時間序列分析 –

時間序列分析

– 總體經濟與財務金融之應用 _–

DSGE模型

陳旭昇

2013.12

1 DSGE模型簡介

2 一階隨機差分方程式

3 二階隨機差分方程式

4 理性預期方程組

5 模型調校

6 一個簡單的實質景氣循環模型

DSGE模型簡介

DSGE 模型簡介

近二十年來,動態隨機一般均衡模型(Dynamic Stochastic General Equilibrium Model,簡稱_DSGE模型₎在總體經濟實證研究中已經 成為重要的研究方法之一。

由於_DSGE模型強調數量分析(quantitative analysis),透過模型調

校(calibration),使得理論模型可以與實際的時間序列資料對話_,一

方面可以判別模型的良莠_,另一方面透過量化結果的呈現_,進一步提 供對未來經濟變數的預測。

此外_,模型中具有個體基礎的最適化決策_,不但可以免於盧卡斯批判 (Lucas critique),使得政策實驗(policy experiment)較為精確_,不會 因預期的改變影響政策分析結論;再加上模型中具體呈現消費者的 效用與偏好_,我們可進一步執行福利分析_,並思考最適政策_(optimal

DSGE模型簡介

DSGE 模型簡介

顧名思義_,所謂的 「動態隨機一般均衡模型」 就是指模型中具有三大特 徵。

1 「動態」 係指個體考慮的是跨期選擇。 因此,模型得以探討經濟體系 各變數如何隨時間變化而變化的動態性質。

2 「隨機」 則是指經濟體系受到各種不同的外生隨機衝擊所影響。 舉例 來說_,可能的衝擊有_:技術性衝擊(technology shocks),貨幣政策衝 擊(monetary shocks),或是偏好衝擊(preference shocks)等。

3 「 一般均衡」 意指總體經濟體系中的消費者_,廠商_,政府_,與中央銀行 等每一個參與者_,在根據其偏好及其對未來的預期下,做出最適選 擇_,並考慮模型中所有商品與勞務市場同時結清。

DSGE模型簡介

DSGE 模型簡介

DSGE模型的主要優點有三_:

1 「可以避免盧卡斯批判_,讓政策實驗具有意義。

2 透過衝擊反應函數_,可以讓經濟體系各個外生衝擊的動態傳導過程 透明化_,進而了解不同的衝擊₍尤其是貨幣政策₎對於經濟體系的動 態影響。

3 模型以一致(coherent)的方式呈現:所有的經濟個體都根據偏好做 出最適決策_,沒有任何任意而武斷的設定(ad hoc settings)。

DSGE模型簡介

不確定性與預期

我們以_y^e_t,t+1代表人們在第_t期時對於_yt+1所做出的預期。 在總體經濟

學中_,對於人們如何做出預期_,有三種主要的假設_:

1 完全預期(Perfect Foresight)

y^e_t,t+1= y_t+1.

亦即人們完全正確地預期到未來。 因此_,對於未來的預期值會等於 未來的實際值。 一個符合 「完全預期」 的例子是所謂的 「事前政策宣 告」_,亦即政策在第t + 1期執行前_,會事先在第_t期宣告。 給定政策 執行者在第_{t + 1}期切實執行政策_,沒有跳票_,則人們在第_t期對於 y_t+1的預期值就會與_{t + 1}期的實際值相同₍也就是等於宣告值₎。

DSGE模型簡介

不確定性與預期

2 適應性預期(Adaptive Expectations)

y^e_t,t+1= y_t−1,t^e + λ(y_t− y^e_t−1,t), 0 < λ < 1.

根據適應性預期_,人們在第_t期時_,對於_yt+1的預期是以上一期所做

的預期_yt−1,t^e 為基礎_,再透過上一期的預測誤差_{(yt− y}^e_t−1,t)作調整。

也就是說,如果上一期的預測低估了_{(yt> y}^e_t−1,t),則人們會上修其預 期_,使得

y^e_t,t+1> y^e_t−1,t,

反之_,如果上一期的預測高估了_{(yt< y}^e_t−1,t),則人們會下調其預期。

DSGE模型簡介

不確定性與預期

因此_{, λ(yt− y}^e_t−1,t)又稱做誤差調整項(error-adjustment term),由於 0 < λ < 1,此誤差調整為部分調整。

經過整理_,我們可以改寫成_:

y^e_t,t+1= (1 − λ)y^e_t−1,t+ λy_t,

亦即_,人們對於_yt+1的預期是以上一期的預期 _yt−1,t^e 與第_t期的實際值_yt 作加權平均。

DSGE模型簡介

不確定性與預期

3 理性預期(Rational Expectations)

y^e_t,t+1 = E(y_t+1∣Ωt) = Ety_t+1.

簡單地說_,理性預期就是說人們對於_yt+1的預期會與數學條件期望 值(mathematical conditional expectation)一致_,其中_Ωt為資訊 集合。 因此_,理性預期有兩個重要意涵。 第一_,人們會以最有效率的 方式用盡任何公開可用的資訊_Ωt來形成預期。 透過理性預期,人們 不會犯系統性錯誤。 第二_,給定未來不確定的變數為隨機變數_,理性 預期假設人們知道其機率分配_,並根據此機率分配形成預期。

一階隨機差分方程式

一階隨機差分方程式

許多經濟學的模型都有如下形式_:

y_t= cx_t+ bE_ty_t+1. (1) 對於第₍₁₎式的求解_,根據_b值的不同_,而有兩種不同解法_:前瞻解 (Forward Solutions)與後顧解(Backward Solutions)。

一階隨機差分方程式

前瞻解

我們將第₍₁₎式向未來反覆迭代_: y_t= cxt+ bEty_t+1,

= cxt+ bEt[cxt+1+ bE_t+1y_t+2],

= cx_t+ cbE_tx_t+1+ b²E_tE_t+1y_t+2,

= cx_t+ cbE_tx_t+1+ b²E_ty_t+2,

⋮

= c[xt+ bE_tx_t+1+ b²E_tx_t+2+ ⋯ + b^k−1E_tx_t+k−1] + b^kE_ty_t+k. 當_{k → ∞,}我們可以得到

y_t= c

∑∞ b^jE_tx_t+j+ lim

k→∞b^kE_ty_t+k.

一階隨機差分方程式

前瞻解

給定無資產泡沫條件(no bubble condition):

k→∞limb^kE_ty_t+k = 0, 則第₍₁₎式的前瞻解為

y_t = c∑^∞

j=0b^jE_tx_t+j. (2)

注意到我們在第9章的第₍₈₎式中,由於_{β =(1 + R)}⁻¹_{∈(0, 1),}將股票價 格寫成未來股利折現值加總就是一個前瞻解。

一階隨機差分方程式

後顧解

我們可以將第₍₁₎式改寫成

y_t= cx_t+ b(yt+1− ε_t+1), Etε_t+1= 0.

重新整理並遞延一期可得

y_t= 1

by_t−1− c

bx_t−1+ εt, 向過去反覆迭代後可得到的後顧解為:

y_t =

∑∞ j=0(1

b)^jε_t−j− c

∑∞ j=1(1

b)^jx_t−j. (3)

一階隨機差分方程式

前瞻解 _vs. 後顧解

給定如第₍₁₎式的一階隨機差分方程式_,我們該採取前瞻解還是後顧解_? 基本上_,求解方式取決於_b值的大小。 當∣b∣ > 1,前瞻解有可能會爆掉

(explode)。 即使該前瞻解收斂_,此解對於未來較遙遠的_xt給予較高的權

重似乎也不太合理。 因此_,如果_{∣b∣ > 1}時_,我們會採取後顧解。 反之_,給定

∣b∣ < 1時_,後顧解有無法收斂之虞_,我們因而採用前瞻解。

一階隨機差分方程式

理性資產泡沫

給定∣b∣ < 1,我們之前提到無資產泡沫條件為

k→∞limb^kE_ty_t+k = 0.

此條件隱含_yt的成長不能過快。 如果無資產泡沫條件不成立_,第₍₁₎式 將會有無窮多組解。 亦即_,如果我們定義_{yt≡ c∑}^∞_j=0b^j_Etxt+j,並定義一 個變數_Bt符合條件

B_t= bEtB_t+1,

一階隨機差分方程式

理性資產泡沫

我們有如下性質_:

性質₍一階隨機差分方程式的無窮多解)

給定任何B_t且符合_{Bt= bEtBt+1,}則

y^∗_t = y^t+ B^t

亦為第₍₁₎式的一個解_,其中_{yt= c ∑}^∞_j=0b^j_Etxt+j為式₍₂₎的前瞻解。

欲驗證此性質_,我們將這個解帶入第₍₁₎式的右手邊_(RHS):

RHS= x_t+ bE_ty^∗_t+1= x_t+ bE_t(yt+1+ B_t+1),

= xt+ bEty_t+1+ bEtB_t+1,

= yt+ Bt,

= y^∗= LHS

一階隨機差分方程式

理性資產泡沫

我們會得到第₍₁₎式的左手邊_(RHS),亦即 _y^∗_t 為第₍₁₎式的一個解。 其中_, 我們將_Bt稱為泡沫_(bubble)。 注意到由於_{∣b∣ < 1}且

E_tB_t+1= 1 bB_t, 則

E_tB_t+1> B_t.

亦即人們預期泡沫B_t會不斷增長下去_,終至無窮大。 一般日常用語中_,

「泡沫」 一詞隱含人們的不理性行為_,然而_,在理性預期的假設下_,我們將 性質₁中的_Bt稱為 「理性泡沫」。 因此_,透過_limk→∞b^k_{Etyt+k = 0}此條 件_,可以讓我們排除掉理性泡沫的存在(數學上的意義就是排除掉無窮 多組解的可能性₎。

一階隨機差分方程式

結構式模型 _, 縮 減式模型與 _Lucas 批判

給定

y_t = c∑^∞

j=0b^jE_tx_t+j,

我們將上式稱為第₍₁₎式的結構式解(structural solution),或是稱為 _yt 的結構式模型。 該式所呈現的是內生變數 _yt與外生變數_xt的結構式關 係。

現在假設_xt服從一個_AR(1)的定態隨機過程_:

x_t= ϕx_t−1+ εt, ∣ϕ∣ < 1, εt∼^i.i.d. (0, σ²),

一階隨機差分方程式

結構式模型 _, 縮 減式模型與 _Lucas 批判

我們知道

E_tx_t+j = ϕ^jx_t, 則以上的結構式解可改寫成

y_t = c

1 − bϕx_t= αxt. (4)

我們將第(4)式稱為第(1)式的縮減式解(reduced-form solution), α = c/(1 − bϕ)稱為縮減式參數。 值得注意的是_,縮減式參數會隨著_xt外 生隨機過程以及相關參數如_b值改變而改變。

一階隨機差分方程式

結構式模型 _, 縮 減式模型與 _Lucas 批判

舉例來說_,如果政策的改變是來自外生隨機過程的改變_, x_t= θx_t−1+ ε_t,

則新的縮減式解應為

y_t= c

1 − bθx_t = βx_t, (5)

而新的縮減式參數變成

β = c 1 − bθ.

一階隨機差分方程式

結構式模型 _, 縮 減式模型與 _Lucas 批判

如果我們透過歷史資料估計第₍₄₎式_,並根據估計結果探討政策變動對 於_yt影響_,則可能會導致錯誤的結論₍因為真正的縮減式關係已經變成 第₍₅₎式₎。 因此_,我們應該透過估計結構參數(structural parameters) 如_b與_ϕ以及_θ,並進一步根據其估計值探討政策變動之影響。 以上討 論就是著名的_Lucas批判(Lucas critique)。

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

給定∣b∣ < 1,根據第₍₁₎式的一階隨機差分方程式所得到的解為 y_t = c∑^∞

j=0b^jE_tx_t+j,

注意到此解具有 「跳躍」_(jump)的性質。 也就是說_,未來任何時點_xt+j的 跳動_,都會導致_yt的立即跳動。 然而_,在財務市場上這種跳躍解或許合 理_,但是總體經濟變數如消費以及失業率等_,很少有跳動的行為。

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

因此,大部分的總體經濟變數應該以如下的二階隨機差分方程式來描述 較為適當_:

y_t = ay_t−1+ bE_ty_t+1+ cx_t. (6) 至於要如何求解第₍₆₎式_?首先_,我們考慮如下的準差分

(quasi-difference transformation),

η_t≡ y_t− λy_t−1,

其中我們要求_λ要能使_ηt成為一個一階隨機差分方程式_: η_t = αE_tη_t+1+ βx_t.

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

我們將_{yt= ηt+ λyt−1}帶回第₍₆₎式_,

ηt+ λy^t−1

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

yt

= ay^t−1+ bE^t(η^t+1+ λy^t

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

yt+1

) + cx^t,

= ay^t−1+ bE^tηt+1+ bλy^t+ cx^t,

= ay^t−1+ bE^tηt+1+ bλ(η^t+ λy^t−1) + cx^t.

重新整理後可得

(1 − bλ)ηt= bEtη_t+1+ cxt+ (bλ²− λ + a)yt−1,

亦即_ηt可以表示為

η_t= b

1− bλE_tη_t+1+ c

1− bλx_t+ (bλ²− λ + a) 1− bλ y_t−1.

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

然而_,根據準差分的定義_{, λ}要能使_ηt成為一個一階隨機差分方程式_,因 此我們知道

bλ²− λ + a = 0.

令上式的解為_λ1與_λ2,則我們知道: λ₁+ λ₂= 1

b, λ₁λ₂= a

b. 則有三種可能性。

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

1 唯一穩定解(The unique stable solution):

∣λ1∣ > 1 且 _{∣λ2∣ > 1,}

此時唯一穩定解為_{(yt, xt) = (0, 0)}。 亦即_,除非動態體系一開始就 在均衡點_{(yt, xt}) = (0, 0),要不然所有的解都會不穩定地發散。

2 未定解(Indeterminacy of equilibria):

∣λ1∣ < 1 且 _{∣λ2∣ < 1,} 此時有無窮多組穩定解。

3 馬鞍路徑解(Saddle-path solution):

∣λ1∣ < 1 < ∣λ2∣,

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

唯一穩定解是一個無趣_(trivial)的解,而未定解則不具意義。 因此_,我們 底下的討論將著重在馬鞍路徑解。 令_{λ = λ1< 1,}則我們可以將_ηt求解成

ηt= b

1 − bλEtη_t+1+ c 1 − bλxt,

= c

1 − bλ

∑∞

k=0( b

1 − bλ)^kE_tx_t+k,

二階隨機差分方程式

二階隨機差分方程式

進而求解 _yt為

y_t= λy_t−1+ c 1 − bλ

∑∞

k=0( b

1 − bλ)^kE_tx_t+k. 根據_{λ = λ1}以及_{λ1+ λ2= 1/b,}上式可改寫成

y_t= λ₁y_t−1+ c 1 − bλ₁

∑∞ k=0( 1

λ₂)^kE_tx_t+k.

理性預期方程組

一階隨機差分方程組

給定_{n × 1}向量_Zt,

Z_t=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

z_1t z_2t

⋮ z_nt

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

,

考慮以下的一階隨機差分方程組(Systems of Rational Expectations Equations):

Z_t= BE_tZ_t+1+ X_t. (7)

理性預期方程組

一階隨機差分方程組

根據之前的討論_,我們知道其前瞻解為 Z_t=

∞

∑k=0B^kE_tX_t+k. (8) 在第₍₈₎式中_,此前瞻解收斂的條件為

vec(B^k) → 0 as k → ∞.

理性預期方程組

一階隨機差分方程組

至於我們要如何確認_vec(B^k_{) → 0?}事實上_,我們可以透過以下的解析_, 找出前瞻解收斂的條件。 首先,我們將_B矩陣對角化(diagonalization) 後可得_:

B^k= P

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

λ^k₁ 0 ⋯ 0 0 λ^k₂ ⋮

⋮ ⋱ 0

0 ⋯ 0 λ^k_n

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠ P⁻¹

其中_P由_B矩陣的特性向量所組成。

理性預期方程組

一階隨機差分方程組

給定_B矩陣的特性根為_λj,則_vec(B^k_{) → 0}的條件為

∣λj∣ < 1, ∀j.

然而_,我們亦可利用數值分析_,直接計算_B^k= B × B × B × ⋯ × B,以判定 前瞻解是否收斂。

理性預期方程組

二階隨機差分方程組

進一步考慮一個二階隨機差分方程組_,

Z_t= AZ_t−1+ BEtZ_t+1+ MXt. (9) 許多總體經濟理論中的_DSGE模型在經過線性化(linearization)或是對 數線性化(log-linearization)後_,都能寫成如第₍₉₎式的方程組。 關於第 (9)式的求解_,文獻上有許多方法。 常見的有_:

1 Jordan分解法(Jordan decomposition)。

2 QZ分解法(QZ decomposition)。

3 一般化_Schur分解法(generalized Schur decomposition)。

4 未定係數法(undetermined coefficients method)。

5 二次行列式方程法(quadratic determinantal equation (QDE)

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

給定第₍₉₎式的二階隨機差分方程組_:

Z_t= AZ_t−1+ BE_tZ_t+1+ MX_t.

利用之前介紹過的 「準差分」 的概念_,我們定義一個矩陣_C及其準差分 轉換(quasi-difference transformation),

W_t= Z_t− CZ_t−1, (10)

使得_Wt成為一個 「一階隨機差分方程組」_,

W_t= FE_tW_t+1+ GX_t. (11)

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

根據_{Zt= Wt+ CZt−1,}代入第₍₉₎式_,

W_t+ CZ_t−1= AZ_t−1+ BE_t(Wt+1+ CZ_t) + MXt,

= AZ_t−1+ B[EtW_t+1+ C(Wt+ CZ_t−1)] + MXt. 重新整理後可得_:

W_t=(I − BC)⁻¹[BEtW_t+1+(BC²− C + A)Zt−1+ MX_t]. (12) 根據_C 矩陣的定義_{, Wt}應為一個 「一階隨機差分方程組」_,因此_,

BC²− C + A = 0, 則

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

接下來的問題是_,要如何求算_C矩陣? Binder and Pesaran (1995, 1997) 建議使用暴力演算法(brute-force algorithm)。

性質(暴力演算法)

任意設定一個起始矩陣_C0(一般的選擇是_{C0= I),}接下來_,對於_k= 1, 2, 3, . . .,反覆計 算

C_(k)= (I − BC(k−1))⁻¹A, 直到_C(k)矩陣中所有的元素均收斂_:

∣∣C(k)− C(k−1)∣∣ < δ.

舉例來說,我們可以設定δ= 0.00001。

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

一但求算出_C矩陣後_,我們可以進一步計算 F =(I − BC)⁻¹B, G =(I − BC)⁻¹M.

如果_F矩陣的所有特性根_∣λi∣ < 1, ∀i,則我們可求得_Wt的前瞻解 W_t=

∑∞ k=0

F^kE_t(GXt+k).

根據原來的準差分轉換₍第₍₁₀₎式_),則可得 Z_t = CZ_t−1+∑^∞

k=0

F^kE_t(GXt+k). (13)

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

我們可以進一步假設_Xt服從一個定態_VAR過程_, X_t = DX_t−1+ є_t,

є_t=^d (0, Σє), 其中_{Σє = E(єtє}^′

t)為變異數_–共變數矩陣_,且_E(єtє^′

s) = 0, t ≠ s。 根據定態_VAR的性質_:

E_tX_t+k= D^kX_t,

帶入第₍₁₃₎式_,我們可以得到政策函數(policy function):

Z_t= CZ_t−1+(∑^∞

k=0

F^kGD^k) Xt

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

亦即_,

Z_t= CZ_t−1+ HXt, (14)

其中_,

H =(∑^∞

k=0

F^kGD^k) .

由於_H為一無窮項之加總, Binder and Pesaran (1995, 1997)建議利用 以下的方法求算_H:

1 先計算有限項之加總。

H =(∑^N

k=0F^kGD^k) ,

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

2 之後不斷累加下去_,亦即_,

H= (∑^N

k=0

F^kGD^k) + F^N+1GD^N+1+ F^N+2GD^N+2+ ⋯

3 當_F^N+j_GD^N+j中的最大元素小於某極微小數,如₁₀⁻⁶_,就停止累加:

H= (∑^N

k=0

F^kGD^k) + F^N+1GD^N+1+ F^N+2GD^N+2+ ⋯ + F^{N+ j}GD^{N+ j}.

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

茲將Binder-Pesaran求解法與_DSGE模型的關係整理如下。

性質(Binder-Pesaran求解法與DSGE模型₎

一般來說_,將_DSGE模型的最適化條件(optimal conditions)線性化或對數線性化後_, 再加上市場結清條件,把這些方程式統合起來,大多都可寫成二階隨機差分方程組:

Z_t = AZt−1+ BEtZ_t+1+ MXt. (15)

1 找出矩陣_{A, B}以及_{M (}一般來說_,矩陣元素包含模型參數₎。

2 求解出_{C, F}以及_G矩陣。

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

性質(Binder-Pesaran求解法與DSGE模型₍續₎₎

3 假設外生變數(driving variables) Xt的VAR模型_: Xt= DX^t−1+ є^t.

4 求得Z_t的縮減式(reduced-form representations),或稱政策函數: Zt= CZ^t−1+ HX^t.

理性預期方程組

Binder-Pesaran 求解法

性質(Binder-Pesaran求解法與DSGE模型₍續))

5 有時候模型的方程式統整出來的二階隨機差分方程組有如下更一般化的形式_: CZˆ t= ˆAZ^t−1+ ˆBE^tZt+1+ ˆM Xt,

則再改寫成

Zt= ˆC⁻¹AZˆ t−1+ ˆC⁻¹BEˆ tZt+1+ ˆC⁻¹M Xˆ t

= AZ^t−1+ BE^tZt+1+ MX^t, 就成為第₍₁₅₎式。

模型調校

模型調校

我們在此介紹總體經濟研究中的一個重要實證方法:模型調校

(calibration)。 首先注意到_,我們在得到_Zt的縮減式解₍亦即政策函數₎ 後_,可以進一步計算模型的衝擊反應函數(impulse response function), 二階動差(second moments),以及自我相關係數(first-order

autocorrelation)。 性質₍衝擊反應函數) 我們定義以下函數_:

Ψ(s, θ) = ∂Zt+s

∂X_t = C^sH. (16)

亦即_{, C}^s_H的第_{(i, j)}的元素代表受到_Xt向量中第_j個外生變數於_t期的衝擊下_{, Z}向 量中第_i個變數在第t+ s時的反應_{, s}= 1, 2, 3, . . .,注意到由於_C與_H為模型參數_θ的 函數_,從而_Ψ(⋅)為_s與_θ的函數。

模型調校

模型調校

性質(二階動差) 令_{Γ(0) ≡ E(ZtZ}^′

t)為變異數_-共變數矩陣(variance-covariance matrix),則_Zt的二階 動差可由以下式子求得:

vec(Γ(0)) = (I − C ⊗ C)⁻¹vec(Ω), (17) 其中_,

Ω= HE(XtX^′_t)H^′, vec(Ω) = (H ⊗ H)vec(E(XtX^′_t)) vec(E(X^tX^′_t)) = (I − D ⊗ D)⁻¹vec(E(є^tє^′_t)).

模型調校

模型調校

性質(自我相關係數)

我們可以透過以下式子得到_s階的自我相關係數(autocorrelations)

Γ(s) = E(ZtZ^′_t−s) = C^sΓ(0). (18)

值得注意的是_,這些都是模型隱含的理論值。 而所謂的 「模型調校」_,就是 指透過帶入不同的參數值_,使得模型的理論值與資料的實際值趨於一致。

模型調校

模型調校

舉例來說_,若以_θ代表模型中的參數_,且令_{Ψ(s, θ)}代表理論衝擊反 應函數(theoretical impulse response function),而_Ψ^ˆ_(s)代表透過 資料估計出的實證衝擊反應函數(empirical impulse response function),假設_{i = k}代表實質產出_{, j = m}代表貨幣政策衝擊_,則

Ψ(s, θ)k,m就代表了實質產出在遭受貨幣政策衝擊下的衝擊反應函

數。

如果我們希望參數_θ^∗能夠配適_{Ψ(s, θ)k,m}與_Ψ^ˆ_(s)k,m,則_θ^∗就是 使得模型的理論值與資料的實際值趨於一致的參數值_:

θ^∗= arg min

θ∈Θ ∑

s (Ψ(s, θ) − ˆΨ(s))²,

如果模型調校的目標函數不是衝擊反應函數_,而是動差的話_,則又稱

一個簡單的實質景氣循環模型

一個簡單的實質景氣循環模型

社會規畫者(social planner)極大化代表性個人的終身效用_: max E_t[∑^∞

s=0β^s[U(Ct+s) − V(Nt+s)]] ,

並受限於如下的資源限制(生產技術,所得恆等式以及資本累積方程式):

Y_t = F(Kt, N_t) = AtK_t^αN_t^1−α, Y_t= C_t+ I_t,

K_t+1= I_t+(1 − δ)Kt,

一個簡單的實質景氣循環模型

一個簡單的實質景氣循環模型

其中_{, U(Ct) − V(Nt)}為效用函數_{, Ct}為消費_{, Nt}為勞動投入_{, Yt}為產出_, F(Kt, N_t)為生產函數_{, Kt}為資本投入_{, It}為投資_{, β}為折現因子_{, At}為隨 機技術衝擊_{, α}為資本份額,而_δ則為折舊率。

根據效用函數與資源限制_,我們可寫下_Lagrangian函數_:

L = Et

∑∞

s=0β^s[U(Ct+s) − V(Nt+s)]

+E_t

∑∞

s=0β^sλ_t+s[At+sK^α_t+sN_t¹_+s^−α−C_t+s−K_t+s+1+(1 − δ)Kt+s] ,

其中_λt為_Lagrangian乘數(Lagrangian multiplier)。

一個簡單的實質景氣循環模型

一個簡單的實質景氣循環模型

根據 ∂L

∂C_t = ∂L

∂K_t+1 = ∂L

∂N_t = ∂L

∂λ_t = 0, 其一階條件如下_:

U^′(Ct) − λt= 0 (19)

−λ_t+ βE_t[λt+1(αY_t+1

K_t+1+ 1 − δ)] = 0 (20)

−V^′(Nt) + (1 − α)λt

Y_t

N_t = 0 (21)

A_tK^α_tN_t^1−α− C_t− K_t+1+(1 − δ)Kt= 0 (22)

一個簡單的實質景氣循環模型

一個簡單的實質景氣循環模型

我們進一步假設效用函數為固定相對風險趨避(constant relative risk aversion, CRRA),

U(Ct) − V(Nt) = C^1−η_t

1 − η− κN_t, (23)

其中_η為Arrow-Pratt相對風險趨避度(Arrow-Pratt measure of relative risk-aversion)

η = −U^′′(Ct)Ct

U^′(Ct) = −(−ηC^−η−1_t C_t C^−η_t ) , η愈高_,代表愈厭惡風險。

一個簡單的實質景氣循環模型

一個簡單的實質景氣循環模型

給定式₍₂₃₎的_CRRA效用函數_,一階條件_,與資源限制_,並定義實質利率 R_t為

R_t≡ αY_t Kt

+(1 − δ),

我們可得_:

Yt= C^t+It (24)

Y_t= AtK^α_tN_t^1−α (25)

K_t+1= It+(1 − δ)Kt (26)

C^−η_t = βE^t(C^−ηt+1R_t+1 (27) Rt = αYt

K_t +(1 − δ) (28)

Yt

Nt = κ

1 − αC^η_t (29)

一個簡單的實質景氣循環模型

一個簡單的實質景氣循環模型

最後_,我們假設隨機技術衝擊服從以下的外生隨機過程_:

log A_t =(1 − ρ)log A^∗+ ρ log A_t−1+ εt, ε_t∼^i.i.d. (0, σ²). (30) 令_{at= log At− log A}^∗_,則第₍₃₀₎式可改寫成

a_t= ρa_t−1+ ε_t, (31)

其中_A^∗為恆定狀態(steady state)值並假設_A^∗_{= 1}。

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對數線性化

首先我們定義一階泰勒近似(First-order Taylor approximation)。 定義₍一階泰勒近似₎

給定恆定狀態_(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x_n^∗),

f(x¹, x2, . . . , xn) ≈ f (x^∗1, x^∗₂, . . . , x_n^∗) +∑ⁿ

i=1fxi(x1^∗, x₂^∗, . . . , x^∗_n)(xⁱ−x^∗_i), 其中_,

f_xi(x^∗1, x^∗₂, . . . , x_n^∗) = ∂ f(x1, x₂, . . . , x_n)

∂xi ∣

x1=x^∗1,x2=x^∗2,... ,xn=x^∗n

為一階偏導函數。

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對數線性化

由於式(24)–(29)為線性與非線性方程式混合而成的隨機方程組,

我們必須先將非線性方程式予以線性化(linearization)後_,以得到 線性隨機方程組。

我們會以小寫字母_x代表其偏離恆定狀態值_X^∗的百分比_: x = X − X^∗

X^∗ ≈ log X − log X^∗.

因此_,當我們把非線性方程式寫成各個變數偏離恆定狀態值百分比 的線性方程式_,就稱為 「對數線性化」(log-linearization)。

一般來說,對數線性化有兩種常用的近似方法:

1 直接泰勒近似(Straightforward Taylor Approximation)

2 變數變換(Change of Variables)

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直接泰勒近似法

我們就以一個例子來說明直接泰勒近似。

根據第(19)–(22)式可以得到:

U^′(Ct) = βEt[(U^′(Ct+1)Rt+1].

此即為常見的_Euler方程式。

左式可直接泰勒近似為

LHS≈ U^′(C^∗) + U^′′(C^∗)(C^t−C^∗),

右式則直接泰勒近似為

RHS≈ βEt[U^′(C^∗)R^∗+U^′′(C^∗)R^∗(Ct+1−C^∗) + U^′(C^∗)(Rt+1−R^∗)],

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直接泰勒近似法

因此_,

U^′(C^∗) + U^′′(C^∗)(C^t−C^∗)

= βEt[U^′(C^∗)R^∗+U^′′(C^∗)R^∗(Ct+1−C^∗) + U^′(C^∗)(Rt+1−R^∗)].

由於在恆定狀態時_{, U}^′_(C^∗_{) = βU}^′_(C^∗_)R^∗_,則可得

U^′′(C^∗)(C^t−C^∗) = βE^t[U^′′(C^∗)R^∗(C^t+1−C^∗) + U^′(C^∗)(R^t+1−R^∗)].

我們可以進一步改寫成

U^′′(C^∗)C^∗(C^t−C^∗) C^∗

= βE^t[U^′′(C^∗)R^∗C^∗(Ct+1−C^∗)

C^∗ +U^′(C^∗)R^∗(Rt+1−R^∗) R^∗ ] .

一個簡單的實質景氣循環模型

直接泰勒近似法

令偏離恆定狀態值為

c_t= (Ct−C^∗)

C^∗ ≈ log Ct−log C^∗, r_t= (Rt−R^∗)

R^∗ ≈ log Rt−log R^∗,

則

U^′′(C^∗)C^∗ct= Et[U^′′(C^∗)C^∗c_t+1+U^′(C^∗)rt+1] ,

亦即

U^′′(C^∗)C^∗

U^′(C^∗) c_t= Et[U^′′(C^∗)C^∗

U^′(C^∗) c_t+1+r_t+1] .

給定_CRRA效用函數_{, η = −}^{U′′(C∗)C∗}

U^′(C^∗) ,則上式可改寫成

−ηc_t= −ηEtc_t+1+E_tr_t+1.

一個簡單的實質景氣循環模型

變數變換法

定義₍變數變換法)

首先注意到_,我們可將變數_Yt寫成 Yt= Y^∗Yt

Y^∗ = Y^∗e^log(YYt∗)= Y^∗e^yt, 其中_yt=^(Yt−Y∗)

Y^∗ ≈ log Y^t−log Y^∗。 根據一階泰勒近似_{, e}^yt _{≈ (1 + yt)}。

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變數變換法

定義₍變數變換法(續₎₎ 因此,

Y_t≈ Y^∗(1 + yt).

同理可推知

1 Y_t^a= (Y^∗)^ae^ayt ≈ (Y^∗)^a(1 + ay^t).

2 X_tY_t≈ X^∗Y^∗(1 + xt)(1 + yt) ≈ X^∗Y^∗(1 + xt+y_t),其中_{xtyt→ 0.}

3 X_t^aY_t^b≈ (X^∗)^a(Y^∗)^b(1 + ax^t+byt).

一個簡單的實質景氣循環模型

變數變換法

我們來看一個變數變換法之應用。

給定生產函數

Y_t= A_tK^α_tN^1−α_t , 根據變數變換_,

Y^∗(1 + yt) = A^∗(K^∗)^α(N^∗)^1−α(1 + at+ αk_t+(1 − α)nt), 由於在恆定狀態時_{, Y}^∗_{= A}^∗_(K^∗₎^α_(N^∗₎^1−α_,因此_,

y_t= at+ αkt+(1 − α)nt.

一個簡單的實質景氣循環模型

模型求解

根據式(24)–(29)以及式(31),予以適當的對數線性化後,我們可以得到

以下的線性隨機差分方程組_:

y_t= C^∗ Y^∗c_t+ I^∗

Y^∗i_t (32)

yt= a^t+αkt+(1 − α)n^t (33) k_t+1= I^∗

K^∗it+(1 − δ)k^t (34)

nt= y^t−ηct (35)

ct= E^tct+1− 1

ηEtrt+1 (36)

r_t= ( α R^∗

Y^∗

K^∗) (yt−k_t) (37)

at= ρa^t−1+εt (38)

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模型求解

在繼續求解此隨機差分方程組之前_,我們必須根據式_(24)–(29),求出衡 定狀態值₍亦即將衡定狀態求解為模型參數之函數_):

R^∗= β⁻¹ (39)

Y^∗

K^∗ = β⁻¹+δ − 1

α (40)

α R^∗

Y^∗

K^∗ = αβ (β⁻¹+δ − 1

α ) = 1 − β(1 − δ) (41)

I^∗

Y^∗ = αδ

β⁻¹+δ − 1 (42)

C^∗

Y^∗ = 1 − αδ

β⁻¹+δ − 1 (43)

I^∗

K^∗ = δ (44)