连续性理论

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补充：连续性理论

.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系吕荐瑞

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实数的连续性

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第一节

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指数函数的连续性

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第二节

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三角函数的连续性

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第三节

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反函数的连续性

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第四节

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初等函数的连续性

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第五节

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实数集

问题 R 与 Z、C、Q 分别有何区别？ 1 运算性：R 与 Z 的区别 2 顺序性：R 与 C 的区别 3 连续性：R 与 Q 的区别 .

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实数集

问题 R 与 Z、C、Q 分别有何区别？ 1 运算性：R 与 Z 的区别 2 顺序性：R 与 C 的区别 3 连续性：R 与 Q 的区别

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实数集

问题 R 与 Z、C、Q 分别有何区别？ 1 运算性：R 与 Z 的区别 2 顺序性：R 与 C 的区别 3 连续性：R 与 Q 的区别 .

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实数集

问题 R 与 Z、C、Q 分别有何区别？ 1 运算性：R 与 Z 的区别 2 顺序性：R 与 C 的区别 3 连续性：R 与 Q 的区别

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实数集

定义实数集 R 是包含 0 和 1 且满足下列三种性质的数集： 1 运算性：任何两个实数作四则运算后还是实数，而且四则运算还满足交换律、结合律、分配律等运算定律． 2 顺序性：任何两个实数都可以比较大小，而且当  > 0, y > 0 时总有 + y > 0 和 y > 0． 3 连续性：实数集满足确界原理，即有上界（下界）的非空子集必有最小上界（最大下界）． .

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确界原理

对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¶ m，则称 m 为 A 的一个上界． 如果 m 是 A 的一个上界，而且任何小于 m 的数都不 是 A 的上界，则称 m 为 A 的最小上界，记为 sp A．对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¾ m，则称 m 为 A 的一个下界． 如果 m 是 A 的一个下界，而且任何大于 m 的数都不 是 A 的下界，则称 m 为 A 的最大下界，记为 inf A．

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确界原理

对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¶ m，则称 m 为 A 的一个上界． 如果 m 是 A 的一个上界，而且任何小于 m 的数都不 是 A 的上界，则称 m 为 A 的最小上界，记为 sp A．对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¾ m，则称 m 为 A 的一个下界． 如果 m 是 A 的一个下界，而且任何大于 m 的数都不 是 A 的下界，则称 m 为 A 的最大下界，记为 inf A． .

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确界原理

对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¶ m，则称 m 为 A 的一个上界． 如果 m 是 A 的一个上界，而且任何小于 m 的数都不 是 A 的上界，则称 m 为 A 的最小上界，记为 sp A．对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¾ m，则称 m 为 A 的一个下界． 如果 m 是 A 的一个下界，而且任何大于 m 的数都不 是 A 的下界，则称 m 为 A 的最大下界，记为 inf A．

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确界原理

对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¶ m，则称 m 为 A 的一个上界． 如果 m 是 A 的一个上界，而且任何小于 m 的数都不 是 A 的上界，则称 m 为 A 的最小上界，记为 sp A．对于 R 的非空子集 A，如果对每个  _{∈ A，都满足}  ¾ m，则称 m 为 A 的一个下界． 如果 m 是 A 的一个下界，而且任何大于 m 的数都不 是 A 的下界，则称 m 为 A 的最大下界，记为 inf A． .

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确界原理

下面是确界原理的一些例子： 1 若 A = {1,2,3}，则 sp A = 3． 2 若 A = {1 2, 2 3, 3 4, 4 5,· · · }，则 sp A = 1． 3 若 A = {1,2,3,4,5,· · · }，则 sp A 不存在． 4 若 A = { | 0 <  < 1}，则 sp A = 1． 5 若 A = { | 2 < 2}，则 sp A =p2．

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确界原理

下面是确界原理的一些例子： 1 若 A = {1,2,3}，则 sp A = 3． 2 若 A = {1 2, 2 3, 3 4, 4 5,· · · }，则 sp A = 1． 3 若 A = {1,2,3,4,5,· · · }，则 sp A 不存在． 4 若 A = { | 0 <  < 1}，则 sp A = 1． 5 若 A = { | 2 < 2}，则 sp A =p2． .

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确界原理

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确界原理

下面是确界原理的一些例子： 1 若 A = {1,2,3}，则 sp A = 3． 2 若 A = {1 2, 2 3, 3 4, 4 5,· · · }，则 sp A = 1． 3 若 A = {1,2,3,4,5,· · · }，则 sp A 不存在． 4 若 A = { | 0 <  < 1}，则 sp A = 1． 5 若 A = { | 2 < 2}，则 sp A =p2． .

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确界原理

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确界原理

实数集 R 满足确界原理：当全集为 R 时， { | 2 < 2} 由所有平方小于 2 的实数组成， 它有最小上界 p2．有理数集 Q 不满足确界原理：当全集为 Q 时， { | 2 < 2} 由所有平方小于 2 的有理数组成， 它有上界 2，但没有最小上界（因为 p2 /∈Q）． .

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确界原理

实数集 R 满足确界原理：当全集为 R 时， { | 2 < 2} 由所有平方小于 2 的实数组成， 它有最小上界 p2．有理数集 Q 不满足确界原理：当全集为 Q 时， { | 2 < 2} 由所有平方小于 2 的有理数组成， 它有上界 2，但没有最小上界（因为 p2 /∈Q）．

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确界原理

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确界原理

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确界原理

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确界原理

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确界原理

例子 求数集 A _{= { | }3_{+  < 1} 的最小上界．} 1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界最小上界为 0.682327803828019327369483· · · .

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确界原理

例子 求数集 A _{= { | }3_{+  < 1} 的最小上界．} 1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界最小上界为 0.682327803828019327369483· · ·

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确界原理

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确界原理

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确界原理

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确界原理

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确界原理

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确界原理

例子 求数集 A _{= { | }3_{+  < 1} 的最小上界．} 1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界不为上界最小上界为 0.682327803828019327369483· · ·

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确界原理

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极限存在准则 II

定理 (极限存在准则 II) 单调且有界的数列必定收敛． 1 单调增加且有上界的数列必定收敛． 2 单调减少且有下界的数列必定收敛．证明 设数列 {n} 单调增加而且有上界．由确界原 理，集合 {n} 有最小上界 ．我们断言该数列收敛 于 ．实际上，对于任何 ε > 0, 由于  为最小上 界，_{− ε 不是集合 {}n} 的上界．所以总存在 N，使 得 N >  − ε．再由数列是单调增加的，我们知道当 n > N 时也有 n > − ε，从而 |n − | < ε．这样 就证明了我们的断言．注记 单调增加有上界数列满足 sp{n} = lim n→∞n．

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极限存在准则 II

定理 (极限存在准则 II) 单调且有界的数列必定收敛． 1 单调增加且有上界的数列必定收敛． 2 单调减少且有下界的数列必定收敛．证明 设数列 {n} 单调增加而且有上界．由确界原 理，集合 {n} 有最小上界 ．我们断言该数列收敛 于 ．实际上，对于任何 ε > 0, 由于  为最小上 界，_{− ε 不是集合 {}n} 的上界．所以总存在 N，使 得 N >  − ε．再由数列是单调增加的，我们知道当 n > N 时也有 n > − ε，从而 |n − | < ε．这样 就证明了我们的断言．注记 单调增加有上界数列满足 sp{n} = lim n→∞n． .

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极限存在准则 II

定理 (极限存在准则 II) 单调且有界的数列必定收敛． 1 单调增加且有上界的数列必定收敛． 2 单调减少且有下界的数列必定收敛．证明 设数列 {n} 单调增加而且有上界．由确界原 理，集合 {n} 有最小上界 ．我们断言该数列收敛 于 ．实际上，对于任何 ε > 0, 由于  为最小上 界，_{− ε 不是集合 {}n} 的上界．所以总存在 N，使 得 N > − ε．再由数列是单调增加的，我们知道当 n > N 时也有 n > − ε，从而 |n − | < ε．这样 注记 单调增加有上界数列满足 sp{n} = lim n→∞n．

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极限存在准则 II

定理 (极限存在准则 II) 单调且有界的数列必定收敛． 1 单调增加且有上界的数列必定收敛． 2 单调减少且有下界的数列必定收敛．证明 设数列 {n} 单调增加而且有上界．由确界原 理，集合 {n} 有最小上界 ．我们断言该数列收敛 于 ．实际上，对于任何 ε > 0, 由于  为最小上 界，_{− ε 不是集合 {}n} 的上界．所以总存在 N，使 得 N > − ε．再由数列是单调增加的，我们知道当 n > N 时也有 n > − ε，从而 |n − | < ε．这样 就证明了我们的断言．注记 单调增加有上界数列满足 sp{n} = lim n_→∞n． .

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实数的连续性

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第一节

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指数函数的连续性

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第二节

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三角函数的连续性

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第三节

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反函数的连续性

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第四节

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初等函数的连续性

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第五节

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指数函数的连续性

例子 lim n→∞ 1 n = 1. 证明 假设  > 1．令 n =  1 n − 1, 则  = (_n + 1)n ¾ 1+ nn. 即 n ¶ −1_n ．∀ε > 0, 取 N = −1_ε ， 则当 n > N 时有 |n − 0| = n ¶ − 1 n < ε 故 lim n_→∞n = 0, 即 limn_→∞ 1 n = 1. 如果 0 <  < 1，我 们可以由 ₍1 ) 1 n = 1 1/ n 和极限的运算法则得到结果． .

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指数函数的连续性

例子 lim n→∞ 1 n = 1. 证明 假设  > 1．令 n =  1 n − 1, 则  = (_n + 1)n ¾ 1+ nn. 即 n ¶ −1_n ．∀ε > 0, 取 N = −1_ε ， 则当 n > N 时有 |n − 0| = n ¶ − 1 n < ε 故 lim n = 0, 即 lim  1 n = 1. 如果 0 <  < 1，我

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指数函数的连续性

例子证明 lim →0  _{= 1.} 证明 我们只证明  > 1 的情形，0 <  < 1 的情形 类似． ∀ε > 0, 由 lim n→∞ 1 n = 1 知道，∃N₁ > 0 使得当 n > N1 时有 | 1 n − 1| < ε．因此，当 0 <  < 1 N₁ 有  − 1 <  1 N1 − 1 < ε. .

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指数函数的连续性

例子证明 lim →0  _{= 1.} 证明 我们只证明  > 1 的情形，0 <  < 1 的情形 类似． ∀ε > 0, 由 lim n→∞ 1 n = 1 知道，∃N₁ > 0 使得当 n > N1 时有 | 1 n − 1| < ε．因此，当 0 <  < 1 N₁ 有  − 1 <  1 N1 − 1 < ε.

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指数函数的连续性

证明 (续) 类似地，由 lim n→∞( 1 ) 1 n = lim n→∞ −1 n = 1 知 道，∃N2 > 0 使得当 n > N2 时有 |− 1 n − 1| < ε. 因 此，当 ₋ 1 N2 <  < 0 有 − 1 > − 1 N2 − 1 > −ε. 取 δ _{= min{}_N1 1, 1 N₂}，则当 | − 0| < δ 时有 | _{− 1| < ε.} 从而 lim →0  _{= 1.} .

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指数函数的连续性

例子证明 lim →₀  _{= }0_. 证明 由  _{= }₀ _{· }−₀_{，根据极限的四则运算法则} 知道 lim →₀  _{= lim} →₀ 0 _lim →₀ −0 = 0_lim t→0 t _{= }0_, 这样就证明了指数函数的连续性．

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指数函数的连续性

例子证明 lim →₀  _{= }0_. 证明 由  _{= }₀ _{· }−₀_{，根据极限的四则运算法则} 知道 lim →₀  _{= lim} →₀ 0 _lim →₀ −0 = 0_lim t→0 t _{= }0_, 这样就证明了指数函数的连续性． .

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实数的连续性

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第一节

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指数函数的连续性

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第二节

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三角函数的连续性

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第三节

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反函数的连续性

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第四节

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初等函数的连续性

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第五节

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三角函数的连续性

例子证明 lim →0 sin  = sin 0 证明 前面已经知道 sin  < （0 <  < π₂），从而 | sin | < ||（0 < || < π 2）． ∀ε > 0，取 δ = ε，则当 0 < | − 0| < δ 时，有 | sin  − sin 0| = 2 sin − 0 2 cos + 0 2 ¶ 2 sin − 0 2 ¶ 2 − 0 2 < ε 这就证明了正弦函数的连续性． .

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三角函数的连续性

例子证明 lim →0 sin  = sin 0 证明 前面已经知道 sin  < （0 <  < π₂），从而 | sin | < ||（0 < || < π 2）． ∀ε > 0，取 δ = ε，则当 0 < | − 0| < δ 时，有 | sin  − sin 0| = 2 sin − 0 2 cos + 0 2 ¶ 2 sin − 0 2 ¶ 2 − 0 2 < ε 这就证明了正弦函数的连续性．

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三角函数的连续性

例子证明 lim →0 sin  = sin 0 证明 前面已经知道 sin  < （0 <  < π₂），从而 | sin | < ||（0 < || < π 2）． ∀ε > 0，取 δ = ε，则当 0 < | − 0| < δ 时，有 | sin  − sin 0| = 2 sin − 0 2 cos + 0 2 ¶ 2 sin  − 0 2 ¶ 2 − 0 2 < ε 这就证明了正弦函数的连续性． .

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指数函数的连续性

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第二节

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三角函数的连续性

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第三节

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反函数的连续性

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第四节

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初等函数的连续性

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第五节

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闭区间上的连续函数

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第六节

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反函数的连续性

定理 设 y _{= ƒ () 在区间 } 上单调增加（减少）且 连续，则它的反函数  _{= ƒ}−1_{(y) 也是单调增加（减} 少）且连续的．证明我们只证明反函数的连续性．也就是说，任取 y0 ∈ y，我们要证明 lim y_→y₀ƒ −1_{(y) = ƒ}−1_(y 0). 事实上，对任何 ε > 0，令 y1 = ƒ (0 − ε), y2 = ƒ(0+ε)，则由反函数的单调性，知道当 y1 < y < y2 时有 0 − ε <  < 0+ ε，即 | − 0| = |ƒ−1(y) − ƒ−1(y0)| < ε．取 δ = min{y − y1,y2− y}，即可得 到反函数 ƒ−1_{(y) 在点 y}0 的连续性． .

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反函数的连续性

定理 设 y _{= ƒ () 在区间 } 上单调增加（减少）且 连续，则它的反函数  _{= ƒ}−1_{(y) 也是单调增加（减} 少）且连续的．证明我们只证明反函数的连续性．也就是说，任取 y0 ∈ y，我们要证明 lim y→y0 ƒ−1(y) = ƒ−1(y0). 事实上，对任何 ε > 0，令 y1 = ƒ (0 − ε), y2 = ƒ(0+ε)，则由反函数的单调性，知道当 y1 < y < y2 时有 0 − ε <  < 0+ ε，即 | − 0| = |ƒ−1(y) − ƒ−1(y0)| < ε．取 δ = min{y − y1,y2− y}，即可得 到反函数 ƒ−1_{(y) 在点 y}0 的连续性．

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反函数的连续性

定理 设 y _{= ƒ () 在区间 } 上单调增加（减少）且 连续，则它的反函数  _{= ƒ}−1_{(y) 也是单调增加（减} 少）且连续的．证明我们只证明反函数的连续性．也就是说，任取 y0 ∈ y，我们要证明 lim y→y0 ƒ−1(y) = ƒ−1(y0). 事实上，对任何 ε > 0，令 y1 = ƒ (0 − ε), y2 = ƒ(0+ε)，则由反函数的单调性，知道当 y1 < y < y2 时有 0− ε <  < 0+ ε，即 | − 0| = |ƒ−1(y) − ƒ−1(y0)| < ε．取 δ = min{y − y1,y2− y}，即可得 到反函数 ƒ−1_{(y) 在点 y}0 的连续性． .

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指数函数的连续性

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第二节

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三角函数的连续性

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第三节

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反函数的连续性

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第四节

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初等函数的连续性

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第五节

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闭区间上的连续函数

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第六节

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初等函数的连续性

首先说明基本初等函数的连续性： y = c 连续 y = sin  连续 =⇒ y = rcsin  连续 y =  连续 _{=⇒ y = log}_ 连续 y = μ = μ log 连续再利用四则运算和复合运算的连续性，就得到初等函数的连续性． .

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指数函数的连续性

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第二节

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三角函数的连续性

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第三节

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反函数的连续性

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第四节

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初等函数的连续性

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第五节

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闭区间上的连续函数

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第六节

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有界性定理

引理设函数 ƒ() 在点 0 处连续，则存在 δ > 0，使得它在邻 域 _{( − δ},+ δ) 内有界． 定理闭区间 _[,b] 上的连续函数 ƒ () 在该区间上有界．证明 设 S= { |  ¶  ¶ b 而且 ƒ () 在 [,] 有上界}，则 集合 S 非空而且有上界，由确界原理知 S 有最小上界 c． 我们先证明 c_{= b．用反证法，假设 c < b，则由知道存在 δ > 0} 使得 ƒ() 在 (c − δ,c+ δ) 内有界．由 c 为最小上界知道，存在 1 ∈ S 使得 c − δ < 1 < c．这说明 ƒ() 在 [,1] 有上界． 再任取 2 使得 c < 2 < c+ δ，则 ƒ () 在 [1,2] 有上界， 从而 ƒ_{() 在 [},2] 有上界，即 2 ∈ S 而且 c < 2．这与 c 为上界矛盾，因此我们有 c_{= b．} .

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(56)

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有界性定理

引理设函数 ƒ() 在点 0 处连续，则存在 δ > 0，使得它在邻 域 _{( − δ},+ δ) 内有界． 定理闭区间 _[,b] 上的连续函数 ƒ () 在该区间上有界．证明 设 S= { |  ¶  ¶ b 而且 ƒ () 在 [,] 有上界}，则 集合 S 非空而且有上界，由确界原理知 S 有最小上界 c． 我们先证明 c_{= b．用反证法，假设 c < b，则由知道存在 δ > 0} 使得 ƒ() 在 (c − δ,c+ δ) 内有界．由 c 为最小上界知道，存在 1 ∈ S 使得 c − δ < 1 < c．这说明 ƒ() 在 [,1] 有上界． 再任取 2 使得 c < 2 < c+ δ，则 ƒ () 在 [1,2] 有上界， 从而 ƒ_{() 在 [},2] 有上界，即 2 ∈ S 而且 c < 2．这与 c 为上界矛盾，因此我们有 c_{= b．}

(57)

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有界性定理

引理设函数 ƒ() 在点 0 处连续，则存在 δ > 0，使得它在邻 域 _{( − δ},+ δ) 内有界． 定理闭区间 _[,b] 上的连续函数 ƒ () 在该区间上有界．证明 设 S= { |  ¶  ¶ b 而且 ƒ () 在 [,] 有上界}，则 集合 S 非空而且有上界，由确界原理知 S 有最小上界 c． 我们先证明 c_{= b．用反证法，假设 c < b，则由知道存在 δ > 0} 使得 ƒ() 在 (c − δ,c+ δ) 内有界．由 c 为最小上界知道，存在 1 ∈ S 使得 c − δ < 1 < c．这说明 ƒ() 在 [,1] 有上界． 再任取 2 使得 c < 2 < c+ δ，则 ƒ () 在 [1,2] 有上界， 从而 ƒ_{() 在 [},2] 有上界，即 2 ∈ S 而且 c < 2．这与 c 为上界矛盾，因此我们有 c_{= b．} .

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(58)

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有界性定理

证明 (续) ƒ() 在  点连续说明 ƒ () 在某个右邻域 [,+δ1) 上有界，因此 c > ，从而上面的论述中的 δ 是存在的．而 ƒ_() 在 b 点连续说明 ƒ_{() 在某个左邻域 (b − δ2},b] 上有界，而由 S 的最小上界为 b 已经知道 ƒ() 在 [,b− δ2] 上有上界，从而 ƒ() 在 [.b] 上有上界． 类似地，可以证明 ƒ_{() 在 [.b] 上有下界．}

(59)

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最值定理

定理闭区间 _[,b] 上的连续函数 ƒ () 在该区间上一定能取到 最大值 M 和最小值 m． 证明 已经知道 ƒ() 在 [,b] 上是有界的．令 S = {ƒ ()| ∈ [.b]}，则由确界原理知道 S 有最小上界 M．假设 ƒ () 取不到 值 M，则对任何 _{∈ [},b]，恒有 ƒ () < M． 令 g_{() =} 1 M− ƒ ()，则 g() 在 [,b] 上也是连续的，从而有 上界 N > 0，使得 g() ¶ N．这等价于 ƒ () ¶ M − 1 N，从而和 M 为最小上界矛盾．因此，ƒ() 在 [,b] 上可以取到最大值 M． 类似地，可以证明 ƒ() 在 [,b] 上可以取到最小值 m． .

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(60)

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最值定理

定理闭区间 _[,b] 上的连续函数 ƒ () 在该区间上一定能取到 最大值 M 和最小值 m． 证明 已经知道 ƒ() 在 [,b] 上是有界的．令 S = {ƒ ()| ∈ [.b]}，则由确界原理知道 S 有最小上界 M．假设 ƒ () 取不到 值 M，则对任何 ∈ [,b]，恒有 ƒ () < M． 令 g_{() =} 1 M− ƒ ()，则 g() 在 [,b] 上也是连续的，从而有 上界 N > 0，使得 g() ¶ N．这等价于 ƒ () ¶ M − 1 N，从而和

(61)

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零值定理

定理 设 ƒ_{() 在闭区间 [},b] 上连续，且 ƒ () 和 ƒ (b) 异号， 则在开区间 _(,b) 内至少存在一点 ξ，使得 ƒ (ξ) = 0. 证明 不妨设 ƒ() < 0 < ƒ (b)．令 S = { |  ∈ [,b],ƒ() < 0}，则由确界原理，集合 S 有最小上界 c．我们断言 ƒ(c) = 0． 如果 ƒ(c) < 0，由函数极限的局部保号性，存在 δ > 0，使得当  ∈ (c − δ,c+ δ) 时总有 ƒ () < 0．此时就有 c + δ/2 ∈ S．这 与 c 为上界矛盾． 如果 ƒ(c) > 0，有函数极限的局部保号性，存在 δ > 0，使得当  ∈ (c − δ,c+ δ) 时总有 ƒ () > 0．此时 S 就有比 c 更小的上 界 c_{− δ/2．这与 c 为最小上界矛盾．} .

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(62)

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零值定理

定理 设 ƒ_{() 在闭区间 [},b] 上连续，且 ƒ () 和 ƒ (b) 异号， 则在开区间 _(,b) 内至少存在一点 ξ，使得 ƒ (ξ) = 0. 证明 不妨设 ƒ() < 0 < ƒ (b)．令 S = { |  ∈ [,b],ƒ() < 0}，则由确界原理，集合 S 有最小上界 c．我们断言 ƒ(c) = 0． 如果 ƒ(c) < 0，由函数极限的局部保号性，存在 δ > 0，使得当  ∈ (c − δ,c+ δ) 时总有 ƒ () < 0．此时就有 c + δ/2 ∈ S．这 与 c 为上界矛盾． 如果 ƒ(c) > 0，有函数极限的局部保号性，存在 δ > 0，使得当

(63)

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介值定理

定理 设 ƒ() 在闭区间 [,b] 上连续，且 ƒ () = A 和 ƒ (b) = B 不相等，则对于 A 与 B 之间的任何数 C，在开区间 (,b) 内至 少存在一点 ξ，使得 ƒ_{(ξ) = C.} 推论 设 ƒ() 是在区间 (,b) 上单调增加的连续函数，A = lim →+ƒ()，B = lim→b−ƒ()，则该函数的值域为区间 (A,B)．注记 1 如果函数的定义区间为闭区间或无穷区间，或者函数单调减少，此推论作相应修改后仍然成立．注记 2 利用这个推论，我们才可以说明指数函数  _{的值域，即} 对数函数 log_ 的定义域确实为(0,+∞)． .

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(64)

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介值定理

定理 设 ƒ() 在闭区间 [,b] 上连续，且 ƒ () = A 和 ƒ (b) = B 不相等，则对于 A 与 B 之间的任何数 C，在开区间 (,b) 内至 少存在一点 ξ，使得 ƒ_{(ξ) = C.} 推论 设 ƒ() 是在区间 (,b) 上单调增加的连续函数，A = lim →+ƒ()，B = lim__→b−ƒ()，则该函数的值域为区间 (A,B)．注记 1 如果函数的定义区间为闭区间或无穷区间，或者函数单调减少，此推论作相应修改后仍然成立．注记 2 利用这个推论，我们才可以说明指数函数  _{的值域，即} 对数函数 log_ 的定义域确实为(0,+∞)．

(65)

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介值定理

定理 设 ƒ() 在闭区间 [,b] 上连续，且 ƒ () = A 和 ƒ (b) = B 不相等，则对于 A 与 B 之间的任何数 C，在开区间 (,b) 内至 少存在一点 ξ，使得 ƒ_{(ξ) = C.} 推论 设 ƒ() 是在区间 (,b) 上单调增加的连续函数，A = lim →+ƒ()，B = lim__→b−ƒ()，则该函数的值域为区间 (A,B)．注记 1 如果函数的定义区间为闭区间或无穷区间，或者函数单调减少，此推论作相应修改后仍然成立．注记 2 利用这个推论，我们才可以说明指数函数  _{的值域，即} 对数函数 log_ 的定义域确实为(0,+∞)． .

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(66)

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介值定理

定理 设 ƒ() 在闭区间 [,b] 上连续，且 ƒ () = A 和 ƒ (b) = B 不相等，则对于 A 与 B 之间的任何数 C，在开区间 (,b) 内至 少存在一点 ξ，使得 ƒ_{(ξ) = C.} 推论 设 ƒ() 是在区间 (,b) 上单调增加的连续函数，A = lim →+ƒ()，B = lim__→b−ƒ()，则该函数的值域为区间 (A,B)．注记 1 如果函数的定义区间为闭区间或无穷区间，或者函数单调减少，此推论作相应修改后仍然成立．