國中數學5 2 2圓心角、圓周角及弦切角

2−2 圓心角、圓周角及弦切角

表示以 A、B 為端點的劣弧(即 ACB )，此時︵ AB 稱為圓心角∠AOB 或弦 AB 所對的弧， ︵ 而弦 AB 稱為圓心角∠AOB 或 AB 所對的弦，且稱∠AOB 為︵ AB 或弦 AB 所對的圓心角。 ︵ 【觀念釐清】(1)如果不特別指定，則「圓心角∠AOB 或弦 AB 所對的弧」通常是指劣弧 ACB 。 ︵ (2)如下圖左，將兩個半圓的量角器拼成一個圓，則整個圓的圓周被分割成 360 等分， 每一等分的弧所對應的圓心角是 1°，並稱此弧的度數是 1°。 (即 x°的圓心角所對的弧的度數為 x°。) (3)如上圖右，若圓 O 的圓心角∠AOB＝x°，則 AB 的度數為 x°，記為︵ AB ＝x°。 ︵ 此時 AB 的長度＝圓周長×︵ _360。 x ◎性質：在同圓或等圓中，因為圓周長相等，可知： (1)度數相同的兩弧，其弧長也相等；長度相等的兩弧，其度數也相等。 (2)度數較大的弧，其弧長也較長；長度較長的弧，其度數也較大。 【觀念釐清】圓上一弧 AB ，既表示弧的本身，也表示弧的度數及弧的長度。 ︵ B A D C O B A O x°

練習1：如右圖，兩同心圓的圓心為O。已知兩圓的半徑分別為10、8， 且∠AOB＝∠COD＝120°，求 ︵AB 與 ︵CD 的度數與長度分別為何？ 【觀念釐清】在半徑不等的兩圓中，相同圓心角所對弧的度數會相等，但所對弧長不相等。 練習2：如右圖，虛線將圓O分成八等分，已知圓O的半徑為 20 cm， 且 OB 平分∠AOC，求 (1)︵BD 的度數為多少？ (2)︵BD 的長度為多少？ 練習3 ：如右圖，若圓O中 ︵AB 的度數＝︵CD 的度數，則弦 AB 與弦 CD 是否等長？為什麼？ 練習4 ：如右圖，已知圓O中的兩弦 AB 與 CD 相等，求 (1)︵AB 與 CD 的度數是否相等？為什麼？ ︵ (2)︵AB 與 CD 的長度是否相等？為什麼？ ︵ 【觀念釐清】在同圓(等圓)中，相等的兩弧(等弧)，其所對弦長也相等；長度相等的兩弦(等弦)， 其所對的弧也相等。 B C A D O B C D A O B C D A O O 120° C A D B

練習5 ：如右圖，若正五邊形ABCDE的頂點皆在圓O上， 則∠AOC的度數為何？ 練習6 ：如右圖，若圓O中兩弦 AB ＝ CD ，則 ︵AC 及 ︵BD是否相等？ 二、圓周角與弦切角： ◎圓周角：當兩條弦的交點在圓周上，所形成的角稱為圓周角。如右圖，兩弦 AB 與 AC 相交於 A 點，則∠BAC 就是圓周角，它所對的弧是 ︵BC。 ◎圓周角的度數：(1)一弧所對圓周角的度數等於它所對圓心角度數的一半， 也等於該弧度數的一半。 (2)直徑或半圓所對的圓周角是直角。 【說明】(1)如下圖左，當圓周角的一邊是直徑時， 連接 OB ，則△OAB 為等腰三角形，得∠A＝∠ABO，

又∠BOC 為△OAB 的外角，則∠BOC＝∠A＋∠ABO，所以∠A＝1_2∠BOC＝1₂︵BC。

如下圖中，當圓心在圓周角內時，過 A 作直徑 AD ，可知∠BAD＝1₂︵BD，∠CAD＝1₂︵CD， 所以∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝1₂︵BD＋1₂︵CD＝1₂︵BC。 如下圖右，當圓心在圓周角外時，過 A 作直徑 AD ，可知∠BAD＝1₂︵BD，∠CAD＝1₂︵CD， 所以∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝1₂CD－︵ 1₂︵BD＝1₂︵BC。 (2)因為一弧所對圓周角的度數是此弧度數的一半。而一個周角是 360°， 即一個半圓是 180°，故半圓所對的圓周角是直角。 如右圖， AB 為直徑，而∠ACB、∠ADB、∠AEB 都是半圓 ︵AFB 所對的圓周角，所以∠ACB、∠ADB、∠AEB 都是直角。 O C D A B E B C D A O B C A O B C A O B C D A O B C D A O B C D E O A

【觀念釐清】如右圖，三個圓周角：∠ABE、∠ACE 及∠ADE， 所對的弧都是︵AE，即這三個圓周角的度數都是︵AE 度數的一半，得∠ABE＝∠ACE＝∠ADE。可知： 在同圓中，同弧所對的圓周角度數相等。 練習7 ：如右圖， AB 、 CD 為圓 O 的兩弦，O 在 AB 上。 若∠ADC＝44°、︵BD＝100°，則 (1)∠ABC＝ 度。 (2)∠ABD＝ 度。 (3)∠ACD＝ 度。 【觀念釐清】在等圓中，等弧的度數相等，且圓周角均為所對弧度數的一半，故其所對的圓周角度數 也相等。 練習8 ：如右圖，A、B、C、D 為圓 O 上相異四點，已知∠COD＝80°， ︵AD＝70°，∠DAB＝110°，求 (1)∠ABC 的度數。 (2)︵BC 的度數。 練習9：如右圖，A、B、C、D 為圓上 8 個等分點中的四個點，則 (1)∠ABC＝ 度。 (2)∠ABC＋∠ADC＝ 度。 練習10：右圖是一個半圓，O為圓心， AB 為直徑，C為圓上一點， 若∠CAB＝36°，則∠ABC是幾度？ 練習11：如右圖，P為圓O外一點，求作通過P點且與圓O相切的直線。 P O B C D A O B C D A O B C D A B C O A B C D E A

練習12：如右圖，若弦 AB 和弦 CD 互相平行，試說明 ︵AC 和 ︵BD 會相等。 【觀念釐清】(1)一圓中的兩弦若平行，則此兩弦所截的弧度數相等。 (2)圓內接梯形必為等腰梯形。 練習13：如右圖，若 ︵AC＝︵BD，試說明 AB 和 CD 互相平行。 ◎圓內接四邊形：如右圖，若四邊形 ABCD 的四個頂點都在圓周上時， 則稱四邊形 ABCD 為圓內接四邊形。 ◎圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形對角互補。 如右圖，∠A＋∠C＝180°；∠B＋∠D＝180°。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 為一個圓內接四邊形，

可知∠BAD＋∠BCD＝1₂︵BCD＋1₂BAD＝︵ 1₂₍︵BCD＋︵BAD)＝1_{2×360°＝180°，} 同理，∠ABC＋∠ADC＝180°。 練習14：如右圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，試說明∠1＝∠BAD。 【觀念釐清】圓內接四邊形的一外角等於其不相鄰的內對角。 練習15：如右圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，且 B、C、E 三點共線， 若∠ABC＝70°，∠BAD＝115°，則 (1)∠ADC＝？ (2)∠DCE＝？ B D C A B D C A O B A C D 1 D C A B E C B A D

◎弦切角：如下圖，直線 CD 切圓 O 於 A 點， AB 為圓 O 的一弦，則弦 AB 與切線 CD 所形成的 ∠BAC 及∠BAD 稱為弦切角。︵AB 及 ︵AEB 分別是弦切角∠BAC 及∠BAD 所夾的弧。

C B O D E A ◎弦切角的度數：弦切角的度數等於其所夾弧度數的一半。如上圖，∠BAC＝1₂︵AB。 【說明】如下圖左， AB 為圓 O 之直徑，直線 CA 切圓 O 於 A 點，則︵BDA＝180°，可知∠BAC＝1₂︵AB。 如下圖中， AB1 為圓 O 之直徑，直線 CA 切圓 O 於 A 點，則∠1＝1₂ ︵ BB1， 又∠BAC＝∠1＋∠B1AC，可知∠BAC＝1₂ ︵ BDA。 如下圖右， AB1 為圓 O 之直徑，直線 CA 切圓 O 於 A 點， 則∠2＝1₂ BB︵1，又∠BAC＝∠B1AC－∠2，可知∠BAC＝1₂ ︵ BDA。 練習16：如右圖，正五邊形ABCDE的五個頂點均在圓上，求弦切角∠EDP的度數。 練習17：如右圖，∠BAC為弦切角，∠BDA為圓周角，則 (1)∠BDA是 ︵BA 的幾倍？ (2)∠BAC是 ︵BA 的幾倍？ (3)∠BDA與∠BAC是否相等？ 【觀念釐清】對同弧的圓周角與弦切角度數相等。 B D A O C B D A O C 1 B1 B _D B1 A O C 2 B D E P A C B C A D

練習18：如右圖，若←→ AP 、←→ BC 分別切圓於A、B兩點， AC 與此圓交於D點，∠DAB＝30°、∠DCB＝28°，則 (1)∠DBC＝？ (2)∠PAB＝？ 練習19：如右圖，←→ DE 切圓O於A點，若 ︵AC＝140°，且∠BOC＋∠BAC＝150°， 則∠BAD的度數為多少？ 練習20：如右圖，直線AB 與圓O相切於B點，且與圓上一弦 CD 平行， 試說明 ︵BC＝︵BD。 三、圓內角與圓外角： ◎圓內角：當兩弦的交點在圓內時，此兩弦所形成的角稱為圓內角。 如右圖，兩弦 AB 與 CD 相交於圓 O 內一點 P，其中 ∠APD、∠DPB、∠BPC、∠CPA 都是圓內角，而 ︵AD 、︵DB、︵BC、︵CA 分別是這些圓內角所對的弧。 ◎圓內角的度數：圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。 如右圖，∠APC＝1₂₍︵AC＋︵BD)。 【說明】如右圖，圓上兩弦 AB 及 CD 相交於圓內一點 P，

連接 AC ，∵∠APD 是△APC 的外角，∴∠APD＝∠1＋∠2， 得∠APD＝1₂︵AD ＋1₂︵BC＝₂₍1 ︵AD ＋︵BC)，同理，∠APC＝1₂₍︵AC＋︵BD)。

練習21：如右圖，︵AB＝86°、︵CD＝100°，求圓內角∠APB 的度數。 B D P A C O B D A E C O C B A D C D B A 1 2 O P C D B A P C D B A O P

練習22：如右圖，∠ADB＝32°、∠DEC＝78°，求 CD 的度數。 ︵ ◎圓外角：當圓的兩條切線或割線相交於圓外一點時，所形成的角稱為圓外角。 如下圖，圓的兩條切線或割線相交於圓外一點 P，所形成的角∠APB 就是圓外角。 B D C A P B A C D P B D C A _P ◎圓外角的度數：圓外角的度數等於其所對兩弧度數差的一半。如下圖， (1) B D C A P (2) B A C D P (3) B D C A _P

∠P＝1₂₍︵AB－︵CD) ∠P＝1₂₍︵BC－︵CD) ∠P＝1₂₍︵ACB－︵ADB) 【說明】(1)如下圖左，P為圓外一點，直線PA、直線PB為此圓之兩條割線，分別交圓於A、C兩點

與B、D兩點，則∠1＝∠2＋∠P，可知∠P＝∠1－∠2＝1₂︵AB－1₂︵CD＝1₂₍︵AB－︵CD)。 (2)如下圖中，P為圓外一點，直線PA 為此圓之切線，C為切點，直線PB為此圓之割線，

與圓交於B、D兩點，則∠1＝∠2＋∠P，可知∠P＝∠1－∠2＝1₂︵BC－1₂CD＝︵ 1₂₍︵BC－︵CD)。 (3)如下圖右，P為圓外一點，直線PA、直線PB為此圓之兩條切線，A、B為切點，

則∠1＝∠2＋∠P，可知∠P＝∠1－∠2＝1₂︵ACB－1₂︵ADB＝1₂₍︵ACB－︵ADB)。

練習23：如右圖，︵AC＝90°、︵BD＝20°，求圓外角∠P 的度數。 D C P B A 1 2 D C P B A 1 2 D C P B A 1 2 C D B P A B _C D A E

練習24：如右圖，直線 PC 為圓的切線，C 為切點， 若∠P＝42°、︵BC＝75°，則 ︵AC 的度數為何？ 練習25：如右圖，直線 PA 與直線 PB 均為圓的切線， A、B 為切點，若 ︵ACB＝250°，則∠P 的度數為何？ 四、圓的線段乘冪性質：(可利用相似三角形性質來推導) (1)圓內冪性質：若圓 O 的兩弦¯ AB 和 ¯ CD 相交於圓內 P 點，則 ¯ PA ׯ PB ＝¯ PC × ¯ PD 。 (2)圓外冪性質：若¯ AB 和 ¯ CD 為圓 O 的兩弦，其延長線於圓外相交於 P 點，則 ¯ PA ׯ PB ＝¯ PC × ¯ PD 。 (3)圓切割線性質：若 ¯ PA 切圓 O 於 A 點， ¯ PD 為割線，交圓 O 於 C、D 兩點，則 ¯ PA 2＝ ¯ PC × ¯ PD 。 O P C B A D O D A P C B P O C D A ¯ PA ׯ PB ＝¯ PC × ¯ PD ¯ PA ׯ PB ＝¯ PC × ¯ PD ¯ PA 2＝ ¯ PC × ¯ PD 【說明】(1)連接¯ AC 與¯ BD ，在△PAC 和△PDB 中， ∵ ∠PAC＝∠PDB(同為 ︵ BC 所對的圓周角) 且∠APC＝∠DPB(對頂角相等) ∴△PAC～△PDB(AA 相似性質)， 由△PAC～△PDB 得 ¯ PA ： ¯ PD ＝¯ PC ：¯ PB ，故 ¯ PA ׯ PB ＝¯ PC × ¯ PD 。 (2)連接 ¯ AD 與¯ BC ，在△PBC 和△PDA 中， ∵ ∠PBC＝∠PDA(同為 ︵ AC 所對的圓周角) 且∠P＝∠P(共用等) ∴△PBC～△PDA(AA 相似性質)， 由△PBC～△PDA 得¯ PB ： ¯ PD ＝¯ PC ： ¯ PA ，故 ¯ PA ׯ PB ＝¯ PC × ¯ PD 。 (3)連接¯ AC 與 ¯ AD ，在△PAC 和△PDA 中， ∵ ∠PAC＝ 1 2 ︵ AC ＝∠PDA(同為 ︵AC 所對的弦切角與圓周角) 且∠P＝∠P(共用等) ∴△PAC～△PDA(AA 相似性質)， 由△PAC～△PDA 得 ¯ PA ： ¯ PD ＝¯ PC ： ¯ PA ， 故 ¯ PA × ¯ PA ＝¯ PC × ¯ PD ，即 ¯ PA 2＝ ¯ PC × ¯ PD 。 C B P A B C P A O P C B A D O D A P C B P A O C D

練習26：如右圖，¯ AB 為直徑，弦 ¯ CD 垂直¯ AB 於P點，若¯ AP ＝1，¯ BP ＝7， 則¯ CP 長為多少？ 練習27：如右圖，¯ AB 和 ¯ CD 為圓O的兩弦，其延長線於圓外相交於P點。 若¯ AB ＝5， ¯ PA ＝3， ¯ CD ＝10，則¯ PC 的長度為多少？ 練習28：如右圖， ¯ PA 切圓O於A點， ¯ PD 為割線，交圓O於C、D兩點。 若¯ PC ＝5， ¯ CD ＝5，則 ¯ PA 的長度為多少？ 自我評量 1. 如右圖，O 為兩同心圓的圓心，∠AOB＝∠COD。已知兩同心圓的半徑 分別為2 公分、5 公分，且 ︵AB為10_{3 π 公分，求} CD 為多少公分？ ︵ 2. 如右圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，E 點為 AB 、 CD 延長線的交點， F 點為 AD 、 BC 延長線的交點，若∠DAB＝50°、∠F＝35°， 則∠E 的度數為何？ O B A C D D C A _B E F P O C D A O P D B C A O D B C A P

3. 如右圖，直線 PQ 為圓的切線，A 為切點， 若 ︵ADB＝216°、∠ABP＝40°，則 (1)∠CAP＝ 度。 (2)∠BAC＝ 度。 (3)∠P＝ 度。 4. 如右圖， AB 、 CD 為圓的兩弦，且 AD 、 BC 交於 E 點， 已知︵AC＝70°、∠BAD＝45°，則 (1)∠BCD＝ 度。 (2)∠BED＝ 度。 5. 如右圖， AB 為圓 O 的直徑， AC 與 BD 的延長線交於 E 點。 若 ︵AD＝120°、︵BC＝110°，則∠E 的度數為何？ 6. 李爺爺有一塊圓形的花園，他用鐵絲將花園分割為 4 個區域， 如右圖。已知¯ AB 和 ¯ CD 交點為 M，且 M 為¯ AB 的中點， ¯ CM ＝9 公尺，¯ MD ＝4 公尺，則¯ AM 為多少公尺？ 習作 1. 已知圓 O 半徑是 8 公分，圓上 A、B 兩點將圓分成優、劣兩弧，若兩弧的度數比為 5︰3，則 (1)劣弧所對的圓心角∠AOB 為多少度？ (2)圓心角∠AOB 所對的劣弧長度為多少？ C A B E D C E O B D A C A B P D Q C D B M A

2. 如右圖，圓 O 中，∠A＝90°、∠B＝110°，則 (1) CDA ＝ 度。 ︵ (2) AD －︵ BC ＝ 度。 ︵ (3)若∠COD＝120°，則 AB ＝ 度。 ︵ 3. 如右圖，圓 O 中圓心角∠COD＝90°，半徑為 6 公分，藍色部分稱為弓形，則 (1)扇形 COD 的面積＝ 平方公分。 (2)△COD 的面積＝ 平方公分。 (3)藍色部分的弓形面積＝ 平方公分。 (4)藍色部分的弓形周長＝ 公分。 4. 圓周上 M、N、P 三點把圓周分成 1：2：3 的三個弧 MN、︵ NP、︵ PM，則△MNP 的三個內角 ︵ ∠M：∠N：∠P＝ 。 5. 如右圖， AB 、 CD 為圓 O 的兩弦，且 AB // CD ，若 BE ＝46°， ︵ ∠ECD＝60°，則∠AEC＝？ 6. 如右圖，A、B、C、D 在圓上，且直線 AB 與直線 CD 交於 P 點， 直線 AD 與直線 BC 交於 Q 點，若∠B＝54°、∠P＝40°， 則∠Q 是多少度？ E D B A C F O B D A C O

C

D

O

7. 如右圖，直線 RS 為圓 O 的切線，P 為切點，∠TUP＝60°，則 (1)∠TOP＝？ (2)∠TPS＝？ (3)∠TPO＝？ 8. 如右圖， AB 為圓 O 內一弦， CD 為圓 O 的切線， 已知 AB // CD ， AB ＝80°，則∠ACD＝？ ︵ 9. 如右圖， AB 與 CD 兩弦相交於圓內一點 P，且 AC ＝98°，︵ BD ＝22°， ︵ 則∠APD 的度數為何？ 10. 如右圖， AB 為圓 O 的直徑，C、D 兩點在圓上，且直線 AC 與 直線 BD 交於 P 點。若∠COD＝80°，則∠P 的度數為何？ 11. 如右圖， ¯ PA 切圓 O 於 A 點，¯ PB 交圓 O 於 B、C 兩點。 已知圓 O 的半徑為 17， ¯ PA ＝20，¯ PC ＝10，則¯ BC 之 弦心距為多少？ 12. 如右圖，A、B、C、D、E 為圓上五點，已知 ¯ AB // ¯ CE 、 ¯ BE // ¯ CD 。若∠1＝28°、∠3＝62°，則∠2 的度數為何？ P T U S O R C D A B P C D A B P O B C O D A A P B C O A E C D 1 2 3

類題補充 1. 已知圓 O 的半徑是 10 公分，圓上 A、B 兩點將圓分成優、劣兩弧，若兩弧的度數比為 1：11， 則△AOB 面積為何？ 2. 如右圖， PB 交圓 O 於 A 點， PD 交圓 O 於 C 點， EF 為圓 O 內一弦，且分別交 PB 、 PD 於 G、H 兩點。 (1)若 BG ＝4， EG ＝2， AG ＝7，則 FG ＝？ (2)承上題，若 PA ＝10， PC ＝12，則 PD ＝？ 3. 如下圖，由圓外一點 A 做兩直線交圓於 B、C、D、E 四點，∠CPE＝70°，∠A＝40°，求∠BCD＝？ A B D C E P 4. 如下圖， P 為圓O外一點，直線 PA 與直線 PB 分別切圓O於 A 、 B 兩點，若∠P＝50°， 則∠ACB＝ 度。 A B P C O

5. 如下圖，兩圓相交於 B、E 兩點，過 B、E 分別作兩圓割線交圓於 A、D、C、F。若∠A＝95°， 則∠C 為 度。 C B E D A F 6. 如下圖的半圓中，直徑¯ AB ＝10，若 C、D 三等分 AB ，則¯︵ AC 2＋¯ AD 2＝ 。 B C A D D A G H P E F B C O

7. 如圖，扇形 ABC 中，D 為 BC 上的一點，若∠BAC＝60°，則∠BDC＝？ ︵ 8. 如圖，A、B、C 為圓 O 上的三個點，直線 DB 切圓 O 於 B 點， 若∠DBA＝50°，∠ACO＝20°，則∠BAC 等於多少度？ 9. 如圖，若∠CAB＝75°，∠DBA＝85°，求∠CEF－∠EFD＝？ 10. 如圖，以¯ AC 、¯ BC 為直徑的兩半圓中，大圓的弦¯ AQ 切小圓於 P， 若¯ AC ＝12，¯ BC ＝8，則¯ AQ ＝？ 11. 如下圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，直線 AB 與直線 DC 相交於 P 點，∠APD 的平分線交¯ BC 於 E 點、交¯ AD 於 F 點，已知∠APD＝70°，∠PAD＝80°，則∠BEF＝ 度。 B P C A D F E 13. 如下圖，正五邊形 ABCDE 中，一圓分別與¯ AB 及¯ CD 相切於 A、D 兩點。則 AD (劣弧)度數為？ ︵ B C A D E B C D _A O B C A D 60° B C F A D E B C A Q P

14. 如右圖，已知 A、B、C、D、E 五點均在同一圓周上，若 DE ＝52°， ︵ ︵ CD ＝48°，則∠ADB＋∠AFB＝？ 15. 如右圖，兩圓相交於 A、B 兩點，若 C、B、D 三點共線， ︵ ABC ＝160°，∠D＝60°，則∠BAD＝ 度。 16. 如右圖，兩圓交於 A、D 兩點，一條割線分別交兩圓於 C、D、E 三點， 若大圓中 ADC =196°，則小圓中︵ ADE ＝？︵ 17. 坐標平面上，A(5 , 11)、B(－7 , －5)、C(7 , －3)三點在同一圓上，若此圓的圓心坐標為(a , b)， 則 a＋b＝？ 18. 如右圖，A、B、C 為圓 O 上三點，且直線 AB 與直線 OC 交於圓外一點 D。 若¯ AB ＝¯ BD ＝10，¯ OD ＝10 3 ，則¯ OC ＝？ 19. 下圖的半圓中，¯ AB 為直徑，¯ CD ⊥¯ AB 。若¯ AB ＝13，¯ CD ＝6，則¯ AD ＝ 。 A D B C B C A D F E B C A D C D E A A B O C D

加強練習 1. 如右圖，圓弧上有五個點 A、B、C、M、N。比較∠MAN、∠MBN、∠MCN 的大小關係，則下列敘述何者正確？ (A)∠MAN＞∠MCN＞∠MBN (B)∠MAN＝∠MBN＝∠MCN (C)∠MBN＞∠MCN＞∠MAN (D)∠MCN＞∠MBN＞∠MAN 2. 下列有關圓內接四邊形的敘述，何者正確？ (A)圓內接四邊形的對角相等 (B)圓內接四邊形的一個外角與其相鄰內角的對角互補 (C)圓內接平行四邊形必為正方形 (D)圓內接梯形，此梯形的兩對角線長必相等 3. 如下圖左，大小兩個同心圓中，A、B、P 為大圓上相異三點，¯ PA 、¯ PB 分別與小圓交於 C、D、E、F 四點， EF ＝25°，︵ AB ＝70°，則︵ CD ＝ 度。 ︵ 4. 如下圖中，A 為圓 O 外一點，¯ AB 、¯ AC 切圓於 B、C 兩點，D 為圓上一點。已知∠BAC＝60°， 1 ∠ ＝3 2∠ ，則 CD 的度數為 。 ︵ B E F C A D P O B C A D O 60° 1 2 A C D B F E 5. 如上圖右，¯ AB 是半圓的直徑，C 和 D 在¯ AB 上，¯ CE 和¯ FD 皆垂直¯ AB ，E 和 F 在半圓上。 若¯ AB ＝26，¯ AC ＝1，¯ CD ＝7，則¯ CE ＝ ，¯ EF ＝ 。 6. 如下圖，圓 O1與圓 O2的半徑均為4，則∠BAO2＋∠CAO1＝ 度， △ABC 的面積＝ 平方單位。 7. 如下圖，¯ AB 切圓於 B 點，¯ AD 交圓於 C、D 兩點，¯ BF 平分¯ CD 於 E 點， 且交圓於 F 點，若¯ EF ＝2，¯ AB ＝4，¯ AC ＝2，則¯ BE ＝ 。 B C F A D E 8. 如右圖，兩圓交於 P、Q，¯ AB 為公切線，A、B 為切點，∠APB＝74°， 則∠AQB＝？ 9. 如右圖，¯ AB 、¯ CD 、¯ CE 為圓的三條弦，直線 AB、直線 CD 相交 於圓外一點 P，¯ AB 、¯ CE 相交於圓內一點 F，且¯ AF ＝¯ BF ， 已知 ¯ PD ＝7 公分，¯ CD ＝5 公分，¯ PB ＝6 公分，¯ EF ＝2 公分， 則¯ CF 的長為多少公分？ 10. 如右圖，∠C 和∠E 均為直角，¯ CD ＝7，¯ AB ＝15， ¯ BD ＝20，¯ AE ＝20，¯ AC ＝24，若以¯ AD 為直徑畫圓，則 (1)¯ DE ＝ 。 (2) A、B、C、D、E 五點會有 點落在圓上。 A B C N M B C A O1 O2 B A Q P B C F A D E P B C A E

Ans：1.(B)；2.(D)；3. 95；4. 60°；5. 5，7 2 ；6. 180，12 3 ；7. 9_{2 ；8.}106°；9. 8 公分； 10.(1) 15，(2) 5。