1987-1996考研数学三真题及解答

(1)

一九八七年考研数学试卷四解答

一、判断题（本题满分

10

分，每小题

2

分）

1.

lim x→0e 1 x = ∞

．

· · · [ ]

解

. 错误．

2.

∫ π −π x4sin x dx = 0

．

· · · [ ]

解

. 正确．

3. 若级数

∞ ∑ n=1 an

和

∞ ∑ n=1 bn

均发散，则级数

∞ ∑ n=1 (an+ bn)

也必发散．

· · · [ ]

解

. 错误．

4. 假设

D

是矩阵

A

的

r

阶子式

,

且

D ̸= 0

，但含

D

的一切

r+1

阶子式都等于

0

，那

么矩阵

A

的一切

r+ 1

阶子式都等于

0

．

· · · [ ]

解

. 正确．

5. 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于

0

．

· · · [ ]

解

. 正确．

二、选择题（本题满分

10

分，每小题

2

分）

1. 函数

( )

在其定义域内连续．

(A) f (x ) = ln x + sin x (B) f(x ) =    sin x , x¶ 0, cos x , x> 0 (C) f (x ) =          x+ 1, x < 0, 0, x= 0, x− 1, x > 0 (D) f(x ) =    1 p |x |, x̸= 0, 0, x= 0

解

. 应选

(A)

．

2. 若函数

f(x )

在区间

(a, b )

内可导，

x1

和

x2

是区间

(a, b )

内任意两点，且

x1< x2

，

则至少存在一点

_ξ

，使

_{· · · (} ) (A) f (b ) − f (a) = f′(ξ)(b − a)

，其中

a< ξ < b . (B) f(b ) − f (x1) = f ′(ξ)(b − x1)

，其中

x1< ξ < b . (C) f (x2) − f (x1) = f ′(ξ)(x2− x1)

，其中

x1< ξ < x2. (D) f(x2) − f (a) = f′(ξ)(x2− a)

，其中

a< ξ < x2.

(2)

解

. 应选

(C)

．

3. 广义积分

( )

收敛．

(A) ∫ +∞ e ln x x dx

．

(B) ∫ +∞ e dx x ln x

．

(C) ∫ +∞ e dx x(ln x )2

．

(D) ∫ +∞ e dx xpln x

．

解

. 应选

(C)

．

4. 假设

A

是

n

阶方阵，其秩

r < n

，那么在

A

的

n

个行向量中

· · · ( ) (A)

必有

r

个行向量线性无关．

(B)

任意

r

个行向量都线性无关．

(C)

任意

r

个行向量都构成极大线性无关向量组．

(D)

任意

r

个行向量都可以由其他

r

个行向量线性表示．

解

. 应选

(A)

．

5. 若二事件

A

和

B

同时出现的概率

P(AB ) = 0

，则

· · · ( ) (A) A

和

B

不相容（相斥）

．

(B) AB

是不可能事件．

(C) AB

未必是不可能事件．

(D) P(A) = 0

或

P(B) = 0

．

解

. 应选

(C)

．

三、计算题（本题满分

16

分，每小题

4

分）

1. 求极限

lim x→0(1 + x e x₎_x1_.

解

. 原式

= lim x→0exp _ln_{(1 + x e}x₎ x = e

．

2.

y = ln p 1+ x2− 1 p 1+ x2+ 1

，求

y ′_.

解

.

2 xp1+ x2

．

3.

z= arctanx+ y x− y

，求

dz .

解

.

−y dx + x dy x2+ y2

．

4. 求不定积分

∫ ep2x−1dx .

解

.

p2x− 1 − 1ep2x−1+ C

．

(3)

四、（本题满分

10

分）

考虑函数

_y _{= sin x , 0 ¶ x ¶}π 2

（如图）

，问：

(1) t

取何值时，图中阴影部分的面积

S1

与

S2

之和

S= S1+S2

最小？

(2) t

取何值时，面积

S= S1+S2

最大？

解

.

(1) t =π 4

时．

S π 4 =p2− 1

最小．

(2) t = 0

时，

S(0) = 1

最大．

五、（本题满分

6

分）

将函数

_f_{(x ) =} 1 x2− 3x + 2

展成

x

的幂级数，并指出其收敛区间

.

解

.

f(x ) = ∞ ∑ n=0 1+ 1 2n+1 xn

，收敛区间为

(−1,1)

．

六、（本题满分

5

分）

计算二重积分

I = ∫ ∫ D ex2dx dy

，其中

D

是第一象限中由直线

y = x

和

y = x3

所围成的封闭区域

.

解

.

I = ∫ 1 0 dx ∫ x x3 ex2dy = ∫ 1 0 (x − x3_)ex2 dx=e 2− 1

．

七、（本题满分

6

分）

已知某商品的需求量

x

对价格

p

的弹性为

η = −3p3

，而市场对该商品的最大

需求量为

1

（万件），求需求函数．

解

. 需求函数为

x = e−p3

．

(4)

八、（本题满分

8

分）

解线性方程组

         2x1− x2+ 4x3− 3x4= −4, x1+ x3− x4= −3, 3x1+ x2+ x3= 1, 7x1+ 7x3− 3x4= 3.

解

. 方程组的通解为

x = (3,−8,0,6)T+ k(−1,2,1,0)T

，其中

k

为任意常数．

九、（本题满分

7

分）

假设矩阵

_A

和

_B

满足如下关系式

_AB_{= A +2B}

，其中

_A₌    4 2 3 1 1 0 −1 2 3   

，求矩阵

B .

解

.

B=    3 −8 −6 2 −9 −6 −2 12 9   

．

十、（本题满分

6

分）

求矩阵

A=    −3 −1 2 0 −1 4 −1 0 1   

的实特征值及对应的特征向量

.

解

. 实特征值为

λ = 1

．对应的特征向量为

k(0,2,1)T

，

k

为任意非零常数．

十一、计算题（本题满分

8

分，每小题

4

分）

1. 已知随机变量

X

的概率分布为

P{X = 1} = 0.2, P {X = 2} = 0.3, P {X = 3} = 0.5,

试写出其分布函数

_F_{(x )}

．

解

. 分布函数

F(x ) =          0, x< 1; 0.2, 1¶ x < 2; 0.5, 2¶ x < 3; 1, x¾ 3.

2. 已知随机变量

Y

的概率密度为

f(y ) =    y a2e −u_a22_, _y > 0, 0, y ¶ 0,

求随机变量

Z = 1 Y

的

数学期望

E Z .

(5)

解

.

E Z = p 2π 2a

．

十二、（本题满分

8

分）

假设有两箱同种零件：第一箱内装

50

件，其中

10

件一等品；第二箱内装

30

件，其中

18

件一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取

出两个零件（取出的零件均不放回）

.

试求：

(1)

先取出的零件是一等品的概率

p

；

(2)

在先取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概

率

q

．

解

.

(1)

由全概率公式

p=2 5

．

(2)

由⻉叶斯公式

q = 690 1421

．

(6)

一九八七年考研数学试卷五解答

一、判断题（本题满分

10

分，每小题

2

分）

1. 同试卷四第一

[1]

题．

2. 同试卷四第一

[2]

题．

3. 若函数

f(x )

在区间

(a, b )

内严格单调增加，则对于区间

(a, b )

内的任何一点

x

有

_f′_{(x ) > 0}

_．

_{· · · [} _]

解

. 错误．

4. 若

A

为

n

阶方阵，

k

为常数，则

|k A| = k|A|

．

· · · ·[ ]

解

. 错误．

5. 同试卷四第一

[5]

题．

二、选择题（本题满分

10

分，每小题

2

分）

1. 函数

( )

在其定义域内连续．

(A) f (x ) = 1 x (B) f(x ) =    sin x , x¶ 0; cos x , x> 0 (C) f (x ) =          x+ 1, x < 0; 0, x= 0; x− 1, x > 0 (D) f(x ) =    1 |x |, x̸= 0; 0, x= 0

解

. 应选

(A)

．

2. 同试卷四第二

[2]

题．

3. 同试卷四第二

[3]

题．

4. 同试卷四第二

[4]

题．

5. 对于任意二事件

A

和

B

，有

P(A − B) = · · · ( ) (A) P(A) − P (B). (B) P(A) − P (B) + P (AB ).

(C) P(A) − P (AB ). (D) P(A) + P ( ¯B) − P (A ¯B).

解

. 应选

(C)

．

(7)

三、计算题（本题满分

20

分，每小题

4

分）

1. 求极限

lim x→+∞ ln 1+1_x arctan x .

解

. 极限为

0

．

2. 同试卷四第三

[2]

题．

3. 同试卷四第三

[3]

题．

4. 计算定积分

∫ 1 1 2 ep2x−1dx .

解

. 原函数为

p2x− 1 − 1ep2x−1+ C

，故定积分为

1

．

5. 求不定积分

∫ x dx x4+ 2x2+ 5.

解

.

1 4arctan x2_{+ 1} 2 + C

．

四、（本题满分

10

分）

考虑函数

y = x2, 0¶ x ¶ 1

（如图）

，问：

(1) t

取何值时，图中阴影部分的面积

S1

与

S2

之和

S= S1+S2

最小？

(2) t

取何值时，面积之和

S= S1+S2

最大？

解

.

(1)

当

t =1 2

时，面积

S ₁ 2 =1 4

最小．

(2)

当

t = 1

时，面积

S(1) = 2 3

最大．

五、（本题满分

5

分）

同试卷四第六题．

(8)

六、（本题满分

8

分）

假设某产品的总成本函数为

_C_{(x ) = 400+3x +}1 2x 2

_{，而需求函数为}

p=100p x

，其

中

x

为产量（假定等于需求量）

，

p

为价格．试求：

(1)

边际成本；

(2)

边际效益；

(3)

边际利润：

(4)

收益的价格弹性．

解

.

(1)

边际成本

M C = C′(x ) = 3 + x

；

(2)

收益函数

R(x ) = 100px

，边际收益

M R = R′(x ) = p50 x

；

(3)

利润函数

L(x ) = 100px−400−3x −1 2x 2

_{，边际利润}

_{M L}_{= L}′_{(x ) =} _p50 x−3− x

；

(4)

收益的价格函数

R(x ) = 100px=100 2 p

，收益的价格弹性

p R dR dp = −1

．

七、（本题满分

8

分）

同试卷四第八题．

八、（本题满分

7

分）

同试卷四第九题．

九、（本题满分

6

分）

同试卷四第十题．

十、（本题满分

8

分）

已知离散型随机变量

X

的概率分布为：

P{X = 1} = 0.2, P {X = 2} = 0.3, P {X = 3} = 0.5. (1)

写出

X

的分布函数

F(x )

；

(2)

求

X

的数学期望和方差．

解

.

(1)

分布函数

F(x ) =          0, x< 1; 0.2, 1¶ x < 2; 0.5, 2¶ x < 3; 1, x¾ 3. (2) E X = 2.3

，

D X = 0.61

．

十一、（本题满分

8

分）

同试卷四第十二

_[1]

题．

(9)

一九八八年考研数学试卷四解答

一、填空题（本题满分

12

分，每空

1

分）

1. 已知函数

f(x ) = ∫ x 0 e−12t2_dt

，

−∞ < x < +∞

，则

(a) f′(x ) =

；

(b) f(x )

的单调性：

；

(c) f(x )

的奇偶性：

；

(d) f(x )

的图形的拐点：

；

(e) f (x )

图形的凹凸性：

，

；

(f ) f(x )

图形的水平渐近线：

，

．

解

.

(a) e−12x2

；

(b)

单调增加；

(c)

奇函数；

(d)(0,0)

；

(e)

当

x< 0

时上凹（下凸）

，当

x > 0

时下凹（上凸）；

(f ) y = s π 2

，

y = − s π 2

．

2.

1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 =

．

解

.

−3

．

3.

      0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0       −1 =

．

解

.

      0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0      

．

4. 假设

P(A) = 0.4

，

P(A ∪ B) = 0.7

，那么

(a)

若

A

与

B

互不相容，则

P(B) =

；

(b)

若

A

与

B

相互独立，则

P(B) =

．

(10)

解

.

(a) 0.3

；

(b) 0.5

．

二、判断题（本题满分

10

分，每小题

2

分）

1. 若极限

lim x→x0 f(x )

与

lim x→x0 f(x )g (x )

都存在，则极限

lim x→x0 g(x )

必存在

.· · · [ ]

解

. 错误．

2. 若

x0

是函数

f (x )

的极值点，则必有

f′(x0) = 0. · · · [ ]

解

. 错误．

3. 等式

∫ a 0 f(x )dx = − ∫ a 0 f(a − x )dx

对任何实数

a

都成立

.· · · ·[ ]

解

. 错误．

4. 若

A

和

B

都是

n

阶非零方阵，且

AB= 0

，则

A

的秩必小于

n .· · · [ ]

解

. 正确．

5. 若事件

A, B , C

满足等式

A∪ C = B ∪ C

，则

A= B. · · · [ ]

解

. 错误．

三、计算题（本题满分

16

分，每小题

4

分）

1. 求极限

lim x→1 xx_{− 1} x ln x .

解

. 用等价无穷小量代换或者洛必达法则，都可求得极限为

1

．

2. 已知

u+ eu= x y

，求

∂ 2_u ∂ x ∂ y.

解

.

1 1+ eu − x y eu (1 + eu)3

．

3. 求定积分

∫₀3p dx x(1 + x )

．

解

.

2π 3

．

4. 求二重积分

∫ π 6 0 dy ∫ π 6 y cos x x dx .

(11)

解

. 交换积分次序，求得

1 2

．

四、解答题（本题满分

6

分，每小题

3

分）

1. 讨论级数

∞ ∑ n=1 (n + 1)! n(n+1)

的敛散性

.

解

. 由比值判别法，知级数收敛．

2. 已知级数

∞ ∑ n=1 a_n2

和

∞ ∑ n=1 b_n2

都收敛，试证明级数

∞ ∑ n=1 anbn

绝对收敛

,

解

.

|anbn| ¶ 1 2(a 2 n+ b 2 n)

，由比较判别法，知级数绝对收敛．

五、（本题满分

8

分）

已知某商品的需求量

D

和供给量

S

都是价格

p

的函数：

D = D (p) = a p2, S= S(p) = b p,

其中

a > 0

和

b > 0

为常数；价格

p

是时间

t

的函数且满足方程

dp dt = k[D (p) −S(p)]

（

k

为正的常数）

.

假设当

t = 0

时价格为

1

，试求

(1)

需求量等于供给量时的均衡价格

pe

；

(2)

价格函数

p(t )

；

(3)

极限

lim t→+∞p(t )

．

解

.

(1)

均衡价格

pe= a b 1 3

；

(2)

价格函数

p(t ) =p3 e + (1 − p 3 e)e −3k b t13

；

(3)

极限

lim t→+∞p(t ) = pe

．

六、（本题满分

8

分）

在曲线

y = x2(x > 0)

上某点

A

处作一切线，使之与曲线以及

x

轴所围图形的

面积为

1 12

．试求：

(1)

切点

A

的坐标；

(2)

过切点

A

的切线方程；

(3)

由上述所围平面图形绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积．

(12)

解

.

(1)

切点

A

的坐标为

(1,1)

；

(2)

过切点

A

的切线方程为

y = 2x − 1

；

(3)

旋转体的体积

V = π 30

．

七、（本题满分

8

分）

已给线性方程组

               x1+ x2+ 2x3+ 3x4= 1, x1+ 3x2+ 6x3+ x4= 3, 3x1− x2− k1x3+ 15x4= 3, x1− 5x2− 10x3+ 12x4= k2.

问

_k₁

和

_k₂

各取何值时，方程组

无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多组解的情形下，试求出一般

解

.

解

.

(1)

当

k1̸= 2

时，方程组有唯一解．

(2)

当

k1= 2

且

k2̸= 1

时，方程组无解．

(3)

当

k1= 2

且

k2= 1

时，方程组有无穷多解，其一般解为

x= (−8,3,0,2)T+ c (0,−2,1,0)T,

其中

_c

为任意常数．

八、（本题满分

7

分）

已知向量组

_α₁,α₂,··· ,α_s (s ¾ 2)

线性无关．设

β1= α1+ α2, β2= α2+ α3, ··· , βs−1= αs−1+ αs, βs = αs+ α1.

试讨论向量组

_β₁,β₂,··· ,β_s

的线性相关性

.

解

. 若

s

为奇数，则向量组线性无关．若

s

为偶数，则向量组线性相关．

九、（本题满分

6

分）

设

A

是三阶方阵，

A∗

是

A

的伴随矩阵，

A

的行列式

|A| =1 2

．

求行列式

(3A)−1_{− 2A}∗

的值

.

解

.

−16 27

．

十、（本题满分

7

分）

玻璃杯成箱出售，每箱

20

只，假设各箱含

0, 1, 2

只残次品的概率相应为

0.8, 0.1

和

0.1

．一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱

随机地察看

4

只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：

(1)

顾客买下该箱的概率

α

；

(2)

在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率

β

．

(13)

解

.

(1)

由全概率公式

α =448 475

；

(2)

由⻉叶斯公式

β = 95 112

．

十一、（本题满分

6

分）

某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占

20%

，以

X

表示

在随意抽查的

100

个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数

. (1)

写出

X

的概率分布；

(2)

利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于

14

户且不多于

30

户的

概率的近似值．

[

附表

_]

设

_{Φ(x )}

是标准正态分布函数

. x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Φ(x ) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999

解

.

(1) X

服从二项分布，

P{X = k} = C₁₀₀k 0.2k0.8100−k

．

(2)

由棣莫佛—拉普拉斯定理，求得

P{14 ¶ X ¶ 30} = 0.927

．

十二、（本题满分

6

分）

假设随机变量

X

在区间

(1,2)

上服从均匀分布，试求随机变量

Y = e2X

的概率

密度

fY(y )

．

解

.

fY(y ) =    1 2y, e 2_{< y < e}4 , 0,

其他

.

(14)

一九八八年考研数学试卷五解答

一、填空题（本题满分

12

分，每空

1

分）

1. 同试卷四第一

[1]

题．

2. 同试卷四第一

[2]

题．

3. 同试卷四第一

[3]

题．

4. 同试卷四第一

[4]

题．

二、判断题（本题满分

10

分，每小题

2

分）

1. 同试卷四第二

[1]

题．

2. 同试卷四第二

[2]

题．

3. 同试卷四第二

[3]

题．

4. 同试卷四第二

[4]

题．

5. 同试卷四第二

[5]

题．

三、计算题（本题满分

16

分，每小题

4

分）

1. 求极限

lim x→1(1 − x 2_)tanπx 2

．

解

.

4 π

．

2. 已知

u= exy

，求

∂ 2_u ∂ x ∂ y

．

解

.

−x+ y y3 e x y

．

3. 同试卷四第三

[3]

题．

4. 同试卷四第三

[4]

题．

四、（本题满分

6

分）

确定常数

a

和

b

，使函数

f (x ) = ¨ a x+ b, x > 1, x2, x¶ 1,

处处可导．

(15)

解

.

a= 2

，

b = −1

．

五、（本题满分

8

分）

同试卷三第五题．

六、（本题满分

8

分）

同试卷四第六题．

七、（本题满分

8

分）

同试卷四第七题．

八、（本题满分

6

分）

已知

n

阶方阵

A

满足矩阵方程

A2− 3A − 2E = O

，其中

A

是给定的，而

E

是单

位矩阵．证明

A

可逆，并求了其逆矩阵

A−1.

解

.

A−1=1 2(A − 3E )

．

九、（本题满分

7

分）

同试卷四第八题．

十、（本题满分

7

分）

同试卷四第十题．

十一、（本题满分

7

分）

假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取

一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只．试求

在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差

.

解

.

(1) P{X = 0} =4 5

，

P{X = 1} = 8 45

，

P{X = 2} = 1 45

．

(2)

数学期望

E(X ) =2 9

．

(3)

方差

D(X ) = 88 405

．

十二、（本题满分

5

分）

同试卷四第十二题．

(16)

一九八九年考研数学试卷四解答

一、填空题（本题满分

15

分，每小题

3

分）

1. 曲线

y = x + sin2x

在点

π 2, 1+ π 2

处的切线方程是

.

解

. 对

y = x +sin2x

求导得

y′= 1+2sin x cos x

．令

x=π

2

得

y ′ x=π2 = 1

．故切线方

程是

y− 1+π 2 = x −π 2

，即

y = x + 1.

2. 幂级数

∞ ∑ n=0 xn p n+ 1

的收敛域是

.

解

. 幂级数的收敛半径

R = lim n→∞ _aa_nn₊₁ = limn→∞ p n+ 2 p n+ 1= 1

．当

x= −1

时得交错级数

∞ ∑ n=0 (−1)n p n+ 1(

条件收敛

)

；当

x = 1

时得正项级数

∞ ∑ n=0 1 p n+ 1(

发散

).

于是

,

幂级数

的收敛域是

_[−1,1).

3. ⻬次线性方程组

     λx1+ x2+ x3= 0, x1+ λx2+ x3= 0, x1+ x2+ x3= 0

只有零解，则

_λ

应满足的条件是

.

解

. 方程个数与未知量个数相等时，

A x = 0

只有零解的充分必要条件是

|A| ̸= 0

．因

为此时

|A| = λ 1 1 1 λ 1 1 1 1 = λ − 1 0 0 0 λ − 1 0 1 1 1 = (λ − 1)2_,

所以此题应填

_{λ ̸= 1.}

4. 设随机变量

X

的分布函数为

F(x ) =        0, x< 0, A sin x , 0¶ x ¶ π 2, 1, x>π 2,

则

A=

，

P n |X | <π 6 o =

．

解

. 由于随机变量

X

的分布函数

F(x )

是右连续函数，令

lim x→π/2+F(x ) = F (π/2)

，得

到

A= 1

．从而

P n |X | <π 6 o = Pn−π 6 < X ¶ π 6 o = F π 6 − F −π 6 = sinπ 6 = 1 2.

(17)

5. 设随机变量

X

的数学期望

E(X ) = µ,

方差

D(X ) = σ2,

则由切比雪夫

(Chebyshev)

不等式

,

有

P{|X − µ| ¾ 3σ} ¶

．

解

. 由切比雪夫不等式

P{|X − E X | ¾ ϵ} ¶D X ϵ2 ,

有

P{|X − µ| ¾ 3σ} ¶ σ2 (3σ)2 = 1 9.

二、选择题（本题满分

15

分

,

每小题

3

分）

1. 设

f(x ) = 2x+ 3x− 2,

则当

x→ 0

时

· · · ( ) (A) f (x )

与

x

是等价无穷小量．

(B) f(x )

与

x

是同阶但非等价无穷小量．

(C) f (x )

是比

x

较高阶的无穷小量．

(D) f(x )

是比

x

较低阶的无穷小量．

解

. 由洛必达法则有

lim x→0 f(x ) x = limx→0 2x_{+ 3}x_{− 2} x = limx→0 2x_{ln 2}_{+ 3}x_{ln 3} 1 = ln2 + ln3 = ln6.

所以

f(x )

与

x

是同阶但非等价无穷小量．应选

(B)

．

2. 在下列等式中

,

正确的结果是

· · · ( ) (A) ∫ f′(x )dx = f (x )

．

(B) ∫ d f(x ) = f (x )

．

(C) d dx ∫ f (x )dx = f (x )

．

(D) d ∫ f(x )dx = f (x )

．

解

. 由不定积分的概念和性质可知：

_∫ f′(x )dx = ∫ d f(x ) = f (x ) + C

，故

(A)

和

(B)

错误；

d ∫ f(x )dx = f (x )dx

，故

(D)

错误；

d dx ∫ f(x )dx = ∫ f(x )dx ′ = f (x )

，故应选

(C).

3. 同试卷一第二

[5]

题．

4. 设

A

和

B

均为

n× n

矩阵

,

则必有

· · · ( ) (A)|A + B| = |A| + |B|

．

(B) AB= B A

．

(C)|AB | = |B A|

．

(D)(A + B)−1= A−1+ B−1

．

解

. 由行列式乘法公式有

|AB| = |A| · |B| = |B| · |A| = |B A|

，应选

(C).

(18)

5. 以

A

表示事件“甲种产品畅销

,

乙种产品滞销”

,

则其对立事件

A

为

· · · ( ) (A)

“甲种产品滞销

,

乙种产品畅销”．

(B)

“甲、乙两种产品均畅销”

．

(C)

“甲种产品滞销”

．

(D)

“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．

解

. 设事件

B=

“甲种产品畅销”

,

事件

C =

“乙种产品滞销”

,

则事件

A=

“甲种产品畅销

,

乙种产品滞销”

可表示为

_A_{= BC}

．则

A= BC = B ∪ C =

“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．

因此应选

(D).

三、计算题（本题满分

15

分，每小题

5

分）

1. 求极限

lim x→∞ sin1 x + cos 1 x x

．

解

. 这是

1∞

型未定式求极限．设

u= 1 x,

则当

x→ ∞

时

, u→ 0.

于是

lim x→∞ sin1 x + cos 1 x x = lim u→0(sin u + cos u) 1 u = exp lim u→0 ln(sin u + cos u) u .

由等价无穷小量代换以及洛必达法则得

lim u→0 ln(sin u + cos u) u = limu→0 sin u+ cos u − 1 u = limu→0 cos u− sin u 1 = 1.

所以

lim x→∞ sin1 x + cos 1 x x = e1_{= e.}

2. 已知

z= f (u, v ), u = x + y, v = x y,

且

f(u, v )

的二阶偏导数都连续

.

求

∂ 2_z ∂ x ∂ y.

解

. 由复合函数求导法则

, ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x = ∂ f ∂ u + y ∂ f ∂ v.

继续求偏导数，得到

∂2_z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ u + y ∂ f ∂ v = ∂2f ∂ u2 ∂ u ∂ y + ∂2_f ∂ u∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ v + y ∂2_f ∂ v ∂ u ∂ u ∂ y + ∂2_f ∂ v2 ∂ v ∂ y = ∂2f ∂ u2+ x ∂2_f ∂ u∂ v + ∂ f ∂ v + y ∂2_f ∂ u∂ v + x y ∂2_f ∂ v2 = ∂2f ∂ u2+ (x + y ) ∂2_f ∂ u∂ v + x y ∂2_f ∂ v2+ ∂ f ∂ v

(19)

3. 求微分方程

y′′+ 5y′+ 6y = 2e−x

的通解

.

解

. 微分方程

y′′+ 5y′+ 6y = 2e−x

对应的⻬次方程

y′′+ 5y′+ 6y = 0

的特征方程为

r2+ 5r + 6 = 0.

特征根为

r1= −2, r2= −3,

故对应⻬次微分方程的通解为

C1e−2x+ C2e−3x.

设所给非⻬次方程的特解为

y∗(x ) = Ae−x,

代入方程比较系数，得

A= 1

．故所

求方程的通解为

y = C1e−2x+ C2e−3x+ e−x, C1, C2

为任意常数

.

四、（本题满分

9

分）

设某厂家打算生产一批商品投放市场

.

已知该商品的需求函数为

P = P (x ) = 10e−x2_,

且最大需求量为

6,

其中

x

表示需求量

,P

表示价格

. (1)

求该商品的收益函数和边际收益函数．

(2)

求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格．

(3)

画出收益函数的图形．

解

.

(1)

收益函数

R(x ) = x P = 10x e−x2, 0¶ x ¶ 6.

边际收益函数

M R =d R dx = 5(2 − x )e −x 2_. (2)

由

dR dx = 5(2 − x )e −x 2 = 0,

得

_x= 2.

又

d2_R dx2 x=2 =5 2(x − 4)e −x 2 x=2= − 5 e< 0.

因此

_R_{(x )}

在

_x_{= 2}

取极大值

.

又因为极值点惟一

,

故最大值就是

R(2) = 20 e .

于是

,

当生产量为

2

时

,

收益取最大值

,

收益最大值为

20 e .

而相应的价格为

10 e . (3)

由以上分析可列下表

,

并画出收益函数的图形

. x [0,2) 2 (2,4) 4 (4,6] R′ + 0 − − − R′′ − − − 0 + R ↑,

凸

极大值

20_e ↓,

凸

拐点

4,40_e2 ↓,

凹

(20)

五、（本题满分

9

分）

已知函数

_f_{(x ) =} ¨ x , 0¶ x ¶ 1, 2− x , 1 ¶ x ¶ 2.

试计算下列各题：

(1) S0= ∫ 2 0 f(x )e−xdx

；

(2) S1= ∫ 4 2 f(x − 2)e−xdx

；

(3) Sn= ∫ 2n+2 2n f(x − 2n)e−xdx(n = 2,3,···); (4) S= ∞ ∑ n=0 Sn.

解

.

(1) f(x )

为分段函数

,

由定积分的性质

, S0= ∫ 2 0 f(x )e−xdx= ∫ 1 0 f(x )e−xdx+ ∫ 2 1 f(x )e−xdx = ∫ 1 0 x e−xdx+ ∫ 2 1 (2 − x )e−x_dx _{= (1 − 2e}−1_{) + e}−2_{= (1 − e}−1₎2 . (2)

用定积分换元法

,

令

x− 2 = t ,

则有

S1= ∫ 4 2 f (x − 2)e−xdx= ∫ 2 0 f(t )e−(t +2)dt = e−2 ∫ 2 0 f(t )e−tdt = S0e−2. (3)

用定积分换元法

,

令

x− 2n = t ,

则有

Sn= ∫ 2n+2 2n f(x − 2n)e−xdx= ∫ 2 0 f(t )e−(t +2n)dt = ∫ 2 0 f(t )e−tdt = S0e−2n. (4)

利用以上结果，有

S= ∞ ∑ n=0 Sn= ∞ ∑ n=0 S0e−2n= S0 ∞ ∑ n=0 e−2n= S0 1− e−2 = e2_S 0 e2− 1= e− 1 e+ 1.

六、（本题满分

6

分）

假设函数

f(x )

在

[a, b ]

上连续

,

在

(a, b )

内可导

,

且

f′(x ) ¶ 0,

记

F(x ) = 1 x− a ∫ x a f (t )dt ,

证明在

_{(a, b )}

内

,F′(x ) ¶ 0.

(21)

解

. 对

F(x ) = _x_−a1 ∫_axf(t )dt

求导得

F′(x ) =− ∫x a f(t )dt (x − a)2 + f(x ) x− a = (x − a)f (x ) −∫_ax f(t )dt (x − a)2 .

证法一：由积分中值定理，

_{∃ξ ∈ (a, x )}

使得

∫x a f (t )dt = f (ξ)(x − a),

所以

F′(x ) = (x − a)f (x ) − f (ξ)(x − a) (x − a)2 = f (x ) − f (ξ) x− a .

又因为

_f′_{(x ) ¶ 0,a < ξ < x ,}

_故有

_f_{(x ) − f (ξ) ¶ 0,}

_所以

_F′_{(x ) ¶ 0.}

证法二：令

g(x ) = (x − a)f (x ) −∫_ax f(t )dt ,

则

g′(x ) = f (x ) + (x − a)f′(x ) − f (x ) = (x − a)f ′(x ).

因为

_x _{> a, f}′_{(x ) ¶ 0,}

_所以

_g′_{(x ) ¶ 0,}

_即

_g_{(x )}

_在

_{(a, b )}

_{上单调递减}

_,

_所以

_g_{(x ) ¶} g(a) = 0

，从而

F′(x ) = g(x ) (x − a)2 ¶ 0.

七、（本题满分

5

分）

已知

_X _{= AX + B}

，其中

_A₌    0 1 0 −1 1 1 −1 0 −1   , B =    1 −1 2 0 5 −3   

，求矩阵

_{X .}

解

. 方法一：由

X = AX + B

，得

(E − A)X = B

．因为

(E − A)−1=    1 −1 0 1 0 −1 1 0 2    −1 =1 3    0 2 1 −3 2 1 0 −1 1   ,

所以

X = (E − A)−1B =1 3    0 2 1 −3 2 1 0 −1 1       1 −1 2 0 5 −3    =    3 −1 2 0 1 −1   .

方法二：由

_{(E − A)X = B}

，作初等行变换

_{(E − A}...B) → (E...X)

，

(E − A...B) =      1 −1 0 ... 1 −1 1 0 −1 ... 2 0 1 0 2 ... 5 −3     →      1 −1 0 ... 1 −1 0 1 −1 ... 1 1 0 0 3 ... 3 −3     →      1 0 0 ... 3 −1 0 1 0 ... 2 0 0 0 1 ... 1 −1     

所以

X =    3 −1 2 0 1 −1   .

八、（本题满分

6

分）

设

_α₁_{= (1,1,1),α}₂_{= (1,2,3),α}₃_{= (1,3, t ).}

(22)

(1)

问当

t

为何值时

,

向量组

α1,α2,α3

线性无关？

(2)

问当

t

为何值时

,

向量组

α1,α2,α3

线性相关？

(3)

当向量组

α1,α2,α3

线性相关时

,

将

α3

表示为

α1

和

α2

的线性组合．

解

.

n

个

n

维向量

α1,α2,··· ,αn

线性相关的等价条件是

|α1,α2,··· ,αn| = 0.

由于

|α1,α2,α3| = 1 1 1 1 2 3 1 3 t = t − 5,

故当

_t _{̸= 5}

时

,

向量组

α1,α2,α3

线性无关；

t = 5

时向量组

α1,α2,α3

线性相关

.

当

_t _{= 5}

时

,

设

x1α1+ x2α2= α3

，将坐标代入得到

     x1+ x2= 1, x1+ 2x2= 3, x1+ 3x2= 5.

解出

_x₁_{= −1, x}₂_{= 2.}

即

_α₃_{= −α}₁_{+ 2α}₂.

九、（本题满分

5

分）

设

A=    −1 2 2 2 −1 −2 2 −2 −1   . (1)

试求矩阵

A

的特征值；

(2)

利用

(1)

小题的结果

,

求矩阵

E + A−1

的特征值

,

其中

E

是

3

阶单位矩阵．

解

.

(1)

对矩阵

A

的特征行列式作若干次初等变换，得到

|λE − A| = λ + 1 −2 −2 −2 λ + 1 2 −2 2 λ + 1 = λ − 1 −2 −2 λ − 1 λ + 1 2 0 2 λ + 1 = λ − 1 −2 −2 0 λ + 3 4 0 2 λ + 1 = (λ − 1) λ + 3 4 2 λ + 1 = (λ − 1) 2_{(λ + 5),}

故矩阵

A

的特征值为

1, 1,−5

．

(2)

设

λ

为

A

的特征值

,

则存在非零向量

α

使

Aα = λα,

从而

E + A−1α = 1+1 λ α

即

1+1 λ

是

E+ A−1

的特征值

.

由

(1)

已知

A

的特征值是

1, 1,−5

，因此

E + A−1

的

特征值是

2, 2, 4 5

．

(23)

十、（本题满分

7

分）

已知随机变量

_X

和

_Y

的联合密度为

f (x , y ) =    e−(x +y ), 0< x < +∞,0 < y < +∞, 0,

其他

.

试求：

(1) P{X < Y }

；

(2) E(X Y )

．

解

.

(1)

所求概率等于对应区域上的二重积分

P{X < Y } = ∫ ∫ x<y f (x , y )dx dy = ∫ +∞ 0 e−ydy ∫ y 0 e−xdx = ∫ +∞ 0

e−y(1 − e−y)dy =− e−y +1 2e −2y+∞ 0 = 1 2. (2)

由二维连续型随机变量的数学期望定义得

E(X Y ) = ∫ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ x y f(x , y )dx dy = ∫ +∞ 0 ∫ +∞ 0 x y e−(x +y )dx dy = ∫ +∞ 0 x e−xdx ∫ +∞ 0 y e−ydy .

由分部积分法有

∫ +∞ 0 y e−ydy = − ∫ +∞ 0 y d e−y=− y e−y+∞ 0 + ∫ +∞ 0 e−ydy =− y e−y+∞ 0 + − e−y+∞ 0 .

由洛必达法则

,

对

∞ ∞

型极限

,

有

ylim→+∞y e −y _{= lim} y→+∞ 1 ey = 0.

所以有

E(X Y ) = 1

．

十一、（本题满分

8

分）

设随机变量

_X

在

_[2,5]

上服从均匀分布

,

现在对

X

进行三次独立观测

,

试求至少

有两次观测值大于

3

的概率

.

解

. 以

A

表示事件“对

X

的观测值大于

3

”．依题意

, X

的概率密度函数为

f (x ) =    1 3, 2¶ x ¶ 5, 0,

其他

.

因此

_p_{= P (A) = P {X > 3} =}∫5 3 1 3dx= 2 3

．设随机变量

Y

表示三次独立观测中观

测值大于

3

的次数．则

Y

服从参数

n= 3, p =2 3

的二项分布．因此所求的概率

等于

P{Y ¾ 2} = P {Y = 2} + P {Y = 3} = C₃2 ₂ 3 2₁ 3 + ₂ 3 3 =20 27.

(24)

一九八九年考研数学试卷五解答

一、填空题（本题满分

15

分，每小题

3

分）

1. 同试卷四第一

[1]

题．

2. 某商品的需求量

Q

与价格

p

的函数关系为

Q = apb

，其中

a

和

b

为常数，且

a ̸= 0

，则需求量对价格

p

的弹性是

.

解

.

b

．

3. 行列式

1 −1 1 x− 1 1 −1 x + 1 −1 1 x− 1 1 −1 x+ 1 −1 1 −1 = .

解

.

x4

．

4. 设随机变量

X1, X2, X3

相互独立，其中

X1

在

[0,6]

上服从均匀分布，

X2

服从正态

分布

N(0,22)

，

X3

服从参数为

λ = 3

的泊松分布，记

Y = X1−2X2+3X3

，则

D Y = .

解

.

46

．

5. 同试卷四第一

[4]

题．

二、选择题（本题满分

15

分，每小题

3

分）

1. 同试卷四第二

[1]

题．

2. 同试卷四第二

[2]

题．

3. 同试卷一第二

[5]

题．

4. 设

n

元⻬次线性方程组

AX = 0

的系数矩阵

A

的秩为

r

，则

AX = 0

有非零解的

充分必要条件是

_{· · · (} ) (A) r = n

．

(B) r < n

．

(C) r ¾ n

．

(D) r > n

．

解

. 应选

(B).

5. 同试卷四第二

[5]

题．

三、计算题（本题满分

20

分，每小题

5

分）

1. 求极限

lim x→+∞(x + e x₎1x

．

(25)

解

.

e

．

2. 已知

z= apx2−y2

，其中

a > 0, a ̸= 1

，求

dz .

解

.

pz ln a x2− y2(x dx − y dy )

．

3. 求不定积分

∫ x+ ln(1 − x ) x2 dx

．

解

.

1− 1 x ln(1 − x ) + C

．

4. 求二重积分

∫ ∫ D 1− x2_{− y}2 1+ x2+ y2dx dy

，其中

D

是

x 2_{+ y}2_{= 1,x = 0}

_和

_y _{= 0}

_所围成

的区域在第Ⅰ象限部分

.

解

.

π 2 ln 2−1 2

．

四、（本题满分

6

分）

已知某企业的总收入函数为

_R _{= 26x − 2x}2_{− 4x}3

_{，总成本函数为}

C = 8x + x2

，

其中

_x

表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际成本函数、以及企

业获得最大利润时的产量和最大利润．

解

.

(1)

利润函数

L= 18x − 3x2− 4x3

．

(2)

边际收入函数

M R = 26x − 4x − 12x2. (3)

边际成本函数

M C = 8 + 2x

．

(4)

当产量为

1

时，获得最大利润

11

．

五、（本题满分

12

分）

已知函数

_y ₌ 2x2 (1 − x )2

，试求其单调区间、极值点、及图形的凹凸性、拐点和渐

近线，并画出函数的图形

.

解

.

(1)

区间

(−∞,0)

和

(1,+∞)

是函数的单调减区间；区间

(0,1)

是函数的单调增

区间；

_x _{= 0}

是函数的极小值点，极小值为

0

．

(2)

在

(−∞,−1/2)

上函数图形凸，在

(−1/2,1)

和

(1,+∞)

上函数图形凹

.

点

(−1/2,2/9)

是该曲线的拐点．

(3) y = 2

为函数图形的水平渐近线；

x = 1

为函数的图形的铅垂渐近线．

(4)

函数图形如下：

(26)

六、（本题满分

5

分）

同试卷四第七题．

七、（本题满分

6

分）

同试卷四第八题．

八、（本题满分

5

分）

同试卷四第九题．

九、（本题满分

8

分）

已知随机变量

_X

和

_Y

的联合分布为

(x , y ) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) P{X = x , Y = y } 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15

试求：

(1) X

的概率分布；

(2) X + Y

的概率分布；

(3) Z = sinπ(X + Y ) 2

的数学

期望

.

解

.

(1) X

的概率分布：

X 0 1 2 P{X = x } 0.25 0.45 0.30 (2) X+ Y

的概率分布：

X + Y 0 1 2 3 P{X + Y = s } 0.10 0.40 0.35 0.15 (3) Z = sinπ(X + Y ) 2

的数学期望

E Z = 0.25

．

.

十、（本题满分

8

分）

(27)

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同

一指数分布，分布密度为

f(x ) =    1 600e −x /600_, _x_{> 0,} 0, x¶ 0.

试求：在仪器使用的最初

200

小时内，至少有一只电子元件损坏的概率

α.

解

. 概率

α = 1 − e−1

．

(28)

一九九〇年考研数学试卷四解答

一、填空题（本题满分

15

分，每小题

3

分）

1. 极限

lim n→∞ Æ n+ 3pn−Æn−pn = .

解

.

lim n→∞ p n+ 3pn−pn−pn 1 = lim_n→∞ p n+ 3pn−pn−pn·pn+ 3pn+pn−pn p n+ 3pn+pn−pn = lim_n_→∞ n+ 3 p n− n +pn p n+ 3pn+pn−pn = lim n→∞ 4 q 1+p3 n + q 1−p1 n = 4 1+ 1= 2.

2. 设函数

f(x )

有连续的导函数

, f(0) = 0, f′(0) = b ,

若函数

F(x ) =    f (x ) + a sin x x , x̸= 0, A, x = 0

在

x= 0

处连续

,

则常数

A= .

解

. 由于

F(x )

在

x= 0

处连续

,

故

A= F (0) = lim x→0F(x ).

又

f(x )

在点

0

处导数存在

,

所

以

_A_{= lim} x→0 f(x ) + a sin x x = limx→0 f′(x ) + a cos x 1 = b + a.

3. 曲线

y = x2

与直线

y = x + 2

所围成的平面图形的面积为

.

解

. 两条曲线的交点为

x = −1

和

x= 2,

故所求面积为

S= ∫ 2 −1 (x + 2 − x2_{)dx =} ₁ 2x 2_{+ 2x −}1 3x 3 2 −1= 9 2.

4. 若线性方程组

               x1+ x2= −a1, x2+ x3= a2, x3+ x4= −a3, x4+ x1= a4

有解

,

则常数

a1, a2, a3, a4

应满足条件

.

(29)

解

. 方程组有解

_ ⇔ r (A) = r (A...b),

对

(A...b)

作初等行变换，

     1 1 0 0 −a₁ 0 1 1 0 a2 0 0 1 1 −a₃ 1 0 0 1 a4      →       1 1 0 0 −a₁ 0 1 1 0 a2 0 0 1 1 −a₃ 0 −1 0 1 a₁+ a₄       →       1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 −a1 a2 −a3 a1+ a2+ a4      →       1 1 0 0 a1 1 1 0 a2 1 1 −a₃ 0 a1+ a2+ a3+ a4      

为使

r(A) = r (A...b),

常数

a1, a2, a3, a4

应满足条件：

a1+ a2+ a3+ a4= 0.

5. 一射手对同一目标独立地进行四次射击

,

若至少命中一次的概率为

80 81,

则该射

手的命中率为

.

解

. 用随机变量

X

表示射手独立地进行四次射击命中目标的次数，

p

表示一次射

击的命中率，则

_X _{∼ B(4,p)}

．依题意

_P_{{X = 0} = 1 −} 4 ∑ k=1 P{X = k} = 1 81

，从而

(1 − p)4₌ 1 81

，解得

p= 2 3

．

二、选择题（本题满分

15

分，每小题

3

分）

1. 设函数

f(x ) = x · tan x · esin x,

则

f(x )

是

· · · ( ) (A)

偶函数．

(B)

无界函数．

(C)

周期函数．

(D)

单调函数．

解

. 由于

lim x→π2

x·tan x ·esin x = +∞

，故

f(x )

无界．或令

xn= 2nπ+

π 4(n = 1,2,···)

，则

有

lim n→∞f(xn) = limn→∞xne p 2/2_{= +∞}

_，可⻅

_f_{(x )}

_{是无界函数}

_.

_应选

_(B).

2. 设函数

f(x )

对任意

x

均满足等式

f(1 + x ) = a f (x ),

且有

f′(0) = b ,

其中

a , b

为

非零常数

,

则

· · · ( ) (A) f (x )

在

x = 1

处不可导．

(B) f(x )

在

x= 1

处可导，且

f ′(1) = a

．

(C) f (x )

在

x = 1

处可导，且

f′(1) = b

．

(D) f(x )

在

x= 1

处可导，且

f′(1) = a b

．

解

. 由导数的定义有

f′(1) = lim h→0 f (1 + h) − f (1) h = limh→0 a f(h) − a f (0) h = a limh→0 f(h) − f (0) h = a b.

应选

(D).

(30)

3. 向量组

α1,α2,··· ,αs

线性无关的充分条件是

· · · ( ) (A)α1,α2,··· ,αs

均不为零向量．

(B)α1,α2,··· ,αs

中任意两个向量的分量不成比例．

(C)α₁,α₂,··· ,α_s

中任意一个向量均不能由其余

s− 1

个向量线性表示．

(D)α₁,α₂,··· ,α_s

中有一部分向量线性无关．

解

.

(A), (B), (D)

均是必要条件非充分条件

.

比如向量组

(1,0),(0,1),(1,1)

线性相关

,.

但

(A), (B), (D)

均成立

.

故选

(C).

4. 设

A, B

为两随机事件

,

且

B⊂ A,

则下列式子正确的是

· · · ( ) (A) P(A + B) = P (A)

．

(B) P(AB) = P (A)

．

(C) P(B|A) = P (B)

．

(D) P(B − A) = P (B) − P (A)

．

解

.

(A)

因为

B⊂ A,

所以

A+ B = A,

于是有

P(A + B) = P (A)

，故

(A)

正确

.

(B)

因为

B⊂ A,

所以

P(AB) = P (B),

而不是

P(AB) = P (A)

，故

(B)

错误

. (C)

因为

B⊂ A,

由

P(B|A) =P(AB) P(A) = P(B) P(A)

，未必等于

P(B)

，故

(C)

错误

. (D)

因为

B⊂ A,

所以

P(B − A) = 0,

未必等于

P(B) − P (A)

，故

(D)

错误

.

5. 设随机变量

X

和

Y

相互独立

,

其概率分布为

m −1 1 P{X = m} 1/2 1/2 m −1 1 P{Y = m} 1/2 1/2

则下列式子正确的是

_{· · · ·(} ) (A) X = Y

．

(B) P{X = Y } = 0

．

(C) P{X = Y } =1 2

．

(D) P{X = Y } = 1

．

解

.

P{X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = P {X = −1} · P {Y = −1} + P {X = 1} · P {Y = 1} =1 2× 1 2+ 1 2× 1 2= 1 2.

故选

(C)

，而

(B)

和

(D)

是错误的．随机变量的概率分布相同，并不能说事件

X

与事件

Y

是同一事件，故

(A)

错误．

三、计算题（本题满分

20

分，每小题

5

分）

1. 求函数

I(x ) = ∫ x e ln t t2− 2t + 1dt

在区间

[e,e 2_]

_{上的最大值}

_.

解

. 在

x∈ [e,e2]

上

,I′(x ) = ln x x2− 2x + 1= ln x (x − 1)2 > 0

，因此函数

I(x )

在

[e,e 2_]

_上单调

(31)

增加

,

最大值为

I(e2). I(e2) = ∫ e2 e ln t (t − 1)2dt = − ∫ e2 e ln t d ₁ t − 1 = − ln t t − 1 e2 e + ∫ e2 e dt t(t − 1)= − 2 e2− 1+ 1 e− 1+ ∫ e2 e ₁ t − 1− 1 t dt = 1 e+ 1+ ln(e 2_{− 1) − 2 − [ln(e − 1) − 1] = −} e e+ 1+ ln(e + 1).

2. 计算二重积分

∫ ∫ D x e−y2dx dy ,

其中

D

是曲线

y = 4x2

和

y = 9x2

在第一象限

所围成的区域

.

解

. 区域

D

是无界区域，从而

∫ ∫ D x e−y2dx dy = ∫ +∞ 0 e−y2dy ∫ p_y_/2 p_y_/3 x dx = 1 2 ∫ +∞ 0 ₁ 4y− 1 9y e−y2dy = 5 72 ∫ +∞ 0 y e−y2dy = 5 144 ∫ +∞ 0 e−tdt = 5 144(1 − 0) = 5 144.

3. 求级数

∞ ∑ n=1 (x − 3)n n2

的收敛域

.

解

. 因为

lim n→∞ a_an_n+1 = limn→∞ 1/(n + 1) 2 1/n2 = limn→∞ n2 (n + 1)2 = 1

，所以当

−1 < x − 3 < 1,

即

2< x < 4

时级数绝对收敛．当

x = 2

时

,

得交错级数

∞ ∑ n=1 (−1)n 1 n2

，收敛；当

x = 4

时

,

得正项级数

∞ ∑ n=1 1 n2,

也收敛．于是原级数的收敛域为

[2,4]

．

4. 求微分方程

y′+ y cos x = (ln x )e−sin x

的通解

.

解

. 所给方程为一阶线性微分方程

,

它的通解为

y = e− ∫ cos x dx ∫ e−sin xln x e ∫ cos x dx dx+ C = e−sin x ∫ ln x dx+ C = e−sin x_{[x ln x − x + C ].}

四、（本题满分

9

分）

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告

,

根据统计资料

,

销

售收入

R (

万元

)

与电台广告费用

x1(

万元

)

及报纸广告费用

x2(

万元

)

之间的关

系有如下经验公式

: R= 15 + 14x1+ 32x2− 8x1x2− 2x12− 10x 2 2.

(32)

(1)

在广告费用不限的情况下

,

求最优广告策略；

(2)

若提供的广告费用为

1.5

万元

,

求相应的最优广告策略

.

解

.

(1)

利润为销售收入减去成本

,

所以利润函数为

π = 15 + 14x1+ 32x2− 8x1x2− 2x12− 10x 2 2− (x1+ x2) = 15 + 13x1+ 31x2− 8x1x2− 2x₁2− 10x₂2.

由多元函数极值点的必要条件

,

有

       ∂ π ∂ x1 = −4x1− 8x2+ 13 = 0, ∂ π ∂ x2 = −8x1− 20x2+ 31 = 0,

解得

_x₁_{= 0.75, x}₂_{= 1.25.}

因驻点惟一

,

且实际问题必有最大值

,

故投入电台广告

费用

0.75

万元

,

报纸广告费用

1.25

万元可获最大利润

. (2)

若广告费用为

1.5

万元

,

则应当求利润函数在

x1+ x2= 1.5

时的条件最大值

.

拉格朗日函数

L(x1, x2,λ) = 15 + 13x1+ 31x2− 8x1x2− 2x₁2− 10x₂2+ λ(x1+ x2− 1.5).

对它求各个偏导数得到方程组

               ∂ L ∂ x1 = −4x1− 8x2+ 13 + λ = 0, ∂ L ∂ x2 = −8x1− 20x2+ 31 + λ = 0, ∂ L ∂ λ = x1+ x2− 1.5 = 0

解得

_x₁_{= 0, x}₂_{= 1.5.}

因驻点惟一

,

且实际问题必有最大值

,

故应将广告费

1.5

万

元全部用于报纸广告

,

可使利润最大

.

五、（本题满分

6

分）

设

f(x )

在闭区间

[0, c ]

上连续

,

其导数

f′(x )

在开区间

(0, c )

内存在且单调减少；

f(0) = 0,

试应用拉格朗日中值定理证明不等式

: f(a + b ) ¶ f (a)+ f (b ),

其中常数

a b

满足条件

0¶ a ¶ b ¶ a + b ¶ c .

解

. 方法

1

：由拉格朗日中值定理

f(a + b ) − f (a) − f (b ) = [f (a + b ) − f (b )] − [f (a) − f (0)] = f′(ξ2)a − f′(ξ1)a = a[f′(ξ2) − f′(ξ1)],

其中

0< ξ₁< a ¶ b < ξ₂< a + b .

又

f′(x )

单调减少

,

故

f′(ξ2) ¶ f′(ξ1).

从而有

f(a + b ) − f (a) − f (b ) ¶ 0,

即

f(a + b ) ¶ f (a) + f (b ).

方法

2

：构造辅助函数

F(x ) = f (x ) + f (a) − f (a + x ), x ∈ [0, b ],

(33)

则

_F_{(0) = 0}

．又因为

F′(x ) = f′(x ) − f′(a + x )

且

a ¾ 0

，

f′(x )

在

(0, b )

单调减少，所以

F′(x ) ¾ 0

，于是

F(x )

在

[0, b ]

上单调递

增

,

故

F(b ) ¾ F (0) = 0,

即

f(a + b ) ¶ f (a) + f (b ),

其中

0¶ a ¶ b ¶ a + b ¶ c .

六、（本题满分

8

分）

已知线性方程组

               x1+ x2+ x3+ x4+ x5= a, 3x1+ 2x2+ x3+ x4− 3x5= 0, x2+ 2x3+ 2x4+ 6x5= b, 5x1+ 4x2+ 3x3+ 3x4− x5= 2, (1) a , b

为何值时

,

方程组有解

? (2)

方程组有解时

,

求出方程组的导出组的一个基础解系；

(3)

方程组有解时

,

求出方程组的全部解

.

解

. 对增广矩阵作初等行变换有

        1 1 1 1 1 ... a 3 2 1 1 −3 ... 0 0 1 2 2 6 ... b 5 4 3 3 −1 ... 2         →         1 1 1 1 1 ... a 1 2 2 6 ... 3a .. . b − 3a .. . 2− 2a         (1)

当

b − 3a = 0

且

2− 2a = 0,

即

a = 1, b = 3

时方程组有解

. (2)

当

a = 1, b = 3

时

,

方程组的同解方程组是

   x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 1, x2+ 2x3+ 2x4+ 6x5= 3,

由

_n_{− r (A) = 5−2 = 3,}

即解空间的维数为

3.

取自由变量为

x3, x4, x5,

则导出组的

基础解系为

_η₁_{= (1,−2,1,0,0)}T ,η2= (1,−2,0,1,0)T,η3= (5,−6,0,0,1)T. (3)

令

x3= x4= x5= 0,

得方程组的特解为

ξ = (−2,3,0,0,0)T.

因此

,

方程组的所

有解是

_{ξ + k}₁_η₁_{+ k}₂_η₂_{+ k}₃_η₃,

其中

k1, k2, k3

为任意常数

.

七、（本题满分

5

分）

已知对于

n

阶方阵

A,

存在自然数

k ,

使得

Ak= 0,

试证明矩阵

E − A

可逆

,

并写

出其逆矩阵的表达式

(E

为

n

阶单位阵

).

解

. 因为

(E − A)(E +A +A2+···+Ak−1) = Ek−Ak= E .

所以

E−A

可逆

,

且

(E − A)−1= E + A + A2+ ··· + Ak−1.