北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 一○三學年 下學期 招生甄試考題 考試時間:一○四年3月22日, 13:30 – 16:30,計三小時 試題若有疑問, 請於考試開始後的三十分鐘內, 舉手提交 「提問單」 詢問;之後不再接受詢 問。 A4 白紙為答案紙與計算紙, 考試結束請將答案排序, 然後提問單與計算紙排在最後 面, 再由監考人員裝訂。 答案限用黑色或藍色筆書寫, 僅作圖可使用鉛筆, 不得使用修正液 (帶), 不得使用電子計算器。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 1. 令ℜ+表所有正實數成的集合。 函數 f : ℜ+ → ℜ+定義如下 : f(x) = x 1 + x. 試問下式的值 f( 1 2015)+f ( 1 2014)+· · ·+f( 1 2)+f (1)+f (0)+f (1)+f (2)+· · ·+f(2014)+f(2015). 2. 已知凸四邊形ABCD內接於圓,點P 在它的內部。 若 ∠P AB = ∠P BC = ∠P CD = ∠P DA. 試證: AB· CD = BC · DA. 3. 已知b > a > 0,且a+ b = 1. 試問下面四個式子的大小關係 b, a+ b 2 , 2ab, a4 − b4 a− b . 4. 正整數m, n使得 m2+n2 mn+1 是整數。 求證: m2+n2 mn+1 是平方數。 5. 有三堆石子的個數分別為21, 10, 11.現進行如下操作: 每次從三堆的任意兩堆中分別取出一粒石子,然後把這兩粒石子都加到另一堆上去。 問: 能否經過若干次這樣的操作,使得 (1)三堆的石子數分別為4, 14, 24; (2)三堆的石子數均為14. 如能滿足要求,請用最少的操作次數完成;如不能滿足要求,請說明理由。
一○三學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 下學期 招生甄試考題 參考解答 一○四年3月22日 1. 令ℜ+表所有正實數成的集合。 函數f : ℜ+ → ℜ+定義如下 : f(x) = x 1 + x. 試問下式的值 f( 1 2015)+f ( 1 2014)+· · ·+f( 1 2)+f (1)+f (0)+f (1)+f (2)+· · ·+f(2014)+f(2015). 解: 因 f(x) = x 1 + x, 則 f(1 n) = 1 n 1 + 1 n = 1 n+ 1, f(n) = n 1 + n. 所以, f(1 n) + f (n) = 1. 故所求為 f( 1 2015) + f ( 1 2014) + · · · + f( 1 2) + f (1) + f (0) + f (1) + f (2) + · · · + f(2014) + f(2015) = f ( 1 2015) + f (2015) + f ( 1 2014) + f (2014) + · · · + f(1) + f(1) + f(0) = 1 + 1 + · · · + 1 + 1| {z } 2015個 +0 = 2015.
2. 已知凸四邊形ABCD內接於圓,點P 在它的內部。 若 ∠P AB = ∠P BC = ∠P CD = ∠P DA. 試證: AB· CD = BC · DA. 解: 如圖,作∆KBA ∼ ∆P CD,連結P K,則∠AKB = ∠DP C. 注意到 ∠AP B = 180◦− (∠P AB + ∠P BA) = 180◦− (∠P BC + ∠P BA) = 180◦− ∠ABC = ∠ADC, ∠DP C = 180◦− (∠P CD + ∠P DC) = 180◦− (∠P DA + ∠P DC) = 180◦− ∠ADC = ∠ABC.
則∠AP B + ∠AKB = ∠AP B + ∠DP C = ∠ADC + ∠ABC = 180◦.
故A, K, B, P 四點共圓。 在該圓中,注意到∠KBA = ∠P CD = ∠P AB,
則AP k KB. 因此, 四邊形AKBP 為等腰梯形。 故P K = AB. 對於圓內接凸四
邊形AKBP ,利用托勒密定理有
因為∆KBA ∼ ∆P CD,則 AB CD = KB P C = KA P D. 令相似比為r,則 AB = rCD, KB = rP C, KA = rP D, 代入(1)式並消去r得 AB · CD = P A · P C + P B · P D. 同理, BC· DA = P A · P C + P B · P D. 故AB· CD = BC · DA.
3. 已知b > a > 0,且a+ b = 1. 試問下面四個式子的大小關係 b, a+ b 2 , 2ab, a4 − b4 a− b . 解: 答: b > a 4 − b4 a− b > a+ b 2 >2ab. 理由如下: 因b > a >0,且a+ b = 1,所以 a4 − b4 a− b = (a + b)(a 2 + b2) = a2 + b2, (a + b)2 2 = 1 2 = a+ b 2 . 由b− (a2+ b2 ) = b − a2 − b2 = b(1 − b) − a2 = a(b − a) > 0, 有b > a2 + b2 , 則b > a 4 − b4 a− b . 由a2+ b2 >2ab, 得2(a2 + b2 ) > (a + b)2 , 則a2+ b2 > (a + b) 2 2 ,即 a4 − b4 a− b > a+ b 2 . 由a+ b > 2√ab, 1 2 > √ ab, 1 4 > ab, 1 2 >2ab,有 a+ b 2 >2ab. 所以b > a 4 − b4 a− b > a+ b 2 >2ab.
4. 正整數m, n使得 m2+n2 mn+1 是整數。 求證: m2+n2 mn+1 是平方數。 解: 令k = m2+n2 mn+1,並假設正整數k不是平方數。 從新考慮m, n是滿足 m2 − kmn + (n2 − k) = 0 的所有可能的正整數解之中,使得m+ n為最小的。 PS.凡是一組解就等同於k = m2+n2 mn+1. 讓m+ n為最小的一組未必是原來題目給訂 的。 不失一般性可以令m ≥ n. 對於固定的n, k,上述的一元二次式(m視為變數) 會有兩個根;而這兩個跟一個是m,另一個命名為m′. 因為m+ m′ = kn,故m′ 是整數。 又因為k(m′n+ 1) = m′2+ n2 ,故m′ >0 (m′ = 0會讓k = n2 ,與假設不符)。 所以m′, n是另外一組滿足的數對。 然而 m′ = f racn2 − km < fracn2 − 1m ≤ fracm2 − 1m < m, 這使得 m′+ n < m + n,所以矛盾;則k 必定是平方數。 PS.想想看: 有需要證明m′ ≥ n嗎?
5. 有三堆石子的個數分別為21, 10, 11.現進行如下操作: 每次從三堆的任意兩堆中分別取出一粒石子,然後把這兩粒石子都加到另一堆上去。 問: 能否經過若干次這樣的操作,使得 (1)三堆的石子數分別為4, 14, 24; (2)三堆的石子數均為14. 如能滿足要求,請用最少的操作次數完成;如不能滿足要求,請說明理由。 解: (1)能達到。 最少經過6次操作,如 (21, 10, 11) → (23, 9, 10) → (22, 8, 12) → (24, 7, 11) → (23, 6, 13) → (25, 5, 12) → (24, 4, 14). 因為最少一堆從10個到4個,至少要經過6次操作,故不可能比6次更少。 (2)不可能達到。 由於每次操作後,每堆石子數或者減少1,或者增加2,不妨寫為 (a, b, c) → (a − 1, b − 1, c + 2). 如果a, b, c被3除的餘數均不同,則操作後a− 1, b − 1, c + 2被3除的餘數也不相 同。 由於21, 10, 11被3除的餘數分別為0, 1, 2,而14, 14, 14被3除的餘數均為2, 所以不可能。
