1 等差級數 2

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(1)

在下水道工程的工地旁放著一堆水管(如圖 1-2),翰翰想知道這堆水管共 有多少根。

我們將圖 1-2 上下顛倒成為圖 1-3,再將圖 1-2、圖 1-3 拼成圖 1-4。

圖 1-4 共有 6 列,每列都有 11 根水管,總共有 6×11 根水管,而這恰好 是圖 1-2 的兩倍,所以圖 1-2 中的水管共有 6×11

2 =33 根。

被譽為「數學王子」的德國數學家高斯(Carl Friedrich Gauss,1777- 1855),小時候就用過類似的方法。據說,在高斯十歲那年,有一天老師要求 全班同學計算出 1+2+3+4+5+……+98+99+100 的和。當老師將題目寫 完後不久,高斯就在他的小石板上寫出 5050,並舉手告訴老師這個答案。你 知道高斯是怎麼算出來的嗎?

圖 1-3 圖 1-4

2 等差級數

1

圖 1-2

第一層 3 根 第二層 4 根 第三層 5 根 第四層 6 根 第五層 7 根 第六層 8 根

(2)

刻苦勤學的高斯

高斯出生於一個貧苦的家庭,他的父親從事園藝、建築等粗工。就 像許多貧困的人們一樣,高斯的父親希望他長大後趕快賺錢,以便改善 家庭經濟,因此從不鼓勵他學習高深的學問。

高斯從小就極為勤學,由於在校中的優異表現,高斯獲得學校老師 的推薦,及費迪南公爵(Carl Wilheim Ferdinand)經濟上的資助,於 1795 年 進入哥庭根大學(Gottingen University)學習, 1798 年轉入黑爾姆斯泰特大 學(Helmstedt University),並完成 《 算術研究 》 一書(1801 年出版), 1799 年獲得博士學位。

高斯精通數種語言,在數學、天文學、電磁學、大地測量等領域都 有相當重要的成就。德國人為了紀念這一位傑出的數學家,在紙幣上印 有高斯的肖像,並發行過以高斯為主題的郵票。

要計算 1+2+3+… …+98+99+100 的和,我們可以先假設 S=1+2+3

+… …+98+99+100,同樣地,我們也可以寫成 S=100+99+98+… …+3

+2+1。將兩式相加可得:

S= 1 + 2 + 3 + … … + 98 + 99 + 100

+)S=100 + 99 + 98 + …… + 3 + 2 + 1 2S=101 +101+101+ … … +101+101+101 所以 2S=101×100

S= 101×100

2 =5050 數學萬花筒

×÷

(3)

試仿照高斯的作法,求下列各等差級數的和:

1 3+5+7+9+11

2(-9)+(-5)+(-1)+3+7+11

將一個數列的各項用「+」號連接,所成的式子稱為級數。例如,2, 4, 5, 7, 9 是一個數列,2+4+5+7+9 就是一個級數。又如,2, 5, 8, 11, 14 是一個等 差數列,2+5+8+11+14 就是一個等差級數。

在高斯計算 1+2+3+4+5+……+98+99+100=5050 的式子中,1+2

+3+4+5+……+98+99+100 是一個等差級數,5050 是這個級數的和。

仿照高斯的作法,我們也能求出任何等差級數的和。

一個級數中所有的項形成一個等差數列時,這個級數就稱為等差級數。即,

當 a1 , a2 , a3 , ……, an 為等差數列時,則 a1+a2+a3+……+an 為等差級數。

1設 S=3+5+7+9+11

S= 3 + 5 + 7 + 9 +11 +)S=11+ 9 + 7 + 5 + 3 2S=14+14+14+14+14 所以 2S=14×5

S= 14×5 2 =35 因此 3+5+7+9+11=35

2設 S=(-9)+(-5)+(-1)+3+7+11

S=(-9)+(-5)+(-1)+ 3 + 7 + 11 +) S= 11 + 7 + 3 +(-1)+(-5)+(-9)

2S= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 所以 S= 2×6

2 =6

因此(-9)+(-5)+(-1)+3+7+11=6 求等差級數的和

1

共 5 個 14

等差級數的和

1

對應能力指標 8-n-08

(4)

2 52+68+84+100+116+132+148

試仿照高斯的作法,求下列各等差級數的和:

1 98+85+72+59+46+33

數學小語錄

最深奧的數學研究的全部結果,最終都一定可以表示成整數性質的簡單形 式。

—— 克羅涅克(Leopold Kronecker,1823-1891)

設 S=52+68+84+100+116+132+148 S= 52 + 68 + 84 +100+116+132+148

+)S=148+132+116+100+ 84 + 68 + 52 2S=200+200+200+200+200+200+200 所以 2S=200×7

S=700

設 S=98+85+72+59+46+33 S=98+85+72+59+46+33

+)S=33+46+59+72+85+98 2S=131+131+131+131+131+131 所以 2S=131×6

S=393

(5)

接下來,我們要仿照高斯的作法,推導出等差級數求和的公式。

設一個等差級數共有 5 項,首項為 a,公差為 d,末項為 b,則此等差級 數的和為

S5=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d) 1

換個角度想,我們可將此等差級數看成首項為 b,公差為-d,末項為 a,

則此等差級數的和為

S5=b+〔b+(-d)〕+〔b+2(-d)〕+〔b+3(-d)〕+〔b+4(-d)〕

=b+(b-d)+(b-2d)+(b-3d)+(b-4d) 2 1式加2式可得

S5= a

+ (a+d) + (a+2d) + (a+3d) +(a+4d)

+)S5= b

+ (b-d) + (b-2d) + (b-3d) +(b-4d)

2S5= (a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b)

共有 5 個(a+b)

所以 2S5=5(a+b)

S5= 5(a+b)

2

若一個等差級數的首項為 a1,公差為 d,前 n 項的和為 Sn,依上面的作法 可得

Sn= a1

+(a1+d)+(a1+2d)+……+〔a1(n-2)d〕+〔a1+(n-1)d〕

+)Sn= an

+(an-d)+(an-2d)+……+〔an-(n-2)d〕+〔an-(n-1)d〕

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+……+ (a1+an) + (a1+an

共有 n 個( a1+an

所以 2Sn=n(a1+an Snn(a1+an

2

等差級數的和= 項數×(首項+末項)

2

(6)

已知等差級數 41+38+35+……+5 ,求其項數與和。

首項 a1=41,末項 an=5,公差 d=38-41=-3。

由 1-1 節知 an=a1(n-1)d,得 5=41+(n-1)(-3)

n=13 因此S13= 13(41+5)

2 =299

即 41+38+35+ … … +5=299

試利用等差級數和的公式,求等差級數 5+8+11+14+17+20 的和。

首項 a1=5,項數 n=6,末項 a6=20。

由公式 Sn n(a1+an

2 得

S6= 6×(5+20)

2 =75 即 5+8+11+14+17+20=75

試利用等差級數和的公式,求等差級數 23+27+31+35+39+43+47 的 和。

利用公式 Sn n(a1+a2 n求和

2

先求 n,再代入公式 Sn n(a1+a2 n求和

3

a1= 23,n=7,an=47,代入公式 Sn= 得 S7= =245

n(a1+an) 2 7×(23+47)

2

配合習作基礎題 1、2

(7)

設項數為 n,公差為 d,由公式 Snn(a1+an

2 得

63=n〔29+(-22)〕

2 7n=126

n=18

又-22=29+(18-1)d 17d=-51

d=-3

1求等差級數 2+6+10+……+42 的和。

2求等差級數 5+1+(-3)+……+(-39)的和。

設一等差級數的首項是 29,末項是-22,和是 63,求其項數與公差。

代入公式求項數與公差

4

an=a1(n-1)d

a1=2,d=4,an=42,代入公式 an= a1+(n-1)d 得 42=2+(n-1)×4

42=2+4n-4 n=11

代入公式 Sn= 得 Sn(a1+an11= =242 2

11×(2+42)

2

a1=5,d=-4,an=-39,代入公式 an= a1(n-1)d 得

-39=5+(n-1)×(-4)

-39=5-4n+4 n=12

代入公式 Sn= 得 Sn(a1+an12= =-204 2

12×〔5+(-39)〕

2

配合習作基礎題 3、4

(8)

設一等差級數的首項是-5,末項是 135,和是 1365,求其項數與公差。

設一等差級數的首項為 3,公差為-2,求此等差級數前 12 項的和。

首項 a1=3,公差 d=-2,項數 n=12。

由公式 Sn n〔2a1+(n -1)d 〕

2

S12=12×〔2×3+(12-1)×(-2)〕

2 =-96

故前 12 項的和為-96。

由 1-1 節我們知道 an=a1+(n-1)d,代入公式 Sn n(a1+an) 2

因此,在不知道末項 an 的情形下,我們也可以直接由首項 a1、公差 d與項數 n 求出等差級數的和。

利用公式 Sn n〔2a1+(2n-1)d〕 求和

5

Sn n〔a1+a1+(n -1)d 〕

2 = n〔2a1+(n -1)d 〕 2

配合習作基礎題 5 a1=-5,an=135,Sn=1365 ,代入公式 Sn= 得

1365=

n=21

代入公式 an=a1+(n-1)d 得 135=(-5)+(21-1)d 135=-5+20 d

d=7

n(a1+an n〔(-5)+135〕 2

2

(9)

設等差級數-2+2+6+……前 n 項的和為 126,求 n。

首項 a1=-2,公差 d=2-(-2)=4。

第 n 項 an(-2)+(n-1)4=4n-6 由公式 Sn n(a1+an

2 得 126= n〔(-2)+(4n -6) 〕 2

126=n(4n-8)

2 4n2-8n-252=0 n2-2n-63=0

(n-9)(n+7)=0 n-9=0 或 n+7=0 n=9 或 n=-7(不合)

解二 首項 a1=-2,公差 d=2-(-2)=4。

由公式 Sn n〔2a1+(n -1)d 〕 2

4n2-8n-252=0 n2-2n-63=0

(n-9)(n+7)=0 n-9=0 或 n+7=0 n=9 或 n=-7(不合)

設一等差級數的首項為 7,公差為 3,求此等差級數前 20 項的和。

代入公式求項數

6

得 126= n〔2×(-2)+(n -1)×4〕

2 a1=7,d=3,n=20,代入公式 Sn= 得 S20= = =710

n〔2a1+(n-1)d〕

2 20×〔2×7 +(20-1)×3〕

2

20×〔14+57〕

2

配合習作基礎題 6

(10)

1等差級數 1+5+9+……前 n 項的和為 153,求 n。

2 等差級數(-76)+(-68)+(-60)+……前 n 項的和為-384,

求 n。

一直昇機空拋救災物資,第 1 秒落下 4.9 公尺,以後落下的 距離每秒增加 9.8 公尺(即第 2 秒落下 4.9+9.8=14.7 公尺,

第 3 秒落下 4.9+9.8+9.8=24.5 公尺)。如果救災物資空拋 6 秒後剛好到達地面,求當時直昇機離地面的高度。

1

4.9

14.7

24.5 2

3

等差級數的應用

7

第 6 秒落下的距離為 4.9+(6-1)×9.8=53.9(公尺)

所以救災物資每秒落下的距離依次為

4.9 公尺、14.7 公尺、24.5 公尺、… …、53.9 公尺,

其和為 S6= 6×(4.9+53.9)

2 =176.4(公尺)

所以直昇機離地面的高度為 176.4 公尺。

a1=-76,d= 8,Sn=-384,代入公式 Sn= 得

-384=

n(4n-80)=-384,n2-20n+96=0,

(n-8)(n-12)=0,n=8 或 12

n〔2a1+(n-1)d〕

n〔2×(-76)+(n-1)×8〕 2 2

a1=1,d=4,Sn=153,代入公式 Sn= 得 153=

n(2n-1)=153,2n2-n-153=0,

(n-9)(2n+17)=0,n=9 或- 17

2(不合)

n〔2×1+(n-1)×4〕

2

n〔2a1+(n-1)d〕

2

配合習作基礎題 7

(11)

1 甲向乙借款,約定分二十年償還,第一年還 10 萬元,第二年還 14 萬 元,第三年還 18 萬元,……,各年度償還的金額成等差數列。請問這 二十年甲共付給乙多少元?

2 奈美計畫暑假到國外旅遊,從三月一日開始,第一天存款 15 元,第二 天存款 17 元,第三天存款 19 元,… …,每天的存款數成等差數列。

請問到六月三十日奈美總共存款多少元?

!級數: 將一個數列的各項用「 + 」號連接,所成的式子稱為級數。

@ 等差級數:一個級數中所有的項形成一個等差數列時,這個級數就稱為 等差級數。即,當 a1, a2, a3, … … , an 為等差數列時,a1+a2+a3+ … …

+an 為等差級數。

#等差級數求和公式:

1 如果一個等差級數的首項為 a1,末項為 an,則此等差級數前 n 項的和 為 Sn n(a1+an

2 。即,等差級數的和= 項數×(首項+末項)

2 。

2 將 an=a1+(n-1)d 代入等差級數和的公式 Sn n(a1+an) 2 Sn n〔2a1+(n -1)d 〕

2 。

重點回顧

a1=10,d=4,n=20 ,代入公式 Sn= 得 S20= =960(萬元)

n〔2a1+(n-1)d〕

2 20×〔2×10 +(20-1)×4〕

2

n=31+30+31+30=122

a1=15,d=2 ,代入公式 Sn= 得 S122= =16592(元)

n〔2a1+(n-1)d〕

2 122×〔2×15 +(122-1)×2〕

2

(12)

自 我 評 量 1-2

1 求下列各等差級數的和:

1 1+2+3+… …+70

2 8+11+14+… …+278

3(-99)+(-97)+(-95)+……+(-1)

4 74+67+60+… …+(-10)

5 1.2+1.5+1.8+… …+5.4

a1=1,d=1,an=70 ∴ n=70

代入公式 Sn= 得 Sn(a1+an70= =2485 2

70×(1+70)

2

a1=74,d=-7,an=-10,代入公式 an= a1(n-1)d 得

-10=74+(n-1)×(-7)

n=13

代入公式 Sn= 得 S13= =416 a1=8,d=3,an=278,代入公式 an=a1+(n-1)d 得

278=8+(n-1)×3 n=91

代入公式 Sn= 得 S91= =1301391×(8+278)

2 n(a1+an

2

n(a1+an) 2

13×〔74+ (-10)〕

2

a1=-99,d=2,an=-1,代入公式 an=a1+(n-1)d 得

-1=(-99)+(n-1)×2 n=50

代入公式 Sn= 得 Sn(a1+an50= =-2500 2

50×〔(-99)+(-1)〕

2

a1=1.2,d=0.3,an=5.4,代入公式 an =a1+(n-1)d 得 5.4=1.2+(n-1)×0.3

n=15

代入公式 Sn= 得 S15= =49.515×(1.2+5.4)

2 n(a1+an

2

(13)

2 設一等差級數的首項為-8,公差為 3,求這個等差級數前 16 項的和。

3 設一等差級數的首項為 5,末項為 138,和為 1430,求這個等差級數的項數 與公差。

4 求 1 至 1000 的整數中,所有 3 的倍數的和。

5 等差級數 15+18+21+… …前 n 項的和為 600,求 n。

a1=-8,d=3,n=16,代入公式 Sn= 得 S16= =232 16×〔2×(-8)+(16-1)×3〕

2

n〔2a1(n-1)d〕

2

a1=5,an=138,Sn=1430,代入公式 Sn= 得 1430=

n=20

代入公式 an= a1+(n-1)d 得 138=5+(20-1)d

d =7

n(a1+an) 2 n(5+138)

2

a1=3,d =3,an=999,代入公式 an=a1+(n-1)d 得 999=3+(n-1)×3

n=333

代入公式 Sn= 得 S333= =166833

n(a1+an) 2 333×(3+999)

2

a1=15,d =3,Sn=600,代入公式 Sn= 得 600=

1200=n (3n+27)

n2+9n-400=0

(n-16)(n+25)=0 n=16 或-25(不合)

n〔2a1+(n-1)d 〕 n 2

〔2×15+(n-1)×3 〕 2

(14)

6 設一等差級數的第 4 項為 15,第 7 項為 27,和為 903,求這個等差級數的 首項、公差與項數。

7 全民戲院共有 25 排座位,自第二排起,每一排比前一排多 2 個座位。

已知最後一排有 80 個座位,試問全民戲院共有多少個座位?

8 

上方各圖是由火柴棒排成的正方形所組成,圖一有 1 個正方形,圖二有 2 個 正方形,……,圖 n 有 n 個正方形。若圖一至圖 n 共用去 286 根火柴棒,試 問圖 n 用了幾根火柴棒?

圖一 圖二 圖三 圖 n

…… …

a1=4,d=3,Sn=286,代入公式 Sn= 得 286=

3n2+5n-572=0,(n-13)(3n+44)=0,n=13 或- 44

3(不合)

代入公式 an= a1+(n-1)d 得 a13=4+(13-1)×3=40 (根)

n〔2a1(n-1)d〕

2 n〔2×4+(n-1)×3〕

2

a1= 80,d=-2,n=25,代入公式 Sn= 得 S25= =1400 (個)

n〔2a1+(n-1)d〕

2 25×〔2×80+(25-1)×(-2)〕

2

2n2+n-903=0,(n-21)(2n+43)=0,n=21 或- 43

2(不合)

a1+ 3d =15 1 a1+ 6d =27 2 代入1 式得 a1=3

代入公式 Sn= 得 903=n〔2a1+(n-1)d〕

2

n〔2×3+(n-1)×4〕

2 2式-1 式得 3d=12,d=4

(15)

費氏數列(Fibonacci Sequence)

在本章課文中提出了一個有規律的數列 2, 3, 5, 8, 13, 21, … …,

其蘊含的規律在數學上有特殊的意義,曾經有許多數學家致力探討。

義大利數學家費波那契 (Leonardo Pisano Fibonacci, 1170-1250)在他 所著的 《 算經 》(Liber Abaci)中,提出一個有趣的問題 : 「 某人將一對成 年的兔子(雌雄各一)養在一個足夠大的封閉圍籬內,在理想的狀況下,一 年後圍籬內有多少對兔子呢?」

問題中假設每對成兔每個月的月初都生一對小兔子,而小兔子經過 一個月就能完全長成。那麼第一個月有 1+1=2 對兔子;第二個月小兔子 長成,而原來的成兔又生了一對小兔子,因此第二個月共有 2+1=3 對兔 子;第三個月已有兩對成兔,各生一對小兔子,而上個月生下的小兔子則 在這個月長成,因此第三個月有 3+2=5 對兔子; … …

一年內各個月兔子的對數如下表:

由上表中發現,自第三個月起,每個月的兔子對數等於前兩個月的 兔子對數之和,因此兔子的對數依次為 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … …,這個數 列稱為費氏數列。

如下圖,鳳梨表面三列突起(釘眼)的個數分別為 5、 8、 13,成費氏數 列。自然界中還有許多隱含費氏數列的例子,同學們可多用心探索。

數學萬花筒

×÷

月數 兔子對數

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

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