1114 複數 班級 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
( )1.化簡 sin 22 sin112
(cos 63 sin 63 )(cos11 sin11 ) i i i (A) 1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i (C)i (D) 1 3 2 2 i 【龍騰自命題.】 解答 A
解析 原式 cos112 sin112 cos 60 sin 60 (cos 63 sin 63 )[cos( 11 ) sin( 11 )]
i i i i 1 3 2 2 i ( )2.設 i3 i6 i9 i12 a bi,試求 a b 之值? (A)0 (B)1 (C) 1 (D) 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 i3 i6 i9 i12 i 1 i 1 0 ∴ a b 0 a b 0
( )3.設 z 7 24i,其中i 1,若 z 的共軛複數為 a bi 且 z 的絕對值為 c,則 a b c 之值為 (A) 7 (B) 6 (C)24 24i (D) 24 24i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ z 7 24i ∴ z 7 24i, 2 2 | |z ( 7) ( 24) 25 因此 a 7,b 24,c 25,故 a b c 7 24 25 6 ( )4.設 a、b 為實數,若 4 (sin cos ) 8 i 8 a bi ,則 a b (A)1 (B)1 2 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 C
解析 (sin cos )4 (cos3 sin3 )4 cos3 sin3
8 i 8 8 i 8 2 i 2 i ∴ a 0,b 1 a b 0 ( )5.設 13(1 ) (3 2 )(10 11 ) i z i i ,則 z 之共軛複數為 (A) 3 5 17 i (B)5 3 17 i (C)5 3 17 i (D)3 5 17 i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 13(1 ) 1 3 5 52 13 4 17 i i i z i i 故 3 5 17 i z ( )6.設 a、b、c 為實數,若 1 2i 與 3 為方程式 x3 ax2 bx c 0 之根,則 a (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 先找以 1 2i 為根的二次方程式 令 x 1 2i x 1 2i (x 1)2 (2i)2 x2 2x 1 4 x2 2x 5 0 又原式有 x 3 的根 (x 3)(x2 2x 5) 0 x3 5x2 11x 15 0 ∴ a 5,b 11,c 15 〈另解〉實係數方程式有虛根必為共軛虛根 ∴ 原式之三根為 1 2i,1 2i,3
根據根與係數關係
a (1 2i 1 2i 3) 5
b (1 2i)(1 2i) 3(1 2i) 3(1 2i) 1 4 3 6i 3 6i 11 c (1 2i) (1 2i) 3 (1 4) 3 15 ( )7.設 f (x)為實係數三次多項式,若 f (1) f (1 i) 0 且 f (0) 0,則下列何者正確? (A)f ( 2) 0 (B)f (2) 0 (C)f (4) 0 (D)f (6) 0 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ f (x)為實係數三次多項式且 f (1 i) 0 ∴ f (1 i) 0 而 f (1) 0,可設 f (x) a(x 1)[x (1 i)][x (1 i)]
f (x) a(x3 3x2 4x 2)
∵ f (0) 0 且 f (0) a(0 0 0 2) 2a ∴ a 0
(A)f ( 2) a[( 2)3 3( 2)2 4( 2) 2] 30a 0 (B)f (2) a[23 3(2)2 4(2) 2] 2a 0 (C)f (4) a[43 3(4)2 4(4) 2] 30a 0 (D)f (6) a[63 3(6)2 4(6) 2] 130a 0 ( )8.若k為整數,方程式 2
2 1 0 x k x 有虛根,則k的最大值為 (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ 方程式有虛根 Db24ac0 即
k2
2 4 1 1 0 k24k 4 4 0
2 4 0 4 0 0 4 k k k k k 故最大整數k3 ( )9.設函數f x( ) 5 i x ,其中i 1,則 f (f (2))之值為 (A) 5 2 (B) 5 3 (C) 5 4 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 (2) 5 5(2 ) 5(2 ) 2 2 (2 )(2 ) 5 i i f i i i i f (f (2)) (2 ) 5 5 (2 ) 2 f i i i ( )10.設 1 3 2 i ,求 22 40 1 (A)1 (B) 1 (C) i (D)i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ 3 1 且 2 1 0 ∴ 原式 2 1 1 1 ( )11.若方程式 3 2 2 4 0 x x x 有一根為 1 3i,另兩根為、 ,則 之值為 (A) 2 (B) 2 (C) 3i (D) 3i 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ 實係數方程式有一根為 1 3i,必有另一根為 1 3i 設x 1 3i x 1 3i 平方得 2 2 2 1 3 2 4 0 x x x x 方程式 3 2
2
2 4 2 4 1 0 x x x x x x 另有一根為x1 故 1
1 3i
3i ( )12.設k為實數﹐若方程式 2
2x ki x 3i 0有實根,則k之值為 (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 設實根為
2 2 k i 3i 0
2
2 k 3 i 0 0i ∴ 2 2 3 2 0 3 0 2 3 3 0 k k 得k 6 ( )13.設k為實數,方程式 2
2 2 7 0 x k x k 有虛根,求k之範圍為 (A) 5 k 9 (B) 4 k 8 (C) 3 k 9 (D) 4 k 9 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 方程式有虛根 D0 即
k2
2 4 1
2k 7
0 2 4 4 8 28 0 k k k 2 12 32 0 k k
k 4
k 8
0 4 k 8 ( )14.下列何者與 (2, ) 3 P 表示同一點? (A)(2,2 ) 3 (B)(2,7 ) 3 (C)(2,5 ) 3 (D)(2,4 ) 3 【龍騰自命題.】 解答 B ( )15.若複數z 1 3i,則 z 在複數平面上與原點的距離為 (A)1 (B) 3 (C) 2 (D) 4 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析
2 2 1 3 1 3 4 2 z i ( )16.設i 1,已知 1 3 2 i 且2 1 0,試求(2 )(2 2) (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ 2 1 0(即 2 1) ( 1)( 2 1) 0 3 1 0 3 1 ∴ (2 )(2 2) 4 2 2 2 3 4 2( 2) 3 4 2 ( 1) 1 7 ( )17.設兩複數 z1 1 3i,z2 3 4i,則 1 2 (z ) z (A) 9 13 25 i (B) 9 13 25 i (C)9 13 25 i (D)9 13 25 i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 (z ) z 1 2 z z 1 3 3 4 i i (1 3 )(3 4 ) (3 4 )(3 4 ) i i i i 3 4 9 12 9 16 i i 9 13 25 i ( )18.設點 A (2 , 0),點 B (0 , 2)且 C 為線段 AB 之中點,則 C 點的極坐標為 (A) (2, ) 4 (B) ( 2, ) 4 (C) (2, ) 3 (D) (2 2, ) 4 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 AB之中點 C (1 , 1), 2 2 1 1 2 r 而cos 1 2 x r ,sin 1 2 y r ,取 4 ,故極坐標為( 2, ) 4 ( )19.已知i 1,則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根? (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i i i 44 3i的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i (其中 k 0, 1) 即 0 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z i i i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z i i i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i ( )20.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z i , 2 2 cos sin 3 3 z i ,則 1 2 z z 之值為何? (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z i 5 5 cos 4 sin 4 3 i 3 20 20 cos sin 3 i 3 2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3 2 2 cos sin 3 i 3 2 2 cos sin 3 3 z i cos 2 3 isin 2 3 2 2 cos sin 3 i 3 ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z ( )21.設 1 3 2 i ,則 107 1 (A) 1 (B) (C) 2 (D)1 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 3 2 i ∴ 3 1 且 2 1 0 (1)107 3 35 2 3 35 2
3 3521352 2 (2)2 1 0 1 2 故 107 2 2 1 1 ( )22.試判別方程式 2 3 3 0 x x 兩根的性質為 (A)兩相異實根 (B)兩相等實根 (C)兩共軛虛根 (D)全部皆非 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 方程式x23x 3 02 2 4 3 4 1 3 9 12 0 b ac ∴ 兩共軛虛根 ( )23.設為 3 1 x 之一虛根,則 2 3 4 5 6 2 之值為 (A)1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 31且 2 1 0 原式