國中三年級學生一次不等式解題策略及錯誤類型之研究

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國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文

國中三年級學生一次不等式解題策略及錯誤類型之研究

研究生:陳英貴 撰 指導教授:梁淑坤 博士

中華民國九十六年 六月

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致謝

能夠順利完成研究所的學業取得碩士學位,實現自己的夢想,除 了內心的喜悅,更充滿無限的感恩,非常感謝很多人的幫忙與支持,

得以讓我達成此願望。

走過此撰寫論文之路,首先要感謝恩師梁淑坤老師,營造了一個 充滿善意、能彼此分享學習心得及提供研究探討的學習環境,即使在 梁老師工作最繁忙的時後,仍不忘記對我的關心、提攜與指引。

感謝楊淑晴教授與溫武男教授於口試期間的悉心審閱,並提供寶 貴的意見與修改建議,使本論文得以修正至完整。

感謝有幸與楊榮達與李憶琴同學作為學習伙伴,一起勉勵完成各 項功課與論文撰寫,有了你們的支持與協助,才能使本論文順利完 成,願彼此珍惜這段難忘的學習過程。

感謝中山大學教育研究所的老師們之身教與言教,給予我更遠的 視野與學習的典範,相信此學習期間的收獲,能給予實務工作上很大 的幫助與發展。

感謝我的太太瑞美的支持與辛勞,讓我在完成學業過程中有兩個 快樂的小天使,總是能帶給我內心喜悅與生活的滿足

即將畢業了,以後和家人走在中山校園、西子灣海灘,我將很自 豪的告訴我的小孩:「這個美麗的學校,就是爸爸畢業的學校。」

謹將本論文獻給栽培我的雙親及所有關心我的人!

英貴 2007.05.30

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論文摘要

本研究主要目的是了解國三學生在解一次不等式的解題策略與 錯誤類型,並探究造成錯誤類型的原因。

研究對象為高雄市、高雄縣與屏東縣 204 名國三學生,收集資料 以兩個階段進行,第一階段以研究者自編之「一次不等式測驗卷」作 紙筆測驗。第二階段根據紙筆測驗結果挑選 8 位學生進行晤談,分別 進行錯誤原因的探討與補救教學的引導。

本研究的結果如下:

(一) 學生在一次不等式的解題策略有:(1) 轉譯、(2) 化簡、(3) 運算性質、(4) 畫圖表徵、 (5) 代入法、 (6) 解集合法、(7) 等量公理、(8) 解不等式、 (9) 解方程等式、 (10) 組合數 字、 (11) 列舉法、(12) 猜測答案。

(二) 學生在一次不等式的錯誤類型可歸類為:(1) 不了解題意、(2) 誤用符號、(3) 錯誤組合數值、(4) 錯誤概念、(5) 誤判解答、

(6) 假設錯誤、(7) 誤用未知條件、(8) 誤用解題策略、(9) 數 值運算錯誤、(10) 符號運算錯誤、(11) 誤用運算規則。

(三) 研究發現學生在解不等式單元最容易發生錯誤的地方是對題 目的理解轉譯與答案的選取判斷。對不熟悉的類型題學生對寫 出對應的不等式會感到困難;研究者也發現學生對於負小數或 負分數的大小關係辨識不清,不論應用題或計算題都有不少學 生有出現此類的錯誤。

不等式的文字應用題的解題失敗者,對代數語言的表示模式或關 鍵詞句最主要原因是沒有正確的轉譯,分別會在「目標的確立」、「數 學知識的結合」、「解題方法的使用」、「求解的運算過程」、「解答的判 決」感到困難而發生錯誤。

關鍵詞:一次不等式,解題策略,解題錯誤類型

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A Study of Problem-Solving Strategies and Errors in Inequalities for Junior High School Students

The aim of this study is to investigate students in learning in inequalities with one unknown, as well as to collect corresponding strategies and errors in problem solving. The subjects of this study were nine-grade students from junior high school. Six classes were selected from three schools with total of 204 students.

This investigator used a paper-and-pencil test in first round data collection. In the second round, some students were interviewed, to further understand students’ way of thinking and reasons in errors

produced in problem-solving procedures. Hopefully, results can be used as reference for junior high school math teacher to plan future teaching and to prepare teaching materials.

The results of the study are three: students solved linear inequalities by using 12 different strategies; students’ errors can be divided into 11 types; and, the reasons for errors are mainly understanding and transforming information from problems and the determination on solutions. The students also found it difficult to understand negative fractions and negative decimals relationships (no matter in word problems or in calculation problems).

In this study, those who fail to solve problems involving inequalities with one unknown are those who cannot translate algebraic expressions or keywords. They produced errors 5 typical cases: determining

objectives, integrating mathematics knowledge, using a problem solving method, calculating process, and, determining s solution.

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國中三年級學生一次不等式解題策略 及錯誤類型之研究

目錄 第一章 緒論

第一節 研究動機---7

第二節 研究目的與待答問題---12

第三節 名詞釋義---12

第四節 研究範圍與限制---14

第二章 文獻探討 第一節 代數課程的定位---15

第二節 數學解題的相關研究---23

第三節 錯誤類型的相關研究---27

第四節 一次不等式教材分析---33

第三章 研究方法 第一節 研究設計---40

第二節 研究對象---41

第三節 研究工具---42

第四節 實施流程---47

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第四章 結果與討論

第一節 一次不等式之解題正確百分比---51

第二節 一次不等式之解題策略研究---59

第三節 一次不等式之解題錯誤類型---84

第四節 解不等式錯誤類型的原因與分析---107

第五章 結論與建議 第一節 結論---123

第二節建議---131

參考文獻 ---134

附錄一 預試測驗題 ---140

附錄二 正式施測卷 ---143

附錄三 不等式測驗卷答題統計表 ---146

附錄四 各題解題策略統計 ---148

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第一章緒論

第一節研究動機

沒有學生不希望將數學學好,很多學生會向老師反應:「我 很想學好數學,但是數學真的很難。」,老師卻常回答:「只要上課多 專心、回家多看書、多作練習題、繼續加油,就會懂了。」,真的這 樣嗎?

數學學習過程中,當學生無法順利找到答案而察覺解題困難時,

會以重新檢視題目、參考答案、或以同儕討論與請教老師或家長、…

等方法獲得解答,當困難沒有解決時便會產生學習遲滯,也有可能以 自身的經驗曲解題意只為求得一個答案,產生迷失概念而不自知。

Whitney (1985)認為學生不能理解數學在教什麼,而大人又錯誤地判 斷是學生努力的不夠,而要求他們反覆練習。

以筆者的教學經驗中,筆者和學習困難的學生討論解題方式時常 鼓勵學生:「你以前一定在哪一個環節沒有學好或遺漏了,我們現在 從最前面檢查,一起把它找出來」。發覺以此種方式能鼓勵學生將解 題過程完整呈現,更好的是很多時候學生在此過程中,就能察覺自己 的困難,教學者也能找出學生發生錯誤的原因,此過程中學生和教師 同為獲益者,不僅是學生能在克服障礙點;同時,教師能將障礙點的

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產生原因作為教學方法調整的依據。因此研究者認為如果教學者能知 道學生的想法(正確解題策略)或錯法(錯誤類型與原因),才能在學生 的學習過程或遭遇困境時給予實質性的幫助。

不等式單元是國中數學代數學習中的重要單元,國中代數學習以 文字符號表示出發,等量公理為運算基礎,解方程式(等式)應用為 解題練習。其重要的概念有:(1) 比較各種相關量的大小關係、(2) 估 計各種量的變化範圍、(3) 運算規則推論的方式、(4) 範圍解的概念、

(5) 貼近真實世界問題陳述與求解等。但由於不等式單元必須接續在 一元一次方程式與二元一次聯立方程式單元之後,而且與高中一元二 次不等式的教材有所重疊下,使不等式學習教材編排界定不明確,哪 些部分是國中必須學習,而那一些部分是應排到高中時學習,產生不 同版本上學習內容的差異。例如:南一版本中將絕對值的不等式求解 與兩個不同未知數的不等式合併排入,而康軒版本並無此類內容,此 差異可能對學生造成影響。

從認知心理學可知道數學概念的長期記憶是屬於語意記憶,人類 的認知與記憶可以利用指標或節點將其以一種圖表模式來呈現,而且 這些指標或節點可以呈現出許多概念與概念間的語意關係,而學習就 是語意記憶中知識結構的新建與重組工作(鄭麗玉,1994)。學生在數

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要具備運算的技能,甚至與生活實例做連結以便運用於生活中。對學 生而言,同時具備概念、原則、技能與應用能力,使得學生對數學學 習感到困難。Rojano (1994)認為對國中學生的代數思考的形成是少年 數學思考的轉變過程:(1) 是從算數到代數,(2) 是從個別的思考到 一般化的思考,(3) 是從非形式化的解題到形式化的解題,(4) 是從 畫圖到圖形,(5) 是朝向代數性思考。在此學習的過渡時期,如果在 某些環節學習不完整,往往造成數學學習的困難,甚至產生拒絕學習 的態度。

Whitney (1985)認為學生不能理解數學在教什麼,而大人又錯誤 地判斷是學生努力的不夠,而要求他們反覆練習,必然將這些焦慮不 安的孩子推向更大的危機。因此在數學教學過成程中,能正確判斷學 生的想法,辨正學生的錯誤概念,並將其解題歷程的錯誤引導到以正 確的概念與原則,了解策略使用的時機與運用技能的方法,才能使學 生都能調整到朝正確的學習目標前進。

根據調查指出:多數學生在學習代數的概念與技巧是記憶性的,

尤其是關於方程式的學習(Kieran,1992)。許多學生把解方程式看成 是一種機械性的技能。雖然解方程式從表面上來看是單純的解題技 巧,但其解題過程所涉的概念甚多,如文字符號的意義、多項式運算、

等量公理等。Collis (1975)依據學生所理解的概念,將學校課程中有

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關文字符號的觀念細分為知識、理解、應用、分析、綜合與評鑑六個 層次。知識層次著重的是回憶,即記得學過的教材;理解層次著重的 是轉換,意即掌握教材內容的意義;應用層次著重的是概括化,能將 學過的教材用於新的情境;分析層次著重分解或發現,根據教材組成 加以分解以利了解;綜合層次著重的是組合,即組合教材成為一個新 的整體;評鑑著重的是判斷,根據目地判斷教材的價值。學生在後來 解題的困難來自於對文字符號缺乏有意義的了解,如果學生對這些知 識沒有完全理解或徹底掌握,就會產生妨礙學習的迷失概念,並使學 生在碰到需要用到這些知識才能解決的問題時,產生了一致的系統性 錯誤(systematic error)。當學生出現相同的錯誤類型時,便值得探討錯 誤發生的成因,將其對符號的意義與運算的原則釐定清楚。

在國外學者 Ashlock (1976)認為分析學生解題的錯誤類型對教 師及學生都是有幫助的。另外,國內學者戴文賓(1998)對由算術領 域進入代數領域的國一學生學習現象的研究發現,只要學生得到解題 與輔導的機會,都願意且有能力進入代數領域,這能克服學生不肯學 習數學的情形。

筆者在教學過程中常發現,學生在學習解不等式計算時除了發現 不少學生常被「不大於」、「不超過」、「不少於」語意混淆外,處理負

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用而不自知,而且學生對「範圍解」的意涵也不易理解,這都說明了 學生在此單元的學習有許多地方會有學習的困難,值得我們進一步去 探究學生學習的表現與改進教學技巧。

近年來不等式的課程內容變動很大,如:從 82 年教育部版本的 對不等式單元的刪減,到九年一貫課程 91 年暫綱版的重新加入到國 中三年級下學期學習,至 94 年版公布的九年一貫正綱將不等式單元 調整到國中一年級下學期,以致發生三年級與一年級在相近的學習時 段學習不等式,而其間教學內容也有很大的差異,如「數線圖解」的 重新加入、証明推論過程的省略、選修內容的調整等,說明了教科書 編輯者對此單元觀念的意見分岐,現今國內外文獻對不等式也著墨者 少,因此本研究透過對學生在一次不等式解題錯誤類型之分析,進行 瞭解學生在此單元學習的困難所在,以提供學生學習與教師教學的參 考,使教師能針對學生錯誤類型做教學與教材改進的參考,提供完整 的學習架構,克服學生的學習障礙。

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第二節 研究目的與待答問題

一、 基於以上的研究動機,本研究的研究目的設定為:

(一)探討國中三年級學生在一次不等式的解題表現。

(二)探討國中三年級學生在一次不等式的解題策略。

(三)探討國中三年級學生在一次不等式的錯誤類型。

(四)探討學生在解一次不等式的錯誤類型形成的原因。

二、 本研究的待答問題為:

(一)國中三年級學生在解一次不等式所使用解題策略為何?

(二)國中三年級學生在解一次不等式產生錯誤類型為何?

(三)學生在一次不等式的錯誤類型形成的原因為何?

第三節名詞釋義

一、不等式:

用符號<、>、≦或≧將它左邊和右邊的兩個式子連結起來,就 形成一個不等式,式子中只有一個未知數且未知數的次數是 1,稱為 一元一次不等式。

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二、錯誤類型:

在數學解題過程中產生的錯誤步驟,依其出現錯誤的關鍵處作分 類,分成幾種類型稱為錯誤類型(Kathlen,1987)。本研究所探討的 錯誤類型係指透過進行「一次不等式測驗」與學生訪談結論所歸結之 錯誤類型。

三、迷思概念:

指學生在學習科學概念前即擁有的直觀知識(intuitive

knowledge),或與正統科學知識不符之概念。由於這些通常都是錯誤 的,因此也有人稱之為錯誤概念(余民寧,1999)。

四、解題歷程:

Polya (1945)將解題的歷程分為四個階段:了解問題、擬定計畫、

執行計畫、回顧。解題者在解數學題目時,經過閱讀題目、分析探索 問題的運用策略後,以計畫解題的程序並加以執行,直到求出答案並 驗證答案的正確性等各步驟的整體運算過程。

五、數線圖解:

指將不等式解的範圍,以數線、粗線、箭頭等方式表示之。

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第四節 研究範圍與限制

一、研究範圍:

本研究採方便樣本以高雄市、高雄縣、屏東線的三所國中各選取 2 個班級,共 6 個班級 204 位學生為研究對象,針對國中不等式單元 為範圍,探討學生的解題策略與錯誤類型。

二、研究限制:

本研究針對一次不等式為研究重心,收集的題目與所得的結論可 做為相同地區或類似樣本做參考,其他主題的推論則需更廣泛的與進 一步的研究。

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第二章 文獻探討

第一節 代數課程的定位

一、課程中代數學習的地位

代數式的問題解決在幫助孩童數學與邏輯思考技巧方面已被證 明是一種無價的工具,藉此種問題解決的方式能強化孩童對概念的理 解,而且可提供其他的好處,像是從減少數學焦慮到增加分享的水平 程度(Femiano, 2003)。Vergnaud (1988)建議代數或先前代數

(pre-algebra)應從小學開始。Schliemann、Carraher、Brizuela (2007) 針 對 7 到 11 歲孩童的教室觀察發現:孩童使用數學符號不只是記錄他 們了解的事物,也是去幫忙進一步去架構他們的想法,讓他們能在別 的地方做不曾做過的推論;認為在小學課程應發展代數或先前代數。

在課程方面 Kaput (1998)也強調代數編輯要能貫穿 K-12 的課程以提 供學校數學一致性的深度與能力來取代以前不連貫又獨立淺薄的高 中數學課程。

上述對代數的聲明越來越具說服力以致 NCTM (National Council of Teachers of Mathematics)在 2000 年學校數學課程標準也贊同代數 理解應從幼稚園開始的觀念,並且代數符號應是小學 3 年級課程的一

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部分。而我國 94 年九年一貫課程綱要將代數符號學習、理解等量公 理正式明文納入小學課程內,亦將「能以兩步驟式問題」、「求未知符 號解」也納入國小六年級的延伸課程。由上述可知代數學習提早學習 與受到重視的趨勢是目前國際數學共認的趨勢。

Rojano (1994)對國中學生的代數思考的形成認為:青少年數學思 考的轉變過程是(1) 從算數到代數,(2)從個別的思考到一般化的思 考,(3) 從非形式化解題到形式化解,(4) 從畫圖到圖形,(5) 朝向代 數思考。數學邏輯推理的訓練是數學教育的重要目標,對於國中學生 而言透過代數的演練來訓練,可謂是最容易達成,因此代數思考的學 習是國中數學課程的主軸。學生在學習的過渡期會發生那些不理解或 誤解,是教學者必須注意的,教學者可從基礎概念的形成、運算方法 的學習、學習的認知與學習結果的呈現,測量出我們想知的結果,以 此結果適時調整教學節奏,以確保學生的代數思考的學習方向。

二、文字符號

文字符號的使用是代數學習的基礎。Kuchemann (1981)認為學生 對文字符號是否了解是影響學生代數學者非常重要的因素,由於學生 對文字符號意義詮釋的差異,而影響學生對問題解決的困難程度。研 究發現學生若能完全了解文字符號的意義,則與後續學習(如方程

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數的學生的解題層次無法到達第一層次,可見多數學生在了解題意並 把相關未知數用文字符號表達出來,這一初始階段已經出現極大困擾

(王如敏,2004)。

袁媛(1993)根據皮亞傑的三個不同認知層次,對國一學生進行 文字符號概念發展的測驗研究,結果發現:學生對文字符號的理解有 很大的差異,不論學生到達哪一個認知層次,對於文字符號當作一般 化的數字或變數都會感到相當困難。文字符號為中介的數學抽象概 念,學生極不容易接受,若文字符號未能及時成為學生反應問題解決 的工具,則無法真正連結文字符號與題意之間的訊息,間接使學生不 當使用符號,也影響代數學習時使用的時機(王如敏,2004)。因此 教學者在學生從具體的數字計算,到使用抽象的文字符號的過渡期,

應發現學生發生困難與產生錯誤認知之處,給與適當引導與練習機 會,使學生了解學習從慣用語到數學語言間轉譯的意涵。

三、方程式

Polya (1945)認為:從問題解決與數學的角度來看,方程式在代 數領域中,扮演著非常重要的角色。謝夢珊(2000)以不同符號表徵 未知數對國二學生解方程式表現之探討研究中,將造成不同表徵下解 題表現的差異分為:對文字符號的認知差異、代數式的認知差異、等 號的認知差異、解題策略的認知差異、解題程序的認知差異與思考方

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式的差異,進而把影響解方程式的解題因素分成七類:(1) 運算符號 的性質,(2) 運算符號的個數,(3) 運算符號與未知數的位置,(4) 未 知數出現的次數,(5) 答案是否為整數,(6) 係數的大小,(7) 題目中 是否有括號。並歸納出三個學生能正確使用方程式三個因素分別為:

1. 對方程式的了解:包括能正確使用未知數符號,並了解 其在方程式中代表的意義。

2. 正確的運算過程:能夠順利進行文字符號的運算、化簡 與合併。

3. 具足夠的先備知識:能了解問題中語意與適當使用運算 符號,並能對答案檢驗其合理性。

方程式是將一般日常生活語言的問題描述,以未知數符號、運算 符號轉譯為數學語言的簡化形式,結合等量公理的運算法則,達到以 形式化的方法使問題獲得解決的目的,而此過程讓學習的學生感到困 難,會因其中部分環節學習的不完整,加大在數學學習成就上的差 異,這是學生數學學習感到挫折的原因。Simon (1980)在其研究中發 現學生缺乏了解代數是如何結合數學的關係式解得一個特殊解的概 念,當題目取材至真實情境中時,學生似乎不能就真實世界的狀況來 思考,而只把它當作是一種按題目做機械式的轉譯對應到代數步驟而

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四、不等式

不等號的使用始於數與量的比較大小,數學的許多分支中,有很 多必須運用不等式以比較各種相關量的大小關係,與估計各種量的變 化範圍。國中課程中不等式的學習,必須架構於方程式學習之後,相 較於等式(方程式)的學習,不等式的學習常因其不確定性或具抽象 意涵,使學生產生學習困難,藉由日常生活經驗中,時常見到的大小 關係比較敘述並結合情境能減低學習的困擾。在研究者的教學經驗發 現,國中學生能察覺不等式與方程式的不同,對不等式的意義也能了 解,學習困難大多發生在解方程式先備知識的不足與語意上對範圍解 的理解。

由於此單元除了在數學概念及目的和解方程式不同,有很多部分 與解方程式是重覆的,課程中也用了許多時間去探討解一元一次方程 式、二元一次聯立方程式、一元二次方程式等,使國中階段解不等式 的單元在教學上沒有得到適當的時間分配,研究文獻亦較缺乏。不等 式問題的求解能力須包含文字符號能力及基本運算規則的使用;與文 字符號有關的能力有:「文字符號的使用(文字敘述與數學式子的轉 換)」、「未知數在式子中的含義」、「式子的化簡」、「一元一次方程式 的列式與意義」、「二元一次方程式的列式與意義」、「方程式求解與解 的意義」、「文字問題的求解」…等,運算規則包括:「基本運算(交

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換律、結合律、分配律)」、等量公理(移項法則)… 等,這些能力 與計算原則和解方程式相同,因此讓不等式單元教學與研究的焦點產 生模糊。

吳明玲(2003)調查國小二年級學童數感的表現,並透過數感教 學活動後,探討學童數感改變的情形發現,五個數感向度中以「數的 理解」和「數的大小比較」表現較好,「數與運算的關係」表現最差。

金玉麒(1987)針對 21 班 1011 位台灣南部地區國中學生進行絕 對值與不等式概念的錯誤分析及補救教學的研究,發現:國中生對絕 對值及不等式之概念並未完全了解,若教師能針對學生易產生錯誤之 概念,事先加以說明與開導,事後給與予適當之補救教學,可增進學 習之效果。其中特別提到四點,如下:

1. 負數運算規則:「若 a、b、c 為實數,若 a>b 且 c<0,

則 ac<bc」,但有許多學生仍寫成「ac>bc」。可見負數在 不等式運算規則中的意義,是此階段的學生易產生等量 運算的迷失。

2. 數線與坐標平面上:教師可讓學生比較「數線上畫 x>3」

和「座標平面上畫 x>3」的不同,使學生理解不等式中解 的意義。

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係,例如:對三角形的邊長敘述沒有察覺到兩邊之和小於 第三邊的數學概念,或三邊長須為正數的限制。

4. 不建議編列:絕對值之不等式對學生而言很難理解,建議 不宜編列(目前教材中已經刪減)。

陳聖雄(2005)對高中學生在一元二次不等式解題上的主要錯誤 有下列九種類型:任意開方、變號的處理錯誤、任意平方、將領導係 數當成正數來處理、產生虛數比大小的謬誤、過度使用「無解」的概 念、不會由二次函數圖形直接看出一元二次不等式的解、無法判斷恆 為正數或恆為負數的充要條件、認為不等式的解只包含整數的情形。

會造成這些主要錯誤類型的原因可分為下列六類:

1. 學生將先前學習過的知識作錯誤的類推。

2. 學生受到老師教學口訣、教材編排、及不當記憶公式的 影響。

3. 先備知識的不足。

4. 無法將一元二次不等式和二次函數的圖形作正確的聯 結。

5. 對不等式的運算邏輯不清楚。

6. 受到直觀的影響。

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九章出版社將「中學生解數學題常犯的錯誤分析」中對學生在不 等式的迷失分為:

1. 對移項法則的迷失。

2. 對不等式乘、除法的迷失。

3. 對不等式平方的迷失。

4. 對不等式平方開方的迷失。

5. 對不等式分數形式的迷失。

6. 文字題條件考慮的迷失。

吳季鴻(2001)在探討高中學生在一元二次方程式的運算之錯誤 類型及造成學生犯錯之原因的研究中認為學生學習一元二次不等式 必須具備的預備知識不足,而導致在學習過程左支右絀,有部分原因 是「因式分解」錯誤所致,不管是自然組或是社會組學生,對於一元 二次不等式,仍存在許多迷失。可將其錯誤類型分為:(1) 因式分解 錯誤,(2) 錯誤的運算規則,(3) 同號、異號的處理錯誤。(4) 變號的 處理錯誤,(5)恆正、恆負的判斷錯誤,(6)將領導係數當作正數處理,

(7) 將「無解」及「無限多個解」概念做過度推廣。並以上述結論將 學生在「一元二次不等式運算」錯誤的原因歸納為:(1)誤用資料,(2) 誤譯語文,(3) 不合邏輯的推論,(4) 扭曲的定理或定義,(5)技術上

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從上述的研究可知由於國小、國中、高中各階段學習目標的不 同,國小重視數與量的認知,國中強調文字符號代數意義的理解,高 中則希望學生能利用已學的數學概念和計算原則做推理,所得的結論 各有其特點,因此在本研究中將針對學生解代數文字符號能力與不等 式中的數學概念,探究學生的思考過程所使用的解題策略,與出現錯 誤的類型,希望能透過研究分析,能對各階段能力的連結,作為國中 階段代數課程教學的改進建議。

第二節 數學解題的相關研究

一、解題歷程

Polya (1945) 的著作『如何解題』(How to Solve It )一書中提到解 題的歷程可分為四個階段:

1. 了解問題:根據題目的提示,了解已知條件與問題目標 以及未知條件。

2. 擬定計畫:找出未知數與已知數之間的關係,建立獲得答 案的想法,如果找不到題目目標就建立先找到間接目標再 找到題目目標的策略。

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3. 執行計畫:實行所擬定的計畫,並檢驗每一步驟;

4. 回顧:檢驗核對答案的合理性與正確性。

Schoenfeld (1985) 將 Polya 的解題之歷程再細分為六個階段:閱 讀、分析、探索、執行、驗證與移轉六個步驟。Schoenfeld 以認知的 觀點從專家與生手的解題差異,發現到專家由於長時間解題經驗的累 積,會發展出一些有用而又一致的解題策略。好的解題者能在解數學 題目時,經過閱讀題目、分析探索問題的運用策略後,以計畫解題的 程序並加以執行,直到求出答案並驗證答案的正確性。

除了以上 Polya 等的見解,在解題理念方面 Lester (1980) 描述數 學解題需經過問題的知覺、問題的理解、目標的分析、計劃的發展、

計畫的執行、程序和解答的評估等六個階段。數學教育的重點應擺在 問題解決的思考過歷程,思考過程的分析與解題策略運用非常重要,

可以肯定的是解題策略的擁有與適當時機的運用,對解題的成功與否 有相當程度的關聯。學習代數的學生在認知上的要求有兩方面,一是 使用符號表徵,再來是修改他們以前對某些符號的表示(Wagner &

Parker, 1999)。學生根據文字問題的狀況的相關性以符號去轉化,把 文字表達的條件改用數學符號表示,是從普通語言到數學公式語言的 一種翻譯,因此學生必須徹底瞭解給與條件與熟悉數學表答形式

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二、解題研究

Kilpatrick (1985) 指出想要成功解出一道複雜的數學題目,解題 者須具備三種能力:擁有豐富且系統化的數學知識、能表徵並轉換問 題的處理能力以及有控制系統能導引及挑選出有用的知識與過程。要 成功解題,解題者須能瞭解及分析題意,從數學基模知識中辨別決定 應該使用的解決方法,採用適當的策略,並能意識到目前自己解題的 進度,檢視及修正錯誤,預測策略的可行性以作適當調整。

Mayer (1985) 提到解題方面時,強調數學學習不只是在求得正確 答案解,更應該重視問題解決的歷程,否則,學生只會解決問題,但 對數學的理解只是局部的,無法獲得完整的數學能力。數學教師也應 從學生解題的過程進行研究,探討有發生的錯誤的過程,才能正確分 析學生解題產生錯誤的原因。

在國內的解題研究中,楊金城(2004)對國一學生解數學文字題 的研究分別以閱讀題目、問題分析、擬定計劃、執行計劃四個階段探 究學生解題表現發現:低分組的學生因數學知識不足、較不會去注意 關鍵字句、解題計劃不明顯、使用不當策略等現象。楊金城認為要成 功解題解題者應包含:

1. 是否能瞭解及分析題意。

2. 是否能掌握解題的關鍵與發揮數學基模知識來辨別及決

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定題目題型該使用的解法和方向。

3. 是否能評估正確解題策略,清楚解題的步驟,。

4. 是否能覺知自己目前的解題狀況。

5. 是否能察覺解題歷程的錯誤與矛盾之處,及檢視目前使 用的原理與性質是否正確。

6. 是否能預測此解題策略的可行性及評估未來的解方向與 方法。

7. 否能評估自己對此題的解題能力。

莊松潔(2005)分別對國小一年級、國小五年級、國中一年級學 生對未知數概念及解題的晤談研究發現:國小個案能在具體情境以數 的基本運算性質化簡未知數的式子,而國小五年級和國中一年級都能 檢驗答案的合理性,建議國小數學教材若能及早加入讓學童學習以代 數式描述算數文字問題情境之單元,將有助於他們在國中正式學習代 數時,提升對文字符號概念的認知,以上這一些概念和能力都是不等 式學習的基礎。

另外,陳建廷(2006)針對國一學生解題歷程的研究發現:學生 在一元一次方程式單元的學習,常會有一些系統性錯誤概念或是學習 困難,若教學者能針對此錯誤概念或是學習障礙之處,進行補救教學

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讓學生具備問題解決的能力,是國中數學課程教學的重要目的,

更是教育部強調學校教育的目標,代數思考的訓練正是讓學生從許多 各別問題的思考,透過了解問題(知道解題目標),擬定計畫(選擇問 題解決的策略),執行計畫(以運算技巧完成計算)、回顧(將正確的 運算結果回答問題)成為形式化的問題解決機制,將數學問題的解決 能力移轉到日常生活問題的解決能力,本研究針對解題策略的研究正 是透過對學生解題的歷程進行瞭解學生在形式化思考的模式。

第三節 錯誤類型的相關研究

一、錯誤概念的形成

錯誤概念指學生在學習科學概念之前即擁有的直觀知識

(intuitive knowledge),或與正統科學知識不符之概念。由於這些通 常都是錯誤的,因此也有人稱之為錯誤概念(余民寧 民 88)。由建 構論的觀點,教師將一個訊息傳遞給學生,但每個學生都在建構此訊 息對自己的意義,經過組合、忽略或轉換教師所傳的訊息後,造成學 生所接收到的訊息並不一樣(Von Glaserfeld,1987)。學生解題時會依 據其經驗與先備知識,當對詞句與訊息的理解與原來所傳訊息不同 時,不僅會影響答案,也會影響思考過程,形成錯誤概念。

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Schwarzenberger (1984)認為錯誤有助於數學的發展並提出兩個論 點:

1. 錯誤有助於瞭解數學:錯誤會幫助教師讓學生瞭解數學 的來龍去脈,而正確的論證卻經常不會。

2. 錯誤可做為診斷的工具:錯誤能讓教學者了解學生的想 法,錯誤並非是漫無目的的發生,每個錯誤的發生各都有 其發生的理由。

二、錯誤概念的原因

數學的學習的過成程是不會一帆風順,而對錯誤的察覺是修正學 習的機會,當教學者了解學生的錯誤,推測出錯誤原因便能領導學生 修正錯誤走到正確的方向。出錯是學習者必經的階段,唯有走出錯誤 的瓶頸,學生才能踏上正確的途徑。小孩的行為都是學習而來,教育 研究的責任之一,就是找出小孩錯誤行為背後的原因(黃敏晃,

1998)。

Sutton & West (1982) 認為一旦錯誤概念形成後,即使經過教導 與糾正,仍很難改變,而產生錯誤概念的原因有以下七點:(1)與生 俱來的;(2)從日常生活而來;(3)隱喻而來的;(4)類比產生的;(5)來 自同儕文化的; (6) 來自正式與非正式的教學;(7)字義的聯想、混

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錯誤概念有所了解,在第一次教學時就能給與提示及解釋,以減少發 生錯誤的機會,或發現學生產生錯誤概念時立即給與補救教學加以修 正,以免影響往後的學習過程。

三、錯誤概念的類型

在數學計算式中產生的錯誤步驟,依其產生錯誤的關鍵處,分成 幾種類型稱為錯誤類型(Kathlen,1987)。錯誤有兩種:一是由於不 小心做錯而產生,稱為疏忽(slips);另一種是由於學習了錯誤觀念或 程序而產生,稱為系統性錯誤(systematic error)。系統性錯誤被認為是 某種錯誤知識,或是缺乏某些必須之知識而引起,因此較受到研究者 的重視。因此研究者認為對學生為何會形成錯誤,對錯誤的原因進一 步研究,進而給予修正的機會應是教學者應具備的重要技能,在此之 前,要去發現學生錯誤並將錯誤類型歸類,分析學生的解題歷程有助 於從學生的想法找到產生迷失概念的原因。

Brown 與 Vanlehn (1982) 解釋學生解題產生錯誤的原因,乃是由 於學生在使用不完全的解題算則時遭遇僵局,於是尋求自己比較能接 受的法則來解決困難,這個過程稱為修補(repair),若修補成功,則修 補辦法就會保留而成為法則,若是失敗,則解答過程變會出現錯誤。

從上述「修補」的的想法,當教師發現學生的錯誤時可以適時給予指 正讓學生經過認同而調整與改變,亦可利用機會作適當的引導,讓學

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生自己發現錯誤達到修正的目的。

Movshovitz-Hadar , Zaslavsky, Inbar (1987) 重視運算過程的分 類,將以色列的大學聯考資料作分析後,將錯誤原因分為六類:

1. 誤用資料(Misused Data ):指計算時所擁的資料與原有的資 料不符,可由學生所寫出的內容找到一些題目所提供之資料 與錯誤訊息。

2. 誤釋語意(Misinterpreted Language):指轉譯到數學語言時產生 的錯誤,其中可能是圖形、符號或方程式的表達錯誤。

3. 不合邏輯的推論(Logically Invalid Inference):指推理方面的錯 誤。

4. 扭曲定理或定義(Distorted Theorem or Definition):指將定義或 定理的原則扭曲。

5. 未驗證解答(Unverified Solution) :指答案未經檢查、驗算或 證明。

6. 技術上的錯誤(Technical Error) :指計算上的錯誤。

學者林清山、張景媛(1994)提出學生在代數應用問題的錯誤概 念包括如下:

1. 題意轉譯的錯誤概念:包含學生對於關鍵詞句詞義無法充分

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2. 問題整合的錯誤概念:包含缺乏基本的數學概念;無法察覺 到所計算出來的答案是否合理;學生不會做假設;學生套用 固定的模式而不隨問題的變化而加以改變。

3. 解題計畫與監控的錯誤概念:未能了解已知條件與未知條件 之間的關係,以致假設與式子不符;無法針對不同的問題採 用不同的解題策略;學生以為一個題目只有一個方法:學生會 受前後題的影響而採用不當的解題策略。

4. 解題執行的錯誤概念:在解方程式時會產生移項錯誤;移項 錯誤多半是因為缺乏等號兩邊等值的觀念;學生在使用消去 法時容易產生正負號混淆的情形。

蔡育霖(2005)對國一學生解一元一次方程式發生的錯誤主分類 為:國小學習經驗與新經驗互相干擾、先備知識不足、運算規則不清 楚、不了解題意或作出錯誤判斷、粗心大意,另外,雖然課本以等量 公理說明運算規則,但學生普遍習慣以移項法則來解一元一次方程 式。

對於學生常「算」錯數學題目,教師、學生或家長,常將其歸類 於「粗心大意」的籠統說法,沒有進一步去深究其發生的原因,只是 要求作「更多的練習」,研究者從上述研究中發現,數學學生在解題 過程會出現錯誤有很多因素是因為部分知識的不完整,如語意、符號

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使用、訊息結構、運算規則的部份知識不足,使其解題產生錯誤,在 教學層面上:如果教師能在教學準備時就能對學生常出現的錯誤有所 瞭解,則能在教學過程作適當提示,了解何時要對預備知識的復習,

利用時機以實例闡述題意,教導學生透過關鍵詞句的理解來組織訊 息,對運算規則中「通則」與「特例」進行解釋與說明,以及符號使 用的意義,從教師教學過程來避免學生的出錯。

國內的對學生學習困難的相關研究,也呈現和前述相符合的結 果,周宏樵(2004)對學生在解一元一次代數文字題時的學習困難有 下列四點:(1) 未能了解題意並把相關未知數用文字符號表達出來,

(2) 文字符號概念知識不完備,(3) 未能依照題意列出符合題意的一 元一次方程式,(4) 未能正確解出一元一次方程式。學生在解題的歷 程中,對於所需要的四種知識即語言知識、基模知識、策略知識、程 序性知識都有很多不同的。研究者認在學習層面上來看:當教師能瞭 解學生學習的困難所在,可對學生出線的錯誤以較淺顯的語具作分 類,例如將學生錯誤分為語文上、觀念上、方法上、運算上的錯誤,

讓學生也能理解錯誤的不同性質,將原本的「粗心大意」的模焦點轉 為明確方向,引導學生從學習過程出現錯誤的時機進行錯誤的修補工 作,研究者相信當學生能自己發現並修正錯誤時,正是建立學生建立

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第四節 一元一次方程式教材分析

一、一次不等式在國中代數課程的定位

近年來由於課程的改革使數學教學內容的編排更具彈性,課程編 排者根據教育部頒訂之課程綱要,編排數學學習架構,不等式單元是 其中變動最大者。根據九十一年版教育部國民中小學九年一貫課程暫 行綱要將數學領域課程目標定為:(1) 掌握數、量、形的概念與關係,

(2) 培養日常所需的數學素養,(3) 發展形成數學問題與解決數學問 題的能力。(4) 發展以數學做為明確表達、理性溝通工具的能力。5.

培養數學的批判分析能力。(6) 培養欣賞數學的能力。課程將中不等 式學習安排於九年級下學期,其相關的能力指標為:

A-3-2 能將生活中的問題表徵為含有 x、y、…的等式或不等式,

透過生活經驗檢驗、判斷其解,並能解釋式子及解與原問 題情境的關係。

A-4-3 能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。

A-4-5 能利用一次式解決生活情境中的問題。

九十二年正式頒訂國民中小學九年一貫課程綱要,進一步對課程 目標以學習階段區分,將數學領域國中課程目標定為:(1) 能理解坐 標的表示,並熟練代數的運算及數的四則運算。(2) 能理解三角形及

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圓的基本幾何性質,並學習簡單的幾何推理。(3) 能理解統計、機率 的意義,並認識各種簡易統計方法。課程安排於七年級下學期,其中 不等式學習相關的能力指標為:

A-3-04 能用含未知數的等式或不等式,表示具體情境中的問題,

並解釋算式與原問題情境的關係。

A-3-09 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。

A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題。

國中數學課程內容可分為五大主題:(1) 數與量,(2) 圖形與空 間,(3) 統計與機率、(4) 代數、(5) 連結。雖然以文字符號設方程式 解決問題的能力是代數項目的主要學習目標,但是在幾何、統計與機 率的項目中,以文字符號求未知數的問題與實例也佔有非常大的部 分,因此以文字符號求解未知數的能力,可說是國中數學課程訓練的 最重要目標。

在代數部分在第一冊的前兩章討論數的四則運算、公因數與公倍 數,第三章開始進入符號的使用介紹一元一次方程式,自此面對以文 字符號解決問題的學習歷程,透過解一元一次方程式、二元一次聯立 方程式、直角坐標與二元一次方程式、線形函數及其圖形、一元二次 方程式…等,以完整的等式體系學習以符號求解未知數的問題解決能

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探討,解不等式所須具能力和解方程式能力重疊性高,在民國 82 年 國中數學課程標準與民國 91 年九年一貫暫行綱要數學領域課程標準 所編之課本,將不等式編在等式體系學習之後,置於一元二次不等式 之後,主要是考慮到學生須具備二元不等式的思維,以接續高中線性 規劃的教學;在以九年一貫正綱數學領域課程標準於民國 94 年正式 發行的數學課本則將其編在解一元一次方程式之後,主要是考慮讓學 生了解等式與不等式的區別,能更貼合實際生活的問題解決,兩種考 量皆屬合理,但也各有其優缺點(如下表)。

表 1-1

82 年版與 91 年版 94 年版 階段 一年級 三年級 優點 學生具備熟練的解方

程式技能。

能和高中課程連結。

能立即做等式與不等式 的比較。

貼合實際世界的情況。

缺點 學生覺的內容太簡單 使注意度降低。

缺乏二元不等式思維的 經驗。

根據實證研究:國中一年級男女生對於「文字符號可當作一般化 的數字」及「文字符號可當作變數」之概念理解均深感困難,顯示國 一學生對文字符號概念的理解,多未到達這兩個層次,尚無法解決這

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兩類概念的問題(陳慧珍,90)。七年級認知理解各層次人數分佈與 八、九年級有顯著的差異;八年級與九年級之間未達統計顯著差異,

學生的文字符號運算概念的表現隨年齡增加顯著的增強,…. 文字符 號運算概念認知層次的高低對於代數運算的成就有顯著的影響,學生 的代數運算成就不受接觸代數的時間多寡影響,成就表現取決於文字 符號概念的認知成熟度(許正諭,94)。

以研究者的教學經驗,可感受到學生字符號概念的認知成熟度與 學習時間的正相關,國一的學生在解決一元一次題目時,學習成就高 者也會常用數值代入的方式來獲得答案,而國三學生中許多學習成就 低者,即使沒有完成運算,也都會以設未知數的方法嘗試求解,寧願 放棄作答也少有代入數值求解者,因此,研究者認為,能具備熟練的 解方程式技能,再學習不等式的求解,學生會有能力注意到不等式的 其他學習目標。

根據皮亞傑認知發展理論,時間是重要的學習因素之一,如果時 間充足,學生能重組所學使學習能夠進一步深入探求學習的內容,或 者得到新的能力,不等式的學習內容中與解方程式有很大的重疊,透 過類似內容再次學習與時間的考驗,可以使學生能夠對文字符號的意 義的理解更加深入,使學生的代數知識得以重組與轉換,因此不等式

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生代數的解題能力更加完整。

由上述的課程改變知道不等式在課程實施上的不同,以九十五學 年度為例,一年級與三年級的學生在同時段學習解不等式,而依其對 代數能力的成熟度學習範圍有所調整,一年級尚未學習二元一次方程 式,學習範例中不含兩個未知數的不等式,情境說明也較受限制,故 本研究以三年及級學生為研究對象。

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能了解符號代表數的 意義(第一冊)

能將生活情境問題中 的文字敘述轉列成一 次式(第一冊第 3 章)

能以特定數值代入一 元一次式中求值 (第一冊第 3 章)

能解一元一次方程式 (第一冊第 4 章)

能理解不等式的意義

一元二次不等式 (高中) 理解三一律與不等號

的遞移律

判斷一元一次不等式 的解

判斷二元一次不等式 的解

用代入法檢驗不等式 的解

在數線上圖示一元一 次不等式的解

不等式的運算規則

以等量公理或移項法 則解一次不等式式

二元一次不等式 (高中)

解應用問題

線性規劃 (高中) 能比較數的大小

(國小)

等量公理 (第一冊第 3 章)

數線 (第一冊第 2 章)

解集合概念 能以特定數值代入二 (高中)

元一次式中求值 (第二冊第 1 章)

能進行一次式的化簡 與運算

(第一冊第 3 章)

二、教材地位分析與其它單元間之關係(以康軒版為例)

已習教材 本章教材 未習教材

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第三章 研究方法

本研究目的在探索國三學生在不等式解題上運算錯誤之情形,分 析學生的錯誤類型,從學生對不等式單元學習表現,探究造成學生錯 誤的原因,與能引導學生到正確目標的教學方式,以提供教師教學策 略與學生學習方法上改進的參考與補救教學之依據,以提升學習的成 效。

本研究以「紙筆測驗」及「晤談」兩種方法進行分析。第一階段 針對學習不等式單元的國中三年級學生進行測試,將其測驗表現作分 析處理,分別從學習成就、解題策略與錯誤類型分析學生在不等式單 元的學習錯誤概念與修正策略。第二階段從學生成就表現選取代表個 案進行訪談,分別由其學習認知、錯誤概念進行學習的調整。第三階 段綜合整理測驗與晤談資料,建構不等式單元學習流程圖與勘誤表,

提供為教學教材的參考。本章將本研究之研究設計、研究樣本、研究 工具及資料分析說明之。

(40)

第一節 研究設計

本研究為確實瞭解學生在學習不等式的解題策略與發生錯誤類 型的原因,以「紙筆測驗」及「晤談」兩種方法進行資料蒐集:

(一)藉由「紙筆測驗」調查學生在解不等式運算所使用的解題 策略與出現的錯誤。測驗卷內容針對學習內容之概念認 知、運算技能、問題解決為題目內容設計難易不同層次的 題目,目的在由學生的表現中能觀察到學生的理解能力、

解題策略與解題歷程。對學生的紙筆測驗解題結果,分為 正確解題與錯誤解題兩類,再將正確解題者的解題策略與 錯誤解題者的解題情形做分類。

(二)藉由「面談」瞭解學生在解題時之想法及運算錯誤的原因 與背景。以非結構式的面談引導學生回想當時解題時對試 題的認知與想法,瞭解學生對題目的理解與解題使用之策 略,並給予教學引導觀察學生反應;面談時採用錄音方式 再由研究者將錄音內容轉成文字稿。

(三) 整理學生的紙筆測驗、晤談結果,分析學生在不等式單元 解題的想法與錯誤原因。

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第二節 研究對象

本研究針對正學習不等式單元之國三學生,分別以高雄市 A 國中 (都會區)、高雄縣 B 國中(一般城鎮)、屏東縣 C 國中(偏遠學校)為方 便樣本各選取 2 個常態班級,共 6 個班級 204 位三年級學生進行紙筆 測驗調查,希望藉由樣本涵蓋高、高、屏三個縣市,且三所國中地理 環境的不同,使本研究的樣本能具代表性,提升施測的信度與效度。

紙筆測驗於學生學習此單元後進行施測,並進行初步分類統計後選取 適當個別樣本進行面談,藉以評鑑學生在此單元的學習認知結果。

三所國中使用的教材為:高雄市 A 國中與高雄縣 B 國中使用南一 版、屏東縣 C 國中使用的版本為康軒版。兩個版本的章節內容比較(如 下表 3-1),南一版本安排於三年級下學期第一章,康軒版本安排於 三年級下學期第二章,兩版本學習時間相近內容也大致相同。

表 3-1:各版本教材內容之比較

高雄市 A 國中 高雄縣 B 國中 屏東縣 C 國中

使用版本 南一版 康軒版

教材地位 第六冊第一章 第六冊第二章

章節內容 1-1 不等量的表示法與性質 1-2 解一元一次不等式

2-1 一次不等式的意義 2-2 解一次不等式

在正式施測之前,研究者選取已學過此單元使用 91 年版課本的 高中一年級學生 6 位與使用 94 年版課本的國二學生 54 位都學過解不

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等式單元者,計 60 位學生進行預試以作為試題修正之依據。並請指 導教授及具豐富經驗之 3 位數學教師審查試卷並徵求其意見作為調 整修改的依據。

(43)

第三節 研究工具

一、 自編之「一次不等式單元測驗卷」

依研究需要編製「不等式運算測驗」試卷,以調查學生學習不等 式之學習情形,並探討錯誤類型。編製之測驗卷參考文獻資料、國中 數學課程標準、學生使用教科書與教師手冊編列,並與現職國中教師 討論學生常犯錯誤類型,分析學生在不等式學習前後應具備之能力,

建立不等式的學習架構並經過預試後修改,以得到正式施測試卷。

二、預試與修改

預試以學過不等式單元的高中一年級 6 位學生與國二學過(94 學 年度)不等式單元的 2 個班級學生為對象,結果與修改如下:

表 3-2:預試題目雙向細目表

題目類型 教學目標

概念認知 運算技能 問題解決 合計題數 認識一次不等式 (1) (3) (8)、(9) 4 一次不等式的解 (5) (10) (19) 3 不等式的運算法

(2)(4)(6) (12)(13) (7)(14) 7 不等式解和數線

的關係 (11) 1

解一次不等式之

文字題 (16) (15) (17)(18)

(20) 5

合計 6 6 8 20

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表 3-3:預試結果

題號 答題人數 答對人數 答對率(%) 刪選與修改處理

(1) 60 58 97 刪除

(2) 60 28 47 保留

(3) 60 30 50 增加一個子題目

(4) 60 60 100 刪除

(5) 60 46 78 刪除

(6) 60 50 83 刪除

(7) 60 20 33 保留

(8) 60 54 90 保留

(9) 60 26 43 與第 10 題整併

(10) 60 26 43 與第 9 題整併

(11) 60 18 33 刪除

(12) 60 14 23 刪除

(13) 60 6 10 刪除

(14) 60 12 20 刪除

(15) 60 28 50 保留

(16) 60 10 16 保留

(17) 60 4 6 刪除

(18) 60 8 13 增實例說明引導

(19) 60 6 10 刪除

(20) 60 14 23 保留

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由預試結果與訪問學生對題目的反應,刪除太難與過易的題目,

或對題目敘述做修改,並檢視對應能力指標,將測驗卷之編製依不等 式單元學習內容與對應能力指標分別以「層次性題目」、「運算規則」

及「情境問題」方式做調整,以確實了解概念認知情形、運算技能使 用、問題解決能力等對應資料,以決定正式測驗題(表 3-4,3-5)。

表 3-4:不等式單元學習主題、學習目標與題號對應表:

學習主題 學習目標 題號

認識不等符號「<」「>」「≦」「≧」與

不等號的遞移性質。 2

認識一次不 等式

將日常生活實例寫成一元一次不等式或二元一次不 等式。

7

一次不等式 的解

判斷一元一次不等式的解。

解一元一次不等式。

檢驗不等式答案之合理性。

瞭解不等式解和數線的關係。

圖解一元一次不等式。

4 6

不等式的運 算法則

理解等量公理在不等式運算的意義 不等式的加、減、乘、除的運算法則

理解等量公理與移項法則在解不等式的意義

1 5

解一次不等 式之文字題

以不等式解決的情境問題 3

8 9 10

(46)

表 3-5:正式卷雙向細目表

題目類型 教學目標

概念認知 運算技能 問題解決 合計題數 列一次不等式(列

式) (2) (7) 2

求一次不等式的解

(求解) (4) (6) 2

不等式的運算法則

(算則)

(1) (5) 2

解一次不等式之文

字題(文字題) (3) (8) (9)(10) 4

合計 3 3 4 10

二、 非結構式的面談

本研究以非結構式的面談以了解學生在作答時的想法,面談時先 準備作答資料,讓學生作類似題型,引導學生回想當時解題時對試題 的認知與想法,給與教學引導觀察學生反應。研究者應先統計學生整 體作答情形,根據統計結果在不同階層選取適合之學生進行面談,過 程中以錄音方式記錄結果。

(47)

第四節實施流程

一、 蒐集資料:

參考國內外有關不等式文獻,並分析學習內容,參考國中學力基 本測驗題型建立題型架構,與指導教授討論文字的修飾之後,共選取 二十題做為預試之試題。

二、編製工具

依研究需要自編「一次不等式單元預試測驗卷」,內容針對學習 內容之概念認知、運算技能、問題解決為題目內容設計難易不同層次 的題目,目的在學生的表現中能觀察到學生理解能力、解題策略與解 題歷程,題型分別為選擇 5 題非選擇 15 題,測驗時間為 40 分鐘。

三、進行預試

預試分別以學過不等式單元的高中一年級 6 位學生與國二學過

(94 學年度)不等式單元的 2 個班級學生為對象,目的為瞭解研究 工具是否能確實調查出學生在不等式運算錯誤之情形。

四、試題修改

將預試結果刪除太難、太容易或學生不懂題意等較不適合的問 題,再與學校數學教師、指導教授討論後修改試題,決定正式施測的 10 題測驗題,包括 1 題選擇題、1 題文字符號表示填充題與 8 題計算

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題,題目選擇根據不等式單元教學目標分類依「甲類-列式」2 題、「乙 類-規則」2 題、「丙類-求解」2 題、「丁類-文字題」4 題,總計四類 共 10 題,每類題目以根據測驗目標選取不同難易題目以觀察學生的 表現情形。

六、正式施測

正式施測樣本為高雄市、高雄縣、屏東縣各選一所國中的 2 個班 級,共 6 個班級 204 人,本研究正式施測時間為 96 年 3 到 4 月,以 團體方式施測,施測時間為 40 分鐘,施測前由研究者說明施測目的 與作答注意事項。為了要了解學生解題策略及錯誤情形,本測驗除第 1 題為選擇題,第二題為符號列式填充題外,其餘 3-10 題採計算題 方式,並要求學生必須寫出解題過程,不可空白。

七、晤談階段

依學生作答內容與呈現的錯誤類型選取具代表性者及配合度較 高的學生,實施晤談。以非結構式的面談引導學生回想當時解題時對 試題的認知與想法,瞭解學生對題目的理解與解題之策略,並給與教 學引導觀察學生反應;面談時採用錄音方式,再由研究者將錄音內容 轉成文字稿。

(49)

晤談流程圖

八、資料分析

(一) 將蒐集之作答資料作結果歸納統計,分別作學生解題策略與錯 誤類型的分類,並探討錯誤原因。

(二) 面談結束後,將所有面談資料收集並予以分析,依學生陳述資 料探討學生學習情形,用來了解學生可能犯錯之想法與原因。

使用使解題使使的使使 解題使使解解?

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確確確生解方程式確算題確文字題題確程的正確與針

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確確到解題錯誤的到到 確確確算錯誤 不不題意或不不不使使錯誤等等.

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針針錯誤到到 針針到針生使使

(50)

圖:本研究流程圖

實 施 步 驟 流 程

資資資集

編編編編編編

不選選合選選

試題試試確試試

正式施正

晤晤晤晤

閱閱閱閱確閱閱資資 教教教教 教教教教,

編編試試試編

與選選確與 教與與與,

進行試試

試題試試以確確正式試編

分分正式試編 統確確生錯誤到到

不選晤晤確生 分分晤晤資資

綜合分分

(51)

第四章結果與討論

本研究從 204 位學生在一次不等式測驗試卷的基本概念及應用 問題的解題表現加以分析,探討學生發生錯誤原因,本章根據研究待 答問題將結果分為四個部份說明。第一節以學生在不等式單元測驗結 果的正確率探討學生在不等式測驗的表現情形;第二節依學生解題的 結果分析學生的解題策略;第三節將學生錯誤類型作歸類、整理出學 生在本研究中出現的錯誤類型。第四節根據第三節的歸類探討其發生 錯誤的原因與學生的困難。

第一節 一次不等式之解題正確百分比

本節根據研究者自編之「 一次 不 等式 單 元之 測 驗卷 」 對剛 學 習 完 不等 式 單元 之 學生施測,將第一階段筆試結果分別就四類題型 中每一小題的答對人數、答錯人數及正確解題百分率做統計呈現學生 的作答情形。

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一、學生在各試題之表現情形統計

本研究將一次不等式試題區分為四類如下:甲類-以文字符號列 式[列式]、乙類-不等式運算法則[算則]、丙類-不等式求解[求解]、

丁類-文字問題求解[文字題],所有學生在一次不等式測驗中每一題 之答題情形,包含答題人數、答對人數、正確率如下表(見表 4-1-1)。 表 4-1-1 學生作答正確率統計表

主題分類 題號 答題人數 正確人數 各類平均確率 2 204 96

甲-[列式]

7 204 125

0.54

1 204 122 乙-[算則]

5 204 116

0.59

4 204 146 丙-[求解]

6 204 111

0.63

3-1 204 101 3-2 204 52

8 204 82 9 204 99 丁-[文字題]

10 204 72

0.40

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由上表學生在不等式測驗卷的平均正確率為 50,四類型平均正 確率 54,顯示半數的學生在文字符號計算與不等式解題是有困難的,

四個類型的表現以丙類的不等式求解(63%)最佳,其次為乙類的不 等式運算法則(59%),再來是甲類的以文字符號列式(54%),最差 為丁類的文字問題求解(40%);其中學生在乙類的不等式運算法則

(59%)、丙類的不等式求解(63%)、文字符號列式(54%)明顯優於 丁類的文字問題求解(40%),此差距顯示了學生能了解運算規則並 操作符號的運算,但對不等式數學實質意義並未真正理解與熟練,對 文字理解的符號表示也有所缺乏,符合前述國內研究袁媛(1993)、

王如敏(2004)等的研究結果:學生對文字符號的理解有很大的差異,

無法真正連結文字符號與題意之間的訊息。尤其當出現了學生不常見 的題型或文字敘述時(如題 3-2、題 10),由於上述能力的缺乏,正 確率呈現明顯的下降。

(54)

二、各國中學生作答的情形

以下表格以學校為不同樣本群體,統計不同學校的學生在各題目 的正確、錯誤與空白未作答作答情形(表4-1-2)。

表4-1-2 三所國中學生各題表現統計表

A國中 B國中 C國中

類 題 正確 錯誤 未答 正確 錯誤 未答 正確 錯誤 未答 2 0.45 0.33 0.22 0.54 0.23 0.23 0.44 0.45 0.11 甲

7 0.63 0.24 0.13 0.58 0.33 0.09 0.47 0.48 0.05 1 0.65 0.35 0.00 0.58 0.42 0.00 0.53 0.47 0.00 乙

5 0.55 0.37 0.08 0.73 0.22 0.05 0.40 0.55 0.05 4 0.78 0.16 0.06 0.70 0.25 0.05 0.68 0.29 0.02 丙

6 0.63 0.27 0.10 0.61 0.29 0.10 0.37 0.57 0.06 3-1 0.51 0.31 0.18 0.56 0.33 0.11 0.40 0.37 0.23 3-2 0.35 0.35 0.30 0.23 0.38 0.39 0.17 0.48 0.35 8 0.46 0.21 0.22 0.52 0.33 0.15 0.21 0.66 0.13 9 0.56 0.21 0.23 0.59 0.22 0.19 0.28 0.40 0.32 丁

10 0.42 0.32 0.26 0.30 0.31 0.39 0.32 0.27 0.41 平均 0.55 0.29 0.16 0.54 0.30 0.16 0.39 0.45 0.16

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三個不同的樣本群中,A 國中正確率 56%與 B 國中正確率 54%

相近,而 C 國中正確率 39%較前兩者為低,雖然各樣本群間表現的 比較不是本研究所探討的重點,影響此差距的因素很多,但從各群學 生中解題行為共通性的比較中可發現,除了教師教學方式與城鄉差距 的因素外,可從接下來的學生表現的比較探討發現,學校使用教科書 版本的不同應是影響學生表現的重要因素。

三、學生解題表現討論

研究者所編之測驗卷題目包括四類主題:甲類-文字符號列式;

乙類-不等式運算法則;丙類-不等式求解;丁類-文字問題求解。以 下分別對學生在各類題型的表現作說明。

甲類-文字符號列式:甲類問題分別列於第 2 題與第 7 題,第 2 題的正確率為 0.54 與 7 題的正確率為 0.59 高於各類問題的平均表 現,可見半數學生已具以文字符號表示的能力;第 2 題的題目敘述中 內含男生平均數、女生平均數、總平均數三個項目,而要求以一個指 定未知數(X)對三者間的關係以不等式作表示,對於分組平均量與總 平均量關係概念不清楚的學生會造成文字符號轉譯上的困擾。在這一 組題目中,由國中基本學力測驗題改編的第 7 題,學生必須對圖形中 放入 3 個玻璃珠但水位仍不足和放入 5 個玻璃珠造成滿溢,對數值上 的認知與不等符號作連結。研究者對各小題的細分統計時,發現有

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