開票一路領先的對射證明 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文. 開票一路領先的對射證明 A Bijective Proof of Leading All The Way. 碩專班學生：韓淑惠撰. 指導教授：李陽明博士中華民國. 一百年. 八月. 十八日.

(2) 中文摘要本文所討論的是開票一路領先問題。假設有 A、B 兩位候選人，開票結果 A 得 m 票、B 得 n 票，m  n，且開票過程中 A 的票數一路領先 B 的票數，我們將  . 開票過程建立在平面的方格上，由(0,0)開始，A 得 1 票記錄成 (1,0) ，B 得 1 票記  . 錄成 (0,1) ，分解成路徑後，A 一路領先的開票方法數，就是對角線下的全部路徑數。但是算式及轉換步驟有點複雜，所以我們希望能建構一種簡單的模型對應來解決這個問題。本文找出 A 至少一路領先 m 票的方法數，會對應到 m×n 的全部路徑走法，最後證明這樣的對應是一對一且映成，並猜想若有多位候選人，其中一人一路領先其他候選人的開票過程，也會有相似的對應方法。. 關鍵詞：一路領先；對射證明. i.

(3) Abstract Suppose A and B are candidates for all election. A receives m votes and B receives n votes with m  n. If A stays ahead of B as the ballots are counted, we can think of a ballot permutation as a lattice path starting at (0,0), where votes for A are expressed as  .  . east (1,0) and votes for B are expressed as north (0,1) . How to calculate the number of paths that A is always in the lead? We just count these paths from (0,0) to (m,n) that are under or touch the diagonal. However, the formula of combinatorial mathematics is not easy to obtain. So we hope to construct a model to resolve this problem. In this paper, we establish a one-to-one correspondence. The ways of A to receive at least m votes are always ahead the same as counting paths from (0,0) to (m,n). Finally, we find a bijective proof in the ballot problem. If there are many candidates, it will be a similar correspondence of one candidate leading the others.. Keywords：leading all the way；bijective proof. ii.

(4) 目次中文摘要. ...................................................i. Abstract. ..................................................ii. 第1章. 前言. ...............................................1. 第1節. 研究動機. ...................................1. 第2節. 兩種開票條件方法數說明. .....................2. 第2章. 定義. 第3章. 定理證明. ...........................................9. 第4章. 轉換方法. ..........................................22. 第5章參考文獻. ...............................................6. 第1節. 函數 d 的對應方式. ..........................22. 第2節. 函數 u 的對應方式. ..........................24. 第3節. 舉例列出 3  3 和 4  3 的所有路徑對應. .........27. 第4節. 兩人開票一路嚴格領先的路徑對應方式. ........33. 第5節. 甲乙開票時有廢票產生，且甲一路領先的方法數 .38. 第6節. 三人以上的候選人開票，一人一路領先的方法數 ..39. 結論. ..............................................41. ..................................................42. iii.

(5) 第 1 章前言第1節. 研究動機. 筆者任教學校每年都會舉辦卦山自治市長選舉，今年呼聲最高人氣最旺的兩位候選人，正好是一男一女，兩方陣營的人馬非常努力到各班級拜票拉票，直到投票那天，在開票唱票時，女方候選人的開票票數一直大於等於男候選人的開票票數，票數一路領先使得女方陣營士氣高昂，最後由女生候選人當選市長。我們發現這樣的情況非常特殊，一般來說，開票計票時雙方票數應該有輸有贏，怎麼會有一方的開票數都維持一路領先，這樣的契機引起我的興趣，不知一路領先的情況是否能計算出來? 搜尋相關資料，在楊蘭芬學姊所寫的碩士論文「一個有關開票的問題」，正是討論兩人參選時的開票情況，「m+n 人投票且無人投廢票的情況下，其中一人至少得 m 票且一路領先的開票方法數，等於此人得 m 票的所有開票方法」，學姊運用了路徑方式進行對應翻轉，並證明這種對應關係是一對一且映成[5]。這篇論文研究的題目正是此次選舉發生的情況，學姐找到的對應關係需要將路徑作至 m n. mn. 少一次以上的翻轉，才能對應到一路領先方法數的結果 C n  C n1 ，雖然是用同一種方式與函數去翻轉路徑，但是多次翻轉路徑顯得有點繁複，若要對國中生說明這個題目的對應關係，在國中生沒有上過排列組合的相關課程條件下，學習和理解這類題目定要花很多時間。身為國中在職教師，能不能有更簡單易懂的方式可以對國中生講解一路領先開票問題？於是，本篇論文裡找出了更簡單的對應函數，只要向國中生說明配對方法，而且能夠一次翻轉就完成路徑對應，這方式在筆者任教的八年級課堂上試教過，多數學生都能聽懂。雖然本文對應結果和學姊論文中的最後路徑不同，但 m n. mn. 一路領先方法數 C n  C n1 是不變的，本論文會證明這個對應關係也是一對一且映成。. 1.

(6) 第2節. 兩種開票條件方法數說明. 在學姊的論文發表之前已經有相關探討與多種證明[3]，利用路徑翻轉對稱或數學歸納證明來說明開票問題，這裡依題目的假設條件分為兩種開票限制，以下作簡單的說明。 1、兩人參選，一方一路領先的開票方法數假設兩位參選人為甲和乙，將甲方得 1 票用→表示，乙方得 1 票用↑表示，將連續開票過程看成在方格上的路徑走法。如圖 1-1、1-2 是甲得 4 票，乙得 3 票的其中兩種開票過程，寫成在 4×3 格子上的路徑走法。 (4,3). (0,0). (4,3). (0,0). 圖 1-1 開票順序甲乙甲乙甲甲乙. 圖 1-2 開票順序乙乙甲甲甲乙甲. 假設目前有 m+n 張選票，沒有廢票的情況下，甲得 m 票，乙得 n 票，m  n ，. m, n  N  {0} ，將開票過程寫在 m×n 格子上的路徑，如果能保持路徑中 x 座標均大於等於 y 座標，則這樣的路徑滿足題意「一路領先」情況。 R L. P(m,n). P(m+1,n-1) Rn. R3 R2 R1. O'. O. O(0,0) 圖 1-3. 圖 1-4. 若將 m×n 格子上的全部路徑畫出，發現非好路徑(沒有一路領先)會超越通過 (0,0) 的 45 度對角線 L，所以考慮平行對角線上的違規線 R(如圖 1-3)，以違規線為對稱軸，把起點 (0,0) 對稱到 O’。設違規線上有違規點 R1 , R2 ......Rn ，任一種 2.

(7) 非好路徑的走法會經過至少一個違規點，令第一個經過的違規點為 Rt ，. t  1,2,..., n （如圖 1-4），線對稱方法如下：（1）先把非好路徑分為兩階段觀察，第一階段：起點 O 到第一個違規點 Rt ，第二階段：從 Rt 到終點 P。（2）將第一階段路徑以違規線 R 作線對稱， O  Rt 的路徑數等於 O '  Rt ，第二段階路徑不變，則所有非好路徑 O  Rt  P 都可以一對一的對應到 O '  Rt  P 。(如圖 1-5). （3）因為 O ' 與點 P 在違規線的異側，所以 O '  Rt  P 的路徑走法都是非好路徑。 R. R. P(m,n). Rn. P(m+1,n-1). Rn. 線對稱 Rt. Rt. O’. R1. O. R1. O. 圖 1-5. 說明： O '  Rt  P 路徑數＝所有(m+1)×(n-1)格子上的路徑數路徑數. 到達 Rt 前 Rt 後. 到達 Rt 前的路徑. 對稱後的路徑總數. ②. 對違規線 R 作線對稱 ①. 量＝①＋②. t+1. (t+1)+(m-t)=m+1. →的數量. t. m-t. ↑的數量. t+1. n-(t+1) t. 計算對稱後的路徑總數量=(m+1)×(n-1) ∴ O '  Rt  P 路徑數＝所有(m+1)×(n-1)格子上的路徑數. 3. t+n-(t+1)=n-1.

(8) ∴m×n 格子上的好路徑方法數＝甲得 m 票，乙得 n 票，開票過程甲一路領先的方法數＝（所有 m×n 格子上的路徑數）－（非好路徑數）＝（所有 m×n 格子上的路徑數）－（ O '  Rt  P 路徑數）＝（所有 m×n 格子上的路徑數）－（所有(m+1)×(n-1)格子上的路徑數） m n. ( m 1)  ( n 1). ＝ C m  C m 1. 1 1 m! (m  1)! m n mn ＝ C n  C n1 ＝ (m  n)! ，其中 m  n 。 1 1 (n  1)! n! n n. n n. 而且當 m  n (甲乙雙方總得票數平手) 時代入， C n  C n 1 . 1 2n 即為 C n 1 n. Catalan 數[1]。利用上述公式，推導成甲至少得 m 票的開票一路領先公式＝(甲得 m 票)＋(甲得 m+1 票)＋(甲得 m+2 票)＋……＋(甲得 m+n 票) m n. m n. m n. m n. m n. m n. m n. ＝ (C m  C m1 )  (C m 1  C m 2 )  (C m 2  C m 3 )  ......  (C m n  0) mn. mn. ＝Cm ＝Cn. ，其中 m  n 。. ＝m×n 格子上的所有路徑數. 2、兩人參選，一方一路嚴格領先的開票方法數假設共有 m+n 張選票，沒有人投廢票的情況下，甲最後得 m 票，乙得 n 票， m＞n，將開票過程寫在 m×n 格子上的路徑後，若保持路徑中 x 座標均大於 y 座標，則這樣的路徑滿足題意「一路嚴格領先」情況。這是由一位法國數學家 Joseph Louis François Bertrand (March 11, 1822 – April 5, 1900, born and died in Paris)在 1887 年提出的機率論問題[2]，要讓甲方一路嚴格領先票數的機率為何？答案是. mn 。而所有開票方法數為 C mm n ，則可以 mn. 4.

(9) 得到甲方一路嚴格領先的開票方法數為. m  n m n C m  C mm11 n  C mm 1 n 。 mn.  利用上述公式，有 m+n 人投票，甲至少得 m 票的開票一路嚴格領先方法數＝(甲得 m 票)＋(甲得 m+1 票)＋(甲得 m+2 票)＋……＋(甲得 m+n 票) ＝. m  n m n m  n  2 m  n m  n  4 m n m  n  2n m n Cm  C m1  C m  2  ......  Cmn mn mn mn mn m1 n. m1 n. ＝ (C m1  C m. m1 n. )  (C m. m 1 n. m1 n.  C m1 )  ......  (C m1n  0). m 1 n. ＝ C m 1 ，其中 m ＞ n 。＝. m m mn m n ＝ C C m mn mn n. 但是在國中的數學課程中，沒有相關章節談到路徑問題與排列組合的公式，若要在課堂上向學生說明這一個問題，不僅要花很多時間，也無法完全了解。所以，在本篇論文中以離散數學的方式說明，建構路徑模型而找到的對應函數，也會得到相同的結論。如此一來，在國中教學的老師，可以不用複雜的組合運算式，就能對學生講解這一類型的開票問題。. 5.

(10) 第 2 章定義說明甲得 m 票，乙得 n 票， m  n ，若要甲一路領先，且開完票之後至少得 m 票的方法數已知為 Cnm  n ，計票過程時將甲得一票記為”→”，乙得一票記為” ↑”，則開票過程可看成在 m  n 格子上的路徑。. 定義 1：若 Pm n 是在 m  n 格子上的路徑， m  n ，對應在直角平面座標上可看成路徑由原點 (0,0) 出發走到 (m, n) ，這裡將 Pm n 的路徑記為.  (1,0 ),甲方開出1票 Pm n  P1  P2  P3  ...  Pm  n  (m, n) ，其中 Pi   ，   (0,1),乙方開出1票 i  1,2,..., m  n 。見圖 2-1. 定義 2：在 m  n 格子上的子路徑，記為 Pi , j  Pi  Pi 1  ...  Pj ， 0  i  j  m  n ，其中 P0, 0  (0,0) ， Pi , i  Pi ， 1  i  m  n 。見圖 2-2.  P  ( 1,1)  , 若 Pi  定義 3：在 m  n 格子上的路徑轉置，記為 Pi T   i ，所以  Pi  (1, 1)  , 若 Pi  T. T. T. T. T. Pi , j  ( Pi  Pi 1  ...  Pj ) T  Pi  Pi 1  ...  Pj ，Pi , j 和Pi , j 在直角平面座標上為線對稱圖形，對稱軸方程式為 x=y。見圖 2-3.  xi  P1, i中  的數量  甲方目前總票數定義 4： i  1,2,..., m  n ，我們定義  ，若  yi  P1, i中  的數量  乙方目前總票數. 路徑 Pm n 中的子路徑 P1, i  P1  P2  ...  Pi  ( xi , yi ) 均滿足 xi  yi ，. i  1,2,..., m  n ，則稱 Pm n 為好路徑，也就是甲方開票一路領先乙方，反之則 Pm n 為非好路徑。見圖 2-4，2-5 6.

(11)  xi , j  Pi , j中  的數量定義 5： i  1,2,..., m  n ，我們定義  ，若在 Pi , j 路徑中，其  yi , j  Pi , j中  的數量. 子路徑 Pi , k 均滿足 xi , k  y i , k ， i  k  j ，則稱 Pi , j 為子好路徑。. (4,3). (4,3). (0,0). (0,0). 圖 2-1 一個 4×3 格子上的路徑 P43. 圖 2-2 路徑 P43 的一個子路徑 P2,5. 轉置. T. 圖 2-3 P43 轉置為 P43 (4,3). (4,3). (0,0) 圖 2-4 一個 4×3 格子上的好路徑. (0,0) 圖 2-5 一個 4×3 格子上的非好路徑. 定義 6：k  1,2,..., n ，在路徑 Pm n 中的所有子路徑 P1,i ，觀察 xi 和 y i 的數量關係，. . . . .  r (k )  min i xi  k  yi , i  1, 2,..., m  n  我們定義  ，若從直角平面座標觀 s (k )  max i x  y  k , i  1,2,..., m  n i i . 察路徑，可以得知 r(k)是從 y=x+(k-1)到 y=x+k 之間的第一個↑的位置， s(k)是從 y=x-(k-1)到 y=x-k 之間的最後一個→的位置。. 7.

(12) 定義 7：設 m,n,a,b 為整數，且 m  n ，a=m+k，b=n-k， k  0,1,2,..., n ，我們定義 G  所有在m  n格子上的路徑，m  n  Pmn , m  n， G '  所有在a  b格子上的好路徑，且 a  m  k，b  n  k，k  0,1, 2,.., n. ，則 (1)下降函數 d : G  G ' ， m  n ， Pm n是好路徑 Pm，若 n  T T T d ( Pmn )  P1  P2  ...  Pr(1)  ...  Pr(2)  ...  Pr ( k )  ...  Pm  n  P( m  k )( n  k )  ，若Pm n是非好路徑 . (2)上升函數 u : G '  G ， Pab 為好路徑，  P m n ，若k  0  T T T u ( Pab )   P1  P2  ...  Ps (1)  ...  Ps ( 2 )  ...  Ps ( k )  ...  Pa  b   P( a  k )(b  k )  Pm n，若k  1,2,... . (3)單位函數 I : G  G ， I ( Pmn )  Pmn. I ' : G '  G ' ， I ' ( Pab )  Pab. 8.

(13) 第 3 章定理證明定理 8：若 Pmn 不是一個好路徑(非好路徑)，且 m  n，則 r (k ) 存在， k  1,2,...,n 。證明：假設 Pmn 不是一個好路徑，且 r (k ) 不存在，則找不到 min(i)使得 xi  k  y i ， i  1,2,..., m  n ，也就是說 xi 不小於 y i ，由定義 4 可知， i  1,2,..., m  n ，若路徑 Pmn 的每一子路徑 P1,i 均滿足 xi  y i ，則 Pmn 是一個好路徑，和假設矛盾。得證若 Pmn 不是一個好路徑，則 r (k ) 存在。. ◆. 定理 9：若 Pab 為 a  b 格子上任一好路徑，且 a＞b，則 s(k)存在， k  1,2 ,... 。證明：假設 Pab 為 a  b 格子上任一好路徑，a＞b，且 s(k)不存在，則找不到 max(i)使得 xi  yi  k ， i  1,2,..., m  n 也就是說 xi 不大於 y i ，使得路徑 Pab 的每一子路徑 P1,i 均滿足 xi  yi ，  a  x m n  y m  n  b ，與題意 a＞b 矛盾，得證若 Pab 為 a  b 格子上任一好路徑，且 a＞b，則 s(k)存在。. ◆. 定理 10：若 r(k)存在，則 Pr (k )  ， k  1,2,...,n 。從直角平面座標上觀察路徑，可以得知 Pr (k ) 是從 y=x+(k-1)到 y=x+k 之間的第一個  的位置。證明：假設 Pr (k )  ， 9.

(14) 由定義 6 可知， r( k )  min i xi  k  yi , i  1,2 ,..., m  n， k  1,2,...,n ，  P1,r ( k ) 中→的總數量  k  P1,r ( k ) 中↑的總數量，. 也就是說 x r ( k )  k  y r ( k ) 。  Pr (k )  ，. 則 y r ( k ) 1  y r ( k )  x r ( k )  k  x r ( k )1  k  1 ，於是我們能找到某一 r’(k)＜r(k)-1＜r(k)，使得 xr ' ( k )  k  y r ' ( k ) ，和定義 6 產生矛盾，因為 r( k )  min i xi  k  yi , i  1,2 ,..., m  n，所以假設錯誤，得證 Pr (k ) ，k  1,2,...,n。. ◆. 定理 11：若 r(k)存在，在 Pm n 的子路徑 Pr ( k 1) 1, r ( k ) 1 中，其→與↑的數量關係為 xr ( k 1) 1, r ( k ) 1  yr ( k 1) 1, r ( k ) 1 ， k  1,2,...,n 。. 證明：在 P1,r (1) 中， xr (1)  1  y r (1) 在 P1,r ( 2) 中， xr ( 2)  2  y r ( 2) 在 P1,r (3) 中， xr (3)  3  yr (3) .... 在 P1,r (t ) 中， xr (t )  t  y r (t )  P1,r ( 2)  P1,r (1) 中， xr ( 2)  xr (1)   1   y r ( 2)  y r (1)  ， P1,r (3)  P1,r ( 2) 中， xr (3)  xr ( 2)   1   y r (3)  y r ( 2)  ，. 10.

(15) ... P1,r (t )  P1,r (t 1) 中， xr (t )  xr (t 1)   1   yr (t )  yr ( t 1)  ，. 由上述算式可得知，在 Pm n 的子路徑 Pr ( k 1)1,r ( k ) 中， xr ( k 1)1,r ( k )  1  y r ( k 1)1,r ( k ) ， k  1,2,...,n 。. 在定理 9 已知 Pr (k )  ，則 y Pr ( k )   1 ，去掉 Pr (k ) 那一票，  x r ( k 1)1,r ( k )1  y r ( k 1)1,r ( k )1，k  1,2,...,n。. ◆. 定理 12：若 r(k)存在，則 y r ( k )  xr ( k )  k ， k  1,2,...,n 。證明：由定義 6 得知 xr ( k )  k  y r ( k ) ， k  1,2,...,n 。  yr (k )  xr ( k )  k ，. 也就是說在 Pm n 的子路徑 P1,r ( k ) 中， 的總數量與  的總數量相差 k 票。 ◆. 定理 13：若 r (k ) 存在，則 Pm n 的子路徑 Pr ( k 1) 1, r ( k ) 1 是子好路徑， k  1,2,...,n 。證明：在平面直角座標上，已知 Pr (k ) 是介於直線 y=x+(k-1)到 y=x+k 之間的第一個  的位置，而 Pr ( k 1) 是介於直線 y=x+(k-2)到 y=x+(k-1)之間的第一個  的位置，所以 Pr ( k 1)1,r ( k )1 會介於直線 y=x+(k-2)到 y=x+(k-1)之間，由定理 10 得知，若 r (k ) 存在，則 xr ( k 1) 1, r ( k ) 1  yr ( k 1) 1, r ( k ) 1 ， k  1,2,...,n ，. 11.

(16) 且 Pr ( k 1) 1, r ( k ) 1 其子路徑 Pr ( k 1)1,l 均滿足 xr ( k 1)1,l  y r ( k 1)1,l ，其中. r (k  1)  1  l  r (k )  1 ，.  由定義 5 可知 Pr ( k 1 )1,r ( k )1 為子好路徑。. ◆. 奇數，如果k是奇數定理 14： r (k )   ， k  1,2,...,n 。 偶數，如果k是偶數證明：由定義 6 得知 r( k )  min i xi  k  yi , i  1,2 ,..., m  n， k  1,2,...,n 。則 xr ( k )  k  y r ( k ) ，又 xr ( k )  y r ( k )  r (k ) ， r (k )  k   xr ( k )  2 解聯立方程式得  ，已知 xr ( k ) 和y r ( k ) 均為正整數， r (k )  k  yr (k )  2 .  r (k )  k 和 r (k )  k 都為偶數，所以如果 k 是奇數，則 r(k)也是奇數，若 k 為偶數，那 r(k)也是偶數。 奇數，若k為奇數換句話說，r( k )  2 x r ( k )  k  2 y r ( k )  k   。 偶數，若k為偶數. ◆. 定理 15：假設 Pab 為 a  b 格子上任一路徑，且 a＞b，若 s(k)存在， k  1,2 ,... ，則 Ps (k )  。. 證明：假設 Ps ( k )  ，由定義 6 得知 s( k )  max i xi  yi  k ,i  1,2,...,m  n，從平面直角座標上觀察 Pab 路徑，可以得知 Ps (k ) 是從直線 y=x-(k-1)到 y=x-k 之間的最後一個  的位置，. 12.

(17) 換句話說 Ps (k ) 在 y=x-(k-1)到 y=x-k 之間的位置上方沒有任何路徑，若 Ps ( k )  ，那下一步路徑 Ps ( k )1 也必為  ，介於 y=x-(k-2)到 y=x-(k-1)之間的位置，使得 s( k  1 )  max i xi  yi  ( k  1 ),i  1,2,...,m  n，與定義矛盾， Ps (k ) 。. ◆. 定理 16：若 s(k)存在，在 Pab 的子路徑 Ps ( k 1)1, s ( k )1 中，a＞b，其→與↑的數量關係為 x s ( k 1)1, s ( k )1  y s ( k 1)1, s ( k )1 ， k  1,2 ,... 。證明：在 P1, s (1) 中， xs (1)  y s (1)  1 在 P1,s ( 2) 中， xs ( 2)  y s ( 2)  2 在 P1,s ( 3) 中， xs (3)  y s (3)  3 .... 在 P1, s (t ) 中， x s (t )  y s ( t )  t  P1, s ( 2)  P1, s (1) 中， xs ( 2 )  xs (1)    y r ( 2)  y r (1)   1 ， P1, s (3)  P1, s ( 2) 中， x s ( 3)  x s ( 2)    y s (3)  y s ( 2 )   1 ，. ... P1, s (t )  P1, s (t 1) 中， x s ( t )  x s ( t 1)    y s (t )  y s ( t 1)   1 ，. 由上述算式可得知，在 Pab 的子路徑 Ps ( k 1)1,s ( k ) 中， x s ( k 1)1, s ( k )  y s ( k 1)1,s ( k )  1 ， k  1,2 ,... 。. 13.

(18) 從定理 14 已知 Ps (k )  ，則 x Ps ( k )   1 ，去掉 Ps (k ) 那一票，  x s ( k 1)1,s ( k )1  y s ( k 1)1, s ( k )1，k  1,2 ,...。. ◆. 定理 17：若 s(k)存在，則在 Pab 的子路徑 P1,s ( k ) 中，a＞b， x s ( k )  y s ( k )  k ，. k  1,2 ,... 。證明：由定義 6 得知 xs ( k )  y s ( k )  k ， k  1,2 ,... 。  xs( k )  ys ( k )  k ，. 也就是說在 Pab 的子路徑 P1,s ( k ) 中， 的總數量與  的總數量相差 k 票。 ◆. 奇數，如果k是奇數定理 18： s (k )   ， k  1,2 ,... 。 偶數，如果k是偶數證明：由定義 6 得知 s( k )  max i xi  yi  k ,i  1,2,...,m  n， k  1,2 ,... 則 xs ( k )  y s ( k )  k ，又 xs ( k )  y s ( k )  s (k ) ， s(k )  k   xs (k )  2 解聯立方程式得  ，已知 xs ( k ) 和y s ( k ) 均為正整數， s(k )  k  ys(k )  2 .  s(k )  k 和 s(k )  k 都為偶數，所以如果 k 是奇數，則 s(k)也是奇數，若 k 為偶數，那 s(k)也是偶數。 奇數，若k為奇數換句話說，s (k )  2 x s ( k )  k  2 y s ( k )  k   。 偶數，若k為偶數. 14. ◆.

(19) Pr ( k ) T  Ps ( k ) 引理 19：若 r (k )和s(k ) 存在，則 r (k )  s(k ) ， k  1,2,... 。也就是  。 T Ps ( k )  Pr ( k ) 證明：當 k  1 時，已知 r (1)  min{i xi  1  yi，i 1,2,...., m  n} ，. s(1)  max{i xi  yi  1，i 1,2,...., m  n} ，從平面直角座標觀察路徑， Pr (1) 位在直線 y  x 和 y  x  1 之間第一個↑路徑，而 Ps (1) 位在直線 y  x 和 y  x  1 之間最後一個→路徑。 T. T. 若將 Pr (1) ， Pr (1) 會移轉成→路徑，並介於直線 y  x 和 y  x  1 之間， T. 且 Pr (1) 的下一步路徑不為↑，使得 Pr (1) 後的路徑都在 y  x  1 右下方， T. 則 Pr (1) 為直線 y  x 和 y  x  1 之間的最後一步路徑， T. 也就是說 Pr (1)  Ps (1) ……①，參考圖 3-1。 y=x+1. y=x. y=x-1 (m,n) (m+1,n-1). Pr (1). P1, r (1) 1. (0,0). 圖 3-1. 同理，因為 P1, s (1) 1 路徑為子好路徑，都在 y  x 下方， T. ∴ Ps (1) 會移轉成直線 y  x 和 y  x  1 之間第一步↑路徑， 15.

(20) T. 也就是說 Ps (1)  Pr (1) ……②，參考圖 3-1，故由①和②可知 r (1)  s(1) 成立。. 假設 k  2,3,..., t 時，命題亦成立，也就是說 r (2)  s(2) ， r (3)  s(3) ，......， r (t )  s(t ) 。則 k  t  1 時，已知 r (2)  s(2) ， r (3)  s(3) ，......， r (t )  s(t ) ，且 r (t  1)  min{i xi  (t  1)  yi，i 1, 2,...., m  n} ，. s(t  1)  max{i xi  yi  (t  1)，i 1,2,...., m  n} ，從平面直角座標觀察路徑，參考圖 3-2。 y=x+(t-1) y=x+t. y=x+2. Pr (t ). y=x-1. ...... ....... Pr ( 2) Pr (1) 1, r ( 2) 1. Ps ( 2). Pr (1) Ps (1). (0,0). Pr (1) 1, r ( 2) 1. P1, r (1) 1. 圖 3-2. 16. y=x+1. y=x-2. y=x (m,n). y=x-(t+1) y=x-t.

(21) Pr (1) 位在直線 y  x 和 y  x  1 之間第一個↑， Pr ( 2) 位在直線 y  x  1 和 y  x  2 之間第一個↑，. ......， Pr (t ) 位在直線 y  x  (t  1) 和 y  x  t 之間第一個↑，. 又 r (1) ＜ r (2) ＜......＜ r (t ) ，使得 Pr (t 1) 是位在直線 y  x  t 和 y  x  (t  1) 之間第一個↑； T. 則 Pr (1) 移轉成於直線 y  x 和 y  x  1 之間的→路徑， T. Pr ( 2) 移轉成於直線 y  x  1 和 y  x  2 之間的→路徑， ......， T. Pr (t ) 移轉成於直線 y  x  (t  1) 和 y  x  t 之間的→路徑， T. 遞移之下，使得 Pr (t 1) 會移轉成介於 y  x  t 和 y  x  (t  1) 之間的→路徑。 T. ∵ Pr (t 1) 的下一步路徑不為↑，使得 Pr (t 1) 後的路徑都在 y  x  (t  1) 右下方， T. 則 Pr (t 1) 為直線 y  x  t 和 y  x  (t  1) 之間的最後一步路徑， T. 也就是說 Pr (t 1)  Ps (t 1) ……① 同理，從平面直角座標觀察路徑， Ps (1) 位在直線 y  x 和 y  x  1 之間最後一個→， Ps ( 2) 位在直線 y  x  1 和 y  x  2 之間最後一個→，. ......， Ps (t ) 位在直線 y  x  (t  1) 和 y  x  t 之間最後一個→，. 17.

(22) 又 s (1) ＜ s (2) ＜......＜ s (t ) ，使得 Ps ( t 1) 為位在直線 y  x  t 和 y  x  (t  1) 之間的最後一個→； T. 則 Ps (1) 移轉成直線 y  x 和 y  x  1 之間第一步↑路徑， T. Ps ( 2) 移轉成直線 y  x  1 和 y  x  2 之間第一步↑路徑， ......， T. Ps (t ) 移轉成直線 y  x  (t  1) 和 y  x  t 之間第一步↑路徑，依此遞移後， ∵ P1, s (1) 1 和 Ps ( k ) 1, s ( k 1) 1 均為子好路徑， k  1,2,..., t ， T. 則 Ps ( t 1) 為直線 y  x  t 和 y  x  (t  1) 之間的第一步↑路徑， T. 也就是說 Ps (t 1)  Pr (t 1) ……② 故由①和②可知 r (t  1)  s(t  1) 。由數學歸納法得證，對所有正整數 k  1,2,...，r (k )  s(k )。. ◆. 定理 20：若 Pmn 為非好路徑， d ( Pmn )  Pab ， m  n ，則 s(k ) 會落在 a  b 的格子內部， k  1,2,..., t 。證明：由定理 8 已知若 Pmn 為非好路徑，則 r (k ) 存在， k  1,2,..., t 且在子路徑的票數增加中，下一票不是  就是  ，.  r (1) ＜ r (2) ＜……＜ r (k ) ， k  1,2,..., t T. 由定義 7(1)得知 d ( Pmn )  P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n  Pab ， k  1,2,..., t a  m  t 如圖 3-3 看出  ， b  n  t a  b  m  n ，  t  a  m  n  b ……①. 18.

(23)  n  1 ＜ n  m ＜m+t=a n  1 ＜a ……②. y=x+1 y=x+2. y=x. r(t) ...... y=x d. r(2). ...... r(1). y=x-1 y=x-2 A B s(t). s(2) s(1) (0,0) 圖 3-3. 求 A 點座標，將 y=b 代入直線方程式 y=x-(t-1).  b  x  (t  1) ，又由①知 t  n  b  x  b  (t  1)  b  (n  b)  1  n  1  A(n  1, b) ，由②可知 A 點會在 (a, b) 左方。求 B 點座標，將 y=b 代入直線方程式 y=x-t  b  x  t ，又由①知 t  n  b.  x  b  t  b  ( n  b)  n  B(n, b) ，由②可知 a  n ， B點會在(a, b)左方或等於(a, b) 而 Ps (t ) 位置介於直線 y=x-(t-1)和 y=x-t 之間，得證非好路徑 Pmn 經由函數 d 對應後的 PS (k ) 會落在 a  b 的格子內部，. k  1,2,..., t 。同理可證，路徑 Pab 經由函數 u 對應後的 Pr (k ) 會落在 m n 的格子內部。 ◆. 19. (a,b).

(24) 定理 21：(1)對於所有路徑 Pmn  G ， m  n ，則 u  d ( Pmn )  I ( Pmn )  Pmn 。 (2)對於所有路徑 Pab  G ' ，a＞b，則 d  u ( Pab )  I ' ( Pab )  Pab 。證明： (1)令 Pmn 是一個在 m n 格子上的任一路徑， m  n ， Pmn  G ， ① 若 Pmn 是好路徑，由定義 7 得到 d ( Pmn )  Pmn ，且 u ( Pmn )  Pmn  u  d ( Pmn )  u ( Pmn )  Pmn  I ( Pmn ) ② 若 Pmn 是非好路徑，由定理 8 得知 r (k ) 存在， k  1,2,..., t 。令 Pmn  P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n ，則由定義 7 可得到 d ( Pmn )  d ( P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n ) T.  P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n  P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm n ， T. ( 引理 19 得知， Pr ( k )  Ps ( k ) )  u  d ( Pmn )  u ( P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm n ) T.  P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm n  P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n ， T. ( 引理 19 得知， Ps ( k )  Pr ( k ) )  Pmn  I ( Pmn ).  對所有在 m n 格子上的任一路徑 Pmn  G ， u  d ( Pmn )  Pmn  I ( Pmn ) ，則 u 是映成函數，且 d 是一對一函數。 (2)令 Pab  G ' ，則 Pab 是一個在 a  b 格子上的好路徑， a  m  k ， 20.

(25) b  n  k ， m  n ， k  0,1,2,..., t 。. ① 若 k=0，則 Pab  Pmn 為 m n 格子上的好路徑，很顯然的，由定義 7 得知 u ( Pab )  u ( Pmn )  P mn  d  u ( Pab )  d ( Pmn )  Pmn  Pab  I ' ( Pab ). ② 若 k  1,2,..., t ， Pab 為 a  b 格子上的好路徑，且 a＞b，由定理 9 得知 s(k ) 存在，已知 a  b  (m  k )  (n  k )  m  n ，.  令 Pab  P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm n ，則由定義 7 可得到 u ( Pab )  u ( P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm  n ) T.  P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm n T.  P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n，( 引理 19 得知，Ps ( k )  Pr ( k ) )  d  u ( Pab )  d ( P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm  n ) T.  P1  P2  ...  Pr ( k )  ...  Pm n  P1  P2  ...  Ps ( k )  ...  Pm n ， T. ( 引理 19 得知， Pr ( k )  Ps ( k ) )  Pab  I ' ( Pab ).  對所有在 a  b 格子上的任一好路徑 Pab  G ' ， d  u ( Pab )  Pab  I ' ( Pab )，則 d 是映成函數，且 u 是一對一函數。. 21. ◆.

(26) 第 4 章路徑之間的轉換方法已知（共有 m+n 人投票， m  n ，則甲至少得 m 票的開票一路領先方法數）＝（m×n 格子上的所有路徑數）＝ C nm  n. 第1節. 函數 d 的對應方式. 說明如何將 m×n 格子上的所有路徑，用函數 d 對應到 (m  k )  (n  k ) 格子上的好路徑， k  0,1,2,..., n 。 1、若路徑為 m×n 格子上的好路徑，沒有超越對角線 L，就不必轉置，與自己本身對應。 2、若路徑為 m×n 格子上的非好路徑，這裡先定義通過(0,0)的 45 度對角線為 L : y  x ，平行 L 且通過(0,1)的直線為 L1 : y  x  1 ，平行 L1 且通過(0,2)的直. 線為 L2 : y  x  2 ，……，依此類推，平行 Ln  2 且通過(0,n-1)的直線為 Ln1 : y  x  ( n  1) ，如圖 4-1。所以當路徑超越 L ，形成非好路徑就需要作轉置。 Ln 1....... L2 L1 L. 圖 4-1 (1)觀察非好路徑中我們發現，甲方第一次落後乙方 1 票的路徑會在 L 的上方，. . . 也就是 Pr (1) 的位置， r( 1 )  min i xi  1  yi ,i  1,2,...,m  n 。 (2)接著再找出甲方第一次落後乙方 2 票的路徑會在 L1 的上方，介於直線 L1 和 L2. . . 之間，也就是 Pr ( 2) 的位置， r( 2 )  min i xi  2  yi ,i  1,2 ,...,m  n 。 22.

(27) (3)依此類推，甲方第一次落後乙方 k 票的路徑會在直線 Lk 1 的上方，也就是. . . Pr (k ) ， r( k )  min i xi  k  yi ,i  1,2,...,m  n 的地方， k  1,2,...,n 。 T. (4)找出所有落後票數路徑，將這些向上路徑轉置， Pr ( k )  Pr ( k )  (1,1) ，若過程中移轉了 k 票，則新的路徑會對應成為 (m  k )  (n  k ) 格子上的好路徑，. k  1,2,...,n 。 (5)如下圖 4-2 和 4-3，用手電筒照射路徑來說明 4 3 和 4  4 的其中一種壞路徑如何看出移轉的過程[6]。 ①圖 4-2 說明： (4,3) (5,2) d. (0,0). (0,0) 圖 4-2. 如圖，假設開票過程 P43  P1  P2  ...  P7  (1,0)+(0,1)+(0,1)+(1,0)+(1,0)+(1,0)+(0,1)=(4,3)，甲方最 T. 先落後乙方 1 票的路徑會在 P3 的位置， r (1)  3 ，所以將 Pr (1)  Pr (1)  (1,1) 作轉置，則移轉路徑後 T. d ( P43 )  P1  ...  Pr (1)  ...  P7  (1,0)+(0,1)+(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)+(0,1)=(5,2) ，這裡看成用手電筒以 45 度角左下往右上照射到的路徑(紅色路徑)，如圖作轉置，就成為 5  2 格子上的好路徑。. 23.

(28) ②圖 4-3 說明： (4,4) (6,2) d. (0,0). (0,0) 圖 4-3 如圖，假設開票過程. P44  P1  P2  ...  P8  (0,1)+(1,0)+(1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(1,0)+(1,0)=(4,4)，甲方第一次落後乙方 1 票的路徑會在 P1 的位置，而開始落後乙方 2 票的路徑 T. 是在 P6 的位置， r (1)  1 且 r (2)  6，將 Pr (1) 和 Pr ( 2) 做轉置，Pr (1)  Pr (1)  (1,1) T. 且 Pr ( 2)  Pr ( 2 )  (1,1) ，則移轉路徑後 T. T. d ( P44 )  Pr (1)  ...  Pr ( 2)  ...  P8  (1,0)+(1,0)+(1,0)+(0,1)+(0,1)+(1,0)+(1,0)+ (1,0)=(6,2)，這裡看成用手電筒以 45 度角左下往右上照射到的路徑(紅色部份)，如圖 4-3，就成為 6  2 格子上的好路徑。. 第2節. 函數 u 的對應方式. 說明如何將所有在 a  b 格子上的好路徑， a  m  k ， b  n  k ，. k  0,1,2,..., t ，用函數 u 對應到所有 m n 格子上的路徑， m  n 。 1、若 k  0 ，則路徑不必作轉置，直接對應到 m×n 格子上的好路徑，也就是說和自己本身對應。 2、若 k  1,2 ,... ，在 a  b 格子上的好路徑要經由函數 u 作轉置，a＞b。這裡我們先定義 L : y  x，平行 L 且通過(1,0)的直線為 K1 : y  x 1，平行 K 1 且通過(2,0) 的直線為 K 2 : y  x  2 ，……，依此類推，平行 K n2 且通過(n-1,0)的直線為 24.

(29) K n1 : y  x  (n  1) ，如圖 4-4。 L K1 K 2 …. (a,b). 圖 4-4. (0,0). (1)接下來，觀察找出 a  b 格子上的好路徑在直線 L 和 K 1 之間的最後 1 票，也就. . . 是 Ps (1) 的位置， s( 1 )  max i xi  yi  1,i  1,2 ,...,m  n 。 (2)接著再找出好路徑在直線 K 1 和 K 2 之間的最後 1 票，也就是 Ps ( 2) 的位置，. . . s( 2 )  max i xi  yi  2 ,i  1,2 ,...,m  n 。. . . (3)依此類推，找出所有 Ps (k ) 的位置， s( k )  max i xi  yi  k ,i  1,2 ,...,m  n ， T. k  1,2 ,...t 。將這些向右路徑作轉置， Ps ( k )  Ps ( k )  (1,1) ，若過程中移轉了 t 票，則新的路徑會對應成為 m  n 格子上的路徑。 (4)如下圖 4-5 和 4-6，用手電筒照射路徑來說明 8  4 和 9  3 格子中的任意一種好路徑如何看出對應過程。 ①圖 4-5 說明： (6,6) (8,4) u. (0,0) L K1 K 2. (0,0) 圖 4-5. 25.

(30) 如圖，假設開票過程為 P1  P2  P3  ......  P12  (1,0)+ (1,0)+ (0,1)+ (0,1)+ (1,0)+ (1,0)+ (0,1)+ (1,0)+ (1,0)+ (1,0)+ (0,1)+ (1,0)=(8,4)， t . 84 2， 2.  s(1)  5和s(2)  8 ，所以需要移轉的路徑會在 P5 和 P8 的位置，我們將 Ps (1) 和 T. T. Ps ( 2) 做轉置， Ps (1)  PS (1)  (1,1)且Ps ( 2)  Ps ( 2)  (1,1) ，使得路徑變成 T. T. P1  P2  ......  Ps ( 1 )  ...  PS ( 2 )  ...  P12  (1,0)+ (1,0)+ (0,1)+ (0,1)+(0,1)+ (1,0)+ (0,1)+ (0,1)+ (1,0)+ (1,0)+ (0,1)+ (1,0)=(6,6)。這裡我們看成用手電筒以 45 度角右上往左下照射到的路徑（紅色部分），如圖 4-5，就成為 6  6 格子上的路徑。. ②圖 4-6 說明： (6,6). (9,3) u (0,0). (0,0) 圖 4-6. L K1 K2 K3. 如圖，假設開票過程為 P1  P2  P3  ......  P12  (1,0)+ (0,1)+ (1,0)+ (1,0)+ (0,1)+ (1,0)+ (0,1)+ (1,0)+ (1,0)+ (1,0)+ (1,0)+ (1,0)=(9,3)， t . 93  3， 2.  s (1)  3, s (2)  8, s(3)  9 ，所以需要移轉的路徑會在 P3 、 P8 和 P9 的位置， T. T. T. Ps( 1 )  Ps( 1 )  ( 1,1、 ) Ps( 2 )  Ps( 2 )  ( 1,1、 ) Ps(3)  Ps(3)  ( 1,1 ) ，將 Ps(1) 、 Ps(2) 和 T. T. T. Ps(3) 路徑轉置後變成 P1  P2  ...  Ps( 1 )  ...  Ps( 2 )  ...  Ps(3)  ...  P12  (1,0)+. 26.

(31) (0,1)+ (0,1)+ (1,0)+ (0,1)+ (1,0)+ (0,1)+ (0,1)+ (0,1)+ (1,0)+ (1,0)+ (1,0)=(6,6)。這裡我們看成用手電筒以 45 度角右上往左下照射到的路徑（紅色），如圖作移轉，就成為 6  6 格子上的路徑。第3節. 舉例列出 3  3 和 4  3 的所有路徑對應. 1、(1)先列出 3  3 格子上的全部路徑. 3×3-1. 3×3-2. 3×3-3. 3×3-4. 3×3-5. 3×3-6. 3×3-7. 3×3-8. 3×3-9. 3×3-10. 3×3-11. 3×3-12. 3×3-13. 3×3-14. 3×3-19. 3×3-20. 3×3-15. 3×3-16. 3×3-17. 3×3-18. (2)再列出 4  2 、 5  1 、 6  0 的好路徑 4×2 的好路徑. 4×2-1. 4×2-2. 4×2-3. 4×2-4. 4×2-6. 4×2-7. 4×2-8. 4×2-9. 27. 4×2-5.

(32) 5×1 的好路徑. 5×1-1. 5×1-2. 5×1-3. 5×1-4. 5×1-5. 6×0 的好路徑. 6×0-1. (3) ① 3  3 格子上的好路徑有 5 種，與自己本身對應：有 3  3  1 ， 3  3  2 ， 3 3  3 ，3 3  5 ，3 3  6。. ② 3  3 的非好路徑有 15 種，用函數 d 對應移轉成好路徑，而移轉後的好路徑也能用函數 u 對應移轉回原本的路徑。. 3×3-4. 4×2-6. 3×3-7. 4×2-9. 3×3-8. 4×2-7. 3×3-9. 4×2-8. 3×3-10. 5×1-5. 3×3-11. 4×2-1. 3×3-12. 4×2-2. 3×3-13. 28. 4×2-3.

(33) 3×3-14. 4×2-4. 3×3-15. 4×2-5. 3×3-16. 5×1-4. 3×3-17. 5×1-1. 3×3-18. 5×1-2. 3×3-19. 5×1-3. 6×0-1 3×3-20. 2、(1)先列出 4  3 格子上的全部路徑. 4×3-1. 4×3-2. 4×3-3. 4×3-4. 4×3-5. 4×3-6. 4×3-7. 4×3-8. 4×3-9. 4×3-10. 4×3-11. 4×3-12. 4×3-13. 4×3-14. 29. 4×3-15.

(34) 4×3-16. 4×3-17. 4×3-18. 4×3-19. 4×3-20. 4×3-21. 4×3-22. 4×3-23. 4×3-24. 4×3-25. 4×3-26. 4×3-27. 4×3-28. 4×3-29. 4×3-30. 4×3-31. 4×3-32. 4×3-33. 4×3-34. 4×3-35. (2)再列出 5  2 、 6  1 、 7  0 的好路徑 5×2 的好路徑. 5×2-1. 5×2-2. 5×2-3. 5×2-4. 5×2-5. 5×2-6. 5×2-7. 5×2-8. 5×2-9. 5×2-10. 5×2-11. 5×2-12. 5×2-13. 5×2-14. 30.

(35) 6×1 的好路徑. 6×1-1. 6×1-2. 6×1-3. 6×1-4. 6×1-5. 6×1-6. 7×0 的好路徑. 7×0-1. (3) ① 4  3 格子上的好路徑有 14 種，與自己本身對應：有 4  3  1 ， 4  3  2 ， 4  3  3 ， 4  3  4， 4  3  5 ， 4  3  6， 4  3  7， 4  3  8 ， 4  3  9 ， 4  3  11 ， 4  3  12 ， 4  3  13 ， 4  3  14 ， 4  3  15 。. ② 4  3 的非好路徑有 21 種，用函數 d 對應移轉成好路徑，而移轉後的好路徑也能用函數 u 對應移轉回原本的路徑。. 4×3-10. 4×3-17. 5×2-10. 4×3-16. 5×2-11. 5×2-14. 4×3-18. 5×2-12. 4×3-19. 5×2-13. 4×3-20. 6×1-6. 4×3-21. 5×2-1. 4×3-22. 5×2-2. 31.

(36) 4×3-23. 5×2-3. 4×3-24. 5×2-4. 4×3-25. 5×2-5. 4×3-26. 5×2-6. 4×3-27. 5×2-7. 4×3-28. 5×2-8. 4×3-29. 5×2-9. 4×3-30. 6×1-5. 6×1-1 4×3-31. 6×1-2 4×3-32. 6×1-3 4×3-33. 6×1-4 4×3-34. 32.

(37) 7×0-1 4×3-35. ∴上述例子說明了 m  n 所有路徑數 Cmm  n ＝ Cnm  n ＝( m  n 的所有好路徑數)+( (m  1)  (n  1) 的所有好路徑數)+......+ ( (m  n  1)  1 的所有好路徑數)+ ( (m  n)  0 的所有好路徑數) 同理， (m  1)  (n  1) 所有路徑數 Cm( m11)  ( n 1) ＝ Cnm1 n ＝ ( (m  1)  (n  1) 的所有好路徑數)+......+ ( (m  n  1)  1 的所有好路徑數)+ ( (m  n)  0 的所有好路徑數) 兩式相減得到 m  n 的所有好路徑數＝ Cmm  n  Cmm1n ＝ Cnm  n  Cnm1n ，即有 m+n 人投票下(沒有廢票)， m  n ，甲得 m 票且一路領先的方法數。. 第4節. 兩人開票一路嚴格領先的路徑對應方式. 我們更進一步思考，若開票過程中甲方票數都一路嚴格領先乙方，也就是沒有平手的情況，是否能依此方法推導公式，並找出路徑的對應關係。假設現在只有兩位候選人，共有 m+n 人投票(沒有廢票)，m＞n，且開票過程中 xi ＞ yi ， i  1、2、......、( m  n ) ，我們稱為一路嚴格領先，則甲至少得 m 票的方法數為何？ 1、觀察一路嚴格領先的好路徑若要甲方的開票數一路大於乙方開票數，顯然開票的第一票及第二票一定都是甲方的票，如圖 4-7，所以一路嚴格領先的好路徑會在 L0 的右下方，且 xi ＞ yi ， i  1、2、......、( m  n) 。. 33.

(38) L0. (0,0). L0. (7,5). (6,5). (0,0). (1,0). 圖 4-7 2、平移一路嚴格領先的好路徑這裡我們若將 xi ＞ yi 看成 xi 1  yi ， i  1、2、......、( m  n) 。不看第一票，只觀察(1,0)到(m,n)的好路徑走法，就是對應到甲從第 2 票開票後會一路領先的路徑。於是我們將所有路徑都向左平移 1 單位，再去掉第一票，就可以相對得到(0,0)走到(m-1,n)的好路徑走法。 ∴ 由好路徑公式推導出 m×n 格子上的一路嚴格好路徑方法數＝甲得 m 票，乙得 n 票，開票過程甲一路嚴格領先的方法數＝對應成(0,0)走到(m-1,n)的好路徑走法 ( m 1) n. ( m 1) n. ＝ C ( m1)  C (m1)1 m 1 n. m 1 n. ＝ C m1  C m ＝. m 1 n. ＝ Cn. m 1 n.  C n1 ，其中 m ＞ n 。. m  n m n m  n Cm. 由此可看出，甲一路嚴格領先的機率是. mn ，這即是有名的 Bertrand's mn. ballot problem(伯特朗選票問題)，由法國數學家伯特朗所提出機率論問題（Joseph Louis François Bertrand, 1822～1900）[2]。於是，有 m+n 人投票，甲至少得 m 票的開票一路嚴格領先方法數 m1 n. m1 n. ＝ (C m1  C m m 1 n. m 1 n. ＝ C m1 ＝ C n. m1 n. )  (C m. ＝. m 1 n. m1 n.  C m1 )  ......  (C m1n  0). m mn ，其中 m ＞ n 。 C mn m. 34.

(39) 3、舉例列出有 7 人投票，甲至少得 4 票的開票一路嚴格領先對應 (1)先列出第一票為甲（向右）的所有開票路徑，一共 20 種. 4×3-1a. 4×3-2a. 4×3-3a. 4×3-4a. 4×3-5a. 4×3-6a. 4×3-7a. 4×3-8a. 4×3-9a. 4×3-10a. 4×3-11a. 4×3-12a. 4×3-13a. 4×3-14a. 4×3-15a. 4×3-16a. 4×3-17a. 4×3-18a. 4×3-19a. 4×3-20a. (2)再列出 4×2、5×1、6×0 的好路徑，共 15 種 4×2 的好路徑. 4×2-1. 4×2-2. 4×2-3. 4×2-4. 4×2-5. 4×2-6. 4×2-7. 4×2-8. 4×2-9. 35.

(40) 5×1 的好路徑. 5×1-1. 5×1-2. 5×1-3. 5×1-4. 5×1-5. 6×0 的好路徑. 6×0-1. (3)甲得 4 票，乙得 3 票的開票一路嚴格領先好路徑不做移轉，和自己本身對應（黑色路徑全在綠色 45 度對角線下），一共 5 種. 4×3-1a. 4×3-2a. 4×3-3a. 4×3-5a. 4×3-6a. (4)其他沒有一路嚴格領先的非好路徑，一共 15 種，可以同理依照上述方式作一對一移轉，對應到 4×2、5×1、6×0 的好路徑. 4×3-4a. 4×2-6. 4×3-7a. 4×3-8a. 4×2-7. 4×3-9a. 4×3-10a. 5×1-5. 36. 4×2-9. 4×2-8.

(41) 4×3-11a. 4×2-1. 4×3-12a. 4×2-2. 4×3-13a. 4×2-3. 4×3-14a. 4×2-4. 4×3-15a. 4×2-5. 4×3-16a. 5×1-4. 4×3-17a. 5×1-1. 4×3-18a. 5×1-2. 4×3-19a. 5×1-3. 37.

(42) 第5節. 甲乙開票時有廢票產生，且甲一路領先的方法數. 現實生活中，選舉開票一定有無效票的產生，這樣的廢票數量並不影響候選人的選舉結果，但開票過程中，廢票的出現會使得開票路徑出現不同的排列方式，所以若有甲乙兩位候選人，開票結果甲得 m 票，乙得 n 票， m  n ，廢票數有 c 張。因為 c 張廢票穿插在甲乙的得票中，所以廢票排列方法為 H cm  n 1 ，則 1、甲一路領先的方法數＝ (C. mn n. m n.  C n1 )  H cmn1. 2、甲一路嚴格領先的方法數＝ (C. m 1 n n. m 1 n.  C n1 )  H cmn1 mn. 3、開票總數 m+n+c 張，甲至少得 m 票且一路領先的方法數＝ C n  H cmn 1 ，其中m  n。這裡，將建構的路徑順時針旋轉 900，甲得 1 票用↗表示，乙得 1 票用↘表示，而廢票用路徑→表示，所以開票有廢票的情況如下圖：. (0,0) 開票順序甲乙廢乙廢甲甲這裡利用類似 Motzkin 路徑的表示方法來記錄，但是 Motzkin 路徑在離散數學裡是一個公認的難題，所以這裡暫時不多作討論。. 38.

(43) 第6節. 三人以上的候選人開票，一人一路領先的方法數. 兩人投票模型架構只需平面，但三人的投票路徑需要架設在立體空間中，四人以上更是不容易表達其關係，因為兩人一路領先方法數的公式為 Cnm  n  Cnm1n 1 1 m! (m  1)! ＝ (m  n)! ，這裡先大膽猜想三人一路領先方法數的公式為 1 1 (n  1)! n! 1 1 1 m! (m  1)! (m  2)! m nl  mnl    1 1 1     (m  n  l )!   (n  1)! n! (n  1)!  m, n, l   m, n  1, l  1 1 1 1 (l  2)! (l  1)! l!. m nl mnl mnl mnl                     m  1, n  1, l  2   m  1, n  1, l   m  2, n  1, l  1  m  2, n, l  2  ，而多位候選人的開票過程，由甲方一路領先的路徑方法數推論猜想其公式為 1 1 a1! (a1  1)! 1 1 (a2  1)! a2 ! (a1  a2  ...  an )!   1 1 [an 1  (n  2)]! [an 1  (n  3)]! 1 1 [an  (n  1)]! [an  (n  2)]!. ... ...  ... .... 1 1 [a1  (n  2)]! [a1  (n  1)]! 1 1 [a2  (n  3)]! [a2  (n  2)]!   1 1 an 1! (an 1  1)! 1 1 (an  1)! an !. 因為三人的路徑坐落在空間中的長方體內，並且要用對角平面去劃分好路徑，若要轉成平面模型是否可以用 Motzkin 路徑的對應方式[4]解決三人開票問題，搜尋相關資料之後，發現已經有文獻討論將 Motzkin 路徑和三人一路領先得票過程作一對一的對應[7]，更進一步架構了”立體 Motzkin 路徑”去對應到五人一路領先的開票方法數，而四人一路領先得票方法數更找到 lattice path 的規則去作對應，接著架構出來的” n 維 Motzkin 路徑”得到 n 人一路領先開票方法數的公式，解決了相關的 lattice path 和投票問題，但中間的對應規則十分複雜，一般國中生無法理解。而且發現上述的猜想三人開票公式是滿足甲一路領先乙，乙 39.

(44) 一路領先丙，但本論文是想解決三人開票時，甲一路領先乙且甲一路領先丙，乙丙在開票過程中沒有要求輸贏，能有一種簡單的一對一且映成的路徑對應關係，進而推導到多人開票，甲單一人一路領先其他候選人，才能符合現實狀況。這裡大膽推論，n 人一路領先開票方法數的公式，和 Motzkin Number 、 Catalan Number 有一種相關的對應關係，也能依照一樣的模式去做對應，將來有機會可以繼續朝這個方向研究探討。. 40.

(45) 第 5 章結論本論文將開票問題所架構出的路徑圖模型，透過函數 d 和 u 的轉換得到一種簡單直接的對應關係，而得到”共有 m+n 人投票， m  n ，則甲至少得 m 票的開票一路領先方法數”等於” m×n 格子上的所有路徑數”，並經由定理 21 證明其對應關係為一對一且映成。這樣的離散呈現方式，筆者試過在國中班級教學，七年級程度中上的學生可以清楚理解本題目。進一步此種轉換方法可以加以延伸成一路嚴格領先、開票過程有廢票等限制，或許我們也可將這樣的對應關係推廣到三人開票的三度空間路徑，四人開票問題，......，n 人開票時的 n 維空間路徑，相信會有一個有趣且簡單的結論與算式，但礙於時間與照顧家庭的考量，這個問題就留待以後再深入探討研究。. 41.

(46) 參考文獻 [1] Hilton, P.. and Pedersen, J.,. The Ballot Problem and Catalan Numbers,. Nieuw Archief voor Wiskunde 8 (1990), pp. 209-216. [2] Joseph Louis François Bertrand,. Solution d'un problème,. Comptes Rendus de. l'Académie des Sciences (1887), pp. 369. [3] Marc Renault,. Four Proofs of the Ballot Theorem,. Mathematics Magazine,. Vol.80, No.5 (2007), pp. 345-352. [4] Weisstein, Eric W., Resource.. Motzkin Number,. From MathWorld--A Wolfram Web. http://mathworld.wolfram.com/MotzkinNumber.html. [5] 楊蘭芬，一個有關開票的問題，政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士論文(2009)，台北市。 [6] 羅富僑，一個二項等式的對射證明，政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士論文(2009)，台北市。 [7] 侯宗誠、許德瑋，由蟲子問題衍生一路領先與 Motzkin 路徑之對應及推廣， 2010 台灣國際科學展覽會優勝作品專輯(2010)，台北市：國立台灣科學教育館。 [8] 戴久永，機率名題二則漫談，數學傳播，第四卷第四期(1980)，頁 17-25。. 42.

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