臺灣與美國國小數學教科書中形成體積公式教材之內容分析

形成體積公式教材之內容分析

石鳳茹

國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系 壹、前言 孩童的生活經驗與物體的體積概念 息息相關，體積概念應包含物體所包含的 內部空間的內體積，和物體所占外在空間 或在液體中排開的空間的外體積等兩個部 分(黃湘武， 1985) 。體積概念的學習需兼 具測量與空間轉換能力的發展，由建立孩 童的保留概念、透過單位量點數、單位量 轉換，形成體積的公式，並藉由估測來培 養量廟，但國內體積教學卻偏重公式的熟 悉與應用(譚寧君，

1977)

，造成孩童常嘗 試以公式求出體積，卻無法真正理解公式 (何健誼，

2002

;沈佑霖，

2003

;譚寧君，

1977 ; Vasilyevaet a

l.,

20

13) 。 由於國內外的研究皆發現教科書是 教師教學時的主要依據，可說是學生學習 的主要資源(徐偉民，2013 ;藍順德， 2002

;

Nicol

&

Crespo

,

2006; Stein

,

Remillard

,

&

Smith

,

2007)

，因此有必要探討教科書的內容。而 美國全國數學教師協會 (National

Council

of Teachers of

Matbematics[NCTM]) 自 1989 年起陸續頒布的各項數學課程標 準，對全世界的數學教育課程造成重大的 影響 (Van

de

Wall巴 ， 20041張英傑、周菊美 譯，

2005)

，因此研究者選擇美國的數學教 科書作為與臺灣教科書體積公式引人方式 的比較對象。希望藉由了解教科書以何種 情境、何種方式或操作物來形成體積公式 的概念，提供教師在教學上的參考。

貳、研究方法與對象

本研究採用內容分析法，針對國小數 學教科書體積教材內容中，以何種方法、 操作物或情境來引人體積公式，進行分析 比較。研究對象採立意取樣，選擇臺灣南 一書局出版的 103 學年度數學教科書(簡 稱南一版) ，與美國 Mc

Graw

Hill 在 2012 年出版的 Everyday Mathematics系列(簡稱 EM 版)數學教科書為分析對象。輔以參考 教師手冊或指引中的教學活動流程說明、 活動規劃後，南一版的研究範聞為學生上 課使用的課本， EM 版則包含呈現主要教 學活動內容與例題的 (Math

Master

Gradel-6)

，與學生課堂練習的(

Student

Math

]ournalGradel-6)。

一、臺灣南一版

自 1994 年政府開放教科書民間審定版 後，南一出版社將經營重心投注在中小學教 科書出版發行工作，其教材理念在培養學生

科學教育月刊 第 381 期 中箏民國 104 年 8 月

學習數學的興趣和自行建立數學概念的能 力(南一書局企業股份有限公司， 2014) 。

二、美國 EM 版

EM 版教材源自美國美國芝加哥大學 學校數學計畫 (The

University of Chicago

School Mathematics

Project' 簡稱 UCSMP) 。此 計畫開始於 1983 年，藉由檢驗其他國家的 課程來獲得觀點與方法，進一步編寫專厲 的教科書及對小學、中學提供訓練計 並進行廣泛的評估，目的在提升幼稚園到 十二年級的數學教育內容的層次，提高學 生的學習表現(http://ucsmp.uchicago.edu)。中 的 Math

Masters Grade

1-6 、 Student

Math

Journal

Grade1-6 。 表卜兩版本體積公式出現的時間與種類

參、研究結果

本研究先探討兩版本體積公式引人 的年段，並了解教材所包含體積公式的種 類有何異同，再深人闡釋兩版本所引人的 情境、操作物為何，有何異同。

一、體積公式的種類與出現時機

南一版與 EM 版教科書分別在五年級 和四年級引人體積公式，南一版先介紹長 方體體積公式， EM 版雖然用「短形柱體

(rectangu lar prism)

J 一詞開始引人，但所

處理的物體性質與長方體是相同的，由表 l 可以發現 EM 版體積公式的教材實施時 間比南一版早一年。

法之

南一版 EM 版

四年級

無 矩形柱體(rectangular

prism)

體積 V

=

Bxh

(B 為底面積、 h 為底面的高) 長方體體積=長×寬×高 矩形柱體體積 V=lxwxh 正方體體積=邊長×邊長×邊長 柱體 (prism)的體積 V=Bxh

五年級

_{圓柱 (cylinder) 的體積 V=Bxh} 圓錐 (pyramid)和角錐(Cone)的體積 v= 一 xBxh

3

長方體體積=底面積×高

_{圓柱體積 V =Bxh=π xr}

2

_xh

底面為平行四邊形的四角柱

₄

₃ 體積=底面積×高 球體 (sphere) 體積 V=~x π xr

3

六年級

三角柱體積=底面積×高 圓柱體積=底面積×高 柱體體積=底面積×高 備註:兩版本中的柱體皆是指簡單直柱體，圓柱為直圓柱、圓錐為直圓錐，角錐亦為直角錐

其中南一版包含的體積公式依出現

順序分別有長方體、正方體、底面為平行

四邊形的四角柱、三角柱、圓柱， EM 版 則包含短形柱體、柱體 (prism) 、圓柱

(cylinder) 、圓錐 (pyramid) 、角錐 (Cone)及

球體 (sphere) 。南一版依照柱體底部的形 狀，說明平行四邊形的四角柱和三角柱的 體積公式，但因課綱(教育部， 2003 、 2008) 沒有理解圓錐、角錐體積公式的課程標 準'所以南一版教材並沒有編排相關的體 積教材。相較於南一版詳細引人特定簡單 柱體的公式， EM 版則缺少了正方體體積 的介紹。

二、體積公式的引入方式

(一)南一版 南一版首先鋪排出長所需的 l 立

用邊長|公分的白色正方體積木

堆疊成和右邊長方體一樣大的形

體，算算看，這個形體的體積是

幾立方公分?

方公分白色積木，再以「整排」的概 念排出寬的積木，最後疊成高度，來 對應目標紙盒外面長、寬、高的三個 維度(圖 1 )。並以一個乘法算式記錄 後，說明乘法算式所得到的是白色積 木的「個數 J' 而 l 個白色積木的體積

是 l 立方公分，因此體積就是「個數」

立方公分。再將長、寬、高的白色積 木數對應其長度(幾公分) ，藉以說明長 方體體積公式即為「長 x 寬×高」。並以 類似的圖例及方式來說明正方體的體

積公式為「邊長×邊長×邊長」。

六年級時，則藉由堆疊已知長和 寬的長方形紙片，產生 l 公分、 2 公 分厚度時，以乘法記錄體積的算式， 說明「體積是長×寬×高也就是底面積 ×局」。 2αn ~ T可 A 長 5 公分，可以 排 5 個積木。 A 寬 3 公分，可以 排 3 排積木。 A 高 2 公分，可以 排 2 屆積木。 圖 l 南一版形成長方體體積公式的題目及國例。資料來源:南一版課本五年級下 冊，頁 38 。

科學教育月刊 第 381 期 中箏民國 104 年 8 月 再將底面為平行四邊形的四角 柱進行切割、重組後，察覺新組成的 形體為長方體(圖 2)' 因此宣告底面為 平行四邊形的四角柱體積求法亦 為﹒底面積×高。接著將兩個三角柱 拼成底面為平行四邊形的四角柱，察 覺該四角柱的底面積是三角柱的兩 倍、體積也是兩倍，以乘法算式列出 體積求法後，宣告三角柱體積為底面 積×高。同樣運用切割的方法，將圓

柱切成 8 等分、 16 等分、 32 等分，

觀察重組後的新形體接近長方體，說 明該長方體的底面積相當於圓柱的 底面積，引人圓面積公式並用乘法記 錄算式，並宣告圓柱體積=底面積× 高。最後歸納以上五種柱體的體積公 式皆為底面積×高。 (二 )EM 版 EM 版所引人的第一個體積公式 是矩形柱體體積公式 V=Bxh ' 需 觀察結合視圖與透視圓的圖片(圖

3)

，利用圖片中盒子裡所堆疊的立方 體，配合表格分別記錄覆蓋盒子底面 需要多少個立方體、盒子中所疊出最 高的立方體為多少個，並計算出填滿 盒子所需的立方體數量，再配合標明 底部與高兩個維度的透視圖(圖4) 歸 納出矩形柱體的體積公式為 V=Bxh' 並說明 B 是底部的面積、 h 是由底部而來的高，以及體積單位是 立方單位(cubic unit) 。 五年級時將平行四邊形柱體和 三角柱的模型，經切割和重組的操作 程序後，察覺兩種柱體都可以構成矩 形柱體，歸納出體積公式V=Bxh 可 應用於任何柱體。而圓柱體積公式則 延續柱體所通用的公式V=Bxh ' 並

告知圓面積公式A= π xr

2

_{， 解釋相關}

代號的意義後，直接藉由實際測量生 活環境中圓筒物品(如廢紙筆)的高 度、底部的直徑與半徑，以公式計算 出體積。

將底面為平行四邊形的四角柱切割後，重組成長方體。

12c 圖 2 以切割重組方式將底面為平行四邊彤的四角柱重組成長方體的圖例。 資料來源、:南一版課本六年級下冊，頁 7 。

Box 1 Box 2

國 3 EM 版形成矩形柱體體積公式的國例一。

資料來源、:

Everyday Mathematics: Sutdent Math Journal Grade 4

,

vo

l.

2

,

p.300 。

base

height

圈 4 EM 版形成矩形柱種種積公式的圖例二

資料來源 :Everyday

Mathematics: Sutdent Math Journal Grade 4

,

vo

l.

2

,

p.30 I

。

至於角柱和角椎體積公式，則是 運用 Math Master 所附的角柱和角鍾的 模板，黏成等底同高、底部開口的模 型，藉由實際盛裝相同物質，比較兩 者所盛裝的量，發現角錐的盛裝量為 角柱的 1/3 '再與柱體公式 V=Bxh 結

合，形成角錐體積公式 Y=jxBxh 。

圓錐也是以同樣的操作方式，察覺圓 錐中所盛裝的量為同底等高圓柱的 l 汀，因此形成圓錐體積公式為

Y=lxB × h 。

(三)兩版本形成體積公式教材之異同 南一版與 EM 版都先介紹長方體 的體積公式，但南一版是透過擺放單 位立方體的實體照片，說明長、寬、 高三個維度立方體與長度的關條，再 將長方體體積公式先定義為「長×寬× 高 J '然後介紹其它種類的柱體(如底 面為平行四邊形的柱體、三角柱等)的 體積公式後，最後歸納柱體公式為「底 面積×高」。但視圖上所標明的相關維 度，並不是柱體的底面積，學生必須 運用空間能力 'J 解底面和上方的面 具有相同的長、寬，對應出底面積的 長、寬為何，以進行體積公式的計算。 而 EM 版則是將單位立方體如何 排列的視圖，結合盒子的透視圖，要 求學生找出底面及底面的高各有多 少個單位立方體，以形成長方體體積 公式「底面積×高 J' 要能理解填滿盒 子各維度的單位立方體數量，學生也

科學教育月刊 第 381 期 中箏民國 104 年 8 月 必須具備良好的空間協調能力，才能 物體量，來連結抽象的符號公式，如: 避免漏數了被隱藏的立方體。形成短 形柱體的體積公式概念後，進一步透 過保留概念的連用理解其它柱體(平 行四邊形柱體、三角柱、)的體積公式 是一樣的，再連結矩形面積公式，將

角錐體積 Y=jxB × h 應是有助於學

生理解相關公式的。

肆、結論與建議

底面積 (B)轉換成長 (l )x寬 (w) ，以獲 得另一種形式的柱體體積公式。 兩版本的教科書對形成體積公式的 引人方式具有明顯的差異，臺灣南一版採 此外， EM 教材中還安排同一個 用長、寬、高等三個維度，美國 EM 版則 矩形柱體，因擺放的方向不同，底面 選擇以底面積、高等兩個維度來形成體積 空間能力，才能看懂教科 及其高度不同，請學生寫下對底面及 高的定義(圖 5)' 提供學生進行空間概 念的思考，去了解同一個柱體，會因 公式。不論是以哪一個體積公式為教學目 標，要形成體積公式的概念，都需要運用 中所呈現的二 空間隨轉，所謂的底面和高度就會不 同，而這樣與空間思考相連結的教材 維衰徵的圖片。 Vasilyeva

et a

l.

(2013)指出 3D 物體若以具有網格的方式來呈現，因網 是南一版中所沒有的，也是臺灣課綱 格能協助提供各維度有多少個別單位的訊 能力指標中所缺少的(張英傑， 2004) 。 息，是有利於孩童於心理上建構 3D 物體， EM 版中所介紹的體積公式較南 而無網格的呈現方式，相對於有網格的題 中若能多提供有網格的表徵圖肉， 目，孩童在判斷物體體積的準確度是非常 教科 低的。因此，在形成抽象的體積公式時， 一版多，其中角錐和圓錐，甚至是球 體公式，皆因 灣的課程綱要中並無 相關標準，因此沒有在南一版教科書 中呈現，無法對此進行比較，但 EM 應有助於孩童將各維度的立方體個數與長 版運用實際操作的方式，藉由測量同 底等高的柱體、錐體模型所能盛裝的 度的數字加以連結、轉換，以達到真正理 解體積公式的教學目標。

Below are three different views of the same rectangular prism.

/

12

4

.'一旦亟Vi

height

圖 5 EM 版中同一物體不同方向呈現的差異

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