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版權

©2019 本書版權屬香港特別行政區政府教育局所有。本書 任何部分之文字及圖片等,如未獲版權持有人之書面同意

,不得用任何方式抄襲、節錄或翻印作商業用途,亦不得 以任何方式透過互聯網發放。

ISBN 978-988-8370-81-8

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School Mathematics Newsletter(SMN)

Foreword

The School Mathematics Newsletter(SMN)is for mathematics teachers. SMN aims at serving as a channel of communication for mathematics education in Hong Kong. This issue includes articles written by academics and teachers. The first three articles are contributed by academics about their insightful views on Mathematics education. Other articles involve different areas, including suggestions of effective strategies in implementing school-based STEM education; learning and teaching of mathematics on specific topics; strategies to promote reading to learn in mathematics; story about history of mathematics and gifted education in mathematics, etc. I hope all the readers can get some fascinating insights in mathematics education.

SMN provides an open forum for mathematics teachers and professionals to express their views learning and teaching in mathematics. We welcome contributions in the form of articles on all aspects of mathematics education. Please send all correspondence to:

The Editor, School Mathematics Newsletter,

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Room 403, Kowloon Government Offices 405 Nathan Road

Yau Ma Tei, Kowloon

email: schmathsnewsletter@gmail.com

We extend our thanks to all who have contributed to this issue.

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Contents

Page

Foreword

Contents

1.  我們對數學教育的看法 

張僑平、梁玉麟、陳葉祥、黃家鳴、黃毅英、鄧國俊 ... 6  2.  數學教育與價值觀的培養 

鄧國俊 ... 17 

3.

  動手操作學數學:在

STEM 思維之下

 

譚克平、謝舒琪 ... 33 

4.

  由一個非一般的解題方法到《九章算術》的工程問題  李柏良 ... 43 

5.

 

Heron’s Formula Revisited

 

CHAN Sai-hung , LEE Kwok-chu ... 56 

6.

  自主學習之數學科閱讀指導經驗分享 

張樂華老師 ... 72 

7.

  小學數學教師的裝備 

羅錦輝老師 ... 88 

8.

 

The role of Mathematics in STEM education

 

TONG Man-ling ... 98 

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9.  自主學習的反思 — 興趣為先 

吳專色老師 ... 104  10. 

Implementation of STEM Education in Secondary

School

 

CHENG Po-chun ... 109  11. 李善蘭 尖錐術 

鄧廣義老師 ... 126  12. 「STEAM 教育」的推行 

李永佳老師、黃碧瑤老師、楊承峻老師 ... 137 

13.

 

Design Rationale and Implementation of Summer

Gifted Programs for Mathematically Gifted Students

  KWAN Cheuk-kuen, Anderson ... 144 

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1. 我們對數學教育的看法1

張僑平2、梁玉麟3、陳葉祥4、黃家鳴5、黃毅英6、鄧國俊7 前言

任何時期都會有人提出新的教育政策、理念和構想。這些 可能來自教育行政當局、教育學者、國際趨勢甚至各界人 士。作為關心教育的人,我們除了逐一回應這些新舉措外,

也必須了解自身的取向和立場,否則容易變成無奈執行又 或只能在這些新猷的既定框架內討論。

本文的作者是幾個志趣相投的數學教育工作者,在一段時 期,我們透過電郵、手機社交應用程式等討論這幾年在香 港教育界,特別是數學教育界推出的一些新意念。本文綜 合了當前的這些新意念以及我們的想法,於這裏和大家分 享。

數學的本質

1. 要探討數學教育,先須了解數學的本質。雖然學科之間 不是壁壘分明,但隨著它悠久的歷史發展,數學已形成 了一門「知識領域」(discipline),且成為人類文化的 一個重要組成部分。所謂知識領域,是它擁有與其他知

1作者按筆畫序。

2香港教育大學。

3香港浸會大學。

4香港中文大學。

5

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識領域不同的詮釋、解讀不同現象的方式以及特有的處 理和解決問題的取向與方法。

2. 一般來說,數學(包括概念、法則、技巧和方法等)的 發展和形成是人們在觀察現實世界時提取了一些關鍵 因素然後歸納出通則和規律(pattern),而從這些通則 和規律中提煉出一些數學對象(mathematical object)。

例如人類活動中涉及「分物」,逐漸提錬出數字這數學 對象,並探討除法及其法則。在抽象過程中,可能會超 越實際情境的考慮,但卻可以發展和形成獨特的數學方 法去詮釋、解讀現實世界。數學的發展亦會進一步抽象 到更高深、較遠離現實世界的數學(例如由物件數量到 數字,然後到代數及數系等)。這就是在《為甚麼要學 習數學?》8中所說的,數學「源於生產實踐」、「從『歸 納』到『演繹』」的過程。例如我們把自由落體看待成 二次方程,我們假設自由落體是一個點(即「點質量」:

point mass)的運動軌跡,中間除了涉及抽象化,也涉及 理想化。

3. 所謂用數學方法處理問題,不局限於用現有、既定的數 學解讀現象,也可以包括在出現相對複雜的現象時衍生 出新的數學分支。

8蕭文強(1978)。《為甚麼要學習數學》。香港:學生時代出版 社。(第二版)香港:香港新一代文化協會(1992)。(增訂 本)台北:九章出版社(1995)。

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4. 上面(第 2 點)所說的數學對象超越了實際情境的考慮,

亦有程度之別。以上面自由落體為例,當我們把風速、

浮力等考慮在內,形成更細緻的數學建模時,這便又考 慮了實際情況。無論如何,由於數學重視可推廣性,故 此從各種現象抽象起來、逐漸擺脫具體個別實際情境是 必要的。

大眾數學

5. 承接第 1 點,數學既自成一門知識領域,它就如藝術等 一樣,不是每個人都需要學,也不一定人人都能學會。

故此也未必人人都可以進入「數學內圍」(esoteric mathematics)9。縱使如此,我們還是認為數學的某些元 素,尤其是數學思考和問題解決方法,對普羅大眾(並 非從事數學或相關行業的人)是有所裨益的。認識到數 學的這種價值,從事數學研究或者數學教育的人就需要 有更開放的心態,讓不同的人有機會接觸甚至受益於不 同程度、不同方面的數學。倘若把數學局限在一小撮有

「數學天賦」的人身上,這就和「人人都有機會接觸不 同知識領域和發揮潛能」的社會趨勢背道而馳。數學既 然作為人類文化的一部分,一般人能夠學會從「數學的 角度」或方式看待周圍的事物自然是有價值的。這便是

「大眾數學」的基礎。

6. 雖然說普羅大眾可能只需要數學思考和問題解決的方 法(所謂「過程」:process)等元素,甚至他們在成年人

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生活中根本用不著技術層面的數學內容10(或「結果」: product)。不過,雖然學任何課題都是希望藉之培養數 學思考和問題解決的方法,但這些方法又不能空洞地培 養,仍需透過學習代數運算技能和幾何證明的技巧等 等,來學習其中的數學思考、推理和問題解決。

7. 那麼,我們是否希望所有人總是用「數學角度」去解讀 現象和解決問題呢?以解決問題為例,我們其實可以有 不同方法(包括付錢委託別人解決、祈禱、接受輔 導……),數學未必就是最佳或唯一的解決方法,問題 解決能力的培養也並非數學才有。正如我們不需要事事 都用「藝術角度」去考慮,就算受過基本數學訓練的人 也不必凡事都得用「數學角度」去看待事物。不過,有 受過基本數學訓練的人就有能力(在有需要時)用數學 去解讀和處理問題。正如我們可以用藝術的角度看數學 圖形,也可以用數學的角度解釋藝術。數學的角度給我 們提供了多一種有力的思維方式和解決問題的方法。

8. 綜合上兩點來說,「大眾數學」既不是硬要所有人進入 高等數學又或為了普及而淺化數學這門知識領域,而是 更積極地讓不同人(包括學生)感受到數學可以提供一 套思考方式和解決問題的方法。我們相信兩者並不割 裂。數學思考方式和解決問題的方法能為有志進入高等 數學的學生提供基礎,也能協助學生面對未來世界的挑 戰。

10 如解二次方程、三角學、尺規作圖等。

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數學學習

9. 那麼數學是怎樣學會的呢?當然每個學習者有自己的 學習和建構知識的方式(建構主義的基本想法),但既 然數學基本上是從現實(不局限日常生活,也包括科學 及技術)問題中逐步抽取出關鍵因素,然後用數學技巧 去處理,故此「學」數學基本上便是學懂這個過程11(無 論你會否叫它做數學化過程12)。籠統而言,「教13」數 學便是引領學生走這個過程。

10. 這個過程的其中一端便是生活數學或現實情境數學。它 們可以是引發數學化過程的一個好的開端,但若停留在 此,便很難、甚至不能進入數學的內圍。

11. 不過,數學學習既不是只顧教授數學的技術內容,提供

「作為結果的數學」(mathematics-as-an-end-product14);

也不是停留在用數學去組織(formulate)各種問題(例

11 黃毅英(2007)。數學化過程與數學理解。《數學教育》25 期,

2-18。

12 這個過程在被廣泛引用的 Freudenthal, H.(1991). Revisiting mathematics education (China lectures). Dordrecht, the Netherlands:

Kluwer Academic Publishers 中有不少表述,其中也提到數學化 與設基化、形式化、圖式化(schematising)是近義詞。作者一 直用分詞(participle: “ing”「化」)表明這是一個過程。

13 教的過程十分複雜,於此不贅。這裏所指的只是「成年人世 界」所訂定的一種「假設性學習軌跡」(hypothetical learning trajectory)罷了。

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如我們從文字題中設立了方程後,還得用數學方法去解 方程),又或只是把數學應用到其他知識領域(如科學 及技術)的各種問題上。

12. 用現時已知的數學(即上面所說的「作為結果的數學」)

去解釋一些學生正在學習的數學概念或運算法則(例如 用 ( 10

a

n n

a

2102

a

1101

a

010 ) ( 100

b

m m

b

2102

b

1101

b

010 )0 去 解釋乘法)未必對學生理解數學有很大幫助。反而,我 們應引導學生探討這概念或法則如何逐步發展出來

(「製作過程中的數學」:mathematics-in-its-making15)。

13. 然而,這個數學化或抽象化過程(縱使針對個別課題)

所需的時間可以很長,可能由初小一直到高中(甚至更 後)才能完成。因為在歷史上,一個數學概念(比如函 數,又或負數的運算以至數系的擴展)的建立往往也是 經過漫長的過程。故此,要慎防把數學過早地形式化、

系統化、符號化16

14. 這個學習過程以至上述所說的時間長短,是如何佈置的 呢?雖然歷史基本上不可能重演,「學習」也不完全是 引領學生重新把歷史的路走一遍,但認識數學概念及技

巧在歷史上的演化過程會對上述第 9 點提到的引領學

生(即「教」數學)會有很大的啟示。

15 同註 14。

16 見梁鑑添關於新數學的文章:《抖擻》編輯委員會(1981)。

《香港數學教學論叢》。香港:抖擻。

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數學理解

15. 上面提到借鑑數學的歷史發展,但與此同時,猶如第 9 點所指出,每個學習者有自己的學習和建構知識的方 式。特別地,(多重)表像(representation)當然有助 於學生理解和建構知識,但最重要的是學生能建立內在 表像和自行建構,而非我們規定他們建構哪些表像來。

16. 眾所周知,我們不應讓學生不求甚解,只以成功解題為 指標,要著重理解。但甚麼是理解呢?近代研究均發現

(數學)理解和學生內部知性網絡的連繫的程度(degree of connectedness)、連繫的結構強度有密切關係,概念 性理解和操作性理解密不可分,「先理解後運算」的說 法也未必全面17

17. 讓學生自行建構會否出現不同人得出南轅北轍的概念 呢?從現象圖式學(phenomenography)的觀點來看,縱 使對於同一概念,不同人所建構出來的知性網絡會有所 不同。但沒必要過份恐慌,亦不必刻意壓抑那些「在課 程上不正確」(即不符合課程規範和要求)的連繫,因 為很有可能它們會自然在「社化」的過程被「萎縮」掉。

例如有些人會認為數字有顏色(甚至氣味、喜惡等),

如「2」字是綠色18之類,這是正常不過的。但隨著對數 字「2」的不斷運用,「顏色」一直沒有產生任何作用的

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19,漸漸這關於「顏色」的連繫自然會「消失」掉(正 確來說只是隱藏了)。故此,我們無須刻意禁止學生的 想法,否則,這與鼓勵學生主動建構的理念背道而馳。

如果我們必須為學生佈置「學習軌跡」時,亦要建基於 學生各自的認知結構,而非只考慮數學的知識結構。

18. 在概念性理解和操作性理解之間,建構過程的規範與自 由之間,並不存在一道不可踰越的鴻溝20。例如學習分 數加法,我們引領學生初步理解加法的原理後,仍需讓 他們熟悉操作方式,如擴分、通分等,而在操作不同情 境的分數加法(即運用變式)中加深對分數加法的理解

(反正縱使具備純熟數學訓練的人在進行分數加法時 也只會用擴分、通分等的法則去操作,但到複雜情境時,

他們卻能動用當中的概念)。

19. 社會建構主義學者 Anna Sfard21亦有類似主張。她提出 人類社會中的「常規(例如運算程序)與創造」22(routines

19 當然若有某些數字記憶法用得上又是另話——如顏色因數:

colour factor。

20 同註 11。

21 Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing. New York, N.Y., U.S.A.: Cambridge University Press.

22 例如初中學生學習有向數的加減運算常規時,一方面要認識 和熟稔小學的的加減運算常規,但亦要肯跳出已有框框,建立新 的常規,並將以往所學重新組織理解,創造出新的有向數操作性 和概念性理解。

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and creativity)和「探索與習俗(成規)」23(explorations and rituals)是並存而非互相排斥對立。所以,學生在學 習數學過程中遇到的「潛規則」或非日常生活常見的「嚴

謹數學語言」24,某程度上是不可避免的儀式習俗,學

生要接受這些儀式習俗的洗禮,才可以進入更深層的數 學學習與思考。

數學與共通能力

20. 在第 1 點,我們指出,數學是人類文化的(一種)結晶

25,隨著悠久的歷史發展它已形成了一門知識領域。如

第 2 點所說,數學(猶如其他領域)已逐漸自然地形成 了它的獨特思維及處事方式,例如數學問題解決能力、

科學創意思維、人文的價值觀等,它並不是人為的界定 或「割裂」(compartmentalise)出來的。因此,不能 說學科(包括數學)學習是把知識「割裂」,甚至窒礙 能力培養。學科與跨學科兩者對學生的能力培養是可以 相輔相承的。

23 例如教師教學生用粵語或普通語背誦乘數表,這近似儀式習 俗,基本上每間學校每個課室沒有大分別(用英文來背誦則有頗 大分別),但教師在引導學生探索並建構乘法的操作性和概念性 理解時,教師和學生皆有很多空間去選取不同的教學活動和建 構方式。

24 小學例子可見:陳葉祥(2014)。4

是不是帶分數?《數學教 育》36 期,37-9。

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21. 不過,數學,猶如其他學科一樣,在歷史發展上已形成 其有別於其他學科的思維模式,有不可取代性。雖然學 科、跨學科能力相輔相承,以問題解決為例,一般問題 解決能力和數學問題解決能力有密切關係,但只有前者 算不上是內圍數學的學習,至於是否每人須進入數學的 內圍,前已有討論(見第5 點)。

22. 所以我們不反對各種課程統整26(包括S.T.E.M.27)的課 程措施及跨學科共通能力的培養。不過,正如所有的課 程及教學設計均要小心考慮其目的、實施和成效。於數 學而言,如果一些統整課程聲稱有數學元素,作為課程 實施者和接受學習的人自然就要考究這種統整是否能 帶出有意義的數學學習。縱使數學科需要配合宏觀的教 育政策,數學教育工作者亦應反思政策是否合理及有權 參與其製訂以至檢視其施行與成效。

數學內外

23. 第 13 點 所 說 的 在 數 學 化 過 程 中 學 生 的 準 備 情 況

(readiness)、第 17 點所說的課程與教學的佈置、第 18

點所說的「建構過程」,以及第 19 點所說的「儀式習

俗」,不只需要老師的專業判斷,亦要參考各種教育理 論(如教育心理學、課程論,甚至哲學、社會學等)所 提供的學理基礎和建議。

26 課程統整的其中一個目的在於打破學科「樊籬」。

27 Science, Technology, Engineering, Mathematics:指科學、技術、

工程、數學。這其實蘊含四個板塊的課程統整。

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24. 數學既然是人類文化的一部份,它的教學應同時對「育 人」有所顧及。這包括一些品德培養、作社會批判等。

這些雖然不屬於數學或數學學習的範圍,但教師在教學 過程中自然會和學生共享這些價值。

結語

儘管上面我們提出了對數學教育的一些立場和想法,我們 認為大家同意與否並不重要,況且在未來陸續還會有新的 教育舉措出現,難道我們又要找一些人回應和撰寫新的想 法?我們深信,假如每一位教育工作者(包括數學教育工 作者),無論是前線人員還是官方或學者等「後勤人員」,能 不斷通過實踐探研、反思(即成為「學養教師」scholar-teacher 或「具反思的實踐者」reflective practitioner),不難得出合 理的結論,從而真正提升教學。這樣既不會隨波逐流,亦不

會被人牽著鼻子走。假若能有這樣一代的「學養教師」,我

們一定會引領學生學得更好。

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2. 數學教育與價值觀的培養1 鄧國俊

香港浸會大學

前言

上一期(第二十一期)的學校數學通訊有三篇文章以STEM

教育為主題。羅浩源教授的〈STEM 教育:以數學作起點 來推動 STEM 教育的挑戰〉,引領讀者思考數學在 STEM 教育的定位和角色,並探討如何以數學作為起點來配合 STEM 教育這個的挑戰;關子雋、簡嘉禧老師的〈校本 STEM 教育經驗分享〉和林嘉康校長的〈李炳學校的「STEM 教育」〉,則分享他們在數學科推行STEM 教育的校本經驗,

使讀者對前線實踐多一分了解。這三篇文章除了使筆者思 考科學、科技及工程的高速發展對數學教育的沖擊而獲益 良多外,亦使筆者反思近年社會、文化及政治的急劇演變 是否亦為數學教育帶來挑戰?

美國英國近年趨勢:我們不單只教數學

2016 年美國總統大選,特朗普險勝對手希拉莉,使國家社 會更為撕裂。同年 12 月 1 日,美國全國數學教師協會 (National Council Teachers of Mathematics) 會長 Matt Larson

發表一篇題為〈我們不單只教數學〉2的署名文章,當中提

1 感謝黃毅英教授於文章撰寫過程中向筆者提供不少寶貴意 見。

2 https://www.nctm.org/News-and-Calendar/Messages-from-the- President/Archive/Matt-Larson/We-Teach-More-Than-

Mathematics/

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到:「最近在我國發生的事件,其所帶來的挑戰對許多教育 工作者來說是前所未見的。作為數學教育工作者者, 我們 不能倖免於當前的政治氣候和情緒化的環境。……雖然我 們教的科目是數學,但我們要記住我們是將數學教給學生。

我們的學生在課堂上的成功取決於我們作為教師的能力,

無論他們的背景如何,我們都有責任為每一位學生營造一 個具安全感和包容性的課堂環境。……作為教育工作者,

我們需要同時維護我們對民主原則和我們在民主進程中的 所承諾擔當的角色,並確保不同觀點在交流分享時,能得 到建設性和包容性的對待,同時確保學生福祉不會受到任 何人的威脅。」

位處歐洲的英國,情況亦有相似之處。為防止脆弱的個人

(尤其是年青學生),被激進思潮影響,甚至被捲入恐怖主

義漩渦,英國政府早於2012 年便推出傳揚英國價值觀的教 育活動。其中一個方向就是要求學校及各學科教師(包括 數學科)在課堂教授和探討英國價值觀:民主、法治、個 人 自 由 , 以 及 尊 重 和 包 容 各 種 不 同 信 念 信 仰 (Carroll, Howard, & Knight, 2018, p.2)。

價值觀與數學教育

價值觀的培養是學校教育中提升學生情感素質的重要一 環。但由於不少人(包括數學教師)把數學看作具結構性 的純知識體系,又或者是一套無容置疑而又具實用價值的 客觀真理和運作規則,從而認定數學是價值無涉、價值中

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哲學/認識論的分析(例如:Bishop 1988a; Bishop 1988b;

Ernest 1991; Restivo 1992),以及從教學角度所作的思考(例 如:Bishop et al. 1999; Wilson 1986; Winter 2001)。換言之,

仍有一定數量的數學教育工作者認為,數學不是價值無涉 的學科,數學教育不應只集中培訓學生學習那些所謂價值 中立的數學知識和技能。

Bishop (2001) 將數學教育中價值觀簡單分為兩大類:一般 教育價值觀和數學價值觀。一般教育價值觀源於社會對學 校培養學生價值觀的期望,以及培育學童成長發展和社會 化的要求。它們可以是紀律、心智、社群、文化、美學、

經濟、道德、政治或宗教等相關的價值觀。在官方課程文 件中,有些國家會在其數學教育的宗旨和目標中,開宗明 義地說明其中一些相關教育價值。以新加坡為例,其自 1996 年啟動國民教育3以來,無論在國家或學校層面,都有 不少具體實施方案4。2000 年的數學課程綱要,建議將當前 與國家相關的社會事件作為設計數學應用題的情境,並鼓 勵學生思考討論這些問題的答案及其含意。常見的情境包 括:新加坡的歷史和地理,個人開支和儲蓄,日常生活的 水電消耗,以及資源的減耗─再利用─回收。新加坡國立 教育學院黃冠麒教授於2003 年,更進一步提出「國民教育

×數學教育」框架,以激發本地及外國學者討論如何將國民 教育及相關價值培養注入數學課堂(Wong, 2015, p.114-5)。

3 新加坡的國民教育,旨在增進國民凝聚力、提高國家生存發 展能力、使學生對個人及國家未來充滿信心。它亦強調培養學 生對新加坡的歸屬感和情感根源。

4 https://ne.moe.edu.sg/ne/slot/u223/ne/index.html

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至於數學價值觀,Bishop (2001)提出的例子包括:理性主義 (rationalism)、客觀主義(objectivism)、控制(control)、進步 (progress)、開放(openness)和神秘(mystery),這些價值通常

與西方數學相關5。有關數學價值觀及態度的培養,新加坡

2012 年的官方數學課程文件提出五個重要的情感素質:1.

數學可信可靠且有用;2. 學習數學可以是有趣歡樂的;3.

欣賞數學的美感和力量;4. 有信心使用數學;5. 堅持不懈 地解決問題(Wong, 2015, p.197)。

近二十年香港情況

1997 年香港回歸後,2000 年推行大規模教育改革,中小學

的課程架構由「學習領域」、「共通能力」和「價值觀和態

度」三個部分組成。政府當局有關培養學生數學價值觀和 態度的建議,包括:1. 發展學習數學的興趣;2. 展示對參 與數學活動的熱忱;3. 具有靈敏的觸覺,能體會數學在日 常生活中的重要性;4. 展示在日常生活中能應用數學,以 澄清自己的論證及挑戰別人論據的信心;5. 能與其他人分 享意見及經驗,以及合作完成數學課業/活動和解決難題;

6. 充分了解並履行個人在群組工作中的責任;7. 在群組工 作時,應持有開放的態度;8. 而在討論數學問題時,亦願 意聆聽及尊重他人的意見,對他人的貢獻予以重視及懂得 欣賞;9. 能獨立思考,從而解決數學問題;10. 具有鍥而不 捨的鑽研精神,努力嘗試解決令人困惑的數學難題;10. 欣 賞數學的精確性、美感和在文化方面的貢獻,以及其在人 類事務上所發揮的巨大作用(課程發展議會,2002,p.24)。

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與此同時,當年的教育改革亦提出四個關鍵項目,即德育 及公民教育、從閱讀中學習、專題研習和運用資訊科技進 行互動學習。數學科有關德育及公民教育的價值觀培養,

有關當局建議可以下列的方式引入:1. 通過解決問題,讓 學生培養出對不同 題解(數學問題未必只有一個題解)的 正確態度。雖然有些題解較其他方法有效,但 很多時候其 實只是觀點與角度而已;2. 在數學課堂中引入生活的例子,

有助增強學生關注數學與現實的關係;3. 通過組織一些與 數學有關的專題研習或課外活動,讓學生有機會充分發展 其探究思維、接受責任、學會與人合作,以及培養其領袖 才能和社交 技巧(課程發展議會,2002,p.36)。

2008 年,有關當局出版《新修訂德育及公民教育課程架構》

6,強調知識的掌握和價值觀的培育是互相緊扣,故建議學

校將培育學生價值觀和態度的工作,與各個學習領域及科 目互相結合,彼此相輔相成,為學生提供一個整全的學習 經歷。課堂教學實踐方面,則建議學校採用「生活事件」

作為學習情境,而「生活事件」包括六個範疇:「 個人成長

及健康生活」、「家庭生活」、「學校生活」、「社交生活」、「社

會及國家生活」及「工作生活」,每個範疇有不同的學習事

件,以配合學生在不同學習階段的需要。以數學科的「社 會及國家生活」範疇為例,該文件所列舉的相關學習情境

包括:透過討論課題「容量」,讓學生學會珍惜食水和善用

能源,以實踐環保的生活習慣(小一至小三);透過討論課

6 https://www.edb.gov.hk/tc/curriculum-development/4-key- tasks/moral-civic/revised-MCE-framework2008.html

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題「速率」,讓學生尊重法治,明白遵守交通規則的重要性

(小四至小六);欣賞日常生活中具有對稱性及經變換的平

面幾何圖形(例如區徽)和認識及欣賞有關畢氏定理的不 同證明(包括中國古代勾股定理所用的方法)(中一至中 三);認識抽取調查樣本的不同技巧及製作問卷的基本原 則,以及評估從新聞媒介、研究報告等不同來源所獲得的 統計調查報告(中四至中六)。

香港的相關實證研究

關於香港數學課堂中的價值觀研究,較早期的有 Leung

(1992)的北京、香港和倫敦的數學課程比較研究,當中有關 價值觀的結論包括:1. 北京教師傾向於對數學這門學科有 一個較堅固穩定的看法,而倫敦教師則有具啟發性的和變 化的看法,香港教師看法則在兩者之間;2. 北京教師強調 努力,而倫敦教師強調能力,香港教師再次在兩者之間;

3. 北京教師強調課堂上的冷靜和嚴肅,香港教師則強調效 率,而倫敦教師則強調享受和靈活性。Lau (1996)以定量研 究方法,探討香港初中數學教師的數學與教育價值觀。她 的研究結果顯示,雖然教師對透過數學教學培養價值觀表 現出積極的態度,但在個人、知識和文化這三類價值觀中,

實際上只有知識價值被重視強調,而個人和文化價值則被 輕視忽略。

近期探討價值觀在數學教育中的角色的研究,有陳葉祥、

黃毅英(2014;2015)於 2011 年開展的宗教信仰、數學信

(23)

念與數學教學的關係的研究7。是項研究共分三個階段:第 一階段以問卷方式分析教師的宗教與數學教學信念的關 係,這階段結果證明持不同宗教的數學老師的數學及數學 信念傾向有分別;第二階段以深度訪談分析教師的宗教與 數學教學信念的關係,他們共訪問了十五位香港數學老師,

包括五位佛教徒、五位基督徒及五位無宗教信仰者,訪問 的焦點是了解他們對數學的本質及有效的數學教與學的看 法,並且他們認為宗教與數學教學信念的關聯。結果顯示,

雖然有宗教信仰的數學老師未必會將其整套信念投射到數 學教學之中,但是他們會從其宗教信念取出一些價值觀、

世界觀,或道德標準,以轉化成數學教學信念及教育理念,

而無宗教信仰的數學老師亦會有這種價值觀及信念的轉 化;第三階段探討源於宗教的世界觀的數學教學信念在課 堂上的實踐,在這階段的研究分析六位數學老師如何嘗試 把他們自己的宗教信念實踐於數學教學中。結果顯示,這 六位老師的整合模式有頗大分別,包括︰1. 融合模式;2.

過渡模式;3. 宗教滲入數學;4. 數學課附加宗教;5. 隱藏 模式;6. 宗教作為一種教學的態度8

7 研究對象除香港數學教師外,還包括中國大陸和台灣地區的 數學教師 (Leu, Chan, & Wong, 2015)。

8 研究者強調,該研究焦點並不在於那種整合模式較佳。因為 教師的宗教價值觀在數學教學上的實踐,受著不同的因素影響,

而其採用的整合模式亦然。

(24)

給數學加添趣味價值,抑或還數學一片「靜」土?9 行文至此,相信有部份讀者已生「一波未平(STEM),一 波又起(價值觀)?!」之嘆。回顧上世紀九十年代的目 標為本課程提出的現實情境教學,曾引起「數學教育之生 活化與數學化」10之爭,黃家鳴 (1997, 1998, 2001) 曾深入 及細緻地探討這課題,現將其當年的主要論點簡述如下:

「情境化 ─ 數學化」的矛盾由來已久,原因是數學家頗為 強調數學之嚴謹性與抽象性,而前線老師及數學教育工作 者雖然認同數學的嚴密性和邏輯性,但他們更關心普及教 育下所面對的課堂實況。一方面,並不是所有學生將來的 職業均與數學有關(更遑論要成為數學家)﹔另一方面,

普及教育亦帶來個別差異和學習動機兩大問題。因此,他 們提出種種方法,如:實驗、遊戲、利用情境化和生活化 事例……等,以提高學生興趣,並照顧不同能力的學生,

以培養數學思維。然而﹐亦有數學教育工作者指出,如果 課程編排和教學設計,缺少了對數學學理以至有關教學細 節的關注和討論,數學的特質便會被淡化而至課堂教學形

同「兒戲」,當年數學科目標為本課程改革,正是為此而引

9 筆者曾以數學教育專業知識,參與撰文評論一宗社會事件,

以表明數學與社會關懷及價值觀思考的緊密連繫。該文標題為

〈給數字加添趣味,抑或應還數字一片靜土?〉(許為天、鄧國 俊,2009),評論一幢實際只有三十三層的西半山豪宅為「好意 頭」而將頂層複式名為八十八樓的「數字風波」事件。

10 中文大學課程與教學學系,曾於 1999 年 2 月 19 日舉辦一個

(25)

起爭論11

無論是於數學科推動 STEM,又或是透過數學教學培養學

生價值觀,在在需要引入生活化情境,故皆可看成是上世 紀九十年代「情境化 ─ 數學化」之爭的延續。但由於過去 二十多年科學、科技及工程的高速發展,與及社會、文化 及政治的急劇演變,故兩者對數學教育所洐生的另一波挑 戰的深度和幅度,相信是前所未見的。作為關心教育的人,

必須了解自身的取向和立場12,以逐一回應這些挑戰,否則 只能在官方文件政策的既定框架內作討論,或無奈地在課 堂教學中執行。

結語:數學教育的

STEM 與 PATH?

我在大學修讀土木工程,亦曾於香港地鐡(港鐡前身)地

盤實習,對 STEM 的理念與實踐有點具體認識,亦明白

STEM 對社會建設及經濟發展的重要性;畢業後從事前線 數學教育工作十年,之後進入大學從事數學課程研究及師 資培訓工作,對教書育人亦有一定的體驗感受,亦明白良 好教育對文明社會價值觀培養的重要性。正是這些學歷與

經歷,驅使筆者不時思考這個問題:我們是否偏重 STEM

的推動而忽略價值觀的培養?

11 筆者則曾嘗試從理念及實踐角度,思考如何回應「情境化 ─ 數學化」這挑戰(鄧國俊,2014; 2015)。

12 今期《學校數學通訊》〈我們對數學教育的看法〉一文,就 是分享筆者與幾位志趣相投的數學教育工作者的一些想法和立 場。

(26)

美國政治科學學系13教授 Andrew Hacker,於 2016 年出書

批評美國近年過於偏重 STEM,並批評部份高中和大學一

年級的數學課程與現實割離,建議增加社會文化思考及價 值批判的內容。書中更記述其坐言起行的一個教學實驗:

2013 年他向其學院的數學學系毛遂自薦,親自為學院的一 年級學生設計並教授一門必修數學課程,內容主要為定量 推理(Quantitative Reasoning),其目的是使學生能夠靈活 地運用數學方法於不同社會議題的研究探討,尤其是統計 的運用和分析(Hacker, 2016)。該書出版後,引來數學家 的猛烈批評,亦引起社會各界的關注和討論14

筆者雖然不盡同意其對數學本質及數學教育的看法,但認

同教育工作是充滿價值判斷和人生意義的思考15,數學教

育亦不能例外16。如果數學教師未能反覆地從理論與實踐

13 Department of Political Science at Queen College in New York.

14 有興趣讀者可登 http://devlinsangle.blogspot.com/2016/03/the- math-myth-that-permeates-math-myth.html 及

https://themathmyth.net/了解詳情。

15 Postman(1996)曾提出警告,教育不能單為物質建設及經濟發 展服務,否則教育便完蛋(the end of education)。他以積極態度及 正面角度出發,為教育的終極關懷(the end of education)提出以下 選項:保持生物多樣性及地球可持續發展;發揮人性光輝美好一 面;來自不同種族文化背景的公民能和諧共融地相處;為未來世 代編織美好的將來。

(27)

去反思數學教育的終極關懷,很容易誤入數學科目本質對 理性和邏輯思考的盲目崇拜,以致思考形式變得冷漠、僵 化、算計及非人性化,和教學信念流於工具理性化,而教 師本入則變成只會關注學生考試成績的教書匠。

由於篇幅所限,筆者不打算在此探討「香港近年有關數學

數學教育的研究討論是否偏重STEM 的推動而忽略價值觀

的培養?」這問題。只希望在本文完結前,引用 Andrew Hacker 為要抗衡 STEM 霸權而提出另類取徑所寫的一段文 字,以為讀者提供一個思考起點(Hacker, 2016, Kindle Locations 223-229):

我想在完結前提出另一個教育口號: PATH 。我個人的 構想是 Philosophy, Art, Theology, History

17

(讀者自己 或 可 嘗 試 構 想 成 : Poetry, Anthropology, Theater,

Humanities

18

?)……我們正處於關鍵時刻,因為我們

現正落後於競爭對手於 PATH

19

的渴求與追尋。如果我 們的國家要保持其道德和文化形象地位,我們每年必 須承擔或開創 100 萬或更多個與 PATH 領域相關的職

16 Ernest (1991)以哲學及社會學理論為基礎,嘗試把關心數學教 育的社會團體分為:工業訓練者;科技實用主實者;古典人文主 義者;進步主義教育工者;大眾教育工作者。此外,為分析這五 類社會團體的數學教育理念與實踐,他將各團體所抱持的相關 觀點細分成十二項:政治意識形態;數學觀點;道德價值;社會 理論;兒童理論;能力理論;數學教育目的;學習理論;數學教 學理論;教學資源採用;數學評估理論;社會分流理論。

17 哲學、藝術、神學、歷史。

18 詩歌、人類學、戲劇、人文學科。

19 而非 STEM。

(28)

位。否則,或許我們仍會繼續是世界上最富裕的大國,

但我國的文明肯定會踏上衰落之道!

作者電郵:kctang@hkbu.edu.hk

參考文獻

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Wong, K.Y. (2015). Effective mathematics lessons through an

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(33)

3.

動手操作學數學:在

STEM 思維之下

譚克平、謝舒琪

國立臺灣師範大學

很多學生害怕數學,認為數學只在乎繁複的計算,經常玩 符號的遊戲,或者是要寫一道又一道艱澀的證明題,久而 久之,這樣的學習經驗,逐漸導致學生對於所學習的數學 內容感到枯燥乏味,不但覺得數學十分抽象,而且產生數 學與日常生活幾乎毫無關係等刻板印象。學生對數學這樣 負面的態度,還常會一直持續到出社會之後,例如日本有 一位文學家曾經指出,他在學校所學的幾何知識在生活中 一點用處也沒有,唯一可以派上用場的,是當他走路時還 是會運用三角形兩邊長的和大於第三邊的性質。

那該如何改變如此不理想的情況?我們的建議是加入一些 非傳統的數學學習內容,這些內容最好能夠讓學生動手操 作,增加在數學課堂中體會到參與數學活動的樂趣,並且 在操作過程中能夠學習到數學推理,如果該素材能夠符合 STEM的理念,提供跨學科學習的可能性,即不單只可以從 數學的角度進行探究,而且還可以從工程學中設計與分析 的眼光來進行研究,或者是所習得的知識是可以應用於科 學的研究之上。若能找到這樣子的學習素材,將有機會可 以讓學生瞭解到學習數學不是只能夠坐著聽講,而是可以 實際參與在其中,不但可以發揮個人的創意,而且所學習 的數學知識是有具體功能的,既可以應用於生活上,而且 在現代科學中也有應用的價值。問題是有這樣子的素材 嗎?

(34)

學習結理論

若要配合上述考量的話,我們認為結理論就是一個適合的 素材,它原則上是符合STEM課程整合的理念,尤其是栽培 學生設計與分析的能力方面。從古至今,具體的結與人們 的生活密不可分(Ashley, 1953) ,結理論在近代的數學與科 學的研究中,是一個非常蓬勃的主題,而且在數學教育界 也有學者嘗試開發一些活動,向學生介紹基礎的結理論 (Turner, & Griend, 1996) ,因此,我們推薦不妨在中學階段 教導基本的結理論,因為在初中階段學生擁有的數學知識 比國小階段多,在初中階段學習結理論可以吸收到較廣泛 的知識。

可能有讀者會懷疑,中學階段學結理論是否會太難?我們 建議用下述的方式來做思考,即使中學生的生活經驗有限,

但結是一個他們生活中常見的素材,例如大部分學生都有 打鞋帶的經驗,如果我們能夠從打出生活結的活動出發,

逐漸引進數學結的基本概念,對學生來說應該是很容易接 受的,尤其是當他們發現每天打出來的結居然可以從數學 的眼光來看待,對於提升學習數學的動機或多或少會有幫 助。作為一個數學主題,結具有親切感與新鮮感,它著重 數學推理與空間能力,而且不牽涉到繁瑣的計算,學生比 較容易對其產生親切感。學習數學結的相關概念,藉由動 手操作的方式可以幫助學生增加學習課綱所涵蓋的數學概 念,這是因為透過學習結理論可以用另外一個方式來介紹 投影、方位、函數、轉換(transformation)、等價、不變量等 重要數學概念,從而增進學習遷移(transfer)的成效,並且增

(35)

我們認為學習結理論應該不致於會增加學習負擔,在中學 階段學習不但不算是過早學習,反而可以鞏固一般傳統課 程中所涵蓋的數學概念。是故,我們認為以結為素材,在 適當且合理的課程開發條件之下,對七、八年級學生而言 應是有啟發性的數學學習教材。

再者,在日本已經有學者將基本的結理論開發成為適合小 學、初中與高中學生學習的課程,例如可參考Kawauchi &

Yanagimoto (2012) 的著作,他們的研究顯示,只要配合正 式課綱的數學內容來編排結理論的學習內容,學生在對的 時機點以及具備相關的數學先備知識,即能夠掌握結理論 相關的內容。然而,在華人數學教育界中,這類型的研究 比較缺乏,十分可惜,因此我們進行了一個研究計畫,嘗 試開發一套適合初中學生學習的結理論課程,並透過打出 生活結來引入相關數學結的概念。而在開發相關教材與活 動的過程中,我們提出一個有趣的問題,我們心中存疑是 否存在一套打結的基本步驟或動作,可以方便學習者有系 統性地學習打出各種不同的結,本文的目的是要介紹這個 有趣的問題以及我們初步的心得。

生活結

古人結繩記事,現代社會雖然有文字、有電腦,已經不用 結繩那麼麻煩了,可是結在日常生活中仍是隨處可見。不 少人在小時候的生活經驗中,即常常有打結的機會,第一 個可能學會打的結就是單結,接著為了要綁鞋帶、綁禮物 而學會打蝴蝶結。一般人幾乎都是在習以為常的情況下學 會這種打結技巧,這些動作甚至可以不假思索、很純熟地

(36)

完成。在臺灣,初中還會安排童軍課,很多學生也因此學 會許多不同打繩結的方法,例如八字結、平結等等。這些 結各有不同的結構,可以用在許多地方,做很多不同的功 能與用途,而在學習打結的過程中,可能會透過不同的方 法,例如背口訣、看錄影帶、看圖打結等等。如果只是要 打一、兩個結,上述的手法即已足夠,但問題是,繩結有 超過一千多種(Ashley, 1993),如果每個結的打法都需要一 一學習,不但煩瑣,而且除非經常使用,否則並不容易記 得。因此我們想自問,是否存在一套基本的打結步驟或動 作,讓初學者只需學習這些動作,即可以透過該等動作輕 鬆且靈活地打出大部份的結?

有鑑於前述的問題,本文以下將介紹我們的研究團隊所整 理出來的六個打結基本動作,學習者藉由學習這些基本動 作後,可以加以組合變成不同的繩結,這六個動作很有潛 力成為一套有系統而且容易學習的打結方法。

動作的說明

 動作一:將繩的兩端交叉形成一個繩圈。

 動作二:穿越繩圈,而此動作又分為從上往下穿以及

從下往上穿兩種。

 動作三:將繩的兩端拉緊,該動作通常是打出結的形

狀後,再將繩子的兩端拉緊。

 動作四:先將繩子的左右各打一個動作一,再將兩個

(37)

 動作五:通常在動作四後,如果需要成為一個結的時 候,再做一個動作二,接著拉緊兩個繩圈。

 動作六:當一個結打好之後,如果要將它變成一個封

閉的結,只需要將兩個端點相連。

表一、打結的基本動作 動

作 圖示 說明

1 線交叉形成一個繩

2

前提:先完成動作1

動作:將壓在上面 的 端 點 從 下 往 上 穿,並穿越繩圈。

(或 將 壓 在 下 面 的 端點從上往下穿,

並穿越繩圈。)

(38)

作 圖示 說明

3

前提:先完成動作 1 與動作 2 後 動作:拉緊兩端點

4

前提:在繩的左邊 完成動作1,在繩的 右邊也完成動作1

動作:將兩繩圈的 交叉點重疊

5

前提:先完成動作4 再完成動作2 動作:拉緊兩繩圈

6 動作:兩個端點相

(39)

在初步整理出六個基本動作後,研究團隊嘗試使用這些基 本動作分析生活中常見的結,生活中常見的結很多都可以 簡化成為反覆使用這些基本動作來完成。反之,也可以運 用這六個基本動作打出不少常見的生活結,甚至創造出新 的結。我們將一些打結的步驟整理成一個表格,如以下表 二所示。

表二、運用六個基本動作分析生活中常見的結

生活結 圖例 動作

單結 1+2+3

平結 1+2+3+1+2+3

(40)

雙單結 (1+2+3)+( 1+2+3)

八字結 1+1+2+3

生活結 圖例 動作

蝴蝶結 1+1+4+2+5

三葉結 1+2+3+6

1+2+3 1+2+3

(41)

研究團隊認為,與其教很多特殊的結與打法作為學習零星 的例子,倒不如教導基本動作的打法更為精簡有效,一方 面在教與學的過程中方便溝通如何打出某個結,另一方面 則可以讓學生運用這些基本動作加以排列組合進而打出新 的結,換句話說,這六個動作可以視為結的產生因子,以 方便分析。

此研究為初步介紹拿繩子打結,但打結有些時候會牽涉到 左右與上下的關係,我們正在嘗試做更深入的處理,加入 其他的基本動作,並留待在合適的場合再做詳細介紹,不 在此進行相關報導。

討論

很多家長在教導小朋友為自己綁鞋帶時,需要做很多次的 示範,缺乏一套適合的語言去說明打結的動作。此外,有 些教導童軍課的老師在教導打結時也是以示範為主,通常 需要學生跟著老師的步驟來打,同樣也缺乏溝通的語言,

而學生一恍神可能就跟不上老師的步驟,建議可以考慮使 用我們的基本動作與語言來介紹與教導學生,在教導六個 基本動作後,當要教導學生打出某一個結的時候,可以跟 學生說待會打結需要哪幾個基本動作以及先後次序為何,

然後再帶著學生去打這些結,因為這些基本動作是有系統 性的,容易瞭解也容易記得,應該是一個很好的教導工具,

學習打結不用單靠模仿教師的打結步驟,而且可以利用這 些結去創造一個新的結。

由於要打出一個生活中常見的結需要進行分析,要創造出

(42)

一個屬於自己的結也需要進行設計,當這個課程將這些打 結的基本動作過渡到結圖的學習後,我們還可以引導學生 自己分析打出結的性質,因此學習打結基本上是符合 STEM課程的基本精神。

本文最後想按照研究團隊的經驗,提出關於教導學生打結 所用材料的建議,為了要開始此課程,我們嘗試使用不同 的繩子,發現並不是任何繩子都適合,我們整理出幾個比 較特別的材料,如緞帶、麻繩以及鬆緊帶等,研究團隊發 現在打結過程中如果使用了有寬度的材料(例如緞帶),在 打結動作上會造成操作上的困難;麻繩因為不具有任何彈 性,再加上有脫線的問題,在視覺判斷結的形狀較不容易;

而鬆緊帶是使用了圓鬆緊帶,因為較不易脫線且富含彈性,

較容易判斷結的形狀,且只要繩段夠長,操作上非常容易。

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learning of knot theory in school mathematics. Tokyo:

(43)

4.

由一個非一般的解題方法到《九章算術》的工程問題 李柏良

多年前的經歷

(小明是一個中一學生)

老師:若單獨使用甲水管為一水箱注水,最快需3 小時才

可裝滿;若單獨使用乙水管為同一水箱注水,最快

需4 小時才可裝滿;若同時開啟甲乙兩條水管為這

水箱注水,最少需多少時間才可注滿這水箱?

(過不了多久,小明筆也沒有動一動,便立刻回答)

小明: 5 17小時

(老師有少許驚詫,小明如何算得那麼快)

老師: 非常好!小明的答案是對的!我現在給你再出一題

更複雜的問題!現在又添多一條水管,若單獨使用

丙水管注水,最快需2 小時便可注滿水箱;若同時

開啟甲乙丙三條水管注水,最少要多少時間才可注 滿一水箱呢?

(又過不了多久,小明動筆寫下了三兩個數字,便又再回答)

小明: 12 13小時

(這一次,老師更為詫異,看看小明寫的,只有 8、6、12 三 個數字)

(44)

老師: 好!小明你可以告訴我你的計算方法嗎?

小明: 第一題,假設我同時開啟甲乙水管 12 小時,甲 水管能注滿4 箱水,乙水管能注滿 3 箱水,共有 7 箱水,所以要注滿 1 箱水,只需12

7 小時,即 15

7小時;第二題,假設我同時開啟甲乙丙水管

24 小時,甲水管能注滿 8 箱水,乙水管能注滿 6 箱水,而丙水管能注滿12 箱水,三條水管合共 可注滿26 箱水,所以用三條水管來注滿 1 箱水,

只需 24

26小時,即12

13 小時。

以上的案例,是我多年前的親身經歷,學生的方法更直接、

簡潔。

較為傳統的解題方法是先計算每條水管一小時能裝多小箱 水,然後再計算一同開啟兩條、三條水管一個小時的存水 量,從而算出注滿一箱水所需時間。

話說小明的解題方法較為不傳統,查實類似的算術方法,

是我國古代常用的方法。

『鳧雁相逢』

(45)

劉徽(魏,約公元 263 年)、李淳風(唐,公元 602-670 年)注 釋的《九章算術》卷第六均輸篇的第二十題,一般稱之為

『鳧雁相逢』,有以下的描述:

今有鳧起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今 鳧雁俱起。問何日相逢?

按現今的說法是:

今有鳧由南海飛到北海,需時七日;雁由北海飛到南海,

需時九日。若鳧和雁同時起飛,分別從南海和北海相向飛 行,二鳥於何日相遇?

『鳧雁相逢』與剛才小明的注水問題相當類似。《九章算 術》在提出問題後,會提供答案(『答』)和一般的解題方法 (『術』):

答曰:三日十六分日之十五。

術曰:并日數為法,日數相乘為實,實如法得一日。

『術』可以如下理解:

『并日數為法』: 將日數相加,鳧的七日加雁的九日得 16,

以16 為除數(『法』);

『日數相乘為實』: 將日數相乘,得 63,作為被除數(『實』);

『實如法得一』: 以除數為一個單位,求實所佔的分比;

簡單來說,就是求商,得 15

316日。

(46)

《九章算術》為《算經十書》其中的一本,《算經十書》

包括:《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫 子算經》、《張邱建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、

《緝古算經》、《數術記遺》、《夏侯陽算經》,是唐初 的最高學府『國子監』算學館指定的十部課本,而《九章 算術》是我國現存最早的古算書之一。其作者、成書年代 不詳,專家估計不是出自一人之手,而是由西周(公元前 1044 年771 年)到漢初(公元前 202 年220 年)1000 年間,

經多人的整理、編纂和修訂成書。《九章算術》全書共有 九卷,故稱『九章』,全書的組織,是以『問、答、術』

的形式程示,全書共有246 題和 202 術。

惟每一題的『術』,主要是講述算法,是以並不容易掌握 和理解『術』的背後意義。有見及此,約於公元 263 年,

劉徽為《九章算術》作注。及後,李淳風再為《九章算 術》注釋。

在『鳧雁相逢』這一個示例,劉徽、李淳風提供了以下的 注釋:

按:此術置鳧七日一至,雁九日一至。齊其至,同其日,

定六十三日鳧九至,雁七至。今鳧、雁俱起而問相逢者,

是為共至。并齊以除同,即得相逢日。故并日數為法者,

并齊之意;日數相乘為實者,猶以同為實也。

(47)

一曰,鳧飛日行七分至之一,雁飛日行九分至之一,齊而 同之,鳧飛定日行六十三分至之九,雁飛定日行六十三分 至之七。是為南北海相去六十三分,鳧日行九分,雁日行 七分也。并鳧、雁一日所行,以除南北相去,而得相逢日 也。

劉徽、李淳風共提出了兩個解法。第一個解是假設鳧雁共 飛了六十三日(同其日),鳧飛了九至,雁飛了七至,以六十 三日,鳧雁共完成十六至(并齊),63 除以 16(并齊以除同),

得完成一至的時間為三又十六分之十五日。

而第二個解法與現今教科書的解法差不多:因為鳧七日一 至,所以鳧每日飛1

7至(鳧飛日行七分至之一),而雁則每日 飛1

9 至;即鳧每日飛 9

63至,雁飛每日飛 7

63 至,并鳧雁一 日所行,9 分加 7 分得 16 分,以 16

63除1 至,得 15 316 日。

在我初始接觸古算時,非常不習慣,就以《鳧雁相逢》為 例,它的『問、答、術』不易理解。閱讀古籍有以下的一 些難點。其一,古籍是沒有標點符號的,所以必要參考前 輩、學者提供的評注、點校;其二,古籍用的古字與今日 的用字,同字不同寫;如 即現今『粗幼』的『粗』,

是以要經常查找字典;其三,古代疇人對某些技術非常熟 識,而我們則不然,如劉徽、李淳風在注釋中的『鳧飛日 行七分至之一,雁飛日行九分至之一,齊而同之』一段內,

(48)

輕描淡寫的說到『齊而同之』;查實,『齊而同之』是有 關『齊同術』,即現今的異分母分數通分的加減法;千多 二千年前,分數的加減並不是一件易事。《九章算術》在 卷第一方田章用到『合分術』,劉徽、李淳風便在注釋中 就『合分術』,進一步解說如何『合分』,如何進行異分 母分數的加法:

臣淳風等謹按:合分知,數非一端,分無定準,諸分子雜 互,群母參差, 細既殊,理難從一。故齊其眾分,

同其群母,令可相并,故曰合分。

術曰:母互乘子,并以為實。母相乘為法。母互乘子;約 而言之者,其分 ;;繁而言之者,其分細。雖則 細 有殊,然其實一也。眾分錯雜,非細不會。乘而散之,所 以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊,群母相乘謂 之同。同者,相與通同共一母也;齊者,子與母齊,勢不 可失本數也。方以類聚,物以群分。數同類者無遠;數異 類者無近。遠而通體知,雖異位而相從也;近而殊形知,

雖同列而相違也。

按以上說法,處理異分母分數的加減,基本上是使用擴分 和約分而矣。以

a b

A

 為例,先『母互乘子,并以為實』,

B

以 aB + bA 為分子(『實』),『母相乘為法』,以 AB 為分

(49)

母(『法』),便可得

aB bA AB

 。若以 1 1

6 9 為例,可得 1 9 1 6 15

6 9 54

   

 。

因為由此分數加法得到的和,未必是最簡分數,是以《九 章算術》亦討論到如何用『約分術』將分數約簡:

可半者半之;不可半者,副置分母、子之數,以少減多,

更相減損,求其等也。以等數約之。

當然,若分子分母都是偶數時,可將分子分母同時折半來 約簡,如4

6,分子、分母同時折半得2

3 ,惟分子分母不全 是偶數時,約分得要看看二者的最大公因數了,古時,稱

最大公因數為『等數』,如以上的分數 15

54,古人是如何求 15 和 54 的『等數』呢?

往後便需要『副置分母、子之數,以少減多,更相減損,

求其等也』了。置 54、15,以少減多,得 39、15;再以少 減多,得 24、15;再得 9、15;再得 9、6;再得 3、6;最 後得 3、3;兩數相等了,等數就是 3,即為 15 和 54 的最 大公因數。以上的過程,減的次數是多了些,可用帶餘除 法來解決,無論如何,進行的就是『輾轉相除法』;查實,

(50)

乘法可視為連加,而減法可視為連減,是故古算有『除者

減也』的說法。『以等數約之』後,15 5

54 18

『五渠注池』

我的老毛病是愛將問題加鹽加醋,你解決了我兩條水管的 問題嗎,我再加多你一條,三條水管又看你如何解!

但《九章算術》更誇張、更厲害,跨的更大步,它不問三 條,它問『5 條水管又如何』!一般稱卷第六均輸篇的第廿 六題為『五渠注池』,問題如下:

今有池,五渠注之。其一渠開之,少半日一滿;次,一日 一滿;次,二日半一滿;次,三日一滿;次,五日一滿。

今皆決之,問幾何日滿池?

答曰:七十四分日之十五。

術曰:各置渠一日滿池之數,并,以為法。以一日為實。

實如法得一日。

其一術:各置日數及滿數。令日互相乘滿,并,以為法。

日數相乘為實。實如法得一日。

(51)

其題意為:

今有水池,由5 條水渠注之。若只由第 1 條渠注之,三分 一日可滿(當時稱三分一為少半,在劉徽的注解中,有『此

其一渠少半日滿池者,是一日三滿池也』);若只由另外一

條渠注之,一日可滿一池;若只由另外一條渠注之,二日 半可滿;若只由另外一條渠注之,三日可滿;若只由另外 一條渠注之,五日可滿。今由5 條水渠注之,問幾何日滿?

接下來的『術』指出『各置渠一日滿池之數,并,以為法。

以一日為實。實如法得一日』,計算每一天每一條渠注池 的數,加起來作為分母(『法』),再以一日為分子(『實』),

求出的商(『實如法得一』),便是日數。由此,若五渠注之,

一日可得到『四滿十五分滿之十四』,再由倒數便可得注 滿一池水的日數。

劉徽、李淳風的注釋又說:

『此猶矯矢之術也。先令同於一日,日同則滿齊。自鳧雁 至此,其為同齊有二術焉,可隨率宜也』

『矯矢之術』是指卷第六均輸篇第二十三題的方法,第二

十三題亦是一道工程問題,因為要計算 3 1 1 1 1

1 1 21 3 5 2

    ,

所以亦屬『同齊』問題,注釋指出『同齊』的兩個方法,

在『鳧雁』已有解說。

(52)

要計算3 1 1 1 1 1 1 21 3 5

2

    ,注釋提供了一個頗具特色的算

法:『各置日數及滿數。令日互相乘滿,并,以為法。日 數相乘為實。實如法得一日』。為進一步講解,注釋說:

『列置日數於右行,及滿數於左行。以日互乘滿者,齊其 滿;日數相乘者,同其日。滿齊而日同,故并齊以除同,

即得也』

第 一 步 , 是 要 布 局 ; 為 準 備 計 算 3 1 2 1 1

1 1 5 3 5    『列置日數於右行,及滿 數於左行』如右圖。

第二步『日數相乘者,同其日』,計算通分後的分母。日 數相乘得 1 1 5 3 5 75    

第三步『以日互乘滿者,齊其滿』,通分後,將分子相加。

(53)

再『并齊以除同』,75

225 75 30 25 15

75 15

370 74

      

,(其中 75 和 370 的等數 5 可由輾轉相除法求得),『即得 也』。

剛才『五渠注池』的算法,看似是有些笨拙及欠少許說服

力,因為 3 1 2 1 1 1 3

1 1 5 3 5        ,真正需要進行分數3 1 3 5

加減的只是1 3

3 5 而矣。

『五渠注池』是有改善的空間,但亦不失為展示用到以上 列表方法的一個簡例。

由小明的兩條水管問題到此,是時候做總結了。回顧小明 的三條水管問題:

今有池,3 渠注之。其一渠開之,3 時一滿;次,4 時一滿;

次,2 時一滿。今皆決之,問幾何時滿池?

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