, ICME-7 1992, Québec, Canada (pp. 13-28).

Tankersley, K. (2007). Tests that teach: using standardized tests to improve instruction. Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development.

Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function.

International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 14, pp. 293-305.

Wandersee, J. H., Mintzes, J. J., & Novak, J. D. (1994). Research on alternative conceptions in science. In D. Gabel (ed.), Handbook of research on science teaching and learning (pp.177-210). New York: Simon & Schuster Macmillan.

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三. 附件

(Appendix)

8

附錄一

一

(10)

9

附錄二

二

(11)

10

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

17

(19)

18

附錄三

三

(20)

19

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20

(22)

21

(23)

22

(24)

23