數學科試卷 單元：1-2 廣義角與極座標班級：

數學科試卷 單元： 1-2 廣義角與極座標

班級： 座號：______ 姓名：__________

一、填充題：

1. 已知3sin(180 ) cos( ) 4sin( ) cos(180 ) 2

 

 

   

      ，則tan __________.

答案： 3 11

解析：原式 3sin cos 4sin cos 2

 

 

 

  

 

3cossin 1 2 3tan 1 2

sin 4 tan 1

4 1

cos

 

 



   

     

 

 

3tan 1 2( 4 tan 1)

      

11tan 3

 

tan 3

 11

 

2. 若 1

sin( 110 )

   ，則

k

答案： 1₂ 1

k

解析：sin( 110 ) sin( 90      20 ) 1 cos 20

   

k

cos 20 0

  

k



 tan 610 tan(360 250 ) tan 250 tan(270 20 )

    1

tan 20

  ²

1 1



k

 3. 設cos( 100 ) k   ，則tan190 ________.

答案： 1 ₂ ² 1

k k

k

 



解析：cos( 100 ) cos 260    cos(270 10 )    sin10  k 0

∴sin10 0

1 k k

   



tan190 tan(18010 ) tan10 1 2

k k

 



2

2

1 1

k k

k

 

 

4. 設cos( 110 ) k   ，試以_k表示tan( 560 )  ________.

答案： ₂ 1

k



k

解析：cos( 110 ) cos110    k cos 70  k

∴^{tan( 560 )   tan 560}  tan 200 tan 20 _{2 2}

1 1

k k

k k

      

 

5.

2 2

sin(180 ) tan (360 ) sin (540 ) cos(270 ) cos( 90 )sin(270 )

  

  

     

 

      ________.

答案：0 解析：

2 2

sin(180 ) tan (360 ) sin (540 ) cos(270 ) cos( 90 )sin(270 )

  

  

      

     

2 2

sin tan sin

sin sin ( cos )

  

  

 

 

  

2 2

tan  tan  0

  

6. ₈ cos 30 sin150 ₈

log ( ) 2log (1 tan 240 ) cos 330 sin 210

   



  

  ________.

答案： 1

3

解析：原式 _{8 8} ²

3 1 2 2

log ( ) log (1 3) 3 1

2 2

   



8 2

3 1 1

log ( )

3 1 ( 3 1)

  

 

8

log ( 1 )

( 3 1)( 3 1)

  

8

log 1

 2 1

 3

7. 設 1

sin  ， 在第二象限，求5 cos(90 ) sin(180  ) sin(180  )________.

答案： 1 5



解析： 1 sin  5

 ，且在第二象限

∴^cos(90 ^{) sin(180}  ^{) sin(180}  ⁾ sin sin ( sin )

     1

sin 5

  

8. 若0   180，且tan 2 tan 2 5





 

 ，則sin __________，cos ___________.

答案：3 10 10 10 ,  10

解析：tan 2 5 tan 10 4 tan 12

  

tan 3

  

90  180

    

sin 10 10

   ,cos

10 10

   

9. (1)若0   180，且 4

cos   ，則5 sin ________,tan ________.

(2)若90   270，且tan 3，則sin ________,cos ________.

答案：(1)3 3

5;4(2) 3 10 10 10 ; 10

 

解析：(1)

sin 3,

 5 3

tan  4 (2)

3 3 10 sin   10   10

1 10

cos   10   10

10. ⁸⁹

1log tan

k

k

   _______.

答案：0 解析： ⁸⁹

1log tan log tan1 log tan 2 log tan 89

k

k

        

1 1 1

log tan1 tan 2 tan 3 tan 45

tan1 tan 2 tan 44

     

  

 

log1 0

 

11. 若 3 1

sin cos

    2 ，且₀   ₁₈₀，則tan ________.

答案：_{ 3}

解析：∵

2 2

sin cos 3 1

2 sin cos 1

 

 

   



  



2 2 2

(sin cos ) sin 2sin cos  cos 

3 1 2

( ) 1 2sin cos

2  

  

4 2 3

1 2sin cos

4  

   

2sin cos 3

  2

 

2 2 3

sin cos 2sin cos 1

      2

2 2 3

(sin cos )

  2

  

4 2 3 3 1 sin cos

4 2

   

   

∴

sin cos 3 1

2 sin cos 3 1

2

 

 

 

 



   



，得 3

sin  2 , 1 cos  2

故

3

tan 2 3

1 2

   



12. 化簡： sin tan sin 1 cos tan sin

  

  

  

  __________.

答案：1

解析：原式

sin sin sin cos 1 cos sin sin

cos

 

 

  



 

 

（根號內分母、分子同乘cos sin



 ） sin 1 cos

1 cos 1 cos

 

 

 

  （根號內分母、分子同乘1 cos  ）

2 2

sin (1 cos ) 1 cos 1 cos

 

 

 

 

2

1 cos sin

1 cos sin

 

 

 



sin 1 cos 1 cos sin

 

 

  

 sin sin



  sin sin



  

 1

13. 若 3

tan  4 ，且sin 0，則 1 1 cos tan sin

 

   ________.

答案： 7 15



解析： 3

tan  4,sin 0 為第二象限角

故 1 1

cos tan sin

 

  4 4 5

5 3 3

 

   4 1 7

5 3 15

 

  

14. 若 1

sin(900 )

 3

 

 ，則 cos(180 )

cos [cos(180 ) 1]



 

 

  



 cos( 360 )

sin( 270 ) cos( 180 ) sin(270 )



  

 

   



   _______.

答案：18

解析： 1

sin(900) sin(  180 )  sin  1 sin

  

原式 cos ( cos 1) cos ( cos ) cos

 

    

 

    

1 1

cos 1 1 cos

 

 

1 cos 1 cos (1 cos )(1 cos )

 

 

  

  

2

2 1 cos 

 

2

2 sin 

 2 1 9

 18

15. 已知 2

tan  ,3 180   270，則sin(270 )________.

答案： 3

 13

解析： 3

sin(270 ) cos

  13

     

16. 若 1

sin ,sin( ) 1

 5    ，則sin(34 ) __________.

答案： 2 6

 5

解析：sin(  ) 1

90 360 n n,

 

      為整數

又34 3(  ) (270 1080 n)  sin(3 4 ) sin(270 )

      cos ² 2 6

1 sin

 5

    

17. 若 3

cos(30 )

 3

 

 ，則cos(150)________.

答案： 3

 3

解析：cos(150) cos[180(30)] cos(30) 3

  3 18. sin 20 cos160 sin 200 cos( 20 )  ________.

答案：0

解析：原式sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 0 19. 若1 tan

3 2 2 1 tan





  

 ，則 ²

2

2sin 3sin cos 1 2sin

  



 

 ________.

答案：_{2 3 2}

解析：1 tan   3 2 2 (3 2 2) tan   (4 2 2) tan 2 2 2

   

( 2 1)(2 2) tan (2 2)(2 2)

 

 

2

 2

所求

2

2

2

2 2

sin sin

2 3

cos cos

1 sin

cos 2cos

 

 



 

 



2

2 2

2 tan 3tan sec 2 tan

 

 

 



2 2

1 2

2 3

2 2

(1 tan ) 2 tan 

  

   ²

1 3 2 2 1 tan 

 



2 3 2 21 1 2





 2 3 2

 

20. _{cos 91}² _{ cos 92}² _{  … cos 180}² _{ }__________.

答案：91 2

解析：原式(cos 91²  cos 179 ) (cos 92²   ²  cos 178 )²  …

2 2 2 2

(cos 134 cos 136 ) cos 135 cos 180

       

2 2 2 2

[cos (90 1 ) cos (180 1 )] [cos (90 2 ) cos (180 2 )]

               

2 2 2 2 2

[cos (90 44 ) cos (180 44 )] ( ) ( 1)

 …          2  

2 2 2 2

[( sin1 ) ( cos1 ) ] [( sin 2 ) ( cos 2 ) ]

           

2 2 1

[( sin 44 ) ( cos 44 ) ] 1

  …      2

2 2 2 2

(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )

        … ^{2 2} 3

(sin 44 cos 44 )

    2

1 1 1 3

    … 2 3 1 44 2

   3

44 2

  91

 2

21. 若_sin _cos  ₂，則_sin³ _cos³ __________.

答案： 2 2

解析：(sin cos ) ³ sin³ 3sin²cos 3sin cos ² cos³

3 3

2 2 sin  3sin cos (sin   cos ) cos 

    

3 3

sin  cos  2 2 3sin cos  2

    

又考慮：(sin cos ) ² 2

2 2

sin  2sin cos  cos  2

   

1 2sin cos  2

  

sin cos 1

  2

 

3 3 1

sin cos 2 2 3 2

  2

      2

 2 22. ^{180 2}

1cos

k

k

   _______.

答案：90

解析：^{180 2 2 2 2}

1cos cos 1 cos 2 cos 180

k

k

        

2 2 2 2 2 2

(cos 1 cos 91 ) (cos 2 cos 92 ) (cos 89 cos 179 )

            

2 2

cos 90 cos 180

   

89 1 90

  

23. 若 1

cos(75 )

 3

 

 ，其中 為第三象限角，則cos(105) sin( 105 ) ________.

答案： 2 2 1 3



解析：∵360 n 180   360 n 270 , n 360 n 225  75 360 n 345 ,n

         

cos(105) sin( 105 )

cos[180 (75 )] sin[(75 ) 180 ]

      

cos(75 ) sin(75 )

    

1 2 2

( )

3 3

    2 2 1

3

 

24. cos330 sin 480  sin 585 cos1125  tan( 495 ) cos 240   ________.

答案：1 4

解析：cos 330 sin 480  sin 585 cos1125  tan( 495 ) cos 240  

3 3 2 2 1

2 2 2 2 1 2

 

      3 1 1 1

4 2 2 4

    25. 若 角終邊在^{x y 0}上，則2cos sin

5sin cos

 

 

 

 ________.

答案： 3 4

解析：m 1 tan

原式 2 tan 2 1 3 5 tan 5 1 4





 

  

 

26. 若 1

sin(630 )

 2

 

 ，且 在第三象限，則cos( 1260 ) ________.

答案：0

解析： 1

sin(630 ) sin(270 )

  2

   

 

且在第三象限

∴270  30  240

cos( 1260 ) cos( 990 )    cos 90 0

27. 若 1 1

cos sin  2，則_sin³ _cos³ __________.

答案： 2 2

解析： 1 1

2 sin cos 2 sin cos

cos sin    

      

2 2 2 2

sin  2sin cos  cos  2sin cos 

   

2 2

1 2sin cos  2sin cos 

  

2 2

2sin cos  2sin cos  1

  

sin cos (sin cos 1) 1

    2

  

又sin³ cos³ (sin cos )(sin ² sin cos  cos²) 2 sin cos (1 sin cos )   

 

2 sin cos 1

2sin cos

 

 

 2

 2

28. 設 為第四象限角，若 1

cos  ，試求3 cos(90 ) tan(180  ) cos(270  )________.

答案：10 2 3 解析：

cos(90 ) tan(180  ) cos(270  ) sin tan sin

   

2 2 2 2 10 2

( ) ( 2 2) ( )

3 3 3

 

     

29. 若 1

sin(180 ) cos( )

  2

     ，則sin (180³  ) cos ( ³ )之值為__________.

答案： 11

16

解析：sin(180 ) cos( ) 1 sin cos

  2

  

2 1

(sin cos )

   4

2 2 1

sin 2sin cos cos

    4

   

1 2sin cos 1

  4

  

2sin cos 3

  4

 

sin cos 3

  8

 

又sin (180³  ) cos ( ³ )  ( sin ) ³cos³  (sin³ cos³)

2 2

(sin cos )(sin  sin cos  cos )

    

1 3

(1 )

2 8

    1 11

  2 8 11

 16

30. 若2sin cos 0，則_2sin²_{3sin cos} _5cos² ________.

答案： 12

 5

解析：2sin  cos sin 1 cos 2 tan

 

     所求

2 2

2sin 3sin cos 5cos 1

     



2 2

2 2

2sin 3sin cos 5cos sin cos

   

 

 

 

2

2 2 2

sin sin

2 3 5

cos cos sin 1 cos

 

 





 





2

2

2 tan 3tan 5 tan 1

 



 

 

1 1

2 3( ) 5

4 2

1 1 4

   





 5

31. sin( 660 ) cos 690    cos( 1740 ) sin1470    __________.

答案：1

解析：原式sin(720 660 ) cos(690   720 ) cos( 1740    1800 ) sin(1470   1440 ) sin 60 cos 30 cos 60 sin 30

     

3 3 1 1 2 2 2 2

   

1

32. cos 225 sin 315

sin 210 cos 240 tan( 330 ) cos150

  

       ________.

答案：_2

解析： cos 225 sin 315

sin 210 cos 240 tan( 330 ) cos150

 

     

2 2

2 2

1 1 1 3

2 2 3 2 )

 

    

1 1

2 2 2

1 1 1

( )

4 2 4

   

  

14. 如圖，坐標平面上過原點的兩直線L1與L₂，四個位於標準位置的角    皆以, , , L₁與L₂為終邊，若  180， 則  __________.

答案：540

解析：  (180 ) (  180 ) (  ) 360  540 