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時間序列分析 –

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Academic year: 2022

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(1)

時間序列分析

– 總體經濟與財務金融之應用

緒論:經濟理論與實證

陳旭昇

2013.12

(2)

2 時間序列資料性質

3 定態時間序列

4 樣本動差

5 固定趨勢

6 固定趨勢

7 季節性

(3)

時間序列資料

時間序列資料

時間序列資料與我們的生活息息相關,舉凡股票價格,實質國內生產 毛額(real GDP),物價指數,通貨膨脹率,利率,匯率等等,都是我們在 日常總體經濟或是財金議題中,時時刻刻都會接觸到的資料。

(4)

時間序列資料

橫斷面資料:同一時間點橫跨不同個體所取得,譬如2007年各國的 國內生產毛額。

時間序列資料:在不同時間點所記錄的資料,譬如1972年到2007 年的股票價格資料。

(5)

時間序列資料

時間序列資料

低頻資料:年資料,季資料,月資料。

高頻資料:週資料,日資料,日內逐筆成交資料。

(6)

時間序列資料

我們通常以

yt∶ t ∈ T

來代表時間序列資料,{yt}又稱做隨機過程(stochastic process)。 yt∈ S為一定義在時間域的隨機變數, S為狀態空間(state space), 可以是間斷(discrete),也可以是連續(continuous)。

T稱為一個指標集合(index set), T可以是間斷: T= {0, 1, 2, ⋯},也 可以是連續: T=[0, ∞)

(7)

時間序列資料

時間序列資料

有的時間序列看來似乎具有一固定趨勢(deterministic trend),如台 灣GDP;有的則無,如新台幣兌美元匯率。

時間序列資料具有序列相關(serial correlation),也就是說,本期的 資料與之前或是之後的資料具相關性。

(8)

:台灣實質GDP (取自然對數)以及新台幣兌美元匯率(取自然對數),季資料, 1972Q1–2007Q4

11 12 13 14 15 16

75 80 85 90 95 00 05

LGDP

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

LS

(9)

時間序列資料

時間序列資料

有一種混合時間序列資料與橫斷面資料的資料特別值得一提,我們稱之 為追蹤資料(panel data),以

yit, i = 1, 2, . . . , N , t = 1, 2, . . . , T

表示之,其中i代表國家, t代表時間。 譬如說,七大工業國家2000–2009PPP衡量之每人實質GDP資料。

(10)

基本概念

yt代表第t期的資料,則我們稱yt−1yt的落後一期資料。

yt−kyt的落後k期資料。

ytyt−1之間的差異稱作yt的一階差分,∆yt= yt− yt−1表示。

如果我們先將變數取自然對數後再取一階差分,就會得到變數成長 率的近似值:

∆ ln yt= ln yt− ln yt−1= ∆yt yt−1

舉例來說,yt代表台灣的消費者物價指數,∆ ln yt就是台灣的 物價膨脹率。

(11)

時間序列資料性質

基本概念

:台灣CPI與台灣物價膨脹率, 1981M1–2007M7

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

1985 1990 1995 2000 2005

LCPI

-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02 .03 .04

1985 1990 1995 2000 2005

INF

(12)

落後運算元

落後運算元(lag operator)是一個時間序列分析中常用的線性運算 元,也稱落後運算子或是落後運算因子。

定義(落後運算元) L為一落後運算元使得

Lkyt≡ yt−k.

(13)

時間序列資料性質

落後運算元

1 給定常數c, Lc = c.

2 (Lk+ Lj)yt= Lkyt+ Ljyt= yt−k+ yt−j.

3 LkLjyt= Lk(Ljyt) = Lkyt−j = yt−j−k.

4 L0yt = yt.

5 L−kyt= yt+k.

6 對於∣ϕ∣ < 1,

(1 + ϕL + ϕ2L2+ ϕ3L3+ ...)yt= 1 1− ϕLyt.

(14)

落後運算元

利用落後運算元,時間序列yt的一階差分可以表示為:

∆yt= yt− yt−1= yt− Lyt=(1 − L)yt, k階差分為:

kyt= yt− yt−k = yt− Lkyt =(1 − Lk)yt.

(15)

時間序列資料性質

落後運算元

我們還能定義落後運算多項式(polynomial in the lag operator)。 定義(p階落後運算多項式)

ϕ(L) = 1 − ϕ1L− ϕ2L2− ⋯ − ϕpLp=p

j=0

ϕjLj, 其中ϕ0= 1.

因此,

ϕ(L)yt =(1 − ϕ1L − ϕ2L2− . . . − ϕpLp)yt

= yt− ϕ1yt−1− ϕ2yt−2− ⋯ − ϕpyt−p

(16)

落後運算元

p → ∞,我們也可以定義無窮期落後運算多項式:

定義(無窮期落後運算多項式)

ϕ(L) = 1 − ϕ1L− ϕ2L2− ⋯ =

j=0

ϕjLj, 其中ϕ0= 1.

(17)

定態時間序列

弱定態時間序列

定義(弱定態時間序列)

如果對於所有tt− k而言,一個時間序列{. . . , yt−2, yt−1, yt, yt+1, yt+2, . . .}符合以 下條件:

1 E(yt) = E(yt−k) = µ.

2 Var(yt) < ∞.

3 Cov(yt, yt−k) = E(yt− µ)(yt−k− µ) = γ(k).

則我們稱yt為弱定態(weak stationary),又稱共變異定態(covariance stationary), 是簡單地稱之為定態(stationary)

(18)

弱定態時間序列

簡單地說,一個時間序列為弱定態的條件為

1 該時間序列的均數為常數,不隨時間變動而改變。

2 該時間序列的變異數為有限。

3 該時間序列的自我共變異數為k的函數,t無關。

(19)

定態時間序列

嚴格定態時間序列

定義(嚴格定態時間序列)

如果對於任何k,以及(t1, t2, . . . , tn),

(yt1, yt2, . . . , ytn)= (yd t1+k, yt2+k, . . . , ytn+k) 則稱時間序列yt為嚴格定態。

換句話說,若時間序列yt為嚴格定態,則其聯合機率分配不會因為時點 改變而改變(invariant under time shift)。

性質(嚴格定態與弱定態)

如果時間序列yt為嚴格定態且E(y2t) < ∞,yt必為弱定態。

(20)

嚴格定態時間序列

定義(白雜訊)

給定時間序列t}具有以下性質

1 Et)=0 ∀ t

2 E(εt2) = σ2 ∀ t

3 E[εtεt−k]=0 ∀ k, t

則稱εt為白雜訊,且以

εt∼ W N(0, σ2).

表示之。

不難發現白雜訊就是一個定態的時間序列。

(21)

定態時間序列

嚴格定態時間序列

:一個電腦模擬出來的白雜訊εt∼ W N(0, 1)

(22)

樣本動差

定義(樣本自我共變異數與樣本自我相關係數)

1 樣本自我共變異數

γ(k)ˆ =Cov(ŷt, yt−k)= 1 T

T

t=k+1

(yt− ¯y)(yt−k− ¯y).

2 樣本自我相關係數

ρ(k)ˆ = Cov(ŷt, yt−k) Var(ŷt) = 1

T

T

t=1

(yt− ¯y)2.

其中y¯= T1Tt=1yt為樣本均數。

(23)

樣本動差

樣本動差

一個時間序列的自我相關係數越高,我們就稱此序列的持續性越大 (persistent)。

通常我們以一階自我相關係數來檢視一個時間序列的持續性。

(24)

樣本一階自我相關係數

變數 ρˆ1

國內生產毛額 0.976

匯率 0.983

消費者物價指數 0.992 物價膨脹率(月增率) -0.098 物價膨脹率(年增率) 0.817

國內生產毛額,匯率,以及消費者物價指數均為對數值。

(25)

固定趨勢

固定趨勢

一個簡單的時間序列模型就是固定趨勢模型:

yt= β0+ β1Timet+ εt, εti.i.d. (0, σ2).

其中Timet為時間的虛擬變數,1期時Time1 = 1,2期時 Time2= 2,...依此類推,則Timet= t

因此,若我們有時間序列資料{yt}Tt=1,則固定趨勢模型可寫成: yt= β0+ β1t + εt.

(26)

固定趨勢

固定趨勢未必是線性,也可能存在二次式: yt= β0+ β1t + β2t2+ εt, 甚至是更高階次均有可能:

yt = β0+ β1t + β2t2+ ⋯ + βktk+ εt.

以上的模型都可以用最小平方法予以估計,此時我們的解釋變數為時間 的虛擬變數: t = {1, 2, . . . , T}。

(27)

固定趨勢

固定趨勢

我們以國內生產毛額為例,估計出來的線性固定趨勢模型為 yˆt= 11.85583

(0.041673)

+ 0.025129 (0.000504)

t,

二次式固定趨勢模型為

t= 11.32318 (0.013957)

+ 0.047635 (0.000451)

t + −0.000157 (0.00000)

t2.

(28)

固定趨勢

:GDP的固定趨勢一次式模型

-.8 -.6 -.4 -.2 .0 .2 .4

11 12 13 14 15 16

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

(29)

固定趨勢

固定趨勢

:GDP的固定趨勢二次式模型

-.2 -.1 .0 .1 .2

11 12 13 14 15 16

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

R es idual A ctual F itted

(30)

固定趨勢

利用固定趨勢模型所得到的殘差項: εˆt= yt− ˆyt 就是去除固定趨勢後之資料(detrended data)。

(31)

季節性

季節性

有時我們的時間序列資料會因 「一年之間」 季節或是曆日更替而存 在一個規律的循環,我們稱為時間序列資料的季節性。

四季變化當然是重要的季節性因素,然而,所謂的季節性並不侷限於 氣候變化。 舉例來說,夏季對於電力需求較高,農產品的生產因氣候 變化而增減,以及零售業銷售量因假日(如美國的感恩節與聖誕節 假期)而增高。

此外,季節性是定義在 「一年之間」 的規律循環,如果時間序列資料 為年資料或是其資料頻率低於一年,則沒有季節性的問題。

(32)

季節性

:澳洲紅酒的月銷售量(1980:1–1995:7)

400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 Monthly Australian Sales of Red Wine

(33)

季節性

季節性

一般而言,除非季節性因素是研究的重點,季節調整(seasonal

adjustment)是我們對於季節性時間序列最簡單的處理方式。

許多時間序列資料在公布時已經做過季節調整,如美國普查局(the U.S. Census Bereau)發展並使用X-11X-12調整法。

EViews提供我們許多不同季節調整選項,此外,你也可以利用虛擬

變數(dummy variables)以迴歸模型將季節性去除。

(34)

季節性

季節 D1 D2 D3 春季 1 0 0 夏季 0 1 0 秋季 0 0 1 冬季 0 0 0

(35)

季節性

季節性

:澳洲紅酒的月銷售量與三種不同方法下的季節調整後數列

400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

1980 19821984 19861988 19901992 1994 Monthly Australian Sales of Red Wine

800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600

19801982 1984 19861988 19901992 1994 WINE_DUM

800 1200 1600 2000 2400 2800 3200

1980 19821984 19861988 19901992 1994 WINE_SA11

800 1200 1600 2000 2400 2800 3200

19801982 1984 19861988 19901992 1994 WINE_SA12

(36)

季節性

:三個不同方法下的季節調整後數列之間的相關係數 WINE DUM WINE SA11 WINE SA12

WINE DUM 1 0.9607 0.9606

WINE SA11 1 0.9999

WINE SA12 1

參考文獻

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