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Mathematics

数 学

第四册 ( 必修 )

湖 南 教 育 出 版 社

普通高中课程标准实验教科书

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书 书 书

第四册 !必修"

责任编辑# 邹楚林

湖南教育出版社出版 !长沙市韶山北路""#号"

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４０

４２

４８

５０

５８

６０

第

８

问题探索 神奇的三角形 / 8.1 正弦定理 /

习题 1 / 8.2 余弦定理 /

习题 2 /

8.3 解三角形的应用举例 /

习题 ^{３ /}

实习作业 如何测量建筑物的高 / 阅读与思考 面积与三角公式 / 小结与复习 /

复习题八 / 第

９

问题探索 从兔子问题引出的斐波纳奇数列 / 9.1 数列的概念 /

习题 1 / 9.2 等差数列 /

习题 2 / 9.3 等比数列 /

习题 3 /

数学实验 乐音的频率比 /

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9.4 分期付款问题中的有关计算 / 习题 4 /

实习作业 教育储蓄的收益与比较 / 小结与复习 /

复习题九 /

第

１０

问题探索 光的折射 / 10.1 不等式的基本性质 /

习题 1 /

10.2 一元二次不等式 / 习题 2 /

10.3 基本不等式及其应用 / 习题 3 /

10.4 简单线性规划 / 习题 4 /

阅读与思考 一门应用数学学科 运筹学简介 / 小结与复习 /

复习题十 /

［多知道一点］ ｎ个正数的算术平均数与几何平均数 /

附 录 数学词汇中英文对照表 ^/

６４

６６

６７

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７３

７７

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９１

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１１０

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９６

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解三角形

第 章

书 书 书

近测高塔远看山 ^! _! 量天度海只等闲 _! 古有九章勾股法 ^! _! 今看三角正余弦 _! 边角角边细推算 ^! _! 周长面积巧周旋 _! 前贤思想多奥妙 ^! _! 佳品醇香越千年 _!

三 条 边 和 三 个 内 角 是 三 角 形 最 基 本 的 六 个 元 素 由这六个元素 中 的 三 个 元 素 其 中 至 少 要 有 一条边 去 定 量 地 求 出 三 角 形 的 其 余 的 边 和 角 的 过程叫作解 三 角 形 本 章 学 习 解 三 角 形 及 其 在 各 种测绘问题中的应用

书 书 书

近测高塔远看山 量天度海只等闲 古有九章勾股法 今看三角正余弦 边角角边细推算 周长面积巧周旋 前贤思想多奥妙 佳品醇香越千年

三 条 边 和 三 个 内 角 是 三 角 形 最 基 本 的 六 个 元 素 _! 由这六个元素 中 的 三 个 元 素 ^" 其 中 至 少 要 有 一条边 ^# 去 定 量 地 求 出 三 角 形 的 其 余 的 边 和 角 的 过程叫作解 三 角 形 _! 本 章 学 习 解 三 角 形 及 其 在 各 种测绘问题中的应用 _!

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书 书 书

!!!问题探索

神奇的三角形

我们大家从儿童时代起就熟悉了三角形^!知道它有三个角^!三 条边^""但是^#

你可能没有听说过^!神秘的百慕大三角^!在那里轮船和飞机常 常消失得无踪无影^$

你可能没有想过^!人的两只眼睛去观察一个物体^!也能产生一 个三角形_!

你可能没有看过^!在描绘一个实际上不可能存在的物体时^!平 面上画出的 图 形 有 欺 骗 性_!如 图_!%"!图^&_#'的 物 体 是 很 容 易 实 际 构作的^!而图^&_$'则是彭罗斯提出的 一 个 不 可 实 现 的 对 象^%%%彭 罗 斯三角形_!

图_!!"

你可能没有试过^!在水洼的帮助下测量树的高度_!有一对父子 一起经过一个庭园^!看见在庭园中间生长着一棵大树^!并且在庭园 里有许多不大的积了水的水洼_!儿子问父亲^{# (}这棵树的高度是多 少^)*父亲回答^#(我们不要猜^!可以设法计算它的高度_!我知道自 己身高是"!%&'!眼睛位置的高度等于"(%&'!我 的 步 伐 长 等 于

)%&'!现在我 这 样 站 着^!使 得 我 能 见 到 树 顶 在 该 水 洼 中 的 影 子_! 从我到影子有_*步^!从影子到树有_*%步_!^*你能根据故事所描述的 情形 ^&如图_!%+'!算出树的高度吗⁾

书 书 书

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书 书 书

图_!!"

你可能没有做过^!在不过河的情况下^!利用测角仪^"皮尺^!确 定这 河 岸 一 侧_!!" 两 点 距 河 对 岸 电 视 塔 点_# 处 的 距 离 ^#如

图_!$#%$!!!

图_!!#

又如^!在有建筑物 阻 挡 的 情 况 下^!如 何 测 量 该 建 筑 物 两 侧_!!

"两点间的距离 ^#如图_!$$%$

图_!!$

你可能也没有做过^!在一块三角形形状的地区打_$口井_$现在 要把这个地区分成四个小区^!使这些小区形状相同^"面积相等^!并 且在每一个小区里都有一口井_$怎样划分^&

以上种种都与三角形有关_$

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! "# ! 正弦定理

现实生活中涉及的测绘问题有很多^!如测量河宽^"山高等^!往往 由于地形条件的制约!有一些数据不易直接测量_!这时就需要我们利 用 一 些 易 测 量 的 数 据^!然 后 通 过 计 算 求 得 不 易 被 直 接 测 量 的 数据_!!!!

问题探索中提出一个实际问题 ^#如图_!$"%!在河岸一侧有_"!#

两点^!需要确定 这 两 点 距 河 对 岸 的 电 视 塔 点_$处 的 距 离_!现 可 以 测 量_"#的长以及图 中 角_" 和 角_# 的 大 小!如 何 利 用 这 三 个 条 件 去 求

"$!#$的长度呢^&

为了解决这类问题^!我们先来学习三角形中边^"角及面积之间的 一些基本关系_!

图_!^$_#

如 图_!$# 所 示^!对 任 意

""#$!以""#$ 的 顶 点_"

为坐 标 原 点^!_"#边 所 在 直 线 为_%轴!建立直角坐标系_!

设_&!'!(分 别 为""#$

中角_"!#!$所 对 边 的 边 长^!

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同理可得^! _+**

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这就是说^!三角形的面积等于任意两边与它们的夹角的正弦值之 积的一半_!

将等式^*

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+&''()$中 的 每 个 式 子 都 除 以

８． １ 正弦定理

书 书 书

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书 书 书

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在三角形中!各边与它所对角的正弦的比值相等!这个结论就叫 作三角形的正弦定理 ^"_#$%&'(&)*&+),'*$-%./&##(

在_'%012!即"$&'为直角三角形的情况下^!由_#$%'%!!得

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例_!!在 本 节 开 头 的 实 例 "如 图_3$4#中!我 们 测 得 如 下 数 据%

$&%511+!$%562!&%712!求_$'和&' "精确到_181!#(

解!)!$%562!&%712!

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槡7:槡"#463874"+#(

上例实际上说明了如果已知三角形两个角和一条边的大小!则由 三角形的内角和为_!312!立刻可得到它的第三个角的值^!再利用正弦 定理!可算出它的另外两条边的大小₍

问题^%如果已知三角形的两条边及一条边所对的角的大小^!利用 正弦定理能够算出三角形的其余的边和角的大小吗^'

例_"!在"$&'中^!已知_$%412!#%6槡4!!%6!求_&和_"(

书 书 书

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例 2 图

例 3 图

书 书 书

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由此得到!""&'!%"*&!'!

因此^!&"#$%*&!'$ !#$%.!',! "2!槡

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通过根据已知条件利用几何作图作三角形!可以清楚地看到例₍ 有两解^!而例_"只有一解_$

一般地^!已知两边 和 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形^!有 两 解^%一 解^% 无解三种情况_$

*$当₍为锐角时^!如图_0&)所示_$

图₀^&₎

($当₍为直角或钝角时^!如图_0&3所示_$

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书 书 书

图_!^!_"

问题^"在直角三角形中^#正弦定理表明^#一边的长同它所对的角

的正弦值之比是一个常数#这个常数的几何意义是什么$

对于一般的三角形^#这个常数的几何意义又是什么^$

!图_!^!_!

对 锐 角"!"##设 圆_$是"!"#的 外 接 圆#%是圆_$的半径#过_"作圆_$的直径"&#

连接_{#& %}如 图_!!!&'由 于_#&和_#!都 是 圆

$中同一条 弧 所 对 的 圆 周 角#利 用 平 面 几 何 中 同弧所对的 圆 周 角 相 等 的 定 理^#得_#&(#!' 又#&#"是半圆弧所对的圆周角^#半圆所对的

圆周角一定 是 直 角^#所 以#&#"(#$%'于 是^#)("#("&&'(&(

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这个结果 称 为扩 充 的 正 弦 定 理 ^%*+,*(-*-&'(*,.*/0*1&#并 且 解释了 ⁾

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&'(#的 几 何 意 义#这 个 常 数 实 际 上 是"!"#

的外接圆的直径_'

例_!!在"!"#中^#已知它的外接圆半径%(2#)(2#"(3$%#

求_*及"!"#的面积_,'

解_!由 扩 充 的 正 弦 定 理#得_!*()%&'(" ()&'( 3$%(2#

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书 书 书

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书 书 书

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练 习

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"!在""#$中!$&&#!角_#!$所对应的边分别为_(!'!试求^'

(的取值范围_!

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! "# ! 余弦定理

在本章开始的 '问题探索(中!我们给出了这样一个实例%如图

*)'!在一建筑物两侧有_"!#两点^!现要测量_"!#两点间的距离_! 我们可以测量_"$!#$的 长 以 及 图 中 角_$的 大 小!如 何 利 用 这 三个条件去求_"#的长度呢^& 这一问题的实质是^%利用两边和夹角去

习题 1

学 而时习 之

温 故 而 知 新

８． ２ 余弦定理

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书 书 书

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书 书 书

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根据两点间的距离公式"得

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同理可得

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由上可知%三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两 边与它们夹角的余弦值乘积的两倍"这个结论叫作三角形的余弦定理

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余弦定理也可以写成下面的形式

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$%&$)&⁾+'⁾*(⁾ )'&

例_!"已 知_!"#$的 三 边 分 别 为')3"&)4#和_()45"试 求

!"#$中最大角的度数_!

解_"根据三角形中大边对大角的原理^"_$是_!"#$的最大内角^"

书 书 书

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练 习

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%!已知""#$的三边之比为槡$&%&!!求最大的内角_!

"!已知""#$中_%^%_)'^%_)%'&(^%!求_$的大小_!

#!已知三角形的三条边长分别为_'!$和_"!求此三角形的面积_!

'!已知""#$中%&"!'&% "!#&!'()!槡 求_(!

!!!

*!在四边形_"#$*中^!##&#*&+()!#*$#&*()!"#&"!"*&'!求 对 角 线_"$的长_!

$!已知""#$中^!%,-.#&',-."!试判断此三角形的形状_!

/!在""#$中^!$#&%!"$&% "!"&"()!槡 求_"#边的中线长_!

+!已知 圆 内 接 四 边 形_"#$*的 边 长 分 别 为"#&%!#$&*!$*&*"&#!求 四 边形_"#$*的面积_!

!!

! "# ! 解三角形的应用举例

解三角形的应用问题^!通常都要根据题意^!从实际问题中抽象出 一个或几个三角形^!然后通过解这些三 角 形^!得 出 所 要 求 的 量^!从 而 得到实际问题的 解_!在 这 个 过 程 中^!贯穿 了 数 学 建 模 的 思 想_!这 种 思 想即是从实际问题出发^!经过抽象概括^!把它转化为具体问题中的数 学模型^!然后通过推理演算^!得出数学模 型 的 解^!再 还 原 成 实 际 问 题

习题 2

学 而时习 之

温 故 而 知 新

８． ３ 解三角形的应用举例

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图_!!"#

的解_!

在 航 海 中"由 于 南 北 方 向 比 较便于 测 量"通 常 以 南 北 方 向 作 为标准方向^"用北偏东若干度^#北 偏西若干度#南偏东若干度#南偏 西若干 度 来 表 示 方 向_!如 图_!!"#

所示"如"#""$""%""& 的 方 向 角 分 别 用 北 偏 东_$#%"北 偏 西

&#%"南偏西_'(%"南偏东_)#%来表示_*

例_!!一货轮航行到_'处"测得灯塔₍在货轮的北偏东_"(%相距

)#海里处"随后货轮按 北 偏 西_&#%的 方 向 航 行"半 小 时 后"又 测 得 灯 塔在货轮的北偏东_'(%"求货轮的速度^$结果保留一位小数_%!

!图_!!""

解_!如 图!!""" "(') *"(%+&#%,'(%"

"()'*"!#%-'(%-&#%,"#(%.

可知!")('*"!#%-'(%-"#(%,&#%!

由正弦定理 ^')

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/01"#(%"

得 _')*)#/^01&#%

/01"#(%,"#$槡$- )%*槡

+!货轮的速度为_"#$槡$,槡)%-")*)#$槡$,槡)%

#)#.2 $海里^&时_%!

答'货轮速度为_)#.2海里&时_!

!图_!^!_")

例_"!我缉私船发现位于正北方向的走私船以_(#海里&时的速度 向北偏东_'(%方向的公海逃窜^"已知缉私船的最大速度是_$#海里^&时_! 当发 现 走 私 船 时"两 船 之 间 的 距 离 不 超 过 多 少 海

里才能保证 缉 私 船 在_"(分 钟 内 截 住 走 私 船^{( $}结 果保留两位小数^%

解_!当发现走私 船 时"设 缉 私 船_#和 走 私 船

$之间的 距 离 为_.海 里_!$%为 走 私 船 的 逃 窜 路 线^"如图_!!")所示^"由题意得""#$%*"&(%!设

书 书 书

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书 书 书

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书 书 书

缉私船在_!处截住走私船^!并设缉私船截住走私船所需最短时间为_"

小时!于是#!$!""!%!$#""&

根据余弦定理^!得_!"!""#^$$"#""#^$'(^$)%""("&'(%)#*!

即!!!!!!%%"""^$)#" $(")(槡 ^$$"&

这个关于_"的二次方程有正根^!其正根为

"$# $+ ,-槡 槡

$$" (&

为使缉私船在_%#分钟内截住走私船!(必须满足 槡 槡

# $+ ,-

$$" ("".$#! ("$$"/".$#

槡 槡

# $+ ,-#).$0&

答^$当发现走私船时^!只要两船之间距离不超过_).$0海里^!我缉 私船就能在_%#分钟内截住走私船_&

例_!!如图_0%%)!池塘两侧有两建筑物_#!%!不能直接量得它们

之间的距离_&在池塘边选取_!!*两点^!并测得$#!%$1#*!$%!*$

-#*!$#*!$)"*!$#*%$,"*!!*$0"2!试 求_#!%两 建 筑 物 间 的距离^"精确到".%2#&

图₀^%_%)

分析_!可 以 将_#%看 成 是_34%#*% 的 斜 边^!因 此 在_34%#*%

中!知道两直角边或一直角边和一锐角!就能计算出_#%的长_&

解_!在_%#!* 中^!$#!*$1#*'-#*$%$"*!$!#*$%0"*)

"%$"*')"*#$)"*!!*$0"&

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槡!"!!#$!%!

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由正弦定理得!!!! !"!"#$%&# $"

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在"'!" 中!#'!" #*+&!#'"!#'(%&!#!'" #')%&(

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同样由正弦定理得

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在12"$"'中!

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槡

槡

$)%$槡'%5*0*$)%6$5($+,(+)5)"7#&

图₎^%_'*

答&$!'两 建 筑 物 间 的 距 离 约 为(+)5)7&

如图_)%'*!当我们 进 行 测 量 时^! 在视线 与 水 平 线 所 成 的 角 中!视 线 在水 平 线 上 方 的 角 叫 作仰 角^"_8#9:;

/<;:;=82"/##!视 线 在 水 平 线 下 方 的 角叫作俯角^"8#9:;/<>;?@;!!"/##&

例_!!如图_)%'+!海岛₊上有一座海拔_'%%%7的山^!在山顶上 的一个观察站_$!上午_''时测得一游轮在岛正东方向的_!处^!俯角为

$%&!''时₀分又测得该游轮在岛的南偏西_$%&的_'处!俯角为$%&&如 果该游轮做匀速直线运动!试求该游轮的速度_&

解_!如图_)%'+!由题 意 得#+$!#0%&!#+$'#0%&!#'+!#

A%&)$%&#'(%&&

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图_!!"#

在_!!"#中"

#"$"$$$%&'($)$"$$$ *"槡 在_!%!#中^"

#%$"$$$%&'($)$"$$$ *"槡 在_!#%"中"

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)" %"$*$$$*

因此"该游轮的速度_+$*$$$

($(

$*$$$$$0&1%$*$$20&1%*

答'该游轮的速度为*$20&1*

应用解三角形知识解实际问题的解题步骤'

$"%准确理解题意^"尤其要理解应用题中的有关名词⁽术语所表 示的量)

$+%根据题意作出示意图)

$*%确定实际问题所涉及的三角形^"并搞清该三角形的已知元素 与未知元素)

$3%选用正弦定理(余弦定理进行求解)

$#%给出答案_* 上述过程可简化为'

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!!!

!!甲船在点_"发现乙船在北偏东_"#$的_#处^!乙船以_$海里^"时的速 度 向 正 北 方 向 行驶_!已知甲船的速度是槡%$海里"时!问甲船应沿着什么方向 前 进!才 能 最 快 与乙船相遇#

图_&$!"

'!在一幢_'#(高 的 房 屋 顶 测 得 对 面 一 塔 顶 的 仰 角

为_"#$!塔基的俯角为_)*$!假定房屋与塔建在同

一水平地面上!求塔的高度_!

%!如图&$!"所示^!某 直 升 机 于 空 中_"处 观 测 正 前 方地平面 控 制 点_%的 俯 角 为_%#$%若 航 向 不 变!

飞机继续飞行_!###(至_#处!观 测 地 面 控 制 点_%的 俯 角 为_)*$!问 飞 机 再 向 前飞行多远^!与地面控制点_%的距离最近 ^&结果保留根号^'#

!!!

!!!

!!我舰在某岛_"南偏西_)*$且与_"相距_!#海里的_#处!发现走私舰正由_"岛向北 偏西_+*$的方向以_%#海 里"时 的 速 度 航 行_!如 我 舰 恰 好 用_!#分 钟 追 上 走 私 舰!

求我舰航行的速度和方向_!

'!如图_&$!+!海中小岛_"周围_'#海里 内 有 暗 礁!船 向 正 南 方 向 航 行!在_#处 测 得 小岛_"位于该船的南偏东_%#$方向上!航行_%#海里后!在_%处测得小岛_"位

习题 3

学而时 习之

练 习

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于该船的南偏东_!"#方 向 上^!如 果 此 船 不 改 变 航 向^!继 续 向 正 南 航 行^!有 无 触 礁的危险"

图_$#%& 图_$#%$

图_$#%' (!如 图_$#%$!一 艘 船 以_()*)海 里$时 的 速 度 向 正 北 航 行!

在_"处看灯塔_#在 船 的 北 偏 东)"#!("分 钟 后 航 行 到_$ 处!在_$处看灯塔_#在船的 北 偏 东_!"#方 向 上!求 灯 塔_# 到_$处的距离 %精确到_"*%海里_&!

+!如图_$#%'!两建筑物_"$与_%&的 水 平 距 离 为_{)+ ,!}从

"点测得_%点的俯角_!为_("#!测得_&点的俯角_"为_!"#!

求这两座建筑物的高 %结果可保留根号_&!

!!!

图_$^#_)"

-!如图_$#)"!在平面镜_&%同侧有相隔_%-.,的两 点_"!$!它 们 到 平 面 镜 的 距 离 分 别 是' )槡

) .,

和! ).,!槡 现要使从_"点 射 出 的 光 线 经 平 面 镜 反射后经过点_$!求光线的入射角_#的度数_!

!!在与建筑物_"'的底端_'处于同一水平面 的 点_$

处测得顶端_"的仰角为_#!沿_$'方向前进_(",至 点_&处!此 时 测 得 顶 端_"的 仰角为_)#!再继续沿_$'方向前进%" ( ,槡 至点_%处!此时测得顶 端_"的 仰 角 为_+#!求_#的大小和建筑物_"'的高_!

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如何测量建筑物的高

下面我们利用解斜三角形的知识^!来研究如何测量教学楼或校内 其他建筑物的高_!

图_!^"_"#

实 习 作 业

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!!!

题_!目 测量教学楼高

测量目标 简_!!图

测量工具 测角仪^!皮尺

测量方案 计算原理 与过程 测量数据

测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值

楼高数据

本方案优点 本方案不足

其他方案

指导教师意见

实 习 报 告

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书 书 书

!!!阅读与思考

!!!!

本章一开始就得出了"!"#的面积公式_$"!"#%!"&'#$%#%

!"'(#$%!%!"&(#$%"!并由此推出了三角形的正弦定理₎

面积是一个具有广泛应用的概念^!中国古代就是通过面积巧妙 地证明了勾股定理₎我们下面去发现面积概念的另一个应用^"""利 用上述三角形的面积公式巧妙地证明一些三角公式₎

由于需要 构 造 三 角 形^!所 涉 及 的 角 的 大 小 必 须 受 到 限 制^!因 此^!下面提到的角都是锐角₎

!)正弦的诱导公式

图_&!""

#!$如图&"""!平 行 四 边 形_!"#*

中^!#*!#%'()!##!"%!)记_!"%

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面积与三角公式

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书 书 书

!!正弦的和角公式

!图_"!!#

如图"!!#""# 是""$%的_$% 边 上 的 高^"#$"# &!" #%"# &"!记 "$ &'"

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+!正弦的和差化积公式

如 图 "!!*"在 等 腰 ""$% 中^"

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三角形的面积公式具有如此奇妙的应用^"真是令人兴奋^% 你还 能利用三角形的面积公式推导出其他的三角公式吗^&

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小结与复习

书 书 书

!!!

一 ^! 指导思想

通过对任意三角形边角关系的探究!让学生发现并掌握三角形 中的边长和角度之间的数量关系^!并认识到运用它们可以解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题_!

二 ^! 内容提要

本章的主要内容有正弦定理"余弦定理"解斜三角形的四种情 况以及解斜三角形的应用_!解三角形在中学数学中被广泛应用^!它 是由三角形中已知的边和角 #至少包括一条边$的大小!求出其余 边和角的大小的理论!是从数量角度进一步认识三角形中各元素间 关系的依据^!也能培养我们分析问题^"解决问题的能力_!

本章的重点 是 斜 三 角 形 的 解 法!必 须 逐 步 熟 练 掌 握 并 能 正 确 运用_!

本章的难点是余弦^"正弦定理的实际运用^!以及 ^%已知两边和 其中一边的对角解斜三角形&的问题_!

解斜三角形有四种类型^'

!!已知两角_"!#及边_$!由内角和公式求角_%!再由正弦定

理求出_{&!' #}唯一解^$_!

"!已知两边_&!'与 其 夹 角_"!由_$^"_(&^"_)'^"_*"&'#$%"!求 出_$!再由余弦定理求出角_{#!% #}唯一解$!

&!已知 三 边_$!&!'!由 余 弦 定 理 可 求 出 角"!#!% #唯 一解^$_!!!

'!已知两边_$!&及角_"!由正弦定理求角_#!由内角和公式 求角_%!!!

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书 书 书

三 ! 学习要求及需要注意的问题

!!学习要求_!

!!"掌握余弦定理^#正弦定理及其推导过程^$并能运用它们解

斜三角形_!

!""通过解斜三角形^$了解解斜三角形在实际测绘问题中的广

泛应用$培养我们把实际问题转化为数学问题$并利用已有知识加 以解决的能力$从而提高我们分析问题#解决问题的水平_!

"!需要注意的问题_!

将某些实际问题转化 为 解 三 角 形 问 题$是 常 遇 到 的 应 用 问 题_! 解这类问题$关键是如何将实际问题转化为数学问题$并画出示意 图^$这有助于将抽象问题具体化^#形象化_!通常总是将实际问题中 的长度#角度看作三角形的边和角$从而构建三角形$进而运用有 关知识去解决问题_!解这类问题时还要注意近似计算的要求_!

四 ^! 参考例题

例_!!货轮在海 上 以_#$海 里^%时 的 速 度 沿 着 南 偏 东_#$%的 方 向 航行$货轮在_"点观测灯塔_# 在其南偏东_&$%的方向上$航行半小 时到达_$点$观测灯塔_#在其北偏东_'(%的方向上$求货轮到达_$ 点时与灯塔_#的距离_!

图₎&"'

分析_!根 据 题 意$画 出 图 形 !图

)&"'"!在"#"$中^$线段_"$是半小 时路程$只要根据所给方向角的 数 据$

求出##"$$## 的 大 小$由 正 弦 定 理可得出_#$的长_!

解_!在"#"$中$"$%#$*!"%

"$!海里"$

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