考科
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武陵高中 洪榮良 老師 100 年度的大學學測終於結束了。今年在國文科作文題目備受關注下，數學科考題沒 有引起太多的關注與討論。只見媒體一面倒的認為今年的題目為「三年來最容易」，更有 一家報紙說今年的題目是「有史以來最簡單」。真是如此嗎？恐未必見得。 1 各單元佔分分析 冊 別 章節 單 元 單選題 多選題 選填題 合計 總計 第 一 冊 一 數與坐標系 17.5 二 數列與級數 3* A 7.5 三 多項式 2 e 10 第 二 冊 一 指數與對數 3*，5 q* 8.5 23.5 二 三角函數的基本概念 8* D 8 三 三角函數的性質與應用 7，8* 7 第 三 冊 一 向量 0 5 33 二 空間中的直線與平面 B，E，G 15 三 圓與球面 9，q*，w 13 第 四 冊 一 圓錐曲線 4 q* F 11 26 二 排列、組合 三 機率與統計（Ⅰ） 1，6 C 15 註：1 單選第3題考到數列與對數的概念，故兩個單元各佔一半分數。 2 多選第8題考到三角函數，123選項屬於第二冊第二章的觀念，45選項屬於 第二冊第三章的觀念，故將配分作以下分配：第二冊第二章佔 3 分，第二冊第三 章佔 2 分。 3 多選第q 題考到指數函數的圖形與圓及橢圓的圖形，故將配分作以下分配：第二 冊第一章佔 1 分，第三冊第三章佔 3 分，第四冊第一章佔 1 分。 由上表分析可知，今年的試題偏重在二、三、四冊，有關第一冊的試題較少，以往學 測考的很多的第一冊第一章有關數論的部分，這兩年甚至沒有出題。第四冊第二章排列組 合的部分今年也沒有命題，只有在選填題 C，用到一點排列組合的概念。另外，第四冊第 三章有關信賴區間的部分，今年也沒有命題，頗令人意外，第三冊的空間向量一直是學測 常考的部分，尤其是空間圖形概念，空間的直線與平面、三元一次聯立方程式的解法都是 常考的部分，今年亦不例外。
2 試題的特色 今年的題目若逐題分開來看，每一個題目均經過精心設計，但成為一份學測考題，題 目似乎偏多了些。尤其在多選部分，許多題目的每一選項都是獨立的觀念，做了一個多選 題，等於算了五個題目。今年題目的最大特色是有關圖形的題目特別多，幾乎佔了整份試 題的一半，所以在未來的教學中，各單元與圖形的結合，勢必成為教學的重點。 這份試題涵蓋了 95 課綱中高一高二課程的大部份重要觀念，同學只需熟讀課本的基 本定義、定理與重要的性質，應可做出大部分的題目；但有一些題目觀念簡單，計算卻頗 為複雜，例如選填題的 C 考簡單的機率觀念，但計算方面卻很複雜；單選題第六題考中位 數，原為一簡單觀念，但卻出了一堆含小數點的複雜數字，出題教授似乎不願讓同學太輕 易得分；選填題 E 題目敘述冗長，但只要耐心的將題目分析清楚，並不難解出，只是社會 組同學看到這一題牽涉到放射性物質，可能未戰先怯；整份試卷只有單選第1題，觀念計 算都很簡單，是最容易得分的一題；選填題 F 看似複雜，其實只要用拋物線與橢圓的定義 即可解出，是漂亮的一題；選填題 D 屬於過去常出現的考古題。整份試卷看似簡單，但想 得高分，須有一定的程度。對頂尖的學生，應可拿到不錯的成績，但因為整份試卷沒有基 本題，對中下程度的學生，可能沒有太多分數可拿。 3 結語 這幾年學測的題目難度已經比指考的社會組試題難度高，且會有一部分題目考的觀念 不只一個，將來在準備學測時需統合各章的觀念，才能得高分；不過熟讀課本基本定義、 定理、重要性質並熟練應用方法，當然還是得高分的不二法門。
武陵高中 洪榮良 老師 第壹部分：選擇題（占 65 分） 一、單選題（占 30 分） 說明： 第1題至第6題，每題 5 個選項，其中只有一個是最適當的答案，畫記在答 案卡之「解答欄」。各題答對得 5 分；未作答、答錯或畫記多於一個選項 者，該題以零分計算。 1 有一箱子，內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲，從箱子中任取出一球。假設每一 顆球被取出的機率都相同，若取出黑球可得獎金 50 元，而取出白球可得獎金 100 元，則下列哪一個選項是此遊戲的獎金期望值？ 1 70 元 2 75 元 3 80 元 4 85 元 5 90 元 答 案 1 命題出處 第四冊第三章：機率與統計（Ⅰ） 測驗目標 了解期望值的定義 詳 解 黑球 白球 獎金 50 元 100 元 機率 3 5 2 5 故期望值＝50×3 5＋100× 2 5＝70（元） 難 易 度 易 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 336 頁 類題 2 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 221 頁範例 7 2 多項式 4（x2＋1）＋（x＋1）2（x－3）＋（x－1）3 等於下列哪一個選項？ 1 x（x＋1）2 2 2x（x－1）2 3 x（x－1）（x＋1） 4 2（x－1）2（x＋1） 5 2x（x－1）（x＋1） 答 案 5 命題出處 第一冊第三章：多項式 測驗目標 了解因式定理的用法與恆等式的觀念 詳 解 此題可先從答案中尋找因式，五個答案中只出現了 x，x＋1，x－1 三個 因式，故可將 x＝0，－1，1 代入原式。
設 f（x）＝4（x2＋1）＋（x＋1）2（x－3）＋（x－1）3 f（0）＝4（0＋1）＋（0＋1）2（0－3）＋（0－1）3＝0，故 x 為 f（x）的因式； f（－1）＝4（1＋1）＋（－1＋1）2（－1－3）＋（－1－1）3＝0， 故 x＋1 為 f（x）的因式； f（1）＝4（1＋1）＋（1＋1）2（1－3）＋（1－1）3＝0， 故 x－1 為 f（x）的因式； 所以可設 f（x）＝4（x2＋1）＋（x＋1）2（x－3）＋（x－1）3＝kx（x－1）（x＋1） x＝2 代入得 4×5＋9×（－1）＋1＝k×2×1×3，故 k＝2 難 易 度 中 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 77 頁 多重選擇題6 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 38 頁範例 1、第 38 頁類題 1 3 設（an＋1）2＝ 1 a10（an）2，n 為正整數，且知 an 皆為正。令 bn＝logan，則數列 b1，b2，b3，…為 1公差為正的等差數列 2公差為負的等差數列 3公比為正的等比數列 4公比為負的等比數列 5既非等差亦非等比數列 答 案 2 命題出處 第一冊第二章：數列與級數、第二冊第一章：指數與對數 測驗目標 了解等差等比數列的意義與對數運算的性質 詳 解 由（an＋1）2＝ 1 s10（an）2，兩邊取以 10 為底的對數， 得 log（an＋1）2＝log 1 s10（an） 2＝log 10－12 ＋log（an）2 ⇒ 2 log an＋1＝－ 1 2＋2 log an ⇒ log an＋1－log an＝－ 1 4 即 bn＋1－bn＝－1 4，故數列｛b1，b2，…，bn｝為一公差為負的等差數列 難 易 度 稍難 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 27 頁範例 5
4 坐標平面上滿足方程式（ x 2 52 ＋ y2 42 ）（ x2 32 － y2 42 ）＝0 的點（x﹐y）所構成的圖形 為 1只有原點 2橢圓及原點 3兩條相異直線 4橢圓及雙曲線 5雙曲線及原點 答 案 3 命題出處 第四冊第一章：圓錐曲線 測驗目標 了解方程式與圖形的關係 詳 解 （ x 2 52 ＋ y2 42 ）（ x2 32 － y2 42 ）＝0 ⇒（ x 2 52 ＋ y2 42 ）（ x 3－ y 4）（ x 3＋ y 4）＝0 ⇒ x 2 52 ＋ y2 42 ＝0 或 x 3－ y 4＝0 或 x 3＋ y 4＝0 x2 52 ＋ y2 42 ＝0 ⇒（x﹐y）＝（0﹐0） x 3－ y 4＝0， x 3＋ y 4＝0 代表相交於（0﹐0）的兩相異直線，故答案選3 難 易 度 中 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 271 頁 範例 5 《大滿貫復習講義•數學1∼4冊》第 188 頁範例 19 5 請問下面哪一個選項是正確的？ 1 37＜73 2 510＜105 3 2100＜1030 4 log23＝1.5 5 log211＜3.5 答 案 5 命題出處 第二冊第一章：指數與對數 測驗目標 了解指對數的比較大小的方法 詳 解 1 log37＝7×log3~7×0.4771＝3.3397 log73＝3×log7~3×0.8451＝2.5353 故 log37＞log73 ⇒ 37＞73 2 log510＝10×log5＝10×（1－log2）~10×0.6990＝6.990 log105＝5 故 log510＞log105 ⇒ 510＞105 3 log2100＝100 log2~30.10
log1030＝30 故 log2100＞log1030 ⇒ 2100＞1030 4 log2 3＝ log3 log2 ~ 0.4771 0.3010 ＝1.5850 5 3.5 ＝log2 23.5＝log2（23×212）＝log
2 （8×1.414） ＝log2 11.312＞log2 11 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 70 頁學測觀摩站多重選擇題第2題 6 根據臺灣壽險業的資料，男性從 0 歲、1 歲、……到 60 歲各年齡層的死亡率 （單位：％）依序為 1.0250，0.2350，0.1520，0.1010，0.0720，0.0590，0.0550， 0.0540，0.0540，0.0520，0.0490，0.0470，0.0490，0.0560，0.0759，0.1029， 0.1394，0.1890，0.2034，0.2123，0.2164，0.2166，0.2137，0.2085，0.2019， 0.1948，0.1882，0.1830，0.1799，0.1793，0.1813，0.1862，0.1941，0.2051， 0.2190，0.2354，0.2539，0.2742，0.2961，0.3202，0.3472，0.3779，0.4129， 0.4527，0.4962，0.5420，0.5886，0.6346，0.6791，0.7239，0.7711，0.8229， 0.8817，0.9493，1.0268，1.1148，1.2139，1.3250，1.4485，1.5851，1.7353。 經初步整理後，已知 61 個資料中共有 24 個資料小於 0.2。請問死亡率資料的中 位數為下列哪一個選項？ 1 0.2034 2 0.2164 3 0.2137 4 0.2085 5 0.2019 答 案 2 命題出處 第四冊第三章：機率與統計（Ⅰ） 測驗目標 了解中位數的定義 詳 解 61 個資料的中位數為第 31 個資料（須先將所有資料由小排到大） 由題目已知 61 個資料中有 24 個資料小於 0.2，故只須從大於或等於 0.2 的資料中找出第 7 個。大於或等於 0.2 的資料排列如下： 0.2019，0.2034，0.2051，0.2085，0.2123，0.2137，0.2164，…… 故中位數為 0.2164 難 易 度 易 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 348 頁 範例 15 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 226 頁範例 11、類題 1、類題 2、 類題 3
二、多選題（占 35 分）
說明： 第7題至第e題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，選出正
確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對 者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；所有選
項均未作答或答錯多於 2 個選項者，該題以零分計算。
7 設 O、A、B 分別為複數平面上代表 0、1＋i、以及 1－i 的點。請問下列哪些選項
所對應的點落在△OAB 的內部？
1 cos60n 2 cos50n＋i sin50n 3 4－3i 5 4 1＋a3 i 2 5（cos30n＋i sin30n） 25 答 案 135 命題出處 第二冊第三章：三角函數的性質與應用 測驗目標 了解複數平面與極式的關係、棣美弗定理 詳 解 O，A，B 三點在複數平面的位置如下圖： 由圖可知 vOA 與 vOB 均與 x 軸夾 45 度角。 且 vOA＝vOB＝
al
12＋12＝a2，vOC＝1 1 cos60n＝1 2＋0i，故 cos60n位於 x 軸上 距離原點 1 2 單位之處，所以 cos60n位於△OAB 內部。2 cos50n＋i sin50n表與原點距離為
al
cos250n＋sin250n＝1，且與 x 軸夾 50 度角的點，故此點在△OAB 外部。（因為 50n＞45n） 3 4 5－ 3 5 i 在複數平面對應到點（ 4 5﹐－ 3 5） ∵（4 5，－ 4 5）在 vOB 上 ∴（ 4 5﹐－ 3 5）在△OAB 內部。 4 1 2＋ a3 2 i 在複數平面對應到點（ 1 2﹐ a3 2 ） ∵（1 2﹐ 1 2）在 vOA 上 ∴（ 1 2﹐ a3 2 ）在△OAB 外部。5 （cos30n＋i sin30n）25＝cos750n＋i sin750n＝cos30n＋i sin30n， 此點與原點距離為
al
cos230n＋sin230n＝1，且與 x 軸夾 30 度角， 故此點在△OAB 內部。（因為 30n＜45n）類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 152 頁 範例 25、第 154 頁 範例 27 之類題 1 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 105 頁範例 22、類題 8 已知 sinq＝－2 3 且 cosq＞0，請問下列哪些選項是正確的？ 1 tanq＜0 2 tan2q＞4 9 3 sin 2q＞cos2q 4 sin2q＞0 5標準位置角 q 與 2q 的終邊位在不同的象限 答 案 12 命題出處 第二冊第二章：三角函數的基本概念、第二冊第三章：三角函數的性質 與應用 測驗目標 了解三角函數在每一象限的正負 詳 解 sinq＝－ 2 3＜0，cosq＞0，故 q 為第四象限角， cosq＝zx1－（－23）2＝a5 3 1 tanq＝ sinq cosq ＝－ 2 a5＜0 2 tan2q＝（－ 2 a5 ） 2＝4 5＞ 4 9 3 sin2q＝4 9，cos 2q＝5 9，故 sin 2q＜cos2q
4 sin2q＝2 sinq cosq＝2×（－2 3）× a5 3 ＝－ 4a5 9 ＜0 5 cos2q＝2 cos2q－1＝2×（a5 3 ） 2－1＝1 9＞0 ∵sin2q＜0，cos2q＞0 ∴2q 為第四象限角 難 易 度 中偏易 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 126 頁第t 題（90 學測）、第 127 頁第o 題（94 學測） 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 76 頁範例 3
9 考慮坐標平面上以 O（0﹐0）、A（3﹐0）、B（0﹐4）為頂點的三角形，令 C1、 C2 分別為△OAB 的外接圓、內切圓。請問下列哪些選項是正確的？ 1 C1 的半徑為 2 2 C1 的圓心在直線 y＝x 上 3 C1 的圓心在直線 4x＋3y＝12 上 4 C2 的圓心在直線 y＝x 上 5 C2 的圓心在直線 4x＋3y＝6 上 答 案 34 命題出處 第三冊第三章：圓與球面 測驗目標 了解直角三角形內切圓與外接圓的性質 詳 解 O，A，B 三點的位置如右圖所示，C1，C2 為 △OAB 的外接圓與內切圓 1 ∵△OAB 為直角三角形 ∴C1 為以 vAB 直徑的圓，故半徑為 1 2 vAB＝ 5 2 23 C1 的圓心為 vAB 的中點（3 2﹐2）， 此點在直線 4x＋3y＝12 上，不在 y＝x 上 45 如圖，P 為△OAB 的內切圓 C2 的圓心，故 P 到△OAB 的三邊距 離相等均為圓 C2 的半徑 r。
連接vPA，vPB，vPO，可得△OAB 的面積＝△POA 的面積＋△PAB 的面積＋△POB 的面積 ⇒ 1 2×3×4＝ 1 2×3×r＋ 1 2×5×r＋ 1 2×4×r ⇒ r＝1 故 P 的坐標為（1﹐1），此點在 y＝x 上，不在 4x＋3y＝6 上。 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 154 頁範例 3 0 坐標平面中，向量 zw 與向量 zv＝（2﹐a5 ）互相垂直且等長。請問下列哪些選 項是正確的？ 1向量 zw 必為（a5﹐－2）或（－a5﹐2） 2向量 zv＋zw 與 zv－zw 等長 3向量 zv＋zw 與 zw 的夾角可能為 135n 4若向量 zu＝azv＋bzw，其中 a，b 為實數，則向量 zu 的長度為
al
a2＋b2 5若向量（1﹐0）＝czv＋dzw，其中 c，d 為實數，則 c＞0答 案 125 命題出處 第三冊第一章：向量 測驗目標 了解平面向量的性質 詳 解 設 zw＝（x﹐y） ∵zw⊥zv ⇒ zw•zv＝0 ⇒ 2x＋a5 y＝0 ………1 ∵∣zw∣＝∣zv∣⇒
al
x2＋y2＝al
22＋（a5 ）2 ⇒ x2＋y2＝9 ………2 解12可得（x﹐y）＝（－a5﹐2）或（a5﹐－2） 1 正確 2 zv ＋zw＝（2－a5﹐a5 ＋2），zv－zw＝（2＋a5﹐a5 －2），故 ∣zv＋zw∣＝∣zv－zw∣＝a
（l2－a5 ）
2＋（a5 ＋2）2＝s18 3 設 zv ＋zw 與 zw 的夾角為 q cosq ＝ （zv＋zw）•zw ∣zv＋zw∣×∣zw∣＝ zv •zw＋∣zw∣2 ∣zv ＋zw∣×∣zw∣ ＝ ∣zw∣ 2 ∣zv ＋zw∣×∣w∣＝ 1 a2 ⇒ q＝45n4 zu＝azv ＋bzw＝（2a－a5 b﹐a5 a＋2b）或（2a＋a5 b﹐a5 a－2b）， ∣zu∣＝
a
（l
2a－a5 b）2＋（a5 a＋2b）2＝3al
a2＋b25 c zv ＋d zw＝（1﹐0） ⇒ （2c－a5 d﹐a5 c＋2d）＝（1﹐0）或 （2c＋a5 d﹐a5 c－2d）＝（1﹐0） ⇒ 2c－a5 d＝1 a5 c＋2d＝0 或 2c＋a5 d＝1 a5 c－2d＝0⇒ c＝ 2 9 註：此題亦可用圖形解之。 難 易 度 稍難 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 187 頁 單選2 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 113 頁範例 2 q 在坐標平面上，圓 C 的圓心在原點且半徑為 2，已知直線 L 與圓 C 相交，請問 L 與下列哪些圖形一定相交？ 1 x 軸 2 y＝（1 2） x 3 x2＋y2＝3 4（x－2）2＋y2＝16 5 x 2 9 ＋ y2 4 ＝1
章：圓錐曲線 測驗目標 了解每一種函數或方程式的圖形 詳 解 1 錯誤，如圖，若 L7x 軸即不成立。 2 錯誤，如下圖，L 與 y＝（1 2） x 不相交。 3 錯誤，如圖，L 與 x2＋y2＝3（中間較小的圓）不相交。 4 正確，如圖，圓（x－2）2＋y2＝16 的圖形包含圓 C：x2＋y2＝4，故 任何與圓 C 相交的直線 L 均與（x－2）2＋y2＝16 相交。 5 正確，如圖，橢圓 x 2 9 ＋ y2 4 ＝1 圖形包含圓 C：x 2＋y2＝4，故任何 與圓 C 相交的直線 L 均與 x 2 9 ＋ y2 4 ＝1 相交。
註： 只要圖形 G 包含圓 C：x2＋y2＝4，任何與圓 C 相交的直線 L 均與 G 相交。 難 易 度 難 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 157 頁範例 6 w 坐標空間中，考慮球面 S：（x－1）2＋（y－2）2＋（z－3）2＝14 與 A（1﹐0﹐0）、 B（－1﹐0﹐0）兩點。請問下列哪些選項是正確的？ 1原點在球面 S 上 2 A 點在球面 S 之外部 3線段 vAB 與球面 S 相交 4 A 點為直線 AB 上距離球心最近的點 5 球面 S 和 xy，yz，xz 平面分別截出的三個圓中，以與 xy 平面所截的圓面積為 最大 答 案 134 命題出處 第三冊第三章：圓與球面 測驗目標 了解球與點、球與平面位置關係的判斷方法 詳 解 S：（x－1）2＋（y－2）2＋（z－3）2＝14，球心 P（1﹐2﹐3），半徑 r＝s14 1 原點 O 與球心 P 的距離 vOP＝
al
12＋22＋32＝s14 ＝r，故 O 在球面 上。 2 vAP＝a
（l
1－1）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝s13 ＜r，故 A 在球面 S 的內 部。 3 vBP＝a
（l
－1－1）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝s17 ＞r，故 B 在球面 S 的 外部，所以 vAB 與球面 S 相交。 4 直線 AB 上距離球心 P 最近的點即為 P 在直線 AB 上的投影點 Q。 zAB＝（－2﹐0﹐0）＝－2（1﹐0﹐0） 設 Q（k﹐0﹐0） ∵zPQ⊥zAB ∴（k－1﹐－2﹐－3）•（1﹐0﹐0）＝0 ⇒ k＝1距離 xz 平面 2 個單位；故求面 S 與 yz 平面所截出圓面積最大。 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 162 頁範例 12、第 163 頁範例 13 e 設 f（x）＝x（x－1）（x＋1），請問下列哪些選項是正確的？ 1 f（ 1 a2）＞0 2 f（x）＝2 有整數解 3 f（x）＝x2＋1 有實數解 4 f（x）＝x 有不等於零的有理數解 5若 f（a）＝2，則 f（－a）＝2 答 案 3 命題出處 第一冊第三章：多項式 測驗目標 了解多項式根的性質 詳 解 1 f（ 1 a2 ）＝ 1 a2（ 1 a2 －1）（ 1 a2＋1）＝ 1 a2（ 1－a2 a2 ）（ 1 a2＋1）＜0 （∵1－a2＜0） 2 f（x）＝2 ⇒ x（x－1）（x＋1）＝2 ⇒ x3－x－2＝0 令 g（x）＝x3－x－2 若 b a 為 g（x）＝0 的有理根，則 a∣1，b∣2，故 b a 可為±1，±2。 但 g（1）_0，g（－1）_0，g（2）_0，g（－2）_0，故 g（x）＝x3－x－2＝0 沒有整數解，即 f（x）＝x3－x＝2 沒有整數解。 3 f（x）＝x2＋1⇒x3－x＝x2＋1 ⇒ x3－x2－x－1＝0 為一整係數三次方程 式，此方程式必有三個根；因為虛根必成共軛虛根出現，故此方程 式必有一實根。 4 f（x）＝x ⇒ x（x－1）（x＋1）＝x ⇒ x（x2－2）＝0 ⇒ x＝0 或±a2，故 f（x）＝x 沒有不等於 0 的有理根。
5 f（a）＝2 ⇒a （a－1）（a＋1）＝2，則
f（－a）＝－a（－a－1）（－a＋1）＝－a（a＋1）（a－1）＝－2
難 易 度 稍難 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 50 頁範例 16、第 51 頁範例 17 第貳部分：選填題（占 35 分） 說明：1 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（r～ b）。 2 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 已知首項為 a、公比為 r 的無窮等比級數和等於 5；首項為 a、公比為 3r 的無窮 等比級數和等於 7，則首項為 a、公比為 2r 的無窮等比級數和等於
5
rt y 。 答 案 r 3 t 5 y 6 命題出處 第一冊第二章：數列與級數 測驗目標 了解無窮級數總和的公式 詳 解 由無窮等比級數的總和公式，可得 a 1－r＝5 a 1－3r＝7 ⇒ a＝5－5r a＝7－21r ⇒ a＝35 8 r＝1 8 ， 所求＝ a 1－2r＝ 35 8 1－2× 1 8 ＝35 6 難 易 度 易 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 53 頁填充 A 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 32 頁範例 13 B. 空間中一長方體如右圖所示，其中 ABCD 為正方形，vBE 為長 方體的一邊。已知 cot∠AEB＝2a6 5 ，則 cot∠CED＝4
u i 。 答 案 u 7 i 5 命題出處 第三冊第二章：空間中的直線與平面 測驗目標 了解空間圖形 詳 解 如圖，∠ABE＝∠DCE＝90n 設 vAB＝vBC＝vCD＝vDA＝a cot∠AEB＝2a6 5 ⇒ vBE 2a6vCE＝
al
vBC2＋vBE2＝zx
a2＋（2a65 a）2＝75 a 故 cot∠CED＝ vCE vCD＝ 7 5 a a ＝ 7 5 難 易 度 中 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 226 頁第o 題（93 學測） 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 74 頁範例 1 C. 高三甲班共有 20 位男生、15 位女生，需推派 3 位同學參加某項全校性活動。班 會中大家決定用抽籤的方式決定參加人選。若每個人中籤的機率相等，則推派 的三位同學中有男也有女的機率為6
op asd 。 答 案 o 9 p 0 a 1 s 1 d 9 命題出處 第四冊第三章：機率與統計（Ⅰ） 測驗目標 了解機率的定義與求法 詳 解 所求＝1－（3 位全為男的機率）－（3 位全為女的機率） ＝1－ C3 20 C335 － C3 15 C335 ＝1－ 228 1309－ 91 1309＝ 990 1309＝ 90 119 難 易 度 易 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 314 頁 類題 1、第 333 頁範例 5 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 216 頁範例 2 D. 四邊形 ABCD 中，vAB＝1，vBC＝5，vCD＝5，vDA＝7，且∠DAB＝∠BCD＝90n， 則對角線 vAC 長為f
fg 。 答 案 f 3 g 2 命題出處 第二冊第二章：三角函數的基本概念 測驗目標 了解餘弦定理的用法 詳 解 設 vAC＝x，∠B＝q，則 ∠D＝180n－q △ABC 中， cosq＝1 2＋52－x2 2×1×5 ＝ 26－x2 10 ； △ACD 中，cos（180n－q）＝7 2＋52－x2 2×7×5 ＝ 74－x2 70 ； ∵cos（180n－q）＝－cosq ∴74－x 2 70 ＝－ 26－x2 10 ⇒ x＝s32 難 易 度 中 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 116 頁 範例 10 及其類題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 78 頁範例 5 E. 一礦物內含 A、B、C 三種放射性物質，放射出同一種輻射。已知 A、B、C 每公 克分別會釋放出 1 單位、2 單位、1 單位的輻射強度，又知 A、B、C 每過半年其 質量分別變為原來質量的 1 2、 1 3、 1 4 倍。於一年前測得此礦物的輻射強度為 66 單位，而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位，且目前此礦物的輻射強度為 8 單位，則目前此礦物中 A、B、C 物質之質量分別為 h 、 j 、 k 公克。 答 案 h 4 j 1 k 2 命題出處 第三冊第二章：空間中的直線與平面 測驗目標 了解三元一次方程式的解法 詳 解 設目前礦物中 A，B，C 物質之質量分別為 x 克，y 克，z 克； 則半年前之質量分別為 2x 克，3y 克，4z 克； 一年前之質量分別為 4x 克，9y 克，16z 克； 依題意可列式： x＋2y＋z＝8 2x＋6y＋4z＝22 4x＋18y＋16z＝66 ⇒ x＝4 y＝1 z＝2 難 易 度 稍難 類 似 題 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 144 頁範例 17 F. 設 E1： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（其中 a＞0）為焦點在（3﹐0），（－3﹐0）的橢圓； E2：焦點在（3﹐0）且準線為 x＝－3 的拋物線。 F. 已知 E1，E2 的交點在直線 x＝3 上，則 a＝ l＋;
s
z 。詳 解 設 P 為橢圓 E1 與拋物線 E2 的交點
P 在 E2 上，根據拋物線的定義，d（P，L1）＝vPF1＝6
P 在 E1 上，根據橢圓的定義，vPF1＋vPF2＝2a ⇒ vPF2＝2a－6 ∵P 在直線 x＝3 上 ∴vPF1⊥x 軸
故 vPF22＝vPF12＋vF1F22 ⇒（2a－6）2＝62＋62
⇒ 2a－6＝± 6a2 ⇒ a＝3±3a2（3－3a2 ＜0，不合）
難 易 度 難 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 274 頁 範例 7 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 176 頁範例 6 G. H：x－y＋z＝2 為坐標空間中一平面，L 為平面 H 上的一直線。已知點 P（2﹐1﹐1）為 L 上距離原點 O 最近的點，則（2﹐ xc ﹐ vb ）為 L 的方向向量。 答 案 x－ c 1 v－ b 3 命題出處 第三冊第二章：空間中的直線與平面 測驗目標 了解平面與直線的關係與外積的求法 詳 解 設直線 L 的方向向量為 zd＝（2﹐b﹐c） ∵L 在 H 上 ∵zd 與平面 H 的法向量 zn ＝（1﹐－1﹐1）垂直 故 zd•zn ＝0 ⇒ 2－b＋c＝0 ………1 ∵P（2﹐1﹐1）為直線 L 上距離原點 O 最近的點 ∴vOP⊥L 故 zOP•zd＝0 ⇒（2﹐1﹐1）•（2﹐b﹐c）＝0 ⇒ 4＋b＋c＝0 …………2 解12，得 b＝－1，c＝－3 【另解】 亦可用外積： ∵zd⊥zn，zd⊥vOP ∴zd7zn ×vOP＝（－2﹐1﹐3） 故 2 －2＝ b 1＝ c 3 ⇒ b＝－1，c＝－3 難 易 度 中 類 似 題 《學測歷屆試題•數學 1∼4 冊》第 209 頁 概念 9 之要點 2 《大滿貫復習講義•數學 1∼4 冊》第 142 頁範例 15
參考公式及可能用到的數值 1 一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 的公式解：x＝ －b±
al
b 2－4ac 2a 2 平面上兩點 P1（x1﹐y1），P2（x2﹐y2）間距離為 vP1P2＝a
（l
x2－x1）2＋（y2－y1）2 3 通過（x1﹐y1）與（x2﹐y2）的直線斜率 m＝y2－y1 x2－x1 ，x2_x1 4 首項為 a 且公比為 r 的等比數列前 n 項之和 Sn＝ a（1－r n） 1－r ，r_1 5 三角函數的和角公式：sin（A＋B）＝sinA cosB＋sinB cosAcos（A＋B）＝cosA cosB－sinA sinB 6 △ABC 的正弦定理：sinA a ＝ sinB b ＝ sinC c
△ABC 的餘弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cosC
7 棣美弗定理：設 z＝r（cosq＋i sinq），則 zn＝rn（cosnq＋i sinnq），n 為一正整數 8 算術平均數：M（＝vX ）＝1 n（x1＋x2＋…＋xn）＝ 1 n n
Σ
i＝1xi （樣本）標準差：S＝zx 1 n－1 nΣ
i＝1（xi－vX ） 2＝ zxn－11（（ nΣ
i＝1xi 2）－nvX 2）9 參考數值：a2 ~1.414；a3 ~1.732；a5 ~2.236；a6 ~2.449；p~3.142 0 對數值：log102~0.3010，log103~0.4771，log105~0.6990，log107~0.8451
歸納各類考試重點，掌握大考決勝關鍵 分十二篇進行課程整理復習： (1)文字辨識 (2)詞語錦囊 (3)文句精要 (4)文法要略 (5)修辭要覽 (6)生活應用文述要 (7)(8)國學知識彙要 (9)文化、民俗與制度概要 (10)文學作家與作品精粹 (11)文學鑑賞與應用 (12)作文指引 各篇以「應考對策」→「大考試題」→「重點整理」方式 進行，掌握大考趨勢 含括各版本精華，不論使用哪一版課本都適用
