高中數學課程闡釋 :高中數學課程闡釋 :

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教育局 課程發展處 數學教育組

高中數學課程闡釋 :

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目 錄

頁數

前 言 i

學 習 單 位 1 一 元 二 次 方 程 1

學 習 單 位 2 函 數 及 其 圖 像 4

學 習 單 位 3 指 數 函 數 與 對 數 函 數 6

學 習 單 位 4 續 多 項 式 9

學 習 單 位 5 續 方 程 11

學 習 單 位 6 變 分 12

學 習 單 位 7 等 差 數 列 與 等 比 數 列 及 其 求 和 法 13

學 習 單 位 8 不 等 式 與 線 性 規 畫 15

學 習 單 位 9 續 函 數 圖 像 17

學 習 單 位 10 直 線 方 程 19

學 習 單 位 11 圓 的 基 本 性 質 21

學 習 單 位 12 軌 跡 24

學 習 單 位 13 圓 方 程 25

學 習 單 位 14 續 三 角 學 26

學 習 單 位 15 排 列 與 組 合 28

學 習 單 位 16 續 概 率 29

學 習 單 位 17 離 差 的 度 量 31

學 習 單 位 18 統 計 的 應 用 及 誤 用 33

學 習 單 位 19 進 階 應 用 34

學 習 單 位 20 探 索 與 研 究 35

鳴 謝 36

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2021 版 權 為 香 港 特 別 行 政 區 教 育 局 所 有;本 書 內 容 可 作 非 牟 利 教 育 及 研 究

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前 言

為 配 合 學 校 課 程 持 續 發 展 ,《 數 學 課 程 及 評 估 指 引 ( 中 四 至 中 六 )》 於 2017 年 12 月 更 新( 以 下 簡 稱《 課 程 及 評 估 指 引 》)。 高 中 數 學 課 程 包 括 必 修 部 分 和 延 伸 部 分 。 延 伸 部 分 包 括 兩 個 單 元 , 分 別 是 單 元 一 ( 微 積 分 與 統 計 ) 和 單 元 二 ( 代 數 與 微 積 分 )。

在 《 課 程 及 評 估 指 引 》 中 , 必 修 部 分 的 學 習 重 點 以 表 列 形 式 歸 於 不 同 學 習 單 位 內 。 表 中 「 注 釋 」 欄 的 內 容 為 學 習 重 點 的 補 充 資 料 。 本 小 冊 子 內 的 課 程 闡 釋 旨 在 進 一 步 解 釋 :

(一) 必 修 部 分 學 習 重 點 的 要 求 ;

(二) 必 修 部 分 的 教 學 建 議 ;

(三) 必 修 部 分 學 習 單 位 之 間 的 關 係 和 結 構 ;

(四) 必 修 部 分 與 其 他 學 習 階 段 ( 如 第 三 學 習 階 段 ) 的 發 展 脈 絡 ; 及

(五) 必 修 部 分 與 延 伸 部 分 的 課 程 銜 接 。

本 小 冊 子 內 的 課 程 闡 釋 連 同《 課 程 及 評 估 指 引 》內 每 一 學 習 單 位 的「 注 釋 」 欄 及 教 學 時 數 , 可 顯 示 該 學 習 單 位 處 理 的 闊 度 和 深 度 。 教 師 宜 在 施 教 必 修 部 分 時 , 把 內 容 視 為 連 貫 的 數 學 知 識 , 並 培 養 學 生 運 用 數 學 解 決 問 題 、 推 理 及 傳 意 的 能 力 。 此 外 , 教 師 應 留 意 ,《 課 程 及 評 估 指 引 》中 的 學 習 單 位 及 學 習 重 點 的 編 排 次 序 並 不 等 同 於 學 與 教 的 次 序 , 教 師 可 因 應 學 生 需 要 有 系 統 地 編 排 學 習 內 容 。

歡 迎 各 界 人 士 就 本 小 冊 子 提 供 意 見 和 建 議 。 來 函 請 寄 : 九 龍 油 麻 地 彌 敦 道 405 號

九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處

總 課 程 發 展 主 任 (數 學 )收 傳 真 : 3426 9265

電 郵 : ccdoma@edb.gov.hk

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

1. 一 元 二 次 方 程 1.1 以 因 式 法 解 二 次 方 程 1.2 由 已 知 根 建 立 二 次 方 程

1.3 由 繪 畫 拋 物 線 y = ax2 + bx + c 的 圖 像 及 讀 取 該 圖 像 的 x 截 距 解 方 程 ax2 + bx + c = 0 1.4 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程

1.5 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係

1.6 解 涉 及 二 次 方 程 的 應 用 題

1.7 理 解 根 與 係 數 的 關 係 及 以 此 關 係 建 立 二 次 方 程

1.8 欣 賞 數 系 ( 包 括 複 數 系 ) 的 發 展 1.9 進 行 複 數 的 加 、 減 、 乘 和 除 運 算

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課 程 闡 釋 :

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 8「 一 元 一 次 方 程 」已 學 會 建 立 及 解 一 元 一 次 方 程,並 在 學 習 單 位 9「 二 元 一 次 方 程 」懂 得 建 立 聯 立 二 元 一 次 方 程 和 以 代 數 方 法 及 圖 解 法 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 。 必 修 部 分 則 要 求 學 生 能 進 一 步 解 一 元 二 次 及 其 他 較 複 雜 的 代 數 方 程 。

在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 運 用 :

• 因 式 法

• 二 次 公 式

• 拋 物 線 y = ax2 + b x + c 的 圖 像

解 一 元 二 次 方 程 ax2 + b x + c = 0 , 並 能 由 已 知 根 建 立 一 元 二 次 方 程 。 學 生 須 能 選 用 合 適 的 策 略 解 二 次 方 程 。

圖 解 法 在 學 習 重 點 9.2 中 有 進 一 步 的 推 廣,教 師 應 留 意 學 習 單 位 9「 續 函 數 圖 像 」 的 闡 釋 。

學 生 須 能 解 涉 及 二 次 方 程 的 應 用 題 , 惟 該 等 問 題 應 盡 量 與 學 生 經 驗 有 關 。

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至 於 可 變 換 為 二 次 方 程 的 問 題 諸 如 5

1 6

6 =

+ x

x 及 有 關 的 應 用 題 、 以 因 式 定 理 或 由 函 數 的 圖 像 解 二 次 以 上 的 方 程 等 課 題,則 分 別 在 學 習 單 位 4「 續 多 項 式 」、 學 習 單 位 5「 續 方 程 」 和 學 習 單 位 9「 續 函 數 圖 像 」 內 處 理 。 本 學 習 單 位 中 所 有 二 次 方 程 的 係 數 及 學 習 重 點 1.2 「 由 已 知 根 建 立 二 次 方 程 」 中 的 已 知 根 , 均 只 限 於 實 數 。

在 表 達 方 程 的 解 時 , 由 於 第 三 學 習 階 段 學 習 重 點 4.3 中 簡 單 二 次 根 式 的 四 則 混 合 運 算 屬 非 基 礎 課 題 , 所 以 沒 有 修 讀 這 些 課 題 的 學 生 , 當 以 二 次 公 式 解 諸 如 x2 − x4 −4=0 等 二 次 方 程 時 , 無 須 簡 化 諸 如

2

2± 32 等 根 式 。

除 解 二 次 方 程 外 , 學 生 須 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係 。 在

《 課 程 及 評 估 指 引 》 中 ,「 理 解 」 的 要 求 一 般 比 「 認 識 」 高 。 例 如 , 學 習 重 點 1.5「 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係 」意 謂 學 生 須 懂 得 該 關 係 的 內 容 和 該 關 係 成 立 的 理 由 , 並 能 利 用 這 關 係 作 進 一 步 的 運 算 及 解 決 問 題 。

由 於 在 學 習 重 點 1.8 中 已 引 入 複 數 , 學 生 判 斷 根 的 性 質 時 , 若 判 別 式 的 值 為 負 數 , 學 生 須 指 出「 方 程 沒 有 實 根 」, 或 更 具 體 地 說 明 「 方 程 有 兩 個 非 實 根 」, 而 非 僅 指 出 「 方 程 沒 有 根 」 或 「 方 程 有 兩 個 複 數 根 」。 不 修 讀 學 習 重 點 1.9( 非 基 礎 課 題 )之 學 生,當 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程 時,無 須 以 a ± bi 的 形 式 表 示 非 實 根 。

學 生 須 理 解 根 與 係 數 的 關 係 , 包 括 :

• α + β = a

b 和 α β = a

c , 其 中 α 和 β 為 方 程 ax2 + b x + c = 0 的 根 且 a ≠ 0。

教 師 可 與 學 生 討 論 或 讓 他 們 探 索 其 他 根 與 係 數 的 關 係 , 例 如 α +2 β2 。 然 而 , 學 生 無 須 背 念 有 關 結 果 。

數 學 概 念 的 發 展 並 非 一 蹴 而 就 , 其 過 程 往 往 受 文 化 思 想 等 因 素 影 響 , 數 系 的 發 展 亦 不 例 外 。 教 師 可 透 過 不 同 活 動 , 如 展 板 製 作 或 閱 讀 計 畫 , 讓 學 生 欣 賞 數 系 如 何 從 自 然 數 系 發 展 到 有 理 數 系 、 實 數 系 及 複 數 系 。 例 如 ,「 為 甚 麼 古 希 臘 畢 達 哥 拉 斯 學 派 否 認 無 理 數 的 存 在 ? 」、「 虛 數 為 甚 麼 要 到 十 六 世

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論 諸 如 數 系 的 分 層 、 有 限 位 小 數 及 循 環 小 數 的 分 數 表 示 式 、 證 明 諸 如 2 、

2 5 1+

等 數 為 無 理 數 等 課 題 。

修 讀 學 習 重 點 1.9( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生 , 須 懂 得 進 行 複 數 的 加 、 減 、 乘 及 除 的 運 算,其 中 複 數 只 限 於 a ± bi 這 標 準 形 式,而 複 數 的 極 式、阿 根 圖、

棣 美 弗 定 理 , 均 不 屬 課 程 所 需 。

有 關 如 何 運 用 共 同 建 構 式 教 學 教 授 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程 , 可 參 考 《 課 程 及 評 估 指 引 》, 頁 80– 81。

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

2. 函 數 及 其 圖 像 2.1 認 識 函 數、定 義 域 和 上 域、自 變 量 和 應 變 量 的 直 觀 概 念

2.2 認 識 函 數 的 記 法 及 運 用 表 列、代 數 和 圖 像 方 法 來 表 達 函 數

2.3 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵

2.4 以 代 數 方 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值

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課 程 闡 釋 :

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 重 點 7.3 和 7.4 已 初 步 認 識 數 列 的 概 念,而 數 列 可 視 為 函 數 的 雛 形 。 在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 認 識 函 數 、 自 變 量 和 應 變 量 的 直 觀 概 念 , 並 能 分 辨 函 數 與 非 函 數 的 例 子 。 此 外 , 學 生 須 認 識 定 義 域 和 上 域 的 直 觀 概 念 , 因 為 它 們 在 界 定 函 數 時 是 不 可 或 缺 的 。 學 生 須 認 識 就 算 變 量 的 關 係 固 定 , 不 同 選 取 的 定 義 域 和 上 域 會 定 義 不 同 的 函 數 , 有 時 甚 至 會 成 為 非 函 數 。 認 識 這 兩 個 概 念 將 有 助 學 生 更 深 入 地 比 較 不 同 函 數 ( 見 學 習 重 點 3.4 的 注 釋 ), 但 利 用 集 合 語 言 嚴 格 界 定 函 數 或 表 達 值 域 , 則 不 屬 課 程 所 需 。 此 外 , 複 合 函 數 亦 不 屬 課 程 所 需 。 當 學 生 接 觸 諸 如 f(x)=sinx2 的 函 數 時 , 函 數 值 的 計 算 可 視 之 為 一 系 列 連 續 的 運 算 , 如 上 例 : 先 取 平 方 、 再 取 正 弦 。

教 師 在 闡 釋 函 數 的 記 法 時 , 可 引 入 啞 變 量 的 概 念 。 表 達 函 數 的 方 式 不 拘 一 格 , 除 可 因 應 個 別 情 況 使 用 表 列 、 代 數 和 圖 像 方 法 外 , 也 可 採 用 以 下 較 直 觀 的 表 達 方 式 :

學 生 對 函 數 有 初 步 認 識 後 , 須 進 一 步 透 過 他 們 所 熟 悉 的 二 次 函 數 鞏 固 有 關 1 • • 2

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• 頂 點

• 對 稱 軸

• 開 口 方 向

• 與 兩 軸 的 關 係

學 生 須 能 從 二 次 函 數 中 x2項 的 係 數,即 首 項 係 數,辨 認 其 圖 像 的 開 口 方 向 , 由 常 數 項 找 出 y 軸 截 距 及 利 用 有 關 的 判 別 式 判 斷 圖 像 與 x 軸 是 否 相 交 。 另 一 方 面 , 學 生 亦 應 能 從 二 次 函 數 的 圖 像 讀 出 對 稱 軸 及 頂 點 等 資 料 。 學 生 須 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 頂 點 與 函 數 的 極 大 值 / 極 小 值 的 關 係,並 能 由 此 以 圖 解 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 / 極 小 值 。

修 讀 學 習 重 點 2.4( 非 基 礎 課 題 )的 學 生 , 須 能 用 代 數 方 法 , 求 二 次 函 數 的 極 大 值 / 極 小 值 , 並 解 有 關 的 應 用 題 。 除 配 方 法 外 , 教 師 亦 可 介 紹 其 他 代 數 方 法 , 例 如 , 對 學 習 能 力 較 高 的 學 生 , 教 師 可 引 導 他 們 從 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵, 得 悉 y= x2 −2x 的 頂 點 之 x 坐 標 為 1

2 = +β

α ,並 代 入 x = 1 得

出 函 數 的 最 小 值 為 12 −2(1)=−1。 至 於 利 用 求 導 法 求 極 大 值 和 極 小 值 , 則 屬 延 伸 部 分 單 元 一 或 單 元 二 中 「 求 導 法 的 應 用 」 的 其 中 一 個 學 習 重 點 , 並 不 屬 必 修 部 分 所 需 。

此 外 , 教 師 可 引 導 學 生 進 一 步 探 索 二 次 函 數 的 係 數 與 圖 像 的 其 他 關 係 。 例 如,從 αβ 所 取 的 正 負 值,判 斷 圖 像 的 兩 個 x 軸 截 點 在 y 軸 同 側 還 是 異 側;

或 從 二 次 函 數 y=ax2 +bx+c的 圖 像 , 判 斷 a、 b、 c 的 值 是 0、 正 或 負 。

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

3. 指 數 函 數 與 對 數 函 數

3.1 理 解 有 理 數 指 數 的 定 義 3.2 理 解 有 理 指 數 的 定 律

3.3 理 解 對 數 的 定 義 及 其 性 質 ( 包 括 換 底 公 式 )

3.4 理 解 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 性 質 及 認 識 其 圖 像 的 特 徵

3.5 解 指 數 方 程 和 對 數 方 程

3.6 欣 賞 對 數 在 現 實 生 活 情 境 中 的 應 用 3.7 欣 賞 對 數 概 念 的 發 展

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課 程 闡 釋 :

在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 10「 整 數 指 數 律 」,學 生 已 理 解 整 數 指 數 的 概 念 , 包 括 an、 a0和 a–n( 其 中 n 為 正 整 數 ) 的 定 義 。 在 這 學 習 本 單 位 , 學 生 須 理 解 指 數 的 定 義 如 何 由 整 數 指 數 伸 延 至 有 理 數 指 數 , 令 指 數 定 律 在 有 理 數 指 數 仍 大 部 分 成 立 。 學 生 須 理 解 其 他 有 理 數 指 數 的 定 義 :An aEA、 aA

1 nE

A 和 aA

m nE

A

其 中 a 為 正 實 數 , m 為 整 數 和 n 為 正 整 數 。 雖 然 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 懂 得 計 算 當 n 為 奇 數 、 a 為 負 數 時 An aEA( 例 如 A3 –8EA ) 的 值 , 但 (–8)A

1 3E

A 的 寫 法 則 應 避 免 。 此 外 , 學 生 須 理 解 當 a 為 負 數 時 , 指 數 定 律 並 不 適 用 。

學 習 重 點 3.2 中 的 有 理 指 數 定 律 包 括 :

• a p a q = a p + q

qp a

a = a p − q

• (a p)q = a pq

• a p b p = (ab) p

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p p

p

b a b

a

 

=

學 習 重 點 3.3 中 的 對 數 性 質 包 括 :

• log a 1 = 0

• log a a = 1

• log a MN = lo g a M + lo g a N

• log a

N

M = l o g a M − log a N

• log a M k = k lo g a M

• log b N =

b N

a a

log log

學 生 學 習 有 理 指 數 定 律 和 對 數 性 質 時 , 須 清 楚 理 解 其 成 立 條 件 , 例 如 log a 1 = 0 中 a 須為正數且 a≠1 。

學 生 理 解 換 底 公 式 後 , 即 能 以 計 算 機 求 得 任 意 對 數 ( 例 如 log23) 的 值 。 惟 自 然 對 數 屬 延 伸 部 分 的 學 習 重 點 , 不 屬 必 修 部 分 所 需 。

學 習 重 點 3.2 中 的 指 數 雖 然 只 局 限 於 有 理 數 , 但 學 生 須 認 識 實 數 指 數 的 定 義 是 有 理 指 數 的 進 一 步 推 廣 。 推 廣 的 詳 情 不 屬 課 程 所 需 , 但 可 作 為 學 生 進 一 步 探 索 的 有 趣 課 題 。 此 外 , 學 生 應 留 意 指 數 函 數 的 定 義 域 為 實 數 集 , 而 對 數 函 數 的 定 義 域 為 正 實 數 集 。 後 者 的 定 義 域 與 學 生 所 熟 識 的 二 次 函 數 不 同 。 教 師 亦 可 引 導 學 生 討 論 當 a >1 或 0 < a < 1 時 , 指 數 函 數 ( 及 對 數 函 數 ) 的 圖 像 有 何 不 同 。 學 生 須 認 識 當 a >1( 或 0 < a < 1) 及 實 數 x 遞 增 時,函 數 f (x) = a x和 f (x) = log a x( 其 中 x > 0)遞 增( 或 遞 減 );y = a xy = log a x ( 其 中 x > 0 ) 的 圖 像 對 稱 於 y = x。 由 於 反 函 數 的 概 念 不 屬 課 程 所 需 , 當 討 論 y = ax 與 y = lo gax 的 圖 像 之 對 稱 關 係 時 , 無 須 引 入 「 反 函 數 」 這 詞 。 學 生 理 解 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 關 係 後 , 可 進 一 步 由 指 數 函 數 的 特 徵 推 導 出 對 數 函 數 的 相 關 特 徵 。 教 師 可 透 過 不 同 的 例 子 , 諸 如

y=2xy=x2y=x3, 討 論 函 數 圖 像 遞 增 /減 的 快 慢 。

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學 習 重 點 3.5 主 要 涉 及 諸 如 2x = 5 或 l og3(x+ 4 ) = 2 等 簡 單 方 程 。 諸 如 4x − 3 ⋅ 2x − 4 = 0 或 log2(x+ 1)+ log2(x- 3 ) = 3 等 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 , 則 在 學 習 重 點 5.3 中 處 理 。

在 這 學 習 單 位 , 學 生 須 理 解 指 數 函 數 及 對 數 函 數 的 概 念 。 教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 , 透 過 對 諸 如 以 黎 克 特 制 表 示 地 震 強 度 、 以 分 貝 表 示 聲 音 強 級 等 討 論 , 讓 學 生 欣 賞 對 數 在 現 實 生 活 的 應 用 並 理 解 計 算 公 式 中 採 用 對 數 的 目 的 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 以 至 數 學 建 模 過 程 的 能 力 和 信 心 。 學 生 可 嘗 試 採 用 不 同 的 公 式 計 算 地 震 強 度 , 但 無 須 背 念 有 關 公 式 。

教 師 可 透 過 不 同 活 動 , 讓 學 生 體 會 在 沒 有 計 算 工 具 幫 助 下 , 進 行 複 雜 運 算 的 困 難 , 並 由 此 引 導 學 生 討 論 諸 如 對 數 概 念 發 展 的 歷 史 及 如 何 以 對 數 概 念 設 計 昔 日 的 某 些 計 算 工 具 ( 例 如 : 計 算 尺 和 對 數 表 ) 等 課 題 。

修 讀 延 伸 部 分 單 元 一 或 單 元 二 的 學 生 , 將 會 進 一 步 學 習 指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 其 他 性 質 及 應 用 。

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

4. 續 多 項 式 4.1 進 行 多 項 式 除 法 4.2 理 解 餘 式 定 理 4.3 理 解 因 式 定 理

4.4 理 解 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 4.5 進 行 有 理 函 數 的 加 、 減 、 乘 和 除

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課 程 闡 釋 :

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 11「 多 項 式 」 已 學 習 多 項 式 的 加 法 、 減 法 、 乘 法 和 簡 易 多 項 式 的 因 式 分 解 , 亦 在 第 三 學 習 階 段 學 習 重 點 13.1 掌 握 了 只 涉 及 分 母 為 一 次 因 式 的 積 的 代 數 分 式 的 運 算 。 在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 進 一 步 學 習 多 項 式 的 除 法 及 較 複 雜 的 因 式 分 解 問 題 , 亦 會 接 觸 分 母 次 數 大 於 一 的 有 理 函 數 的 運 算 。 有 理 函 數 的 加 、 減 、 乘 、 除 , 亦 可 視 為 多 項 式 的 四 則 混 合 運 算 。

長 除 法 是 進 行 多 項 式 除 法 的 一 個 標 準 程 序 。 教 師 亦 可 向 學 生 介 紹 其 他 方 法 , 例 如 綜 合 除 法 。 至 於 多 項 式 的 繁 複 運 算 , 則 非 本 課 程 的 重 點 。

學 生 須 理 解 除 法 算 式 f(x)=g(x)Q(x)+R(x) 的 意 義,及 於 g(x)=ax+b 時 如 何 推 導 出 餘 式 定 理 。 進 一 步 而 言 , 因 式 定 理 可 視 為 餘 式 定 理 的 一 個 特 殊 情 況 。 在 應 用 因 式 定 理 分 解 多 項 式 時 , 教 師 可 引 導 學 生 欣 賞 其 功 能 ( 例 如 , 解 二 次 以 上 方 程 ) 及 了 解 其 局 限 性 ( 例 如 , 不 是 所 有 二 次 以 上 的 方 程 都 能 有 效 地 利 用 這 個 方 法 求 解 )。

學 生 須 運 用 因 式 定 理 分 解 諸 如 x3 ±a3的 多 項 式 , 但 無 須 背 念 有 關 x3±a3因 式 分 解 的 恆 等 式 。

為 銜 接 延 伸 部 分,本 單 位 以「 有 理 函 數 」取 代 在 第 三 學 習 階 段 所 採 用 的「 代 數 分 式 」 一 詞 , 惟 學 生 無 須 在 必 修 部 分 深 入 學 習 有 理 函 數 的 性 質 。

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在 進 行 有 理 函 數 的 加 、 減 、 乘 、 除 和 約 簡 時 , 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 頗 為 重 要 , 因 此 學 生 對 兩 者 均 須 有 充 分 理 解 。 教 師 可 與 學 生 重 溫 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數 的 概 念 。 教 授 最 大 公 因 式( 又 稱「 最 高 公 因 式 」)和 最 小 公 倍 式( 又 稱「 最 低 公 倍 式 」)時,教 師 可 自 由 選 用 任 何 一 個 常 見 的 簡 稱 , 例 如 , “H.C.F.” 、 “gcd” ,或以 “( a , b )” 表 a 和 b 的最 大 公 因 式。除 選 定 一 個 簡 稱 外 , 教 師 亦 應 介 紹 其 他 記 法 , 方 便 學 生 閱 讀 其 他 參 考 書 籍 。 為 避 免 過 於 繁 複 的 計 算 , 當 進 行 有 理 函 數 的 加 、 減 、 乘 、 除 時 , 應 只 限 於 不 多 於 兩 個 變 數 的 有 理 函 數 之 運 算 。 有 理 函 數 的 除 法 包 括 諸 如 「 2 1 2

y

x − 除 以 y

x+

1 」 , 惟 過 於 繁 複 的 運 算 並 非 本 單 位 的 重 點 。

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

5. 續 方 程 5.1 運 用 圖 解 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程,其 中 二 元 二 次 方 程 只 限 於 y = ax2 + bx + c 的 形 式

5.2 運 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程

5.3 解 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程( 其 中 包 括 分 式 方 程、指 數 方 程、對 數 方 程 和 三 角 方 程 ) 5.4 解 涉 及 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 之 應 用

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課 程 闡 釋 :

在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 9「 二 元 一 次 方 程 」, 學 生 已 學 會 建 立 二 元 一 次 的 聯 立 方 程,運 用 代 數 方 法 及 圖 解 法 解 二 元 一 次 的 聯 立 方 程。在 本 學 習 單 位 , 聯 立 方 程 的 類 型 將 擴 展 至 其 中 之 一 為 二 元 二 次 方 程,亦 會 延 伸 學 習 重 點 1.6 的 內 容 至 涉 及 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 之 應 用 題 。 學 生 應 留 意 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 的 解 之 數 目 , 與 兩 個 方 程 均 為 二 元 一 次 方 程 時 有 何 分 別 。

鑑 於 學 生 在 必 修 部 分 無 須 學 習 諸 如 x= y2 −3y+6 或 xy + y2 =1 等 二 元 二 次 方 程 的 圖 像 , 因 此 在 學 習 重 點 5.1 中 利 用 圖 解 法 解 聯 立 方 程 時 , 其 中 二 元 二 次 方 程 只 限 於 y = ax2 + b x + c 的 形 式。至 於 使 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 , 則 沒 有 此 限 制 。

學 生 處 理 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 時 , 須 留 意 解 的 合 理 性 , 例 如 , 解 方 程 0

2 sin 5 sin

2 2θ − θ+ = 時,學 生 須 留 意 sinθ =2 沒 有 實 解 。 此 外 , 涉 及 三 角 函 數 的 方 程 , 其 解 只 限 於 0° 至 360° 的 區 間 ( 參 考 學 習 重 點 14.2)。

為 提 升 學 生 的 學 習 興 趣 , 教 師 在 學 習 重 點 5.4 中 可 多 選 取 與 學 生 經 驗 有 關 的 應 用 題 。 在 討 論 過 程 中 , 教 師 可 引 導 學 生 發 現 解 題 方 法 的 多 樣 性 。 學 生 應 探 討 不 同 的 解 難 策 略 , 並 能 從 中 選 擇 最 恰 當 的 方 案 。

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

6. 變 分 6.1 理 解 正 變 和 反 變 及 其 在 解 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用

6.2 理 解 正 變 和 反 變 的 圖 像

6.3 理 解 聯 變 和 部 分 變 及 其 在 解 決 現 實 生 活 問題時 的 應用

7

課 程 闡 釋 :

在 第 三 學 習 階 段 , 學 生 已 透 過 學 習 單 位 6「 率 、 比 及 比 例 」 認 識 正 比 例 、 反 比 例 和 量 與 量 之 間 的 某 些 關 係 。 在 學 習 單 位 2「 函 數 及 其 圖 像 」, 學 生 須 學 習 函 數 的 初 步 概 念 , 認 識 變 量 與 變 量 之 間 亦 可 有 某 些 關 係 。 本 學 習 單 位 將 進 一 步 討 論 不 同 形 式 的 變 量 之 間 的 關 係 , 包 括 正 變 、 反 變 、 聯 變 和 部 分 變 等 概 念 及 它 們 在 日 常 生 活 中 的 應 用 。 教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 , 諸 如 利 用 變 分 處 理 數 學 建 模 的 問 題 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心 。

雖 然 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 學 習 正 比 例 和 反 比 例 , 並 運 用 它 們 來 解 應 用 題 , 惟 學 生 未 掌 握 以 變 分 的 概 念 來 處 理 正 比 例 和 反 比 例 , 即 正 變 為 y=kx 和 反 變 為

x

y= k 。在 討 論 正 變 y=kx 和 反 變 x

y= k 的 圖 像 時 , 教 師 可 提 示 學 生 留 意 該 兩 函 數 的 定 義 域 均 可 包 含 負 實 數 。

學 生 在 解 決 涉 及 部 分 變 的 問 題 時 , 往 往 須 要 運 用 解 二 次 或 以 上 方 程 的 技 巧 。 因 此 , 在 這 單 位 前 , 學 生 須 先 修 讀 學 習 單 位 1「 一 元 二 次 方 程 」 和 學 習 單 位 4「 續 多 項 式 」 的 內 容 。

(18)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

7. 等 差 數 列 與 等 比 數 列 及 其 求 和 法

7.1 理 解 等 差 數 列 的 概 念 及 其 性 質 7.2 理 解 等 差 數 列 的 通 項

7.3 理 解 等 比 數 列 的 概 念 及 其 性 質 7.4 理 解 等 比 數 列 的 通 項

7.5 理 解 等 差 數 列 和 等 比 數 列 的 有 限 項 求 和 公 式 及 運 用 該 些 公 式 解 有 關 的 應 用 題 7.6 探 究 某 些 等 比 數 列 的 無 限 項 求 和 公 式 及

運 用 該 公 式 解 有 關 的 應 用 題 7.7 解 現 實 生 活 中 相 關 的 應 用 題

17

課 程 闡 釋 :

在 第 三 學 習 階 段 學 習 重 點 7.3,學 生 已 認 識 數 列 的 概 念。在 本 學 習 單 位,學 生 須 將 進 一 步 理 解 其 中 兩 類 常 見 數 列 ( 等 差 數 列 和 等 比 數 列 ) 的 概 念 、 性 質 、 求 和 公 式 及 其 應 用 。

教 師 可 引 導 學 生 討 論 當 T1, T2, T3, … 為 等 差 數 列 時 , 若 a 和 k 是 任 何 兩 個 實 數 , 數 列 T1 + a , T2 + a , T3 + a, … 與 數 列 k T1 , k T2 , k T3, … 都 是 等 差 數 列 , 並 由 此 得 出 數 列 k T1 + a , k T2 + a , k T3 + a , … 亦 必 為 等 差 數 列 。 學 生 亦 應 發 現 , 當 T1, T2, T3, … 為 等 比 數 列 及 k ≠0 時 , 數 列 k T1 , k T2 , k T3 , … 亦 必 為 等 比 數 列 。 至 於 0, 0, 0, … 是 否 等 差 數 列 的 討 論 則 不 屬 必 修 部 分 所 需 。

教 師 可 引 入 諸 如 an = an - 1+k、 an = ran - 1、 an + 2 = an + 1+an等 例 子 , 讓 學 生 認 識 以 數 列 中 項 與 項 之 間 的 關 係 來 表 示 該 數 列 的 方 法 。

處 理 涉 及 等 差 數 列 或 等 比 數 列 求 和 的 幾 何 題 時 , 學 生 可 能 須 應 用 學 習 單 位 14「 續 三 角 學 」 的 內 容 , 教 師 應 留 意 有 關 學 習 單 位 的 教 學 次 序 。

討 論 等 差 數 列 的 性 質 Tn = ½ ( Tn–1 + Tn+1 ) 和 等 比 數 列 的 性 質 Tn2 = Tn − 1 × Tn + 1

(19)

時 , 無 須 介 紹 「 等 差 中 項 」 和 「 等 比 中 項 」 這 兩 個 名 稱 。

學 習 重 點 7.5 涉 及 等 差 數 列 或 等 比 數 列 有 限 項 求 和 的 幾 何 題。學 習 重 點 7.6 可 涉 及 等 比 數 列 的 無 限 項 求 和 的 幾 何 題 。 教 師 可 考 慮 在 學 習 重 點 7.7 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育、科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素,諸 如 涉 及 利 息 、 增 長 或 折 舊 的 應 用 題 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心 。

(20)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

8. 不 等 式 與 線 性 規 畫

8.1 解 複 合 一 元 一 次 不 等 式 8.2 以 圖 解 法 解 一 元 二 次 不 等 式 8.3 以 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式

8.4 在 直 角 坐 標 平 面 上 表 示 二 元 一 次 不 等 式 的 圖 像

8.5 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式 8.6 解 線 性 規 畫 應 用 題

16

課 程 闡 釋 :

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 14「 一 元 一 次 不 等 式 」 已 學 習 解 一 元 一 次 不 等 式 並 以 在 數 線 上 表 示 所 求 得 的 解 。 在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 解 涉 及 「 和 」 或「 或 」的 複 合 一 元 一 次 不 等 式、以 圖 解 法 和 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式 、 以 圖 解 法 解 二 元 一 次 不 等 式 , 及 線 性 規 畫 應 用 題 。

在 學 習 重 點 8.1 中 , 教 師 應 讓 學 生 發 現 將 兩 個 一 元 一 次 不 等 式 的 解 畫 在 同 一 條 數 線 上 時 , 數 線 一 般 可 被 分 割 成 三 個 區 域 , 藉 此 可 以 找 出 複 合 不 等 式 的 解 。 學 生 須 留 意 「 x > 3 及 x < 5」 和 「 x > 3 或 x < 5」 的 解 並 不 相 同 。

學 生 在 第 一 學 習 階 段 學 習 單 位 3S2「 三 角 形 」, 已 認 識 三 角 形 任 意 兩 邊 長 度 之 和 大 於 餘 下 的 邊 的 長 度 , 惟 未 認 識 以 不 等 式 表 達 這 關 係 。 學 生 須 在 本 學 習 單 位 透 過 解 簡 單 三 角 不 等 式 的 問 題 , 鞏 固 對 解 複 合 一 元 一 次 不 等 式 的 理 解 。

學 生 充 分 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵 後 , 須 能 以 圖 解 法 解 一 元 二 次 不 等 式 。 學 生 亦 須 以 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式 。

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 9「 二 元 一 次 方 程 」 已 充 分 掌 握 如 何 在 直 角 坐 標 平 面 上 描 繪 線 性 方 程 的 圖 像。學 生 亦 理 解 二 元 一 次 方 程( ax + by +c =0,

(21)

二 元 一 次 方 程,且 直 線 外 的 所 有 點 的 坐 標 皆 不 滿 足 該 二 元 一 次 方 程。因 此 , 教 師 可 藉 此 與 學 生 進 一 步 討 論 二 元 一 次 不 等 式 的 解 。 在 解 二 元 一 次 不 等 式 時 , 學 生 須 判 斷 二 元 一 次 不 等 式 的 解 對 應 哪 些 由 直 線 分 割 出 來 的 區 域 , 而 試 值 法 是 學 生 較 易 掌 握 的 其 中 一 個 方 法 。 教 師 可 使 用 資 訊 科 技 , 如 動 態 幾 何 軟 件 , 與 學 生 討 論 平 面 上 的 哪 些 點 滿 足 /不 滿 足 二 元 一 次 不 等 式 。

學 習 重 點 8.5 要 求 學 生 運 用 圖 解 法 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式 。 至 於 運 用 代 數 方 法 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式 , 則 不 屬 課 程 所 需 。

教 師 教 授 學 習 重 點 8.6 時 , 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 , 諸 如 利 用 線 性 規 畫 解 涉 及 數 學 建 模 的 優 化 問 題 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心 。 教 師 亦 應 為 學 生 提 供 討 論 解 題 策 略 的 機 會 。

(22)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

9. 續 函 數 圖 像 9.1 描 繪 及 比 較 不 同 函 數 的 圖 像,包 括 常 值 函 數 、線 性 函 數 、 二 次 函 數 、 三 角 函 數 、 指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 圖 像

9.2 運 用 y = f (x) 的 圖 像 解 方 程 f (x) = k

9.3 運 用 y = f (x) 的 圖 像 解 不 等 式 f (x) > k 、 f (x) < k 、 f (x) ≥ k 和 f (x) ≤ k

9.4 從 表 列、符 號 和 圖 像 的 角 度 理 解 函 數 f (x) 的 變 換,包 括 f (x) + k 、 f (x + k) 、 k f (x) 和 f (kx)

11

課 程 闡 釋 :

在 學 習 單 位 2「 函 數 及 其 圖 像 」, 學 生 已 初 步 認 識 函 數 的 概 念 。 在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 進 一 步 比 較 不 同 的 函 數 的 圖 像 、 透 過 圖 解 法 解 方 程 和 不 等 式 , 及 理 解 函 數 變 換 的 概 念 。

部 分 學 生 將 諸 如 y = 4 的 數 式 只 視 為 方 程 的 解 , 且 甚 至 不 懂 得 在 坐 標 平 面 上 描 繪 直 線 y = 4 的 圖 像 。 教 師 應 向 學 生 介 紹 「 常 值 函 數 」 的 概 念 。 不 修 讀 學 習 單 位 3「 指 數 函 數 與 對 數 函 數 」( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生 , 無 須 討 論 指 數 函 數 及 對 數 函 數 的 圖 像 。 當 學 生 比 較 不 同 函 數 的 圖 像 時 , 須 比 較 它 們 的 定 義 域 、 極 大 值 和 極 小 值 的 存 在 性 、 對 稱 性 和 週 期 性 。

學 生 在 學 習 重 點 1.3 中 已 學 會 從 讀 取 y=ax2 +bx+c 的 圖 像 之 x 截 距 解 二 次 方 程 ax2 +bx+c=0 , 學 習 重 點 9.2 要 求 學 生 能 進 一 步 運 用 拋 物 線

c bx ax

y= 2 + + 和 直 線 y=k 兩 圖 像 解 一 元 二 次 方 程 ax2 +bx+c=k。 例 如 , 從 y=2x2 −5x−1 的 圖 像 , 學 生 除 了 須 能 解 二 次 方 程 2x2 − x5 −1=0 外,亦 須 能 夠 配 合 直 線 y=3 的 圖 像 解 二 次 方 程 2x2 − x5 −4=0。至 於 利 用

1 5 2 2 − −

= x x

y 的 圖 像 解 諸 如 2x2 − x6 +1=0 等 二 次 方 程,則 不 屬 課 程 所 需。

學 生 須 把 在 學 習 重 點 8.2 中 所 習 得 的 方 法 推 廣 至 二 次 函 數 以 外 的 其 他 函

數 。 換 句 話 說 , 即 使 2 + +

(23)

f (x) 的 圖 像 讀 出 方 程 f (x) = k 的 解 , 然 後 利 用 y = f (x) 的 圖 像 與 直 線 y = k 求 不 等 式 f (x) > k 、 f (x) < k 、 f (x) ≥ k 和 f (x) ≤ k 的 解 。

學 生 在 探 討 函 數 的 變 換 時 , 可 先 行 利 用 表 列 的 形 式 觀 察 自 變 量 與 應 變 量 之 間 的 關 係 之 變 化 , 繼 而 利 用 繪 圖 軟 件 比 較 經 變 換 後 函 數 圖 像 的 變 化 。 教 師 可 鼓 勵 學 生 運 用 由 特 殊 到 一 般 的 數 學 思 想 方 法,得 出 y = f (x) + k 、 f (x + k) 、 k f (x) 、 f (kx) 的圖 像 與 原 來 的 函 數 y = f (x) 的圖 像 之 關 係。討 論 過 程 中 教 師 應 着 學 生 運 用 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 26「 直 角 坐 標 系 」 所 學 習 的 概 念 及 辭 彙( 例 如,平 移、 反 射 等 )來 描 述 圖 像 的 變 化 。教 師 在 討 論 k f (x) 或 f (kx) 等變 換 時 , 應 留 意 伸 縮 變 換 不 屬 第 三 學 習 階 段 課 程 所 需 。 另 一 方 面 , 教 師 亦 應 引 導 學 生 討 論 函 數 圖 像 的 變 換 所 引 致 函 數 及 其 代 數 式 的 對 應 變 化 , 例 如 , 學 生 須 懂 得 y= f(x) 的 圖 像 沿 x 軸 作 反 射 , 變 換 後 的 圖 像 可 以 用

) (x f

y=− 表 示 。 函 數 中 代 數 式 的 對 應 變 化 只 限 於 f (x) + k 、 f (x + k) 、 k f (x) 、 f (kx) 或 其 組 合 , 換 句 話 說 , 函 數 圖 像 的 旋 轉 變 換 不 屬 課 程 所 需 。

複 合 函 數 的 概 念 不 屬 課 程 所 需 , 但 諸 如 y= x2 +4 的圖 像 可 視 為 將 y= x2 的圖 像 沿 x 軸 作 反 射 , 然 後 再 沿 y 軸 向 上 平 移 4 單 位 。

(24)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

10. 直 線 方 程 10.1 理 解 直 線 方 程

10.2 理 解 兩 直 線 相 交 的 各 種 可 能 情 況

7

課 程 闡 釋 :

在 第 三 學 習 階 段 , 學 生 在 學 習 單 位 9「 二 元 一 次 方 程 」 中 , 已 理 解 二 元 一 次 方 程 的 圖 像 。 本 學 習 單 位 的 學 習 重 點 10.1 則 要 求 學 生 在 諸 如 以 下 的 給 定 條 件 下 , 求 直 線 的 方 程 :

• 直 線 上 任 意 兩 點 的 坐 標

• 直 線 的 斜 率 及 該 直 線 上 一 點 的 坐 標

• 直 線 的 斜 率 及 其 y 截 距

在 學 習 單 位 12「 軌 跡 」, 學 生 初 步 掌 握 軌 跡 的 概 念 , 並 解 決 一 些 簡 單 的 軌 跡 問 題 。 教 師 可 引 導 學 生 從 軌 跡 的 角 度 , 理 解 方 程 與 圖 像 的 關 係 , 進 而 求 圖 像 的 方 程 及 由 方 程 理 解 對 應 圖 像 的 特 質 。

教 師 可 因 應 學 生 的 能 力 和 需 要,決 定 是 否 介 紹「 兩 點 式 」、「 點 斜 式 」和「 斜 截 式 」等 名 稱,而 各 種 直 線 方 程 的 形 式 之 間 的 轉 換 則 並 非 課 程 重 點。然 而 , 學 生 須 由 直 線 方 程 描 述 有 關 直 線 的 特 徵 , 包 括 :

• 斜 率

• 與 兩 軸 的 截 距

• 某 點 是 否 在 該 直 線 上

在 學 習 重 點 10.1 中 , 學 生 須 認 識 斜 率 與 傾 角 的 關 係 。 由 於 有 關 傾 角 可 能 涉 及 鈍 角 的 正 切 , 教 師 應 留 意 學 生 在 學 習 此 關 係 前 , 須 具 備 學 習 單 位 14「 續 三 角 學 」 內 的 有 關 知 識 。 法 線 式 不 屬 課 程 所 需 。

學 生 在 第 三 學 習 階 段 的 學 習 單 位 9「 二 元 一 次 方 程 」 中 , 須 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 , 並 認 識 以 代 數 方 法 , 處 理 沒 有 解 、 只 有 一 個 解 , 和 有 多 於 一 個 解 的 聯 立 方 程 。 故 此 , 學 生 可 進 一 步 在 學 習 重 點 10.2 中 , 以 圖 解 法 處 理 沒 有

(25)

解 和 有 多 於 一 個 解 的 聯 立 方 程 。

由 於 本 學 習 單 位 的 內 容 可 作 為 其 他 高 中 學 科 , 如 物 理 科 和 經 濟 科 等 的 學 習 基 礎 , 為 了 順 利 與 其 他 學 科 間 的 橫 向 連 繫 , 建 議 教 師 於 中 四 首 學 期 安 排 教 授 此 學 習 單 位 。 教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心 。

(26)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

11. 圓 的 基 本 性 質 11.1 理 解 圓 上 弦 和 弧 的 性 質 11. 2 理 解 圓 上 角 的 性 質

11. 3 理 解 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質

11. 4 理 解 四 點 共 圓 和 圓 內 接 四 邊 形 的 判 別 法 11. 5 理 解 圓 切 線 和 其 內 錯 弓 形 的 圓 周 角 的 性

11. 6 運 用 圓 的 基 本 性 質 作 簡 單 幾 何 證 明

23

課 程 闡 釋 :

在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 19 至 24, 學 生 已 掌 握 幾 何 的 基 本 概 念 和 證 明 , 而 內 容 以 直 線 圖 形 為 主 。 在 必 修 部 分 , 學 習 範 圍 將 擴 展 到 圓 形 , 而 學 習 歷 程 則 仍 可 從 直 觀 到 演 繹 。 例 如 , 教 師 可 利 用 動 態 幾 何 軟 件 , 讓 學 生 自 行 探 索 圓 的 基 本 幾 何 性 質 , 然 後 在 教 師 引 導 下 嘗 試 作 出 證 明 , 藉 此 培 養 學 生 的 探 索 精 神 及 邏 輯 推 理 能 力 。 有 關 如 何 運 用 探 究 式 教 學 教 授 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質 , 可 參 考 《 課 程 及 評 估 指 引 》, 頁 79。 教 師 應 在 本 學 習 單 位 中 透 過 討 論 相 切 、 內 切 圓 和 外 接 圓 的 概 念 , 銜 接 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 24「 三 角 形 的 心 」 的 學 習 。

在 學 習 重 點 11.1 至 11.3, 學 生 須 理 解 圓 的 基 本 性 質 。 學 生 除 須 知 道 有 關 性 質 的 內 容 及 運 用 這 些 性 質 進 行 運 算 外 , 亦 須 理 解 這 些 性 質 成 立 的 理 由 或 證 明 。 惟 運 用 這 些 性 質 作 其 他 幾 何 證 明 則 屬 非 基 礎 課 題 。

弧 與 所 對 的 圓 心 角 成 正 比 例 的 性 質 已 在 第 三 學 習 階 段 學 習 重 點 16.1 討 論 , 但 教 師 可 提 醒 學 生 留 意 弦 與 所 對 的 圓 心 角 並 非 成 正 比 例 。

在 學 習 重 點 11.1, 學 生 須 理 解 以 下 圓 上 弦 和 弧 的 性 質 :

• 等 弧 所 對 的 弦 相 等

• 等 弦 截 取 等 弧

(27)

• 由 圓 心 至 弦 的 垂 直 線 平 分 該 弦

• 由 圓 心 至 弦 ( 直 徑 除 外 ) 的 中 點 的 連 線 垂 直 該 弦

• 弦 的 垂 直 平 分 線 經 過 圓 心

• 等 弦 至 圓 心 等 距

• 與 圓 心 等 距 的 弦 相 等

學 生 須 理 解 給 出 三 個 不 共 線 的 點 , 有 而 且 只 有 一 個 圓 經 過 這 三 點 。

在 學 習 重 點 11.2, 學 生 須 理 解 以 下 圓 上 角 的 性 質 :

• 一 弧 所 對 的 圓 心 角 為 該 弧 所 對 的 圓 周 角 的 兩 倍

• 同 弓 形 內 的 圓 周 角 皆 相 等

• 弧 與 所 對 的 圓 周 角 成 正 比 例

• 半 圓 內 的 圓 周 角 為 直 角

• 若 圓 周 角 是 一 直 角 , 則 其 所 對 的 弦 是 一 直 徑

在 學 習 重 點 11.3, 學 生 須 理 解 以 下 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質 :

• 圓 內 接 四 邊 形 對 角 互 補

• 圓 內 接 四 邊 形 的 外 角 等 於 其 內 對 角

在 學 習 重 點 11.4( 非 基 礎 課 題 ),學 生 須 理 解 以 下 四 點 共 圓 和 圓 內 接 四 邊 形 的 判 別 法 :

• 若 A 和 D 為 位 於 直 線 BC 同 一 側 的 兩 點 , 並 且 ∠BAC = ∠BDC, 則 A、

B、 C 與 D 四 點 共 圓

• 若 四 邊 形 有 一 對 對 角 互 補 , 則 該 四 邊 形 為 圓 內 接 四 邊 形

• 若 四 邊 形 的 外 角 等 於 其 內 對 角 , 則 該 四 邊 形 為 圓 內 接 四 邊 形

在 學 習 重 點 11.5( 非 基 礎 課 題 ),學 生 須 理 解 以 下 圓 切 線 和 其 內 錯 弓 形 的 圓 周 角 的 性 質 :

• 圓 的 切 線 垂 直 於 經 過 切 點 的 半 徑

• 經 過 半 徑 的 外 端 且 垂 直 於 這 半 徑 的 直 線 是 圓 的 切 線

(28)

• 經 過 切 點 且 垂 直 於 切 線 的 直 線 經 過 圓 心

• 由 圓 外 一 點 至 圓 作 兩 切 線 , 則 : - 由 外 點 至 切 點 的 長 度 相 等 - 兩 切 線 所 對 的 圓 心 角 相 等

- 圓 心 與 切 線 交 點 的 連 線 平 分 兩 切 線 間 的 夾 角

• 若 直 線 與 圓 相 切 , 則 弦 切 角 等 於 其 內 錯 弓 形 上 的 圓 周 角

• 若 直 線 經 過 弦 上 一 端 點 且 與 弦 所 成 的 角 等 於 其 內 錯 弓 形 上 的 圓 周 角 , 則 此 直 線 與 圓 相 切

在 學 習 重 點 11.6( 非 基 礎 課 題 ), 學 生 須 運 用 圓 的 基 本 性 質 作 簡 單 幾 何 證 明 , 當 中 所 涉 及 的 問 題 可 不 局 限 於 本 學 習 單 位 的 內 容 。 教 師 可 因 應 學 生 的 能 力 , 加 入 涉 及 第 三 學 習 階 段 所 學 到 的 幾 何 知 識 的 問 題 , 諸 如 涉 及 四 邊 形 或 三 角 形 的 心 等 的 問 題 。

(29)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

12. 軌 跡 12.1 理 解 軌 跡 的 概 念

12.2 描 述 及 描 繪 滿 足 某 些 已 知 條 件 的 點 之 軌 跡

12.3 以 代 數 方 程 描 述 點 的 軌 跡

6

課 程 闡 釋 :

教 師 可 從 日 常 生 活 的 例 子 , 例 如 行 駛 中 汽 車 的 照 明 燈 和 星 流 跡 等 的 長 時 間 曝 光 照 片 引 入 軌 跡 的 概 念 。 學 生 可 利 用 動 態 幾 何 軟 件 , 探 究 一 點 在 已 知 條 件 下 移 動 所 成 的 軌 跡 , 但 學 生 亦 須 理 解 數 學 中 的 軌 跡 不 一 定 涉 及 點 的 移 動 。 例 如 , 所 有 與 某 定 點 保 持 同 樣 距 離 的 點 所 成 的 軌 跡 是 一 圓 。

在 學 習 重 點 12.2, 學 生 須 能 以 文 字 描 述 軌 跡 及 描 繪 其 圖 像 , 而 在 學 習 重 點 12.3 , 學 生 須 能 以 代 數 方 程 描 述 點 的 軌 跡 。 在 求 軌 跡 方 程 的 過 程 , 學 生 須 運 用 第 三 學 習 階 段 中 的 知 識 , 例 如 運 用 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 26「 直 角 坐 標 系 」 中 的 兩 點 距 離 公 式 , 求 與 兩 固 定 點 等 距 的 點 所 成 軌 跡 的 方 程 。

在 學 習 重 點 12.2, 學 生 須 描 述 及 描 繪 以 下 滿 足 已 知 條 件 的 點 之 軌 跡 :

• 與 一 點 保 持 固 定 距 離

• 與 兩 點 保 持 相 等 距 離

• 與 一 直 線 保 持 固 定 距 離

• 與 兩 平 行 線 保 持 相 等 距 離

• 與 兩 相 交 直 線 保 持 相 等 距 離

在 本 學 習 單 位 中 , 學 生 須 根 據 已 知 條 件 求 軌 跡 為 直 線 、 圓 和 形 式 如 y = ax2 + bx + c 的 拋 物 線 之 方 程。至 於 有 關 直 線 和 圓 的 方 程 之 詳 細 討 論,則 留

待 學 習 單 位 10「 直 線 方 程 」 和 學 習 單 位 13「 圓 方 程 」 中 進 行 。

(30)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

13. 圓方程 13.1 理 解 圓 方 程

13.2 求 直 線 與 圓 交 點 的 坐 標 及 理 解 直 線 與 圓 相 交 的 各 種 可 能 情 況

7

課 程 闡 釋 :

在 本 學 習 單 位 , 當 處 理 有 關 圓 方 程 的 問 題 時 可 聯 繫 學 習 單 位 11「 圓 的 基 本 性 質 」 的 學 習 內 容 。

學 生 須 在 給 定 條 件 下 , 諸 如 :

• 圓 心 的 坐 標 及 半 徑 的 長 度

• 圓 上 任 意 三 點 的 坐 標 求 圓 的 方 程 。

學 生 須 由 圓 方 程 描 述 有 關 圓 的 特 徵 , 包 括 :

• 圓 心

• 半 徑

• 某 點 在 圓 內 、 圓 外 或 圓 上

修 讀 學 習 重 點 5.2( 非 基 礎 課 題 )的 學 生 掌 握 使 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 。在 學 習 重 點 13.2( 非 基 礎 課 題 ),學 生 可 藉 此 推 斷 直 線 與 圓 相 交 有 三 種 可 能 情 況 , 從 而 利 用 二 次 方 程 的 判 別 式 判 斷 已 知 直 線 與 圓 有 多 少 個 交 點 及 求 該 圓 的 切 線 方 程 。 此 外 , 教 師 亦 可 引 導 學 生 利 用 平 面 幾 何 的 方 法 證 明 沒 有 直 線 可 與 一 圓 相 交 多 於 兩 點 。

(31)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

14. 續 三 角 學 14.1 理 解 正 弦 、 餘 弦 和 正 切 函 數 及 其 圖 像 和 性 質 , 包 括 極 大 值 、 極 小 值 和 週 期 性 14.2 解 三 角 方 程 a sin θ = b、a cos θ = b、a tan θ =

b( 其 解 限 於 0° 至 360° 區 間 ) 和 其 他 的 三 角 方 程 ( 其 解 限 於 0° 至 360° 區 間 ) 14.3 理 解 三 角 形 面 積 公 式 ½ absin C

14.4 理 解 正 弦 和 餘 弦 公 式 14.5 理 解 希 羅 公 式

14.6 理 解 投 影 的 概 念

14.7 理 解 一 線 與 一 平 面 的 相 交 角 和 兩 平 面 的 相 交 角

14.8 理 解 三 垂 線 定 理

14.9 解 二 維 和 三 維 空 間 中 相 關 的 應 用 題

25

課 程 闡 釋 :

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 27「 三 角 學 」 已 理 解 在 直 角 三 角 形 中 銳 角 的 正 弦 、 餘 弦 和 正 切 。 在 這 基 礎 上 , 教 師 可 介 紹 如 何 利 用 直 角 坐 標 平 面 上 的 單 位 圓 定 義 三 角 函 數 , 並 介 紹 正 角 和 負 角 。 學 生 須 能 找 出 三 角 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值 , 且 能 從 三 角 函 數 的 圖 像 找 出 其 週 期 性 , 並 根 據 函 數 的 週 期 性 簡 化 含 有 −θ 、 90° ± θ 、 180° ± θ …… 等 的 正 弦 、 餘 弦 和 正 切 之 數 式 。 弧 度 法 為 延 伸 部 分 單 元 二 的 學 習 重 點 , 不 屬 必 修 部 分 課 程 所 需 。

學 習 重 點 14.2 中 解 三 角 方 程 a sin θ = b 、 a cos θ = b 、 a tan θ = b 屬 基 礎 課 題 , 而 解 其 他 三 角 方 程 , 如 sin2θ =0.5、 sinθ =2cosθ 、 tanθ −cos(90°−θ)=0 等 , 則 屬 非 基 礎 課 題 。 至 於 可 變 換 為 二 次 方 程 的 三 角 方 程 , 如

0 1 sin 5 sin

6 2θ + θ + = 、 tanθ =cosθ 等 , 亦 屬 非 基 礎 課 題 ( 見 學 習 重 點 5.3)。

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 18「 求 積 法 」 中 , 已 認 識 一 點 在 平 面 上 的 投

(32)

與 平 面 上 任 意 一 條 經 過 直 線 與 平 面 交 點 的 線 垂 直 」,及 認 識 一 直 線 與 一 平 面 垂 直 的 判 別 條 件 為 「 在 該 平 面 上 有 兩 條 經 過 直 線 與 平 面 交 點 的 直 線 , 與 該 直 線 垂 直 」。 必 修 部 分 學 習 重 點 14.6 將 進 一 步 討 論 投 影 的 概 念 , 包 括 直 線 在 一 平 面 上 的 投 影 , 這 些 概 念 有 助 學 生 理 解 學 習 重 點 14.7 和 14.8。 而 學 習 重 點 14.7 須 包 括 傾 角 的 概 念 , 教 師 可 引 入 最 大 斜 率 線 的 概 念 。

由 於 三 垂 線 定 理 涉 及 解 大 量 不 同 的 三 維 空 間 應 用 題 , 學 生 須 在 學 習 重 點 14. 8 理 解 以 下 三 垂 線 定 理 及 其 證 明 :

直 線 L 在 平 面 π 上 的 投 影 為 一 直 線 L′, 且 L 及 L′ 與 π 上 一 直 線 L1交 於 同 一 點 。 如 果 L′與 L1互 相 垂 直 , 則 L 與 L1 互 相 垂 直 ; 反 之 亦 然 。

在 學 習 重 點 14.9 中 , 學 生 須 解 三 維 空 間 中 相 關 的 應 用 題 , 包 括 求 兩 直 線 的 交 角、直 線 與 平 面 的 交 角、兩 平 面 的 交 角、點 與 點 的 距 離、點 與 線 的 距 離 , 和 點 與 面 的 距 離 。

L

L1

π L′

(33)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 據 處 理 範 疇

15. 排 列 與 組 合 15.1 理 解 計 數 原 理 的 加 法 法 則 和 乘 法 法 則 15.2 理 解 排 列 的 概 念 和 記 法

15.3 解 不 同 物 件 的 無 重 排 列 應 用 題 15.4 理 解 組 合 的 概 念 和 記 法

15.5 解 不 同 物 件 的 無 重 組 合 應 用 題

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課 程 闡 釋 :

學 生 經 過 不 同 學 習 階 段 , 已 對 計 數 原 理 有 直 觀 的 認 識 。 在 這 學 習 單 位 , 學 生 須 對 基 本 的 計 數 原 理 有 更 深 入 的 理 解 , 包 括 在 甚 麼 時 候 應 用 加 法 法 則 或 乘 法 法 則 。 此 外 , 透 過 排 列 與 組 合 的 學 習 , 學 生 須 能 解 決 現 實 中 較 複 雜 的 問 題 。

教 師 教 授 排 列 和 組 合 的 概 念 時,可 選 用 任 何 一 個 常 見 的 記 法,如 P 、 rn nPr

nPrC 、 rn nCr nCr、 

 

r

n 。 除 選 定 的 記 法 外 , 教 師 亦 應 介 紹 其 他 記 法 , 方 便 學 生 閱 讀 參 考 書 籍 。

在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 理 解 排 列 與 組 合 兩 者 的 分 別 。 學 生 亦 須 理 解 關 係

n

C =r

! r Prn

C =rn Cnnr 。 其 他 關 於 排 列 或 組 合 較 複 雜 的 性 質 , 如

n

C +r Crn1=Crn+1, 則 不 屬 必 修 部 分 課 程 所 需 。

排 列 與 組 合 問 題 千 變 萬 化。在 本 學 習 單 位,學 生 只 須 解 簡 單 的 排 列 和 組 合 的 應 用 題 , 例 如 「 求 物 件 的 排 列 , 其 中 三 個 指 定 物 件 必 須 相 鄰 」。 至 於 圓 形 排 列 及 牽 涉 相 同 物 件、 重 複 排 列 或 組 合 的 應 用 題 的 計 算, 則 不 屬 課 程 所 需 。

(34)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 據 處 理 範 疇

16. 續 概 率 16.1 認 識 集 合 的 記 法 , 包 括 併 集 、 交 集 和 餘 集 的 記 法

16.2 理 解 概 率 加 法 定 律 及 互 斥 事 件 和 互 補 事 件 的 概 念

16.3 理 解 概 率 乘 法 定 律 和 獨 立 事 件 的 概 念 16.4 認 識 條 件 概 率 的 概 念 和 記 法

16.5 運 用 排 列 與 組 合 解 與 概 率 有 關 的 應 用 題

10

課 程 闡 釋 :

學 生 在 第 三 學 習 階 段 學 習 單 位 31「 概 率 」已 學 習 概 率 的 基 本 概 念,並 能 以 數 數 方 法 求 概 率。 在 必 修 部 分 , 學 生 須 能 以 加 法 定 律 和 乘 法 定 律 解 決 概 率 中 較 複 雜 的 問 題。而 關 於 概 率 的 更 進 一 步 問 題 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 中 處 理 。

為 方 便 表 達 不 同 事 件 間 的 關 係 ( 包 括 互 斥 、 互 補 和 獨 立 事 件 )、 概 率 加 法 定 律 和 乘 法 定 律 , 本 學 習 單 位 中 的 事 件 均 以 集 合 表 示 。 因 此 , 在 學 習 學 習 重 點 16.2 – 16.5 中 的 內 容 前,學 生 須 對 集 合 有 基 本 的 認 識,其 中 包 括 以 列 舉 、 描 述 及 溫 氏 圖 表 示 集 合 , 並 認 識 在 概 率 問 題 中 常 見 的 空 集 、 宇 集 、 併 集、 交 集 和 餘 集 的 概 念 及 記 法 。 至 於 這 些 概 念 的 嚴 格 定 義 或 集 合 運 算 的 規 律 ( 例 如 德 摩 根 律 等 ) 則 不 屬 必 修 部 分 課 程 所 需 。

在 學 習 重 點 16.2,學 生 須 理 解 概 率 加 法 定 律,即「 P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

− P (A ∩ B) 」。

在 學 習 重 點 16.3,學 生 須 理 解 概 率 乘 法 定 律,即「 P(A ∩ B) = P(A) × P(B),

其 中 A 和 B 為 獨 立 事 件 。 」。 學 生 亦 須 理 解 「 P(A ∩ B) = P(A) × P(B)」 可 作 為 獨 立 事 件 的 定 義。學 生 不 應 以 直 觀 方 法 判 斷 兩 件 事 件 是 否 獨 立 事 件 。

運 用 概 率 的 加 法 定 律 及 乘 法 定 律 時,學 生 須 理 解 在 某 些 特 殊 條 件 下,例 如

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A 及 B 為 互 斥 事 件 時 , 這 些 定 律 的 特 例 。 同 時 , 在 引 入 乘 法 定 律 時 , 學 生 須 認 識 條 件 概 率 的 概 念 和 記 法,並 能 解 簡 單 的 條 件 概 率 問 題。至 於 貝 葉 斯 定 理 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 中 處 理 , 不 屬 必 修 部 分 課 程 所 需 。

在 學 習 重 點 16.4 中 , 學 生 須 認 識 法 則 「 P(A∩B) = P(A)× P(BA)」。

修 讀 學 習 單 位 15「 排 列 與 組 合 」( 非 基 礎 課 題 )的 學 生 須 運 用 有 關 的 計 數 技 巧 解 決 與 概 率 有 關 的 應 用 題 。

(36)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 據 處 理 範 疇

17. 離 差 的 度 量 17.1 理 解 離 差 的 概 念

17.2 理 解 分 佈 域 和 四 分 位 數 間 距 的 概 念 17.3 製 作 及 闡 釋 框 線 圖 及 運 用 框 線 圖 比 較 不

同 組 別 的 數 據 分 佈

17.4 理 解 分 組 數 據 和 不 分 組 數 據 的 標 準 差 之 概 念

17.5 運 用 合 適 的 量 度 方 法 比 較 不 同 組 別 數 據 的 離 差

17.6 理 解 標 準 差 在 涉 及 標 準 分 和 正 態 分 佈 的 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用

17.7 理 解 下 列 情 況 對 數 據 的 離 差 之 影 響 : (i) 對 數 據 的 每 一 項 加 上 一 個 相 同 的 常

(ii ) 對 數 據 的 每 一 項 乘 以 一 個 相 同 的 常 數

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課 程 闡 釋 :

在 第 二 學 習 階 段 , 學 生 已 學 習 一 個 量 度 離 散 數 據 的 集 中 趨 勢 之 簡 單 方 法 平 均 數 。 在 第 三 學 習 階 段 , 學 生 學 習 量 度 不 分 組 數 據 及 分 組 數 據 的 集 中 趨 勢 的 其 他 方 法 。 在 必 修 部 分 , 學 生 須 進 一 步 認 識 到 , 在 很 多 情 況 下 , 要 描 述 數 據 分 佈 , 僅 用 集 中 趨 勢 並 不 足 夠 。 學 生 除 須 理 解 離 差 、 分 佈 域 、 四 分 位 數 間 距 的 概 念 , 亦 須 懂 得 製 作 和 闡 釋 框 線 圖 ( 或 稱 「 箱 形 圖 」)。 當 給 出 一 組 不 分 組 或 分 組 的 數 據 , 學 生 須 懂 得 計 算 它 的 標 準 差 並 理 解 其 意 義 。 此 外 , 學 生 須 能 選 擇 合 適 的 量 度 方 法 , 比 較 不 同 組 別 數 據 的 離 差 。

由 於 「 方 差 」 這 術 語 很 常 見 , 因 此 學 生 學 習 標 準 差 時 亦 須 認 識 「 方 差 」 這 名 稱 和 方 差 等 於 標 準 差 的 平 方。有 關 方 差 的 運 算 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 處 理 。 必 修 部 分 中 的 標 準 差 之 公 式 及 計 算 只 限 於 總 體 標 準 差 , 即

(37)

N x

x1 )2 ( N )2

( µ µ

σ − + + −

= 

。至 於 抽 取 樣 本 以 估 計 總 體 標 準 差 的 公 式 , 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 處 理 。

修 讀 學 習 重 點 17.6( 非 基 礎 課 題 )的 學 生 , 須 理 解 標 準 差 的 簡 單 應 用 , 即 涉 及 標 準 分 和 正 態 分 佈 的 現 實 問 題 的 應 用。教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心。在 計 算 過 程 中 ,學 生 無 須 查 閱 正 態 分 佈 表 或 背 念 位 於 距 離 平 均 值 1、 2 或 3 個 標 準 差 範 圍 內 的 數 據 之 百 分 率 。 在 學 習 重 點 17.7( 非 基 礎 課 題 ), 學 生 須 透 過 探 究 數 據 組 內 , 部 分 數 據 變 化 對 離 差 的 影 響 , 從 而 對 不 同 統 計 量 的 性 質 有 更 深 入 的 認 識 。

(38)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 據 處 理 範 疇

18. 統 計 的 應 用 及 誤 用

18.1 認 識 抽 取 調 查 樣 本 的 不 同 技 巧 及 製 作 問 卷 的 基 本 原 則

18.2 討 論 及 認 識 各 種 日 常 活 動 或 調 查 中 統 計 方 法 的 應 用 和 誤 用

18.3 評 估 從 新 聞 媒 介 、 研 究 報 告 等 不 同 來 源 所 獲 得 的 統 計 調 查 報 告

4

課 程 闡 釋 :

在 小 學 及 初 中 階 段 , 學 生 已 有 統 計 方 法 的 經 驗 , 特 別 是 蒐 集 數 據 、 表 達 及 闡 釋 統 計 圖 像 和 圖 表 。 學 生 應 對 統 計 量 的 概 念 有 初 步 的 認 識 。 在 高 中 , 學 生 則 須 更 全 面 地 認 識 現 實 生 活 中 的 統 計 工 作 。

教 師 可 透 過 日 常 生 活 例 子 介 紹 「 總 體 」 和 「 樣 本 」 的 概 念 。 學 生 須 明 白 在 日 常 統 計 工 作 中 , 抽 取 樣 本 幾 乎 無 可 避 免 , 並 認 識 抽 取 樣 本 的 不 同 技 巧 。 在 抽 取 樣 本 的 技 巧 方 面 , 學 生 須 認 識 概 率 抽 樣 和 非 概 率 抽 樣 的 基 本 概 念 。 然 而,有 關 抽 取 樣 本 的 計 算,如 樣 本 標 準 差 的 計 算,則 不 屬 必 修 部 分 所 需 。 問 卷 是 常 用 的 蒐 集 數 據 方 法 之 一 。 學 生 須 認 識 在 製 作 問 卷 時 , 哪 些 因 素 會 對 問 卷 的 信 度 和 效 度 產 生 影 響 , 例 如 : 問 題 的 形 式 、 用 語 和 排 序 及 回 應 的 選 擇 。

在 第 三 學 習 階 段, 學 生 對 統 計 圖 像 /圖 表 及 集 中 趨 勢 的 應 用 和 誤 用 有 足 夠 的 認 識 。 在 必 修 部 分 , 學 生 須 進 一 步 討 論 各 種 日 常 活 動 或 調 查 中 統 計 方 法 的 應 用 和 誤 用 。 這 包 括 調 查 目 的 、 採 用 的 抽 樣 方 法 、 蒐 集 數 據 的 方 法 及 分 析 方 法 等 討 論 。 此 外 , 學 生 須 能 更 全 面 地 分 析 從 新 聞 媒 介 、 研 究 報 告 等 不 同 來 源 所 獲 得 的 統 計 調 查 報 告 , 其 中 包 括 分 析 蒐 集 數 據 的 抽 樣 方 法 、 問 卷 的 設 計 、 數 據 的 整 理 及 表 達 、 統 計 分 析 和 推 論 等 , 從 而 讓 學 生 整 合 由 不 同 學 習 階 段 所 習 得 的 統 計 知 識 。

(39)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 進 階 學 習 單 位

19. 進 階 應 用 解 較 複 雜 的 現 實 生 活 和 數 學 應 用 題,並 在 解 題 過 程 中 尋 找 能 提 供 解 題 線 索 的 資 料,探 究 不 同 的 解 題 策 略 或 綜 合 不 同 數 學 環 節 的 知 識

主 要 焦 點 為 :

(a) 探 究 及 解 現 實 生 活 中 較 複 雜 的 應 用 題 (b ) 欣 賞 不 同 數 學 環 節 間 的 關 連

14

課 程 闡 釋 :

本 學 習 單 位 與 其 他 學 習 單 位 內 的 數 學 應 用 課 題 不 同 , 重 點 不 在 於 學 習 某 些 固 定 的 數 學 知 識 , 而 是 透 過 探 究 及 解 決 現 實 生 活 中 較 複 雜 的 應 用 題 , 讓 學 生 欣 賞 不 同 數 學 環 節 間 的 關 連 , 並 培 養 學 生 靈 活 綜 合 運 用 不 同 學 習 單 位 的 知 識 和 技 巧 之 能 力 。 教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 包 括 數 學 建 模 , 以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心 , 諸 如 《 課 程 及 評 估 指 引 》, 頁 31 − 32 中 的 例 子 :

• 解 諸 如 稅 、 分 期 付 款 等 財 務 上 的 簡 單 應 用 題

• 分 析 及 闡 釋 由 調 查 得 到 的 數 據

• 探 究 及 闡 釋 與 現 實 生 活 情 境 有 關 的 圖 像

• 探 究 托 勒 密 定 理 及 其 應 用

• 為 兩 組 線 性 相 關 性 較 強 的 數 據 建 模 , 以 及 探 討 如 何 將 諸 如

y = m x + c 和 y = k ax 等 簡 單 的 非 線 性 關 係 變 換 為 線 性 關 係

• 探 究 斐 波 那 契 數 列 與 黃 金 比 之 間 的 關 係

• 欣 賞 密 碼 學 的 應 用

• 探 究 塞 瓦 定 理 及 其 應 用

• 分 析 數 學 遊 戲 ( 例 如 : 探 究 注 水 問 題 的 通 解 )

教 師 可 因 應 學 生 能 力 及 需 要 選 擇 其 他 更 適 合 他 們 的 課 題 。 此 外 , 教 師 應 讓 學 生 嘗 試 自 行 尋 找 能 提 供 解 題 線 索 的 資 料 和 探 究 不 同 的 解 題 策 略 , 而 不 宜 給 與 他 們 太 多 的 提 示 。

(40)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 進 階 學 習 單 位

20. 探 索 與 研 究 通 過 不 同 的 學 習 活 動,發 現 及 建 構 知 識,進 一 步 提 高 探 索 、 溝 通 、 思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力

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課 程 闡 釋 :

本 學 習 單 位 旨 在 提 供 更 多 學 習 空 間 , 讓 學 生 在 學 習 其 他 學 習 單 位 的 內 容 時 , 能 參 與 更 多 有 助 發 現 及 建 構 知 識 、 提 高 探 索 、 溝 通 、 思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力 之 活 動 。 換 句 話 說 , 這 並 非 一 個 獨 立 和 割 裂 的 學 習 單 位 , 活 動 可 在 課 堂 中 引 起 動 機 、 發 展 、 鞏 固 或 評 估 等 不 同 環 節 進 行 。 有 關 的 活 動 可 以 是 跨 學 習 單 位 的 活 動 和 建 基 於 數 學 課 題 的 跨 學 習 領 域 活 動 。

教 師 可 利 用 本 學 習 單 位 的 課 時 安 排 具 意 義 的 數 學 探 究 活 動 以 至 跨 學 習 領 域

( 包 括 涉 及 STEM 教 育 ) 的 學 與 教 活 動 , 例 如 透 過 數 學 建 模 的 概 念 製 造 機 會 予 學 生 綜 合 運 用 在 數 學 科 掌 握 到 的 知 識 和 技 能 , 以 數 學 語 言 描 述 和 分 析 現 實 情 境 的 問 題 , 並 嘗 試 解 決 問 題 。

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