2013 年第十屆國際國中科學奧林匹亞競賽
--理論試題
國立臺灣師範大學 科學教育中心
1. 振 動或 稱 週 期 運動 無 所 不 在。 讓 我 們 從線 性 恢 復 力說 起 ， 也 就是 說 在 距 離平 衡 位 置 x 之 處， 施 於 質量 為 m 物 體之 力 F 為 F kx 其 中 常 數k 稱 為力 常 數，方 程式 中 的 負 號(-)表 示 該 力指 向 位 於 x=0 處的 平 衡原 點 O： 在 這 種 力 的 作 用 之 下，物 體 將 作 簡 諧 運 動(SHM)，也 就 是 相 對 於平 衡 原 點 的(O)往 復 運 動 ， 週 期 為T2 m k ， 頻 率 為 1 T 。 距 離 平 衡 原 點 的 最 大 位 移 A 稱 為 振 幅 ，如 上 圖 所 示。 (a) 視 月球 為 一 均 勻球 體 ， 其 半 徑 為 R1.7 10 6m， 質 量為M7.3 10 22kg， 且 表 面 的 重 力 加 速 度 為g1.6ms
-2。 已 知 對 於 球 形 對 稱 的 質 量 分 布 而 言，距 離 球 心r 處，只有半徑小於 之內的質量， 會 貢 獻 該 處 重 力 。 想 像 一 條 窄 隧 道 穿 過 月 球 中 心 ， 如 下 圖 所 示 。 一 小 質 量m 從 一端 釋 放 。 F O(i) 在 表面 之 下，深 度 h 之 處(如圖)，質 量 m 所 受 重 力 為 [0.5] (A) 1 h mg R (B) 1 h mg R (C) mgh R (D) h mg R h (ii) 在 答案 卷 上 的 圖格 中，描 繪 ( ) /F r mg 圖，其 中 ( )F r 為距 離 月 球 中心 處，作 用 於 m 的 重 力，是r R/ 的 函 數，範 圍 從 r 為 0 到 2R。 [1.0] (iii) 若 m=0.10 kg，從 表 面一 端 洞口 釋 放 到 月球 中 心，最 短 時 間(應 註明 單 位 為 s)為 何 ？ [1.0] (b) 如 O2 般 的 分 子 是 由 兩 個 相 同 原 子 以 共 價 鍵 結 合 而 成 。 這 類 分 子 可 以 視 為 由 兩 個 等 質 量 m 經 由一 條 提 供 線性 恢 復 力 F 的彈 簧 結 合而 成，力 常數 為 k。使 得 兩 質 量 沿 連 線 做 簡 諧 運 動(SHM)。因此，這類 分 子 週 期性 的 處 於 壓縮 態(極 小 間距 c L ) 與伸 展 態(極 大間 距Ls)。於 兩態 之 間，當 兩 質 量 之 間距 為 平 衡 間距 時，力 F 為 零 。 顯 然Lc L Ls如 上 圖 所 示 。 (i) 氧 分子 O2 的 力常 數 為 k =1150 N m-1。平 衡 鍵 長 為 而 完 全 伸 展 時 鍵 長 改 變 量 為 L 的 6.0%。計 算 氧 分 子的 振 動 能 量，也 就 是 每一 莫 耳 氧 分子 的 動 能 與 位 能 之 和 。 (應 註明 單 位 為 kJ-mol-1) (亞 佛加 厥 常 數，N A=6.0231023)。 [1.5] (ii) 週 期表 中 鹵 素 元素 的 原 子 量為 如 下 ： F Cl Br I 19.0 35.4 79.9 126.9 兩 種 鹵 素 元 素， X 與 Y，形 成雙 原 子分 子X2 和 Y2，它 們 的 力 常 數 分 別 為 325.0 X k N-m-1 與 446.0 Y k N-m-1 。 經 測 量 ， 它 們 的 振 動 頻 率 分 別 為 12 16.7 10 X Hz 與 26.8 10 12 Y Hz。 c L L Ls
辨 識 並 寫 下 X 與 Y 分 別 代表 的 兩 種 鹵素 元 素 的 符號。在 答 案紙 上 書 寫 格 式 為 X＝ ，Y＝ 。 [1.0] 2. 陽 光是 地 球 最 重要 的 光 源，包含 了 可 見 光的 各 種 波 長，人 眼 視 為 光譜 中 的 不 同顏 色 。 不 過，陽 光 中 各 種 色 光 的 強 度 不 同，如 下 圖 所 示。最 強 的 光 為 波 長 約 為 525 nm (1nm = 10-9 m) 的 藍 綠光 。 我 們 對 於 周 遭 物 體 顏 色 的 辨 識，主 要 因 為 物 體 對 於 陽 光 的 散 射 或 吸 收 是 與 波 長 相 關。 如 果 物 體 散 射/反 射 的 波 長 分布 與 陽 光 相同，則 在 我們 眼 中 顯 示白 色。任 何與 陽 光 不 同 的 散 射/反 射 光度 分 布 ， 則物 體 成 呈 現色 彩 。
(a) 英 國 的 Lord Rayleigh 與 印 度 的 Sir C.V. Raman 分 別 探究 光 被 小 於波 長 的 質 點， 例 如 ， 空 氣 分 子 散 射 的 現 象 。 散 射 效 率 定 義 為 s I / Is i， 其 中Ii與Is分 別 是 入 射 與 散 射 光 強 度 。 研 究 結 果 為 η ∝ ‐ , 其 中 是入射光波長。之 後，德 國 的 Gustav Mie 研 究 顯 示，當 質點 大 小與 波 長 相 當時，則 η 約 增為 40 倍， 而 且 與 波 長 無關。我們可區別波長相關的 Rayleigh 散射與波長無關的 Mie 散 射 。 (i) 如 果 陽 光 透 過 一 個 充 滿 氮 器 的 透 明 容 器 (器 壁 厚 度 可 略 )之 後 ， 波 長 分 別 是 400 nm and 650 nm 的 散 射 光強 度 之 比 ？ [1.0] (ii) 在 藍綠 光 範 圍 ，純 空 氣 的 能見 度 約是 300 km。不過，如果空氣被懸 浮 粒 子(如 煙 與 塵)污 染，這 些污 染 對 於 陽光 的 散 射，比 空 氣 分 子更 有 效 率 ， Violet Blue Green Yellow Orange Red
則 能 見 度 將 會 降 低 許 多 。 污 染 空 氣 的 能 見 度 為 其 中 β 為 散 射 損 失 因 子 ， 滿 足 β ∝ η C ， 而 C是 散 射 物 質 的 濃 度 ， η 是 其 散 射 效 率 。 因 此 ， 純 空 氣 時β 1。如果在沙塵暴之後，大小為 520 nm 的 塵 粒 濃 度 為10%。藍 綠 光的 能 見 度 為R (應註明單位為 km)為何？ [1.5] (iii) 牛 奶是 含 有 大 小約 100 nm 液 態脂 肪 粒 子的 懸 浮 液。這 些 粒 子 散 射 光 的 效 率 比 水 分 子 強，使 得 牛 奶 看 起 來 更 白 而 不 透 明 。 考 量 以 下 實 驗 ， 在 水 中 加 入 幾 滴 牛 奶 ， 從 上 方 以 陽 光 照 射 ， 如 右 圖 所 示 。 因 為 牛 奶 濃 度 很 低 ， 水 將 呈 淡 霧 色 ，而 陽 光 仍 可 穿 透 。接 著 (I) 從 下 方 觀 測 或(II)從 旁 側觀 測 ， 如 圖所 示 。 相 較 於 從 下 方 觀 測(I)，從 旁側 (II) 透 出的 光，看 起 來 (A) 偏 藍 (B) 橙 (C) 偏 紅 (D) 相 同 [0.5] (iv) 下 列哪 一 種 大 氣現 象 主 要 是由 於 Mie 散 射 ？ [0.5]
圖 出 處 ：(A)http://bostern.wordpress.com (B) http://www.kaneva.com
(C) http://lisathatcher.wordpress.com (D) http://www.freefoto.com
(A) 紅晚 霞 (B) 白 雲
(C) 藍 天 (D) 彩虹
(b) 植 物吸 收 太 陽 光能 ， 將 能 量儲 存 為 化 學能 的 形 式 ，經 由 稱 為 光合 作 用 的 複雜 過 程 將 水 與 二 氧 化 碳 轉 變 成 碳 水 化 合 物 。 光 合 作 用 是 由 荷 蘭 的 生 理 學 家 凡 赫 蒙 (Jan van Helmont)在 17 世 紀發 現 的 ， 這是 一 個 長 時間 又 迷 人 的故 事 。 有 些有 關 光 合 作 用 生 理 的 先 驅 研 究 由 印 度 科 學 家 J. C. Bose 爵士 在 1920 年 完成，其 中有 些 詳 細 內 容 直 到 現 在 仍 在 被 研 究 中 。 (i) 通 常植 物 的 葉 及枝 條 是 綠 色的 ， 因 為 有負 責 光 合 作用 進 行 的 葉綠 素 ， 下 列 何 者 是 葉 綠 素 的 吸 收 光 譜 ？ [1.0] (ii) 假 設 光 合 作 用 的 速 率 是 與 光 的 吸 收 總 量 (參 考 上 圖 )相 關 ， 在 綠 色 植 物 中 ， 多 少 的 波 長(應 註明 單 位 為 nm)會 有 最 高的 光 合 作 用速 率 ？ [0.5] (iii) 長 時間 以 來 ， 都認 為 只 有 植物 吸 收 太 陽能 ， 可 以 將其 轉 變 為 可以 利 用 的 形 式 。 然 而 ， 太 陽 能 電 池 的 發 明 ， 現 在 已 有 許 多 不 同 的 人 造 工 具 ， 可 將 太 陽 能 轉 換 為 其 他 可 用 的 能 量 形 式 。 下 列 四 圖 呈 現 四 種 具 有 可 以 作 為 太 陽 能 電 池 的 不 同 物 質 的 吸 收 度(a)。如 果 這 些 電 池 被 設 計 在 太 陽 光 下 運 作 ， 哪 一 種 物 質 在 將 太 陽 能 轉 換 為 電 能 上 ， 具 有 最 高 的 轉 換 效 率 ？ [1.0] (A) (B) (C) (D) 吸 收 度 吸 收 度 吸 收 度 吸 收 度 波 長 波 長 波 長 波 長
3. 維 持血 液 和 細 胞內 液 於 適 當 的 pH 值 ，對 生 物 體 而言 非 常 重 要， 主 要 是 因為 酵 素 催 化 功 能 的 正 常 運 作 與 pH 值 有 關，只 要體 內 的 pH 值 稍 微改 變，就 可 能 導 致嚴 重 的 疾 病 。 人 體 內 血 漿 的 pH 值 維持 在 7.4，即 便 人 體 內 進行 生 化 反 應， 會 產 生 或消 耗 H+ 離 子，但 因 有 CO32−、HCO 3−和 CO2存 在 體 液 中，故 可 以 幫 助 血 液 維 持 在 穩 定 的 pH 值 。 (a) 在 血液 中 ， H2CO3會 分 兩 步 驟 進 行 解 離 ， 分 別 寫 出 此 兩 個 步 驟 的 反 應 式 。 [0.5] (b) 若 上述 兩 個 步 驟反 應 的 平 衡常 數 分 別 為 K1和 K2， 當 人 體 體 溫 於 37℃時，該兩 常 數 的 值 分 別 為 ：K1= 2.2×10−4和 K2= 4.8×10−11。
(i) 假 設溶 液 中 H2CO3 和 HCO3− 的濃 度(mol/l) 相 同，計 算 溶 液 中 的 H+ 濃 度
和 pH 值 。 [0.5] (ii) 若 血液 的 pH 值 為 7.4 時 ，計 算 HCO3− 和 CO32− 的 濃度 比 例。 [1.0] (c) 通 常在 人 體 內 ，被 溶 解 在 血液 中 的 CO2與H2CO3濃 度 達 平 衡 。 CO2(被 溶 解 的) + H2O(l) 3 K H2CO3(被 溶 解的) 在37℃ 時， K3 = 5×10−3， 計 算 下 列 反 應 式 的 平 衡 常 數(K’)。 CO2(被 溶 解 的) + H2O(l) 3 K
HCO3−(aq) + H+(aq) [0.5]
(A) (B) (C) (D) Blue red a 1.0
Blue red a 1.0 Blue red a 1.0 Blue red a 1.0
(d) 血 漿是 含 有 碳 酸根 的 緩 衝 溶液，為 HCO3− 與 CO2 的 混 合 物，在 38℃ 時，其 總 濃 度 為3.4×10−2M。已知 在 此溫 度 下，上 述的 平 衡 常 數 K’為 1.3×10−6，而 且H 2CO3 的 濃 度 很 小，可 忽 略 不 計。計 算 在pH=7.4 的 血 液 中 CO2(被 溶 解 的)濃度 與 HCO3− 濃 度 比 例 為 何 ？ 以 及 兩 者 的 各 別 濃 度 為 何 ？ [1.5] 4. 人 類心 臟 有 四 個腔 室―左 心房 、 右 心 房、 左 心 室 及右 心 室 。 下圖 中 顯 示 該四 個 腔 室 和 多 條 與 心 臟 相 接 的 血 管 。 與 心 臟 相 接 的 血 管 心 臟 內 的 腔 室 1. 為 肺動 脈 的 代 號 RA)為 右 心 房 的代 號 2. 為 肺靜 脈 的 代 號 RV) 為 右 心 室 的 代 號 3. 為 主動 脈 的 代 號 LA) 為 左 心 房 的 代 號 4. 為 上腔靜 脈 的 代號 LV) 為 左 心 室 的 代 號 5. 為下 腔 靜 脈的 代 號 (a) 上 表中 ， 哪 些 代號 含 有 貧 氧血 ？ [1.0] (b) 下 表為 某 人 在 一次 心 週 期 中， 於 不 同 時間 點(t)其 左心 室 內 的 血液 量(V)。 [0.5] (s) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 (cm3) 80 89 75 60 48 47 70 80 89 根 據 上 表 資 料 進 行 計 算，則 此 人 的 心 跳 速 率(應 註 明單 位 為 beats/minute)為 何？ (c) 於 心週 期 過 程 中的 不 同 期 間， 多 個 瓣 膜會 打 開 或 關閉 ， 以 導 引血 液 的 流 動。 根
據 上 題(4b)表 內資 料，僧 帽瓣 與 主 動 脈瓣 於 0.2s 及 0.6s 時 的 開或 關 狀 態，依 序 分 別 為 何 ？ 將 答 案 填 入 答 案 卷 內 適 當 的 欄 位 中 。(O 代 表 打 開 ； C 代 表 關 閉) [1.5] (d) 在 血液 自 心 臟 流入 主 動 脈 的一 次 心 週 期中 。 假 如 主動 脈 的 直 徑約 為 2.4 cm， 利 用 上 題4(b) 附 表的 資 料，計 算一 次 完 整的 心 週 期 中，血 液 流 入主 動 脈 的 平均 流 速 為 何 (應 註 明單 位 為 cm sec-1)？ [1.0] (e) 血 液由 主 動 脈 先流 入 與 主 動脈 相 接 的 大動 脈 ， 再 流入 小 動 脈 和微 血 管 。 假如 人 體 內 所 有 大 動 脈 的 總 截 面 積 為7.0 cm2，而 流 經 主 動 脈 相 等 體 積 的 血 液，均 流 入 大 動 脈 ， 計 算 出 血 液 流 經 這 些 大 動 脈 的 平 均 流 速(應註 明 單 位 為 cm s-1)? [0.5] (f) 藉 由測 量 體 內 不同 組 織 內 的氧 分 壓 ， 可得 出 不 同 程度 的 血 紅 素飽 和 度 ， 下圖 顯 示 不 同 血 紅 素 飽 和 度 與 氧 分 壓 的 相 關 性 。 圖 中 有 分 別 標 示 為 X 與 Y 的 兩 點。 [1.0] 根 據 上 圖，分 析X 點 和 Y 點 不 同程 度 的血 紅 素 飽 和度，所 代 表在 下 表 中 人體 不 同 部 位 的 氧 分 壓 ， 分 別 採 用 適 合 的 X 或 Y 表示 ， 再將 適 合 的 代 號 X 或 Y，填 入 答 案 卷 內 相 對 應 的 欄 位 中 。
時 間Time 僧 帽 瓣Mitral valve 主 動 脈 瓣 Aortic valve 0.2 s 0.6 s 主 動 脈 Aorta 腎 靜 脈 Renal vein 肺 臟 內 的 肺 泡 中 Alveolar space in lungs 肺 動 脈 Pulmonary artery
5. 豹 是貓 科 動 物，在 印 度 已 滅絕，在 他 處仍 可 見，其 特 色 為 高 速奔 跑 與 快 速加 速。 它 可 在 3.0s 之 內 ，從 靜 止 加 速到 其 最 高 速率 約 30 m-s-1。(相 較 於跑 車 約 需 4s 才 可達 此 高 速 。) 圖 來 源 ：http://www.vimeo.com 雖 然 豹 可 以 高 速 奔 跑 與 加 速 ， 它 卻 累 得 很 快 ， 無 法 以 最 高 速 率 長 途 奔 跑 。 因 此 ， 若 不 在 時 限 之 內 補 獲 獵 物 ， 必 須 放 棄 該 次 獵 補 。 (a) 考 量一 隻 質 量 為 50kg 的 豹。從 靜 止 開 始加 速，經 3.0 秒 達 速 率 30ms-1，然 後 繼 續 以 該 速 率 跑20 s (i) 計 算此 豹 加 速 至最 高 速 之 前的 平 均 加 速度 。 [0.5] (ii) 計 算最 初 3.0s 的位 移 ， 假 設等 加 速 度 。 [0.5] (ii) 豹 需作 功 克 服 空氣 阻 力。假 設阻 力 為 定 值 100N。計 算該 豹 於 最 初 23.0s 之 內 所 作 的 功 。 [1.0] (b) 於 最 初 2 3 . 0 s 之 內 ， 豹 的 體 溫 從 38.50C 升 高 為 4 0 . 00C。 假 設 豹 的 比 熱 為 4.2 kJ kg-1 K-1。 (i) 若 體 溫 升 高 為 線 性 ， 不 計 散 失 於 環 境 的 熱 量 ， 計 算 豹 的 代 謝 產 生 的 熱 量 。 [1.0] (ii) 假 設豹 的 身 體 產生 的 能 量 ，部 份 用 於 提升 體 溫 ， 其餘 用 於 力 學作 功 。 計 算 產 生 的 能 量 轉 換 為 動 能 的 比 例 。 [1.0] (c) 豹 起跑 時 ， 起 初能 量 來 自 有氧 呼 吸 ， 此時 葡 萄 糖 被氧 化為 ATP。 在此 過 程， 每 莫 耳 的 葡 萄 糖 產 生36 莫 耳 ATP，而 這些 ATP 可 以轉 換 為 1130 kJ 能 量。高速 奔 跑 增 加 氧 氣 需 求 ， 造 成 呼 吸 率 增 高 至150 次 每 分鐘 。 (i) 寫 下平 衡 的 有 氧呼 吸 化 學 方程 式 。 [1.0] (ii) 如 果 豹 需 要 400 kJ 的 能 量 ， 設 所 有 能 量 皆 來 自 有 氧 呼 吸 ， 計 算 所 需 氧 氣 的 體 積 。 取 氧 氣 的 莫 耳 體 積 為 24.5 公 升。 [1.0]
(ii) 豹 經呼 吸 自 空 氣中 攝 取 氧 氣。吸 入 的 空氣(每 次 吸 氣 約 500ml) 包 含 20%氧 氣 。 假 設 吐 出 的 空 氣 含 約 15%氧 氣。計 算 豹 以 150 次 每分 鐘 的呼 吸 率，在 此 23s 奔跑 中 ，消 耗 氧 氣 的體 積 。 [1.0] (d) 從 以上 作 答 可 知， 豹 行 有 氧呼 吸 產 生 的能 量 不 足 以提 供 肌 肉 所需 。 因 此 需要 藉 由 無 氧 呼 吸 作 用 產 生ATP， 但 此過 程 中每 代 謝 一 莫耳 葡 萄 糖 只能 獲 得 兩 莫耳 的 ATP。 (i) 無 氧呼 吸 作 用 可將 葡 萄 糖 轉換 為 ATP 。如 果 葡 萄 糖可 完 全 氧 化，一 莫 耳 可 釋 出 2872 kJ 能量 。 相 較 於完 全 氧 化 ，無 氧 呼 吸 的效 率 為 何 ？ [1.0] (ii) 如 果豹 奔 跑 所 需的 400kJ 能 量全 部 經 由無 氧 呼 吸 產生 ， 計 算 需要 多 少 公 斤 的 葡 萄 糖(應 註 明單 位 kg)。 [1.5]
