LDV模型參數估計

國 立 交 通 大 學

統計學研究所

碩 士 論 文

LDV 模型參數估計

LDV Model Parameter Estimate

of Transaction Costs

研 究 生：黃國瑋

指 導 教 授：洪慧念 教授

LDV Model Parameter Estimate

of Transaction Costs

研 究 生：黃國瑋

Student： GUO–WEI HUANG

指 導 教 授：洪慧念

Advisor： HUI – NIEN HUNG

國 立 交 通 大 學

統計學研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Statistics

College of Science

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Statistic

June 2012

 

i   

LDV Model Parameter Estimate

of Transaction Costs

研 究 生：黃國瑋 指 導 教 授：洪慧念

國立交通大學統計學研究所

摘要

在股票交易上交易成本對於報酬率影響是顯著的，在 David A.

Lesmond 著作的

A New Estimate of Transaction Costs 這篇文章中作者提出一個模型，

這個模型是用來評估交易成本和報酬率之間的關係，但是並沒有說明

模型參數的估計方式，我將會在這篇碩士論文中利用一些統計方法來

估計這個模型的參數，並利用模擬資料來驗證，我估計方法的準確性，

最後我將會使用一些真實料，利用我所推出的估計方法找出最佳參數

的估計結果。

誌謝

首先這篇論文能完成，要感謝的是我的指導老師洪慧念教授，

在碩士的求學過程中，覺得自己很幸運可以在洪老師的教導

下學到很多新知，他告訴了我很多人生道理，並鼓勵我多參

與學術活動，使得我這兩年的碩士生活多采多姿，遇到問題

不管是論文上的還是程式上的，老師都很樂意提供我想法，

也因此能做出這篇論文。最重要的還是要感謝洪老師的栽培

與教誨，再來我要感謝碩士生涯中陪伴我的同學他們所給予

的幫助與幫忙，給了我想法給了我動力。

最後謝謝口試委員王維菁教授，黃信誠老師，徐南蓉教授在

百忙之中聽我口試。

  iii   

目錄

摘要 一、 Introduction………1 二、 介紹方法&方法流程……….7 2-1 Bayesian……….7

2-1-1 Gibbs Sampling Estimator……….…….10

2-1-2 Alpha1 & Alpha2 Distribution………....11

2-1-3 Beta Distribution……….12 2-1-4 Sigma Distribution………..13 2-1-5 R ∗ Distribution………14 2-1-6 Gibbs Sampling 方法過程……….14 2-2 Frequentist………17 2-2-1 EM Method………17 2-2-2 Beta MLE………..19 2-2-3 Sigma MLE………...20 2-2-4 EM 方法過程………21 2-2-5 EM 詳細流程…………………23 三、 模擬結果……….25

3-1 Gibbs Sampling Simulation Result……….25

3-2 EM Simulation Result……….26

四、 真實股市資料兩種方法估計結果………27

4-1 Gibbs Sampling Result………27

4-2 EM Result………27

五、 驗證……….28

一、Introduction

在股票市場裡，股票交易的交易成本對於投資報酬率的影響是顯著的，原因是在 股票交易的過程中會產生各種費用，以台股交易為例可簡單舉出兩種交易成本： 現股交易交易成本 1.手續費：手續費為買賣金額的千分之 1.425，不管是在進行買進或者是賣出的動作都 要收取一次手續費，不同的卷商對手續費打的折扣也不一定一樣，一般卷商會在六折上 下，小卷商會有比較優惠的折數最好可以到3 折左右。 舉例來說：你買了一張50 元的股票，手續費 50 ∗ 1000 ∗ 0.001425 71.25 也就是71 元，之後根據卷商打折的折數去計算手續費金額；必須注意的是有些卷商會 有最低手續費每筆最低20 元的限制，假設打完折後是 5 元但因最低手續費限制就必須 付20 元 。 2. 證卷交易稅：每一次的"賣出" ，都會收一次證卷交易稅，稅率是千分之 3 信用交易交易成本 3. 融資 看漲 ：付出一筆"融資利息"，跟卷商借部分的錢來買股票，至於可以 借多少錢就要看融資成數，上市證卷原則上融資6 成，上櫃證卷原則上融資 5 成。 舉例來說：要融資買進一檔50 元的股票 上市 融資的金額為：50 元 ∗ 1000 股 ∗ 0.6＝30000 元也就是在買進股票的過程中跟券商 借了30000 元。 其中這30000 元的利息計算方式為：融資利息 融資金額∗ 融資利率 ∗ 天數/365 舉例來說： 6 月 1 日融資買進 2882 國泰金一張，成交價位 50 元，6 月 9 日融資賣出 2882 國泰 金一張，成交價位52 元，利息天數共 8 日，融資利率為 5.975%。 融資利息 50,000 ∗ 0.6 ∗ 5.975% ∗ 8/365 39 元 小數四捨五入

  2    4. 融卷 看跌 ：付出一筆"借卷費" 以及足夠的保證金，跟卷商借卷來賣，卷商會提 供給保證金一點點利息。 借券費 成交單價∗ 成交股數 ∗ 借券費率；借券費率一般為 0.1% 舉例來說： 66 元 x 1000 股 x0.1% 66 元 上市上櫃證券原則上融券九成，故融券保證金 成交單價∗ 成交股數 ∗ 融券成數 ※若是作空期間標的物上漲，保證金必須給足成數否則將會提前結束交易。 舉 例 說 明 ：66.2 元 x1000 股 x0.9＝ 59,580 元 融 券 保 證 金 59,600 元 百元為單位

在 David A. Lesmond 1999 ：A New Estimate of Transaction Costs 這篇論文中 提出一個LDV 模型，這個模型是用來評估交易成本和報酬率短期時間內的關係， LDV 模型中假設：報酬率 常數∗ 市場報酬率 誤差 R ∗ βR ε ， ~N 0，σ 是一個正確的報酬率模型。 其中：R ∗是該家公司真實市場報酬率，由於我們無法完完全全得知一家公司 內部的情況，不論是財務狀況或者貨品銷售狀況皆是如此，所以一家公司真正的 獲利情況我們是無法得知的，所以一家公司真實市場報酬率R ∗是未知的。 R 稱為市場報酬率為無風險報酬率加上市場平均風險報酬率 風險溢酬 ， 其中無風險利率約等於國庫卷的利率。 由於 R ∗是未知的，我們以R 作為他的估計值用來衡量這家公司的表現， R 可以稱為報酬率估計值也可以稱為期望報酬率，R 產生方式如下： 先將R ∗以α ，α 分為三個區塊，其中α 為負訊息門檻，α 為正訊息門檻 。 若時間點t 的R ∗小於α ，我們就會認為這個時間點是虧損的，此時時間點 t 的 的R 取為R ∗ α ，R ∗是落在Region 1，我們將這個時點歸類於 group 1，R 計算過程中R ∗減去α 是因為α 也是交易成本的估計值，所以期望報酬率

R 等於真實報酬率 R ∗ 減掉交易成本。在 1 page5 會舉例子說明 若時間點 t 的R ∗是大於α 的，則將時間點 t 的R 取為R ∗ α ，此時R ∗ 是落在Region 2 的，且我們將這個時點歸類於 group 2。 最後一個區塊代表時間點t 的R ∗是介於α 和α 之間此時我們無法判斷出它獲利的 情形，故將這個時間點t 的R 令為 0，0 的意義是指無法判斷獲利表現，並且把這 個時點歸類於group 0。 也就是： R R ∗ α if R ∗ α note by group 1 R 0 if α R ∗ α note by group 0 R R ∗ α if R ∗ α note by group 2 在此模型中 R ：為 t 時間點市場的報酬率 R ：某家公司時間點 t 報酬率估計值 R ∗：某家公司t 時間真實報酬率 α ： the threshold for trades on negative information 負訊息門檻 α ： the threshold for trades on positive information 正訊息門檻

及賣出同一證券，買進時付出成本α 賣出時得到成本α ，所以短線交易交易成本就 是付出的α 扣除得到的α ，所以我們能透過這個差值的大小評估短線交易對報酬率 的影響。 α 和α 如何影響交易成本 1 在 LDV 模型中α 代表的是當真實報酬率大於α 時才算是獲益，這個現象是因為 股票交易方式造成的 例子： 假設：某檔股票在 1 個月後會有 10%的報酬率 R ∗ ，假設現值50 元 1 個月後 會漲到55，在訊息出來時掛買單變多 ，最後能成交的價格可能是 52 成交。也就是 說必須要用52 元買了一個現在最低價值為 50 元股票，2 元就是交易成本買的是一個 未來，未來指的是股價之後的趨勢，2 元換算成報酬率的話是 4% α 只有在 A 公司 股價報酬率大於4%時投資才獲利，若 1 個月後股價報酬率真的達到 10%，實際收益 在不考慮折現的情形下為6% R 。 這意味著某檔股票就算未來表現會不錯，當有意願投資這檔股票的人很多時，我 們的投資也會付出較高的交易成本，也因此會影響我們的報酬率所以我們在評估他的 報酬率時才會以R ∗ α 作為我們的估計值R 。 α 代表的是當真實報酬率小於α 時才算是虧損，這也是因為股票交易方式造成的 只是這時候我們對於未來趨勢是看跌 不是看漲。 舉例說明 假設：某檔股票在 1 個月後會有負 20%的報酬率 R ∗ ，也就是現值50 元 1 個月 後會跌到40 在訊息出來時掛賣單變多 ，最後能成交的價格可能是 45 成交。也就是說 現在是用45 元價格買了一個現在價值為 50 元股票，當中的差值負 5 元就是交易成本 買的是一個未來趨勢，負5 元換算成報酬率的話是負 10% α ，只有 A 公司報酬率小 於負10%這次的交易才算是虧損。若 1 個月後股價真的跌到 40，實際虧損在不考慮 折現的情形下為負10%。

  6    其中交易成本是負 10%是合理的，這是因為如果我是股票持有人當我認定未來趨 勢會跌這時我必然會想拋售我的股票 ，但是因為股票成交方式我必然必須壓低我拋售 的金額，且對於買方而言我不但會賣給他股票還會同時把"未來趨勢的風險"一起賣出去 ，也因此為了讓買方願意承擔"未來趨勢的風險" 壓低的價格會使得買方的交易成本為 負值。 如果我是投資人當我認定某支股票未來會漲這時我必然會想買進股票 ，但是因為 股票成交方式我必須開出比較高的金額才有可能買到，對於買方而言我不但會買到這 張股票還會同時把"未來趨勢的希望"一起買進來，所以交易成本為正值。 這這些例子中我們能看到交易成本大小對於報酬率的影響性以及α 和α 的意義 在接下來的章節中我們會介紹方法以及驗證這些方法的準確性並且將這些方法運用 在真實資料中。

二、介紹方法&方法流程

二、1 Bayesian 我將利用 data augmentation 以及 Gibbs sampling 來幫助我估計參數。 介紹 Gibbs sampling 以兩變數為例子：若 P X，Y 聯合分配未知，但是我們知道他的條件分配 P X|Y 和P Y|X ，這種情況之下我們可以用亂數產生樣本來推論聯合機率分配的長相。 Gibbs sampling 演算法： 2 Given initial value y for i 1~N x 由 P X|Y y 生成 y 由 P Y|X x 生成 生滿N 組樣本後推論 P X，Y Example：assume real distribution of P X，Y is BN μ 2₃ ，Σ 10 3_{3 2} we know that P X|Y y N 2 3 √10 ∗ 2∗ 10 2 ∗ y 3 ，10 ∗ 1 3 10 ∗ 2 P Y|X x N 3 3 √10 ∗ 2∗ 2 10∗ x 2 ，2 ∗ 1 3 10 ∗ 2

可以很明顯看出 Gibbs sampling 生成結果和真實分配外型很相似，在 Sample size 1000 下平均和變異數和真實值差距並不大。 mean x var x 1 2.072584 1, 10.64462 mean y var y 1 2.990774 1, 2.269077 也就是說對於未知的分配 P X，Y 如果我們知道 X 和 Y 個別的條件分配我們就能 對P X，Y 做推論。 因為Gibbs sampling 的特性，我們嘗試著解決這個模型參數估計的問題 觀察Model： R ∗ βR ε ~N 0，σ R R ∗ α if R ∗ α note by group 1 R 0 if α R ∗ α note by group 0 R R ∗ α if R ∗ α note by group 2 已知：likelihood function L α , α , β, σ R , R 3 Π group 1 1 σφ R α βR σ ∗ Π group 2 1 σφ R α βR σ ∗ _{group 0 Φ}Π α βR σ Φ α βR σ 其中φ . 是標準常態的 PDF，Φ . 是標準常態的 CDF prior distribution ：p α , α , β, σ R , R 1/σ

  10    二、1 1 Gibbs Sampling Estimator 為簡化問題假設：R ∗ 已知 式子 3 可簡化為： p α , α , β, σ π α , α , β, σ R , R , R ∗ Π group 1 1 σφ R α βR σ ∗ Π group 2 1 σφ R α βR σ ∗ _{group 0}Π 1 σφ R ∗ βR σ 其中φ . 是標準常態的 PDF 。 推出個別條件分配： f α α , β, σ , R , R , R ∗ π α , α , β, σ R , R , R ∗ π α , α , β, σ R , R , R ∗ dα ∗ Π 1 1 σ φ R α βR σ Π 1 1 σ φ R α βR σ dα ∗ 1 √2π σ √#1 ∗ exp ₂1 α ∑ R βR #1 σ √#1 Φ min R ∗ ∑ R βR #1 σ √#1 Φ 1 ∑ R βR #1 σ √#1 # k is number of group k

二、1 2 Alpha1 & Alpha2 Distribution 得出： α α , β, σ , R , R , R ∗ ~N ∑ R βR #1 ， σ #1 min R ∗ 1 同理： α α , β, σ , R , R , R ∗ ~N ∑ R βR #2 ， σ #2 1 max R ∗ # k is number of group k

其中min R ∗ 是 minmum R ∗ of group 0 其中max R ∗ 是 maxmum R ∗ of group 0

f β α , α , σ , R , R , R ∗ π α , α , β, σ R , R , R ∗ π α , α , β, σ R , R , R ∗ dβ Π 1 1 σ φ R α βR σ ∗ Π2 1 σ φ R α βR σ ∗ Π0 1 σ φ R ∗ βR σ Π 1 1 σ φ R α βR σ ∗ Π₂ 1σ φ R α βR σ ∗ Π0 1σ φ R ∗ βR σ dβ Π 1 1 σ φ R α βR σ ∗ Π2 1 σ φ R α βR σ ∗ Π0 1 σ φ R ∗ βR σ 1 2πσ exp ∑ R α ∗ R ∑ R α ∗ R ∑ R ∗ R ∗ ∑ R ∗ √π√W exp _2σ1 ∑ R α βR ∑ R α βR ∑ R ∗ βR 1 2πσ exp ∑ R α ∗ R ∑ R α ∗ R ∑ R ∗ R ∗ σ ∑ R ∗ √π√W 當中：W 1 2σ R exp ₂1 β ∑ R α ∗ R ∑ R α ∗ R ∑ R ∗ R ∗ ∑ R σ ∑ R √2π σ ∑ R

  12    二、1 3 Beta Distribution 得出： β α , α , σ , R , R , R ∗ ~N M，Σ 其中 Μ ∑ R α ∗ R ∑ R α ∗ R ∑ R ∗ R ∗ ∑ R Σ σ ∑ R f σ α , α , β, R , R , R ∗ π α , α , β, σ R , R , R ∗ π α , α , β, σ R , R , R ∗ dσ Π 1 1 σ φ R α βR σ ∗ Π2 1 σ φ R α βR σ ∗ Π0 1 σ φ R ∗ βR σ Π 1 1 σ φ R α βR σ ∗ Π₂ 1σ φ R α βR σ ∗ Π0 1σ φ R ∗ βR σ dσ Π 1 1 σ φ R α βR σ ∗ Π2 1 σ φ R α βR σ ∗ Π0 1 σ φ R ∗ βR σ 1 2 ∗ 2π1 ∗ 1W ∗ Γ n2 1 2 ∗ 1σ exp W σ1 1 W ∗ Γ n 2 1 當中W 1 2∗ R α βR R α βR R ∗ βR 則Y 1 σ α , α , β, R , R , R ∗ 的分配為 f y f y ∗1 2∗ y 2 ∗ y ∗ exp y ∗ W 1 W ∗ Γ n 21 ∗1 2∗ y

y ∗ exp y ∗ W 1 W ∗ Γ n 2 1 二、1 4 Sigma Distribution 得出： 1 σ α , α , β, R , R , R ∗ ~Gamma α n 1 2 ，β 1 W 其中 n ：sample size W 1 2 R α βR R α βR R ∗ βR 由於當初我們為了簡化問題我們假設了 R ∗是已知的，所以我們必須設法去模擬 R ∗的資料且這筆模擬的R ∗ 必須合乎於當前參數估計的結果，也因此我們必須推導 R ∗的分配。 觀察Model R ∗ R α note by group 1 α R ∗ α note by group 0 R ∗ R α note by group 2 不難發現 group 1 的 R ∗ 是可以直接以 R α 來做為估計值同理 group 2 的 R ∗也可以直接以 R α 作為估計值 唯有 group 0 的 R ∗ 是需要生成的，也因此 我們針對group 0 推導R ∗的分配。

f R ∗ some t , t ∈ group 0 α , α , β, σ , R , R , given all t 1 σ φ R ∗ βR σ 1 σ φ R ∗ βR σ dR ∗

  14    1 √2πσexp 1 2 R ∗ βR σ Φ α βR_σ Φ α βR_σ 二、1 5 R ∗ Distribution 得出：

R ∗ some t , t ∈ group 0 α , α , β, σ , R , R , given all t ~N βR ，σ |α_α

二、1 6 Gibbs sampling 方法過程： 已知：R 為 t 時間時市場的報酬率，R 為某家 第 j 家 公司的報酬率 1. determining the number of sample size n given initial parameter α , α , β , σ PS: 1 α α 1 And σ 0 2. 觀察R 的正負將資料分組 R 0 為 group 2 R 0 為 group 1 R 0 為 group 0 3. Use

R ∗ some t , t ∈ group 0 α , α , β, σ , R , R , given all t ~N βR ，σ |α_α

And relation

R ∗ R α note by group 1 R ∗ R α note by group 2 generator corresponding R ∗

4.

Calculate：

minmum R ∗ of group 0 denote by min R ∗ And maxmum R ∗ of group 0 denote by max R ∗

Use： α α , β, σ , R , R , R ∗ ~N ∑ R βR #1 ， σ #1 min R ∗ 1 α α , β, σ , R , R , R ∗ ~N ∑ R βR #2 ， σ #2 1 max R ∗ generator：α and α

storage： α and α Each time replace： old α and old α 5. Calculate： Μ ∑ R α ∗ R ∑ R α ∗ R ∑ R ∗ R ∗ ∑ R Σ σ ∑ R Use： β α , α , σ , R , R , R ∗ ~N M，Σ generator：β storage： β Each time replace： old β 6. Calculate： W 1 2 R α βR R α βR R ∗ βR

  16    Use： 1 σ α , α , β, R , R , R ∗ ~Gamma α n 1 2 ，β 1 W generator：σ storage： σ Each time replace： old σ Above 3~6 Called one cycle 7. do100,000 cycle 8. Calculate four groups parameter median ，As a result。

二、2

Frequentist

EM Estimation Maximization 介紹 假定：有一筆data 分為兩個部分 Observed data X x ，x ， … ，x Unobserved data Z z ，z ， … ，z h are the parameters 定義：P X，Z h 是參數的機率分配函數；其中(X，Z) is the full data EM Algorithm： 給定參數起始值h Estimation E step： 計算 E P X，Z h 其中：利用 observed X 和 當前參數 h 去估計 Z Maximization M step： 找出使得 E P Y|h 為最大值的h 並取代掉先前的參數 h 重複地去做 E step和 M step直到h 和先前的參數差異不大時， h 就是我們參數 h 的估計結果。 二、2 1 EM Method Model： L L α , α , β, σ R , R π 1 σφ R α βR σ ∗ π 1 σφ R α βR σ ∗ π Φ α βR σ Φ α βR σ 其中φ . 是標準常態的 PDF，Φ . 是標準常態的 CDF

  18    Analysis ： L 為一個 4 參數的概似函數，若使用 MLE 我們必須計算出個別參數的估 計值在計算上是一個很大的困難條件也非常多，為了簡化計算我將α , α 先固 定起來也就是我們的 Model 由 L α , α , β, σ R , R 簡化為L β, σ α , α , R , R 再求解 MLE 找出 β, σ 的估計值。 觀察： L β, σ α , α , R , R π 1 σφ R α βR σ ∗ π 1 σφ R α βR σ ∗ π Φ α βR σ Φ α βR σ 可以看出在求解β, σ 的 MLE 時π Φ α βR σ Φ α βR σ 計算上有些許複雜也因此我們在對這區域做些簡化 Analysis ： π 這個區域為 group 0 代表：R ∗ ∈ α ，α 其中R ∗ βR ε ， ~N 0，σ ⇒ in group 0 R ∗~N βR , σ | ∴ π Φ α βR σ Φ α βR σ ⇒ π 1 σφ R ∗ βR σ φ . 是標準常態的 PDF Model： L L β, σ α , α , R , R π 1 σφ R α βR σ ∗ π 1 σφ R α βR σ ∗ π 1 σφ R ∗ βR σ ⇒ ln L ln L β, σ α , α , R , R

1 2 ln 2πσ ， ， R α βR σ R α βR σ R ∗ βR σ 此時 Observed data R , R Unobserved data R ∗ group 0 則在α , α 固定下 也就是㏑ L β, σ R , R , α , α 我們有意願尋找 β, σ 的最佳解， 所以我們去尋找β, σ 的 MLE 二、2 2 Beta MLE ∂ ln L β, σ α , α , R , R ∂β 1 σ R α βR R R α βR R R ∗ βR R 0 ⇒ R α ∗ R R α ∗ R R ∗ R ∗ β R ， ， ⇒ β ∑ R α ∗ R ∑ R α ∗ R ∑ R ∗ R ∗ ∑ R 其中R ∗以E X 估計 X~N βR , σ | E X βR σ ∗ φ α βR σ φ α σβR Φ α _σβR Φ α _σβR

  20    二、2 3 Sigma MLE ∂ ln L β, σ α , α , R , R ∂σ 1 2 ∗ ∂ ∂σ ln 2πσ R α βR σ R α βR σ R ∗ βR σ 1 σ R α βR σ R α βR σ R ∗ βR σ 0 ⇒ R α βR σ R α βR σ R ∗ βR σ n σ ⇒ σ ∑ R α βR ∑ R α βR ∑ R ∗ _{2βR R} ∗ _{β R} n 其中 R ∗ 以E X 估計，R ∗以E X 估計 X~N βR , σ | E X E X σ 1 α βR σ φ α σβR α σβR φ α σβR Φ α _σβR Φ α _σβR φ α _σβR φ α _σβR Φ α _σβR Φ α _σβR

  24    E X E X σ 1 α βR σ φ α σβR α σβR φ α σβR Φ α _σβR Φ α _σβR φ α _σβR φ α _σβR Φ α _σβR Φ α _σβR 估計β，σ → 取代掉舊的 β ，σ 結果計為β ，σ 重新估計 β，σ → 取代先前估出的β ，σ 重新估計 β，σ → 取代先前估出的β ，σ … 做到收斂為止 收斂代表的是前一次估計結果和這次估計結果差不多，在此公式之下5 次就能 得到不錯的結果 。 假定收斂在第k 次計為 β ，σ 計算 ln L β, σ α , α , R , R 並和 max 概似值比較 若 ln L β, σ α , α , R , R max 概似值 紀錄 α ，α ，β ，σ 並將 α ，α 計為 α ∗_，α ∗ 4. 將 α ∗_，α ∗ _{作為這中心點考慮前次間距內的所有點 以前次間隔的} 1 10做切割 如圖：

在市場概況不佳的情況下估計出一致的結果，這代表著LDV 模型所估計出的α 和α 能充分反應出市場狀況 。故我們能透過α 和α 的值判斷出正確

的交易成本並且判斷出影響證卷報酬率的程度。 References

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