1114 複數解答

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1114 複數 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.化簡 sin 22 sin112

(cos 63 sin 63 )(cos11 sin11 ) i i i           (A) 1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i (C)i (D) 1 3 2 2 i   【龍騰自命題.】 解答 A

解析 原式 cos112 sin112 cos 60 sin 60 (cos 63 sin 63 )[cos( 11 ) sin( 11 )]

i i i i                 1 3 2 2 i   ( )2.設 i3  i6  i9  i12  a  bi,試求 a  b 之值? (A)0 (B)1 (C)  1 (D)  2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 i3 i6 i9 i12 i  1  i  1  0 ∴ a b  0  a b  0

( )3.設 z   7  24i,其中i 1,若 z 的共軛複數為 a  bi 且 z 的絕對值為 c,則 a  b  c 之值為 (A)  7 (B)  6 (C)24  24i (D)  24  24i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ z  7  24i ∴ z  7 24i, 2 2 | |z  ( 7)  ( 24) 25 因此 a  7,b 24,c 25,故 a b c  7  24  25  6 ( )4.設 a、b 為實數,若 4 (sin cos ) 8 i 8 a bi  ,則 a  b  (A)1 (B)1 2 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 C

解析 (sin cos )4 (cos3 sin3 )4 cos3 sin3

8 i 8 8 i 8 2 i 2 i   ∴ a 0,b  1  a b  0 ( )5.設 13(1 ) (3 2 )(10 11 ) i z i i     ,則 z 之共軛複數為 (A) 3 5 17 i  (B)5 3 17 i  (C)5 3 17 i  (D)3 5 17 i  【龍騰自命題.】 解答 D 解析 13(1 ) 1 3 5 52 13 4 17 i i i z i i         故 3 5 17 i z  ( )6.設 a、b、c 為實數,若 1  2i 與 3 為方程式 x3  ax2  bx  c  0 之根,則 a  (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 先找以 1  2i 為根的二次方程式 令 x  1  2i x  1 2i (x  1)2 (2i)2  x2 2x 1 4 x2 2x 5 0 又原式有 x  3 的根  (x 3)(x2 2x 5) 0 x3 5x2 11x 15 0 ∴ a 5,b 11,c 15 〈另解〉實係數方程式有虛根必為共軛虛根 ∴ 原式之三根為 1  2i,1 2i,3

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根據根與係數關係

a (1  2i  1  2i  3) 5

b  (1  2i)(1 2i)  3(1  2i)  3(1  2i)  1  4  3  6i  3  6i  11 c (1  2i)  (1  2i)  3 (1  4)  3 15 ( )7.設 f (x)為實係數三次多項式,若 f (1)  f (1  i)  0 且 f (0)  0,則下列何者正確? (A)f (  2)  0 (B)f (2)  0 (C)f (4)  0 (D)f (6)  0 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ f (x)為實係數三次多項式且 f (1 i) 0 ∴ f (1 i)  0 而 f (1) 0,可設 f (x) a(x 1)[x  (1  i)][x  (1  i)]

f (x) a(x3 3x2 4x  2)

∵ f (0) 0 且 f (0) a(0  0  0  2)  2a ∴ a  0

(A)f (  2)  a[(  2)3 3(  2)2 4(  2)  2]  30a  0 (B)f (2) a[23 3(2)2 4(2)  2]  2a  0 (C)f (4) a[43 3(4)2 4(4)  2]  30a  0 (D)f (6) a[63 3(6)2 4(6)  2]  130a  0 ( )8.若k為整數,方程式 2

2 1 0     x k x 有虛根,則k的最大值為 (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ 方程式有虛根  Db24ac0 即

k2

2   4 1 1 0k24k  4 4 0

2 4 0 4 0 0 4 k k k k k          故最大整數k3 ( )9.設函數f x( ) 5 i x   ,其中i 1,則 f (f (2))之值為 (A) 5 2 (B) 5 3 (C) 5 4 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 (2) 5 5(2 ) 5(2 ) 2 2 (2 )(2 ) 5 i i f i i i i           f (f (2)) (2 ) 5 5 (2 ) 2 f i i i       ( )10.設 1 3 2 i   ,求 22 40 1     (A)1 (B)  1 (C)  i (D)i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ 3 1 且 2 1  0 ∴ 原式 2 1 1 1               ( )11.若方程式 3 2 2 4 0     x x x 有一根為 1  3i,另兩根為、 ,則  之值為 (A) 2 (B) 2 (C) 3i (D) 3i 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ 實係數方程式有一根為 1 3i,必有另一根為 1 3ix  1 3ix 1 3i 平方得 2 2 2 1 3 2 4 0 xx    xx  方程式 3 2

2

2 4 2 4 1 0 xxx  xx   x

(3)

 另有一根為x1 故     1

1 3i

  3i ( )12.設k為實數﹐若方程式 2

2xki x 3i 0有實根,則k之值為 (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 設實根為

2 2 k i  3i 0     

2

2 k 3  i 0 0i       ∴ 2 2 3 2 0 3 0 2 3 3 0 k k                    得k 6 ( )13.設k為實數,方程式 2

 

2 2 7 0      x k x k 有虛根,求k之範圍為 (A) 5 k 9 (B) 4 k 8 (C) 3 k 9 (D) 4 k 9 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 方程式有虛根  D0 即

k2

2  4 1

2k 7

0 2 4 4 8 28 0 k k k       2 12 32 0 k k    

k 4



k 8

0     4 k 8    ( )14.下列何者與 (2, ) 3 P  表示同一點? (A)(2,2 ) 3  (B)(2,7 ) 3  (C)(2,5 ) 3  (D)(2,4 ) 3  【龍騰自命題.】 解答 B ( )15.若複數z 1 3i,則 z 在複數平面上與原點的距離為 (A)1 (B) 3 (C) 2 (D) 4 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析

 

2 2 1 3 1 3 4 2 z   i      ( )16.設i 1,已知 1 3 2 i    且2  1  0,試求(2  )(2  2)  (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵  2 1  0(即 2 1)  ( 1)( 2 1) 0   3 1 0   3 1 ∴ (2 )(2  2) 4 2 2 2 3 4 2( 2)  3  4  2  (  1)  1  7 ( )17.設兩複數 z1  1  3i,z2  3  4i,則 1 2 (z ) z  (A) 9 13 25 i   (B) 9 13 25 i   (C)9 13 25 i  (D)9 13 25 i  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 (z ) z  1 2 z z  1 3 3 4 i i    (1 3 )(3 4 ) (3 4 )(3 4 ) i i i i      3 4 9 12 9 16 i i      9 13 25 i   ( )18.設點 A (2 , 0),點 B (0 , 2)且 C 為線段 AB 之中點,則 C 點的極坐標為 (A) (2, ) 4  (B) ( 2, ) 4  (C) (2, ) 3  (D) (2 2, ) 4 

(4)

【龍騰自命題.】 解答 B 解析 AB之中點 C (1 , 1), 2 2 1 1 2 r   而cos 1 2 x r   ,sin 1 2 y r    ,取 4   ,故極坐標為( 2, ) 4  ( )19.已知i 1,則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根? (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i ii        44 3i的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i         (其中 k  0, 1) 即 0 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z   i    i   i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z   i     i    i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i ( )20.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    , 2 2 cos sin 3 3 z   i     ,則 1 2 z z 之值為何? (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    5 5 cos 4 sin 4 3 i 3          20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3                  2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z   i     cos 2 3 isin 2 3            2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z  ( )21.設 1 3 2 i   ,則 107 1    (A) 1 (B) (C) 2  (D)1 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 3 2 i    ∴ 3 1   且 2 1 0     (1)107 3 35 2  3 35 2

 

3 3521352 2 (2)2   1 0    1 2 故 107 2 2 1 1       ( )22.試判別方程式 2 3 3 0 xx  兩根的性質為 (A)兩相異實根 (B)兩相等實根 (C)兩共軛虛根 (D)全部皆非 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 方程式x23x 3 0

(5)

2 2 4 3 4 1 3 9 12 0 b ac           ∴ 兩共軛虛根 ( )23.設為 3 1 x  之一虛根,則 2 3 4 5 6 2       之值為 (A)1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 31且 2 1 0     原式

2

4

2

1 1   1  1              1 0 1 40  1 12 ( )24.已知i 1,a為複數,若二次方程式x2ax  4 7i 0有一根為 2 i,則另一根為 (A) 3 2i  (B) 2 3i (C) 2 3i (D) 2 i 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 設另一根為,則

2 1 4 7 2 1 a i a i i                   ∴ 4 7 2 i i    

4 7



2

5 i i     8 4 14 7 5 i i        3 2i ( )25.下列哪一個數是1的三次方根? (A)1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i   (C)1 3 2 2 i (D) 3 1 2 2i 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 x3   1 1 0i cos0 isin 0 0 2 0 2 cos sin 3 3 k k k x     i    ,k 0 , 1, 2 0 cos0 sin 0 1 0 x   i    i 1 2 2 1 3 cos sin 3 3 2 2 x   i     i 2 4 4 1 3 cos sin 3 3 2 2 x   i     i

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