九年一貫課程實施後對三角函數學習 之影響

國 立 中 央 大 學

數 學 研 究 所 碩 士 論 文

九年一貫課程實施後對三角函數學習 之影響

研 究 生： 江 佳 玲

指導教授： 單 維 彰 博 士

中 華 民 國 九 十 六 年 七 月

國立中央大學圖書館 碩博士論文電子檔授權書

(95 年 7 月最新修正版)

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研究生簽名:

江 佳 玲

九年一貫課程實施後對三角函數學習之影響

單維彰 教授

系所 ：

數學

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i

摘 要

本論文旨在探討九年一貫課程實施後，對於學生在高中學習三角函數所造成 的影響，並根據研究結果提出建議，作為教育機關修訂高中課程綱要以及後 續研究之參考。

本研究透過內容分析、問卷調查以及訪談之方式收集資料。分析的資料 包括九年一貫課程之相關實務現況文件；在調查部分，以自編之「三角函數 學習現況調查研究試卷（前測）」、「三角函數學習現況調查研究試卷（後測）」 以及「九年一貫後高中生學習三角函數現況之教師意見調查訪問大綱」為研 究工具，藉以瞭解學生的先備知識、學習成就以及教師的看法。問卷與訪問 調查對象為台灣北部地區 4 所高中的 94 學年度高一學生及該班任課教師。

從調查資料的整理過程中，歸納九年一貫課程實施後，高中生學習三角函數 單元現況的差異性，以及教師觀點中造成此差異性之原因，並進一步提出相 關改善的建議。期望本研究對於高中課程綱要的修訂提供有益之參考。

ii

Abstract

The purpose of the research is to investigate the influence of students learning trigonometry in senior high school after implementing Grade 1-9 Curriculum. And we propose the suggestion according to the result of study as reference to revise the curriculum guidelines of senior high school and follow-up study of the educational authorities.

We adopted the ways of content analysis, questionnaire survey and opinion interview to collect the raw data. The analysed materials include the document practically relevant to situation of Grade 1-9 Curriculum. With regards to the questionnaire and interview aspects, we employed those made up by ourselves "The Questionnaire of trigonometry study present situation (pre-test)", "The Questionnaire of trigonometry study present situation (post-test)" and "the outline of opinion interview to teachers about trigonometry study present situation after implementing Grade 1-9 Curriculum" for study tools, for understanding the advanced knowledge and studying achievements of students and the opinions of teachers. The subjects of questionnaire and interview are the first-year students of senior high school in northern Taiwan in 2005 and their mathematics teachers. From the the survey materials, we sum up the differences of trigonometry study situation of senior high school student and the cause of the situation in teachers' points of view, and propose relevant improved suggestions further. We expect this research to offer beneficial reference to the revision of the course.

iii

目 錄

摘要... i

Abstract... ii

目錄... iii

圖目... v

表目... v

第 1 章 緒論... 1

1 . 1 研究背景與動機... 1

1 . 2 研究目的與問題... 2

1 . 3 研究歷程... 2

1 . 4 研究範圍與限制... 4

第 2 章 文獻探討... 5

2 . 1 九年一貫課程培養之學生數學能力... .5

2.1.1 九年一貫數學課程... .5

2.1.2 高中數學課程... .6

2.1.3 三角函數課程... 11

2 . 2 三角函數學習相關研究... 13

2.2.1 三角函數概念及錯誤類型研究... 13

2.2.2 三角函數學習困難之相關原因... 14

第 3 章 研究方法與實施步驟... 17

3 . 1 研究方法... 17

3.1.1 內容分析研究法... 17

3.1.2 調查研究法... 18

3 . 2 研究實施步驟... 20

3.2.1 課程內容分析... 20

3.2.2 學習現況調查... 21

第 4 章 三角函數相關課程之內容分析... 26

4 . 1 國、高中課程之三角函數相關課題... 27

4 . 2 高中課程之三角函數單元內容... 39

第 5 章 高中生學習三角函數之現況分析... 44

5 . 1 高中生之三角函數學習成就... 45

5.1.1 三角函數相關課題之先備能力... 46

5.1.2 三角函數單元之學習成就... 48

5.1.3 高一學生在三角函數單元之學習相關性分析... 51

5.1.4 探討... 53

5 . 2 課程規劃... 56

5.2.1 時數... 56

5.2.2 教材... 61

iv

5.2.3 探討... 66

5 . 3 學生表現... 67

5.3.1 學習成就... 67

5.3.2 學習態度... 73

5.3.3 探討... 78

5 . 4 建議改善方法... 79

5.4.1 增加授課時數... 79

5.4.2 調整教材編排... 82

5.4.3 創新教學方式... 85

5.4.4 探討... 87

第 6 章 結論與建議... 88

6 . 1 課程規劃的合宜性... 88

6 . 2 學生表現的差異性... 89

6 . 3 制度改善的適切性... 90

參 考 文 獻

英 文 部 分 ... 94

v

圖 目

圖 1-1 研究架構圖... 3

圖 5-1 三 角 函 數 學 習 現 況 調 查 研 究 試 卷（ 前 測 ）... 47

圖 5-2 三 角 函 數 學 習 現 況 調 查 研 究 試 卷（ 後 測 ）... 49

圖 5-3 三 角 函 數 學 習 現 況 之 前、後測成績分佈圖... 52

圖 5-4 九年一貫後高中生學習三角函數現況之教師意見訪問大綱.... 55

表 目

表 2-2 95 學年度高中數學課程暫行綱要三角函數課程內容... 12

表 3-1 調查實施日程表... 24

表 4-1 95 年南一版國、高中數學教科書三角函數相關課題內容... 27

表 4-2 九年級分年細目之三角函數相關課題... 37

表 4-3 南一版高中數學教科書第二冊三角函數單元及相關先備知識.. 39

表 5-1 施測學校班級數及人數表... 45

表 5-2 三 角 函 數 學 習 現 況 之 前 測 正 確 率 ... 46

表 5-3 三 角 函 數 學 習 現 況 之 後 測 正 確 率 ... 50

1

第 1 章 緒論

此章對本研究之研究背景與動機、研究目的與問題、研究歷程及研究範圍與限制 做一通盤描述，共分為四節，分述如下。

1.1 研究背景與動機

教育部於民國 87 年起著手推動「教育改革行動方案」，其中最重大的政策之一，

就屬「實施九年一貫課程」。這個被外界視為「教改中心」的方案，卻引發各界 的爭議（李恆宇，2002），究竟這個重大政策引發了什麼樣的問題？未來又即將 面臨什麼樣的考驗？值得我們加以探討。

91 學年度起實施的《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》，在課程上有了革 命性的變動。在數學領域方面，與之前的課程比較，其內容是朝簡易的方向發展

（翁婉珣，2005）。然而教改十年以來，數學課程簡化造成學生素質產生差異的 問題，一直備受社會大眾的討論，國內學者亦對於課程內容的編排，產生大量的 意見與爭執，首當其衝的議題便是如何銜接高中課程。

教育部預計對 95、96 以及 97 學年度入學的高中生實施《95 學年度高中課程 暫行綱要》，此乃高中課程為銜接九年一貫課程做漸進式改革的緩衝方案。而教 育部並於 95 年召集各相關代表，成立團隊進行修訂高中課程正式綱要。因此，

在面臨正式綱要修訂之際，本研究著手深入瞭解九年一貫第一屆學生――也就是 94 學年度高一學生――在進入高中後所呈現出的差異，以三角函數單元為論點，

對課程、學生學習成就以及高中教師提供的教學實況與意見，進行分析與探討，

期盼本文對於高中數學課程綱要之修訂提供有益之參考。

本研究挑選三角函數單元為研究的主要課題，原因在於九年一貫實施後，三 角函數單元正式從國中教科書中全數刪除，直接影響了高中學習此單元的基礎，

2

而三角函數單元在現行高一下的課程中佔有極大的比重，內容橫跨兩章：「三角 函數的基本概念」以及「三角函數的性質與應用」，並且在學前的先備知識涵括 代數、幾何以及函數概念（張琇涵，2006），所以藉由觀察學生在學習本單元的 實際情況，亦能瞭解九年一貫課程下學生在多方面概念上架構了若干的程度，爾 後進一步探討高中課程綱要所應修訂的方向。

1.2 研究目的與問題

本研究主要目的在於：分析九年一貫課程的實施對於學生進入高中後學習三角函 數單元所造成的影響，並探討教育改革依現況下的問題所應修正的方向，希望作 為訂定高中數學課程正式綱要以及後續研究之參考。

根據研究目的，針對高中生之三角函數學習現況，提出以下問題：

(1) 九年一貫課程實施後，學生在三角函數相關單元的學習成就，相較於過去的 學生所產生的差異為何？

i. 學生在三角函數相關先備知識上是否產生差異？

ii. 學生在三角函數單元的學習成就上是否產生差異？

(2) 以高中教師的觀點，使用九年一貫課程的學生，在高中三角函數單元的學習 歷程上，相較於過去的學生所產生的差異為何？

(3) 高中教師對於即將修訂的高中課程綱要，以 95 學年度高中課程暫行綱要為基 礎，其中三角函數單元內容是否尚須改進？

1.3 研究歷程

本研究針對高中生在三角函數單元學習現況進行探討，實施步驟如圖 1-1 所示。

3

準備階段

文獻探討階段

資料彙整階段

資料分析階段

論文寫作階段

1. 從《九年一貫數學課程暫行綱要》、《國民中小學九 年一貫課程綱要》以及《95 學年度高中數學課程暫 行綱要》中，瞭解國、高中課程綱要的變革。

2. 蒐集九年一貫課程相關研究報告以及現行國、高中 教科書教科書進行探討。

1. 研讀關於高中生數學科學習成效以及錯誤類型相關 研究，分析後期中等教育較為困難的課題，最後確 立以「三角函數」作為研究主題。

2. 根據研究目的擬定課程內容分析所需資料。

3. 根據研究目的規劃調查研究方法。

i. 編製「三角函數學習現況調查研究試卷（前測）」

以及「三角函數學習現況調查研究試卷（後測）」 ii. 編製「九年一貫後高中生學習三角函數現況之教

師意見調查訪問大綱」

1. 紀錄學生受測結果，並初步彙整為敘述性統計資料。

2. 將訪談高中教師之錄音檔內容轉成文字稿，並加以 歸納整理。

1. 根據受試結果統計資料分析學生學習成效。

2. 根據訪談資料分析九年一貫課程在實際執行面所發 生的現象與問題。

將分析結果撰寫成論文，並對預計於98 學年度實施的 高中課程綱要提出建議。

1. 徵求北部地區高中教師同意配合進行調查研究。

2. 徵得四所高中共 15 位教師配合以本研究自編之調查 研究試卷對其任課之高一班級進行測驗

3. 與 15 位高中教師進行一對一訪談。

資料蒐集階段 圖1-1 研究架構圖

4

1.4 研究範圍與限制

(1) 本研究之範圍設定於九年一貫課程實施後之 93 學年度畢業生，於 94 學年度 進入高中後，在高一下學期學習三角函數單元的實際情況。

(2) 本研究在資料蒐集上，以實地訪查的方式進行。受限於人力、物力、時間與 經濟等因素，訪查對象僅限於台北市、台北縣、桃園縣與新竹縣之四所高中 師生，共計 15 位教師及其任教的 15 個班級學生，以自編之「三角函數學習 現況調查研究試卷（前測）」、「三角函數學習現況調查研究試卷（後測）」以 及「九年一貫後高中生學習三角函數現況之教師意見調查訪問大綱」為研究 工具。

5

第 2 章 文獻探討

本研究旨在探討九年一貫課程實施後，對於高中生學習三角函數所造成的影響。

此章針對相關文獻進行分析，2.1 節說明數學課程的發展，2.2 節探討三角函數的 學習相關研究。

2.1 數學課程的發展

2.1.1 九年一貫數學課程

教育部於民國 87 年 9 月公布《國民中小學九年一貫課程總體綱要》，繼之於 90 年 1 月公布《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》，並且自 91 學年度起在一、二、

四、七年級開始實施。九年一貫課程總目標強調能力的開拓，為國民的終身學習 奠下基礎，以因應社會的變遷，並培養分析資料、形成臆測、驗證與判斷的能力，

以提升生活品質，改善生活環境，進而養成關懷環境、尊重自然的情操。數學學 習領域的精神指標為：在多元社會中，養成開放與尊重的態度，激勵多樣性的獨 立思維，並具備理性與溝通的素養，尊重各種不同的合理觀點，分享各別族群的 生活數學及欣賞不同文化的數學發展（教育部，2000）。

九年一貫數學課程期望學生達成下列目標：

(1) 掌握數、量、形的概念與關係。

(2) 培養日常所需的數學素養。

(3) 發展形成數學問題與解決數學問題的能力。

(4) 發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。

(5) 培養數學的批判分析能力。

(6) 培養欣賞數學的能力。

6

為達成這些目標，數學課程的發展應以生活為中心，配合各階段學生的身心 與思考型態的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方式。數學學習活動應 讓所有學生都能積極地參與討論，以培養明確表達想法，強化合理判斷的思維與 理性溝通的能力，期盼在互動的過程中建立數學知識。

2.1.2 高中數學課程

教育部中等教育司於 94 年修正發佈「後期中等共同核心課程綱要」。以數學課程 而言，未來的 95 至 97 學年度將依據《95 學年度高中數學暫行綱要》來實施，此 期間為過渡時期。98 學年度則將落實高中正式綱要。兩者之目的皆為銜接九年 一貫課程綱要，以期達成十二年一貫的整體課程。

後期中等教育共同核心課程

高中數學課程應秉承國中數學課程的基礎，進一步培養學生邏輯推理能力、運算 能力和空間想像能力（教育部，1995）。根據民國 90 年「教育改革之檢討改進會 議」之重要結論指出：「後期中等教育學校型態包括普通高中、完全中學、綜合 高中及高職，鑑於延後分化、適性學習是必然趨勢，應積極研議對不同類型之後 期中等教育設計共同基礎的學習目標與課程內涵，並以學校為本位發展多元彈性 學程，以符合學生適性發展之需求。」依此決議，教育部中教司乃著手後期中等 教育共同核心課程之研訂。

目前世界教育發展趨勢，各國之後期中等教育皆朝向以中介教育為主，終結 教育為輔的角色，我國後期中等教育的發展與課程的改革，亦符應此改革潮流，

例如綜合高中、完全中學、單科高中、實用技能班的設置，綜合高中學校本位課 程的提倡，普通高中課程修訂對延後分化原則的重視，以及技職體系課程的規劃 等。教育部業已完成的「後期中等教育共同核心課程研訂」與刻正進行之「高中

7

課程標準之修訂」、「技職體系課程」中「高中、高職及五專前三年課程規劃」等 方案應能相互配合。

後期中等教育數學核心課程的基本理念為（教育部，2005）：

(1) 後期中等教育包括普通高中、綜合高中、高職和五專前三年等不同類型 學校，各有其特殊之教育目標及教育內涵，因此，後期中等教育共同核 心課程數學科課程綱要之研訂，在理念上，除了將上述四類學校學生都 必須修習之基本數學內容，規劃為共同核心課程，以做為未來課程發展 的基礎外，同時並盡可能兼顧課程綱要多元發展的彈性，以期能適應各 類型學校課程規劃的特殊需求。

(2) 後期中等教育共同核心課程數學科課程綱要之規劃，是以培養現代國民 應具備之基本數學素養為目標，是後期中等教育各類型學校學生修習進 階或專業課程的基礎，因此，各類型學校於規劃課程時，應將共同核心 課程綱要之內容適當納入必修課程之教學內容之中。

(3) 由於延後分化的潮流以及高等教育大眾化的趨勢，目前雖然國中畢業生 進入高中和非高中（包括高職和五專）之比約為一比一，但是越來越多 的高職畢業生希望進入普通大學（非技術學院）就讀。至少就升學考試 的準備而言，應儘量提供非高中生必要的數學能力。

(4) 除了便利高職生參加大學學科能力測驗之外，考量到技術學院逐漸轉化 成普通大學的趨勢，以及技術學院老師提出商業科與工科教授微積分之 困難，後期中等核心課程希望所有學生進入大學後至少有一部份共同的 數學經驗。

後中數學核心課程的內容重點為：

(1) 著重基本數學概念之探討，特別注意與國民中小學「數學學習領域」課 程綱要內容之銜接。

8

(2) 高中生無論進入普通大學或技術學院，就所需要的數學教育而言，微積 分和線性代數幾乎是全世界大學基礎數學教育的共識。因此核心課程的 訂定至少要為修習微積分和線性代數提供前置的經驗。

(3) 以國民基本素養而言，統計能力的培養也是主要重點之一。九年一貫在 國中、小的數學課程中，規定了相當份量的統計課程。因此在後中共同 核心課程應該要納入統計和與統計息息相關的機率課程。

(4) 經由對數學概念的探究，培養觀察、推理、理性思辨及創造等能力，以 應用於解決日常生活中所遭遇到的問題。

普通高級中學課程

而為了因應時代的潮流以及社會的變遷，尤其為了配合國民中小學九年一貫課程 之實施，於課程方面有所連貫，教育部於民國 90 年 5 月成立「普通高級中學課 程發展委員會」，並於 91 年 10 月聘任各個科目的綱要制定小組召集人，由召集 人根據教育部規範的原則組成綱要修訂小組委員會。數學科綱要修訂小組的成員 共計有 12 位，包含中華民國數學會學術委員會的委員、數學系教授、心理學家、

評量專家，以及高中老師。數學科綱要的修訂透過行政系統、公聽會、網站等管 道廣泛聽取各方意見，並經由審查小組及課程發展委員會的審查通過。93 年 8 月發布《95 學年度高中數學課程暫行綱要》，其中必修科目「數學」課程欲達成 之目標如下（數學學科中心，2005）：

(1) 引導學生瞭解數學的內容，意義及方法。

(2) 培養學生以數學思考問題，分析問題，解決問題的能力。

(3) 提供學生在實際生活和學習相關學科方面所需的數學知能。

(4) 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

選修科目「數學(I)」及「數學(II)」課程欲達成之目標如下：

(1) 加深加廣必修課程所學之內容。

(2) 提供學生在大學學習相關學科的基礎知能。

(3) 以多項式函數為主體引導學生瞭解微積分學的內容，意義及方法。

9

《95 學年度高中數學課程暫行綱要》採不分化原則，在高一、二時每學期 4 學分。另有選修(I)與選修(II)課程各 3 學分。高一、二之課程需注意到與國中課 程之銜接，選修課程需注意到與大學基礎教育之關聯。與 85 年版高中課程標準 在科目、必選修以及時間分配上之差異列示如表 2-1。

表 2-1 95 年高中數學科課程暫行綱要與 85 年版課程標準之差異 85 年版高中課程標準 95 暫行綱要 學期

科目 必選修 ^時間

分配 科目 必選修 ^時間

分配

高一上 數學(一) 必修 4 數學(一) 必修 4 高一下 數學(二) 必修 4 數學(二) 必修 4 高二上 數學(三)

幾何學(一)

必修 選修

4 2

數學(三) 必修 4

高二下 數學(四) 幾何學(二)

必修 選修

4 2

數學(四) 必修 4

高三上 數學甲(上) 數學乙(上)

選修 選修

6 4-6 高三下 數學甲(下)

數學乙(下)

選修 選修

6 4-6

選修數學(I) 選修數學(II)

選修 選修

3 3

註一：選修數學(I)、(II)之內容及學分數皆為參考用，各校可依其經營理念與特色 自行規劃適合的內容與節數。

註二：選修數學並非只適合自然組學生選讀，有志於商學院的社會組學生也亟需 要。

《95 學年度高中數學課程暫行綱要》與 85 年版課程標準在內容上的差異為：

高一上：將 85 年版高中課程中的第一章基礎概念移入附錄。

將 85 年版高中課程中的遞迴數列移入 95 暫綱排列組合章。

高一下：不談反三角函數；將餘切、正割和餘割的圖形移入附錄。

不談和差化積，但保留積化和差。

10

高 二：95 暫綱只談二元克拉瑪公式和二元行列式，

而將三元的情形移入選修(I)。

95 暫綱只談錐線的標準式。

95 暫綱增加信賴區間和信心水準的解讀。

選修(I)：95 暫綱不談轉軸，不談二階方陣所對應的平面變換。

95 暫綱不談連續圖案、黃金分割和正多面體。

選修(II)：95 暫綱將微積分的討論擴及到多項式。

95 暫綱要處理積分公式。

《95 學年度高中數學課程暫行綱要》預定於 95 學年度開始實施，而針對 94 學年度高一新生（九年一貫的第一屆），教育部提出以下相關因應措施：

(1) 委託中華民國數學會辦理「九年一貫暫行綱要銜接高級中學課程數學學 習領域銜接教學素材製作計畫」，數學銜接教材已於 94 年 5 月發展完成，

並於 6 月於全國北、中、南、東等四區舉辦說明會。

(2) 進行國文、英文、歷史、地理、物理、化學、生物等七科之「國、高中 銜接教材內容比對分析」研究計畫，於 93 年 12 月完成「國、高中銜接 教材內容比對分析」研究，並轉知國、高中教師查詢參考。

(3) 於 94 學年新生入學的暑假期間提早辦理國、高中教材的銜接學習。

(4) 要求各高中於 94 學年度每週加一節數學課，彌補課程不足之處。

其中《九年一貫暫行綱要銜接高級中學課程數學學習領域銜接教材》應包含 下列單元：「乘法公式與多項式」、「因式分解」、「方根的運算」、「一元二次方程 式的解」、「線型函數與二次函數」、「不等式」、「數列與級數」、「幾何與證明」、「三 角函數」。

11

2.1.3 三角函數課程

國中階段的三角函數單元課程，其教學目標及教材內容，隨著課程改革歷經多次 精簡或刪除。民國 74 年教育部修訂公佈的國民中學數學課程標準，將相似形、

二次函數等相關內容列為三角函數的先備知識，且在國中三年級的課程中編排

「數值三角及其應用」的單元，使得學生進入高中前對三角函數有基本的認識。

民國 83 年教育部修訂公佈的國民中學數學課程標準，大幅精簡數值三角及其應 用的內容，只編寫銳角三角函數與三角函數的應用之內容。民國 87 年九年一貫 數學課程暫行綱要，將所有三角函數單元從國中教科書中刪除。因此目前的國中 學生在進入高中課程之前，只具備了相似三角形的判別法、二次函數圖形的概念 與三角形性質的幾何證明等先備知識。

而在高中階段的三角函數單元課程，95 學年度起開始實施《95 學年度高中 數學課程暫行綱要》，其中的三角函數單元與 85 年版高中課程標準的主要差異為 刪除反三角函數、和差化積，並將餘切、正割和餘割的圖形移入附錄。教材內容 列示如表 2-2。

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表 2-2 95 學年度高中數學課程暫行綱要三角函數課程內容 主 要 內 容 備 註

1.銳角三角函數 1-1 有一個銳角為，

30 °

45 °

2.三角函數的基本關係 2-1 倒數關係、平方關係、商數關 係、餘角關係。

3.簡易測量與三角函數值表 3-1 可用電算器求出三角函數值。

4.廣義角的三角函數 5.正弦定理與餘弦定理

＊三角函數的基本概念

6.基本三角測量

1.三角函數的圖形^＊ 1-1 含弧度。三角函數的圖形只談 正弦、餘弦和正切。

2.和角公式^＊ 2-1 含積化和差公式。

3.倍角^＊、半角公式

4.正餘弦函數之疊合 4-1 以實例說明疊合的意義。

三角函數的性質與應用 5.複數的極式 5-1 介紹向徑、輻角與極坐標之概

念，含棣美弗定理，1 的 n 次 方根。

附錄

1.函數的概念^＊

2.餘切函數、正割函數和餘割 函數的圖形

以到目前為止學過的數學統整函 數的概念。

註：「^＊」為「後期中等教育共同核心課程指引」內容。

教育改革的步調必須是分階段進行的，而在整體制度的大幅變動下，學生在 學習上的銜接是否能夠妥善、適切，有絕大部分的因素仰賴於教育資源在學習的 脈絡上是否安排得連貫、合宜。本研究透過對現況實地訪查，藉由瞭解學生經過 九年一貫課程後，在高中課程三角函數單元中的實際表現，分析與探討上述課程 在執行上的成效。

13

2.2 三角函數學習相關研究

2.2.1 三角函數概念及錯誤類型研究

吳佳起（2003）「函數單元學習前後的概念成長探討」發現，國二學生在函數方 面存在許多錯誤類型，以及對於函數的迷思概念：

(1) 在學生初次學習函數的概念前後，其函數概念有顯著的不同；

(2) 函數的學習，最有助於「壓縮」層次的學生進階到「物化」層次；

(3) 學生存在著許多錯誤類型。如：自變數與應變數的角色混淆顛倒；

(4) 學生有許多關於函數的迷思概念。如：可以寫出關係式的就是函數。

陳忠雄（2003）「高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究」中指出，學生在三 角函數概念學習的錯誤類型主要分為：

(1) 三角函數與反三角函數定義的概念不清：三角函數與反三角函數的定義 混淆，不瞭解三角函數的定義域、值域與反三角函數的定義域。

(2) 三角函數符號運用的概念不清：乘法性質的誤用、函數與反函數合成的 誤用與三角形三邊長性質的誤用。

(3) 三角函數運算性質的概念錯誤：三角函數的遞增與遞減不清楚、三角函 數的平方關係不清楚、誤認三角函數具有線性性質、三角函數值的正負 不會判斷、三角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的疊合性不清楚與三角 函數值相等的概念不清。

(4) 角度的基本性質概念不清：角度的單位換算以及同界角的認識不清。

(5) 三角函數的圖形概念不清：三角函數的圖形與平移認識不清，三角函數 圖形的對稱性概念不清。

(6) 三角函數的週期與振幅概念不清：函數週期的定義概念不清、三角函數 的週期與振幅性質認識不清。

賴潔芳（2004）「二階段評量應用在高中生三角函數學習成效之研究」探討依據 分析高三學生三角函數概念學習錯誤類型的結果，設計高一三角函數教學，是否 可使學生避免犯下相同的錯誤，文獻中將學生概念學習的錯誤類型分為：

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(1) 弧度與函數值的錯誤概念；

(2) 圖形概念的錯誤；

(3) 正餘弦疊合概念的錯誤；

(4) 廣義三角函數的錯誤概念；

(5) 三角函數的運算性質錯誤概念；

(6) 反三角函數概念的錯誤；

(7) 角度單位換算的錯誤概念。

簡志明（2004）「高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤類型之 研究」文獻中，發現學生運算的錯誤類型主要為：

(1) 銳角三角函數及廣義角三角函數定義不清楚；

(2) 角度與邊長的對應關係為片段性的認知；

(3) 三角形的三角函數值運算概念不清楚；

(4) 角度的範圍無法用不等式表示；

(5) 各象限角的三角函數值正負判斷錯誤；

(6) 角度轉換錯誤；

(7) 三角函數方程式不會分解；

(8) 象限角的三角函數值為錯誤值。

2.2.2 三角函數學習困難之相關原因

賴潔芳（2004）指出三角函數單元的學習成效與其他單元相較之下較不理想且學 生的學習意願普遍低落，原因有二：

(1) 學習者需要將三角函數的圖像與數字關係做連結，去處理如

「 斜邊

A

sin 」這類的比例問題及操弄有關的符號。

(2) 語言背景使學生無法瞭解三角函數的英文寫法、唸法及其命名的意義。

簡志明（2004）提出在學習銳角及廣義角三角函數的基本概念時的學習困難有 下列各項：

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(1) 預備知識的不足，無法貫通；

(2) 計算過程感覺繁雜，產生困難；

(3) 對於文字符號不能清楚掌握；

(4) 銳角擴展至廣義角三角函數時，難以銜接；

(5) 無法仔細認清題目的各項條件而加以連結；

(6) 代數觀念沒有落實；

(7) 在日常生活中，少有實際應用相關題目，以致學習時較為抽象吃力；

(8) 邏輯推理觀念不足，無法逐步思考。

文中並說明，學生在高中的學習方式和國中時有所不同，高中對定義、定理 及應用有著明確的規範，而有不少的學生往往忽略基本定義所講述的，不清楚主 題是什麼，如廣義角、同界角的定義，不瞭解定義，接下來的步驟則顯得毫無推 理可言。而有部分學生將三角函數關係式記得很清楚，但無法靈活運用的，學生 只去背公式，而忽略任何公式都是可以導出來，不瞭解背後的意義。在國中幾何 部分刪掉了不少，在高一的幾何觀念就明顯地變差了許多，一些稍微複雜的圖 形，不管是邊長或角度的對應與推導，學生就會亂成一團。此外，許多錯誤乃由 於學生對定理的不熟悉，定理的不熟悉其實則與很少算題目有很大的關係。過去 的高一數學部分大多是把國中的觀念加強得再延伸，但如今因為國中新課程的實 施，使得有些觀念高一時才有教授，尤其國中基本學力測驗，檢測方式限用選擇，

大大影響到國中生讀書的模式，讓學生覺得數學這門科目或許只要用看的就可以 了，不一定要瞭解完整解題過程，這一點著實值得教育界人士深思。

該研究就其此次調查研究結果，對高中數學老師提出以下的教學建議。

(1) 預備知識的加強：高一上課程中所提及的觀念大多是國中觀念的延伸，

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若可以利用為入學前的暑期時間，再次複習先前的觀念，例如整數的定 義、二次函數、基本的幾何概念等等有助於高一的教學。

(2) 計算能力的演練：高中計算的部分與國中差異很大，且高一的數學一週 課程介於4 至 5 堂課，要利用上課時間作計算能力的加強是很困難的，

可在高一生八月份登記分發完至校登記時，分發自編的加強計算之講 義，利用暑假期間作運算。尤其在無理數的計算部分。

(3) 與物理、地科的結合：物理、地科老師在一些拋射的的運動中，三角函 數的部分可先講述，以輔助學生的學習。

(4) 強化代數觀念：高中數學更為抽象，常常要先做假設，而不是只有計算 而已，通常需要代數的轉換，計算的式子才得以呈現，如果學生的代數 觀念太差，有時候連下筆都很難，這一層面須要做突破。

(5) 老師的教學態度：對待現在的高一生，可能要更有愛心與耐心，在教學 過程中，不斷給予適當的鼓勵，以提高其學習的動機。

由以上文獻中可以看出，高中課程在三角函數單元部分的學習上，相較於其 他單元，涵括了更為廣大、繁複的概念以及解題能力的培養。所以藉由觀察學生 在學習本單元的實際情況，亦能瞭解九年一貫課程下學生在各大主題上架構了若 干的程度，以進一步做為高中課程綱要修訂方向的依據。因此，本研究以三角函 數為課題，進行深入的探討與分析。

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第 3 章 研究方法與實施步驟

此章旨在說明本研究所採取的研究方法與實施步驟，共分為兩節，詳述如下。

3.1 研究方法

本研究欲探討九年一貫課程實施後，對於學生在高中學習三角函數所造成的影 響，並根據國、高中課程的設計、學生的成就表現以及高中教師的觀點分析現 行制度的合宜性。基於此目的，本研究採用「內容分析研究法」與「調查研究 法」，藉由瞭解三角函數相關課題內容在新課程推行後的變化，以及實地調查高 中生在學習上的整體表現，分析、探討新制度下學生在學習成就上的發展。

3.1.1 內容分析研究法

內容分析研究法（content analysis）是指透過量化的技巧以及質的分析，以客觀 及系統的態度，對文件內容進行研究與分析，以推論產生該項文件內容的環境 背景及其意義的一種研究方法，有時亦稱為文獻分析法（documentary analysis）

或資料分析法（informational analysis）。所謂的文件，包括所有的正式文件、私人 文件、數量紀錄、照片、視聽媒介等。而分析的因素，則是指：訊息的來源、

訊息的內容、訊息的接受者、訊息的傳播技巧、訊息的效果、傳播的理由等，

因此早期的研究對象多以大眾傳播媒體為主。而近代的教育研究法亦逐漸採用 內容分析研究法，研究對象擴及教科書等課程材料，且教材的內容分析已成為

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當前課程研究的重要領域之一（歐用生，1998）。內容分析研究法可以說是一種

「質」與「量」並重的研究法，對於改進教育或社會的實務方面，或增添重要 的知識方面而言，都能發揮其功能（王文科，1999）。因此，本研究以九年一貫 後的國、高中三角函數相關課程為研究對象，利用內容分析研究法分析三角函 數相關課題的整體課程，探討其銜接性及合宜性。

3.1.2 調查研究法

調查研究法是指根據母群體所選擇出來的樣本，從事探求社會學變項與心理學 變項的發生、分配及其彼此相互關係的研究法（郭生玉，1995）。調查研究的最 主要目的，是在探討某種社會現象在當前的情況，以做為解決問題，改進現況，

並計畫未來的根據。基於對當前事實的研究性質，調查研究的結果可作為教育 決策的參考，因此，調查研究是屬於決定導向（decision-oriented）的目的，而非 結論導向（conclusion-oriented）之目的（Mouly, 1978）。調查是一項重要的研究 型式，它須界定目標與問題、專門性的設計、細心分析與解釋蒐集而得的資料，

最後提出合乎邏輯的研究報告。

根據研究資料的收集方法，調查研究可分為問卷調查與訪問調查。將設計 好的問卷或調查表郵寄給受試者填寫或安排受試者集體填寫，稱為問卷調查；

利用訪問者親身攜帶問卷或調查表的方法收集，則稱為訪問調查。

問卷調查在教育研究中廣泛地被使用，原因在於其具有方便性、標準性以 及廣佈性。一份經過良好設計的問卷，所收集到的資料即能透過量化的分析，

呈現客觀的事實。此外，問卷的收回率應該達到一定程度，資料始能視為適當

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有效，根據貝比（Babbie, 1973）的觀點，調查資料若要能分析和報告，收回率 至少須達到 50%才算適當，60%視為良好，70%或以上視為非常良好。

訪問調查依提問的形式又分為結構性訪問（structured interview）、非結構性 訪問（unstructured interview）與半結構性訪問（semistructured interview）。結構性 訪問的內容與程序，均在訪問進行之前就已標準化，訪問的實施完全遵照預定 的訪問表格逐一進行，主要的優點是訪問結果易於比較、在良好的控制下可以 建立通則以及訪問的主題不易被分散；非結構性訪問沒有使用訪問表格與事先 決定好的訪問程序，問題的內容、順序以及用語較開放，訪問者可以鼓勵受訪 者自由表達其思想，而僅以少許問題導引會談的方向，主要的優點是具有彈性、

能使用較複雜的問題以及可深入探索人的動機，並使受訪者與訪問者得以產生 社會的交互作用，因而從中找到豐碩的假設（Van Dalen, 1979）；半結構性訪問 即訪問者於事前向受訪者發問一系列的結構性問題，然後在面談時採用開放性 問題，務期兼備結構性訪問與非結構性訪問的優點，具有合理的客觀性，並且 允許受訪者充分反映己見，因此在教育研究領域中格外適用，可獲得較有價值 的資料（Borg and Gall, 1983）。

調查研究的步驟與過程，必須於實施之前，詳細地加以規劃，方能使資料 的收集、整理、分析和解釋得以順利進行，提高研究結果的正確性。以下列示 調查研究的實施過程，主要有五個步驟：

(1) 確定調查目的：以清楚而明確的方式將調查的目的詳細敘述，作為設計 整個調查計劃的依據。

(2) 設計調查方法：決定抽樣方法、研究工具的設計以及資料的分析方法。

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(3) 從事資料收集：依照預定的計劃以及程序進行資料收集。

(4) 從事資料分析：將收集到的資料，依照類別或項目加以記錄、分類。

(5) 報告調查結果：根據分析的結果，加以解釋和討論。

本研究欲從多向的角度瞭解高中生在三角函數單元的學習現況，一方面以 測驗式的問卷，調查高中生在相關課題的先備知識及該單元的學習成就；一方 面以半結構性的訪問，調查高中教師對於學生在學習歷程的整體表現與對於高 中課程的修訂方向的看法。

3.2 研究實施步驟

本研究主要目的在探討九年一貫課程實施後，對於學生在高中學習三角函數單 元所造成的影響，藉由對於目前課程現況的分析研究以及對學生學習現況的調 查研究，探討《95 學年度高中數學課程暫行綱要》是否切合學生在高中階段的 狀態，希望作為日後修訂正式綱要的參考。

為瞭解改革後的整體發展，在實施的步驟上主要分為「課程內容分析」與

「學習現況調查」兩部份進行。

3.2.1 課程內容分析

目前普通高級中學課程綱要的修訂採漸進的方式進行。為了銜接九年一貫課 程，教育部在 92 年新修訂高中課程綱要草案，並預計於 95 至 97 學年度實施《95 學年度高中數學課程暫行綱要》，98 學年度則將落實高中課程正式綱要。本研究

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以實體的國、高中教材作分析，探討初步修訂的新課程在三角函數單元是否有 足夠的銜接性與合宜性。由於欲從教科書中完整分析其內容的連貫性，我們選 定以同時出版國中、高中階段數學課本的「南一」版教材為範本進行研究。

3.2.2 學習現況調查

為從多角度瞭解學生在三角函數單元的學習現況，所收集的資料包括對學生的 問卷調查以及對教師的訪問調查。一方面為學生安排紙筆測驗，分析學生在進 入三角函數課程前所具備的先備能力，以及在結束三角函數課程之後所表現的 學習成效，將結果加以統計。另一方面與各班級的數學科任課老師作一對一的 面談，瞭解學生學習三角函數單元的歷程，將面談內容錄音並轉成文字稿。

(1) 研究樣本

由於受限於人力、物力、時間與經濟等因素，本研究取樣以台灣北部地區的 高中為主。經電話、信函尋訪各校於 94 學年度任教高一班級的數學教師，

並且為了在訪問調查中，教師能提供過去的經驗以作為參照，我們進一步找 出這些教師當中，曾在過去五年之內也任教過高一班級教師，再前往面訪各 位教師，說明本研究的目的及實施日程，以徵得教師同意配合，並由教師挑 選其任教的其中一個高一班級來進行調查。最後取得 4 所學校共 15 位教師及 其任教的 15 個班級作為本研究的樣本，由於挑選的班級皆為常態編班，其 成員涵蓋各校數學學習成就高、中、低程度的學生。此外，本研究所取得之 有效樣本數 464 人，相較於 2004 年各相關研究，已為最大之樣本數，因此該 樣本應有足夠的代表性。

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(2) 研究工具

為了調查 94 學年度的高一學生在三角函數單元學習的情形，利用下列兩種 工具來蒐集所需要的資料，內容扼要分別說明如下：

¾ 自編「三角函數學習現況調查研究試卷（前測）」以及「三角函數學習現況 調查研究試卷（後測）」

由研究者自行編製，藉以調查學生在進入三角函數課程之前，所具備的相 關先備知識，以及在結束三角函數課程之後，所表現的學習成就。編製的 過程與原則如下：

a. 原始試題來源：為了使試題具備有效性及代表性，所以試題的來源是多 方面的。主要參考各中學段考考題、各家版本教科書及教師手冊以及網 際網路上的相關教學資源。從上述資料中設計出合於三角函數單元主要 概念的試題，並經由中央大學數學系教師及相關研究人員共同檢討修 正，編製出前測題目共 12 題與後測題目共 16 題的試卷，配合各高中在 三角函數的教學進度，預計分別於 95 年 3 月及 95 年 6 月進行測驗。

b. 第一次試測：為瞭解試題中的文字措辭是否適當表達題意，於中央大學 挑選三位研究生進行測驗，而考量時間及人力因素，本次受測對象乃採 方便取樣。依測驗結果及受測者提出的意見修改部分文字，以使將來受 測之高一學生能清楚瞭解題意。

c. 第二次試測：為確立本試題的可行性，於桃園地區挑選三位高中學生進 行測驗，而考量時間及人力因素，本次受測對象乃採方便取樣。依測驗 結果調整部分試題採用的數據，以使試題更適合學生的程度。

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d. 正式試卷：經過研究者與中央大學數學系教師共同檢討、第一次預試及 第二次預試的結果修改完成該具有專家效度的前測、後測試卷。

¾ 自編「九年一貫後高中生學習三角函數現況之教師意見調查訪問大綱」

訪問的進行如係根據審慎設計的結構而來，或確可引出重要的資料，其效 度就較大。在這種探究的領域中，專家所持的批判性判斷，對於選取達成 研究目標所需的問題，可能有所助益（王文科，1999）。因此，研究者諮詢 中央大學數學系教師以及相關研究人員意見，擬定 7 大項相關問題大綱，

於訪問前先行書面寄送予高中教師，再徵詢高中教師於學期末同意配合的 時間，與研究者進行開放性的個別面談。目的在於藉由教師的觀點瞭解 94 學年度高一學生在學習三角函數單元的實際狀況，以及針對現階段高中數 學科的課程綱要、教材等教學資源在實際執行上的優劣點，並對於即將修 訂的高中課程綱要提出看法與建議。

(3) 實施日程

本研究針對 94 學年度高中一年級學生在三角函數單元的整體學習歷程作調 查研究，因此實施日程計劃係自 95 年 1 月份起依照學校課程進度安排，詳細 說明如表 3-1：

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表 3-1 調查實施日程表（以下日期皆為民國 95 年）

日 程 調查活動 內 容 說 明 備 註

1 月 16 日至 2 月 24 日

前測試題編製

由研究者蒐集資料，再與 中央大學數學系教師及 相關研究人員共同檢討 修正，編製出前測題目共 12 題。

初 擬 完 成 後 進 行 第 一 次 試 測 及 第 二 次 試 測，根據結果及受試者 的意見修訂完稿。

2 月 25 日至 3 月 10 日

徵求高中教師 協助研究

經由電話及信函向北部 地區高中發出邀請函，徵 得初步同意後前往該校 說明本研究調查活動。

最後徵得台北、桃園及 新 竹 地 區 四 所 高 中 教 師同意協助研究，共計 15 位教師。

3 月 11 日至 3 月 24 日

前測正式施測

於老師正式教授三角函 數課程之前，作國中課程 中相關知識的學前測驗。

請老師安排約 20 分鐘 施測，由研究者收回閱 卷並紀錄。

4 月 17 日至 4 月 28 日

後測試題編製

由研究者蒐集資料，再與 中央大學數學系教師及 相關研究人員共同檢討 修正，編製出前測題目共 20 題。

初 擬 完 成 後 進 行 第 一 次 試 測 及 第 二 次 試 測，根據結果及受試者 的意見修訂完稿。

6 月 12 日至 6 月 23 日

後測正式施測

於老師正式教授完畢三 角函數單元課程後，作三 角函數的學後測驗。

請 老 師 於 期 末 當 作 一 次 30 分鐘小考施測，由 研究者收回紀錄分析。

6 月 19 日至 6 月 30 日

訪談教師

就學生學習三角函數情 況進行約 30 分鐘訪談。

請 老 師 安 排 時 間 與 研 究者作一對一面談。

(4) 資料處理與統計

本研究之資料處理分成：學生測驗結果分析及教師訪談資料分析，茲就各部 份說明如下：

¾ 學生測驗結果部份：利用敘述性統計呈現所有樣本學生在「三角函數學習 現況調查研究試卷（前測）」以及「三角函數學習現況調查研究試卷（後測）」

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中，每一題答對人數與作答人數之間的比率，分析學生在正式進入三角函 數課程之前，所具備的相關課題先備知識能力程度，以及課程結束後所表 現的學習成就。此外，並紀錄兩次測驗成績，探討各校前測、後測成績相 關性的推論統計。

¾ 教師訪談資料部份：研究者聆聽訪談的錄音檔，並將內容轉成文字稿，再 依內容歸納出學生在學習時呈現的差異性，以及教師對於現行課程、即將 實施的《95 學年度高中數學課程暫行綱要》與未來的高中課程正式綱要的 意見。

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第 4 章 三角函數相關課程之內容分析

本研究旨在探討九年一貫課程實施後，對於學生在高中學習三角函數所造成的影 響。九年一貫數學課程將「三角函數的基本概念」單元從國中教科書中刪除，相 關課題內容也有所更動，未來的學生到了高中，三角函數對他們而言，會是一個 前所未見的新課題。在如此差異甚鉅的先備知識條件下，學生是否具有足夠的能 力以承受目前訂定的高中三角函數課程？這即是此章所欲分析的主題。4.1 節說 明國、高中課程中的三角函數相關課題的內容是否具有足夠的銜接性，4.2 節說 明高中三角函數單元的課程內容，並分析各個學習段落所需要的先備知識。

為了因應時代的潮流以及社會的變遷，教育部於民國 87 年開始著手推動九 年一貫課程，91 學年度先行實施《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》，爾後經 參考各方意見，適度調整暫行綱要的修訂方向，於 94 學年度正式實施《國民中 小學九年一貫課程綱要》。而為使課程有所連貫，教育部考量目前之可行性，以 漸進方式進行高中課程綱要的修訂，結合現行高中課程標準及 92 年新修訂課程 綱要草案，修訂成《95 學年度高中數學課程暫行綱要》，預定於 95 至 97 學年度 實施。未來 98 年普通高級中學課程正式綱要，亦將以暫行綱要為基礎，持續朝 理想修訂。

此外，由於高中課程在因應編修的時程上有所不及，94 學年度高一學生仍 沿用 85 年版高中數學課程標準，教育部唯恐國中與高中教科書內容上的落差造 成學習上的困難，因此著手進行「九年一貫暫行綱要銜接高級中學課程數學學習 領域銜接教學素材製作計畫」，經由國、高中銜接教材內容比對研究，制定《九 年一貫暫行綱要銜接高級中學課程數學學習領域銜接教材》，要求各高中於 94 學年度每週加一節數學課來配合進行，並鼓勵學校於開學前的假期提早辦理國、

高中教材的銜接學習，彌補課程不足之處。

27

本章就現行國、高中課程中的三角函數相關課題，分析其是否有足夠的銜接 性與連貫性。欲具體瞭解國、高中階段的三角函數相關課程，本研究參考相關文 獻（張琇涵，2006），從教材來作觀察與分析，並援引文獻中資料，考量教科書 在同一個版本下較有一致性，選定以同時出版國中、高中階段數學課本的「南一」

版教材為範本進行分析研究。

4.1 國、高中課程之三角函數相關課題

《95 學年度高中數學課程暫行綱要》將三角函數單元安排在高中第二冊教材中 的第 2 章及第 3 章，學生在正式學習三角函數之前的國、高中課程中，所接觸的 相關課題內容皆經過大幅變動。本研究從實體教材分析新課程，將國中第一冊至 第五冊（國中第六冊無三角函數相關課題內容）以及高中第一冊中的三角函數相 關課題內容列示如表 4-1。而其中由於本研究在撰寫上的時程仍為課程漸進式改 革之過渡期，製表以「現行最新」為原則，國中第一冊至第四冊採用根據《國民 中小學九年一貫課程綱要》編輯的教科書，國中第五冊採用根據《國民中小學九 年一貫課程暫行綱要》編輯的教科書，並於表內國中第一冊至第四冊的欄位中以

「*」註記各個課題內容與暫行綱要的差異。

表 4-1 95 年南一版國、高中數學教科書三角函數相關課題內容 冊

別 三 角 函 數 相 關 課 題 內 容

國 中 第 一 冊

分數的四則運算（2 - 4 pp.149--152）*暫行綱要無負數及四則混合運算例題*

在分數的算式中，如果同時有加、減、乘、除的運算，應由左向 右依序計算且依循整數的運算規則。分數的運算也滿足乘法對加 法的分配律。

例題：

4 1 2 1 3

12 ×



 

−

÷ 。

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解：

4 1 2 1 3

12 ×



 

−

÷ =

( )

4 2 1 3

5 × − ×

=

4 1 10 ×3

−

= 5

− 6

解一元一次方程式（3 – 3 pp.182--188）*暫行綱要第三冊內容*

當一個方程式中的未知數用某個數代入，能使這個方程式中左右 兩邊的值相等，那麼這個數稱為方程式的解或根。求出方程式的

「解」的過程稱為解方程式。一個 x 的方程式如果可以化簡成 ax + b = 0（a≠0）的形式，就稱為 x 的一元一次方程式。

利用等量公理解一元一次方程式：

例題：

2 3

x

解： 3 2 3 1 3

x

6

= 1

x

國 中 第 二 冊

解二元一次聯立方程式（1 – 2 pp.21--26）*暫行綱要第三冊內容*

例題（代入消去法）：

x + 2y = 20…………○1

x = 3y………○2

解：先將○¹ 式中的 x 以○² 式中的 3y 代入 得 y = 4………○3

再將○3 式代入○2 式，得 x = 3 × 4 = 12。

29

例題（加減消去法）：

x + 7y = 15…………○1

x +y = 3………○2

解：原聯立方程式的○1 式與○2 式，等號的左邊都有 x，所以由

（x + 7y）−（x + y）= 15−3 = 12 得 y = 2…………○³

再將○3 式代入○2 式，得 x + 2 = 3，x = 1。

直角坐標平面（2 – 1 pp.40--51）*暫行綱要第三冊內容*

在平面上先選定一基準點 O（稱之為原點），再選定兩條相交於 O 點且互相垂直，單位長相同的數線，橫的數線稱為 x 軸，箭頭方 向（向右）表示正方向，縱的數線稱為 y 軸，箭頭方向（向上）

表示正方向。我們稱這樣的平面為直角坐標平面，簡稱坐標平面。

如果有序數對（a, b）所代表的是坐標平面上 P 點的位置，我們就 稱 P 點的坐標為（a, b），記作 P（a, b）。其中，第一個數 a 叫做 P 點的 x 坐標，第二個數 b 叫做 P 點的 y 坐標。

坐標平面上的 x 軸與 y 軸將坐標平面分成四個區域，我們把四個 區域依逆時針旋轉的方向，依序稱之為第一象限、第二象限、第 三象限、第四象限（x 軸與 y 軸上的點不屬於任何一個象限）。

二元一次方程式的圖形（2 –2 pp.56--73）*暫行綱要第三冊內容*

方程式 ax + by = 0（a ≠ 0 且 b ≠ 0）的圖形是一條通過原點的直 線。當 a ≠ 0，b ≠0，c ≠ 0 時，方程式 ax + by + c = 0 的圖形是 一條直線。

方程式 by + c = 0（b ≠ 0）的圖形是一條直線，它通過（0, b

− c ）

且與 y 軸垂直。

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方程式 ax + c = 0（a ≠ 0）的圖形是一條直線，它通過（

a

− c , 0）

且與 x 軸垂直。

當二元一次聯立方程式恰有一解時，這個解所代表的點就是此聯 立方程式各式直線圖形的交點。

二元一次聯立方程式有無限多組解時，表示兩條直線重合。

當二元一次聯立方程式無解時，表示兩條直線平行。

比例式（3 – 1 pp.78--83）*暫行綱要第五冊內容*

a 與 b（b≠0）兩個數的比記作 a：b，讀作 a 比 b，其中 a 稱為這 個比的前項、b 稱為這個比的後項；它的比值為

b

a ，表示前項是

後項的 b a 倍。

a：b 與 c：d 兩個比相等的意思，就是他們的比值 b a 與

d

c 相等，

記為 a：b = c：d。

函數與函數值（4 – 1 pp.123--125）*暫行綱要無此內容*

給定自變數 x 的一個值時，都恰好能找到一個應變數 y 的值與它 相對應，這種 x 與 y 的對應關係就稱為函數（function），或稱 y 是 x 的函數，記作 y = f (x)（f(x)讀作 f of x）。

當 y = f (x)是 x 的函數，給定 x 的一個值 a，就可以得到一個與之 對應的 y 值時，我們就稱這個與 a 對應的 y 值為函數 y = f (x)在 x

= a 時的函數值，以 f (a)表示。

31

函數的圖形（4 – 2 pp.131--134）*暫行綱要無此內容*

將自變數看成橫坐標，對應的 y 值看成縱坐標，我們就可在此坐 標平面上描出有序數對（x, y）所對應的點，所有合於 y = f (x)關 係的點（x, y）所成的圖形，就稱為函數 y = f(x)的圖形。

在函數 f (x) = ax + b 中，當 a ≠ 0 時，f(x)稱為一次函數；當 a = 0 時，f(x)稱為常數函數。這兩個函數的圖形都是一條直線，所以我 們稱函數 f (x)= ax+b 為線性函數。

國 中 第 三 冊

乘法公式（1 – 1 pp.6--13）*暫行綱要第四冊內容*

對於任意數 a、b、c、d，（a + b）（c + d）= ac + bc + ad + bd (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b² （a + b）（a - b）= a² - b²

平方根的四則運算（2 -1 pp.67--68）*暫行綱要無此內容（僅有平方根意義）*

例題：

5 3 3

5 −

解：

5 3 3

5 −

5 3 3

5 −

=

5 5

5 3 3

3 3 5

×

− ×

×

×

=

5 15 3

15 −

= 15

5 1 3

1 



 



 − = 15

15 2

32

利用分子、分母同乘以一數，其值不變的運算性質，使分母不再 帶有根號的化簡過程，稱為有理化分母。

勾股定理（2 – 3 pp.75--79）*暫行綱要第四冊內容* (之前僅在小四介紹直角)

「任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。」

在西方稱為畢氏定理。而在中國，這個定理一般稱為勾股定理。

距離公式（2 – 3 pp.85--87）*暫行綱要無此內容*

給定坐標平面上任意兩點 A(x¹, y¹)、B(x², y²)，則 A、B 間的距離

( x

x

) (

y

y

)

AB = − + −

國 中 第 四 冊

點、直線與角（2 – 1 pp.32--35）*暫行綱要第二冊內容 (無互餘內容)*

在幾何中，用點表示位置，但不考慮它的大小。

在平面上，通過點可以畫出很多線，但只有一條是直線，也就是 說兩點決定一直線。兩點間的距離以直線距離最短。

以 A 點為起點的兩個射線 AB 和 AC 形成了一個角，我們把這個角 記為

∠ BAC

∠ CAB

如果∠ =A

90 °

90 °

∠ 是銳角；如果 AA ∠ >

90 °

°

180

如果兩個角的和是一個直角，則稱這兩個角互餘，其中一個角稱 為另一個角的餘角；如果兩個角的和是一個平角，則稱這兩個角 互補，其中一個角稱為另一個角的補角。

33

三角形（2 – 1 pp.35--36）*暫行綱要第二冊內容* (勾股定理先於三角形分類)

若依三角形的內角角度來分類，可以分為：

銳角三角形（三個內角都小於 90 度）

直角三角形（有一個內角是 90 度）

鈍角三角形（有一個內角大於 90 度）

弧長與扇形面積（2 – 1 pp.41--43）*暫行綱要第二冊 (無扇形面積內容)*

在一個圓中，以圓心為頂點，兩半徑為邊所組成的角稱為圓心角。

在一個半徑為 r 的圓中，如果有一個圓心角為x ，那麼它所對應° 的弧長及其所夾的扇形面積分別為：

(1) 弧長 = 圓周長

360

× x = 2πr

360

× x 。

(2) 扇形面積 = 圓面積

360

× x = πr²

360

× x 。

三角形的邊角關係（3 – 3 pp.122--130）*暫行綱要第二冊內容*

三角形中大邊對大角，大角對大邊。

平行線的性質（4 – 1 pp.136--144）*暫行綱要第五冊內容*

兩條平行線被一直線所截，則同位角相等，內錯角相等，同側內 角互補。

國 中 第 五 冊

相似三角形（2 – 2 pp.65--74）

SAS 相似性質：如果兩個三角形的一角相等，而且夾此角的兩邊 對應成比例，則這兩個三角形相似。

AAA 相似性質：如果兩個三角形的三個內角對應相等，那麼這兩 個三角形相似。

SSS 相似性質：如果兩個三角形的三邊長對應成比例，則這兩個三 角形相似。

34

三角形的外接圓（3 – 2 pp.98--100）

通過△ABC 的三個頂點 A、B 與 C 的圓 O，叫做這個△ABC 的外 接圓，O 點叫做△ABC 的外心，這個△ABC 叫做圓 O 的一個內接 三角形。

直角三角形的外心即斜邊的中點，它到三個頂點的距離相等。

直角三角形中，若有一個內角為

30 °

推理（4 – 1 pp.116--125）

作為推理依據的「已知事項」叫做推理的「前提」，推出的「新的 結果」叫做推理的「結論」。推理的每一個步驟都必須「言而有據」， 這些根據就是「已知事項」。常見的「基本推理模式」如下：

（模式一）(1) 矩形的對角線等長。

(2) 正方形是矩形。

所以，正方形的對角線等長。

（模式二）(1) 矩形的對角線等長。

(2) 有一四邊形的對角線不相等。

所以，此四邊形不是矩形。

幾何證明（4 –2 pp.128--135）

所謂「證明」就是依據公理、定理、定義、題設條件……等「已 知事項」去論證某一事項的正確性。幾何證明的對象是有關幾何 的敘述。

例題：

如果有兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等。

解：推理如下

在右圖中，∠1 與∠2 是對頂角，

35

1 3

2

因∠1 =

180 °

∠2 =

180 °

故∠1 = ∠2，

即對頂角相等，所以此「敘述」是正確的。

高 中 第 一 冊

無理數（1 –2 p.33）

在數線上，我們稱不是有理數的數叫作無理數。

只要自然數 n 的質因數標準分解式中所含某一個質因數的次冪是 奇數，那麼

± n

平方根的化簡（1 –2 p.41）

. b a

ab = × (

a ≥ 0

b ≥ 0

a b

a = (

a ≥ 0

有理化分母：

.

b ab b

ab b

ab b

a

2

=

=

=

a ≥ 0

兩點距離公式（1 – 3 pp.51--52）

平面上兩點 P (x¹, y¹)和 Q (x², y²)間的距離為

( x

x

) (

y

y

)

d = − + −

複數及其四則運算（1 –4 pp.79--81）

− 1

b ≠ 0

複數之間像實數一樣，可以做四則運算，規定如下：