時間序列分析 –

陳旭昇

2013.12

3 變動點_τ未知下的檢定

4 檢定結構性改變之實例

5 變動點的估計

6 結構性改變vs.隨機趨勢

除了隨機趨勢,另一個導致時間序列為非定態的成因為結構性變動 (structural changes),又稱結構性斷裂(structural breaks)。

造成結構性變動的原因可能是政策變動或是制度上的改變_,甚或是 外生的衝擊。

舉例來說_{, 1929}年美國股市大崩盤_{, 1970}年代的全球石油危機_,以 及₁₉₉₇年亞洲金融風暴等_,都是結構性變動的例子。 此外_{, 1972}年 布列頓森林體系(Bretton Woods system)崩潰後_,主要工業化國家 貨幣對美元匯率由固定改為浮動_,就是一個制度上改變造成結構性 變動的顯著例子。

根據Hansen (2001),結構性變動係定義在特定模型下_,特定參數的變動_,

“...structural change is a statement about parameters, which only have meaning in the context of a model.”

因此_,結構性變動可能是來自均值的變動_,變異數的變動_,或是迴歸係數 的變動。

以一個_AR(1)模型為例_,

y_t= α + ρ y_t−1+ et, e_t∼^i.i.d. (0, σ²).

所謂的結構性變動就是指模型中的參數_{(α, ρ, σ}²₎至少有一個在樣本期 間內發生改變。 改變可能是一次性的變動_,也可能是漸進緩慢的變動_,端 視你如何設定時間序列模型。

定義₍結構性變動₎

結構性變動指的是模型參數的變動。

假設 _yt為一_AR(1)序列且具一次性的變動_,

y_t = α + ρ y_t−1+ γ0D_t(τ) + γ1[Dt(τ) × yt−1] + et

其中

{ D_t(τ) = 0, if t < τ D_t(τ) = 1, if t ≥ τ 而_τ為變動點(break date)。

因此_,在變動點_τ之前與之後_{, yt}為截距與斜率均不同的序列_,

y_t={ α + ρ y_t−1+ e_t, if t < τ (α + γ0) + (ρ + γ1)yt−1+ e_t, if t ≥ τ 檢定結構性變動就猶如檢定

H₀ ∶ γ0= γ₁= 0

如果變動點_τ已知_,檢定

H₀∶ γ0= γ₁= 0,

或是說檢定 「沒有結構性變動」 的虛無假設相當容易。 針對以上假設我 們可以用_F檢定或是_Wald檢定_,這就是文獻上著名的_Chow檢定 (Chow test)。

我們以一個一般化的_AR(p)模型來說明_Chow檢定_:

y_t= α+∑^p

j=1

ρ_jy_t−j+ γ0D_t(τ) +∑^p

j=1

γ_j[Dt(τ) × yt−j] + et,

其中

{ D_t(τ) = 0, if t < τ D_t(τ) = 1, if t ≥ τ 則 「沒有結構性變動」 的虛無假設為

γ₀= γ₁= γ₂= ⋯ = γ_p= 0.

1 給定未受限迴歸模型

yt= α +

p

∑

j=1

ρjy_{t− j}+ γ0Dt(τ) +

p

∑

j=1

γj[Dt(τ) × yt− j] + e^{U R}t ,

令_SUR為估計迴歸模型所得之殘差平方和_{: SUR=∑t(ˆe}^UR_{t )}²。

2 給定受限迴歸模型

y_t= α +

p

∑j=1

ρ_jy_t−j+ e^R_t,

令_SR為估計迴歸模型所得之殘差平方和_{: SR =∑t(ˆe}^R_t)²。

3 Chow檢定的_F 統計量為

F =(SR− SUR)/(p + 1) S_UR/(T − 2p − 2) , 而_Chow檢定的_Wald統計量為

W =(p + 1)F.

應用_Chow檢定時_,我們必須知道變動的發生時點_,然而_,一般來說 變動點是未知的。 因此,過去實務上的作法為

1 任意挑選可能的變動點

2 根據研究者的先驗資訊(prior information)。 由於每個人對資料的看法不 盡相同_,

對於同一個時間序列資料_,往往會因所挑選的變動點而得到不同的 結論。 這是_Chow檢定在應用上的最大限制。

根據HansenB(2001),過去_15–20年來_,在結構性變動的文獻上有三大 突破_:

1 變動點_τ未知下的結構性變動檢定。

2 對於變動點_τ的估計。

3 足以分辨 「結構性改變」 與 「隨機趨勢」 的新檢定。

如果變動點_τ未知_,我們可以將_Chow檢定修改成_max-Chow統計 量。

Quandt(1060)早在₁₉₆₀年時就已經建議_,我們可將某段期間 [τ0, τ₁]內的每一個時點都當作可能的變動點_,計算出一系列的 Chow統計量_,然後從中找出最大的_Chow統計量_,並以此統計量來 做檢定。 我們稱此統計量為_max-Chow統計量或是_sup-F統計量。

實務上_,設定_{τ0= δT}以及_{τ1=(1 − δ)T (}最接近之整數_),其中_T為 樣本大小。

一般的建議是_{δ = 0.15}。 也就是說_,透過_15%的修整(trimming),我 們是在樣本中間_70%的部分尋找變動點。

具體而言_,考慮以下迴歸式

y_t= α + ρ y_t−1+ γ₀ D_t(τ) + γ1[Dt(τ) × yt−1] + et. 令_F(τ)代表變動點為_τ時的_Chow統計量。 則對於所有的 τ₀≤ τ ≤ τ₁,

sup-F= max[F(τ⁰), F(τ⁰+ 1), F(τ⁰+ 2), ..., F(τ¹− 1), F(τ¹)]

這種找尋最大_Chow統計量的概念雖然簡單_,但是自從

Quandt(1960)提出後_,將近₃₀年在實務上沒有太大用處。 原因在 於_,我們不知道_sup-F統計量的分配!沒有統計量的分配_,自然無從 檢定。

直到₉₀年代, Andrews (1993)將_sup-F統計量的漸近分配

(asymptotic distribution)推導出來_{, sup-F}統計量遂在實務上取代 了傳統的_Chow統計量,而_sup-F檢定有時也稱Quandt-Andrews 檢定。

資料生成過程為

x_t={ 0.5 + 0.30x_t−1+ a_t t = 1972M1 ∼ 1997M5 1.5 + 0.90x_t−1+ at t = 1997M6 ∼ 2006M12

圖_:模擬具結構變動的_AR(1)時間序列

-4 0 4 8 12 16 20

75 80 85 90 95 00 05

X

以一個_AR(1)模型估計_x 得到以下結果 xˆ_t = 0.11

(0.07)+ 0.98 (0.01)x_t−1,

顯然地_{, AR(1)}係數的估計值相當高_{, ˆρ = 0.98,}高_AR(1)係數的估計值容 易讓我們誤判此序列具有單根_,但是別忘了_yt是分別由_{ρ1= 0.30}與 ρ₂= 0.90的定態序列所組成。

圖_{:Chow F}統計量序列

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 CHOWF

圖_:韓圓對美元匯率月資料(取自然對數, 1981M4–2007M8)

6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6

82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 LEX_KO

圖_{:Chow F}統計量序列

0 5 10 15 20 25

82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 CHOWF_KO

除了檢定時間序列是否發生結構性變動_,我們也對發生結構性變動的時 間點_τ有興趣。

性質₍變動點的估計式₎

如果我們在檢定中使用的是均齊變異(homoskedastic)的變異數估計式_,則對應 sup-F統計量的變動點_ˆτ就是τ的估計式。

ˆτ= arg max[F(τ⁰), F(τ⁰+ 1), F(τ⁰+ 2), ..., F(τ¹− 1), F(τ¹)] .

Bai (1997)推導出_ˆτ的漸近分配以及建構其大樣本信賴區間為 ˆτ ±(c σˆ²

δˆ^′Q ˆˆδ + 1) , 其中

δ = ˆˆ β₂− ˆβ₁, Q =ˆ X^′X

T , σˆ²= ∑^t ˆe_t²

T .

βˆ₁與_β^ˆ₂分別為子樣本所估計出來的迴歸係數_,而_Q^ˆ 與σˆ²則是根據全樣

。

給定序列_xt的資料生成過程為

x_t ={ 0.5 + 0.30x_t−1+ at t = 1972M1 ∼ 1997M5 1.5 + 0.90x_t−1+ a_t t = 1997M6 ∼ 2006M12 at ∼^i.i.d. N(0, 1).

如果以簡單的_AR(1)模型予以估計_,會得到很大的_AR(1)係數估計值_, ˆ

ρ = 0.98,容易使人判斷此序列具有單根。 在此_,我們進一步對_xt進行單 根檢定_,得到結果如下表所示。

表_:序列_xt的單根檢定結果

檢定統計量 檢定值 _5%臨界值

ADF -0.31 -2.87

DF-GLS -0.02 -1.94

PP -0.82 -2.87

KPSS 1.71 0.46

ERS 26.98 3.26

NP

MZa 0.13 -8.10

MZt 0.07 -1.98

MSB 0.49 0.23

MPT 19.32 3.17

顯而易見地_,所有的檢定都無法拒絕序列_xt具有單根的虛無假設 (KPSS檢定則拒絕_xt為定態之假設₎。 因此_,一個具有結構性變動的 定態時間序列(break stationary series),在傳統單根檢定下_,可能會 被誤認為具有單根的非定態序列。

Perron(1989)提出一個新的檢定_,讓對立假設存在結構性變動。 考

慮₃種不同模型_,分別是崩盤_(crash)模型與與趨勢斷裂 (trend-break)模型₍以及兩者兼具_),在此我們介紹第一種模型。

Nelson and Plosser (1982)透過單根檢定發現_,大多數的總體經濟 時間序列均具有隨機趨勢。

Perron (1989)利用相同的資料_,以考慮結構性轉變的單根檢定重新

檢視這些總體經濟時間序列_,卻發現大多數的總體經濟時間序列不 具隨機趨勢_!

定義(Perron (1989)考慮結構性轉變的單根檢定₎

1 假設轉變點_τ為已知。

2 虛無假設與對立假設為₍此為Perron (1989)考慮之模型_A) { H₀∶ yt= a0+ yt−1+ µ1D_{T B}(t) + et

H1∶ yt= a0+ a2t+(a¹− a0)D^U(t) + e^t

其中 _{DT B(t) = {} ^{1, if t= τ + 1} 0, otherwise DU(t) = { 1, if t> τ

0, if t≤ τ

定義(Perron (1989)考慮結構性轉變的單根檢定₍續₎₎

3 估計以下迴歸式

yt= a0+ a1y_t−1+ a2t+ µ2DU(t) + µ3DT B(t) +∑^k

i=1

βi∆y_t−i+ et

而檢定虛無假設_{a1= 1}的_t統計量之臨界值可參考Perron (1989)頁₁₃₇₆表 IV.B。

一如_Chow檢定, Perron(1989)檢定最大的限制也是必須給定已知 的轉變點。

Zivot and Andrews(1992)將Perron(1989)擴充成考慮未知結構性 轉變的單根檢定_,其概念與之前_max-Chow檢定一樣_:找出一個轉 變點_,使得我們在該時點可以得到最強的證據來拒絕隨機趨勢的虛 無假設。 亦即_,找出最小的_Perron-ADF統計量。

實務上_,我們建議採用Zivot-Andrews檢定_,而非Perron檢定。

定義(Zivot-Andrews檢定₎

令_ADF(τ)為結構性轉變點在_τ的_Perron-ADF統計量。 則 Zivot-Andrews= inf

τ ADF(τ)

Zivot and Andrews (1992)重新檢視Perron (1989)的實證資料_,結果發 現將結構性轉變點內生化後_,證據傾向支持Nelson and Plosser (1982) 的發現_,大多數的總體經濟時間序列均具有隨機趨勢。