# 國中三年級學生一次不等式解題策略及錯誤類型之研究

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## 致謝

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### 論文摘要

（一） 學生在一次不等式的解題策略有：(1) 轉譯、(2) 化簡、(3) 運算性質、(4) 畫圖表徵、 (5) 代入法、 (6) 解集合法、(7) 等量公理、(8) 解不等式、 (9) 解方程等式、 (10) 組合數 字、 (11) 列舉法、(12) 猜測答案。

（二） 學生在一次不等式的錯誤類型可歸類為：(1) 不了解題意、(2) 誤用符號、(3) 錯誤組合數值、(4) 錯誤概念、(5) 誤判解答、

(6) 假設錯誤、(7) 誤用未知條件、(8) 誤用解題策略、(9) 數 值運算錯誤、(10) 符號運算錯誤、(11) 誤用運算規則。

（三） 研究發現學生在解不等式單元最容易發生錯誤的地方是對題 目的理解轉譯與答案的選取判斷。對不熟悉的類型題學生對寫 出對應的不等式會感到困難；研究者也發現學生對於負小數或 負分數的大小關係辨識不清，不論應用題或計算題都有不少學 生有出現此類的錯誤。

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### A Study of Problem-Solving Strategies and Errors in Inequalities for Junior High School Students

The aim of this study is to investigate students in learning in inequalities with one unknown, as well as to collect corresponding strategies and errors in problem solving. The subjects of this study were nine-grade students from junior high school. Six classes were selected from three schools with total of 204 students.

This investigator used a paper-and-pencil test in first round data collection. In the second round, some students were interviewed, to further understand students’ way of thinking and reasons in errors

produced in problem-solving procedures. Hopefully, results can be used as reference for junior high school math teacher to plan future teaching and to prepare teaching materials.

The results of the study are three: students solved linear inequalities by using 12 different strategies; students’ errors can be divided into 11 types; and, the reasons for errors are mainly understanding and transforming information from problems and the determination on solutions. The students also found it difficult to understand negative fractions and negative decimals relationships (no matter in word problems or in calculation problems).

In this study, those who fail to solve problems involving inequalities with one unknown are those who cannot translate algebraic expressions or keywords. They produced errors 5 typical cases: determining

objectives, integrating mathematics knowledge, using a problem solving method, calculating process, and, determining s solution.

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## 第一章緒論

### 第一節研究動機

Whitney (1985)認為學生不能理解數學在教什麼，而大人又錯誤地判 斷是學生努力的不夠，而要求他們反覆練習。

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(5) 貼近真實世界問題陳述與求解等。但由於不等式單元必須接續在 一元一次方程式與二元一次聯立方程式單元之後，而且與高中一元二 次不等式的教材有所重疊下，使不等式學習教材編排界定不明確，哪 些部分是國中必須學習，而那一些部分是應排到高中時學習，產生不 同版本上學習內容的差異。例如：南一版本中將絕對值的不等式求解 與兩個不同未知數的不等式合併排入，而康軒版本並無此類內容，此 差異可能對學生造成影響。

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Whitney (1985)認為學生不能理解數學在教什麼，而大人又錯誤 地判斷是學生努力的不夠，而要求他們反覆練習，必然將這些焦慮不 安的孩子推向更大的危機。因此在數學教學過成程中，能正確判斷學 生的想法，辨正學生的錯誤概念，並將其解題歷程的錯誤引導到以正 確的概念與原則，了解策略使用的時機與運用技能的方法，才能使學 生都能調整到朝正確的學習目標前進。

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### 第二節 研究目的與待答問題

（一）探討國中三年級學生在一次不等式的解題表現。

（二）探討國中三年級學生在一次不等式的解題策略。

（三）探討國中三年級學生在一次不等式的錯誤類型。

（四）探討學生在解一次不等式的錯誤類型形成的原因。

（一）國中三年級學生在解一次不等式所使用解題策略為何？

（二）國中三年級學生在解一次不等式產生錯誤類型為何？

（三）學生在一次不等式的錯誤類型形成的原因為何？

### 第三節名詞釋義

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knowledge），或與正統科學知識不符之概念。由於這些通常都是錯誤 的，因此也有人稱之為錯誤概念（余民寧，1999）。

Polya (1945)將解題的歷程分為四個階段：了解問題、擬定計畫、

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## 第二章 文獻探討

### 第一節 代數課程的定位

(pre-algebra)應從小學開始。Schliemann、Carraher、Brizuela (2007) 針 對 7 到 11 歲孩童的教室觀察發現：孩童使用數學符號不只是記錄他 們了解的事物，也是去幫忙進一步去架構他們的想法，讓他們能在別 的地方做不曾做過的推論；認為在小學課程應發展代數或先前代數。

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Rojano (1994)對國中學生的代數思考的形成認為：青少年數學思 考的轉變過程是(1) 從算數到代數，(2)從個別的思考到一般化的思 考，(3) 從非形式化解題到形式化解，(4) 從畫圖到圖形，(5) 朝向代 數思考。數學邏輯推理的訓練是數學教育的重要目標，對於國中學生 而言透過代數的演練來訓練，可謂是最容易達成，因此代數思考的學 習是國中數學課程的主軸。學生在學習的過渡期會發生那些不理解或 誤解，是教學者必須注意的，教學者可從基礎概念的形成、運算方法 的學習、學習的認知與學習結果的呈現，測量出我們想知的結果，以 此結果適時調整教學節奏，以確保學生的代數思考的學習方向。

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（王如敏，2004）。

Polya (1945)認為：從問題解決與數學的角度來看，方程式在代 數領域中，扮演著非常重要的角色。謝夢珊（2000）以不同符號表徵 未知數對國二學生解方程式表現之探討研究中，將造成不同表徵下解 題表現的差異分為：對文字符號的認知差異、代數式的認知差異、等 號的認知差異、解題策略的認知差異、解題程序的認知差異與思考方

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1. 對方程式的了解：包括能正確使用未知數符號，並了解 其在方程式中代表的意義。

2. 正確的運算過程：能夠順利進行文字符號的運算、化簡 與合併。

3. 具足夠的先備知識：能了解問題中語意與適當使用運算 符號，並能對答案檢驗其合理性。

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1. 負數運算規則：「若 a、b、c 為實數，若 a＞b 且 c＜0，

2. 數線與坐標平面上：教師可讓學生比較「數線上畫 x＞3」

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4. 不建議編列：絕對值之不等式對學生而言很難理解，建議 不宜編列(目前教材中已經刪減)。

1. 學生將先前學習過的知識作錯誤的類推。

2. 學生受到老師教學口訣、教材編排、及不當記憶公式的 影響。

3. 先備知識的不足。

4. 無法將一元二次不等式和二次函數的圖形作正確的聯 結。

5. 對不等式的運算邏輯不清楚。

6. 受到直觀的影響。

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1. 對移項法則的迷失。

2. 對不等式乘、除法的迷失。

3. 對不等式平方的迷失。

4. 對不等式平方開方的迷失。

5. 對不等式分數形式的迷失。

6. 文字題條件考慮的迷失。

(7) 將「無解」及「無限多個解」概念做過度推廣。並以上述結論將 學生在「一元二次不等式運算」錯誤的原因歸納為：(1)誤用資料，(2) 誤譯語文，(3) 不合邏輯的推論，(4) 扭曲的定理或定義，(5)技術上

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### 第二節 數學解題的相關研究

Polya (1945) 的著作『如何解題』(How to Solve It )一書中提到解 題的歷程可分為四個階段：

1. 了解問題：根據題目的提示，了解已知條件與問題目標 以及未知條件。

2. 擬定計畫:找出未知數與已知數之間的關係，建立獲得答 案的想法，如果找不到題目目標就建立先找到間接目標再 找到題目目標的策略。

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3. 執行計畫：實行所擬定的計畫，並檢驗每一步驟；

4. 回顧：檢驗核對答案的合理性與正確性。

Schoenfeld (1985) 將 Polya 的解題之歷程再細分為六個階段：閱 讀、分析、探索、執行、驗證與移轉六個步驟。Schoenfeld 以認知的 觀點從專家與生手的解題差異，發現到專家由於長時間解題經驗的累 積，會發展出一些有用而又一致的解題策略。好的解題者能在解數學 題目時，經過閱讀題目、分析探索問題的運用策略後，以計畫解題的 程序並加以執行，直到求出答案並驗證答案的正確性。

Parker, 1999)。學生根據文字問題的狀況的相關性以符號去轉化，把 文字表達的條件改用數學符號表示，是從普通語言到數學公式語言的 一種翻譯，因此學生必須徹底瞭解給與條件與熟悉數學表答形式

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Kilpatrick (1985) 指出想要成功解出一道複雜的數學題目，解題 者須具備三種能力：擁有豐富且系統化的數學知識、能表徵並轉換問 題的處理能力以及有控制系統能導引及挑選出有用的知識與過程。要 成功解題，解題者須能瞭解及分析題意，從數學基模知識中辨別決定 應該使用的解決方法，採用適當的策略，並能意識到目前自己解題的 進度，檢視及修正錯誤，預測策略的可行性以作適當調整。

Mayer (1985) 提到解題方面時，強調數學學習不只是在求得正確 答案解，更應該重視問題解決的歷程，否則，學生只會解決問題，但 對數學的理解只是局部的，無法獲得完整的數學能力。數學教師也應 從學生解題的過程進行研究，探討有發生的錯誤的過程，才能正確分 析學生解題產生錯誤的原因。

1. 是否能瞭解及分析題意。

2. 是否能掌握解題的關鍵與發揮數學基模知識來辨別及決

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3. 是否能評估正確解題策略，清楚解題的步驟，。

4. 是否能覺知自己目前的解題狀況。

5. 是否能察覺解題歷程的錯誤與矛盾之處，及檢視目前使 用的原理與性質是否正確。

6. 是否能預測此解題策略的可行性及評估未來的解方向與 方法。

7. 否能評估自己對此題的解題能力。

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### 第三節 錯誤類型的相關研究

（intuitive knowledge），或與正統科學知識不符之概念。由於這些通 常都是錯誤的，因此也有人稱之為錯誤概念（余民寧 民 88）。由建 構論的觀點，教師將一個訊息傳遞給學生，但每個學生都在建構此訊 息對自己的意義，經過組合、忽略或轉換教師所傳的訊息後，造成學 生所接收到的訊息並不一樣(Von Glaserfeld，1987)。學生解題時會依 據其經驗與先備知識，當對詞句與訊息的理解與原來所傳訊息不同 時，不僅會影響答案，也會影響思考過程，形成錯誤概念。

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Schwarzenberger (1984)認為錯誤有助於數學的發展並提出兩個論 點：

1. 錯誤有助於瞭解數學：錯誤會幫助教師讓學生瞭解數學 的來龍去脈，而正確的論證卻經常不會。

2. 錯誤可做為診斷的工具：錯誤能讓教學者了解學生的想 法，錯誤並非是漫無目的的發生，每個錯誤的發生各都有 其發生的理由。

1998）。

Sutton & West (1982) 認為一旦錯誤概念形成後，即使經過教導 與糾正，仍很難改變，而產生錯誤概念的原因有以下七點：(1)與生 俱來的；(2)從日常生活而來；(3)隱喻而來的；(4)類比產生的；(5)來 自同儕文化的； (6) 來自正式與非正式的教學；(7)字義的聯想、混

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Brown 與 Vanlehn (1982) 解釋學生解題產生錯誤的原因，乃是由 於學生在使用不完全的解題算則時遭遇僵局，於是尋求自己比較能接 受的法則來解決困難，這個過程稱為修補(repair)，若修補成功，則修 補辦法就會保留而成為法則，若是失敗，則解答過程變會出現錯誤。

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Movshovitz-Hadar , Zaslavsky, Inbar (1987) 重視運算過程的分 類，將以色列的大學聯考資料作分析後，將錯誤原因分為六類：

1. 誤用資料（Misused Data ）：指計算時所擁的資料與原有的資 料不符，可由學生所寫出的內容找到一些題目所提供之資料 與錯誤訊息。

2. 誤釋語意(Misinterpreted Language)：指轉譯到數學語言時產生 的錯誤，其中可能是圖形、符號或方程式的表達錯誤。

3. 不合邏輯的推論(Logically Invalid Inference)：指推理方面的錯 誤。

4. 扭曲定理或定義(Distorted Theorem or Definition)：指將定義或 定理的原則扭曲。

5. 未驗證解答(Unverified Solution) ：指答案未經檢查、驗算或 證明。

6. 技術上的錯誤(Technical Error) ：指計算上的錯誤。

1. 題意轉譯的錯誤概念：包含學生對於關鍵詞句詞義無法充分

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2. 問題整合的錯誤概念：包含缺乏基本的數學概念；無法察覺 到所計算出來的答案是否合理；學生不會做假設；學生套用 固定的模式而不隨問題的變化而加以改變。

3. 解題計畫與監控的錯誤概念：未能了解已知條件與未知條件 之間的關係，以致假設與式子不符；無法針對不同的問題採 用不同的解題策略；學生以為一個題目只有一個方法:學生會 受前後題的影響而採用不當的解題策略。

4. 解題執行的錯誤概念：在解方程式時會產生移項錯誤；移項 錯誤多半是因為缺乏等號兩邊等值的觀念；學生在使用消去 法時容易產生正負號混淆的情形。

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(2) 文字符號概念知識不完備，(3) 未能依照題意列出符合題意的一 元一次方程式，(4) 未能正確解出一元一次方程式。學生在解題的歷 程中，對於所需要的四種知識即語言知識、基模知識、策略知識、程 序性知識都有很多不同的。研究者認在學習層面上來看：當教師能瞭 解學生學習的困難所在，可對學生出線的錯誤以較淺顯的語具作分 類，例如將學生錯誤分為語文上、觀念上、方法上、運算上的錯誤，

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### 第四節 一元一次方程式教材分析

(2) 培養日常所需的數學素養，(3) 發展形成數學問題與解決數學問 題的能力。(4) 發展以數學做為明確表達、理性溝通工具的能力。5.

A-3-2 能將生活中的問題表徵為含有 x、y、…的等式或不等式，

A-4-3 能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。

A-4-5 能利用一次式解決生活情境中的問題。

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A-3-04 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問題，

A-3-09 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。

A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題。

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82 年版與 91 年版 94 年版 階段 一年級 三年級 優點 學生具備熟練的解方

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(國小)

(第一冊第 3 章)

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## 第三章 研究方法

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### 第一節 研究設計

（一）藉由「紙筆測驗」調查學生在解不等式運算所使用的解題 策略與出現的錯誤。測驗卷內容針對學習內容之概念認 知、運算技能、問題解決為題目內容設計難易不同層次的 題目，目的在由學生的表現中能觀察到學生的理解能力、

（二）藉由「面談」瞭解學生在解題時之想法及運算錯誤的原因 與背景。以非結構式的面談引導學生回想當時解題時對試 題的認知與想法，瞭解學生對題目的理解與解題使用之策 略，並給予教學引導觀察學生反應；面談時採用錄音方式 再由研究者將錄音內容轉成文字稿。

(三) 整理學生的紙筆測驗、晤談結果，分析學生在不等式單元 解題的想法與錯誤原因。

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### 第二節 研究對象

2-1 一次不等式的意義 2-2 解一次不等式

(42)

(43)

## 第三節 研究工具

(2)(4)(6) (12)(13) (7)(14) 7 不等式解和數線

(20) 5

(44)

（1） 60 58 97 刪除

（2） 60 28 47 保留

（3） 60 30 50 增加一個子題目

（4） 60 60 100 刪除

（5） 60 46 78 刪除

（6） 60 50 83 刪除

（7） 60 20 33 保留

（8） 60 54 90 保留

（9） 60 26 43 與第 10 題整併

（10） 60 26 43 與第 9 題整併

（11） 60 18 33 刪除

（12） 60 14 23 刪除

（13） 60 6 10 刪除

（14） 60 12 20 刪除

（15） 60 28 50 保留

（16） 60 10 16 保留

（17） 60 4 6 刪除

（18） 60 8 13 增實例說明引導

（19） 60 6 10 刪除

（20） 60 14 23 保留

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7

4 6

1 5

8 9 10

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(求解) (4) (6) 2

（算則）

(1) (5) 2

(47)

### 第四節實施流程

（94 學年度）不等式單元的 2 個班級學生為對象，目的為瞭解研究 工具是否能確實調查出學生在不等式運算錯誤之情形。

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(49)

### 晤談流程圖

(一) 將蒐集之作答資料作結果歸納統計，分別作學生解題策略與錯 誤類型的分類，並探討錯誤原因。

(二) 面談結束後，將所有面談資料收集並予以分析，依學生陳述資 料探討學生學習情形，用來了解學生可能犯錯之想法與原因。

. ,

, .

(50)

(51)

## 第四章結果與討論

### 第一節 一次不等式之解題正確百分比

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7 204 125

0.54

1 204 122 乙-[算則]

5 204 116

0.59

4 204 146 丙-[求解]

6 204 111

0.63

3-1 204 101 3-2 204 52

8 204 82 9 204 99 丁-[文字題]

10 204 72

0.40

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（59％）、丙類的不等式求解（63％）、文字符號列式(54％)明顯優於 丁類的文字問題求解（40％），此差距顯示了學生能了解運算規則並 操作符號的運算，但對不等式數學實質意義並未真正理解與熟練，對 文字理解的符號表示也有所缺乏，符合前述國內研究袁媛（1993）、

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A國中 B國中 C國中

7 0.63 0.24 0.13 0.58 0.33 0.09 0.47 0.48 0.05 1 0.65 0.35 0.00 0.58 0.42 0.00 0.53 0.47 0.00 乙

5 0.55 0.37 0.08 0.73 0.22 0.05 0.40 0.55 0.05 4 0.78 0.16 0.06 0.70 0.25 0.05 0.68 0.29 0.02 丙

6 0.63 0.27 0.10 0.61 0.29 0.10 0.37 0.57 0.06 3-1 0.51 0.31 0.18 0.56 0.33 0.11 0.40 0.37 0.23 3-2 0.35 0.35 0.30 0.23 0.38 0.39 0.17 0.48 0.35 8 0.46 0.21 0.22 0.52 0.33 0.15 0.21 0.66 0.13 9 0.56 0.21 0.23 0.59 0.22 0.19 0.28 0.40 0.32 丁

10 0.42 0.32 0.26 0.30 0.31 0.39 0.32 0.27 0.41 平均 0.55 0.29 0.16 0.54 0.30 0.16 0.39 0.45 0.16

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## References

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