1 等差級數 2

在下水道工程的工地旁放著一堆水管（如圖 1-2），翰翰想知道這堆水管共 有多少根。

我們將圖 1-2 上下顛倒成為圖 1-3，再將圖 1-2、圖 1-3 拼成圖 1-4。

圖 1-4 共有 6 列，每列都有 11 根水管，總共有 6×11 根水管，而這恰好 是圖 1-2 的兩倍，所以圖 1-2 中的水管共有 6×11

2 ＝33 根。

被譽為「數學王子」的德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777- 1855），小時候就用過類似的方法。據說，在高斯十歲那年，有一天老師要求 全班同學計算出 1＋2＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100 的和。當老師將題目寫 完後不久，高斯就在他的小石板上寫出 5050，並舉手告訴老師這個答案。你 知道高斯是怎麼算出來的嗎？

圖 1-3 圖 1-4

2 等差級數

1

圖 1-2

第一層 3 根 第二層 4 根 第三層 5 根 第四層 6 根 第五層 7 根 第六層 8 根

刻苦勤學的高斯

高斯出生於一個貧苦的家庭，他的父親從事園藝、建築等粗工。就 像許多貧困的人們一樣，高斯的父親希望他長大後趕快賺錢，以便改善 家庭經濟，因此從不鼓勵他學習高深的學問。

高斯從小就極為勤學，由於在校中的優異表現，高斯獲得學校老師 的推薦，及費迪南公爵（Carl Wilheim Ferdinand）經濟上的資助，於 1795 年 進入哥庭根大學（Gottingen University）學習， 1798 年轉入黑爾姆斯泰特大 學（Helmstedt University），並完成 《 算術研究 》 一書（1801 年出版）， 1799 年獲得博士學位。

高斯精通數種語言，在數學、天文學、電磁學、大地測量等領域都 有相當重要的成就。德國人為了紀念這一位傑出的數學家，在紙幣上印 有高斯的肖像，並發行過以高斯為主題的郵票。

要計算 1＋2＋3＋… …＋98＋99＋100 的和，我們可以先假設 S＝1＋2＋3

＋… …＋98＋99＋100，同樣地，我們也可以寫成 S＝100＋99＋98＋… …＋3

＋2＋1。將兩式相加可得：

S＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … … ＋ 98 ＋ 99 ＋ 100

＋）S＝100 ＋ 99 ＋ 98 ＋ …… ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 2S＝101 ＋101＋101＋ … … ＋101＋101＋101 所以 2S＝101×100

S＝ 101×100

2 ＝5050 數學萬花筒

×÷

－

試仿照高斯的作法，求下列各等差級數的和：

1 3＋5＋7＋9＋11

2（－9）＋（－5）＋（－1）＋3＋7＋11

將一個數列的各項用「＋」號連接，所成的式子稱為級數。例如，2, 4, 5, 7, 9 是一個數列，2＋4＋5＋7＋9 就是一個級數。又如，2, 5, 8, 11, 14 是一個等 差數列，2＋5＋8＋11＋14 就是一個等差級數。

在高斯計算 1＋2＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100＝5050 的式子中，1＋2

＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100 是一個等差級數，5050 是這個級數的和。

仿照高斯的作法，我們也能求出任何等差級數的和。

一個級數中所有的項形成一個等差數列時，這個級數就稱為等差級數。即，

當 a₁ , a₂ , a₃ , ……, a_n 為等差數列時，則 a₁＋a₂＋a₃＋……＋a_n 為等差級數。

1設 S＝3＋5＋7＋9＋11

S＝ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋11 ＋）S＝11＋ 9 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 2S＝14＋14＋14＋14＋14 所以 2S＝14×5

S＝ 14×5 2 ＝35 因此 3＋5＋7＋9＋11＝35

2設 S＝（－9）＋（－5）＋（－1）＋3＋7＋11

S＝（－9）＋（－5）＋（－1）＋ 3 ＋ 7 ＋ 11 ＋） S＝ 11 ＋ 7 ＋ 3 ＋（－1）＋（－5）＋（－9）

2S＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 所以 S＝ 2×6

2 ＝6

因此（－9）＋（－5）＋（－1）＋3＋7＋11＝6 求等差級數的和

例

1

共 5 個 14

等差級數的和

1

2 52＋68＋84＋100＋116＋132＋148

試仿照高斯的作法，求下列各等差級數的和：

1 98＋85＋72＋59＋46＋33

數學小語錄

最深奧的數學研究的全部結果，最終都一定可以表示成整數性質的簡單形 式。

—— 克羅涅克（Leopold Kronecker，1823-1891）

設 S＝52＋68＋84＋100＋116＋132＋148 S＝ 52 ＋ 68 ＋ 84 ＋100＋116＋132＋148

＋）S＝148＋132＋116＋100＋ 84 ＋ 68 ＋ 52 2S＝200＋200＋200＋200＋200＋200＋200 所以 2S＝200×7

S＝700

設 S＝98＋85＋72＋59＋46＋33 S＝98＋85＋72＋59＋46＋33

＋）S＝33＋46＋59＋72＋85＋98 2S＝131＋131＋131＋131＋131＋131 所以 2S＝131×6

S＝393

接下來，我們要仿照高斯的作法，推導出等差級數求和的公式。

設一個等差級數共有 5 項，首項為 a，公差為 d，末項為 b，則此等差級 數的和為

S₅＝a＋（a＋d）＋（a＋2d）＋（a＋3d）＋（a＋4d） 1

換個角度想，我們可將此等差級數看成首項為 b，公差為－d，末項為 a，

則此等差級數的和為

S₅＝b＋〔b＋（－d）〕＋〔b＋2（－d）〕＋〔b＋3（－d）〕＋〔b＋4（－d）〕

＝b＋（b－d）＋（b－2d）＋（b－3d）＋（b－4d） 2 1式加2式可得

S₅＝ a

＋ （a＋d） ＋ （a＋2d） ＋ （a＋3d） ＋（a＋4d）

＋）S₅＝ b

＋ （b－d） ＋ （b－2d） ＋ （b－3d） ＋（b－4d）

2S₅＝ （a＋b） ＋ （a＋b） ＋ （a＋b） ＋ （a＋b） ＋ （a＋b）

共有 5 個（a＋b）

所以 2S₅＝5（a＋b）

S₅＝ 5（a＋b）

2

若一個等差級數的首項為 a₁，公差為 d，前 n 項的和為 S_n，依上面的作法 可得

S_n＝ a₁

＋（a₁＋d）＋（a₁＋2d）＋……＋〔a₁＋（n－2）d〕＋〔a₁＋（n－1）d〕

＋）S_n＝ a_n

＋（a_n－d）＋（a_n－2d）＋……＋〔a_n－（n－2）d〕＋〔a_n－（n－1）d〕

2S_n＝（a₁＋a_n）＋（a₁＋a_n）＋（a₁＋a_n）＋……＋ （a₁＋a_n） ＋ （a₁＋a_n）

共有 n 個（ a₁＋a_n）

所以 2S_n＝n（a₁＋a_n） S_n＝ n（a1＋a_n）

2

等差級數的和＝ 項數×（首項＋末項）

2

已知等差級數 41＋38＋35＋……＋5 ，求其項數與和。

首項 a₁＝41，末項 a_n＝5，公差 d＝38－41＝－3。

由 1-1 節知 a_n＝a₁＋（n－1）d，得 5＝41＋（n－1）（－3）

n＝13 因此S₁₃＝ 13（41＋5）

2 ＝299

即 41＋38＋35＋ … … ＋5＝299

試利用等差級數和的公式，求等差級數 5＋8＋11＋14＋17＋20 的和。

首項 a₁＝5，項數 n＝6，末項 a₆＝20。

由公式 S_n＝ n（a₁＋a_n）

2 得

S₆＝ 6×（5＋20）

2 ＝75 即 5＋8＋11＋14＋17＋20＝75

試利用等差級數和的公式，求等差級數 23＋27＋31＋35＋39＋43＋47 的 和。

利用公式 S_n＝ ^n（a1＋a₂ ^n）求和

例

2

先求 n，再代入公式 S_n＝ ^n（a1＋a₂ ^n）求和

例

3

a₁＝ 23，n＝7，a_n＝47，代入公式 S_n＝ 得 S₇＝ ＝245

n（a₁＋a_n） 2 7×（23＋47）

2

配合習作基礎題 1、2

設項數為 n，公差為 d，由公式 S_n＝ n（a₁＋a_n）

2 得

63＝n〔29＋（－22）〕

2 7n＝126

n＝18

又－22＝29＋（18－1）d 17d＝－51

d＝－3

1求等差級數 2＋6＋10＋……＋42 的和。

2求等差級數 5＋1＋（－3）＋……＋（－39）的和。

設一等差級數的首項是 29，末項是－22，和是 63，求其項數與公差。

代入公式求項數與公差

例

4

a_n＝a₁＋（n－1）d

a₁＝2，d＝4，a_n＝42，代入公式 a_n＝ a₁＋（n－1）d 得 42＝2＋（n－1）×4

42＝2＋4n－4 n＝11

代入公式 S_n＝ 得 Sn（a₁＋a_n） ₁₁＝ ＝242 2

11×（2＋42）

2

a₁＝5，d＝－4，a_n＝－39，代入公式 a_n＝ a₁＋（n－1）d 得

－39＝5＋（n－1）×（－4）

－39＝5－4n＋4 n＝12

代入公式 S_n＝ 得 Sn（a₁＋a_n） ₁₂＝ ＝－204 2

12×〔5＋（－39）〕

2

配合習作基礎題 3、4

設一等差級數的首項是－5，末項是 135，和是 1365，求其項數與公差。

設一等差級數的首項為 3，公差為－2，求此等差級數前 12 項的和。

首項 a₁＝3，公差 d＝－2，項數 n＝12。

由公式 S_n＝ n〔2a₁＋（n －1）d 〕

2 得

S₁₂＝12×〔2×3＋（12－1）×（－2）〕

2 ＝－96

故前 12 項的和為－96。

由 1-1 節我們知道 a_n＝a₁＋（n－1）d，代入公式 S_n＝ n（a₁＋a_n） 2 得

因此，在不知道末項 a_n 的情形下，我們也可以直接由首項 a₁、公差 d與項數 n 求出等差級數的和。

利用公式 S_n＝ ^{n〔2a1＋（}₂^n－1）d〕 求和

例

5

S_n＝ n〔a₁＋a₁＋（n －1）d 〕

2 ＝ n〔2a₁＋（n －1）d 〕 2

配合習作基礎題 5 a₁＝－5，a_n＝135，S_n＝1365 ，代入公式 S_n＝ 得

1365＝

n＝21

代入公式 a_n＝a₁＋（n－1）d 得 135＝（－5）＋（21－1）d 135＝－5＋20 d

d＝7

n（a₁＋a_n） n〔（－5）＋135〕 2

2

設等差級數－2＋2＋6＋……前 n 項的和為 126，求 n。

首項 a₁＝－2，公差 d＝2－（－2）＝4。

第 n 項 a_n＝（－2）＋（n－1）4＝4n－6 由公式 S_n＝ n（a₁＋a_n）

2 得 126＝ n〔（－2）＋（4n －6） 〕 2

126＝n（4n－8）

2 4n²－8n－252＝0 n²－2n－63＝0

（n－9）（n＋7）＝0 n－9＝0 或 n＋7＝0 n＝9 或 n＝－7（不合）

解二 首項 a₁＝－2，公差 d＝2－（－2）＝4。

由公式 S_n＝ n〔2a₁＋（n －1）d 〕 2

4n²－8n－252＝0 n²－2n－63＝0

（n－9）（n＋7）＝0 n－9＝0 或 n＋7＝0 n＝9 或 n＝－7（不合）

設一等差級數的首項為 7，公差為 3，求此等差級數前 20 項的和。

代入公式求項數

例

6

得 126＝ n〔2×（－2）＋（n －1）×4〕

2 a₁＝7，d＝3，n＝20，代入公式 S_n＝ 得 S₂₀＝ ＝ ＝710

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2 20×〔2×7 ＋（20－1）×3〕

2

20×〔14＋57〕

2

配合習作基礎題 6

1等差級數 1＋5＋9＋……前 n 項的和為 153，求 n。

2 等差級數（－76）＋（－68）＋（－60）＋……前 n 項的和為－384，

求 n。

一直昇機空拋救災物資，第 1 秒落下 4.9 公尺，以後落下的 距離每秒增加 9.8 公尺（即第 2 秒落下 4.9＋9.8＝14.7 公尺，

第 3 秒落下 4.9＋9.8＋9.8＝24.5 公尺）。如果救災物資空拋 6 秒後剛好到達地面，求當時直昇機離地面的高度。

第 1 秒

4.9 公尺

14.7 公尺

24.5 公尺 第 2 秒

第 3 秒

等差級數的應用

例

7

第 6 秒落下的距離為 4.9＋（6－1）×9.8＝53.9（公尺）

所以救災物資每秒落下的距離依次為

4.9 公尺、14.7 公尺、24.5 公尺、… …、53.9 公尺，

其和為 S₆＝ 6×（4.9＋53.9）

2 ＝176.4（公尺）

所以直昇機離地面的高度為 176.4 公尺。

a₁＝－76，d＝ 8，S_n＝－384，代入公式 S_n＝ 得

－384＝

n（4n－80）＝－384，n²－20n＋96＝0，

（n－8）（n－12）＝0，n＝8 或 12

n〔2a₁＋（n－1）d〕

n〔2×（－76）＋（n－1）×8〕 2 2

a₁＝1，d＝4，S_n＝153，代入公式 S_n＝ 得 153＝

n（2n－1）＝153，2n²－n－153＝0，

（n－9）（2n＋17）＝0，n＝9 或－ 17

2（不合）

n〔2×1＋（n－1）×4〕

2

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2

配合習作基礎題 7

1 甲向乙借款，約定分二十年償還，第一年還 10 萬元，第二年還 14 萬 元，第三年還 18 萬元，……，各年度償還的金額成等差數列。請問這 二十年甲共付給乙多少元？

2 奈美計畫暑假到國外旅遊，從三月一日開始，第一天存款 15 元，第二 天存款 17 元，第三天存款 19 元，… …，每天的存款數成等差數列。

請問到六月三十日奈美總共存款多少元？

!級數： 將一個數列的各項用「 ＋ 」號連接，所成的式子稱為級數。

@ 等差級數：一個級數中所有的項形成一個等差數列時，這個級數就稱為 等差級數。即，當 a₁, a₂, a₃, … … , a_n 為等差數列時，a₁＋a₂＋a₃＋ … …

＋a_n 為等差級數。

#等差級數求和公式：

1 如果一個等差級數的首項為 a₁，末項為 a_n，則此等差級數前 n 項的和 為 S_n＝ n（a₁＋a_n）

2 。即，等差級數的和＝ 項數×（首項＋末項）

2 。

2 將 a_n＝a₁＋（n－1）d 代入等差級數和的公式 S_n＝ n（a₁＋a_n） 2 得 S_n＝ n〔2a₁＋（n －1）d 〕

2 。

重點回顧

a₁＝10，d＝4，n＝20 ，代入公式 S_n＝ 得 S₂₀＝ ＝960（萬元）

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2 20×〔2×10 ＋（20－1）×4〕

2

n＝31＋30＋31＋30＝122

a₁＝15，d＝2 ，代入公式 S_n＝ 得 S₁₂₂＝ ＝16592（元）

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2 122×〔2×15 ＋（122－1）×2〕

2

自 我 評 量 1-2

1 求下列各等差級數的和：

1 1＋2＋3＋… …＋70

2 8＋11＋14＋… …＋278

3（－99）＋（－97）＋（－95）＋……＋（－1）

4 74＋67＋60＋… …＋（－10）

5 1.2＋1.5＋1.8＋… …＋5.4

a₁＝1，d＝1，a_n＝70　∴ n＝70

代入公式 S_n＝ 得 Sn（a₁＋a_n） ₇₀＝ ＝2485 2

70×（1＋70）

2

a₁＝74，d＝－7，a_n＝－10，代入公式 a_n＝ a₁＋（n－1）d 得

－10＝74＋（n－1）×（－7）

n＝13

代入公式 S_n＝ 得 S₁₃＝ ＝416 a₁＝8，d＝3，a_n＝278，代入公式 a_n＝a₁＋（n－1）d 得

278＝8＋（n－1）×3 n＝91

代入公式 S_n＝ 得 S₉₁＝ ＝1301391×（8＋278）

2 n（a₁＋a_n）

2

n（a₁＋a_n） 2

13×〔74＋ （－10）〕

2

a₁＝－99，d＝2，a_n＝－1，代入公式 a_n＝a₁＋（n－1）d 得

－1＝（－99）＋（n－1）×2 n＝50

代入公式 S_n＝ 得 Sn（a₁＋a_n） ₅₀＝ ＝－2500 2

50×〔（－99）＋（－1）〕

2

a₁＝1.2，d＝0.3，a_n＝5.4，代入公式 a_n ＝a₁＋（n－1）d 得 5.4＝1.2＋（n－1）×0.3

n＝15

代入公式 S_n＝ 得 S₁₅＝ ＝49.515×（1.2＋5.4）

2 n（a₁＋a_n）

2

2 設一等差級數的首項為－8，公差為 3，求這個等差級數前 16 項的和。

3 設一等差級數的首項為 5，末項為 138，和為 1430，求這個等差級數的項數 與公差。

4 求 1 至 1000 的整數中，所有 3 的倍數的和。

5 等差級數 15＋18＋21＋… …前 n 項的和為 600，求 n。

a₁＝－8，d＝3，n＝16，代入公式 S_n＝ 得 S₁₆＝ ＝232 16×〔2×（－8）＋（16－1）×3〕

2

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2

a₁＝5，a_n＝138，S_n＝1430，代入公式 S_n＝ 得 1430＝

n＝20

代入公式 a_n＝ a₁＋（n－1）d 得 138＝5＋（20－1）d

d ＝7

n（a₁＋a_n） 2 n（5＋138）

2

a₁＝3，d ＝3，a_n＝999，代入公式 a_n＝a₁＋（n－1）d 得 999＝3＋（n－1）×3

n＝333

代入公式 S_n＝ 得 S₃₃₃＝ ＝166833

n（a₁＋a_n） 2 333×（3＋999）

2

a₁＝15，d ＝3，S_n＝600，代入公式 S_n＝ 得 600＝

1200＝n （3n＋27）

n²＋9n－400＝0

（n－16）（n＋25）＝0 n＝16 或－25（不合）

n〔2a₁＋（n－1）d 〕 n 2

〔2×15＋（n－1）×3 〕 2

6 設一等差級數的第 4 項為 15，第 7 項為 27，和為 903，求這個等差級數的 首項、公差與項數。

7 全民戲院共有 25 排座位，自第二排起，每一排比前一排多 2 個座位。

已知最後一排有 80 個座位，試問全民戲院共有多少個座位？

8 

上方各圖是由火柴棒排成的正方形所組成，圖一有 1 個正方形，圖二有 2 個 正方形，……，圖 n 有 n 個正方形。若圖一至圖 n 共用去 286 根火柴棒，試 問圖 n 用了幾根火柴棒？

圖一 圖二 圖三 圖 n

…… …

a₁＝4，d＝3，S_n＝286，代入公式 S_n＝ 得 286＝

3n²＋5n－572＝0，（n－13）（3n＋44）＝0，n＝13 或－ 44

3（不合）

代入公式 a_n＝ a₁＋（n－1）d 得 a₁₃＝4＋（13－1）×3＝40 （根）

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2 n〔2×4＋（n－1）×3〕

2

a₁＝ 80，d＝－2，n＝25，代入公式 S_n＝ 得 S₂₅＝ ＝1400 （個）

n〔2a₁＋（n－1）d〕

2 25×〔2×80＋（25－1）×（－2）〕

2

2n²＋n－903＝0，（n－21）（2n＋43）＝0，n＝21 或－ 43

2（不合）

a₁＋ 3d ＝15 1 a₁＋ 6d ＝27 2 代入1 式得 a₁＝3

代入公式 S_n＝ 得 903＝n〔2a₁＋（n－1）d〕

2

n〔2×3＋（n－1）×4〕

2 2式－1 式得 3d＝12，d＝4

費氏數列（Fibonacci Sequence）

在本章課文中提出了一個有規律的數列 2, 3, 5, 8, 13, 21, … …，

其蘊含的規律在數學上有特殊的意義，曾經有許多數學家致力探討。

義大利數學家費波那契 （Leonardo Pisano Fibonacci， 1170-1250）在他 所著的 《 算經 》（Liber Abaci）中，提出一個有趣的問題 ： 「 某人將一對成 年的兔子（雌雄各一）養在一個足夠大的封閉圍籬內，在理想的狀況下，一 年後圍籬內有多少對兔子呢？」

問題中假設每對成兔每個月的月初都生一對小兔子，而小兔子經過 一個月就能完全長成。那麼第一個月有 1＋1＝2 對兔子；第二個月小兔子 長成，而原來的成兔又生了一對小兔子，因此第二個月共有 2＋1＝3 對兔 子；第三個月已有兩對成兔，各生一對小兔子，而上個月生下的小兔子則 在這個月長成，因此第三個月有 3＋2＝5 對兔子； … …

一年內各個月兔子的對數如下表：

由上表中發現，自第三個月起，每個月的兔子對數等於前兩個月的 兔子對數之和，因此兔子的對數依次為 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … …，這個數 列稱為費氏數列。

如下圖，鳳梨表面三列突起（釘眼）的個數分別為 5、 8、 13，成費氏數 列。自然界中還有許多隱含費氏數列的例子，同學們可多用心探索。

數學萬花筒

×÷

－

月數 兔子對數

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377