1-2-3數列與級數-數學歸納法

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(1)1-2-3 數列與級數-數學歸納法【定義】數學歸納法：證明 Pn 這個性質對所有 n ∈ N 都成立。 1. 證 n = 1 時，證明 P1 成立。(起始性) 2. 設 n = k 時，設 Pn 成立證 n = k + 1 時， Pk +1 成立。(連續性) 由上可得證 Pn 這個性質對所有 n ∈ N 都成立。註：基本上分成以下題型： 1. 恆等式題型。 2. 不等式題型。 3. 因數、倍數題型。 4. 幾何題型。第二數學歸納法：證明 Pn 這個性質對所有 n ∈ N 都成立。 1. 證明： n = 1 時命題 P1 成立。 2. 證明：設 n ≤ k 時， Pn 成立，證 n = k + 1 時， Pk +1 成立。雙基歸納法：欲證明Pn成立。 1. 證明： n = 1, n = 2 時命題 P1 , P2 都成立。 2. 證明：設 n = k , n = k + 1 時， Pk , Pk +1 都成立，證 n = k + 2 時， Pk + 2 成立。註： 1. 數學歸納法的重點在於觀察、歸納、猜測、證明。 2. 有時候不一定從 n = 1 開始。 3. 數學歸納法是數學上重要而基本的方法，被用來證與自然數有關的命題。 4. 使用數學歸納法證題時，起始性和連續性兩個步驟一定要都證明，缺一不可。【問題】 1. 試舉例說明數學歸納法的形式中的每一個步驟是缺一不可的。例一：命題：對於任意自然數 n ， n 2 + n + 1 為質數說明：可證明起始性，但證不出連續性例二：命題：對於任意自然數 n ， n 2 + n + 1 為偶數說明：可證明連續性，但證不出起始性例三：命題：任意自然數都相等說明：可證明連續性，但證不出起始性 2. 利用第二數學歸納法證明：設 M 1 , M 2 ,L, M n (n ≥ 3) 是同一平面上的凸集，其中每三者都有公共點，證明：這 n 個凸集有公共點。 3. 利用雙基數學歸納法證明：.

(2) 設 f(n) =. (1 + 5 ) n − (1 − 5 ) n ，證明：若 n ∈ N ，則 f (n) 恆為自然數。 2n 5. 解： 1+ 5 n 1− 5 n 1 1+ 5 1− 5 (( ) −( ) )= (α n − β n )，其中 α = ，β = 2 2 2 2 5 5 1 n = 1 時， f (1) = (α − β ) = 1 ∈ N 5 1 1 n = 2 時， f (2) = (α − β )(α + β ) = 1 ∈ N (α 2 − β 2 ) = 5 5 設 n = k , k + 1 時成立，即 f ( k ), f ( k + 1) ∈ N 1 (α k + 2 − β k + 2 ) 則 n = k + 2 時， f ( n + 2) = 5 1 = ((α k +1 − β k +1 )(α + β ) − αβ (α k − β k )) (Q α + β = 1, αβ = −1) 5 1 1 = (α k − β k ) (α k +1 − β k +1 ) + 5 5 = f (k + 1) + f ( k ) ∈ N n = k + 2 亦真 ∴故由數學歸納法得知：若 n ∈ N ，則 f (n) 恆為自然數。【定理】白努力不等式： (1 + r ) n ≥ (1 + nr ), ∀r ≥ −2, n ∈ N 。【定義】遞迴關係：依據題設條件構造一個數列 < a n > ，然後建立相鄰幾項之間的遞迴關係式(亦稱遞迴方程式)，接著解遞迴關係式，求出一般項 a n 。註：一般將遞迴數列化成特殊型式(等差類型或等比類型)以找出第 n 項的一般式。若非此種類型，則較難求。【方法】遞迴方法：某些與自然數有關的問題，往往隱含固定的規律，處理這一類的問題通常分成三個步驟： 1. 依據題設條件構造一個數列 < an > 。 2. 建立相鄰幾項之間的遞迴關係式(亦稱遞迴方程式)。 3. 解遞迴方程，求出一般項 a n 。以上這種處理問題的方法稱為遞迴方法。簡而言之，遞迴方法就是一種構造遞推式的解題法。至於如何求解遞迴數列？較簡單的，可用觀察→歸納→猜想→證明的模式去處理。【方法】 1. a n +1 = a n + f (n) ：遞迴相加求 a n 。 2. a n +1 = a n × f ( n) ：遞迴相乘求 a n 。 f (n) =. 1.

(3) 3. a n +1 = αa n + k ：化成 (a n +1 − β ) = α (a n − β ) 。 4. 階差數列：前後兩項相減找規則。 5. a n + 2 = c1 a n +1 + c 2 a n ：解特徵方程式 x 2 = c1 x + c 2 ， (1)若有兩相異根，則 a n = αx1 + βx2 ，再代入基本條件解 α , β 。 n. n. (2)若有重根，則 a n = αx1 + nβx2 ，再代入基本條件解 α , β 。【定理】設數列 < an > 滿足 a1 = a, a n = pa n −1 + q(n ∈ N , n ≥ 2) 1. 當 p = 1 時，知 a n = a n −1 + q ，則 < an > 為等差數列，首項為 a ，公差為 q ，故 a n = a + (n − 1)q 。 2. 當 p ≠ 1 時希望化成 (a n − s ) = p (a n −1 − s ) ， q ，比較係數得 s − ps = q ，故 s = 1− p 可得 ( a n − s ) = p ( a n −1 − s ) = L = p n −1 ( a1 − s ) ， q q + (a1 − ) p n −1 。則 a n = s + (a1 − s ) p n −1 = 1− p 1− p 【問題】 1. 平面上， n 條直線最多有幾個交點？ (會在任兩線不平行，任三線不共點時發生。) (解) ⎧a1 = 0 ，遞迴關係式為 ⎨ ⎩a n +1 = a n + n a2 = a1 + 1 a3 = a 2 + 2 … a n = a n −1 + (n − 1) 將上述各式相加可得 an n. 2.. n. = a1 + (1 + 2 + L + (n − 1)) = 0 + (1 + 2 + L + ( n − 1)) n( n − 1) 。 = 2 平面上， n 條直線最多可以將平面分割成幾個區域？ (會在任兩線不平行，任三線不共點時發生。) (解) ⎧a1 = 2 遞迴關係式為 ⎨ ， a a ( n 1 ) = + + n + 1 n ⎩ a2 = a1 + 2 a3 = a 2 + 3.

(4) … a n = a n−1 + n 將上述各式相加可得 an. = a1 + (2 + 3 + L + n) = 2 + ( 2 + 3 + L + n) (n + 2)(n − 1) n 2 + n + 2 = 。 2 2 平面上， n 個圓最多有幾個交點？ (會在任三圓不共點時發生。) (解) ⎧a 2 = 2 遞迴關係式為 ⎨ ， ⎩a n +1 = an + 2n a3 = a 2 + 2 ⋅ 2 = 2+. 3.. a 4 = a3 + 2 ⋅ 3 … a n = a n −1 + 2(n − 1) 將上述各式相加可得 an. 4.. 5.. = a2 + 2(2 + 3 + L + (n − 1)) = 2 + 2(2 + 3 + L + ( n − 1)) = 2 + ( n + 1)( n − 2) = n 2 − n 。平面上， n 個圓最多可以將平面分割成幾個區域？ (會在任三圓不共點時發生。) (解) (解) ⎧a1 = 2 ，遞迴關係式為 ⎨ ⎩an +1 = an + 2n a2 = a1 + 2 ⋅1 a3 = a 2 + 2 ⋅ 2 … a n = a n −1 + 2(n − 1) 將上述各式相加可得 an = a1 + 2(1 + 2 + L + (n − 1)) = 2 + 2(1 + 2 + L + ( n − 1)) = 2 + n( n − 1) = n 2 − n + 2 。平面上，過一點的 n 個圓最多可以將平面分割成幾個區域？ (會在任三圓不共點時發生。) (解).

(5) ⎧a1 = 2 遞迴關係式為 ⎨ ， ⎩a n +1 = a n + (n + 1) a2 = a1 + 2 a3 = a 2 + 3 … a n = a n−1 + n 將上述各式相加可得 an. = a1 + (2 + 3 + L + n) = 2 + ( 2 + 3 + L + n) = 2+. (n + 2)(n − 1) n 2 + n + 2 = 。 2 2. 【問題】 1. 費氏(Fibonacci)數列：設有一對剛出生的小兔子，若任一對小兔子出生兩個月後就能生小兔子，且每對成兔每個月恰好生一對小兔子， a n 表第 n 個月兔子的總對數，試著用圖形化看看並觀察之？試求出此數列 < an > 的遞迴關係式？是否可以求出一般項 an ？. ⎧ Fn = Fn −1 + Fn − 2 , n ≥ 3 定義如 ⎨ ⎩ F1 = 1, F2 = 1 n n 1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞ ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎤ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥, n ≥ 1 ⎢⎜ 且可求得 Fn = 5 ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 註：用雙基歸納法或直接解特徵方程式或生成函數方法。 2. 河內(Hanoi)塔：相傳在河內的一座寺廟中立著三根金棒，有 64 個大小都不同的銀圈，從上而下由小到大依序套在同一根金棒上。造物主命僧侶把 64 個銀圈全部移到另外一根金棒上，並且規定：每一次只能移動一個銀圈，在移動過程中，較大的銀圈不可套在較小的銀圈上。當銀圈全數搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。試問搬完 64 個金盤最少需多少次？(A： 2 64 − 1 ) 【問題】 1. (1)若數列 < an > ，其中 a n +1 = a n + 2 且 a1 = 1 ，試求 a n 。 (2)若數列 < an > ，其中 a n +1 = a n + k ( k 為某定值)且 a1 = 1 ，試求 a n 。 2. (1)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = 2a n 且 a1 = 1 ，試求 a n 。 (2)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = ka n ( k 為某定值)，試求 a n 。 3. (1)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = a n + n 且 a1 = 1 ，試求 a n 。 (2)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = a n + f (n) 且 a1 = 1 ，試求 a n 。 4. (1)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = 3a n 且 a1 = 1 ，試求 a n 。 (2)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = f (n) × a n 且 a1 = 1 ，試求 a n 。 5. (1)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = 3a n + 2 且 a1 = 1 ，試求 a n 。.

(6) 6.. 7. 8. 9.. (2)若數列 < a n > ，其中 a n +1 = f (n) × a n + k ( k 為某定值)且 a1 = 1 ，試求 a n 。假設現有一隻細菌，每小時細菌數目會變成原先的兩倍，且細菌在第 n 個小時的總數量為 a n ，設此過程中細菌並無死亡，試列出此數列 < an > 的遞迴關係式？是否可以求出一般項 a n ？用 1 元，2 元兩種郵票貼成一列，合計貼了 n 元郵票，試問有幾種貼法？巴拿哈火柴問題：有 n 根火柴，甲、乙輪流取，每次取走 1 根或 2 根。若甲先取，問最後輪到甲取完火柴的方法數？坐標平面上方程 | x | + | y |≤ n, ( n ∈ N ) 所描寫的正方形區域，含有多少個整數點？. 10.求證：對一切 n ∈ N 都有 1 + 2 + 3 + L + n < 2 。 11.設 X 為具有乘法運算的代數系統，但不滿足結合律，以 xy 表示 x × y ，若 x1 , x 2 , L, x n ∈ X ，且這 n 個元素依序所能作出的一切可能的積皆不同，其個數記為 f ( n) ，求 f ( n) 的遞迴關係？是否可以求出一般項 a n ？ 12.設平面上的 n 條直線最多能將平面分成 a n 個區域(當任兩條都交於一點，任三條都不共點)，試求出此數列 < an > 的遞迴關係式？是否可以求出一般項 a n ？ 13.在網路上傳輸 a, b, c 三個字母組成長為 n 的字串，若網路上不能有連續兩個 a 出現，否則不能傳輸，求滿足條件的遞迴關係為何？是否可以求出一般項 an ？ 14.以 0,1 字母組成的字串中，例如 001010010101 ，我們定義 010 出現在第 4 位及第 9 位，求出長度為 n 且 010 出現在第 n 位的可能方法數？是否可以求出一般項 an ？ 15.設平面上的 n 個圓最多能將平面分成 a n 個區域，試求出此數列 < an > 的遞迴關係式？是否可以求出一般項 a n ？ 16.一個質點在水平方向上運動，每秒鐘它走過的距離等於它前一秒鐘走過的距離等於前一秒走過的距離的兩倍，設質點在第 n 秒時，位置為 a n ，已知 a 0 = 3, a1 = 4 ，試求 a n 。 17.一筆劃問題：如圖，由 A 出發走到 B 在走過的「路段」不得重複走的條件下，總計有多少種走法？ A. B n個圓. 18.用 n 個 2×1 的矩形(這種矩形我們稱為骨牌)覆蓋 2× n 的棋盤，有多少種不同的蓋法？ 19.有一種細胞，每隔一小時死亡 2 個，剩下的每個分別分裂成 2 個，設最初有 7 個細胞， n 小時後細胞有 a n 個， (1)請找出 a n 與 a n +1 的關係。 (2) a n 的一般項。 (3)幾個小時後細胞數目會超過 1000 個。 20.設 ∆ABC 是邊長為 1 的正三角形。將三邊分別三等份，取中間段為一邊向外側作一個正三角形，並且將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等份，.

(7) 取中間段為一邊向外作正三角形，再將中間這一段擦去。依此程序繼續下去，得到一系列的圖形，這種自我複製的圖形，稱為碎形。試求 (1)第 6 次之碎形的周長。 (2)第 n 次的周長。. 21.河內塔問題(Towers of Hanoi puzzle)：相傳在創世紀時代，河內的一座寺廟中豎立著三根銀棒，有 64 個大小都不同的金盤(金盤正中央有一個小孔) 「大盤在下，小盤在上」依序套在同一根銀棒上。造物主命僧侶把 64 個金盤全部移到另外一根銀棒上，並且規定：每一次只能移動一個金盤，在移動過程中，較大的金盤不可套在較小的金盤上。當金盤全數搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。試問搬完 64 個金盤最少需多少次？若每秒鐘可搬一個，至少需要多少時間才可搬完？ 22.設有一對剛出生的小兔子，若任一對小兔子出生兩個月後就能生小兔子，且每對成兔每個月恰好生一對小兔子， a n 表第 n 個月兔子的總對數，試著用圖形化看看並觀察之？試求出此數列 < an > 的遞迴關係式？是否可以求出一般項 an ？ 23.阿財給 n 個人寫了 n 封不同的信，信寫好後再寫信封上的人名、地址。試問此 n 張信紙全都裝錯信封的情形有多少種？( n ≥ 2 ) 24.塗色問題：把一個圓等分成 n 個扇形( n ≥ 2 )依次記作 S1 , S 2 , L , S n ，每個扇形都可用「紅、白、藍」三色中的一種塗色，並且要求相鄰扇形的顏色互異，求全部的塗色法。若改為使用 k 種顏色塗呢？ 25.登台階：有 n 階樓梯，每次上樓規定只能跨一級或兩級，那麼，共有幾種上樓的方法？ 26.平面上有 n 條直線（ n ≥ 3 ），任兩條都相交於一點，任三條都不共點，試問此 n 條直線將平面分割成多少區？ 27.五隻猴子分桃子，老大先把桃子均分成五堆，然後把剩餘的一個扔掉，自己拿走了五堆中的一堆，老二把剩下來的再均分成五堆，又扔掉剩餘的一個，自己拿走了這五堆中的一堆，以後，每隻猴子來了都是如此辦理，問原來至少有多少個桃子？最後至少有多少個桃子？ 28.約瑟夫排列：設有 n 人站成一排，從第一名開始 1 至 3 報數，凡報到 3 的人就退出隊伍，其餘的向前靠站成新的一排，再按此規則繼續進行，直到第 k 次報數後只剩下三個人為止。問： (1)最後剩下的三個人最初在什麼位置？.

(8) (2)當 n =1000 時，求這三個人的最初位置。 29.著色問題：地圖上某一地區有 n 個國家相鄰，但 n 個國家只有一個公共點。現用紅，黃，綠三種顏色給地圖染色，但不相鄰的國家有相同的顏色，問有多少種染法？.

(9)