利用運算放大器及乘法 IC 組合電路系統模擬 Lorenz 方程式以演示混沌系統物理現象

自由軟體與簡易型電腦在物理教學上的運用 71

物理教育學刊

2008, 第九卷第二期, 91-102 Chinese Physics Education2008, 9(2),91-102

利用運算放大器及乘法 IC 組合電路系統模擬

Lorenz 方程式以演示混沌系統物理現象

羅道正

逢甲大學 光電學系暨物理教學研究中心 （投稿日期：民國97 年 10 月 20 日，修訂日期：97 年 12 月 08 日，接受日期：97 年 12 月 12 日） 摘要：本文旨在介紹如何利用運算放大器及乘法器 IC，搭配其它容易取得的電容器和 電阻器電子零件，在電子學實驗用的麵包板上組合出模擬 Lorenz 方程式的電路系統， 此教具搭配雙電源供應器和雙軌跡示波器即可演示混沌系統的物理現象，可以將它應 用於非線性動力學之混沌物理學教學演示或當作學生實驗實習，亦適合在應用電子學 討論運算放大器及乘法器 IC 時的演示教學應用。 關鍵詞：勞倫茲方程式、渾沌訊號產生器、勞倫茲方程式電路、部份振幅抑制

壹、緒論

一、研究動機

最近幾年來混沌同步、混沌抑制…等等 特殊物理機制在通訊系統的保密應用使得它 被廣泛熱門研究，混沌系統屬於物理科學的 非線性動力學，真實的自然現象在未經理想 簡化之前的動力學規律大多為非線性方程 式，且多半不存在解析解，它們複雜的數學 分析結果是否正確是需要設計實驗來加以證 明的。 在教學上如果能開發製作像是混沌擺的 有趣實體演示教具，必然產生良好的學習誘 因，除了說混沌給學生聽，演示混沌給學生 看之外，若是能讓學生動手自己做混沌實 驗，更加體會其中的道理，那效果當然會更 勝一籌，本文所介紹的Lorenz方程式電路是 文獻參考資料﹝1-3﹞的演示教具設計。

二、研究目的

在研究雷射系統的混沌物理性質時，實 驗室曾經自製100kHz以上的Lorenz方程式混 沌訊號產生器以驅動雷射訊號，當時找到的 電路之中，有一個電路因為其工作頻率較低 而未被採用 (參考資料﹝2﹞)，該電路設計 十分簡潔適合初學者實際製作測試，適合當

作此一領域的基礎練習。 當時實驗室試作的目的在於嘗試提昇工 作頻率，而本文無關訊號頻率的提升，主要 目的在介紹該電路如何利用運算放大器及乘 法器IC，搭配其它容易取得的電容器和電阻 器電子零件，在電子學實驗用的麵包板上組 合出模擬Lorenz方程式的電路系統，此教具 搭配雙電源供應器和雙軌跡示波器即可演示 混沌系統的物理現象，可以將它應用於非線 性動力學之混沌物理學教學演示或當作學生 實驗實習，亦適合在應用電子學討論運算放 大器及乘法器IC時的演示教學應用。

貳、相關文獻探討

一、Lorenz 方程式

1916 年 Rayleigh﹝4﹞研究大氣層因為 上、下溫度不同而產生空氣對流，繼 1962 年 Saltzman﹝5﹞提出數學解析之後，1963 年Lorenz﹝6﹞整理為對流方程式: x

=

σ

(

y−x

)

y

=

−xz+rx−y

(1)

bz

xy

z



=

−

非線性微分方程式(1)之中，x和對流運 動的強度成比例，

y

和對流運動時上升和下 降氣流的溫度差成比例，

z

和垂直方向的溫 度非線性變化成比例，依照Saltzman計算時 的 選 定 ， 微 分 方 程 式 (1) 之

3

/

8

,

28

,

10

=

=

=

r

b

σ

，此狀況即為本文模 擬的數學模型。

二、實體電路

Lorenz方程式可以利用實體電子電路執 行運作，這在文獻資料中有各式各樣的做 法，參考資料﹝１﹞用的電路最為普遍採 用，但是有些複雜，參考資料﹝３﹞用的電 路即為參考資料﹝１﹞，電路最為簡潔的是 我在網路上找到的參考資料﹝2﹞，這些電路 和Lorenz方程式(1)是相同的系統，是討論運 算放大器用來解微分方程式的極佳範例，參 考資料﹝2﹞有提出實驗結果的圖片可以對 照，該資料使用的乘法器為DIP封裝的，接 腳編號其中乘法器MPY634AM的電壓轉動 率為20V/µs，運算放大器LF412的電壓轉動 率為10V/µs，對於低頻範圍的應用是良好可 行的。

三、可以演示的混沌抑制現象

以參考資料﹝2﹞的實體電子電路模擬 參考資料﹝3﹞和﹝8﹞提出之混沌系統部份 振幅抑制方程式，可用來加以檢驗證實參考 資料﹝2﹞的電路除了簡單又好用之外，是否 有後續的研究價值。 如果能成功的以此一電路驗證理論預測 及實驗證實了的混沌系統部份振幅抑制現 象，則可以確定該電路具有更多的實用價 值，這個特殊的想法使我有更強烈的企圖進 行實驗加以驗證。

參、研究工具與方法

一、研究工具

在1960 年代的後期，半導體工業進入積 體電路的時代，運算放大器開始進入商品市 場，到今天已經將近半個世紀了，在電子材 料行可以買到物美價廉的運算放大器，乘法 器IC 的價格相對而言是有些昂貴，但是取得 並無困難。 用計算機軟體模擬 Lorenz 方程式電路 是很重要的可行性研判，所以先以參考資料 ﹝2﹞的電路跑 MultiSim 2001 電路模擬，可

以確定該電路是否正確可行。 我以參考資料﹝2﹞用的電路修改後之 教具電路設計如圖1，這個電路和 Lorenz 方 程式(1)是相同的系統。 實作之前，先用電路模擬軟體MultiSim 2001 試驗圖 1，以確認運作的細節，圖 1 使 用 的 乘 法 器 IC 是 理 想 元 件 ， 除 乘 法 器 MPY634AM 之外皆為實體參數設定模式， 計算機模擬的結果如圖 2，模擬的電路圖和 後來電路實驗做到的效果是極為相似的，但 是兩者的工作速度差別相當大，充分的展現 了運算放大器和乘法器在解非線性微分方程 式時的妙用。 圖1 的 U4A 是電路模擬時配合理想元件 乘法器沒有反相輸入端而不得不加上的，實 作時則沒有必要加U4A，在圖1之中，我增加 了R8、 R9和運算放大器U3B將訊號x加以 調變，可以用可變電阻器改變R8和 R9之比 例，觀察示波器上圖形所產生的影響，利用 此一部份的改變有助於熟悉電路的特性。 圖2 在文獻資料中經常出現，是可以用 來檢驗實驗結果能否符合 Lorenz 方程式的 重要依據。

二、研究方法

我規劃的研究方法是先研究分析參考資 料﹝2﹞用的電路原理，充分了解之後找出可 以控制的參數，然後設計可調變的Lorenz 方 程式電路，在既有的元件架構下，能合理有 效的駕馭此一電路。 圖 1: Lorenz 方程式的計算機模擬用電路圖(MultiSim 2001)

方程式(1)之中訊號x是我合理預測的 可調變物理量，因為

y

和

z

會經由乘法器而 同時受到訊號x的等量調變，這就可以維持 調變後的電路仍然為Lorenz 方程式，因此可 以在圖一之中增加了R8、 R9 和運算放大器 U3B 將訊號x加以調變，且可以用可變電阻 器改變 R8 和 R9 之比例，觀察示波器上圖 形所產生的影響，利用此一部份的改變有助 於熟悉電路的特性。 圖 1 之中運算放大器 U1&U2 的電路形 態為常見的密勒積分器(miller integrator)，一 般的電子學教科書都有轉換函數的分析: 積分器有兩個以上輸入端的分析可得﹝7﹞: 三個電容器的電容值相同即可，可以在 0.47µF 到 0.002µF 之間隨意選擇，用來調整 對 時 間 的 變 化 快 慢 ， 比 較 要 想 一 下 的 是 R5=1MΩ，它的角色相當於將變數同時乘上 R5=

1×

10

6Ω:

dt

V

RC

V

_out

=

−

1

∫

_in

dt

V

C

R

V

_out

=

−

∫

_in1 1 1

1

dt

V

C

R

∫

in

−

2 2 2

1

...

−

V(t) display XY display-t2(t2＞t1) XY display-t1 XY display-t3(t3＞t2) 圖2: Lorenz 方程式電路的模擬(MultiSim 2001)

至於連接乘法器輸出端的電阻器R4和 R6則是配合MPY634製造商提供的轉換函數 (乘法器IC的使用方法請參考元件製造廠公 佈的datasheet): 其中

A

為乘法器輸出放大部份的開迴 路增益，約為85dB (非常大!)，當乘法器以 1

Z

V

_out

=

的負回授方式工作時，中括號內的 值即可視為幾乎為零，因此MPY634 在電路 圖之中實際的轉換函數為: 其中SF 為乘法器的比例因子，並不需 要考慮開迴路增益

A

，當R4 和 R6 皆為 10kΩ 時: 此時的SF可視為為100，因為原廠雷射 整修SF為 10，因此相當於 0.1 倍的 Lorenz 方程式! 將訊號變小是很重要的，因為一旦 訊號大到使運算放大器進入飽和，則渾沌系 統振動的模擬就不正確了，這即是在圖一(b) 之中，我增加了R8、 R9 和運算放大器將訊 號x可加以調變的最重要原因。

肆、製作方法

首先將乘法器和運算放大器這兩種大型 元件在麵包板上放置妥當，確定正、負電源 及接地的三組線沒有問題才著手連接其他的 被動元件，須要的線材為麵包板用單惢線， 用到的工具為尖嘴箝、斜口剪及美工刀(可輕 易用美工刀來切除絕緣外皮)，教具照片請參 考附件。 使用麵包板時，走線的順序是先連接最 危險的正、負電源和地線，然後才連接訊號 線，要盡可能使用不同顏色做明顯的區分， 因為如果不小心接錯了正、負電源及接地 線，輕則元件損毀，重則起火發生意外，如 果有簡單的金屬加工工具，切一小段角鋁， 裝設正、負電源及接地的電源端子和連接示 波器用的BNC 接頭就更安全好用了。

伍、結果與討論

一、研究結果

圖3即為Lorenz方程式教學演示用電路 的研究結果線路圖，成品請見附件 (照片一 &二)，雙軌跡示波器的XY軸分別輸入x和

z

的電壓訊號，訊號與電源電壓並無直接關 係，顯示運算放大器在線性控制範圍工作良 好並未進入飽和狀態。 圖4為Lorenz方程式電路在數位儲存式 示波器觀察擷取的V-t圖，由上向下分別為訊 號x、

z

和500Hz參考比較用的訊號產生器 方波，實驗結果與計算機模擬的預測以及參 考文獻的資料皆十分吻合，傳統示波器軌跡 圖形照片請參考附件。 3 6 10 100 10 1 2 5 1 5 10 × × = = = = R R R R σ (2) 3 6 10 7 . 35 10 1 3 5 28 × × ≈ = = R R r (3) 3 6 10 374 10 1 7 5 3 8 × × ≈ = = R R b (4)

(

)(

_{) (}

₎

    − − _{− −} = 1 2 1 2 Z1 Z2 SF Y Y X X A V_out

(

)(

)









−

−

₊

=

1 2 1 2

Z

2

SF

Y

Y

X

X

V

_out (5) 3 6

10

10

10

1

1

4

5

1

1

×

×

×

=

×

=

SF

R

R

SF

二、討論

這個系統的頻率很低，功率也很小，直 接在麵包板上走線連接即可，並不需要焊接 製作電路板，可以適合學生自行完成挑戰。 完成Lorenz方程式混沌訊號產生器之 後 ， 如 果 要 將 訊 號 輸 出 應 用 ， 可 以 加 上 Op-Amp.電壓緩衝器隔離保護，若是負載吃 電流太大，則要製作互補推拉式的功率放大 輸出級，將輸出阻抗與負載適當匹配將負載 的影響降至最低。 圖3: Lorenz 方程式教學演示用電路的線路圖(以 Protel99se 製圖) 圖4: Lorenz 方程式電路的 V-t 圖 (數位儲存式示波器的畫面擷取)

陸、結論與建議

一、研究結論

圖3 和圖 4 即為 Lorenz 方程式教學演示 用電路的研究結果，可以適合應用於非線性 力學之混沌物理學教學演示，亦適合電子學 討論運算放大器及乘法器 IC 時的演示教具 應用。 如果使用數位儲存示波器觀察X-Z訊號的 Lissajous圖形效果相差不多，但是會少了傳 統電子槍示波器強度變化的類此訊號特殊感 覺。但是數位儲存示波器都可以搭配訊號產 生器以畫面擷取的功能取得訊號的V-t圖(如 圖四)，這又是傳統電子槍示波器望塵莫及的 功能。 我在萬用板(洞洞板)上焊接兩組圖三電路 的Lorenz attractor，以參考資料﹝3﹞和﹝8﹞ 提出之混沌系統部份振幅抑制方程式加以組 合，得到之結果確實可以成功的觀察到參考 資料﹝3﹞和﹝8﹞得到的細微現象(附件的 照片六~照片八)，是此系統功能良好的明確 證實，但是該電路製做的技術有些複雜，顯 然與物理教學演示有些偏離，免於離去文章 主旨就不贅述了，在寫這篇教學論文時，有 考慮製作過程會不會太困難，三言兩語的表 達會不適合非電子電機領域的讀者味口，當 然結論會因人而異，希望大家多包涵多指 正，竭誠歡迎對製作細節有興趣的同好直接 與我連絡。

二、教學演示用的建議

此教具搭配雙電源供應器和雙軌跡示波 器即可演示混沌系統的物理現象，在教學上 建議是對高級中學以上自然理工組的同學可 以做課堂教學演示，討論混沌系統的物理現 象，如果是資優生或是物理研究社團，則可 以當作實驗項目在麵包板上練習，完全不用 洗電路板和烙鐵焊接零件，要注意的是雙電 源供應器開機無誤之後，先將限制電流旋鈕 設定在最小可工作範圍，並且以串聯方式設 定雙電源供應器初始電壓皆為零，確定正、 負電源及接地的三組線沒有問題才著手增加 電壓到

±

12

V。 如果授課對象是大學部自然理工組的同 學，除了討論混沌系統的物理現象之外，更 可以在應用電子學討論運算放大器積分器及 乘法器IC 時的教學應用。

三、製作材料的建議

(如下表) 零件名稱 零件編號 零件型號 接腳型號 註記

運算放大器 U1&U2 LF412CN DIP8 每一個 IC 有兩個 Op-Amp. 乘法器 U3&U4 MPY634AM CAN10 SF 腳開路不接 無極性電容器 C1~C3 272~474 RAD0.2 陶瓷或塑膠薄膜皆可 1%精密電阻 R1,R2 100k AXIAL0.4 1/4W 誤差 1% 1%精密電阻 R3 35.7k AXIAL0.4 1/4W 誤差 1% 1%精密電阻 R4,R6,R8,R9 10k AXIAL0.4 1/4W 誤差 1% 1%精密電阻 R5 1M AXIAL0.4 1/4W 誤差 1% 1%精密電阻 R7 374k AXIAL0.4 1/4W 誤差 1% 精密可變電阻器 R8,R9 100k 以角型鋁材固定 非必要的項目 圖3 電路的組裝元件參考表

參考文獻

1. 網站http://frank.harvard.edu/~paulh/misc/lorenz.htm

2. 許榮睦編著(2002).線性積體電路實習.全 華科技圖書股份有限公司.P.91.

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4. Liu, W. Q., Yang,J. Z. and Xiao,J .H. (2006).Experimental observation of partial amplitude death in coupled chaotic oscillators .Chin. Phys. Soc.Vol 15 No 10 2260-2265.

5. Lorenz,E.N.(1963).a: Deterministic

nonperiodic flow. J.Atmos.Sci.,20,448-464. 6. Rayleigh,Lord.(1916). On convective

currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side. Phil.Mag.,32,529-546.

7. Sánchez , E., & Matías, M .A. (1998). Experimental observation of a periodic rotating wave in rings of unidirectionally coupled analog Lorenz oscillators.Phys. Rev. E 57, 6184.

8. Saltzman,B.,(1962). Finite amplitude free convection as an initial value problem-I. J.Atmos.Sci.,19,329-341.

附件

照片1:以麵包板實驗圖一的裝置

照片3:以麵包板實驗圖一的結果

照片5:以麵包板實驗圖一的結果

照片7: 混沌系統部份振幅抑制現象