5-2 因數與倍數

5-2 因數與倍數

※學習地位分析

一、 乘法計算：

1. 17 × 4 2. 17 × 9

3. 23 × 7 4. 23 × 3

二、 除法計算：

1. 96 ÷ 4 2. 96 ÷ 6

3. 54 ÷ 3 4. 54 ÷ 9

三、 在( )中填入正確的數字：

1. 18  3＝3 ( ) 2. 25  8＝( ) 3 3. 9  17＝17 ( ) 4. 6  11＝( )  3

溫故知新 預備經驗

4-2 多位數直式乘法 4-3 多位數直式除法

本單元

5-2 因數與倍數

進入新的單元

6-1 最大公因數與最 小公倍數

小秘密：

✓ 當除法算式中，被除數、除數和商都是整 數，且餘數=0 時，叫做整除。

✓ 這些數字 1、2、3、6 能整除 6 的，

叫做 6 的因數。

5-2-1 因數與公因數

玩撲克牌遊戲，把 6 張撲克牌全部分給小朋友，每人一樣多，當有 幾人參與遊戲時，撲克牌可以剛好分完？

【概念講解】

◆ 把 6 張撲克牌分分看：

6 ÷ 1 ＝ 6 …0 6 ÷ 2 ＝ 3 …0 6 ÷ 3 ＝ 2 …0 6 ÷ 4 ＝ 1 …2 6 ÷ 5 ＝ 1 …1 6 ÷ 6 ＝ 1 …0

答：可以分給 1 人、2 人、3 人、6 人

【計算題】利用除法找出所有因數：

(1) 9 (2) 15

(3) 8 (4) 10

【重新佈題】

將 15 顆蘋果全部分給小朋友，每人一樣多，當有幾人時，蘋果可 以剛好分完？

教學活動 1（因數）

有 12 個積木，要將積木分成數排，每一排的積木數量一樣多，可 以分成幾排？(寫出所有可能的答案)

【概念講解】

◆ 用乘法找出被乘數 × 乘數＝12 的排法。

被乘數從 1 開始找。

1 × 12＝12 …每一排有 1 個積木，有 12 排。

2 × 6＝12 …每一排有 2 個積木，有 6 排。

3 × 4＝12 …每一排有 3 個積木，有 4 排。

4 × 3＝12 …每一排有 4 個積木，有 3 排。

6 × 2＝12 …每一排有 6 個積木，有 2 排。

12 × 1＝12 …每一排有 12 個積木，有 1 排。

◆ 這些被乘數、乘數，也是積的因數。

12 的因數有：1、2、3、4、6、12

答：分成 1 排、2 排、3 排、4 排、6 排、12 排 教學活動 2（因數）

小叮嚀：

✓ 用除法找因數，可以用心算算看看，

無法整除的算式，可以不用列出來。

✓ 用乘法找因數，被乘數從１開始，到 等於自己的時候結束。

【計算題】利用乘法找出所有因數：

(1) 24 (2) 18

(3) 16 (4) 7

【重新佈題】

玩積木時有 25 個積木，要將積木分成數排，每一排的積木數量一 樣多，可以分成幾排？(寫出所有可能的答案)。

15 和 30 的因數各有哪些?哪些是公因數?

【概念講解】

◆ 15 的因數：1、3、5、15

◆ 30 的因數：1、2、3、5、6、10、15、30

◆ 15 和 30 的共同因數有：1、3、5、15

所以，1、3、5、15 就是 15 和 30 的公因數。

答：15 的因數: 1、3、5、15 ；

30 的因數: 1、2、3、5、6、10、15、30 ； 15 和 30 的公因數有: 1、3、5、15

教學活動 3（公因數）

【計算題】先列出各數所有的因數，再找出各組中所有的公因數：

(1) 16，18 (2) 26，13

(3) 12，20 (4) 14，15

【重新佈題】

男生有 16 人和女生有 28 人分組，每一組的男生一樣多，每一組的 女生也一樣多，全部分完，有哪幾種分法?（寫出所有的可能）

12 枝鉛筆和 9 個橡皮擦分給小朋友，每位小朋友拿到一樣多的鉛 筆和橡皮擦，全部分完，最多可分給幾位小朋友？

【概念講解】

◆ 將 12 枝鉛筆和 9 個橡皮擦分給小朋友，可以剛好分完。

找出 12 和 9 的公因數：

12 的因數：1、2、3、4、6、12 9 的因數：1、3、9

12 和 9 的公因數有：1、3

表示分給 1 位、3 位小朋友，可以剛好分完。

教學活動 4（最大公因數）

◆ 最多可分給幾位小朋友？找出 12 和 9 的公因數中最大的。

12 和 9 的公因數中最大的是 3。

答：最多分給 3 位小朋友

【計算題】

先列出各數的所有因數，再找出各組中所有公因數與最大公因數：

(1) 24，18

24 的因數：

18 的因數：

24 和 18 的公因數：

24 和 18 的最大公因數：

(2) 15，13

15 的因數：

13 的因數：

15 和 13 的公因數：

15 和 13 的最大公因數：

(3) 16，20

16 的因數：

20 的因數：

16 和 20 的公因數：

16 和 20 的最大公因數：

(4) 25，15

25 的因數：

15 的因數：

25 和 15 的公因數：

25 和 15 的最大公因數：

小秘密：

公因數中最大的，我們稱為【最大公因數】。

【重新佈題】

男生有 16 人和女生有 28 人分組，每一組的男生一樣多，每一組 的女生也一樣多，全部分完，最多可分成幾組？

請問 3、4、7 是否為 28 的因數？

【解題步驟】

1. 28 的因數是可以整除 28 的整數。

用除法試試看：

28 ÷ 3＝9…1 28 ÷ 4＝7 28 ÷ 7＝4

2. 28 可以被 4 和 7 整除，所以 4 和 7 都是 28 的因數；

28 不能被 3 整除，所以 3 不是 28 的因數。

答：4 和 7 是 28 的因數；3 不是 28 的因數

請問 2、5、9 是否為 36 的因數？

例題講解 1（判斷因數）

換你試試看

5-2-2 倍數與公倍數

玩撲克牌時，小李發撲克牌給每 1 個人，他每次 6 張牌，發 3 次，每人會拿到幾張牌？發 5 次，每人會拿到幾張牌？發 7 次，

每人會拿到幾張牌？

【概念講解】

◆ 他每次發 6 張撲克牌。

發 3 次，6 的 3 倍 6 × 3＝ 18，每人 18 張牌。

發 5 次，6 的 5 倍 6 × 5＝ 30，每人 30 張牌。

發 7 次，6 的 7 倍 6 × 7＝ 42，每人 42 張牌。

◆ 18、30、42 都是 6 的倍數。

我們說：乘法算式中的積，是被乘數和乘數的倍數。

答：發 3 次，每人 18 張牌；

發 5 次，每人 30 張牌；

發 7 次，每人 42 張牌

【重新佈題】

露營時，小康發飲料給每 1 個人，他每一次發 3 瓶，發給每人 5 次，每 1 個人可以得到多少瓶？發給每人 12 次，每 1 個人可以 得到多少瓶？發給每人 20 次，每 1 個人可以得到多少瓶？

教學活動 1（倍數）

小秘密：

倍數從 1 倍開始算起，有無限多個，

數都數不完。

哥哥有四十幾張撲克牌，8 張一數，剛好可以數完，哥哥可能有 幾張撲克牌?

【概念講解】

◆ 哥哥有四十幾張撲克牌，表示 41~49 張。

◆ 8 張一數，剛好數完，是 8 的倍數。

8 × 1＝8 8 × 4＝32 8 × 2＝16 8 × 5＝40 8 × 3＝24 8 × 6＝48 答：可能有 48 張撲克牌

【重新佈題】

弟弟有三十幾顆糖果，每次 6 顆一數，剛好可以數完，弟弟有幾 顆糖果？

4 和 6 的倍數各有哪些? 他們共同的倍數有哪些?

【概念講解】

◆ 4 的倍數：4、8、12、16、20、24、28、32、36……。

6 的倍數：6、12、18、24、30、36……。

4 和 6 共同的倍數：12、24、36………。

教學活動 2（倍數）

教學活動 3（公倍數）

小秘密：

共同的倍數，叫做公倍數。

公倍數和倍數一樣，都是無限多個。

【重新佈題】

8 和 12 的倍數有哪些？他們的公倍數有哪些？（由小到大，舉出 3 個例子）

有一疊撲克牌，每 3 張一數，每 5 張一數，都剛好可以數完，這 疊撲克牌可能有幾張？最少有幾張？

【概念講解】

◆ 每 3 張一數，3 的倍數：3、6、9、12、15、18、21…

每 5 張一數，5 的倍數：5、10、15、20、25、30、35…

◆ 能同時被 3 和 5 數完，

找出 3 和 5 的公倍數：15、30、…

◆ 最少有幾張？找出公倍數中最小的：15 答：15 張

【重新佈題】

有 1 袋包子，每 2 個一數，每 3 個一數，都剛好可以數完，這袋 包子可能有幾個？最少有幾個？

教學活動 4（公倍數）

小秘密：

公倍數中最小的，我們稱為【最小公倍數】。

請由小到大，分別寫出 8 個 2 的倍數、5 的倍數、10 的倍數。

【解題步驟】

1. 由小到大寫出 2 的倍數：2、4、6、8、10、12、14、16 由小到大寫出 5 的倍數：5、10、15、20、25、30、35、40 由小到大寫出 10 的倍數：10、20、30、40、50、60、70、80 2. 觀察 2 的倍數：2、4、6、8、10、12、14、16…

當整數的個位數是 0、2、4、6、8，就是 2 的倍數。

3. 觀察 5 的倍數：5、10、15、20、25、30、35、40…

當整數的個位數是 0 或 5，就是 5 的倍數。

4. 觀察 10 的倍數：10、20、30、40、50、60、70、80…

當整數的個位數是 0，就是 10 的倍數。

判斷一下下列各數，是 2 的倍數打ˇ、是 5 的倍數打○、是 10 的倍數打：

2 的倍數 5 的倍數 10 的倍數 35

104 90

換你試試看

例題講解 1（找倍數）

將下表中 3 的倍數塗上顏色。

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

【解題步驟】

1. 由小到大寫出 3 的倍數：3、6、9、12、15、18…

依此規則，將 3 的倍數塗上顏色。

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 2. 觀察 3 的倍數，有規則嗎？

當數字中的各個數字和，能被 3 整除時，則這個數也能被 3 整除，是 3 的倍數。

判斷一下下列各數，是 3 的倍數打ˇ：

：52 人。

數字 規則

(把數字中的各個數字相加，再除以 3)

能被 3 整 除嗎？

21 2＋1＝3，3 ÷ 3＝1 能 24 2＋4＝6，6 ÷ 3＝2 能 39 3＋9＝12，12 ÷ 3＝4 能 48 4＋8＝12，12 ÷ 3＝4 能

68 57 105 276 例題講解 2（找倍數）

換你試試看

30 是 6 的倍數嗎？是 5 的倍數嗎？是 6 和 5 的公倍數嗎？

【解題步驟】

1. 30 是 6 的倍數嗎？

用 30 ÷ 6＝5，可以整除。表示 30 是 6 的倍數。

2. 30 是 15 的倍數嗎？

用 30 ÷ 5＝6，可以整除。表示 30 是 5 的倍數。

3. 6 的倍數：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60…

5 的倍數：5、10、15、20、25、30、35…

6 和 5 的公倍數：30、60…

所以，30 也是 6 和 5 的公倍數。

48 是 6 的倍數嗎？是 8 的倍數嗎？是 6 和 8 的最小公倍數嗎？

例題講解 3（找公倍數）

換你試試看

小秘密：

將二數相乘，所得的積數，會是這二數的公倍 數，但不一定是最小公倍數。

例：4 和 6 的公倍數有 12、24、36…

46＝24，24 是 4 和 6 的公倍數，但不是最 小公倍數。

1 盒糖果有二十幾顆，美美將糖果每 3 顆裝成 1 包剛好可以裝 完，每 4 顆裝成 1 包，也剛好可以裝完，這盒糖果有多少顆？

【解題步驟】

1. 每 3 顆裝成 1 包與每 4 顆裝成 1 包都可以剛好裝完，表示從 二十幾中可以被 3 和 4 整除，也就是 3 和 4 的公倍數。

2. 找出 3 和 4 的倍數，且要找到二十幾才可以停止：

3 的倍數：3、6、9、

○

○

4 的倍數：4、8、

○

○

在二十幾中，找出 3 和 4 的公倍數是 24。

答：24 顆

1 盒糖果有三十幾顆，美美將糖果每 4 顆裝成 1 包，剛好可以裝 完，每 6 顆裝成 1 包也剛好可以裝完，這盒糖果有多少顆？

例題講解 4（公倍數應用題）

換你試試看