学习单元五 时间序列分析
理解时间序列的概念及分类 理解时间序列的编制原则 掌握时间序列的构成因素 掌握分解模型的结构及意义 会对时间序列进行对比分析 会对时间序列进行构成分析 会对时间序列进行预测分析 树立动态分析的意识 培养预测分析的能力 提升计算操作的能力 时间序列分析，又称动态分析，是一种广泛应用的数量分析方法，它主要用于描述和探 索现象随时间发展变化的数量规律。 对时间序列进行分析的目的主要表现在三个方面：一是为了描述现象在过去时间的状态； 二是为了揭示现象发展变化的规律性；三是为了预测现象在未来时间的行为。 股票价格 K 线分析图股票成交价格序列是一种典型的时间序列，股票价格 K 线分析图和股票价格分时走势图 是分析股票价格变动的常用工具。请问图中的三条曲线是根据什么数据描绘出来的？它们有何 作用？ 本单元主要介绍两种常用的时间序列分析方法，即时间序列的对比分析和构成分析方法； 另外还将介绍三种常用的时间序列预测方法：趋势外推法、移动平均法和指数平滑法。
学习任务 1 时间序列的编制
【任务导入】 时间序列的正确编制是动态分析的基础和质量保证，下面是国民经济核算中常用的时间 序列。 请仔细观察表 5-1 中的数据，思考如何编制时间序列？ 表 5-1 国内生产总值等时间序列 年份 国内生产总值 （亿元） 年底总人口 （万人） 人均国内生产总值 （元/人） 职工平均工资 （元） 1995 60793.7 121121 5046 5500 1996 71176.6 122389 5846 6210 1997 78973.0 123626 6420 6470 1998 84402.3 124761 6796 7479 1999 89677.1 125786 7159 8346 2000 99214.6 126743 7858 9371 2001 109655.2 127627 8622 10870 2002 120332.7 128453 9398 12422 2003 135822.8 129227 10542 14040 2004 159878.3 129988 12336 16024 2005 183217.4 130756 14053 18364 2006 211923.5 131448 16165 21001 2007 257305.6 132129 19524 24932 2008 314045.4 132802 23708 29229 【相关知识】 1.2.1 时间序列的概念 时间序列（Time Series）又称动态数列，它是将某一现象在不同时间上的观察值，按照时 间顺序排列而形成的序列。例如，国内生产总值（GDP）、消费者价格指数（CPI）、股票价格 指数、利率、汇率等都是时间序列。 由表 5-1 可以看出，时间序列由两个基本要素构成：一是时间要素，表明现象的观察值所属的时间；另一个是观察值要素，表明现象在某一时间上发展变化的状态。其中，时间可以用 年份、季度、月份、周、日、甚至可以是分秒（如高频金融数据）等时间形式，观察值可以用 绝对数、相对数和平均数等指标形式。 1.2.2 时间序列的分类 时间序列按其观察值的表现形式不同，可以分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平 均数时间序列。 1．绝对数时间序列 把一系列同类的绝对数指标按时间先后顺序排列而成的数列，称为绝对数时间序列，用 于反映现象在不同时间上所达到的绝对水平。 绝对数时间序列根据观察值所属时间状况不同，可分为时期序列和时点序列。 （1）时期序列。 时期序列中的观察值反映现象在某一段时间内发展过程的活动总量，并且各观察值通常 可以相加，用于反映现象在更长一段时间内的活动总量，其数值大小与所属时期长短有直接关 系。例如，表 5-1 中的“国内生产总值”序列就是时期序列。 （2）时点序列。 时点序列中的观察值反映现象在某一时点上的总量，它是在某一时点上统计得到的，序 列中的各观察值通常不能相加，各时点上的观察值大小与时点间隔长短没有直接联系。表 5-1 中的“年底总人口”序列就属于时点序列。 2．相对数时间序列 把一系列同类的相对数指标按时间顺序排列而成的数列，称为相对数时间序列，反映现 象相互关系的发展变化过程。例如表 5-1 中的“人均国内生产总值”序列就是相对数时间序列。 3．平均数时间序列 把一系列同类平均数指标按时间顺序排列而成的数列，称为平均数时间序列，反映现象 一般水平的发展变化过程，例如，表 5-1 中的“职工平均工资”序列就属于平均数时间序列。 注意：在 3 种时间序列中，绝对数时间序列是最基本的表现形式，它在各时间上的数值 相加有意义，而相对数时间序列和平均数时间序列是在绝对数时间序列的基础上派生的，它们 在各时间上的数值相加没有意义。 1.2.3 编制时间序列的原则 编制时间序列的目的，是为了通过各时间上的观察值的对比，研究现象发展变化的过程 和规律。因此，保证时间序列中各项观察值具有充分的可比性，是编制时间序列的基本原则。 具体应注意以下几点： 1．时间长短一致 时期序列中由于观察值大小与时期长短直接相关，一般来说各观察值所属时间长度应当 一致。时点序列中观察值虽与时点间隔无直接关系，但为了更好地反映发展变化过程，一般来 说也应当尽可能使时点间隔相等。 2．空间范围一致 在时间序列中，各观察值所属空间范围必须前后一致，否则观察值不能直接对比，须进 行相应的调整。如研究某地区工业生产发展情况，如果该地区的行政区划有了变动，则前后观 察值不能直接对比。
3．经济内容一致 在时间序列中，同一名称的统计指标所包含的经济内容应前后一致，否则观察值不能直 接对比，须进行相应的调整。例如，我国的工业总产值指标，有的年份包括乡镇企业的工业产 值，有的年份则不包括，因此前后观察值不能直接对比。 4．计量方式一致 在时间序列中，各项指标的计算口径、计量单位和计算方法应前后一致，否则观察值不 能直接对比，须进行相应的调整。例如，要研究企业的劳动生产率的变动，产量用实物量单位 还是价值量单位，人数用全部职工数还是用生产工人数，前后应保持一致。再如，价值量指标 要求计算价格一致，要么都用现价计算，要么都按可比价格计算。 【实训项目】 实训名称 编制时间序列 实训目的 掌握编制时间序列的原则 实训地点 教学做一体化教室 实训流程 学员分组→收集数据→编制序列→展示结果→小组互评→教师点评 实训内容与要求 1．每组收集一家上市公司的财务数据。 2．编制总资产、总负债和净利润的时间序列。 3．编制资产负债率和总资产净利率的时间序列。 实训考核 过程考核：40% 结果考核：60%
学习任务 2 时间序列的对比分析
【任务导入】 时间序列的对比分析是运用水平指标和速度指标描述现象在某一段时间上发展变化的状 态，包括水平分析和速度分析。下面是国家能源局 2010 年 9 月 14 日发布的 8 月份全社会用电 量等数据的节选。 8 月全社会用电量同比增涨 14.69% 8 月份，全社会用电量 3975 亿千瓦时，同比增长 14.69%，环比增长 2%；1-8 月累计，全 社会用电量 27949 亿千瓦时，同比增长 19.34%，增幅比 1-7 月下降 0.91 个百分点。 8 月份，分部门看，第一产业用电量 112 亿千瓦时，同比增长 5.88%，环比下降 2.6%；第 二产业用电量 2878 亿千瓦时，同比增长 14.85%，环比下降 2.1%；第三产业用电量 467 亿千 瓦时，同比增长 18.27%，环比增长 15.1%；城乡居民生活用电量 517 亿千瓦时，同比增长 12.78%， 环比增长 18.3%。 请问：上述案例是如何对全社会用电量在 8 月及 1-8 月期间的发展变化进行分析的？【相关知识】 2.2.1 时间序列的水平分析 时间序列的水平分析是借助于发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量等动态分 析指标来描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。 1．发展水平 发展水平就是现象在各时期的观察值 Yi(i=1,2…,n)，即时间序列中的各项数据，它反映现 象在不同时期所达到的水平，是计算其他动态分析指标的基础。发展水平可以是绝对指标，也 可以是相对指标或平均指标。 若将时期表示为 t t1, , 2 tn，相应的观察值表示为Y Y1, 2, Yn，则其中Y 称为最初发展1 水平，Y 称为最末发展水平，其余的称为中间发展水平。若将整个观察时期内的各观察值n 1, 2, n Y Y Y 与 某 个 特 定 时 期t 相 应 的 观 察 值0 Y 作 比 较 时 ， 则 其 中0 Y 称 为 基 期 水 平 ，0 1, 2, n Y Y Y 称为报告期水平或计算期水平。 2．平均发展水平 平均发展水平是各时期的发展水平的平均数，又称为序时平均数或动态平均数，它概括 地反映现象在一段时期内所达到的一般水平。由于不同时间序列中观察值的表现形式不同，序 时平均数有不同的计算方法。 （1）绝对数时间序列的序时平均数的计算。 绝对数时间序列序时平均数的计算方法是最基本的，它是计算相对数或平均数时间序列 的序时平均数的基础。由于绝对数时间序列有时期序列和时点序列之分，序时平均数的计算方 法也有所不同。 1）时期序列的序时平均数。由于时期序列中的各观察值可以相加，形成一段时期内的累 计总量，所以时期序列的序时平均数可直接用各时期的观察值之和除以时期项数来计算。其计 算公式为： 1 2 ... 1 n i n i Y Y Y Y Y n n
（5.1） 式中，Y 为序时平均数；Yi为第 i 个时期的观察值；n 为观察值的个数（时期项数）。 2）时点序列的序时平均数。 时点序列中的各观察值是在某个时点上取得的，由于各观察点的时间间隔长度有所不同， 序时平均数通常采用不同的计算方法。 ①连续时点序列的序时平均数。 以“天”为统计间隔的时点序列，称为连续时点序列。其序时平均数可按时期序列的序 时平均数公式（5.1）计算。 例如，已知某企业某个月内每天的工人数，要计算该月内每天平均人数，可将每天的工 人数相加，除以该月的日历日数。 ②间断时点序列的序时平均数。 统计时点间隔在一天以上（如间隔一月、一年等）的时点序列，称为间断时点序列。其序时平均数的计算公式为： 2 3 1 1 2 1 2 1 1 1 ... 2 2 2 n n n n i i Y Y Y Y Y Y T T T Y T
（5.2） 式中，Ti为观察值 Yi与 Yi+1之间的间隔日期长度。 特殊情况，当各时点的间隔相等时，其序时平均数的计算公式为： 1 2 ... 1 2 2 1 n n Y Y Y Y Y n （5.3） （2）相对数或平均数时间序列的序时平均数。 相对数和平均数通常是由两个绝对数对比形成的，即观察值 i i i a Y b 。计算序时平均数时， 应先分别求出构成相对数或平均数的分子a 和分母i b 的平均数，而后再进行对比，即得相对数i 或平均数序列的序时平均数。其计算公式为： a Y b （5.4） 式中 a 和 b 可按绝对数时间序列序时平均数的计算方法求得。 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 的函数、公式编辑和公式复制功能计算各种序时平 均数。 注意：编辑公式时要正确使用单元格的绝对引用和相对引用。 【例 5-1】根据表 5-1 中的“国内生产总值”序列和“年末总人口数”序列，计算 1995 －2008 年的年平均国内生产总值和年平均人口数。 解 国内生产总值序列为时期序列，根据（5.1）式得 年平均国内生产总值 1 1976418.1 141172.7 14 n i i Y n
（亿元） 年末总人口数序列为间隔相等的时点序列，根据（5.3）式得 年平均人口数 121121 132802 122389 ... 132129 2 2 14 1 127684.2 【例 5-2】某银行储蓄所储蓄存款余额资料如表 5-2 所示。 表 5-2 某银行储蓄所某年储蓄存款余额 时间 上年 12 月 31 日 1 月 31 日 5 月 31 日 8 月 31 日 10 月 31 日 12 月 31 日 存款余额 （百万元） 97 87 115 126 128 131 与 上 一 期 间 隔（天） 0 31 120 91 61 61 （万人）计算本年度该储蓄所平均存款余额。 解 存款余额为间隔不相等的时点序列，根据（5.2）式得 97 87 87 115 115 126 126 128 128 131 31 120 91 61 61 2 2 2 2 2 31 120 91 61 61 114.2418 Y （百万元） 【例 5-3】某企业 2008 年各季度销售收入和流动资金资料如表 5-3 所示。 表 5-3 某企业 2008 年各季度销售收入与流动资金资料 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 销售收入（万元） 110 120 126 125 期初流动资金余额（万元） 90 70 78 52 流动资金周转次数（次） 1.375 1.62 1．94 1.64 又知，该年末流动资金余额为 100 万元。计算该企业 2008 年流动资金平均周转次数。 解 设销售收入为 a ，期初流动资金为 b ，流动资金周转次数为 Y。 由于销售收入序列为时期序列，期初流动资金序列为时点序列，流动资金周转次数序列 为相对数时间序列，所以先根据（5.1）式和（5.3）式得 1 110 120 126 125 120.25 4 n i i a a n
（万元） 1 2 1 90 100 ... 70 78 52 2 2 2 2 1 5 1 n n b b b b b n 73.75（万元） 再根据（5.4）式得 120.25 73.75 a Y b 1.63（次） 3．增长量 增长量是时间序列中的报告期水平与基期水平之差，用于描述现象在观察期内增长的绝 对量。若二者之差为正数，表示增长；若为负数，则表示下降。 由于采用的基期不同，增长量有同期增长量、逐期增长量和累积增长量之分。 （1）同期增长量。 同期增长量是报告期水平与上年同期水平之差，表示报告期比上年同一时期增长的绝对 数量。即 同期增长量=报告期水平上年同期水平 同期增长量可以消除季节变动的影响，不仅适用于时期指标，也适用于时点指标。 （2）逐期增长量。 逐期增长量是报告期水平与前一时期水平之差，表示报告期比前一时期增长的绝对数 量。即 1 i i i Y Y Y (i =1,2,…,n) （5.5）（3）累积增长量。 累积增长量是报告期水平与某一固定时期水平之差，说明报告期比某一固定时期增长的 绝对数量。即 0 i i Y Y Y (i =1,2,…n) （5.6） 可以看出，整个观察期内各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量。即 1 0 1 ( ) n i i n i Y Y Y Y
（5.7） 4．平均增长量 平均增长量是观察值的各逐期增长量的平均数，用于描述在观察期内平均增长的数量。 它可以根据逐期增长量求得，也可以根据累积增长量求得。其计算公式为： 平均增长量= 1 逐期增长量之和 最末期累积增长量 逐期增长量个数 观察值个数 （5.8） 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 的公式编辑和公式复制功能计算增长量和平均 增长量。 注意：编辑公式时要正确使用单元格的绝对引用和相对引用。 【例 5-4】根据表 5-1 我国国内生产总值资料，计算各年逐期增长量和各年以 1995 年为 基期的累积增长量，年平均增长量。 解 根据（5.5）式和（5.6）式，可得逐期增长量和累积增长量，结果如表 5-4 所示。 表 5-4 国内生产总值增长量计算表 单位：亿元 年份 国内生产总值 （亿元） 逐期增长量 累积增长量 （以 1995 年为基期） 1995 60793.7 － — 1996 71176.6 10382.9 10382.9 1997 78973.0 7796.4 18179.3 1998 84402.3 5429.2 23608.6 1999 89677.1 5274.8 28883.3 2000 99214.6 9537.5 38420.8 2001 109655.2 10440.6 48861.4 2002 120332.7 10677.5 59539.0 2003 135822.8 15490.1 75029.0 2004 159878.3 24055.6 99084.6 2005 183217.4 23339.1 122423.7 2006 211923.5 28706.1 151129.8 2007 257305.6 45382.1 196511.9 2008 314045.4 56739.8 253251.7 根据（5.8）式，可得 1995－2008 年国内生产总值的年平均增长量为：253251.7 19480.9 13 Y （亿元） 2.2.2 时间序列的速度分析 时间序列的速度分析是借助于发展速度、平均发展速度、增长速度、平均增长速度等动 态分析指标来描述现象在某一段时间上发展变化的快慢程度。 1．发展速度 发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比，用于描述现象在观察期内的相对发展 变化程度，用符号R 表示。 i 由于采用的基期不同，发展速度可以分为同比发展速度、环比发展速度和定基发展速度。 （1）同比发展速度。 同比发展速度主要是为了消除季节变动的影响，用以说明报告期发展水平与上年同期发 展水平对比而达到的相对发展速度。例如，本年 2 月比去年 2 月，本年 6 月比去年 6 月等。即 报告期水平 同比发展速度= 上年同期水平 （5.9） （2）环比发展速度。 环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，说明现象逐期发展变化的程度。即 1 i i i Y R Y (i1, 2,...,n) （5.10） （3）定基发展速度。 定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，说明现象在整个观察期内总的发 展变化程度。即 0 i i Y R Y (i1, 2,...,n) （5.11） 环比发展速度与定基发展速度之间的关系是，观察期内各个环比发展速度的连乘积等于 最末期的定基发展速度；两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速 度。即 1 0 i n i Y Y Y Y
1 0 0 1 i i i i Y Y Y Y Y Y 式中： 为连乘符号。 2．增长速度 增长速度也称增长率，是增长量与基期水平之比，用于描述现象的相对增长速度，用符 号P 表示。它通常用发展速度减i 1 来求得，即 增长速度=发展速度-1 （5.12） 由于采用的基期不同，增长速度也可分为同比增长速度、环比增长速度和定基增长速度。 （1）同比增长速度。 同比增长速度是同期增长量与上年同期水平之比，用于描述现象比上年增长的程度。即 同比增长速度=同比发展速度-1 （5.13）（2）环比增长速度。 环比增长速度是逐期增长量与前一期水平之比，用于描述现象逐期增长的程度。即 1 1 1 1 i i i i i i Y Y Y P Y Y (i1, 2,...,n) （5.14） （3）定基增长速度。 定基增长速度是累积增长量与某一固定时期水平之比，用于描述现象在观察期内总的增 长程度。即 0 0 0 1 i i i Y Y Y P Y Y (i1, 2,...,n) （5.15） 需要指出，环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换算关系。在由环比增长速度 推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加 1 后连乘，再将结果减 1，即得定基增长速度。 提示：在实际应用中，我们可以利用 Excel 的公式编辑和公式复制功能计算发展速度和增 长速度。 注意：编辑公式时要正确使用单元格的绝对引用和相对引用。 【例 5-5】根据表 5-1 中的国内生产总值序列，计算 1995－2008 年期间各年的环比发展 速度、定基发展速度、环比增长速度和定基增长速度。 解 根据（5.10）式、（5.11）式、（5.14）式和（5.15）式，可得计算结果，如表 5-5 所示。 表 5-5 发展速度和增长速度计算表 3．平均发展速度 平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平均发 展变化的快慢程度，用符号 R 表示。 计算平均发展速度和平均增长速度常用的方法有水平法和累计法。 （1）几何平均法（水平法）。 它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的，其计算公式为： 1 2 0 1 1 1 n n n i n i Y Y Y Y R Y Y Y Y (i1, 2,,n) （5.16）
其简化公式为： 0 n n Y R Y （5.17） 式中， R 为平均发展速度；R 为环比发展速度；n 为环比发展速度的个数，它等于观察数 据的个数减 1； 为连乘符号。 应用几何平均法计算平均发展速度的特点，是着眼于最末一期所应达到的发展水平。在 实际应用中，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平，例如，最末期所达到的工业 生产能力、产值、人口数的增长等，采用水平法计算平均发展速度比较合适。 （2）方程式法（累计法）。 在一个时间序列中，各期实际水平之和为 1 2 1 n n i i Y Y Y Y
在最初水平Y 的基础上，若各期的发展速度为0 R ii( 1, 2n)，则有 0 1 0 1 2 0 1 2 1 n n i i Y R Y R R Y R R R Y
如果在最初水平Y 的基础上，每一期均按固定的平均发展速度0 R 发展，则有 2 0 0 0 1 n n i i Y R Y R Y R Y
将两边同除以Y ，则有 0 2 1 0 n i n i Y R R R Y
（5.18） 解此高次方程所得 R 的正根，就是按方程式法所求得的平均发展速度。 应用方程式法计算平均发展速度的特点，是着眼于各期发展水平的累计之和。若在实际 中侧重于考察现象各期发展水平的总和，例如，累计新增固定资产数、累计毕业生人数等，则 应采用累计法比较合适。 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 函数和“规划求解”命令得到平均发展速度。 （1）利用 Excel 函数“GEOMEAN”和“ 0 1 POWER(Yn, ) Y n ”进行计算，可得到几何平均 法的平均发展速度。 （2）利用 Excel 的“规划求解”命令求解高次方程，可得到方程式法的平均发展速度。 注意：“规划求解”命令位于 Excel 的“工具”菜单中。若在“工具”菜单中没有“规划 求解”命令，则通过“加载宏”命令加载此项即可。 4．平均增长速度 平均增长速度（平均增长率）则是用于描述现象在整个观察期内平均增长变化的快慢程 度，用符号 P 表示。 它通常用平均发展速度减 1 来求得，即 平均增长速度=平均发展速度-1 （5.19） 【例 5-6】根据表 5-5 中的有关数据，分别用几何平均法和方程式法计算 1995－2008 年间我国国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长速度。 解 （1）用几何平均法计算年平均发展速度和年平均增长速度。 根据（5.16）式和（5.17）式 利用 Excel 函数“GEOMEAN”和“ 0 1 POWER(Yn, ) Y n ”计算的结果如下： 于是，年平均增长速度 = 113.46%-1=13.46% （2）用方程式法计算年平均发展速度和年平均增长速度。 根据（5.18）式 1）利用 Excel 计算 1 0 n i i Y Y
的值。 2）在单元格 J2 中输入公式： 3）选择“工具”→“规划求解”命令，打开“规划求解参数”对话框，填写各项参数， 如图 5-1 所示。然后单击“求解”按钮即可得到： 年平均发展速度 = 112.05% 于是，年平均增长速度=12.05% 图 5-1 “规划求解参数”对话框 2.2.3 对比分析中应注意的问题 时间序列对比分析中的水平分析和速度分析都是利用一系列的指标来对现象的变化进行 分析，但两种分析各有不同的侧重点，分析结果的表现形式也不相同。在实际应用中，为了全 面认识现象的变化特征，往往需要将这两个方面的分析结合运用，取长补短。具体地说，应注 意以下几个问题。1．正确选择基期 各种速度指标和增长水平指标都是在一定基期水平上计算的。进行这些计算和分析时， 首先要根据研究目的，正确选择基期。例如，分析我国加入 WTO 之后的经济发展变化， 可将 2000 年或 2001 年为基期。基期的选择一般要避开异常时期。如果基期水平因为异常 因素的影响而过高或过低，相应的速度分析和水平分析都会失去分析意义或给人以错误的 印象。 2．正确选择分析方法 当时间序列中的观察值出现 0 或负数时，不宜进行速度分析，适宜直接用绝对数进行水 平分析。例如，假定某企业连续五年的利润额分别为 5 万元、2 万元、0 万元、-3 万元、2 万 元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。 3．将总平均速度与分段平均速度相结合 总平均速度概括反映现象在较长一段时期内的平均变化程度，现象在各个较短的发展阶 段上的变化又各有特殊性。因此，在分析总平均速度时，有必要结合各个特定历史时期的分段 平均速度来深入分析。例如，要分析我国建国以来能源产量的平均发展速度和平均增长速度时， 就有必要分别以国民经济恢复时期、各个五年计划时期等分段计算其平均速度加以补充说明。 4．将相对速度与绝对水平相结合分析 一般而言，基期水平低，容易产生高速度；基期水平高，容易产生低速度。因此，高速 度可能掩盖低水平，而低速度又可能隐藏高水平。为了对现象的变化作出正确分析，既要考虑 速度的快慢，也要考虑实际水平的高低，把相对速度与绝对水平结合起来进行分析。为此，通 常可计算增长 1%的绝对量来补充说明增长速度。 增长 1%的绝对量表示速度每增长一个百分点而增加的绝对数量，其计算公式为： 增长 1%的绝对量=基期水平×1% （5.20） 【例 5-7】假定有两个生产条件基本相同的企业，报告期与基期的利润额及有关速度资料 如表 5-6 所示。试分析评价两个企业的业绩。 表 5-6 甲、乙两企业的有关资料 甲企业 乙企业 时间 利润额（万元） 增长率（%） 利润额（万元） 增长率（%） 基期 报告期 1000 1100 — 10 10 15 — 50 解 如果不看利润额的绝对量，仅就速度对甲乙两个企业进行分析评价。可以看出乙企 业的利润增长速度比甲企业高出 4 倍。如果就此得出乙企业的生产经营业绩比甲企业要好得 多，这样的结论是不切实际的。 由于两个企业的生产起点不同，基期的利润额不同，才造成二者速度上的较大差异。从 利润的绝对额来看，两个企业的速度每增长一个百分点所增加的利润绝对额是不同的。根据表 5-6 的资料计算，甲企业每增长 1%的利润额为 10 万元，而乙企业则为 0.1 万元，甲企业远高 于乙企业。这说明甲企业的生产经营业绩不是比乙企业差，而是更好。
【实训项目】 实训名称 对比分析时间序列 实训目的 掌握时间序列的对比分析法 实训地点 教学做一体化教室 实训流程 学员分组→查阅资料→计算分析→撰写分析报告→展示分析结果→小组互评→ 教师点评 实训内容与要求 1．对学习任务 2 实训项目中编制的时间序列计算对比分析指标。 2．分析评价公司的总资产、总负债和净利润的变化情况。 3．分析评价公司的偿债能力和盈利能力的变化情况。 实训考核 过程考核：40% 结果考核：60%
学习任务 3 时间序列的构成分析
【任务导入】 保险公司的可提费用分析 可提费用是人寿保险保费收入中重要的组成部分，是目前国内人寿保险公司运营的基本 保证。它的变化规律，对于保险公司的资金计划、预算管理、以及发展规划等行为起到至关重 要的作用，因此合理、相对准确地预测可提费用对于保险公司在管理决策和发展规划方面起到 重要的作用。 研究结果表明，可提费用的逐月累计余额构成的时间序列是一个有规则的周期波动，具 有明显的趋势性和季节性，月度数据周期为 12，这是由中国会计财年决定的，利用季节模型 还可有效刻画年内的波动规律。 请问：如何测定和分析时间序列的趋势性和季节性？ 【相关知识】 3.2.1 时间序列的构成与分解 1．时间序列的构成要素 事物的发展变化同时受多种因素的影响。在诸多影响因素中，有些对事物的发展起着长 期的、决定性的作用，致使事物的发展呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则对事物的发 展起着短期的、非决定性的作用，致使事物呈现出某种不规则性。作为表现事物发展数量特 征的时间序列，其各个观察值（Yi）正是这些因素共同作用结果的综合体现。按照影响的性 质和作用形式，可将时间序列的众多影响因素分为 4 种：长期趋势、季节变动、循环变动和 不规则变动。 （1）长期趋势（Secular Trend）。长期趋势指现象在较长时期内沿某一方向持续发展变化的一种趋向或状态。它是时间序 列中最基本的构成要素，是受某些具有长期性、决定性作用的因素影响的结果。例如，随着国 民经济的发展，我国的人均国内生产总值、城镇居民家庭的人均可支配收入，呈现不断增大的 趋势，而人口死亡率、文盲率却呈现下降趋势。 （2）季节变动（Seasonal Fluctuation）。 季节变动指现象在一年内形成的有规律的周期性变动。它是时间序列中又一个基本的构 成要素，是受自然因素（如一年四季的更替）或社会经济因素（如节假日和风俗习惯）影响的 结果。例如，农产品生产、销售及储存中的“旺季”和“淡季”、商业活动中的“销售旺季” 和“销售淡季”、旅游业的“旅游旺季”和“旅游淡季”等。 注意季节变动中的“季节”一词是广义的，它不仅指一年中的四季，而且泛指任何一种 有规律的、按一定周期（季、月、旬、周、日）重复出现的变化。 （3）循环变动（Cyclical Movement）。 循环变动指现象在较长时间内（通常为若干年）呈现出涨落相间、峰谷交替的周期性波 动。例如，产品通常有导入期、成长期、成熟期、衰退期等经济寿命周期。 注意：循环变动不同于长期趋势，长期趋势是沿着单一方向的持续变动，而循环变动是 涨落相间的交替波动。循环变动也不同于季节变动，季节变动的变动周期不超过一年，且有比 较固定的规律，其周期长短、波动形态和波动大小都比较固定。而循环变动的变动周期至少在 一年以上，且无固定的规律，其周期长短、波动形态和波动大小都不固定。 （4）不规则变动（Irregular Variations）。 不规则变动指从时间序列中分离了长期趋势、季节变动、循环变动以后剩余的变动。不 规则变动分为随机变动和异常变动。随机变动是受各种短暂的、难以预测的众多因素综合影响 的结果，其中单个因素的影响很小；而异常变动是受偶然性、突发性因素（如自然灾害、战争、 社会动乱等）影响的结果，其中单个因素的影响较大。 2．时间序列的分解模型 对时间序列进行分解的目的，是要分别测定和分析每种构成要素对时间序列的影响作用， 揭示现象发展变化的各种规律性，并在此基础上进行预测。要进行这些分析和预测，就必须先 明确时间序列与各种构成要素之间的关系。按照 4 种构成要素相互作用的方式不同，时间序列 可分解为多种模型，其中常用的有乘法模型和加法模型。 若以 Y 表示时间序列中的观察值，T 表示长期趋势值，S 表示季节变动值、C 表示循环变 动值，I 表示不规则变动值，下标 i 表示时间 i=(1,2,…,n)，则乘法模型和加法模型的表现形式 分别为： 乘法模型：YiTiSiCiIi 加法模型：YiTiSi CiIi 乘法模型假设 4 种要素相互之间存在一定的关系，它们对现象的影响是相互联系的，因 此时间序列中各观察值表现为各种要素的乘积。加法模型假设 4 种要素相互之间是无关的，它 们对现象的影响是相互独立的，因此时间序列中各观察值表现为各种要素的总和。 在实际应用中，乘法模型和加法模型都可以采用，但相对而言，乘法模型的假设与许多 现象变动的性质更加吻合，在数学处理与预测中也更为简便，因此实际中乘法模型的运用较多。 以后各节介绍的时间序列构成分析均以乘法模型为例。
3.2.2 长期趋势的测定与分析
长期趋势的测定与分析，是时间序列分析中最主要的一项任务。测定长期趋势，不仅可 以认识现象发展变化的基本趋势和规律性，作为预测的重要依据，而且也是准确地测定其他构 成要素的基础。
测定长期趋势常用的方法有：移动平均法和趋势模型法。 1．移动平均法（Moving Average Method）
移动平均法的基本原理，是通过扩大原时间序列的时距，并采用逐项递移方式，计算出 一系列移动平均数，由这些移动平均数所形成的新时间序列即移动平均数序列，在一定程度上 消除或削弱了原时间序列中由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他变动，对原时间序列的 波动起到一定的修匀作用，从而呈现出现象发展的长期趋势。 移动平均法的具体步骤如下： （1）选择一定的用于平均的时距项数 K。 （2）对原序列计算 K 项移动平均数，其计算公式为： 1 1 i i i K i Y Y Y Y K (i=1,2,…) （5.21） （3）若 K 为奇数，则 K 项移动平均数即为长期趋势值；若 K 为偶数，则将 K 项移动平 均数再作一次 2 项移动平均即可得到长期趋势值。 利用移动平均法分析长期趋势时，应注意以下几个问题： 第一，移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置上。这是因为移动平均数代表的 是所平均数据的中间位置上的趋势值。例如，3 项移动平均的趋势值应放在第 2 项对应的位置 上，5 项移动平均的趋势值应放在第 3 项对应的位置上；4 项移动平均时，第一次得到的 4 项 移动平均数放在第 2 项与第 3 项中间，第二次得到的 2 项移动平均数即趋势值应放在每 3 项对 应的位置上。 第二，当时间序列包含周期性变动时，移动平均的项数 K 应与周期长度一致。这样 才能在消除不规则变动的同时，也消除周期性波动，使移动平均数序列只反映长期趋势。 因此，若时间序列是季度资料，应采用 4 项移动平均；若为月份资料，应采用 12 项移动 平均。 第三，移动平均数序列的项数比原时间序列减少。当平均项数 K 为奇数时，移动平均数 序列首尾各减少（K-1）/2 项；当平均项数 K 为偶数时，移动平均数序列首尾各减少 K/2 项。 这样移动平均会使原时间序列首尾的数据缺少对应的趋势值，导致信息缺失，并且 K 越大， 缺失的信息就越多。所以，移动平均的项数 K 不宜过大。 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 进行时间序列的移动平均。 方法一：利用 Excel 统计函数中的“AVERAGE”函数进行。 方法二：利用 Excel 分析工具库中的“移动平均”工具进行。 方法三：利用 Excel 为时间序列折线图添加趋势线的方法进行。 注意：在“添加趋势线”对话框的“类型”选项卡中选择“移动平均”选项，并填写所 需的周期值。 【例 5-8】已知 1991－2008 年我国布产量数据如表 5-7 所示，分别计算 3 年和 4 年移动 平均趋势值。
表 5-7 1991－2008 年我国布产量数据 年份 产量（亿米） 年份 产量（亿米） 1991 181.70 2000 277.00 1992 190.70 2001 290.00 1993 203.00 2002 322.39 1994 211.30 2003 353.52 1995 260.18 2004 482.10 1996 209.10 2005 484.39 1997 248.79 2006 598.55 1998 241.00 2007 675.26 1999 250.00 2008 710.00 资料来源：中国国家统计局网站 解 根据（5.21）式得移动平均趋势值如表 5-8 所示。 表 5-8 布产量移动平均趋势值 移动平均趋势值 年份 时间序号 t 产量 Yi （亿米） K=3 K=4 二项移正平均 1991 1 181.70 — — — 1992 2 190.70 191.80 — — 1993 3 203.00 201.67 196.68 206.49 1994 4 211.30 224.83 216.30 218.60 1995 5 260.18 226.86 220.90 226.62 1996 6 209.10 239.36 232.34 236.06 1997 7 248.79 232.96 239.77 238.50 1998 8 241.00 246.60 237.22 245.71 1999 9 250.00 256.00 254.20 259.35 2000 10 277.00 272.33 264.50 274.67 2001 11 290.00 296.46 284.85 297.79 2002 12 322.39 321.97 310.73 336.37 2003 13 353.52 386.00 362.00 386.30 2004 14 482.10 440.00 410.60 445.12 2005 15 484.39 521.68 479.64 519.86 2006 16 598.55 586.07 560.08 588.56 2007 17 675.26 661.27 617.05 — 2008 18 710.00 — — — 如表 5-8 和图 5-2 所示可以看出移动平均序列对原时间序列具有修匀作用。
0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 年份 产 量 （ 亿 米 ） 产量 3年移动平均 2．趋势方程拟合法 趋势方程拟合法的基本原理是通过采用最小二乘法，拟合以时间 t 为解释变量、所考察指 标为被解释变量的回归方程来测定现象的长期趋势。趋势方程拟合法的最大优点是：它不仅可 以测定出时间序列中各期的趋势值，而且所拟合的趋势方程还具有延伸外推的功能，可以根据 趋势方程直接进行预测。长期趋势方程分为线性趋势方程和非线性趋势方程。 （1）线性趋势方程。 若当时间序列的折线图大致呈直线形状，或当时间序列各期的逐期增长量大致相同时， 表明现象的发展呈现线性趋势，可拟合适当的趋势直线，即可用下列线性模型来描述： ˆ t Y abt （5.22） 式中， ˆY 为时间序列t Y 的趋势值；t 为时间序号；a 为趋势线在 Y 轴上的截距，是当 t=0t 时 ˆY 的数值；b 为趋势线的斜率，表示时间 t 每变动一个单位时，趋势值 ˆt Y 的平均变动量。 t 线性趋势方程中的两个未知参数 a 和 b 的计算公式为： 2 ( )2 n tY t Y b n t t a Y bt （5.23） 提示：在实际应用中，可以直接利用 Excel 得到线性趋势方程中的两个未知参数 a 和 b 的 值或直接得到线性趋势方程。 方法一：利用 Excel 的统计函数中的“INTERCEPT”和“SLOPE”分别计算出 a 和 b 的值。 方法二：利用 Excel 为时间序列折线图添加趋势线直接得到线性趋势方程。 注意：在“添加趋势线”对话框的“类型”选项卡中选择“线性”选项，在“选项”选 项卡中勾选“显示公式”复选框。 【例 5-9】根据表 5-8 中的数据，用趋势方程拟合法测定其长期趋势。 解 由图 5-2 的布产量曲线可以看出，布产量的变化大体近似于一条直线。 因此，可利用 Excel 为时间序列折线图添加线性趋势线，如图 5-3 所示。 由图 5-3 可知，布产量的直线趋势方程为：y=28.84x+69.85。 其次，将 t=1,2,…，16 代入上述方程，即得 1990－2005 年布产量的趋势值，如表 5-9 所示。 图 5-2 移动平均序列图
y = 28.84 x + 69.85 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00 800.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 时间(序号） 产 量 （ 亿 米 ） 图 5-3 时间序列趋势图 表 5-9 1991－2008 年我国布产量的趋势值 年份 时间序号 t 产量 Yi（亿米） 趋势方程趋势值 1991 1 181.70 98.69 1992 2 190.70 127.53 1993 3 203.00 156.37 1994 4 211.30 185.21 1995 5 260.18 214.05 1996 6 209.10 242.89 1997 7 248.79 271.73 1998 8 241.00 300.57 1999 9 250.00 329.41 2000 10 277.00 358.25 2001 11 290.00 387.09 2002 12 322.39 415.93 2003 13 353.52 444.77 2004 14 482.10 473.61 2005 15 484.39 502.45 2006 16 598.55 531.29 2007 17 675.26 560.13 2008 18 710.00 588.97 （2）非线性趋势方程。 若当时间序列的散点图呈某种曲线形状时，表明现象的发展呈现出某种非线性趋势，需 要配合适当的趋势曲线。趋势曲线的形式很多，下面介绍两种常用的趋势曲线方程：抛物线型 趋势方程和指数曲线型趋势方程。
1）抛物线型趋势方程。当时间序列的折线图大致呈抛物线形状，或当时间序列各期的二 级逐期增长量（逐期增长量的逐期增长量）大致相同时，表明现象的发展呈现抛物线型趋势， 可拟合一条抛物线，即可用下列方程来描述： 2 ˆ t Y abtct （5.24） 估计参数 a、b、c 时，可将 t 和 2 t 分别视为两个自变量，按二元线性回归方程形式估计其 参数。 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 得到抛物线型趋势方程中的三个未知参数 a、b 和 c 的值或直接得到趋势方程。 方法一：利用 Excel 的分析工具库中的“回归”工具直接得到 a、b 和 c 的值。 注意：回归分析结果的“参数估计”表中的“Coefficients”就是 a、b 和 c 的值。 方法二：利用 Excel 为时间序列折线图添加趋势线的方法直接得到趋势方程。 注意：先选中折线图中的数据点，再单击右键选择“添加趋势线选项”。在“添加趋势线” 对话框的“类型”选项卡中选择“多项式”选项，阶数填“2”；在“选项”选项卡中勾选“显 示公式”复选框，确定后就可得到抛物线型趋势方程。 2）指数曲线型趋势方程。当时间的折线图大致呈指数曲线，或时间序列各期的环比增长 速度大致相同时，表明现象的发展呈现出指数曲线型趋势，可拟合一条指数曲线，即可用下列 方程来描述： ˆ t t Y ab （5.25） 式中，a，b 为未知参数，若b ，表示增长率随 t 的增加而增加；若1 b ，表示增长率1 随 t 的增加而降低。 为估计参数 a 和 b，可将（5.25）式两端取对数，得 ˆ ( )t ( ) ( ) LN Y LN a tLN b （5.26） 设定 ( )ˆ t Y LN Y ，ALN a( )，BLN b( )，则有Y ABt 于是，按（5.23）式算出 A 和 B 之后，再取反对数即可得参数 a 和 b 的估计值。 提示：在实际应用中，可以直接利用 Excel 得到指数曲线型趋势方程中的两个未知参数 a、 b 的值或直接得到趋势方程。 方法一：先利用 Excel 的数学函数“LN”计算出Y ，再用统计函数“INTERCEPT”和
“SLOPE”计算出 A 和 B，然后再用数学函数“EXP”计算出参数 a 和 b 的值，其中 a=EXP （A），b= EXP（B）。 方法二：利用 Excel 为时间序列折线图添加趋势线的方法直接得到指数曲线型的趋势 方程。 注意：先选中折线图中的数据点，再单击右键选择“添加趋势线”选项。在“添加趋势 线”对话框的“类型”选项卡中选择“指数”选项，在“选项”选项卡中勾选“显示公式”复 选框，确定后就可得到指数曲线型趋势方程。 【例 5-10】1990－2008 年中国海关出口商品总额的数据如表 5-10 所示，试测定其长期 趋势。
表 5-10 1990－2008 年中国海关出口商品总额 单位：亿美元 年份 出口总额 年份 出口总额 年份 出口总额 1991 719.1 1997 1827.9 2003 4382.3 1992 849.4 1998 1837.1 2004 5933.2 1993 917.4 1999 1949.3 2005 7619.5 1994 1210.1 2000 2492.0 2006 9689.4 1995 1487.8 2001 2661.0 2007 12177.8 1996 1510.5 2002 3256.0 2008 14306.9 解 首先，做出中国海关出口商品总额序列折线图。 0.0 5000.0 10000.0 15000.0 20000.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 时间（序号） 出 口 总 额 （ 亿 美 元 ） 图 5-4 中国海关出口商品总额序列折线图 从图 5-4 可以看出，中国海关出口商品总额呈现不断上升的趋势，其长期趋势可以用抛物 线或指数曲线进行拟合。 利用 Excel 分别为时间序列折线图添加的抛物线型趋势线和指数曲线型趋势线，如图 5-5 和图 5-6 所示。 y = 75.95x2 - 766.36x + 2538.6 R2 = 0.9682 0.0 2000.0 4000.0 6000.0 8000.0 10000.0 12000.0 14000.0 16000.0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 时间（序号） 出 口 总 额 （ 亿 美 元 ） 图 5-5 抛物线型趋势线
y = 537.68e0.1711x R2 = 0.9685 0.0 5000.0 10000.0 15000.0 20000.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 时间（序号） 出 口 总 额 （ 亿 美 元 ） 图 5-6 指数曲线型趋势线 由图 5-5 可知：其抛物线型趋势线方程为：y = 75.95t2 – 766.36t + 2538.6，判定系数为 0.9682。 由图 5-6 可知：其指数曲线型趋势线方程为：y = 537.7×1.19t （因为 e0.1711 =1.19），判定系 数为 0.9685。 从判定系数来看，两种曲线的拟合效果都不错。 3.2.3 季节变动的测定与分析 测定季节变动的目的主要在于：一是通过分析过去的季节变动规律，为当前的决策提供 依据；二是为了对未来现象的季节变动作出预测，以便提前作出合理的安排；三是为了能够消 除季节变动对时间序列的影响，以便分析其他构成要素的影响。 季节变动的测定和分析都是通过季节指数（S）来实现的，以季节指数表明季节变动的规律。 测定季节变动的常用方法有：同期平均法和趋势剔除法。 1．同期平均法 同期平均法的基本原理是，假定时间序列无明显的长期趋势，直接计算出同期平均数（如 同月平均数、同季平均数等），以消除不规则变动的影响，作为各季节水平的代表值；然后计 算出全部数据的总平均数，作为全年平均水平的代表值；再将同期平均数与总平均数进行对比， 即可得到季节指数（也称季节比率）。同期平均法计算季节指数的具体步骤如下： （1）计算同期平均数（Y ）i ，即计算出同月（或同季）的平均数。 （2）计算总平均数（Y ），即计算出全部数据的平均数。 （3）计算季节指数（S ）i ，即计算出各同月（或同季）平均数与总平均数的百分比。其 计算公式为： 100% i Y S Y i （5.27） 可见，同期平均法计算的季节指数实质上表示：从多个季节周期平均来看，各季节水平 对于平均水平的相对变化程度。季节指数S 大于 100%，表明所研究现象在第 i 期处于旺季；i 反之，季节指数S 小于 100%，表示第 i 期处于淡季。 i 2．趋势剔除法 趋势剔除法的基本原理是，假定时间序列存在明显的长期趋势，首先测定出时间序列的 长期趋势，然后从原时间序列中剔除长期趋势，最后再根据剔除了长期趋势的新时间序列，用 y = 537.68e0.1711x R2 = 0.9685
同期平均法计算出季节指数。 长期趋势的测定可用移动平均法，也可用趋势方程拟合法，相应地，趋势剔除法也有移 动平均剔除法和趋势方程剔除法。下面介绍最常用的移动平均剔除法的具体步骤如下： （1）计算移动平均值。即根据各年的月份（或季度）数据，计算 12 个月（或 4 个季度） 的移动平均趋势值 T。 （2）剔除原时间序列中的趋势成分。即将各实际观察值 Y 除以相应趋势值 T，即 Y S I T （5.28） 注意：这里采用的分解模型为Y T S I 。由于循环变动分析需要有多年的数据，而分 析季节变动时，一般使用较少年份的数据，所以可以不考虑循环变动成分的影响。 （3）消除不规则变动。即根据 S×I 序列，求同月（或同季）平均数，即得季节指数S 。i （4）调整季节指数。即用各项季节指数乘以调整系数。其计算公式为： ( 1, 2, , ) i i i N S S i N S （5.29） 式中： i N S 称为调整系数，N 为季节周期的长度。 注意：在一个完整的季节周期中，季节指数的总和应等于季节周期的长度 N。即 i S N 或 Si N100% （5.30） 例如，根据季度数据计算季节指数时，Si 4或Si 400%。 根据月份数据计算季节指数时，Si 12或Si 1200%。 当计算的季节指数不满足上述关系时，则需要进行调整，将其误差分摊到各期的季节比 率中。可以证明，同期平均法计算的季节指数自动满足上述关系，因此不用进行调整。 3．季节变动的调整 含有季节变动因素的时间序列，由于受季节影响而产生波动，使序列中的其他特征不能 清晰地表现出来，因此，需要将季节变动的影响从时间序列中剔除，以便观察其他特征的影响， 这称为季节变动的调整。 已测定出时间序列的季节指数后，季节变动的调整方法是将原时间序列除以相应的季节 指数，即 Y T C S I T C I S S （5.31） 调整后的时间序列，反映了在没有季节因素影响的情况下，时间序列的变化形态。 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 的函数“AVERAGE”和“SUM”、公式编辑和公 式复制功能计算季节指数。 注意：编辑公式时要正确使用单元格的绝对引用和相对引用。 【例 5-11】某啤酒生产企业各季的销售量数据如表 5-11 所示，试分别用同期平均法和趋 势剔除法测定其季节变动，并进行季节变动调整。
表 5-11 某啤酒生产企业各季的销售量数据 单位：万吨 季度 年份 1 2 3 4 2004 25 32 37 26 2005 30 38 42 30 2006 29 39 50 35 2007 30 39 51 37 2008 29 42 55 38 2009 31 43 54 41 解 （1）根据同期平均法的步骤计算销售量季节指数，计算过程如表 5-12 所示。 表 5-12 某啤酒生产企业各季的销售量的季节比率计算表（一） 季度 年份 1 2 3 4 2004 25 32 37 26 2005 30 38 42 30 2006 29 39 50 35 2007 30 39 51 37 2008 29 42 55 38 2009 31 43 54 41 同季平均 29.00 38.83 48.17 34.50 季节指数 77.1% 103.2% 128.0% 91.7% 总平均数 37．625 （2）根据趋势剔除法的步骤计算销售量季节指数，计算过程如表 5-13 和表 5-14 所示。 表 5-13 某啤酒生产企业各季的销售量的移动趋势值与比值 年/季 时间序号 销售量 Y 移动平均趋势值 T 比值 Y/T 2004/1 1 25 － － 2 2 32 － － 3 3 37 30.625 1.2082 4 4 26 32.000 0.8125 2005/1 5 30 33.375 0.8989 2 6 38 34.500 1.1014 3 7 42 34.875 1.2043 4 8 30 34.875 0.8602
续表 年/季 时间序号 销售量 Y 移动平均趋势值 T 比值 Y/T 2006/1 9 29 36.000 0.8056 2 10 39 37.625 1.0365 3 11 50 38.375 1.3029 4 12 35 38.500 0.9091 2007/1 13 30 38.625 0.7767 2 14 39 39.000 1.0000 3 15 51 39.125 1.3035 4 16 37 39.375 0.9397 2008/1 17 29 40.250 0.7205 2 18 42 40.875 1.0275 3 19 55 41.250 1.3333 4 20 38 41.625 0.9129 2009/1 21 31 41.625 0.7447 2 22 43 41.875 1.0269 3 23 54 － － 4 24 41 － － 为计算各比值的平均值和季节指数，需要将上表中的比值再按季度重新排列，结果如表 5-14 所示。 表 5-14 某啤酒生产企业各季的销售量的季节比率计算表（二） 季度 年份 1 2 3 4 2004 － － 1.2082 0.8125 2005 0.8989 1.1014 1.2043 0.8602 2006 0.8056 1.0365 1.3029 0.9091 2007 0.7767 1.0000 1.3035 0.9397 2008 0.7205 1.0275 1.3333 0.9129 2009 0.7447 1.0269 － － 同季平均 0.7893 1.0385 1.2704 0.8869 季节指数 79.22% 104.24% 127.52% 89.02% 调整系数 1.0037 （3）进行季节变动调整，即分离季节性成分，计算过程如表 5-15 所示。
表 5-15 某啤酒生产企业各季的销售量的季节调整表 年/季 时间序号 销售量 Y 季节指数 S 季节分离 Y/S 2005/1 1 25 79.22% 31.56 2 2 32 104.24% 30.70 3 3 37 127.52% 29.01 4 4 26 89.02% 29.21 2006/1 5 30 79.22% 37.87 2 6 38 104.24% 36.46 3 7 42 127.52% 32.94 4 8 30 89.02% 33.70 2007/1 9 29 79.22% 36.61 2 10 39 104.24% 37.41 3 11 50 127.52% 39.21 4 12 35 89.02% 39.32 2008/1 13 30 79.22% 37.87 2 14 39 104.24% 37.41 3 15 51 127.52% 39.99 4 16 37 89.02% 41.56 2009/1 17 29 79.22% 36.61 2 18 42 104.24% 40.29 3 19 55 127.52% 43.13 4 20 38 89.02% 42.69 2010/1 21 31 79.22% 39.13 2 22 43 104.24% 41.25 3 23 54 127.52% 42.35 4 24 41 89.02% 46.06 季节成分分离后的序列 Y/S，反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态， 如图 5-7 所示。 3.2.4 循环变动和不规则变动的测定 循环变动的测定一般采用剩余法，即从时间序列中分别消除长期趋势和季节变动，然后 再消除不规则变动，其剩余部分便是循环变动。其具体步骤如下。 （1）根据原序列 Y 计算季节指数，然后消除季节变动。即 Y T S C I T C I S S （5.32） （2）根据T C I 序列计算趋势值 T，然后剔除长期趋势。即 T C I C I T （5.33）
0 10 20 30 40 50 60 2 0 0 4 /1 2 3 4 2 0 0 5 /1 2 3 4 2 0 0 6 /1 2 3 4 2 0 0 7 /1 2 3 4 2 0 0 8 /1 2 3 4 2 0 0 9 /1 2 3 4 时间（序号） 销 售 量 （ 万 吨 ） 销售量Y 季节分离Y/S （3）对 C I 序列进行移动平均，消除不规则变动 I，求得循环变动值 C。 不规则变动的测定也采用剩余法，即从时间序列中逐一将长期趋势、季节变动和循环变 动分离出去，其剩余部分统统归结为不规则变动。其具体步骤的第一步、第二步和第三步同循 环变动的测定。 （4）从 C I 序列中消除循环变动 C，即可求得不规则变动 I。即： C I I C （5.34） 【实训项目】 实训名称 分析时间序列的变化趋势和规律 实训目的 掌握时间序列的构成分析法 实训地点 教学做一体化教室 实训流程 学员分组→收集数据→计算分析→撰写分析报告 →展示分析报告→小组互评→教师点评 实训内容与要求 1．每组收集一家上市公司的主营业务收入数据。 2．编制主营业务收入的时间序列。 3．测定主营业务收入的长期趋势和季节变动。 4．分析、评价公司主营业务收入的变化趋势和规律。 实训考核 过程考核：40% 结果考核：60%
学习任务 4 时间序列的预测方法
【任务导入】 研究时间序列的主要目的之一就是对现象未来的变化进行预测。时间序列预测是指将现 图 5-7 季节成分分离后的啤酒销售量序列图象在过去和现在所呈现出来的趋势和规律进行类推或延伸，借以预测现象在未来时间上可能达 到的水平。 统计预测 预测是对不确定的将来事件的发生、时机或重要性的估计。预测是企业顺利运营的必要 条件，它为管理者提供了相关信息，有助于他们按组织目标指导未来活动。 运营经理主要关注的是需求的预测—常常由营销来实现。然而，管理者也用预测来估 计原材料的价格，规划适当的人员水平，帮助决定库存水平以及其他活动。这能更好地使用产 能，为顾客提供更及时的服务，获得更好的收益。 由于季节变动规律比较稳定，实际预测中一般假定未来的季节指数不变，即直接利用所 测定的季节指数作为未来的季节变动的预测值。循环变动很难准确测定和预测，不规则变动是 无法预测的，都可以不予考虑。所以，最主要的是长期趋势的预测。本节介绍长期趋势的几种 常用预测方法。 【相关知识】 4.2.1 趋势外推预测 趋势外推预测就是利用时间序列的趋势方程去预测现象在未来时间上的长期趋势值。其方法 就是按原来的时间顺序将预测期的时间变量值 t 代入趋势方程中，即可计算出预测期的趋势值。 注意：该方法假定现象发展变化的趋势将会延续到未来，实质上就是假定影响现象长期 趋势的基本因素在预测期仍然起着同样的作用，所以现象的长期趋势随时间推移而变化的数量 关系可延伸到预测期。实际应用中，必须认真分析影响长期趋势的基本因素是否会出现变化， 而且外推的时间不宜太远。 提示：在实际应用中，可以利用 Excel 进行趋势外推预测。 方法一：利用 Excel 的统计函数中的“FORECAST”函数进行。 方法二：利用 Excel 的统计函数中的“TREND”函数进行。 注意：方法一和方法二用于线性预测。 方法三：利用 Excel 为时间序列折线图添加趋势线的方法进行。 注意：先在“添加趋势线”对话框的“类型”选项卡中选择恰当的趋势线类型，然后在 “选项”选项卡中的趋势预测部分的前推周期中填入适当的值，确定后就可得到预测值。 4.2.2 移动平均预测 移动平均预测就是用移动平均值作为下一期的预测值。预测值的计算公式为： 1 2 1 1 t K t K t t t t Y Y Y Y F Y K （5.35） 与用于测定长期趋势的移动平均法所不同的是，首先，每个 K 期移动平均值不是代表观 测值中间一期的趋势值，而是第 K+1 期的预测值。其次，移动平均值的位置也不再是居中放 置，而是置于第 K 期（所平均数据末尾一期）或第 K+1 期。 注意：移动平均预测只具有推测未来一期趋势值的预测功能，主要适用于较为平稳的时 间序列的预测。 提示：在实际应用中，可以直接利用 Excel 进行移动平均预测。
方法一：利用 Excel 的统计函数中的“AVERAGE”函数进行。 方法二：利用 Excel 的分析工具库中的“移动平均”工具进行。 方法三：利用 Excel 为时间序列折线图添加趋势线的方法进行。 注意：先在“添加趋势线”对话框的“类型”选项卡中选择“移动平均”选项，并填写 周期值，确定后就可得到预测线。 4.2.3 指数平滑预测 指数平滑法是通过计算一系列指数平滑值来消除不规则变动，以反映时间序列的长期趋 势。指数平滑既可以用于对时间序列进行修匀，也可以直接用于预测。 指数平滑值的计算公式为： 1 (1 ) t t t E aY a E （5.36） 式中：Et1和E 分别表示第t t+1 期和第 t 期的指数平滑值；Y 为第t t 期的观测值；a 称为 平滑系数，且 0a 。 1 显然，指数平滑具有递推性质，各期平滑值是在上一期平滑值的基础上递推而来的。将 上式展开，可得 2 1 1 (1 ) 1 (1 ) 2 (1 ) 1 (1 ) 1 t t t t t t E aY a a Y a a Y a a Y a E （5.37） 式中：E 称为初始值，通常将时间序列的最初水平1 Y 作为初始值1 E 。序列项数较多时，1 初始值对平滑值的影响不大。 可见，指数平滑值Et1实质上是以前各期观测值的加权算术平均数，各期观测值的系数就 是其权数。由于权数呈指数形式递减，因而称为指数平滑法。 应用指数平滑法的关键是平滑系数 a 的选择。a 越大，近期数据的权数就越大，权数递减 的速度就越快，对现象变化的跟踪反映越敏捷，但修匀作用就越弱。反之，a 越小，对数据的 跟踪反映越迟缓，而修匀作用越强。 提示：在实际应用中，可以直接利用 Excel 的分析工具库中的“指数平滑”工具进行指数 平滑预测。 注意：指数平滑对话框中的阻尼系数=1 a 。 【例 5-12】某公司股票连续 16 日的收盘价格如表的第 1～2 列所示。试用移动平均法（k=5 日）和指数平滑法（a 0.4）进行预测，并将原序列与预测序列绘制成图进行比较。 解 各期的 5 日移动平均值和指数平滑值（a 0.4）以及 17 期预测值的结果如表 5-16 所示。 表 5-16 某股票价格的移动平均和指数平滑预测 价格的预测值（元） 时间 价格（元） 移动平均值 指数平滑值 1 7.20 － － 2 7.09 － 7.200 3 7.05 － 7.156 4 7.20 － 7.114 5 7.32 － 7.148 6 7.20 7.172 7.217
续表 价格的预测值（元） 时间 价格（元） 移动平均值 指数平滑值 7 7.25 7.172 7.210 8 7.38 7.204 7.226 9 7.51 7.270 7.288 10 7.42 7.332 7.377 11 7.35 7.352 7.394 12 7.25 7.382 7.376 13 7.17 7.382 7.326 14 7.21 7.340 7.263 15 7.28 7.280 7.242 16 7.30 7.252 7.257 17 － 7.242 7.274 注意：使用 Excel 的移动平均工具进行预测时，为了使预测值与相应的实际值相对应，在 选择输出区域时，应将输出区域的第一个单元格设置在第一个数值的下一行。 原序列与预测序列比较图如图 5-8 和图 5-9 所示。 移动平均 6.80 7.00 7.20 7.40 7.60 1 3 5 7 9 11 13 15 17 时间（日） 价 格 （ 元 ） 实际值 预测值 图 5-8 原序列与移动平均预测值序列比较图 指数平滑 6.80 7.00 7.20 7.40 7.60 1 3 5 7 9 11 13 15 17 时间（日） 价 格 （ 元 ） 实际值 预测值 图 5-9 原序列与指数平滑预测值序列比较图 【例 5-13】根据例 5-11 的数据资料和计算出的季节指数，预测 2010 年各季度啤酒的销售量。 解 （1）为时间序列 Y/S 拟合一条趋势线，求出趋势方程。 根据图 5-7 可以看出，分离季节成分后的时间序列 Y/S 大体成一条直线，所以可为时间序
列 Y/S 拟合一条趋势直线，其趋势方程为：y=30.607+0.559t。 （2）计算出 2010 年各季度的趋势值。 将 2010 年各季度的时间序号分别定为 25，26，27，28，代入趋势方程中即可得到其趋势 值，如表 5-17 所示。 （3）计算出 2010 年各季度的预测值。 将已测定出的季节指数作为 2010 年各季度的季节指数，将它们分别乘以对应的趋势值即 可得到预测值。 表 5-17 2010 年各季度啤酒销售量的预测表 年/季 时间序号 季节指数 S 趋势值 T 预测值 2010/1 25 79.22% 44.59 35.32 2 26 104.24% 45.15 47.06 3 27 127.52% 45.71 58.28 4 28 89.02% 46.26 41.18 预测误差是指现象的实际值与预测值之差，用于衡量预测模型或方法的优劣。由于预测 模型或方法的选择不当、参数估计不准确或不规则变动等因素的影响，预测结果总是存在误差。 预测误差小，预测结果的精度就高。 设以Y 表示第t t 期的实际值， ˆY 表示第t t 期的预测值，n 表示预测值个数，衡量预测误差 大小的常用指标有以下几个：
（1）平均绝对误差（Mean Absolute Error，简记为 MAE）
1 1 ˆ MAE n t t t Y Y n
（5.38）（2）平均相对误差（Mean Percentage Error，简记为 MPE）
1 ˆ 1 MPE n t t t t Y Y n Y
（5.39）（3）均方误差（Mean Square Error，简记为 MSE） 2 1 1 ˆ MSE ( ) n t t t Y Y n
（5.40）（4）均方根误差（Root Mean Square Error，简记为 RMSE） 2 1 1 ˆ RMSE MSE ( ) n t t t Y Y n
（5.41）（5）估计标准误差（Standard Error Of Estimate，简记为 Sy）
2 1 1 ˆ ( ) n y t t t S Y Y n m
（5.42） 以上衡量预测误差大小的指标中，平均绝对误差和平均相对误差受异常值的影响较小， 而均方误差和均方根误差受异常值的影响较大。在对多个模型的预测误差进行比较时，采用平 均相对误差可以避免绝对水平和计量单位不同的影响。估计标准误差用于衡量趋势外推预测模型的预测误差大小，其中 m 为趋势方程中未知参数的个数。 【实训项目】 实训名称 预测公司股价的走势 实训目的 掌握时间序列预测分析法 实训地点 教学做一体化教室 实训流程 学员分组→收集数据→计算分析→撰写分析报告 →展示分析结果→小组互评→教师点评 实训内容与要求 1．每组收集一家上市公司股价和成交量数据。 2．编制公司股价和成交量的时间序列。 3．预测公司股价的变化趋势。 实训考核 过程考核：40% 结果考核：60%
单元小结
本单元介绍了时间序列的编制方法、对比分析方法、构成分析方法以及时间序列的预测 方法。 （1）时间序列是动态分析的基础。按其观察值的表现形式不同，可以分为绝对数时间序 列、相对数时间序列和平均数时间序列。其中，绝对数时间序列是最基本的表现形式，它在各 时间上的数值相加有意义，而相对数时间序列和平均数时间序列是在绝对数时间序列的基础上 派生的，他们在各时间上的数值相加没有意义。编制时间序列的基本原则是保证时间序列中各 项观察值具有充分的可比性。 （2）时间序列的对比分析是运用水平指标和速度指标描述现象在某一段时间上发展变化 的状态，包括水平分析和速度分析。水平分析与速度分析要结合起来运用。 （3）时间序列的水平分析是借助于发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量等动 态分析指标来描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。时间序 列的速度分析是借助于发展速度、平均发展速度、增长速度、平均增长速度等动态分析指标来 描述现象在某一段时间上发展变化的快慢程度。 （4）时间序列的影响因素可归结为 4 种：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。 常以乘法模型为基础来进行时间序列的分解和预测。 （5）测定长期趋势常用的方法有：移动平均法和趋势模型法；测定季节变动的常用方法 有：同期平均法和趋势剔除法；循环变动和不规则变化的测定一般都采用剩余法。 （6）时间序列预测是指将现象在过去和现在所呈现出来的趋势和规律进行类推或延伸， 借以预测现象在未来时间上可能达到的水平。 （7）时间序列的预测方法有：趋势外推预测、移动平均预测和指数平滑预测等。趋势外 推预测是利用趋势方程去预测现象未来的趋势值；移动平均预测是用移动平均值作为未来一期 的预测值；指数平滑预测是用指数平滑值去预测现象未来的趋势值。 （8）预测误差是指现象的实际值与预测值之差，用于衡量预测模型或方法的优劣。衡量预测误差大小的常用指标有：平均绝对误差、平均相对误差、均方误差、均方根误差和估计标 准误差。
