十地區數學教育課程標準

十地區數學教育課程標準

黃毅英

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黃家鳴

引言

「相信懷疑 『應否教授數學』 的人不會太 多, 但為何而教, 教的著眼點在哪裏卻會影響 學習的結果與成效」(黃, 1995a, 頁72)。 縱然 日常施教, 不會總是對照著教育目的而為, 但 教育目的卻能標明課程之取向, 產生指導性 的作用 (黃, 1995b)。 以香港近年推出之 「目 標為本課程」 為例, 數學科 「目標為本課程」 本欲強調問題解決、 傳意等能力, 但又依附 八十年代之教學大綱, 新瓶舊酒, 兩者不能配 對, 陷於兩難之路 (黃毅英、 曹錦明, 1997)。 其中亦是涉及課程目標與取向不吻合的問題。 八十年代的社會環境, 勞力與技術密集, 數學 教學大綱側重數學作為工具而非思維方式乃 可想見, 然而時移世易, 香港的數學課程之重 新檢討可以說是迫在眉睫的了。 普及教育實為嶄新的意念, 前所未有的 全民教育起著目的性之轉移 (黃, 1993)。 由 此引申, 課程應作大刀闊斧的修訂是理所當 然的 (黃, 1995a, 頁 72)。 踏進九十年代, 世 界各地紛紛對數學課程作了重整, 但與新數 學運動截然不同者, 基礎數學之內容, 可謂萬 變不離其宗, 但其定位、 取向與著眼點方是最 決定性的。 所謂 「他山之石, 可以攻玉」, 我 們並非要把外國的課程移植過來。 然而參考 相關地區數學課程中之教育目的, 對本地改 革實大有可作借鑑之處。 本文即以十地區之 數學教育目的作比較, 檢討其異同, 希望藉此 得出去蕪存菁之端倪。 本港以其歷史及文化背景, 受英、 美之 影響至大, 而鄰近地如中國大陸、 台灣、 新加 坡、 日本文化背景較近, 亦可舉作參考。 此外, 澳洲、 紐西蘭既受英美影響亦希望尋求其本 身特色。 上面八地區之外, 加上歐陸之德國和 香港本身, 便是本文的探討對象, 我們首先臚 列各地所依據之文件及其所標示之目的, 再 行比較其異同。

英國

英 國 於 一 九 八 二 年 發 表 了 Cock-croft 爵士為首顧問團撰寫的 「數學在乎」 (Cockcroft, 1982) 報告書。 在其中衍生了 GCSE(General Certificate of Secondary Education) 考試 。 及後於一九九一年由國

會通過及頒布了 「國家課程」 (Department of Education and Science and the Welsh Office, 1991), 數學科並於一九九五年印行 了修訂版 (Department of Education and Science and the Welsh Office, 1995)。 以 出版年份而言, 「國家課程」 才應是現行執行 之準則, 但它沒有標出數學教育之總目標, 只 是臚列各階段各範疇的學習指標。 故雖然 「數 學在乎」 與 「國家課程」 未必有必然關係, 但 若考據英國數學教育目標的精神, 恐怕要追 溯到一九八二年的 「數學在乎」。 英國之 「數學在乎」(Cockcroft, 1982) 較側重數學在各領域中之應用, 文中首先指 出: 「我們相信, 一般對數學有用的認定乃來 自數學能提供一有力、 簡潔、 不含糊的溝通方 式」, 後即續稱: 「教授數學的第二重要者為數 學在其他領域中之運用與重要地位。 它是物 理科與各種工程的基本。 它於醫學與生物科 學、 地理與經濟、 商業與管理之應用正續增 加; 於工商辦公室與工場運作尤為重要」(頁 1)。 至於美國所強調的數學訓練思維的功 能,「數學在乎」(頁 2) 即有稍微不同的看法: 「數學常被稱為一個能培養邏輯思維、 運算 能力與空間想像力之學科。 數學當然可提供 此等功能, 但其效果卻關乎教些甚麼數學 而此等能力亦非數學所獨有; 其他活動及 不少學科亦可培養該等能力。 故此我們相信 這些能力之訓練不能構成必須學習數學的主 因。 然教師卻應注意數學亦有此等效能」(見 黃, 1992, 1996)。 譬如一個精通棋藝的學生, 其解題能力及博奕策略不可謂不高, 我們可 不能認為他已學好了數學。 故 Howson & Wilson (1986) 便提出 「過程」 與 「結果」 必 須並重。 換言之, 除了著重培養學生發現數學 與解難之能力, 讓其經歷發現數學的過程外, 亦著重他們在數學結果、 知識和定理之掌握。

美國

美國的數學改革每每給人領先一步的感 覺, 而且方向 (與口號) 鮮明。 自新數學運動 在七十年代偃旗息鼓之後, 美國首先提出 「回 到基本」 (Back to basics) 的想法。 全國數 學督導員議會並於一九七五年舉出十個基本 數學領域, 為所有公民所理應達到的, 計為 一、 解答在陌生情況之下所產生的數學問 題。 二、 應用數學知識到日常生活裏。 三、 審察所得到的答案是否合理。 四、 估計數量、 長度、 距離、 重量等的近似 值。 五、 進行整數、 小數、 分數和百分率的四則 運算。 六、 認識簡單幾何圖形的性質。 七、 以公制和英制量度各種分量。 八、 製作和理解簡單圖表。 九、 認識概率在預測偶然事件發生的用途。 十、 認識計算機在社會上的各種用途, 並且 知道計算機所能做到的和所不能做到的 事情 (NCSM, 1977; 亦見梁,1980)。 然而, 所謂 「基本」, 即國民所需之基本 數學, 是僅指數學的知識和技巧, 還是也包 含數學之素養和能力呢? 其實十個基本數

學領域中已包含了問題解決 (第一項), 應用 (第二項) 和驗證 (第三項)。 美國全國數學 督導員議會上承七五年之文件擴而充之, 於 一九八九年提出廿一世紀數學重點 (NCSM, 1989), 即為: 問題解決、 傳意、 推理、 應 用、 結果驗證、 估計適當之運算技巧、 代數 思維、 度量、 幾何、 統計及概率、 分數及小 數、 規律及關係等。 從中可以明顯看見由技巧 到能力之轉移。 其實, 美國早在一九七七年便 已提出 「學習解決問題是研習教學之主要目 的」 (NCSM, 1977, p.2), 可以說是美國全 國數學教師議會以 「問題解決」 為八十年代學 校數學教育之焦點的先聲 (NCTM, 1980a, 1980b)。 一九八○年美國全國數學教師議會發表 的 「行動綱領」 (NCTM, 1980a) 提出了對 八十年代學校數學的八項要點。 即為: 一、 問題解決為八十年代學校數學之焦點; 二、 數學基礎能力之定義應包含不僅是計算 功能; 三、 各級數學教程應盡量使用計算機及電腦 之威力 ; 四、 數學教學之功能與效能應以嚴謹標準評 核; 五、 數學教程與學生學習是否成功, 應在傳 統測試之上用更廣闊 的測量方法加以 評鑑; 六、 所有學生應學更多之數學並需要有更多 選擇、 更大彈性之課 程以因應學生之不 同需要; 七、 數學教師對自我及同事之要求應有高水 平的專業程度; 八、 由於對數學的理解對個人及社會已相當 重要, 公眾對數學教 學之支持應提升到 相若的程度。 美國全國數學教師議會於一九八九年發 表了 「學校數學課程與評鑑標準」 (NCTM, 1989), 嗣後又發表了 「數學教學專業標 準」(NCTM, 1991) 和 「學校數學評核標 準」(NCTM, 1995) 及一系列的附錄 (ad-denda series), 其特色為不只是有文件性 大綱與教學範圍, 更提供了不少有效與切實 的教學建議。 但若要考其背後之教育目的, 或應探視埋下伏線之 「人皆在乎」 (NRC, 1989) 和後來有進一步闡釋的 「學校數學之 重整」(NRC, 1990)。 「人皆在乎」 特別提出 「在傳統上, 美國 學校的設計乃在於擔當雙重的任務: 教以所 有學生在工農業經濟中一生所需的基本技巧 及透澈地培育少數精英能升上大學到最後步 進專業行業者。 · · · 工作性質之轉變使延續教 育變成成年人的終身現實。 故此, 學校應提 供所有學生終身學習的鞏固基礎 · · ·」(NRC, 1989, p.11)。 「學校數學課程與評鑑標準」(NCTM, 1989) 承此提出幼兒園至十二級的 「新」 目 標即為: 一、 他們 ( 學生 ) 應當學會重視數學; 二、 他們建立有能力做數學之信心; 三、 他們成為數學解難者; 四、 他們學會以數學方式溝通; 及 五、 他們以數學方式理解。 精英年代假設挑選出來的都是社會精 英, 以數學教育而言, 則是未來專攻數理科的

學生。 故以新數學運動而言, 學科內容是最重 要的: 要讓學生在最短時間內接觸數學的前 線。「在普及教育下, 學生的能力及性向才佔 決定性的地位」(黃 1995a, 頁 70), 配合學生 在未來社會中生活為至要。 這並不表示把教 育目的改轅換轍, 而是顯示一種考慮範圍之 擴大, 猶如 《學校數學之重整》「擴展中之目 的」 所言, 「我們教授數學期以達到幾個甚為 不同之目的, 以反映數學於社會中所扮演的 多元化角色: 實用目的 — 協助個人解決日常 生活的問題; 公民目的 — 讓公民能智性地參 與公民性活動; 專業目的 — 為學生將來的職 業與專業作準備; 文化目的 — 延續人類文化 的主要部份」(NRC, 1990, p.7)。

台灣

台灣於一九六八年實施普及教育。 小學 方面, 曾在一九七五年進行修訂 (中華民國教 育部國民教育司, 1993), 中學則於七三年、 八三年、 八五年作了修訂 (中華民國教育部國 民教育司, 1994)。 鑑於 「近十餘年來, 時代與 環境丕變, 社會與文化轉型, 民國七十六年 ( 筆者按: 即一九八七年 ) 解除戒嚴之後, 政治 民主化、 經濟自由化、 社會多元化、 文化中國 化, 凡此現象呈現劇變。 教育為一切建設之基 礎, 如何因應變遷與教育發展需要」, 中小學 於一九九二年開始修訂 (中華民國教育部國 民教育司, 1993, 頁346)。 新修小學課程最後 於一九九三年頒布 (中華民國教育部, 1993; 中華民國教育部國民教育司, 1993), 中學課 程則在一九九四年頒布 (中華民國教育部國 民教育司, 1994)。 其中標明以未來化 (應具 前瞻導向)、 國際化 (應有世界胸懷)、 統整化 (應求周延有效)、 生活化 (應符合生活需求)、 人性化 (應以學生為中心) 及彈性化 (應重師 生自主) 為基本理念 (中華民國教育部國民教 育司, 1993, 頁 348-349)。 新修之小學教育目標如下: 「國民小學數學教育目標, 在於輔導兒童 從日常生活經驗中, 獲得有關數學的知識, 進 而培養有效運用數學方法, 以解決實際問題 的態度及能力。 茲分述如下: 一、 養成主動地從自己的經驗中, 建構與理 解數學的概念, 並透過了解及評鑑別人 解題方式的過程, 進而養成尊重別人觀 點的態度。 二、 養成從數學的觀點考慮周遭事物, 並運 用數學知識與方法解決問題的能力。 三、 培養以數學語言溝通、 討論、 講道理和 批判事物的精神。 四、 養成在日常生活中善用各類工具從事學 習及解決問題的習慣。 (中華民國教育部 國民教育司, 1993, 頁 91) 文件中更比較了新舊課程的要點。 以數 學科而言, 是要配合社會的需求 (包括社會趨 向民主自由, 科技快速轉型)、 落實學生為本 觀點和強調問題解決 (中華民國教育部國民 教育司, 1993, 頁 373-374)。 新修之中學教育目標如下: 一、 引導學生認識數學在生活中的功用, 以 提高學習的興趣。 二、 輔導學生獲得數、 量、 形的基本知識與 技能, 以提升數學素養。

三、 培養學生運用數學方法解決問題的習慣 與能力。 四、 啟發學生思考、 推理與創造的能力。 五、 培養學生主動學習的態度及欣賞數學的 能力。 這次 ( 一九九三年 ) 中學課程的修訂, 首次增加選修部份, 總目標與主修部份相同, 文件中更標明實施重點如下: 一、 教學過程透過引導與啟發, 使學生能在 問題情境中, 形成解決問題所需的數學 概念、 過程、 技能和科學態度。 教師應 避免過早提出解題方法及結論, 且不宜 作機械式的解題訓練。 二、 數學教學應依學生個別差異, 設計教學 活動, 鼓勵學生主動參與, 培養完整的學 習成就感, 並啟發其學習與研究數學的 興趣。 三、 數學教學應幫助學生了解並活用數學解 題的過程方法運用思考, 避免強調零碎 知識的背誦或記憶。 四、 教學應強調用數學語言或方法培養批判 與精確客觀的精神。 五、 教學應提供學生交互討論之機會, 以發 展其欣賞他人觀點之態度。 六、 選修數學每學期的教材中, 宜包含可供 教師進行探索式教學的題材。 七、 必修數學課程中, 因教學節數的限制而 未能深入探討的題材, 可考慮安排在選 修數學課程中。 八、 在適當的教學單元, 可因應個別差異使 用電算機具作為輔助教學之工具 (中華 民國教育部國民教育司, 1993, 頁853)。 以目標而言, 小學部份明顯強調建構數 學概念、 解決問題、 溝通、 批判等能力, 而淡 化原先課程的側重數、 量、 形 (中華民國教育 部教育司, 1975); 中學部份, 則特別提出數 學素養 (第二條: 原先為 「以為日後研究之基 礎」) 和主動學習態度及欣賞數學能力 (第五 條), 其他目標不變 (中華民國教育部國民教 育司, 1985, 頁 119)。 至於高中數學教育目標則為如下: 一、 素養方面: 了解數學的一般內容、 方法 與意義, 以為立身於現代社會所需的基 礎素養。 二、 訓練方面: 熟悉以數、 量、 形與函數為中 心的題材, 增進基本的數學能力, 並激發 潛在的創造力。 三、 應用方面: 了解數學具有描述自然與社 會現象的功能, 以備應用於實際生活與 各種科學 (中華民國教育部國民教育司, 1983, 頁 119)。

中國大陸

大陸在 「文革」 結束後, 國家教委於一 九七八年即頒布 「全日制中學數學教學大綱」 (中華人民共和國國家教育委員會, 1978)。 隨 後, 十三院校即出版 「教材教法」, 由人民教育 出版社出版, 以闡釋新大綱之精神及提供不 少教學建議 (十三院校協編組, 1980)。 「教材 教法」 於一九八七年再版 (高等教育出版社, 1987), 作了普及教育開展後應有的調整 (黃, 1993)。 為配合義務教育之推行, 國家教委於 一九九二年再頒布新的中小學大綱 (中華人 民共和國國家教育委員會, 1992a, 1992b)。

中國大陸的數學課程早在一九五二年便 提出 「雙基」(基礎知識及基本技能) 之要求, 在一九五六年第一次將培養能力列為教學的 總目標。 到一九六三年版, 明確地提出 「運 算、 邏輯思維、 空間想像」 等 「三種能力」(蘇, 1991, 頁 188-189)。 到一九七八年版, 則將 「三個能力」 與問題解決連結一起標出, 如云: 「中學數學教學的目的是: 使學生 · · · 具 有正確迅速的運算能力, 一定的邏輯思維能 力和一定的空間想像力, 從而逐步培養學生 分析問題和解決問題的能力」(中華人民共和 國國家教育委員會, 1978)。 一九九二年頒佈 的義務教育數學大綱 (中華人民共和國國家 教育委員會, 1992a, 1992b) 明顯地配合了 普及教育的新形勢, 包容了更廣泛的教學目 標。 其中, 中學大綱特別指出 「發展思維能力 是培養能力的核心」, 並舉出一些一般的、 非 數學獨有的教學目標 (黃, 1993a)。 在九二年大綱頒布後, 中國大陸並沒有 如一九七八年般隨即印行教材教學法, 反而 更實質地用教材體現大綱的精神, 並首次推 行 「一綱多本」 的政策 (盧, 1993)。 在一個大 綱之下, 按國家教委一九八八年教材規劃中 提出, 出版人民教育出版社、 北京師範大學、 東北師範大學、 廣東省 (沿海版)、 上海、 浙 江、 河北、 四川等八套教材。 未來還有 「多綱多本」 之可能, 照顧個別 差異。 值得注意的是, 中國大陸及台灣的課程 均容許一個試行期, 從研究及實際施教中進 一步調節課程。 一九九二年頒布, 「九年義務教育全日制 小學數學教學大綱」 (中華人民共和國國家教 育委員會, 1992a) 所標示的教學目的為: 一、 使學生理解、 掌握數量關係和幾何圖形 的最基礎的知識。 二、 使學生具有進行整數、 小數、 分數四則 計算的能力, 培養初步的邏輯思維能力 和空間觀念, 能夠運用所學的知識解決 簡單的實際問題。 三、 使學生受到思想品德教育。(頁 1-2) 於教學要求中, 有如下的進一步闡釋: 「結合有關內容的教學, 培養學生進行初 步的分析、 綜合、 比較、 抽象、 概括, 對簡單 的問題進行判斷、 推理, 逐步學習有條理、 有 根據地思考問題; 同時注意思維的敏捷和靈 活」(頁 2)。 「九年義務教育全日制初級中學數學教 學大綱」 (中華人民共和國國家教育委員會, 1992b) 教學目的如下: 「初中數學的教學目的是: 使學生學好 當代社會中每一個公民適應日常生活、 參加 生產和進一步學習所必需的代數、 幾何的基 礎知識與基本技能, 進一步培養運算能力, 發 展邏輯思維能力和空間觀念, 並能夠運用所 學知識解決簡單的實際問題。 培養學生良好 的個性品質和初步的辯證唯物主義的觀點。」 在闡釋 「三個能力」 後, 續云: 「能夠解決實際問題, 是指能夠解決帶有 實際意義和相關學科中的數學問題, 以及解 決生產和日常生活中的實際問題。 在解決實 際問題中, 要使學生受到把實際問題抽象成 數學問題的訓練, 逐步培養他們分析問題和 解決問題的能力, 形成用數學的意識。」 並特 別指出, 「數學教學中, 發展思維能力是培養 能力的核心。」

其中更進一步標示了一些非數學獨有之 目的: 「良好的個性品質主要是指: 正確的學習 目的, 濃厚的學習興趣, 頑強的學習毅力, 實 事求是的科學態度, 獨立思考、 勇於創新的精 神和良好的學習習慣。 「初中數學中的辯證唯物主義教育因素 主要是: 數學來源於實踐又反過來作用於實 踐的觀點; 數學內容中普遍存在的運動變化、 相互聯繫、 相互轉化等觀點。」 中國大陸剛於一九九六年頌布高中數學 課程。 詳見中華人民共和國國家教育委員會 (1996)。

香港

香港於一九九四年頒布 「目標為本課 程」, 其數學科之總目標為 「通過學習數、 度 量、 代數、 圖形與空間及數據處理的知識、 概 念及技巧/程序, 增強探究、 傳意、 推理、 建 立與解答數學問題、 欣賞數學及在多方面應 用數學的能力」 (香港課程發展議會, 1994a)。 然而在訂定學習目標時, 提出 「現有的 中小學數學科課本應可供教師及學生繼續使 用」 (香港課程發展議會, 1992, 頁 11), 故除 了為中小學部份的銜接作了一些調整外, 數 學科 「目標為本課程」(起碼在學習目標和內 容而言), 基本上是依據現有香港課程發展 委員會小學及中學數學科課程綱要而訂定的 (黃毅英、 曹錦明,1997)。 現行沿用的小學和中學數學課程綱要分 別是一九八三年和八五年的版本 (香港課程 發展委員會, 1983, 1985)。 嗣後只作過一些 小修改。 其中, 「整個 (小學數學) 課程之目的 是: 1. 引起兒童的創造力; 2. 啟發兒童的數 學思考, 培養兒童的創造能力; 3. 教授基本 的數學概念及計算技巧, 為中學的數學及科 學的學習奠好基礎; 4. 讓兒童學習運用數學 解決日常生活中的問題; 5. 誘導兒童對數和 圖形的規律及結構的欣賞」(課程發展委員會, 1983, 頁 11)。 中學數學課程目的如下: 1. 繼續發展學生在小學階段經已獲得的計 算能力—— 包括四則運算、 近似值的應 用、 百分法、 率、 比及簡易量度; 2. 使學生有能力了解數學在日常生活中的 應用—— 例如統計學及概率的基本知 識; 3. 透過以下的學習, 使學生具有良好的基 礎, 以便繼續深造。 — 學習數學符號的使用及運算, — 發展使用基本邏輯規律及推理方法 的能力, — 介紹所需的數學技巧 (例如三角函 數等); 4. 使學生了解數學的規律及功用, 尤其在 應用方面和文化傳統上的涵義。 在中四及中五階段, 目的更包括: 5. 強調數學的本質及應用; 6. 使學生具有完整的數學基礎, 適合升讀 中六數學的需要。 (但中六課程絕不應在 中四或中五階段教授)。 上述目的, 顯示出本課程其中的一個重點, 就 是將數學作為應用工具, 多於 [1]作為一種思 維方法」(課程發展委員會, 1985, 頁 5)。

課程發展委員會於一九八四年出版的 「品德教育參考資料 (2)」 中進一步闡釋數學 在德育中之作用: 「數學科在培養學生良好品格方面, 頗有 幫助。 茲列舉數點, 分述如下: (一) 培養實事求是的態度。 (1) 教導學生客觀地及從多方面去考慮 問題, 而非主觀地妄下結論。 (2) 從數學的發展史了解到事情往往不 是一蹴而就 (意即一蹴可幾), 是要 通過 「嘗試—找尋錯誤與失敗的原 因—再嘗試」 的途徑不斷努力, 才會 成功。 (二) 訓練學生做事要有條理, 按部 (筆者按: 原文作 「步」) 就班。 (三) 培養學生的邏輯性思維能力。 (四) 教導學生通過觀察與探索去發現規律, 再用邏輯去證明其真確性。 (五) 訓練學生做事要有粧心及耐性。 (六) 就地取材, 因事制宜, 在數學課進行道德 教育。 例如在教 「統計學的應用及誤用」 一課時可指出部份不肖廣告商利用統計 學誤導消費者, 學生應提高警惕」 (課程 發展委員會, 1984, 頁 16)。

日本

日本的教育制度及課程由文部省統籌, 其中一項主要任務是頒布 「學習指導要領」 並 每隔約十年修訂一次。 最新版為一九八九年 頒布者, 並在一九九二、 一九九三及一九九 四年分別於小學、 初中及高中實施 (Fujii, 1993)。 一九八九年日本文部省 「小學校學習指 導要領」(文部省, 1989a) 中, 提出小學算術 之學習目標為 「學習關於數量及圖形的基礎 知識及技能, 培養對日常事物的分析能力, 理 解數理分析的優點、 從而培養一種應用以上 知識和技能於日常生活之態度。」 在 「中學校 學習指導要領」(文部省, 1989b) 中, 初中數 學學習目標為 「協助兒童建立以深入及以數 學考察日常事象的能力, 獲得數、 量、 形的 基礎知識與技巧, 進而建立活用數學之態度」。 至於高中目標則為 「讓學生深入了解數學之 基本概念, 處理及法則, 建立以數學考察及處 理事象之能力, 欣賞以數學認識及思維, 進而 積極活用上述能力」(文部省, 1989c)。 以這些規定的數學學習目標而論, 值得 注意是他們強調 「培養對日常事物的分析能 力」 與 「培養一種應用 (數學) 知識和技能於 日常生活之態度」 (馬雲鵬、 孫連舉, 1995)。 學生不僅要掌握有關的數學知識, 而且還得 學習運用這些知識於認識及分析生活周遭事 物, 可以說是培養 「數學化」 (Mathemati-zation) 的能力與利用數學觀點解決具體問 題的基本態度, 這兩方面均是數學教育面對 科技資訊社會應有的目標。

新加坡

新加坡於一九六○年引入新數學, 從一 九六五年起, 小學與初中遵循統一之課程, 高 中才分開 B、C 兩個選修課程, 其中課程 C 有較多新數之部份。 自一九八一年起, 又引 入加速之課程 D。 新加坡中學的終結考試為 「新加坡 - 劍橋」 一般教育文憑普通程度考

試 (Singapore-Cambridge General Cer-tificate of Education Ordinary Level Ex-amination: GCE O Level) (Cheung & Chong, 1993), 故考試範圍主要是依據英國 式的考試。 然新加坡課程計劃科則有頒布教 學大綱 (Curriculum Planning Division, 1990a, 1990b)。

新加坡的中小學數學教育之目標是一 致的 (Curriculum Planning Division, 1990a, 1990b), 如云: 中小學數學教育之目的是讓學生 • 獲得所需的數學知識和技能, 發展思考 過程並應用於生活中遇到的數學處境; • 以數學傳意; • 建立對數學之正面態度和個人成功感; 及 • 欣賞他們周遭世界數學之重要性和威 力。

澳

洲

澳洲教育局課程處於一九九○年頒布了 「國家數學聲明」 (Australian Education Council, 1990), 後來又頒布了兩個輔助 文件 (Australian Education Council, 1994a, 1994b)。 在列舉課程綱要之前用了三 個章節詳述學校數學的原則。 第一章為 「數學 的重要性」; 第二章為 「學校教學之目標」; 而 第三章則為 「增進數學學習」。 在第一章中, 臚列了甚麼是數學、 數學 何以如此重要及數學對誰重要三節, 第二章 便列出 (並詳釋) 了以下的六個學校數學之目 標: 一、 學生應建立處理日常事務之信心與能 力; 二、 學生應建立對數學之正面態度與投入; 三、 學生應建立以數學獨自及合作解難的能 力; 四、 學生應學會如何以數學溝通; 五、 學生應學會反映現代數學之技巧與工 具; 及 六、 學生應得到數學發展過程之經歷。

紐西蘭

紐西蘭教育局亦於一九九二年頒布其 「國家課程」:「紐西蘭課程之數學」 (Ministry of Education, 1992)。 其中標出數學教育之 目的為: 一、 讓學生建立對數學價值及用途之信念、 培育其對本身數學能力之信心、 引發自 我成就感、 並激勵對數學不斷產生之興 趣; 二、 建立學生之技能、 概念、 理解、 態度以達 到處理日常數學之信心; 三、 讓學生建立數學解難的多樣方式及建立 以邏輯理解之能力; 四、 讓學生於科技化及資訊豐富的社會中不 致「數盲」 或 「統計盲」; 五、 提供於其工作環境中所需之數學工具、 技能、 理解與態度; 六、 提供將來於數學及以數學為重心之各學 科進修的學生必須之基礎; 及 七、 引發及培養數學專才。

德國

聯邦德國的教育事務根據其基本法 「文 化主權」 規定分屬各州 (Land) 制定及執 行, 由各州文化部負責, 因此各州都有其獨 立之學校制度及課程。 1990 年東西德合併 之後, 前東德原有以國家統一教育制度和課 程亦在所屬之五州漸次分化 (Bungartz & Str¨aβer, 1992)。 德國的初等教育由一至四 年級 (柏林例外: 小學共六年), 而中等教育 階段由五年級開始, 至 10 至 13 級不等, 學 生會按成績、 特長、 愛好及教師、 家長的意 見而分流至主要三類不同之中學: 普通中學 (Hauptschule)、 實科中學 (Realschule) 和 文理中學 (Gymnasium)。 另外還有第四類 綜合中學 (Gesamtschule), 是前三者之結 合, 但數量佔很少比重 (李昌芳、 梁翠英, 1994; Hawson, 1991)。 各類中學可以選讀 的科目和課程, 均有不同。 由於各州課程相 異, 各類中學亦有不同的科目和學習內容, 要 綜觀德國數學課程目標並不容易。 在此我們 以西南部的巴登 - 符騰堡州 (Baden-W¨u rt-temberg) 作為例子, 以說明各級學校之數學 教育目標 (Ministerium f¨ur Kultus und Sport Baden-W¨urttemberg, 1994)。 該州 為海德堡大學之所在地, 傳統上對教育極為 重視。 以小學數學教育來說, 在於促進兒童概 念思考的能力, 使其獲得基本算術運算的知 識及技能, 協助兒童建立空間直覺能力及想 像力。 通過數學學習, 兒童對環境更有意識地 觀察, 加以排列、 分類, 並邏輯地、 批判地進 行思考。 具體來說, 包括以下目標: • 對環境事物以數學方式理解和描述 • 獲得基本的數學技能 • 發展解決數學難題之技能 • 應用度量知識於不同的處境 • 認識、 製作及描述各基本幾何圖形 • 認識空間、 位置之關係及運用於定向 • 獲取對數字的概念、 組合及數量關係的理 解 • 建立空間概念 • 建立對數學的正面態度 至於中學階段, 各類中學的目標重點有所不 同。 入讀普通中學的學生學業成績平平, 數學 學習旨在鞏固及發展學生在基礎運算方面的 知識和技巧, 作為學習數的範疇、 實用計算及 代數的基礎。 此外, 建立空間思考能力, 使獲 得基本的幾何經驗, 系統地認識及運用。 數學 學習更適合於促進抽象思考能力, 訓練邏輯 思維, 激發創造性想象及培養解難題耐力。 數 學學習應使學生能夠運用數學知識和能力於 其他科目及環境事物之課題上, 同時對數學 方法的局限應明確認識。 透過接觸數學, 學生 亦認識有關之傳統文化內容, 他們對數學課 題的樂趣及興味皆得到激發及維持。 在實科中學, 數學科有必要提供一個良 好的數學基礎, 以配合將來職業及升學所需。 學生對數學思考及運算亦要熟識, 以便利用 數學模型描述及從數量方面掌握環境事物的 狀態和過程。 數學學習亦可發揮學生能力, 對 學生之發展有重大意義。 學生應學習觀察, 尋 求規律、 排列、 分類、 概括、 詳細說明、 組合 及變化, 以促進創造性之直觀思考, 此乃數學 重要特徵之一。 學生亦應學習搜集數據, 進行

實用運算、 量度、 估計、 粗算、 作圖、 詮釋結 果等。 學生亦理解數學的應用性, 從而對環境 事物進行問題建立、 處理及符合目的之決定, 不過也應認識數學方法的局限, 邏輯分析及 綜合。 接觸數學難題可以促進一般解難的能 力, 同時亦可發展精確、 可靠、 謹慎及耐力。 學生亦學習理性地論證, 其中包括認清條件、 定義、 系統表述、 提出理據、 分析及核實陳述。 至於文理中學, 較重傳統學術訓練, 簡單 來說, 數學可以培養在複雜環境中思考定向 及判斷能力。 數學課必須給予學生真實的數 學經驗, 使其認識數學之效用及豐富之內容 關係。 個別目標包括: 對數字的特質、 數量關 係及規律的認識, 掌握基本的算術、 代數方法 及幾何作圖, 發展空間直覺能力, 認識及用基 本的數學概念及定理, 暸解問題, 尋求解題方 法及認識不同解題步驟, 發現數學關係及其 運用 (亦包括在變動方面), 實際處境之數學 化及對數學運用結果之詮釋, 認識及描述因 果關係綱絡中的依存關係, 可能之互動及對 因果關係之思考, 對思考過程、 計算及程序所 得之結果作批判性的比較, 核實及提出富責 任感之判斷, 適當地利用公式手冊、 數表及計 算機, 在不同的應用範疇明智地利用計算機。 以上所列雖是一州之數學課程目標, 但 亦可略窺德國數學教育課程目標的一些特色。

各地數學教育目的之共通點

綜觀各地區數學課程所標示之目的, 可 謂非常接近, 我們大可以抽出以下一系列的 字眼: 運算能力、 邏輯思維能力、 空間觀念、 問題解決能力、 正確的學習目的、 濃厚的學 習興趣、 頑強的學習毅力、 實事求是的學習 態度、 獨立思考、 勇於創新、 良好的學習習慣 (中國大陸)、 欣賞數學的能力 (台灣 — 有重 覆者不述, 下同)、 為未來學習奠定基礎、 思 考與推理能力、 解決日常生活問題、 規律與結 構、 應用於其他學科 (香港)、 有條理的做事 方式、 觀察與探索、 粧心與耐性 (香港 「品德 教育參考資料」)、 傳意、 建立 (香港 「目標為 本課程」)、 連繫、 數字感、 符號感、 度量感 (英 美)、 統計的意識 (紐西蘭)。 若以基礎教育階 段而言, 各地目的更加相近。 受到清代文學家袁枚所提 「才、 學、 識」 的啟發, 陳鳳潔、 黃毅英、 蕭文強 (1994) 指 出, 無論各地區如何將數學課程闡述, 其目 標亦大致可歸入 (1) 實用知識、 (2) 學科知 識、(3) 文化素養 (NCTM, 1970; 亦見蕭文 強, 1983; Siu, Siu, & Wong, 1993)。

在香港, 於一九九四年展開的課程發 展議會與考試局數學等科委員會聯席會議中 (詳見黃, 1995b), 便綜合以上觀點而提出 「數學教學之目標在於讓學生浸淫於如下的一 個數學學習環境— 一、 在其中能養成積極和有效的學習習慣, 使得其能閱讀及懂得如何提取知識; 能 清楚地寫及講以求表達其意念及與人溝 通; 能思考、 提問、 質疑及進行探索。 二、 能獲得一手之數學經驗以認識數學既為 準確科學亦為具想像力之工作, 既為抽 象的智性追求亦為具有實際生活應用之 具體學科之雙重本質; 以達致數學之美, 其意義所在、 其力量與及其局限性。」

其中, 實用目的包括了 (1) 以數學方式 解決日常生活遇到的問題, (2) 提供將來大部 分職業所需的數學訓練, (3) 為將來升讀理科 及有關學科所需的數學奠下基礎。 學科目的包括了 (1) 數字、 符號及其他 數學對象的運算能力, (2) 數字感、 符號感、 空間感、 度量感及結構與規律之意識, (3) 推 理與邏輯思維, (4) 以數學構作與解決問題之 能力, (5) 以數學方式表達及傳遞意念。 文化目的包括了 (1) 欣賞數學之美及 (2) 認識古今數學在各地文化中之角色及與 其他學理關係。

各地數學教育目的相異之處

既然各地數學教育之標準大致相同, 實 可綜合而成一各地適用之一套數學學習之目 的。 事實上, 數學作為科學之語言有其一定之 共通性。 然而在大同之中, 亦可以找出小異之 處的。 從香港數學科 「目標為本課程」 中可以 看到, 其總目標可以分作兩部分。 前者 (「通過 學習數、 度量、 代數、 圖形與空間及數據處理 的知識, 概念及技巧/程序...」) 五個範疇是現 有課程中的教學內容, 後者 (「· · ·增強探究、 傳意、 建立與解答數學問題、 欣賞數學及在 多方面應用數學的能力」) 則為 「目標為本課 程」 所標示和強調的五種能力轉到數學科的 引申 (香港課程發展議會, 1992, 頁 12)。「目 標為本課程簡介」 ( 香港教育署, 1994 ) 後 統一稱傳意、 探究、 構思、 推理和解決問題 為 「五種基本、 互相關連而且跨課程的學習、 思考和運用知識的方法」(頁12)(亦見黃毅英、 曹錦明, 1997)。 再看美國十三個小學數學課 程標準中, 即 (利用數學作解題工具、 利用數 學作傳意工具、 利用數學作推理工具、 數學的 聯繫、 概算法、 數的概念及讀數法、 整數運算 的概念、 整數計算、 幾何及空間概念、 度量、 統計及概率、 分數及小數、 規律及關係), 其 中有九個是直接用課題 (學習內容) 劃分的, 至少前四個是涉及 「能力」。 至於美國國家數 學督導員議會 (NCSM, 1989) 提出的 「廿一 世紀的數學重點」 則舉出了問題解決、 傳意、 推理、 應用、 結果驗證、 估計、 適當之運算技 巧、 代數思維、 度量、 幾何、 統計、 概率十二 項, 也是包括了 「過程」(process; 或 Bell, 1978, p.223 所稱之間接學習目的) 和數學 「結果」(product; 或 Bell, 1978, p.223 所 稱之直接學習目的) 兩方面。 當然, 這種劃分 只為方便討論而言, 而實際施教時, 不只應如 「數學在乎」 (Cockcroft, 1982) 中所指出的 兩者並重, 更應如黃 (1995a) 中所指出, 「能 力」 亦實難抽離 「內容」 割裂地培養的, 問題 在於 「怎樣在教授數學知識之同時, 以之作為 培養深層能力的基礎」(黃 1995a, 頁 71)。 從這個分野出發, 很明顯可以見到某些 地區的數學教育目的是較著重 「過程」, 而在 另一些地區中, 「結果」 所佔的比重是較高的。 若以有劃分學習領域的地區作比較, 便可得 出下頁之表 (觀黃淑英、 林智中,1997)。 這些分別, 又可能與以下的課程發展背 景有非直接但甚微妙的關係: 我們可以留意到, 東方地區, 以台灣、 中 國大陸、 香港、 日本、 新加坡而言, 它們擁有 一官定的、 統一的課程是有著悠久歷史的。 而

「西方」 地區如英、 美、 澳紐等一向並未有統 一的課程, 因此東方與西方二者以往的課程 發展路向可以說是恰恰相反的。 以英國之製訂國家課程及美國之製訂課 程標準為例, 它們之目的, 大抵在各州各省各 校之自由發展到了散亂的邊緣, 來個約束和 作個有限度的指引。 東方地區則一向都有統 一課程而且遵循甚嚴, 若西方由鬆到緊, 東方 又圖作效顰豈不變成緊上加緊? 這種統一性 是否與文化背景、 個人或群體主義、 考試取向 等有關, 仍待進一步探討, 不宜早下結論。 若一個地區是要求較嚴格的統一性, 無 論教學大綱、 教材 (教科書) 或考試要求 (如: 有無備受重視的全國/地區性統一的考 試等), 則不宜作太空泛抽象的條文可以想見。 於是無可避免地這些地區每每著眼較具體之 學習內容 (甚至編排節數) 和學生實質的表現 (performance) 等。 我們重申無意將 「結果」 與 「過程」 區 分, 然而存在全國性執行的課程卻可能是東 方地區數學課程較偏重於學習內容的原因之 一。

結論

如前所述, 實際的日常教學的備課, 未必 會總是對照著宏觀的目標進行。 但這些教育 目的卻能產生指導作用。 在教材取捨、 教學重 點與手法中, 均應有直接之影響。 從各地區數學教育目的之探視, 我們看 到學習數學的共同意義和在新時代中更廣義 和擴展中之教育目的。 從大同中之小異, 我們 進一步摸索了東西地區以其文化背景之不同, 其課程發展的不同路向。 從這點也許能帶給 我們一些啟示。 西方地區本來沒有劃一的課程, 近年趨 向多元中之統一, 使課程不致過於散亂。 然 而東方地區本來就有一個統一課程的, 假若 進一步地仔細釐定每一學習階段之學習內容, 不只費時失事, 且有把課程變得支離破碎之 可能。 這是 「目標為本課程」 的發展路向及 更一般的 「進口課程」 所須深思的。 東方地區 課程所欠缺的, 可能是多元性、 個別化、 機制 上之彈性和過程能力之著重。 只有這樣, 才能 統攝一些如問題解決、 分析、 自學等能力之建 立, 並且包括排序、 類比、 規律尋找、 掌握關 鍵、 御繁於簡等數學思維方式和非數學科獨 有之教育目的, 這是配合高科技社會中技能 性操作轉向內在能力之需要 (黃, 1995a, 頁 70)。 中國大陸 「一綱多本」 的做法可能是東 方地區課程發展中一個應走之路向和值得探 索之構思。這種路向自然要以淡化考試中 「統 一性」 的元素而加強真正對學習之回饋。 縱以 小地方的香港而言, 若斤斤計較公開試之統 一性, 學校與學校間自然對選用風格不同的 教科書有所卻步、 更遑論相異的課程了。 然而 隨著考試篩選作用之衰減, 這也許是轉變的 時機 (黃, 1995a)。 此外, 教師自主和機制上 之彈性乃為不可或缺, 好讓教師可因應個別 差異和學生回饋即時作調節 (黃毅英、 曹錦 明, 1997)。

美國(小學) 英國 香港(目標 澳洲 紐西蘭 台灣 為本課程) 態度及鑒賞 利用數學作解題工具 使用應用數學 選擇及應用 數學過程 數學 利用數學作傳意工具 利用數學作推理工具 數學探究 數學的聯繫 規律及關係 概算法 數的概念及讀數法 數 數 數 數 數的概念 整數運算的概念 整數計算 分數及小數 代數 代數 代數 代數 代數 幾何及空間概念 圖形與空間 圖形與空間 空間 幾何 平面幾何 坐標幾何 度量 度量 度量 度量 統計及概率 數據處理 數據處理 概率與數據 統計 資料整理 與概率 在社會上立身處世, 要出人頭地的想法, 在儒家社會中強化了考試的壓力。 家長望子 成龍的心態不斷鞭策著學生在 「教育階梯」 中 爬升(Ho, 1986)。 競爭性與互相比較成為了 東方社會中學習的原動力。 然而隨著學位增 多與考試篩選功能的衰減, 學習應有更多照 顧自我完善的空間 (黃, 1995a)。 華人地區 教育確有不少獨特之處, 若能輔以佛教覺性 (awareness) 的思想, 補其不足, 當可把教育 理想發揮得更淋漓盡緻 (張奠宙, 1993; 蓮華, 1994)。 總的來說, 目的之重新釐定固然起著指 導作用, 然而僅是調整目的不足以推動課程 之變革。 我們必須把目的具體化、 滲透到各個 環節上來。 對教育目的之探視只是一個開端, 此後亦要進一步考慮如何在課程中體現這些 目的。 附註 [1]: 原文中文版作 「· · · 而並非僅作為 一種思維方法」, 即在思維方法之上還有工具 之角色; 但參看英文版則沒有 「僅作」 之含意, 即不把數學看待成思維方法, 只看成為應用 工具。 今從英文原文理解。

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—本文作者任教於香港中文大學課程與教學