國 立 交 通 大 學
電信工程研究所
碩 士 論 文
正交分頻多工無線通訊系統中傳送端具通道資
訊之分集技術研究
A Study on Diversity Techniques with Channel State
Information at Transmitter Side in OFDM Wireless
Communication Systems
研 究 生：游文豪
指導教授：黃家齊 教授
正交分頻多工無線通訊系統中傳送端具通道資
訊之分集技術研究
A Study on Diversity Techniques with Channel
State Information at Transmitter Side in OFDM
Wireless Communication Systems
研 究 生：游文豪
Student：Wan-Hao Yu
指導教授：黃家齊
Advisor：Chia-Chi Huang
國 立 交 通 大 學
電 信 工 程 研 究 所
碩 士 論 文
A ThesisSubmitted to Institute of Computer and Information Science College of Electrical Engineering and Computer Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master in
Computer and Information Science July 2011
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
I
正交分頻多工無線通訊系統中傳送端具
通道資訊之分集技術研究
學生：游文豪 指導教授：黃家齊 博士
國立交通大學
電信工程研究所
摘
要
在正交分頻多工無線通訊系統採用多輸入多輸出分集技術中，以往為接收端 具通道資訊或是傳送端與接收端都具通道資訊，如 Alamouti 與傳輸波束成型 (Transmit Beamforming)。在本論文中，我們提出最大比例選擇傳輸與最大比例差 分傳輸兩種傳輸方式，來解決只有在傳送端具通道資訊的情況時，如何選擇傳送 端各天線的權重，使系統效能提升。為了讓傳送端知道通道資訊，系統需要在分 時雙功模式下，由接收端傳送訓練序列至傳送端。傳送端利用訓練序列做通道估 計之外，還可藉由接收端傳來的控制資訊調整傳送資料之時間長度。最後，我們 使用電腦模擬兩種傳輸方式之系統效能。
II
A Study on Diversity Techniques with
Channel State Information at Transmitter
Side in OFDM Wireless Communication
Systems
Student : Wan-Hao Yu Advisor: Dr. Chia-Chi Huang
Institute of Communication Engineering
National Chiao Tung University
Abstract
In MIMO-OFDM systems with conventional diversity techniques, such as Alamouti and the transmit beamforming schemes, either receiver or both receiver and transmitter know CSI. In this thesis, we propose another two schemes, Selective Maximum Ratio Transmission (SMRT) and Differential Maximum Ratio Transmission (DMRT), both of which choose the weights of antennas when the transmitter knows CSI only, to enhance the system performance. In order to make transmitter know CSI, the system should operate in TDD mode, where the receiver sends training sequences to the transmitter. The transmitter not only estimates CSI by training sequences but also adjusts the length of data transmission time according to the control information sent from the receiver. In the end, the system performance of the two proposed schemes is simulated.
III
誌 謝
在碩士這兩年，所要感謝之人無數。首先感謝指導教授黃家齊老師與煒翰、 峻楹學長們，感謝他們在課業上給予我許多的指導，使我得以順利完成碩士學位。 另外感謝實驗室的同儕智方、媛婷、聖文以及永勝等學弟們，感謝他們在碩士兩 年中的照顧以及學業上的教學使我受益良多。 特別感謝我的朋友們小旻、橘子、晉弘等，他們在我碩士生活中為不可或缺 之角色，聽我抱怨發牢騷、適時鼓勵、分享所有酸甜苦辣等，我們攜手並進。沒 有他們的心靈陪伴，我生活將乏味可陳，難以完成碩士學位。 最後感謝我的父母以及姊與哥對我的栽培，讓我能順利成長，使我在生活上 無後顧之憂，也感謝他們的包容與鼓勵，使我堅定地朝目標前進。 僅將此論文獻給所以關心及幫助我的人，願大家順心如意。IV
目錄
第一章 簡介... 1 1.1 正交分頻多工系統 ... 2 1.2 關於本論文 ... 5 第二章 最大比例選擇傳輸正交分頻多工 ... 7 2.1 最大比例選擇傳輸正交分頻多工系統及演算法 ... 7 2.1.1 二相相移鍵控錯誤率 ... 11 2.1.2 四相相移鍵控錯誤率 ... 13 2.2 子載波功率分配 ... 16 2.3 增加接收端天線選擇正確率 ... 17 2.4 決策回授 ... 19 2.5 群組天線選擇 ... 21 第三章 最大比例差分傳輸正交分頻多工 ... 25 3.1 差分編碼 ... 25 3.2 最大比例差分傳輸正交分頻多工系統及演算法 ... 27 第四章 通道估計 ... 31 4.1 通道估計 ... 31 4.1.1 通道參數估計 ... 32 4.1.2 均方誤差臨界估計 ... 35 4.1.3 訓練序列設定 ... 38 4.2 整體系統運作 ... 40 第五章 系統模擬結果與討論 ... 45 5.1 模擬參數 ... 45 5.2 模擬結果與討論 ... 46 第六章 結論... 59 參考文獻 ... 60 個人簡歷 ... 62V
圖目錄
圖 1.1 正交分頻多工系統方塊圖 ... 3 圖 1.2 信號未加循環字首及加上循環字首之比較示意圖 ... 4 圖 1.3 子載波正交示意圖 ... 4 圖 2.1 發射機及接收機整體系統架構圖 ... 8 圖 2.2 接收機第 k 個子載波在二相相移鍵控的系統架構圖 ... 9 圖 2.3 接收機第 k 個子載波在四相相移鍵控的系統架構圖 ... 9 圖 2.4 選擇錯誤接收天線星象圖 ... 18 圖 2.5 將預編碼權重w[ ]k 擾動而選擇對的接收天線 ... 19 圖 2.6 接收機第 k 個子載波在二相相移鍵控決策回授系統架構圖 ... 21 圖 2.7 通道在時間與頻率上的變化示意圖 ... 22 圖 2.8 群組天線選擇示意圖 ... 23 圖 2.9 使用群組及一個符元累積能量示意圖 ... 24 圖 3.1 差分編碼圖示 ... 26 圖 3.2 差分解碼圖示 ... 26 圖 3.3 發射機及接收機整體系統架構圖 ... 27 圖 4.1 通道估計方塊圖 ... 32 圖 4.2 通道估計方塊內部圖 ... 34 圖 4.3 TDD 示意圖 ... 40 圖 4.4 TDD 調整傳送符元個數示意圖 ... 40 圖 5.1 最大比例選擇傳輸二相相移鍵控調變累積不同 μ 符元傳送天線完 全知道通道資訊之位元錯誤率 ... 49 圖 5.2 最大比例選擇傳輸二相相移鍵控調變傳送天線完全知道通道資訊 之傳送端有無子載波功率分配錯誤率 ... 50 圖 5.3 最大比例選擇傳輸二相相移鍵控調變傳送天線完全知道通道資訊 各種方法改善之位元錯誤率 ... 51 圖 5.4 最大比例選擇傳輸四相相移鍵控調變傳送天線完全知道通道資訊 各種方法改善之位元錯誤率 ... 52 圖 5.5 最大比例選擇傳輸二相相移鍵控調變群組個數不同傳送天線完全 知道通道資訊之位元錯誤率 ... 53 圖 5.6 最大比例選擇傳輸二相相移鍵控調變單一符元群組個數不同傳送VI 天線完全知道通道資訊之位元錯誤率 ... 54 圖 5.7 最大比例選擇傳輸與最大比例差分傳輸二相相移鍵控調變傳送天 線完全知道通道資訊之位元錯誤率 ... 55 圖 5.8 通道估計不同天線個數以及子載波數之均方誤差 ... 56 圖 5.9 最大比例選擇傳輸二相相移鍵控調變各種方法改善加通道估計之 位元錯誤率 ... 57 圖 5.10 最大比例選擇傳輸與最大比例差分傳輸二相相移鍵控調變加通 道估計之位元錯誤率 ... 58
VII
表目錄
表 2.1 最大比例選擇傳輸正交分頻多工演算法 ... 11 表 2.2 將預編碼權重w[ ]k 擾動 ... 19 表 2.3 最大比例選擇傳輸正交分頻多工群組天線選擇演算法 ... 23 表 5.1 系統模擬參數 ... 451
第一章
簡介
近年來，多輸入多輸出(Multi-input Multi-output , MIMO)技術已經被廣泛地運 用在無線通訊系統中。多輸入多輸出為傳送端及接收端皆具有多根天線，來提升 空間多工增益(spatial multiplexing gains)、分集增益(diversity gain)等。因此對於目 前與未來的無線通信標準而言，多輸入多輸出的技術變得越來越重要。分集技術 可有效地克服通道衰減效應，充分利用無線通道特徵(Channel characteristic)，結 合不相關的衰減信號，以有效改善接收效能，用於多輸入多輸出傳輸中可分為空 時碼(Space time code)、傳輸波束成型(Transmit Beamforming)等。
在空時碼中，我們將以二乘二(Two-by-two)空時方塊碼(Space time block code, STBC)舉例，空時方塊碼適用在接收端具有通道資訊(Channel state information, CSI) 而傳送端不具有通道資訊。二乘二空時方塊碼於 1998 年首先被 Alamotui 所提出
[1]，這是一種可以被運用於兩根發射天線的方塊碼。此空時碼具有良好的碼結構
(Code structure)使得接收端可以簡單地利用線性處理(Linear processing)以解出傳 送資料。此空時碼的分集階數(diversity order)等效於接收機利用兩根天線做最大 比例結合(Maximum Ratio Combining, MRC)接收的分集階數。
在傳輸波束成型適用在傳送端與接收端皆具通道資訊，藉由傳送端傳送領航 訊號(pilot signal)給接收端，接收端估計通道資訊後再回授(feedback)給傳送端，
2
或是利用分時雙工(Time Division Duplex, TDD)的模式下傳送接收互傳領航訊號 (pilot signal)來估計通道資訊，使得傳送與接收雙方都具有通道資訊。在文獻[2][3] 中所提出調整傳送端的預編碼權重(Pre-coding weight)以及接收端的結合權重 (Combining weight)來達到所接收到的訊號雜音比(Signal to Noise Ratio, SNR)最大 之演算法。
在 只 有 傳 送 端 具 通 道 資 訊 下 ， 我 們 提 出 最 大 比 例 選 擇 傳 輸 (Selective Maximum Ratio Transmission, SMRT)[4]與最大比例差分傳輸(Differential Maximum Ratio Transmission, DMRT)兩種傳輸方式。本論文將介紹最大比例選擇傳輸以及最 大比例差分傳輸如何選擇傳送端各天線的權重提升效能。為了讓傳送端知道通道 資訊，系統需操作在分時雙功模式，由接收端傳送訓練序列(training sequences) 至傳送端。傳送端利用訓練序列做通道估計之餘，還可調整傳送資料之時間。這 些方法適用於正交分頻多工(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)系 統。
1.1 正交分頻多工系統
正交分頻多工技術大約在 1960 年代被提出，是由多載波調變技術演變而來 的數位通訊技術。它是一個適合在頻率選擇性衰減通道(Frequency selective fading channel)的傳輸技術，可以減少通道延遲擴散(Delay spread)對信號的破壞，且利 用多載波調變的觀念，接收端可以在低複雜度運作下，做高速的資料傳輸，且其 頻率之間的正交特性也可以節省頻寬的使用。
3
Channel
IFFT P/S S/P FFT S/P P/S Add CP Remove CP×
Detector [ ]t s [ ]t y 圖 1.1 正交分頻多工系統方塊圖圖 1.1 為正交分頻多工系統方塊圖。其中 IFFT 為反快速傅立葉轉換(Inverse Fast Fourier Transform)，FFT 為快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform)，P/S 為並列轉 序列(Parallel-to-Serial)轉換，S/P 為序列轉並列(Serial -to- Parallel)轉換，CP 為循環 字首(Cyclic Prefix )作為護衛間隔(Guard interval, GI)，以減少多重路徑(Mutipath) 所產生的碼際干擾[5]，s[ ] [ [ ,1], [ , 2],..., [ ,t s t s t s t K]]為已調變(Modulation)過後的
訊號，K 為子載波(Subcarrier)個數，y[ ] [ [ ,1], [ , 2],..., [ ,t y t y t y t K]]為接收訊號。數 位轉類比和類比轉數位圖中省略之。每一個子載波上的接收信號可視為經過平緩 衰減通道(Flat fading channel)，因此在接收端只需要一個窄頻(One-tap)等化器 (Equalizer)來幫助信號偵測，並執行與傳送端相反的動作即可還原信號。
正交分頻多工系統把頻寬信號分成數個窄頻信號同時傳送，因為符元長度增 長，再加上護衛間隔的放置，使得符元對於碼際干擾有較佳的抵抗能力，因此可 以達到高速傳輸。圖 1.2(a)與(b)分別為在雙路徑通道下，符元未加循環字首及加 上循環字首之比較示意圖，碼際干擾區(ISI region)如圖 1.2(a)所示；反之，若信號 加上循環字首時，只要在接收端符元時脈同步(Symbol timing synchronization)準確
4
估計在無干擾區域範圍(ISI free region)內，則無碼際干擾效應產生。此外，如圖 1.3，各子載波之間的正交特性，可以增加頻寬的使用效率。
t - th OFDM signal t + 1 - th OFDM signal
t + 1 - th OFDM signal t - th OFDM signal
ISI region
Multipath 1
Multipath 2
t - th OFDM signal t + 1 - th OFDM signal
ISI free region Multipath 1
Multipath 2
CP CP
t - th OFDM signal t + 1 - th OFDM signal
CP CP (a) 未加循環字首 (b) 加上循環字首 圖 1.2 信號未加循環字首及加上循環字首之比較示意圖
frequency
frequency
Orthogonal subcarriers
Saving of bandwidth
圖 1.3 子載波正交示意圖 正交分頻多工系統對於頻率的同步要求十分嚴格，只要有些許頻率偏移 (Frequency offset) ，頻率間的正交性即被破壞而產生子載波間干擾(Inter-carrier5
interference, ICI)[5]。還有因經過傅立葉轉換，可能多個子載波為同相位(Co-phase) 相加使得輸出信號的峰值對平均功率值(Peak-to-average power ratio, PAPR)變很 大，此時系統容易出現非線性失真，亦或使得功率放大器的功率效率(Power efficiency) 降 低 及 數 位 / 類 比 轉 換 器 (D/A converter) 與 類 比 / 數 位 轉 換 器 (A/D converter)所需的位元數提高。一般而言，峰值對平均功率值的大小與調變方法 及子載波數目有關，減少峰值對平均功率值的方法有削減法(Clipping)、波峰修整 (Peak windowing)、利用編碼方式等[5]。
1.2
關於本論文
本論文，將介紹並設計最大比例選擇傳輸與最大比例差分傳輸在正交分頻多 工下的發射及接收機，以及如何估計通道使得整個系統能夠有效的運作。在第二 章中，我們將介紹最大比例選擇傳輸在不同調變下的錯誤率以及修正改善之方法， 使得效能提高。第三章說明最大比例差分傳輸如何選擇傳送端各天線的權重，使 得在接收機的訊號雜音比最大。而第四章將介紹通道估計，我們推薦一種估計方 法以便不只可以估計通道還可傳送少許位元(bit)來調整分時雙工傳送信號的時 間。第五章為電腦模擬結果與討論。第六章為結論。 在此說明本論文將用到之標記：( ) T為轉置(transpose)、( ) *為共軛(complex conjugate)、( ) H為共軛轉置(Hermitian)、 ( )為取實部、 ( )為取虛部、Q( ) 為 Q funcation定義為 2 2 1 ( ) 2 y x Q x e dy
、 2 ~ (0, ) X N
代表 X 是一個實部與6 值為 0 變異數(Variance)為 2 / 2
，則 2 ~ L(0, ) Y CN 代表Y 為L1之列向量其元 素 為 獨 立 且 具 有 共 同 分 布 (Independent and Identically Distributed random variables, i.i.d.)複數高斯隨機變數(Gaussian random variable) ，個別的期望值為 0 變異數(Variance)為 2/ 2
7
第二章
最大比例選擇傳輸正交分頻多工
本章將介紹如何使用最大比例選擇傳輸正交分頻多工(Selective Maximum Ratio Transmission in Orthogonal Frequency Division Multiplexing, SMRT OFDM)，並 且提出各種方法來改善最大比例選擇傳輸正交分頻多工系統，以提高效能。
2.1 最大比例選擇傳輸正交分頻多工系統及演算法
圖 2.1 為最大比例選擇傳輸正交分頻多工發射機及接收機整體系統架構圖， 發射機具有 Nt 根傳送天線，接收機具有 Nr 根接收天線，子載波具有 K 個。而多 輸入多輸出(Multi-input Multi-output , MIMO)子通道(Sub-channel)矩陣定義成[ ]k
H ，其中第
( , )
m n
個元素代表 H [ ]mn k 為第n 個傳送天線對第 m 個接收天線在第 k 個子通道的通道增益(Channel gain)。Hm[ ]k 代表H[ ]k 的第 m 行。我們假設
通道在 μ 個符元(Symbol)時間內不變，且傳送端知道接收端的雜訊功率 N0，此雜
訊為加成性白高斯雜訊(Additive white Gaussian noise, AWGN)。
w k
n[ ]
即第 n 根傳 送天線的第 k 個子載波之權重(weight)。其中在傳送端應在反快速傅立葉轉換後 加入循環字首作為護衛間隔，以減少多重路徑所產生的碼際干擾，以及在接收端 快速傅立葉轉換前移除循環字首，而圖 2.1 省略之。8 w1[1] w1[K] wNt[1] IFFT IFFT P/S P/S S/P S/P FFT FFT Subcarrier SMRT detector y1[t,1] yNr[t,1] y1[t,K] yNr[t,K] wNt[K]
[ ]t s [ ]k H 圖 2.1 發射機及接收機整體系統架構圖 在傳送端所調變過後的符元為s[ ] [ [ ,1], [ , 2],..., [ ,t s t s t s t K]]，乘上一個預編碼 (pre-coding)向量wn [ [1],wn wn[2],...,w Kn[ ]] ,T n1, 2,...,Nt。w
n代表第 n 根傳送天 線的預編碼權重，w[ ] [ [ ],k w k w k1 2[ ],...,w kNt[ ]]T代表所有的傳送天線在第 k 個子 載波的預編碼權重向量。故第 m 根接收天線所接收到的資料為： [ , ] [ ] [ , ] [ , ], 1, 2,..., , 1, 2,..., m m m y t k B k s t k t k t k K (2.1) 其中m[ , ]t k 為第 m 根接收天線在第 t 的符元內第 k 個子載波之雜訊， [ ] [ ] [ ] m m B k H k w k 。 圖 2.2、2.3 是圖 2.1 中的 Subcarrier SMRT detector 方塊圖的內部圖，分別為 最大比例選擇傳輸正交分頻多工接收機第 k 個子載波在二相相移鍵控(Binary phase-shift keying , BPSK) 調變及四相相移鍵控(Quadrature phase-shift keying , QPSK) 調變的系統架構圖。9 S E L E C T M A X D E T E C T O R 1 . . . Nr y1[t,k] yNr[t,k] 1 t
1 t
2 1{ [ , ]}
R y t k
2 { Nr[ , ]} R y t k 圖 2.2 接收機第 k 個子載波在二相相移鍵控的系統架構圖 S E L E C T M A X D E T E C T O R 1 . . . Nr y1[t,k] yNr[t,k] 1 t
1 t
4 1{ [ , ]}
R y t k
4{
Nr[ , ]}
R y
t k
圖 2.3 接收機第 k 個子載波在四相相移鍵控的系統架構圖10 因傳送端具通道資訊，故選擇一個比較好的子載波通道增益所對應的接收端 天線為接收天線。在接收端不具有通道資訊以及傳送端選擇哪根天線為接收天線 之資訊，而去選擇一根接收天線達到資料檢測。故主要問題在於如何設計最大比 例選擇傳輸正交分頻多工之各個子載波，使得接收端能選擇單一天線接收的預編 碼權重。 我們提出最大比例選擇傳輸正交分頻多工的演算法來解決多輸入多輸出。將 多輸入多輸出的子通道看成多個並行的多輸入單輸出(Multi-input Single-output , MISO)子通道。最大比例選擇傳輸正交分頻多工的演算法如表 2.1，首先計算每個 傳送接收天線子通道增益的最大比例(即為每個多輸入單輸出的子通道)，再選擇 各傳送端天線的預編碼權重，來達到每個接收天線所對應的多輸入單輸出子通道 得到最強的訊號強度。在接收端，接收天線的選擇演算法，首先計算每根接收天 線所接收到 μ 個符元的訊號做能量累積，累積符元能量之目的是為了對抗雜訊， 避免雜訊影響到判斷接收天線，然後接收端選擇累積能量最強的天線作為接收天 線。
11 傳送端子載波預編碼權重： [ ], 2 2 2 [ ],1 [ ],2 [ ], 2 , 1,2,..., 1 (H [ ]) [ ] H [ ] H [ ] ... H [ ] [ ] arg max ( H [ ] ), 1, 2,..., opt
opt opt opt
H m k n n m k m k m k Nt Nt opt m n m Nr n k w k k k k m k k k K
[ ] opt m k 為傳送端在第k 個子載波中選擇的接收天線 接收端子載波天線選擇： BPSK 2 m 1,2,..., 1[ ] arg max ( Re(y [ , ]))
m Nr t k t k
[ ]k 為接收端在第k 個子載波中選擇的接收天線 QPSK 4 m 1,2,..., 1[ ] arg max (- Re(y [ , ])
m Nr t k t k
[ ]k 為接收端在第k 個子載波中選擇的接收天線 表 2.1 最大比例選擇傳輸正交分頻多工演算法2.1.1
二相相移鍵控錯誤率
由於知道最大比例選擇傳輸正交分頻多工利用二相相移鍵控調變的傳輸接 收系統的處理方式，所以可以計算出其錯誤率。接收端收到之訊號經 2.1 式表示， 再由表 2.1 接收端子載波天線選擇的調變後得到第 m 個接收天線的第 k 個子載波 式子如下： 2 2 2 [ , ] [ ] 2 [ ] [ , ] [ , ] [ , ] m m m m m y t k B k B k s t k n t k
t k (2.2) 其中的B km[ ]Hm[ ] [ ]k w k 。將y t k
m2[ , ]
取實部後再累加 μ 個符元，可得到：12 2 1 2 2 1 [ ] { [ , ]} { [ ]} {2 [ ] [ , ] [ , ] [ , ]} m m t m m m m t Y k y t k B k B k s t k t k t k
(2.3) 假定 [ ] , , [ , ] [ , ] [ , ], [ ] [ ] j Bmk m t k m I t k j m Q t k B km B k em ，則(2.3)式可寫成： 2 1 2 [ ] [ ] cos(2 [ ]) [ , ] [ ] cos(2 [ ]) [ ] m m m m t m m m Y k B k B k z t k B k B k Z k
(2.4) 其中 , , 2 2 , , [ , ] 2 [ ] cos [ ] [ , ] [ , ] 2 [ ] sin [ ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] m m m m I m m m Q m I m Q z t k B k B k s t k t k B k B k s t k t k t k t k (2.5) [1, ], [2, ],..., [ , ] m m m z k z k z k 為獨立且具有相同分布的隨機變數，如果μ足夠大，利用中央極限定理(Central limit theorem) Zm[ ]k 可以近似為高斯隨機變數，因為
{ m[ , ]} 0 E z t k 故E Z{ m[ ]}k 0，可以計算
z t k
m[ , ]
的變異數： 2 2 2 0 0 var( [ , ]) { [ , ] } 2 2 [ ] m m m z t k E z t k B k (2.6) 其中的 0 0 b E N ，故Zm[ ]k 變異數為： 1 2 2 0 0 var( [ ]) var( [ , ]) 2 2 ( [ ] ) m m t m Z k z t k B k
(2.7)因此，位元錯誤機率(Bit error probability)可以表示為預編碼權重w[ ]k 與通道矩陣
[ ]
m k
H 之函數：
1
( [ ]) ( [k] is the largest) (error | [k] is the largest)
r N e m m m P k P Y P Y
w13 1 2 1 ( [ ] [ ], [ ] [ ],..., [ ] [ ]) ( | [k] is the largest) r r N m m m N m m P Y k Y k Y k Y k Y k Y k P error Y
(2.8) 1 1{ ( [ ] [ ])} (error | [k] is the largest)
r r N N m q m m q q m P Y k Y k P Y
(2.9) 0 1 2 2 1 ( { [ ] [ ]} 2 ) { ( { [ ] [ ]} [ ] [ ])} r r N m N m q q m q q m Q k k P B k B k Z k Z k
m H w (2.10) 且當qm的時候，Y km[ ]、 [ ]Y k 互相獨立，故透過(2.7)可知 q 2 2 2 0 0 2 4 [ ] [ ] ~ (0, ( [ ] [ ] ) ) q m q m Z k Z k N B k B k (2.11) 因 2 2 ( [ ]m q[ ])= ( { m[ ] q[ ]} q[ ] m[ ]) P Y k Y k P
B k B k Z k Z k 把(2.11)帶入，可將(2.10) 寫成： 0 1 2 2 2 2 1 2 0 0 ( [ ]) ( { [ ] [ ]} 2 ) { [ ] [ ]} { (1 ( ))} 2 4 ( [ ] [ ] ) r r N e m N m q q q m m q P k Q k k B k B k Q B k B k
m w H w (2.12) 其中B km[ ]Hm[ ] [ ]k w k ， w[ ]k 2 1。(2.12)即為計算出的錯誤率。2.1.2
四相相移鍵控錯誤率
知道最大比例選擇傳輸正交分頻多工利用四相相移鍵控調變的傳輸接收系 統的處理方式，我們可以計算其錯誤率。接收端收到之訊號經 2.1 式表示，再由 表 2.1 接收端子載波天線選擇的調變後得到第 m 個接收天線的第 k 個子載波式子14 如下： 4 4 4 3 3 2 2 2 3 4 [ , ] [ ] [ , ] 4 [ ] [ , ] [ , ] 6 [ ] [ , ] [ , ] 4 [ ] [ , ] [ , ] [ , ] m m m m m m m m m y t k B k s t k B k s t k t k B k s t k t k B k s t k t k t k (2.13) 其中的B km[ ]Hm[ ] [ ]k w k 。將y t k 取實部後累加m4[ , ] μ 個符元取負號，可得到 4 1 4 4 3 3 2 2 2 3 4 1 [ ] { [ , ]} { [ ] [ , ]} {4 [ ] [ , ] [ , ] 6 [ ] [ , ] [ , ] 4 [ ] [ , ] [ , ] [ , ]} m m t m m m m m m m m t Y k y t k B k s t k B k s t k t k B k s t k t k B k s t k t k t k
(2.14) 讓 [ ] , , [ , ] [ , ] [ , ], [ ] [ ] j Bmk , [ , ] ; , [ 1,1] m t k m I t k j m Q t k B km B k em s t k a bj a b ， (2.14)式將寫成： 4 1 4 [ ] 4 [ ] cos(4 [ ]) [ , ] 4 [ ] cos(4 [ ]) [ ] m m m m t m m m Y k B k B k z t k B k B k Z k
(2.15) 其中的 3 3 2 2 2 3 4 [ , ] {4 [ ] [ ] 6 [ ] [ ] 4 [ ] [ ] [ ]} m m m m m m m m z t k B s l l B s l l B s l l l (2.16)[1, ],
[2, ],...,
[ , ]
m m mz
k z
k
z
k
為獨立且具有相同分布的隨機變數，如果μ足夠大，利 用 中 央 極 限 定 理 Zm[ ]k 可 以 近 似 為 高 斯 隨 機 變 數 ， 因 為 E z t k{ m[ , ]}0故 { m[ ]} 0 E Z k ，可以計算z t k
m[ , ]
的變異數： 2 6 4 2 0 0 2 3 4 0 0 var( [ , ]) { [ , ] } 1 1 64 [ ] 288 [ ] 1 1 384 [ ] 96 m m m m m z t k E z t k B k B k B k (2.17)15 其中的 0 0 b E N ，故Zm[ ]k 變異數為 1 6 4 2 0 0 2 3 4 0 0 var( [ ]) var( [ , ]) 64 144 ( [ ] [ ] 96 12 [ ] ) m m t m m m Z k z t k B k B k B k
(2.18) 因此，位元錯誤機率可以表示為預編碼權重w[ ]k 與通道矩陣Hm[ ]k 的函數： 1( [ ]) ( [k] is the largest) (error | [k] is the largest)
r N e m m m P k P Y P Y
w 1 2 1 ( [ ] [ ], [ ] [ ],..., [ ] [ ]) ( | [k] is the largest) r r N m m m N m m P Y k Y k Y k Y k Y k Y k P error Y
(2.19) 1 1{ ( [ ] [ ])} (error | [k] is the largest)
r r N N m q m m q q m P Y k Y k P Y
(2.20) 0 1 4 4 1 ( { [ ] [ ]} 2 ) { (4 { [ ] [ ]} [ ] [ ])} r r N m N q m q m q q m Q k k P B k B k Z k Z k
m H w (2.21) 且當qm的時候Y km[ ]、 [ ]Y k 各為獨立的，故透過(2.18)可知 q 6 6 4 4 2 2 2 3 4 0 0 0 0 [ ] [ ] ~ (0, ) 64 144 96 24 ( ( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ] ) ) p m q m q m q m Z k Z k N B k B k B k B k B k B k (2.22) 因 4 4 ( [ ]m q[ ])= (4 { q[ ] m[ ]} q[ ] m[ ]) P Y k Y k P
B k B k Z k Z k 把(2.22)帶入，可將(2.21) 寫成：16 0 1 4 4 1 ( [ ]) ( { [ ] [ ]} 2 ) 4 { [ ] [ ]} { (1 ( ))} r r N e m N q m q q m P k Q k k B k B k Q
m w H w (2.23) 其中
如(2.22)所示、B km[ ]Hm[ ] [ ]k wk ， w[ ]k 2 1。(2.23)即為計算出的錯 誤率。2.2 子載波功率分配
在之前的預編碼權重w k 如表n[ ] 2.1 所示，此預編碼權重w[ ]k 就如同用最大 比 例 結 合 (Maximum ratio combining) 做 天 線 間 的 功 率 分 配 (Antenna power allocation)，其中 w[ ]k 2 1即每個子載波不管子通道增益的，將一視同仁，同一 根天線中每個子載波傳送相同的能量。而主要目的使整體錯誤率最小，表示如 下： ( ) , 1 2 1 1 1 min ( [ ]) [ ] K k e OFDM e k Nt K n n k P P k K for k P
w w (2.24) 如果每個子載波傳送相同的能量，當某一子通道增益好時，大致上所接收到的子 載波都能偵測正確。但是若某一子通道增益較差時，所對應的子載波就會嚴重的 檢測錯誤，錯誤率就會一直落在該子載波上。所以利用子載波功率分配(Subcarrier power allocation)來盡可能地避免以上的情況。當某一子通道增益好時，不需給太 多的能量，就可達到良好的偵測。但當某一子通道增益較差時，就需花費多一點 的能量，使該子載波能夠偵測正確。前提為所傳輸的總能量不變，只是子載波能17 量做更動。如果讓接收端所收到的子載波能量為平坦的(Flat)，即為每個子載波能 量相等，就等同於子通道增益好時所傳送能量較小，子通道增益較差時所傳送能 量較大，這樣即能達到我們所要的子載波功率分配，公式如下： 2 2 2 [ ] [ ],1 [ ],2 [ ], 2 , 1,2,..., 1 H [ ] H [ ] H [ ] ... H [ ] [ ] arg max ( H [ ] ), 1, 2,...,
opt opt opt opt
gain m k m k m k m k Nt Nt opt m n m Nr n k k k k m k k k K
(2.25) [ ] opt m k 為在第 k 個子載波中選擇的接收天線。將選擇的接收天線之子通道大小乘 上
[ ]k ，來達到接收端所接收到的每個子載波能量相等，即為： 2 2 2 [1] [2] [ ] 2 1 H [1] [1] H [2] [2] ... H [ ] [ ] [ ]opt opt opt
gain gain gain
m m m K K k K K k P
(2.26) 其中P
為所傳輸的總能量。故最終的預編碼權重w[ ]k 修正為： [ ], 2 2 2 [ ],1 [ ],2 [ ], (H [ ]) [ ] [k] H [ ] H [ ] ... H [ ] optopt opt opt
H m k n n m k m k m k Nt k w k k k k (2.27)
2.3 增加接收端天線選擇正確率
從 2.1.1 所計算的二相相移鍵控錯誤率(2.12)和 2.1.2 所計算出的四相相移鍵 控錯誤率(2.23)，可以利用此錯誤率來找到傳送天線最佳的預編碼權重w[ ]k ，使 錯誤的機率Pe( [ ])wk 達到最小，表示如下： [ ] 2 [ ] arg min ( [ ]) . . [ ] 1 e k k P k s t k w w w w (2.28)18 此方法主要是為了解決如當第 k 個子通道瞄準第
m
opt[ ]
k
根天線，預設的預編碼 權重w[ ]k 如表 2.1，但是接收端有時候第二根天線所接收到的資料也很有可能接 近另外一個星象點而選擇到錯誤的接收天線，如下圖 2.4(圖為在四相相移鍵控的 情況下)，實線為傳送端所選擇的接收天線所接收到的資料，虛線為另外一根天 線所接收到的資料。 Imaginary Part Real Part Imaginary Part Real Part 4 m -(y [ , ])t k 圖 2.4 選擇錯誤接收天線星象圖 為了避免以上的情況，故將預編碼權重w[ ]k 加擾動使得預編碼權重w[ ]k 擾 動再正規化(Normalize)帶入所計算出的錯誤率中(二相相移鍵控錯誤率(2.12)或是 四相相移鍵控錯誤率(2.23))，使得錯誤率最小如表 2.2，讓另外一個接收天線的 接收資料遠離星象點如圖 2.5(圖為在四相相移鍵控的情況下)。這樣就可以盡量避 免因為另外一個天線所接收到的資料接近另外一個星象點，當累積能量時，實線 的能量小於虛線之能量，而造成誤判接收天線，而提高接收端天線選擇的正確率， 進而降低錯誤率。19 Imaginary Part Real Part Imaginary Part Real Part 4 m -(y [ , ])t k 圖 2.5 將預編碼權重w[ ]k 擾動而選擇對的接收天線 {1,2,..., } 1: [ ] [ ] [ ], [ ] ~ (0,1) [ ] ˆ [ ] [ ] ˆ arg min ( [ ]) [ ] [ ] t opt N L L L L L L opt e L L loop L For L loop k k k where k CN k k k end L P k k k w w v v w w w w w w 表 2.2 將預編碼權重w[ ]k 擾動
2.4 決策回授
如何讓最大比例選擇傳輸正交分頻多工系統再降低錯誤率呢？我們將最大 比例結合(Maximum Ratio Combining)套入在決策回授(Decision-Feedback)中，來提 升效能。圖 2.6 為接收機第 k 個子載波在二相相移鍵控決策回授系統架構圖在二 相相移鍵控調變，首先利用圖 2.2 所偵測出來的訊號來估測子通道的通道增益 [ ] m B k ，由(2.1)可以得到： * * * ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] [ ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] m m m m r t k y t k s t k B k s t k s t k
t k s t k (2.29)20 其中B km[ ]Hm[ ] [ ]k w k ，s t kˆ[ , ]即為在圖 2.2 中所偵測出的訊號，如果所偵測出 的訊號為正確，即為： ˆ[ , ] [ , ] s t k s t k (2.30) 藉由(2.30)將(2.29)改寫，以估測出子通道的通道增益： * * 1 1 ˆ [ , ] [ ] [ , ] [ , ] 1 1 ˆ ˆ [ , ] [ ] [ , ] [ , ] [ ] m m m m m m m t t r t k B k t k s t k r t k B k t k s t k B k
(2.31) 再來使用最大比例結合，將所有接收天線所相對應的子載波結合後做訊號的偵 測： * ˆ [ , ] detector( [ ] [ , ]) DF m m s t k B k y t k (2.32) 如調變是用四相相移鍵控需將(2.31)改為： * * 1 1 ˆ [ , ] 2 [ ] [ , ] [ , ] 1 1 ˆ ˆ [ , ] [ ] [ , ] [ , ] [ ] 2 m m m m m m m t t r t k B k t k s t k r t k B k t k s t k B k
(2.31’) 而圖 2.6 需將R y t k{ Nr2 [ , ]}修改為R y{ 4Nr[ , ]}t k ，且 1 1 t
修改為 1 1 2 t
。所以[ , ]
DFs
t k
就是利用決策回授所得到最終偵測到的訊號，可將 2.2 章節所提到的提 高接收端天線選擇正確率方法再加上本章的決策回授方式會使錯誤率大幅降 低。21 S E L E C T M A X D E T E C T O R 1 . . . Nr y1[t,k] yNr[t,k] 1 t
1 t
2 1 { [ , ]} R y t k 2 { Nr[ , ]} R y t k 1 1 t 1 1 t * ( ) * ( ) + D E T E C T O RChannel estimator Maximum Ratio
Combining * ˆ [ , ] s t k 圖 2.6 接收機第 k 個子載波在二相相移鍵控決策回授系統架構圖
2.5 群組天線選擇
最大比例選擇傳輸正交分頻多工是在只有傳送端具通道資訊的情況下運作。 因接收端不知道通道資訊下，加成性白高斯雜訊會使接收端判斷錯誤的接收天線， 接收端處為了對抗雜訊，而累積 μ 個符元的能量來抗衡雜訊。雖然這樣能有效的 降低雜訊對於接收端的影響，但前提為 μ 個符元的通道無時間上的變化，即為通 道在 μ 個符元時間內不變。故此方法對於通道在時間上變化的容忍度十分的低， 如圖 2.7 所示。22 Time F re q u e n c y
圖 2.7 通道在時間與頻率上的變化示意圖 利用同調頻寬(Coherent Bandwidth)之概念來提高最大比例選擇傳輸正交分 頻多工對於通道在時間上變化的容忍度。即傳送端利用鄰近的子載波成為一個群 組選擇接收天線，接收端也使用群組累積能量來對抗雜訊決定接收天線，如表 2.3，群組個數為。當群組個數 越大，所需要傳送的符元數就越少，這樣不 但能抵抗雜訊對選擇天線的影響，也因接收端所需累積符元能量的符元個數減少， 提升對通道在時間上變化的容忍度。如圖 2.8 所示，其中
表示不小於
的最小整數。23 傳送端群組子載波預編碼權重： [ ], 2 2 2 [ ],1 [ ],2 [ ], 2 , 1,2,..., 1 1
(
[ ])
[ ]
[k]
[ ]
[ ]
...
[ ]
[ ]
arg max (
[ (
1)
] ),
1, 2,...,
optopt opt opt
H m k n n m k m k m k Nt Nt opt m n m Nr i n
H
k
w k
H
k
H
k
H
k
m
g
H
g
i
g
K
[ ] opt m g 為傳送端在第 g 個群組中選擇的接收天線 接收端群組子載波天線選擇： BPSK / 2 m 1,2,..., 1 1[ ]
arg max (
Re(y [ , (
1)
])),g =1,2,...,
m Nr t i
g
t
g
i
K
[ ]g 為接收端在第g 個群組選擇的接收天線 QPSK / 4 m 1,2,..., 1 1[ ]
arg max (-
Re(y [ , (
1)
])),g =1,2,...,
m Nr t i
g
t
g
i
K
[ ]g 為接收端在第g 個群組選擇的接收天線 表 2.3 最大比例選擇傳輸正交分頻多工群組天線選擇演算法 Time F re q u e n c y
圖 2.8 群組天線選擇示意圖24 我們使用群組天線選擇法，即可只用單一符元來選擇接收端的天線，立即偵 測資料。如圖 2.9 所示，利用鄰近的子載波累積能量對抗雜訊，鄰近子載波個數 為。 Time F re q u e n c y
1
圖 2.9 使用群組及一個符元累積能量示意圖25
第三章
最大比例差分傳輸正交分頻多工
本章將介紹如何使用最大比例差分傳輸正交分頻多工(Differential Maximum Ratio Transmission in Orthogonal Frequency Division Multiplexing, DMRT OFDM)，最 大比例差分傳輸正交分頻多工只需要一個符元來完成偵測，接收端也無頇累積符 元能量來抵抗雜訊，所以最大比例差分傳輸正交分頻多工系統可以有效的改善最 大比例選擇傳輸正交分頻多工系統對通道在時間上變化容忍度的問題，且複雜度 低。
3.1 差分編碼
假設s[ ]t 為調變過後的訊號，如果此訊號s[ ]t 與前一個時間點所傳送的訊號 [t1] x 一樣，將以傳送”1”示之，不一樣將傳送”-1”示之，即為差分編碼(Differential coding)，如圖 3.1 所示。因為需要前的訊號x[0]所以需要初始值(initial)，假定為 1，以數學表示即為： *[ ]
t
[ ]
t
[
t
1]
x
s
x
(3.1) 其中x[ ]t 為s[ ]t 做完差分編碼的訊號。26 Differential encoding (initial 1) 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 [ ]t x [ ]t s 圖 3.1 差分編碼圖示 而在差分解碼(Differential decoding)，做法與差分編碼雷同，如收到”1”即為 與前一個時間點的資料相同，收到”-1”即為與前一個時間點的資料不同，這樣即 可解碼。如圖 3.2 所示，以數學式子所示即為： * [ ]t [ ]t [t1] r y y (3.2) 其中y[ ]t 為收到的訊號， r[ ]t 為y[ ]t 做完差分解碼的訊號。
D
if
fe
re
n
tia
l
d
ec
o
d
ing
1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1
[ ]
t
r
[ ]
t
y
1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1
圖 3.2 差分解碼圖示27
3.2 最大比例差分傳輸正交分頻多工系統及演算法
圖 3.3 為最大比例差分傳輸正交分頻多工發射機及接收機整體系統架構圖， 其中x[ ]t 為s[ ]t 做完差分編碼的訊號，r[ ]t 為y[ ]t 做完差分解碼的訊號。 w1[1] w1[K] wNt[1] IFFT IFFT P/S P/S S/P S/P FFT FFT Differential decoding y1[t,1] yNr[t,1] y1[t,K] yNr[t,K] wNt[K] + Differential encoding Detector [ ]t r [ ]t x [ ]t s [ ]k H 圖 3.3 發射機及接收機整體系統架構圖 選擇預編碼權重w[ ]k 使得最大比例差分傳輸正交分頻多工的效能最高，所以可 知r[ ]t 的子載波式子如下： * 1 [ , ] [ , ] [ 1, ] Nr m m m r t k y t k y t k
(3.3) 其中y t km[ , ]為第 m 跟天線所接收到第 k 個子載波的訊號，如下式所示：[ , ]
[ ] [ ] [ , ]
[ , ]
m m my t k
H
k
w
k x t k
t k
(3.4) 將(3.4)帶入(3.3)中： 1 [ , ] {( [ ] [ ] [ , ] [ , ]) ( [ ] [ ] [ 1, ] [ 1, ]) } Nr m m m H m m r t k k k x t k t k k k x t k t k
H w H w (3.5) 將(3.5)式展開為：28 * 1 * 1 * 1 * 1 [ , ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ , ] [ 1, ] [ ] [ ] [ , ] [ 1, ] [ ] [ ] [ 1, ] [ , ] [ , ] [ 1, ] Nr H H m m m Nr m m m Nr H H m m m Nr m m m r t k k k k k x t k x t k k k x t k t k k k x t k t k t k t k
H w w H H w w H (3.6) 欲讓錯誤率降低，即為讓收到的訊號雜音比提高。訊號雜音比如下： 2 * 1 2 2 2 * 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 { [ ] [ ] [ ] [ ] [ , ] [ 1, ] } { } [ ] [ ] [ ] [ ] { [ , ] [ 1, ] } { } [ ] [ ] [ ] [ ] { [ , ] } { } [ ] [ ] [ ] [ ] { } Nr H H m m m Nr H H m m m Nr H H m m m Nr H H m m m E k k k k x t k x t k SNR E k k k k E x t k x t k E k k k k E x t k E k k k k E
H w w H Z H w w H Z H w w H Z H w w H Z (3.7) 其中 2 { [ , ] } 1 E x t k ，且 * 1 * 1 * 1 [ ] [ ] [ , ] [ 1, ] [ ] [ ] [ 1, ] [ , ] [ , ] [ 1, ] Nr m m m Nr H H m m m Nr m m m k k x t k t k k k x t k t k t k t k
Z H w w H (3.8) (3.8)式各項間為獨立。如預編碼權重在 w[ ]k 2 1的條件下，將可證明 Z 的變異 數無改變。我們以第一項證明之，其他同理可證：29 2 * * (3.8) 1 1 1 * * 1 1 2 2 1 {( [ ] [ ] [ , ] [ 1, ])( [ ] [ ] [ , ] [ 1, ]) } [ ] { [ ] [ , ] [ 1, ] [ ] [ , ] [ 1, ]} [ ] [ ] { [ ] [ ] [ , ] [ 1, ] } [ ] [ ] Nr Nr H m m m m m m Nr Nr H H m m m m m m Nr H H m m m m k k x t k t k k k x t k t k k k x t k t k k x t k t k k k k k x t k t k k k
w H w H w H H w w H H w w 2 2 1 0 1 2 [ ] [ ] { [ , ] [ 1, ] } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Nr H H m m m m Nr H H m m m H k k x t k t k k k k k N k C k k C k C
H H w w H H w w w w (3.9) 其中 2 [ ]k 1 w 、 0 1 [ ] [ ] 2 Nr H m m m N C k k
H H 為定質。欲讓訊號雜音比最大，最後問 題即為： 2 [ ] [ ] 1 [ ] 1 2 maximize maximize [ ] [ ] [ ] [ ] maximize [ ] [ ] [ ] [ ] . . [ ] 1 Nr H H m m k k m Nr H H m m k m SNR k k k k k k k k s t k
w w w H w w H H w w H w (3.10) 因 1 [ ] [ ] [ ] [ ] Nr H H m m m k k k k
H w w H 為正數，故有無平方皆同。(3.10)式可表示為： 1 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( [ ] [ ]) [ ] Nr H H m m m Nr H H m m m Nr H H m m m k k k k k k k k k k k k
H w w H w H H w w H H w (3.11) 利用瑞利不等式(Rayleigh’s Inequality)： 2 max max 1 [ ]( [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] Nr H H H m m m k k k k k k k
w H H w w w w (3.12) 其中 w[ ]k 2 1， max為 1 [ ] [ ] Nr H m m m k k
H H 的最大特徵值(eigenvalue)。由瑞利不等30 式可知，讓w[ ]k 等於max所對應的特徵向量(eigenvector)時，(3.12)式之等號成立， 使得 1 [ ] [ ] [ ] [ ] Nr H H m m m k k k k
H w w H 達到最大。故w[ ]k 等於max所對應的特徵向量為傳 送端的預編碼權重。31
第四章
通道估計
本章將介紹通道估計(Channel Estimation)。由於本論文主要是在傳送端具通 道資訊，而接收端不具有通道資訊，而提出第二、三章的方法最大比例選擇傳輸 正交分頻多工及最大比例差分傳輸正交分頻多工。既然只有傳送端具通道資訊， 接收端需傳送訓練序列給傳送端，傳送端才能估測通道資訊。本章的傳送端與第 二、三章之接收端對應，接收端與第二、三章之傳送端對應。4.1 通道估計
在[6][7]為無線正交分頻多工技術的通道估計簡介及基本方法遇到的問題等， 在此不加以敘述。這裡提供一個通道估計的方法[8][9]，圖 4.1 為通道估計方塊圖， 其中dn[ ]t 為第 n 根傳送天線所傳送的訓練序列，ym[ ]t 為第 m 根接收天線經過通 道後所接收到的訓練序列，以子載波表示如下： 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ], 1,..., Nt m mn n m n y t k H t k d t k t k m Nr
(4.1) 其中 0 1 0 [ , ] [ , ] K kl mn mn K l H t k h t l W
(4.2) 其中WKkl exp{ j2 kl} K 32 可知，欲估計頻域通道Hmn[ , ]t k 只要先估計時域通道hmn[ , ]t l 即可。 IFFT IFFT P/S P/S S/P S/P FFT FFT Channel Estimaiton S/P S/P 1[ ]t d [ ] nt d P/S P/S 1[ ]t y [ ] mt y 圖 4.1 通道估計方塊圖
4.1.1 通道參數估計
以下以單輸入多輸出(Single-input Multi-output , SIMO)的二傳一收解釋之，多 輸入多輸出同理可證。將(4.2)式帶入(4.1)中： 0 1 1 0 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] K Nt kl n K n n l y t k h t l W d t k
t k
(4.3) 由於d t kn[ , ]為訓練序列，所以傳送端知道訓練序列d t kn[ , ]的數值。現在的目的就 是盡可能地把通道估測的精準，所估計出的時域通道h t lˆ [ , ]n 與最原先的時域通道[ , ]
nh t l
差距越小越好，即為均方誤差(Mean square error, MSE)最小，均方誤差的成本函數(cost function)如下： 0 1 2 1 2 0 1 0 ˆ ˆ ({ [ , ]; 1, 2})= [ , ] [ , ] [ , ] K K kl n n K n k n l C h t l n y t k h t l W d t k
(4.4) 欲讓均方誤差的成本函數最小，即為均方誤差的成本函數對h t lˆ [ , ]v 0 偏微分等於 零：33 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ({ [ , ]}) 1 ({ [ , ]}) ({ [ , ]}) 0 ˆ[ , ]n 2 ( [ , ])ˆn ( [ , ])ˆn v v v C h t l C h t l C h t l j h t l h t l h t l (4.5) 其中
v
1,2
，l0 0,1,...,K01，將(4.4)經由(4.5)偏微分後如下所示： 0 0 1 1 2 * 0 1 0 ˆ [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 0 K K kl kl n K n K v k n l y t k h t l W d t k W d t k
(4.6) 將(4.6)展開後可得到：
0 0 0 1 1 1 2 * * 0 0 1 0 ˆ [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 0 K K K kl kl kl K v n K n K v k k n l y t k W d t k h t l W d t k W d t k
(4.7) 定義：
0
1 * 0 [ , ] [ , ] [ , ] K kl v v K k p t k y t k d t k W
(4.8)
0
1 * 0 [ , ] [ , ] [ , ] K kl nv n v K k q t k d t k d t k W
(4.9) 將(4.8)(4.9)帶入(4.7)： 0 1 2 0 1 0 ˆ [ , ] [ , ] [ , ] K n nv v n l h t l q t l l p t l
(4.10) 其中v
1,2
，l0 0,1,...,K01，可將(4.10)寫成矩陣的形式： ˆ [ ] [ ]t t [ ]t Q h p (4.11) 其中 1 2 ˆ [ ] ˆ[ ] ˆ [ ] t t t h h h ， 1 2 [ ] [ ] [ ] t t t p p p ， 11 21 12 22 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] t t t t t Q Q Q Q Q ，而各個的矩陣向量內 容如下： 0 ˆ ˆ ˆ ˆ [ ] ( [ ,0], [ ,1],..., [ ,n t h tn h tn h t Kn 1])T h (4.12) 0 [ ] ( [ ,0], [ ,1],..., [ , 1])T v t p tv p tv p t Kv p (4.13) 0 0 [ , 0] [ , 1] [ ] [ , 1] [ , 0] nv nv nv nv nv q t q t K t q t K q t Q (4.14)34 故所估出來的通道即為： 1 ˆ[ ]t [ ] [ ]t t h Q p (4.15) 所以在圖 4.1 中的通道估計的方塊圖的內部如圖 4.2。欲讓複雜度降低可參考文 獻[10]。 [ , ]t k y
* [ , ] n d t k [ , ] n d t k * [ , ] v d t k IFFT IFFT 0 [ , ] 0,1,..., 1 1, 2 n p t l l K n
0 [ , ] 0,1,..., 1 , 1, 2 nv q t l l K n v
Calculate Temporal Estimation 1 ˆ [ ,0] h t 1 0 ˆ [ , 1] h t K 2 ˆ [ ,0] h t 2 0 ˆ [ , 1] h t K 0 0 0 0 FFT FFT 1 ˆ [ ,0] H t 1 ˆ [ , 1] H t K 2 ˆ [ ,0] H t 2 ˆ [ , 1] H t K 圖 4.2 通道估計方塊內部圖35
4.1.2
均方誤差臨界估計
利用均方誤差的成本函數最小得到(4.15)，其均方誤差為：
2
0 1 ˆ [ ] [ ] [ ] 2 MSE t E t t K h h (4.16) 其中的ˆ[ ] 1 [ ] [ ] t t t h Q p ， 1 [ ]t Q 由訓練序列所組成，而 1 2 [ ] [ ] [ ] t t t p p p 裡有接收到的 訊號y[ ]t 資訊，所以需要知道p1[ ]t 和p2[ ]t 是怎樣的形式，以下先以p1[ ]t 解釋之， 2[ ]t p 以此類推，如下： 0 0 0 0 1 * 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 * 2 2 1 0 1 * 1 0 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] K kl K k K kl K k K kl K k K kl K k p t l y t k d t k W H t k d t k W H t k d t k d t k W t k d t k W
(4.17) 其中依照 (4.9)的定義，可將(4.17)分別改寫為： 0 0 1 1 2 1 1 11 0 1 0 0 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] K K kl K k l H t k d t k W q t l l h t l
(4.18) 0 0 1 1 * 2 2 1 21 0 2 0 0 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] K K kl K k l H t k d t k d t k W q t l l h t l
(4.19) 0 1 * 1 1 0 [ , ] [ , ] [ , ] K kl K k t l t k d t k W
(4.20) 故將(4.18)(4.19)(4.20)帶入(4.17)後寫成矩陣的形式即為： 1[ ]t 11[ ] [ ]t 1 t 21[ ] [ ]t 2 t 1[ ]t p Q h Q h ξ (4.21)36 所以p2[ ]t 同理可證，得： 2
[ ]
t
12[ ] [ ]
t
1t
22[ ] [ ]
t
2t
2[ ]
t
p
Q
h
Q
h
ξ
(4.22) 其中 [ ] ( [ , 0], [ ,1],..., [ , 0-1]) ,T 1, 2 n t n t n t n t K n ξ ，故將(4.21)(4.22)在一起寫成矩陣 形式如下： [ ]t [ ] [ ]t t [ ]t p Q h ξ (4.23) 其中ξ[ ]t ( [ ],ξ1T t ξT2[ ])t T，所以可以算出ξ[ ]t 的變異數： 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 * * * 1 2 1 2 1 2 0 0 1 ( ) 2 * 0 2 1 2 { [ , ] [ , ]} { [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] } [ , ] [ , ] [ , ] K K k l k l n v v n K k k K k l l v n K k nv E t l t l E t k t k d t k d t k W d t k d t k W q t l l
ξ ξ (4.24) 其中n
1,2,
v
1,2
，將(4.24)帶入定義(4.14)中寫成矩陣形式如下： 2 { [ ] H[ ]} [ ] E ξ ξt t Qt (4.25) 故將(4.23)帶入(4.15)可得： 1 1 ˆ[ ] [ ]( [ ] [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] t t t t t t t t h Q Q h ξ h Q ξ (4.26) 即可計算均方誤差為：37
2 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ˆ [ ] [ ] [ ] 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 2 H H MSE t E t t K E t t t t K E t t t t K Tr E t t t t K h h h Q ξ h Q ξ Q ξ Q ξ ξ Q (4.27) ( ) Tr 為取(trace)將(4.25)帶入(4.27)可得：
2 1 0 [ ] [ ] 2 MSE t Tr t K Q (4.28) 其中 1 [ ]t Q 由[8]可知，在此就不加以註明完整的Q1[ ]t 。由於所傳送的訓練序列 的子載波能量通常為”1”，如下： 2 [ , ] 1 n d t k (4.29) 其中n1, 2，這樣即可計算出：[ ]
nnt
K
Q
I
(4.30) 其中 I 為K0K0的單位矩陣(identity matrix)，而 21[ ] 12[ ] H t t Q Q 。將[8]的 1 [ ]t Q 和 (4.30)帶入(4.28)可得：
0 1 2 21 21 21 21 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 [ ] 2 1 [ ] H H K l l l t t t t MSE t Tr KK K K t K K KK t K
Q Q Q Q I I I (4.31) 其中
l2[ ]t 為Q21H[ ]t Q21[ ]t 的特徵值，l 1,..,K0，而 ( 21[ ] 21[ ]) H Tr Q t Q t K ，可知(4.31)38 的均方誤差臨界(bound)如下： 2 [ ] MSE t K (4.32) 當 2 [ ] 0 l t 時，臨界值等於成立。
