大班原住民幼兒與一般幼兒之數學能力探究~以桃園市復興區及鄰近地區為例

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(1)國立臺中教育大學幼兒教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：邱淑惠博士. 大班原住民幼兒與一般幼兒數學能力之探究～以桃園市復興區及鄰近地區為例. \\. 研究生：廖婉伶撰. 中華民國一○四年七月.

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(3) 謝誌時光飛逝，從意外地考上研究所，決定離開偏鄉的代課工作，再度開始白天上班晚上上課的生活，雖然辛苦但是非常值得！這幾年有同窗好友的鼓勵，讓我重新審視自己的生涯規劃，原本只想在偏鄉代課的我下定決心考取教職，期待自己能在正式的職位上發揮更大的影響力。在這求學的五年中，經歷了落榜、休學一年、考取教保員，終於在第四年考上了正式教師，完成了人生中的一件大事，而現在也終於完成了論文的著作。論文能夠完成首先要感謝指導教授邱淑惠博士的悉心教導，收了我這個不聰穎又怕統計的學生，而且經常深夜打擾，無視時針指著 12 的存在，若非老師幫忙，一題一題的指點婉伶修改測驗題目，指導婉伶統計報表的呈述…這論文要完成恐是天方夜譚了；還有口試委員蔣姿儀博士及陳昇飛博士的協助及包容，讓婉伶能夠如期完成口考，並且提點婉伶論文中應詳加說明以更臻完善的建議，婉伶誠摯地再次說聲感謝您。從師資班到研究所這幾年求學生涯中，從美惠老師、明潔老師、淑宜老師、瑩慧老師、淑琴老師及珮伃老師身上也受益良多，感謝各位老師的教導！繼考取師資班及這幾年就讀研究所，最大的支持就是先生中銘和女兒靖斐，你們讓我無後顧之憂，完成了想繼續深造的心願，感謝你們!還有同窗好友佩其、婷微、慈蘭、千桂、湘寧、皓青、杏華、儒曼…的鼓勵，也謝謝儷湘學姊給與諮詢，我一輩子都不會忘記在 K709 與你們一起奮戰的日子。感謝光華同事美縈、光道、天平、一銘、雅惠的鼓勵，幼兒園夥伴阿花 kagi、光成 mama、Yuma、曉真的協助，讓我在這兩年能夠在課餘時間完成了論文的寫作；也謝謝遠在基督城的 Janason 和 Timothy 幫舅媽完成英文摘要的編寫，畫上論文的句點。另外也感謝受試班級的老師及幼兒，感謝老師們幫忙收集同意書，感謝孩子們耐著性子完成了施測，謝謝你們! 婉伶將不忘初衷，繼續走好這條教職之路，給有緣相聚的孩子一個幸福的學前時光！婉伶. 謹誌 2015.7.

(4) 大班原住民幼兒與一般幼兒數學能力之探究～以桃園市復興區鄰近地區為例. 廖婉伶摘要本研究旨在探討桃園市復興區及鄰近地區大班幼兒的數學能力，並探討原住民幼兒與平地一般幼兒在數學能力總分及數與量、幾何與空間、邏輯與推理三大面向上的差異。本研究採用一對一的測驗工具進行施測，以自編的互動式幼兒數學能力測驗工具，以復興區 55 位原住民幼兒及鄰近地區的 60 位平地一般幼兒為對象施測。研究者以描述性統計及雙因子單變量變異量檢定進行統計分析。歸納研究結果如下：一、大班幼兒數學能力屬上等程度，在計數、簡易加減、認識形狀及方位、辨識型式及序列的能力均已具備，除了在發展中的左右方位及抽象思考的能力外，大部分幼兒並都已達到暫行課程大綱學習指標之標準。二、原住民及平地一般幼兒在數與量、幾何與空間的能力上無顯著差異，但原住民幼兒在邏輯與推理中辨識特徵的能力顯著高於平地一般幼兒。這表示原住民幼兒比平地一般幼兒有較好的觀察敏銳度。. 關鍵詞：原住民幼兒、數學能力. I.

(5) Comparisons of mathematical ability between indigenous and non-indigenous kindergarten children in the Fuxing area of Taoyuan City Wang-Ling, Liao Abstract. The purpose of the study was to investigate the mathematical ability of indigenous children compared to non-indigenous children in kindergarten in the Fuxing Area of Taoyuan City. The study focuses on areas of counting and arithmetic, geometry and space, and logic and reasoning. This study used an interactive one on one approach in measuring the skills of the children in these areas. Children were selected from the Fuxing Area and nearby neighbourhoods, which included 60 non-indigenous children and 55 indigenous children. Descriptive statistics and two-way ANOVA analysis of variance tests were recorded and used to interpret the results. The results are summarized as follows:. 1. As a whole, the children possessed satisfactory ability in counting, basic arithmetic, and identifying types and orders as well as spatial awareness of shapes. With the exception of left-right spatial identification and abstract thinking, the majority of the children have reached levels of what is expected of them by educational standards. 2. Indigenous and non-indigenous children showed no significant difference in their abilities of counting, basic arithmetic, and geometrical and spatial identification. However, indigenous children showed better performances in the areas of logic and reasoning. Key words：indigenous children, mathematical ability II.

(6) 目. 次. 中文摘要. Ⅰ. 英文摘要. Ⅱ. 目次. III. 目錄. III. 表目錄. V. 圖目錄. VII. 目第一章. 錄. 緒論. 1. 第一節. 研究動機與背景. 1. 第二節. 研究目的與問題. 4. 第三節名詞釋義. 5. 第四節研究限制. 6. 第二章. 文獻探討. 第一節. 7. 幼兒數學能力發展的理論基礎. 7. 第二節幼兒數學能力的內涵. 13. 第三節幼兒數學能力的相關研究及評量工具. 33. 第三章. 研究設計與實施. 第一節. 49. 研究架構. 49. 第二節研究對象. 51. 第三節研究工具. 53. 第四節研究流程. 64. 第五節資料處理與分析. 66. III.

(7) 第四章. 研究結果與討論. 第一節. 67. 大班幼兒數學能力表現. 67. 第二節原住民與平地一般生幼兒數學能力表現第五章. 研究結果與討論. 78 91. 第一節. 結論. 91. 第二節. 建議. 93. 參考文獻. 95. 中文. 95. 英文. 102. 附錄. 105. 附錄 1 測驗意願調查表. 105. 附錄 2 專家意見調查表. 107. 附錄 3 第二次預試工具學習指標、專家意見及正式題號. 115. 附錄 4 互動式幼兒數學能力測驗工具之正式題目. 117. IV.

(8) 表. 目. 錄. 表 2-1-1. 皮亞傑認知發展期. 12. 表 2-2-1. 幼兒數學能力的內涵. 14. 表 2-2-2. 學齡前幼兒的數學能力. 16. 表 2-2-3. 拓樸、投影、歐幾里德幾何轉換之比較對照表. 24. 表 2-3-1. 原住民數學能力之相關研究. 35. 表 2-3-2. 「認知領域」之領域能力、學習面向與學習指標. 44. 表 3-2-1. 正式樣本人數分配表. 52. 表 3-3-1. 許惠欣（1996）所譯「幼兒數學能力測驗－第二版」的題目型態. 54. 表 3-3-2. 專家效度名單表. 59. 表 3-3-3. 互動式幼兒數學能力測驗工具之正式題目. 60. 表 3-3-4. 互動式幼兒數學能力測驗工具之圖片修改結果. 62. 表 4-1-1. 大班幼兒數學能力測驗各題答對率百分比. 68. 表 4-1-2. 大班幼兒數學能力測驗總分及三大面向之答對率分析. 70. 表 4-1-3. 大班幼兒「數與量」測驗各題之答對率分析. 71. 表 4-1-4. 大班幼兒「幾何與空間」測驗各題之答對率分析. 73. 表 4-1-5. 大班幼兒「邏輯與推理」測驗各題之答對率分析. 75. 表 4-2-1. 大班原住民與平地一般生幼兒「數學能力總分」之答對率、標準差及變異數分析表. 表 4-2-2. 79. 大班原住民與平地一般生幼兒「數與量」面向之答對率及標準差. 表 4-2-3. 80. 大班原住民與平地一般生幼兒「數與量」面向之變異數分析表. 80 V.

(9) 表. 表 4-2-4. 目. 錄. 大班原住民與平地一般生幼兒「幾何與空間」面向之答對率及標準差. 表 4-2-5. 82. 大班原住民與平地一般生幼兒「幾何與空間」面向之變異數分析表. 表 4-2-6. 82. 大班原住民與平地一般生幼兒「邏輯與推理」面向之答對率及標準差. 表 4-2-7. 84. 大班原住民與平地一般生幼兒「邏輯與推理」面向之變異數分析表. 表 4-2-8. 84. 大班原住民幼兒與平地一般生幼兒「辨識特徵」之答對率及標準差. 表 4-2-9. 86. 大班原住民幼兒與平地一般生幼兒「辨識特徵」之變異數分析表. 表 4-2-10. 86. 大班原住民幼兒與平地一般生幼兒「辨識型式」之答對率及標準差. 表 4-2-11. 87. 大班原住民幼兒與平地一般生幼兒「辨識型式」之變異數分析表. 表 4-2-12. 87. 大班原住民幼兒與平地一般生幼兒「辨識序列」之答對率及標準差. 表 4-2-13. 表 4-2-14. 88. 大班原住民幼兒與平地一般生幼兒「辨識序列」之變異數分析表. 89. 幼兒數學能力面向顯著性分析. 90. VI.

(10) 圖. 目. 錄. 圖 2-1-1. 心理數線圖. 20. 圖 3-1-1. 研究架構圖. 50. 圖 3-3-1. 互動式幼兒數學能力測驗之題型設計－以「數與量」加法的計算為例. 圖 3-3-2. 圖 3-4-1. 56. 互動式幼兒數學能力測驗之回饋情境設計－以測驗題目第 16 題為例. 57. 研究流程圖. 65. VII.

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(12) 第一章緒論. 本研究以一對一的測驗工具進行施測，探討大班幼兒的數學能力。首先研究者以相關文獻及課程標準為基礎，設計符合幼兒數學能力與日常經驗的互動式幼兒數學能力測驗工具，以遊戲的方式測驗大班幼兒的數學能力，並以身分別做比較，以了解現今原住民與平地一般幼兒的數學能力是否有顯著差異，以增進在現場教學的教師對大班幼兒數學能力的了解。本章分為研究背景與動機、研究目的與問題、名詞釋義及研究限制共四節，分述如下。. 第一節研究背景與動機. 在現今多元文化的教育趨勢下，台灣各族群的自我意識抬頭，相繼而起的是教育改革的風潮和本土教育的提倡，使得原住民教育成為現今台灣教育的重點工作之一（陳枝。近年來，教育部對偏鄉地區及原住民部落的國民中小學進行「教育優先區」烈，1997）的策略，企求偏鄉的教育水平能與一般地區相等；雖然政府積極推動，但實因經濟、文化、交通等條件較不佳的原住民部落，其整體的教育水平與一般地區相比仍有差距存在依據行政院原住民族委員會在 2014 年提出的「101 學年度原住民族教育調查報告」中即提到，原住民國中生的中輟率高於全體學生 2.07 百分點，在大專及高中職階段休學及退學比率均高於全體平均值（行政院，2014）。影響原住民學童學業成就低落的因素眾多，包含語言、家庭與學習環境及文化因素（任秀媚，1986；洪麗晴，1996；陳枝烈，1997；劉敬洲，1994；賴玉粉，1995），而學業成就低落的原住民學童最感到困難的科目就是「數學」（李亦園、歐用生，1992），. 1.

(13) 數學成就低落的因素仍與語言、家庭與學習環境及文化等因素脫離不了關係，數學成就低落的結果甚至影響到原住民學童的學習意願及求學機會。但是在近幾年有關原住民數學能力的研究中，多偏重在如何採取策略提升原住民學童學習數學的意願及成就，有採用融入繪本、運用多媒體、數學營隊及針對原住民學童編製的教學方法（尤信福，2011；王舒平，2009，李俐怡，2014；林家榮，2011；陳盈達，2008；高育昕，2014；許鋑彬，2010；張振嘉，2009；蔡敏潔，2013；劉仁傑，2013；顏素蘭，2009），在這些研究中，原住民學童的數學能力均在學習策略的使用後有所精進，由此可見，原住民學童的數學能力若以教一般學童的方法進行，恐無法克服上述影響原住民學童學習的因素，只要改變教學策略，原住民學童的數學能力應可改善。原住民學童在國小階段的學習問題，大部分跟學校適應有關（譚光鼎，1998），所以學習態度及習慣在早期的學校生活即已建立，教育學者一般認為國小學童的數學能力發展跟剛入學時具備的數概念有密切關係，學前階段的幼兒正處於認知發展由前運思期轉入具體運思期的關鍵時間，也是建立數概念的階段（Piaget, 1969）。若一年級新生在入學時即能正確的數算、會十以內的合成與分解並進行十以內的加減，具有初步的數學能力，將對未來的數學學習有積極正向的影響（林家綏、李丹玲，1999）。袁媛（2001）亦指出兒童早期的數學活動經驗勢必影響其日後對數學科目之喜好或厭惡。目前台灣的學齡前教育非義務教育，西元 2005 年以前教育部尚未設立偏鄉及離島「國民教育幼兒班」，原住民學童在入國小前尚未接觸學齡前教育及團體生活，文化刺激較少，母語的運用多於國語，至六歲隨即進入國小就讀，學習國語的注音符號及數學的表徵符號，的確較難引起原住民學童的學習意願；若加上家庭教育不彰，原住民學童與一般學童相比，在學習的道路上已在小學階段顯現落差，遑論國中階段的學習困難及中輟問題嚴重了。但「國民教育幼兒班」施行已近十個年頭，各區的偏鄉及原民鄉輔導教授、巡迴輔導教師、現場教學教師的投入下，以正常化教學的理念教學、定期的月輔導會議的檢討、教育部每年改善教學環境計畫的補助以及「大班免學費及經濟弱勢幼兒. 2.

(14) 加額補助」的政策，鼓勵大班幼兒進入幼兒園就讀，無論在軟、硬體的資源上給予相當大的幫助，在經過這些努力後，原住民幼兒的數學能力是否會因此而有所提升？會因不同的環境刺激而與一般幼兒有所差異嗎？這是引發在「國民教育幼兒班」現場教學近五個年頭的研究者想要一探究竟的原因。研究者更想了解，若是原住民幼兒與一般幼兒的數學能力有顯著差異，是在哪些能力面向上有差距？在往後的現場教學中，為了要奠定幼兒進入義務教育的基礎，要如何提升幼兒的數學能力？所以研究者選擇以學齡前的原住民幼兒為本研究之研究對象。同時研究者也希望能藉此研究做為日後相關研究和提供幼教現場教學教師規劃數學學習活動及編撰教材之參考。. 3.

(15) 第二節研究目的與問題. 本研究是利用互動式幼兒數學能力測驗工具以一對一的方式施測，在控制性別變項下，了解原住民幼兒與平地一般幼兒的數學能力是否有顯著差異，以下就本研究的目的與問題分述如下。. 一、研究目的依據以上的研究背景與動機，本研究主要的問題是在了解現今原住民幼兒的數學能力，包含在數與量、幾何與空間、邏輯與推理，在三個能力面向上與平地一般幼兒的差異，具體的研究目的有以下兩點：（一）探討大班幼兒在數學能力上的表現情形。（二）探討原住民以及平地一般幼兒在數學能力上的表現。. 二、研究問題依據以上的動機與目的，茲將研究的問題再分列如下：（一）大班幼兒在「數與量」、「幾何與空間」、「邏輯與推理」的數學能力表現為何？（二）原住民以及平地一般的大班幼兒在數學能力總分及「數與量」、「幾何與空間」、「邏輯與推理」的表現上是否有顯著差異？. 4.

(16) 第三節名詞釋義. 在此，研究者針對本研究所提到之重要名詞加以定義及說明，以釐清不同背景的閱讀者對於相同名詞所衍生出的不同解釋，重要的名詞包含：原住民幼兒、一般幼兒、幼兒數學能力、幼兒數學能力測驗，以下依序描述。. 一、原住民幼兒在本研究中所提到的原住民幼兒是指居住桃園市復興區泰雅族滿大班、就讀於復興區內國民小學附設幼兒園之大班幼兒。二、平地一般幼兒在本研究中所提到的一般幼兒是指居住在桃園市非原住民區滿大班、就讀於公立幼兒園大班，不包含身心障礙、新住民、原住民之幼兒。. 三、幼兒數學能力本研究中所指的幼兒數學能力是周淑惠（2007）所提出之「數與量」、「幾何與空間」、「邏輯與推理」三個能力面向。. 四、幼兒數學能力測驗本研究所採用的互動式幼兒數學能力測驗係由研究者參考文獻、許惠欣所譯之「幼兒數學能力測驗—第二版」（1996）、國內外數學課程標準及教育部發布之幼兒園課程暫行大綱（2012）編製，經由專家效度、預試測驗及指導教授指導後修改成正式施測工具。內容分為「數與量」、「幾何與空間」、「邏輯與推理」三個能力面向（周淑惠，2007），將題目的素材圖像化並以選擇題的方式，利用 Microsoft Office PowerPoint 軟體設計出可提供幼兒是否答題正確的互動訊息回饋之測驗情境。. 5.

(17) 第四節研究限制. 本研究在研究過程中因人力不足、時間以及在研究方法上的困難而有不可避免的限制，以下就研究對象、研究方法和研究工具三方面說明本研究之限制。. 一、研究對象本研究礙於時間及人力有限，僅能以桃園市復興區泰雅族 55 位及大溪、平鎮及龍潭地區 60 位大班幼兒做為研究對象，對於幼兒數學能力之探討將受限於與本研究相似的受試樣本，若欲類推至其他年齡或族群時須更加謹慎。. 二、研究方法本研究是採用一對一對受試幼兒進行互動式幼兒數學能力測驗，在施測過程中採用一致的指導語，雖然研究者致力於強調遊戲及互動並維持一致的施測情境，但仍無法避免人為操作的施測情境可能對幼兒的數學能力表現有所錯估。. 三、研究工具本研究由於時間、人力及研究工具上的限制，研究內容以「數與量」、「幾何與空間」、「邏輯與推理」三個能力面向為主，若是要探討幼兒在時間或幣值等其他數學領域，則無法推論到其他數學能力上的表現。. 6.

(18) 第二章. 文獻探討. 本章內容主要就國內、外相關資料進行文獻探討。全章共分為三節：第一節探討幼兒數學能力發展的理論基礎，以了解幼兒數學能力發展之過程；第二節探討幼兒數學能力的內涵，以了解幼兒在學齡前所具備的數學能力；第三節探討幼兒數學課程內容與評量標準，以國內、外的課程內容來編製評量工具，茲分述如下。. 第一節. 幼兒數學能力發展的理論基礎. 個體從一出生到發展成熟，擁有操作心智、適應環境、解決困難，甚至發展新知識的能力，這一切都必須倚賴知識的獲得，而在這些知識當中，數學的知識與能力對於個體的學習影響甚大，本節將探討幼兒如何獲得數學能力的理論基礎，包括吸收論與建構論和皮亞傑的認知發展理論。. 一、吸收論與建構論幼兒是如何獲得數學能力的呢？根據國內、外學者的論點，大致可分為「吸收論」（Absorption Theory）、「建構論」（Construction Theory）兩大學派（Baroody, 1987；王美芳、戴維揚，2002；周淑惠，2007；林璧琴，2010；黃惠禪，2003），茲分述如下：. （一）吸收論（Absorption Theory）吸收論採取行為主義觀點，以桑代克（Thorndike）、史金納（Skinner）及蓋聶（Gagne）為代表人物。吸收論主張習得數學知識與技能時，教學者先將數學知識以有組織、有層. 7.

(19) 次的方式呈現，學習者則必須不斷地記誦與練習，以強化連結關係的建立，就像是一個空白的接收器皿，被動的吸收知識，並透過外在的增強，即能學習到教學者傳授的知識 (Baroody, 1987；周淑惠，2007)。在實際教學中，吸收論以講述、灌輸、反覆練習為主要學習過程，只要不斷的記憶和練習，概念和技能就會越來越純熟，而新的技能再透過新的記憶聯想，來擴充知識庫，忽略幼兒學習的理解性及主動性，在學習過程中幼兒的理解並不重要，忽略了幼兒的心智歷程，教學者僅重視學習結果，且必須採取獎勵或懲罰的方式，傾向於傳統式教學（Baroody, 1987；周淑惠，2007；林璧琴，2010；徐碧佳， 2009；陳儀娉，2009；連秀敏，2010；張世忠，2003）。. （二）建構論（Construction Theory）建構論採取認知心理學的觀點，以皮亞傑（Piaget）、卡蜜（Kamii）及布魯納（Bruner）為代表人物。建構論主張數學知識及技能無法直接傳授，知識的獲得不在於技巧熟練或是要求答案正確，幼兒必須透過發現、操作、理解，來建構知識，重視心智歷程甚於學習結果(Piaget, 1969)。在實際教學中，教學者鼓勵幼兒主動探索日常生活事物，增加對事物的了解以建構自己的知識，此種學習是一種內化的過程，著重幼兒的思考，在經由一再失衡及平衡的過程中，透過理解和調適，將新舊資訊加以整合，而創建出自己的見解與知識；在好奇心的驅使下，幼兒經過操作、體驗下所獲得的知識及心理滿足，即是內在的報酬，更激發幼兒的學習欲望（Baroody, 1987；王美芬、戴維揚，2002；周淑惠，2007；林璧琴，2010；徐碧佳，2009；陳儀娉，2009；連秀敏，2010；張世忠， 2003）。綜上所述，研究者認為以上兩種論述皆有其立意，因為一般幼兒若不先學會背誦數字順序、認識數字與量的配對，不清楚上與下在空間中的區別，在未具有任何基本概念的情況下，幼兒便不能產生概念失衡，無法建構、組織自己的經驗及知識，但若一昧的灌輸已組織過的知識、不顧及幼兒的興趣及心理發展，剝奪幼兒動手操作、嘗試失敗的. 8.

(20) 權利，更不符合現代的教育理念，所以兩種論述均可運用在幼兒數學能力的發展上，但應依幼兒需要而調整；例如：在建立幼兒名詞與事物的連結時，可運用吸收論的教學方式，教導基礎的概念；若為培養幼兒學習的主動性及滿足好奇心，則應採用建構論的教學方法（王美芳、戴維揚，2002；周淑惠，2007；甯自強，1993）。本研究以大班幼兒為研究對象，此年齡層幼兒應給予媒材豐富、開放自主的環境，鼓勵幼兒操作、豐富生活經驗，在多次的概念失衡後，不斷的適應以組織建構知識，所以研究者採用皮亞傑之建構論為幼兒數學知識獲得的基礎理論。而建構論又是如何在幼兒的心智中運作呢?皮亞傑就個體獲得知識的發展歷程，提出認知發展理論（Cognition developmental Theory），本研究將進一步闡述如下。. 二、皮亞傑的認知發展理論（一）認知基模的運作皮亞傑（Piaget）提出認知發展理論（cognition developmental theory）。其學說指出，人一出生即用身體感官為基礎，透過對環境中的事物做出反應，從而獲取知識，並建立認知結構，此認知結構稱為「基模」。基模並非一成不變，幼兒利用基本的認知架構，可以運用舊經驗去適應新環境，以便在不同環境中求生存，基模的改變包含組織和適應兩個概念(張春興，2004)。組織（organization）是指個體統整運用其身體與心智的各種功能，來處理其週遭事物，從而達到某一目的的身心活動過程，且此組織能力會依身心發展的成熟而由簡單發展到複雜。適應（adaptation）是指個體的認知結構或基模因環境限制而產生改變的心理歷程，其中包含兩種彼此互補的心理歷程—同化（assimilation）及調適（accommodation）。同化（assimilation）是指個體在面對新事物時，運用其既有基模處理所面對的問題，並將其吸納入既有的基模內，亦即是既有知識的類推運用。而調適（accommodation）是指既有基模無法直接同化新知識時，個體為了達到環境的要求，而主動修正其既有基模，. 9.

(21) 增加或分化出新基模，以達到學習新知識的目的（林生傳，1998；張春興，2004）。同化與調適之間維持了一種波動的心理狀態，讓個體在環境適應中，不斷的重組經驗、增加知識；亦即在既有基模無法同化新知識經驗時，個體產生失衡的心理狀態，而驅使個體改變或修改其既有基模，以產生平衡的心理，藉此容納新的知識經驗（黃湘武等，1991；張春興，2004）。. （二）皮亞傑的認知發展階段皮亞傑將心理及認知的發展分成四階段，其中與學齡前幼兒相關的是第一階段到第三階段的前半期，整理於表 2-1-1，並說明如下。１.感覺動作期（sensorimotor period）感覺動作期—從出生到兩歲幼兒的認知發展階段，此階段的幼兒運用感官的視覺、聽覺、觸覺、味覺、嗅覺及手部、身體的動作來探索世界，並吸收理解大量的資訊。在此階段末期，幼兒應具備物體恆存（object permanence）的概念，也就是說在沒看到某物品的情況下，知道該物品可能放在某處依然存在，而非消失不見。除此之外，幼兒也發展出物體辨識的能力，透過顏色、大小、形狀等做判斷，物體的特徵會留在幼兒的認知基模中，形成符號性的心像（Charlesworth, 2006；張春興，2004）。 2.前運思期（preoperational stage）前運思期—從兩歲到七歲幼兒的認知發展階段，此階段的幼兒開始發展像成人的概念，但此時的思維常常是不符合邏輯的，故稱為前運思期。此階段有三項特徵：（1）知覺集中（centration）：幼兒憑知覺所及，集中注意於事物的單一面向，因物品的外觀改變，就認為物品的質量已改變，忽略了物品改變的過程。（2）不可逆性（irreversibility）思考：前運思期幼兒的思考不夠周延，無法在心中回想事物的改變過程，所以無法做到從原因去看結果、從結果去分析原因的可逆思考。（3）缺乏保留概念：保留（conservation）概念是指能在心中記住物品原本的形狀，而. 10.

(22) 且可以還原物品原本樣子的能力。前運思期的幼兒因知覺集中，思考不具可逆性，所以缺乏保留概念（Charlesworth, 2006；張春興，2004）。但在此階段的後期，幼兒會逐漸對數字概念、體積、重量發展出保留概念。 3.具體運思期（concrete operational stage）具體運思期—從七歲到十一歲兒童的認知發展階段，此階段兒童屬於小學階段，有以下特徵：（1）去集中化（decentration）：具體運思期兒童在面對問題情境時，不再只憑藉感官所見的片面事實做判斷，即「去集中化」。（2）可逆性思考：可以做出因果聯想的思考。（3）保留概念：因為能運用去集中化及可逆性的思考，具體運思期兒童均已具備了守恆的概念（Charlesworth, 2006；張春興，2004）。 4.形式運思期（formal operation stage）形式運思期—從十一歲以上青少年的認知發展階段，在此階段個體的思維能力已成熟，有以下特徵：（1）假設演繹推理（hypothetic-deductive reasoning）：在面對問題時，個體先提出假設，再進行驗證以得到答案，這是邏輯思考的基本形式之一。（2）命題推理（propositional reasoning）：此思維是一種超越現實的思考方式，適合用於計畫未來，對青少年來說是很重要的推理方式。（3）組合推理（combinational）：此推理方式在面對複雜的問題時，根據問題提出假設，利用系統驗證來求得答案，屬於高階的推理思考方式（Charlesworth, 2006；張春興， 2004）。. 11.

(23) 表 2-1-1 皮亞傑認知發展期期別感覺動作期（出生到 2 歲）. 基模功能特徵 1.藉由感覺與動作來發揮基模功能 2.由生物本能性的反射動作進步到有目的性的活動 3.具有物體恆存的概念. 前運思期（2-7 歲）. 1.使用語言表達概念，但有自我中心的傾向 2.能使用符號代表實物 3.能思考但未必合邏輯，無法見及事物的全貌. 具體運思期（7-11 歲）. 1.能根據具體經驗的思維來解決問題 2.能理解可逆性的道理 3.能理解守恆的道理. 形式運思期（11 歲以上）. 1.能做抽象思考 2.能按照科學假設的方法來解決問題 3.能採取形式邏輯思考的法則來思考問題. 由上述可知，學齡前的大班幼兒屬於前運思期或因個體心智發展的差異而提早進入具體運思期的前半期，這段時間正是幼兒保留概念逐漸建立的關鍵期，知識的獲得會受限於心智的發展，須藉由具體事物的操作或體驗，無法憑藉抽象思考來建構知識。因此，在評量幼兒的數學能力時，也該以具象的實物操作或足以讓幼兒了解的圖像進行。. 12.

(24) 第二節幼兒數學能力的內涵. 幼兒日漸成熟，認知能力也逐步發展，在日常生活中所接觸到有關數量、形狀、時間、重量等概念，在自發性的動機下逐漸累積，形成基本的數學能力。研究者整理文獻發現，過去的研究將學齡前幼兒的數學能力大致分成「數與量」、「幾何」、「空間」、「分類」等幾類，其中幼兒「數與量」的能力是最被廣泛研究討論，更被視為正式數學能力的基礎(簡楚瑛，1993)；「幾何」、「空間」、「序列」、「分類」、「時間」、「錢幣」等也被視為學齡前幼兒已擁有的數學能力（NCTM, 2000；王川華、陳阿月、陳玉珍、葉雅真， 2007；周淑惠，2007；陳彥璇，2007；陳麗霞，2000；鄭小慧、王川華、鄧曉雲，2006；張翠娥，1989；盧美貴、江麗莉、陳伯璋，2003；戴文青，1996；簡楚瑛，1993），當中有近九成的文獻將「空間幾何」的發展，納入幼兒的數學能力(王川華、陳阿月、陳玉珍、葉雅真，2007；周淑惠，2007；陳彥璇，2007；陳麗霞，2000；鄭小慧、王川華、鄧曉雲，2006；張翠娥，1989；盧美貴等，2003；戴文青，1996；簡楚瑛，1993)；亦有六成的文獻將「序列」、「分類」、「形式」等邏輯推理的能力，視為幼兒階段應發展的數概念(王川華、陳阿月、陳玉珍、葉雅真，2007；周淑惠，2007；陳彥璇，2007；鄭小慧、王川華、鄧曉雲，2006；張翠娥，1989；盧美貴等，2003；戴文青，1996；簡楚瑛，1993) ，茲整理如表 2-2-1。. 13.

(25) 表 2-2-1 幼兒數學能力的內涵研究者教育部（1987）. 研究結果修訂公布的幼稚園課程標準中，數學領域包含數、量、形的概念，內容如下：1.物體數量形的比較；2.認識基本圖形；3.物體的單位名稱； 4.順數與倒數；5.方位；6.質量；7.阿拉伯數字；8.時間的概念；9.結合與分解。. 張翠娥（1989）. 在「幼稚園教材教法」一書中，指出幼兒數學概念的教學內容包含五部分：1.分類（分辨異同、分類遊戲、邏輯推理）；2.數（唱算、點算、一對一、數的分解、數的集合、數的加減、數的保留、序列、 0 及一點點和很多）；3.量（度量、量的保留）；4.圖形和空間；5.時間。. 簡楚瑛（1993）. 將學齡前幼兒的數學知識分為數量形、空間與邏輯，在「數」的方面包含：唱數、計數、基數、數列、序數；在「量」的方面包含：測量、時間、金錢；在「空間」方面包含：形狀的辨識、形狀的知覺；在「邏輯」方面包含分類等。. 戴文青（1996）. 在「學習環境的規劃與運用」一書中，將幼兒數概念分成四大領域： 1.數：一對一對應關係、點算、比較多少、合成與分解、兩個、五個、十個一數、序數、零的概念、認識數詞、數詞與量的分配、唱數及寫數詞；2.量：比較長短（或遠近、深淺、高矮）、體積、面積、重量、容量、計算、時間、序列、快慢等；3.圖形與空間：幾何圖形、立體形狀及區分上下、左右、前後、裡外等方位；4.邏輯與關係：分類、集合、推理、部分與全體及因果關係。（續下頁）. 14.

(26) 研究者陳麗霞（2000）. 研究結果幼兒數學的內涵可分為數、量、形狀和顏色、空間位置、時間等概念，來組成一個完整的幼兒數學架構。. 陳俞君、吳柳嬌. 在國科會研究報告中，將幼兒數學分為九大項，包含：「唱數」、「計. 、楊筱明（2002）數」、「數字關係的認知」、「序數」、「數的保留」、「一對一概念」、「認讀抽象數字」、「數的合成與分解」、「數的運算」。盧美貴（2005）. 在大班幼兒基本能力與學力指標建構研究中，將數學領域分為：1. 數與量（數與量的概念、數字分解與結合、測量方法的運用、時間的概念、金錢的概念）；2.圖形與空間（圖形及圖形組合、空間方位）； 3.邏輯推理（分類與配對、序列與規則、事物關係）。. 鄭小慧、王川華. 在「培養幼兒五大數學基本能力」一文中提出，幼兒階段的數學概. 、鄧曉雲（2006）念包含邏輯、形狀、空間、量、數等五大領域。王川華、陳阿月. 數學概念應包括數算、計算、歸納、分類、假設、解碼等能力，還. 、陳玉珍、. 包含幾何圖形與代數的學習，使幼兒能有效使用數字及邏輯推理. 葉雅真（2007）. 培養幼兒仔細觀察、審慎思考的能力。. 周淑惠（2007）. 在「幼兒數學新論教材教法」一書中，將幼兒數學分為「數與量」、「幾何與空間」、「分類、形式與序列」。在「數與量」的教學內容中可歸納為：1.唱數與計數；2.數字的識別、書寫與運用；3.數字關係； 4.運算與估算；5.連續量的表徵與比較。. 陳彥璇（2007）. 在「讓幼兒在生活中快樂玩數學」一文中提及，幼兒數學內容不只有幼兒算術，主要可分為三方面：1.數與量的概念；2.幾何與空間概念； 3.分類、型式與序列。. （續下頁）. 15.

(27) 研究者. 研究結果. Baroody&. 在其編製「幼兒數學能力測驗—第二版」中，將數概念分為非正式. Ginsburg. 與正統數學思考，非正式數學細分為：1.唱數與合理性數算；2.. (1990). 多的概念與心算數線；3.簡易之加減計算；4.心算。正統數學分為：（1）傳統規定；（2）數字運算表；（3）計算；（4）概念。. 美國數學教師協會在 2000 年訂定新數學課程，針對幼兒園到國小二年級之課程包括：（NCTM）2000. 1.數與運算；2.代數；3.幾何；4.測量；5.資料分析與機率。. 研究者依據文獻的整理及對照幼兒身心的發展（Charlesworth, 2006；張春興，2004），認為幼兒數學能力不應僅侷限於數與量的概念，應該廣泛平衡的看待；亦在皮亞傑（Piaget）的認知發展理論中，幼兒空間與邏輯的概念已逐漸在學齡前階段發展，故研究者認為學齡前幼兒的數學能力應就三大面向來探討，茲整理如表 2-2-2。. 表 2-2-2 學齡前幼兒的數學能力數學能力面向 1.數與量. 所包含之能力內容（1）唱數與計數（2）數的表徵（3）數的相對大小（4）簡易的加減計算. 2.幾何與空間. （1）形狀（2）方位. 3.邏輯推理. （1）分類（2）型式（3）序列. 學齡前幼兒的年齡分布在 2-5 歲，年齡層間的發展差異甚大，故研究者針對大班幼兒為主要研究對象。而大班幼兒的數與量、幾何與空間及邏輯推理的能力會發展到哪個程度呢？以下分別加以論述之。. 16.

(28) 一、數與量學齡前幼兒所具備的數學能力通常被稱為非正式數學能力，其意指幼兒透過日常生活具體操作或實際經驗所習得的數概念或技能。在許多研究中，幼兒在未就學前即可在日常生活中，藉由各種有關數學的經驗而發展出可觀的非正式數學能力（Baroody, 1987； Ginsburg, 1989；周淑惠，1996；許惠欣，1995；簡楚瑛，1993）。非正式數學不僅是幼兒學習正式數學的基礎，當幼兒缺乏某些非正式數學能力時，有可能會影響到正式數學能力的發展。非正式數學能力應包含以下四項內容：唱數與計數、數的表徵、數的相對大小、簡易的加減計算，說明如下：. （一）唱數與計數「唱數」是指幼兒在沒有物品與數字對應下，能依序念出數字並且自動停止（Baroody, 1987）。在幼兒兩歲左右，「唱數」就像是在念一首童謠，是一組無意義的口頭背誦，但幼兒唱數有其階段性，如剛開始背誦數字 1-10，再嘗試增加 10 以後較為複雜的數字，雖然會有遺漏或錯置數字，但隨著數字經驗的增加，逐漸發展出對數序的心智印象（周淑惠，2007；陳俞君、陳英娥、陳品華，2003；簡楚瑛，1993）。唱數活動是幼兒建構數概念的重要活動，幼兒的數詞序列要透過唱數活動的熟練，成為一個自動產出且有用的數學工具，是幼兒數學概念啟蒙的重要關鍵之一（甯自強，1992）。然而幼兒學會唱數並不代表其具有數數的能力，「計數」是指將數字依序指定到物體上，被指定的物體是存在於空間和時間中可數之物，而且在每次的計數中，每個物體都只能和一個數字連在一起；也就是數字與物體透過指定的活動而有一一對應的關係（Fuson ＆ Hall, 1983）。計數活動包含五個原則（Gelman ＆ Gallistel, 1978）： 1.固定順序原則（the stable-order principle）：使用於計數集合體的計數標記必須每次都相同，並且遵循一定的順序。. 17.

(29) 2.一對一原則（the one-to-one principle）：指集合體中的每一個物件，都需要被標示到記號，這個記號可以是隨意的，但一個物件只能被標示一次，不得重複標示。 3.基數原則（the cardinal principle）：基數代表集合體的大小，幼兒在正確計數後，能以集合體中最後一個物體的對應數字來代表集合體的數量，此為基數原則。但幼兒會以最後一個數字來回答數量，並不代表其已具備基數原則（Baroody ＆ Ginsburg, 1986）。我們可由以下行為確定幼兒是否真正具有基數概念：（1）能馬上以正確的基數回答數量的多寡；（2）會以較慢或較大聲的方式強調計數的最後一個數字；（3）在計數時重複最後一個數字；（4）對於已計數過的集合體，再次詢問數量時，不需重新計算（Gelman ＆ Gallistel, 1978）。 4.次序無關原則（the order-irrelevence principle）：幼兒在進行集合體計數的活動中，能知道無論從哪一個數起都不會其總數。 5.抽象原則（the abstraction principle）：抽象原則是指無論是任何物體，只要是能夠分開的都可以數，此為能應用數數的能力。幼兒唱數是從反覆練習到意義化學習的過程，當他能依序點數物件，並在點數後知道集合體的總數量，無論點數過幾次或是從哪個開始數，都能得到相同的答案，我們可以說幼兒已具備唱數及計數的能力。通常幼兒的計數能力從三歲半開始發展，經由學前教育，三歲半到四歲的幼兒可以有能力學習算數，並且會算小數量的數；大班幼兒則已發展到次序無關原則的計數能力，可進行 20 以內的計數（Ginsburg ＆ Russell,1981；王國亨，2005；林嘉綏、李丹玲，1999；林璧琴，2010；許惠欣，1996；常孝貞，2004）。. （二）數的表徵以幼兒數量表徵符號的發展來說，幼兒有四種類型的表徵型態，大致上的發展趨勢. 18.

(30) 為：「特殊的反應」→「繪畫的反應」→「形象的反應」→「符號的反應」（Hughes, 1986；黃惠禪, 2003）。說明如下： 1.特殊的反應（idiosyncratic responses）：類似幼兒的塗鴉，或是像字母的曲線、可辨別的字母、或一些不相關的圖形，每個幼兒表現的方式不一，沒有規則性，也無法看出與數量間的關連。 2.圖畫式的反應（pictographic responses）：幼兒利用畫圖的方式表現物體，在圖形中已注意到物體的形狀與顏色等。 3.形象的反應（iconic responses）：幼兒使用一對一對應原則，畫出○○○或／／／等與物體相同數量的記號來表達，每個幼兒做的記號不盡相同，因人而異。 4.符號的反應（symbolic responses）：此型態為系統化的數字符號，表示幼兒已了解符號表徵與數量間的關係，如用 1、2、3 表示數量。 Hughes（1986）的研究顯示，特殊的反應及形象的反應常發生在幼兒 3、4 歲的時候，5～7 歲的幼兒則常使用圖畫是反應和符號的反應，到 7 歲時，符號的反應是最常使用的方式。而繼 Hughes 對幼兒表徵能力的研究後，國內外的研究皆顯示學齡前幼兒多使用繪畫或形象的表徵，如畫圖或做記號；在 4 歲時已具有表徵數量的能力，但不一定精確，5 歲幼兒則能用一對一對應方式，使用數字或符號正確表示數量，6 歲以後幼兒能逐漸用數字來表達數量。到小學階段，隨著正式教育的實施，幼兒學習符號表徵的機會增加，在認知發展上也進入具體運思期，在數字的表徵上多以符號呈現；甚至在國內的部分研究中，中班幼兒更已具有數量表徵能力，大班幼兒也大多數使用數字的符號表徵（蔡亞倫，2001；張麗芬，2011）。. （三）數的相對大小（ordinality）數的相對大小概念也可稱為「比較數字」的概念，意即比較兩個數字哪個多與兩組數字的距離哪個比較接近；它需要四種能力的統整：唱數、計數、基數和數的順序. 19.

(31) （Baroody, 1987）。幼兒一開始並不了解數字代表的相對大小關係，隨著唱數、計數等能力的增長，慢慢學習到數字的順序原來和數字的大小有關，較後面出現的數字會比前面出現的數字大。在幼兒大班左右，就能建構一套數字表徵，具備數字相對大小的概念，此概念稱為「心理數字線」（Resnick, 1983；簡楚瑛，1993），如圖 2-2-1。它代表的意義是每個數字在心理數線上都有一個對應的位置，每個位置以接續的方式相連接，較後面的數代表較大的數，以此作為計數及比較的基礎，進行數量的比較（常婷雲，2005；王國亨，2005）。越來越大. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 越來越小圖 2-2-1 心理數線圖資料來源: 引自簡楚瑛，1993，頁 30 除了比較兩個數字的大小外，兩組數字之間的距離何者較近的概念也是相對大小的概念（Ginsburg ＆ Baroody, 1983）；例如：「1 比較接近 8 還是 5 比較接近 8？」當使用心理數線時，幼兒可以知道 5 到 8 的距離會比 1 到 8 的距離近，對於兩組數字間的相對大小，只有粗淺的概念這種判斷是「非正式」、「直覺」的，通常無法用成人或正式的方式呈現，例如正式數學中的算式：8-1=7，8-5=3，7＞3，所以 8 到 1 的距離較遠（許惠欣，1996）。. （四）簡易的加減計算（ calculation）幼兒從日常生活中有實際計數的經驗後，逐漸建構出數的分解與合成，例如：5 顆. 20.

(32) 蘋果可分成 2 顆和 3 顆蘋果（分解），4 隻小狗和 2 隻小狗合起來是 6 隻小狗（合成），這些數算東西的概念會擴展成為計算的能力，在進入小學前，已經會利用計算策略來解決簡單的加減問題；常見的方法是倚賴扳手指或具體的物品，一個一個數或是往上數（合成）或是全部的數扣掉吃完的（分解），由此習得簡單的加減計算能力。通常大班幼兒已會運用逐一數算的策略進行 10 以內的加算，並逐漸發展心算能力（王國亨，2005；許惠欣，1996；黃惠禪，2003）。由上述可知，幼兒數與量的概念必先透過具體實物的數數，認識數詞，再建構出心理數線；在認識數的順序後，才能比較數字的大小，進而學習數的結合與分解；這些能力都屬於幼兒的非正式數學能力，是學習正式數學能力的基礎，也是研究者認為在評量幼兒數學能力中一個重要的部分。. 二、幾何與空間幾何（geometrical）又稱圖形，是指物體的形狀或輪廓；幾何的概念包含讓幼兒分辨圖形和區別平面或立體，並說出圖形的名稱（徐碧佳，2009）。空間概念（spatial relation）包含方向與空間的關係，亦即與方向、位置、距離及度量方法等有關的概念，並了解空間關係與運用（Freudenthal,1973；周淑惠，2007；徐碧佳，2009），而幾何學是探討空間關係和邏輯推理的數學。幼兒自小生活在充滿幾何圖型的環境中，常聽到運用幾何及空間的用語，例如：把桌子「上」的「圓」盤子收到櫃子「裡」、小朋友要坐在車子的「後」座…，幾何與空間概念與生活息息相關，它提供幼兒連結數學概念與真實世界的一個機會。根據美國數學教師協會（National Council of Teacher of Mathematics）所訂定的數學課程與評鑑標準中指出：空間能力是指對於二、三度空間的圖形與其特徵、圖形間的相互關係以及圖形變化結果的洞察與直觀，而幾何可以改善空間能力（NCTM, 2000）。我國在國小九年一貫課程中也將「幾何」納入數學的五大主題中（教育部，2003），由此可見「幾何」在數學教育中是非常重要的一環，所以在學齡前階段廣義的數學能力. 21.

(33) 也應包含「幾何」。學齡前幼兒若能具備幾何圖形及空間的基本認識，幫助他們辨別與區分各式各樣的物體，並發展空間的知覺能力與想像能力，以為進入小學學習幾何圖形做準備（林嘉綏、李丹玲，1999）。關於幼兒幾何與空間概念發展的理論主要有：Piaget 從心理學認知發展的觀點所提出的幼兒幾何概念發展理論，以及荷蘭數學家 P. M. van Hiele 和 Dina van Hiele-Geldof 所提出的幼兒幾何思考模式理論（周淑惠，2007；洪文東、沈宴竹，2011；薛建成，2003；張慧如，2006），茲說明如下。. （一）皮亞傑的幾何與空間概念發展理論皮亞傑（1967）從心理認知發展的觀點，來研究幼兒的幾何發展階段，他將其階段分為三個時期： 1.拓樸幾何概念（topological geometry）：約 2 歲到 4 歲此階段的幼兒屬於運思前期，缺乏可逆性與保留性，對於直線和曲線尚未具有嚴格的區分能力，對於長度與角度的差異，也無法做出區分，僅能分辨開放及封閉的圖形或圖形的內外；幼兒亦無法分辨圓形、正方形、三角形等圖形，因為這些圖形都是封閉圖形，若是讓幼兒畫方形，通常會把四個方角畫成圓角，四個邊也彎曲不直；雖然幼兒能覺察曲直的差異，但在認知上無法了解構成差異的因素，所以此時期畫出的圖形就像是一塊橡皮，可以被拉長、壓縮、變形，但其內與外之間、開放或封閉圖形之間的差異，並不會因此消失，例如一個畫有兔子的氣球，儘管氣球上的圖形會隨著膨脹和洩氣而改變大小，但是圖形本身的包圍性（兔子五官仍在兔子的臉內）、分離性（兔子的兩個眼睛分開，沒有黏在一起）、次序性（鼻子和嘴巴不會換了位置）、接近性（兔子的兩個眼睛分開，但仍保持接近）等特質並不會改變，因此拓樸學亦稱為橡膠皮幾何（Piaget,1953； Schultz, Colarusso, ＆ Strawderman, 1989；王文科，1992；周淑惠，2007；洪文通等， 2011；薛建成，2003）。. 22.

(34) 2.投影幾何概念（projective geometry）：約 4 歲到 6 歲此時期的幼兒屬於運思前期到具體運思期的認知發展階段，是認識幾何圖形的過渡時期。「投影幾何」經常在日常生活中被觀察到，例如：風箏、飛機在天空中飛時看起來很渺小，降落在地面時看起來卻很大；一個杯口邊緣從上面看起來是圓形，從眼睛的高度平視是一條直線；一張長方形的報紙從遠處看起來像是個梯形，從高處向下看是長方形，放在遠方看是小的，放回眼前看就會回復原來的樣子；這是因觀視點不同而造成形狀或大小有所變化的「投影轉換」（Schultz, Colarusso, ＆ Strawderman, 1989；周淑惠， 2007；洪文通等，2011；薛建成，2003）。由以上的例子，我們可以知道這個時期的孩子，對外界的認知，視覺會比其他感官佔優勢，凡是經過視覺確認過的事物，他們才認為是真實的存在，他們也相信各種事物的外觀會因視覺的感受不同而產生變化，所以報紙拿遠了而變小，是報紙真的變小，拿回眼前變大是因為報紙變回原狀了。 3.歐幾里德幾何概念時期（Euclidean geometry）：約 7 歲左右兒童開始形成「投影幾何」概念的當下，也正在建構「歐幾里德」幾何的概念；歐幾里德幾何是指一個圖形即便轉移或複製到它處，此圖形的實際長度和測量到的數值仍保持不變，意即轉移僅會改變圖形的位置或方向，卻不會改變其形狀與大小（Schultz, Colarusso, ＆ Strawderman, 1989；周淑惠，2007）。皮亞傑則是認為兩者是相輔相成、交互作用的（王文科，1989），為了要使幼兒具有「歐幾里德」幾何的概念，必須要讓幼兒跳脫視覺的迷惑，所以在圖形概念的發展上需要具備以下的認識：1.認知線段長短的保留性；2.認知角度大小的保留性；3.認知面的大小的保留性（Piaget, 1960），就「歐幾里德」幾何學的建構概念而言，長度的保留和距離的保留是最基本的概念。因為歐幾里德幾何學是由全等變換的原則去探討圖形不變的定律，所以此時期的幼兒知道，物體不管怎麼移動、旋轉、倒翻，其位置和方向改變了，但是其大小、形狀都不會改變（Piaget,1953；Schultz,. Clarusso, ＆ Strawderman, 1989；王文科，1992；周淑惠，. 2007；洪文通等，2011；薛建成，2003）。. 23.

(35) 由上可知，拓樸幾何未具有固定的形狀，簡單的封閉圖形可任意轉換成不同形狀、大小，也不具有直線的特性；投影幾何則因觀視點的不同，而改變形狀或大小，但因投射的緣故，無論直線或曲線均可投射出一直線，所以直性不改變；而歐氏幾何是研究由點、線、面所構成的圖形，不管如何轉移，其大小及形狀不會改變；茲將拓樸、投影、歐幾里德幾何轉換之比較對照列示如下（Schultz,. Clarusso, ＆ Strawderman, 1989；周. 淑惠，2007；洪文通等，2011）：. 表 2-2-3 拓樸、投影、歐幾里德幾何轉換之比較對照表轉換時期拓樸（拉扯與壓縮）. 發展年齡. 約 2-4 歲. 特性未改變者接近性順序性包圍性分離性. 特性改變者形狀大小直性方向位置. 投影（不同觀視點）約 4-6 歲. 歐幾里德（移動、旋轉、倒翻）. 約7歲. 接近性順序性包圍性分離性直性. 形狀大小方向位置. 接近性順序性包圍性. 方向位置. 分離性直性形狀大小資料來源：研究者修改自周淑惠（2007：頁 125）. 24.

(36) 由上述可知，皮亞傑的幾何發展理論重視幼兒發展幾何概念的思考模式上，探討幾何概念形成的運思過程，是屬於年齡取向的階段論，注重發展的過程。皮亞傑對幼兒「空間概念」發展的研究，主張「物體恆存」的概念會深刻影響幼兒的空間概念。在兩歲前，幼兒的空間知覺發展是以實際空間（practical spaces）來理解空間中的位置，這些位置代表各自獨立與未協調的參照點，沒有相互間的關係，就像是視覺獨立於聲音之外，觸覺亦獨立於視覺之外一樣；在透過實物的操作後，各個獨立的空間（視覺空間、觸覺空間、聽覺空間等）會慢慢統整，並加以統合協調（周淑惠，2007）。在兩歲左右，幼兒發展出「物體恆存」的概念，而具有粗略的空間知覺，並具有兩個特性（Gross,1985）： 1.易受鄰近物體的淆惑：幼兒會將兩個鄰近的物體視為同一個物體，不具有兩個獨立的空間，是結合在一起的，所以會容易受到鄰近物體的混淆迷惑（Lucas ＆ Uzgiris, 1977）。 2.以自我的身體為參照依據：幼兒判斷物體的位置是以自身或身上的線索為參照點，而非以空間中位置不變的標誌做為參照，例如：幼兒掉了一件玩具在身體的右邊，不管他是否轉了身或是走了幾步，他仍會往右邊尋找。兩歲後的幼兒進入前運思期，雖然慢慢能採用外來的參照，但是他仍無法完全擺脫自我中心，在做空間推理時，其判斷仍受自我觀點所影響，限制了幼兒在空間中轉移觀點的能力。等到幼兒變得較少自我觀點，並且能同時協調幾個面向（如前後、左右、上下等）時，他們從不同角度看物體的能力才會增強（王文科，1992；周淑惠，2007）。綜合上述，幼兒的空間概念會隨著發展而變化；約 2-4 歲的幼兒只能以拓樸學的鄰近、次序、分離、包圍的關係來理解空間，能分辨封閉或開放的圖形；約 4-6 歲時再以觀察者的觀點來建構空間觀念，可以用前後、左右、上下的方位來描述空間，亦能分辨直線或曲線，所以能區分圓形和正方形，但仍無法辨識正方形、菱形、長方形、平行四邊形；最後幼兒到 7 歲才具有保留距離不變的概念，並藉由統整感官及認知系統，開始. 25.

(37) 以度量衡的觀點來解釋空間，亦能分辨直線的封閉形體（Piaget ＆ Inhelder, 1967 ； Smock, 1976；王文科，1992）。亦即幼兒思考尚未達到運思階段前，無法理解投影幾何與歐幾里德幾何的特質（Piaget,. （二）范希樂（Van. Inhelder ＆ Szeminska, 1960）。. Hieles）的幼兒幾何思考模式理論. 相對於皮亞傑使用年齡及發展來研究幼兒的幾何概念，范希樂的理論主張幼兒的幾何概念，來自「學習歷程」，並非只是單純的生理成熟；主張幼兒的幾何思考模式可分為五個層次，對於描述幼兒到成人的幾何概念發展非常有用（Burger ＆ Shaughnessy, 1986；Fuys,. Geddes ＆ Tischler, 1988；Han, 1986；Hoffer, 1983）。茲將五個層次說明. 如下： 1.層次一：視覺的（visual）層次這個階段的個體藉由視覺來觀察各種事物，從物體的輪廓外形來分辨形狀，或是透過具體物的操作，例如翻轉或移動，來辨別圖形的異同，所以此時幼兒可以說出長方形、圓形等名稱，但無法明確指出圖形的特徵。 2.層次二：描述的（descriptive）層次此階段的個體已具有辨識圖形特徵的能力，不受圖形方位的影響，能利用視覺來觀察圖形的基本構成要素，並分析幾何概念；但個體仍無法說出圖形特徵之間有何關係存在，例如知道正方形是四個邊相等的四邊形，但不知正方形是長方形的特例，也是有直角的菱形，無法解釋性質間的關係。 3.層次三：理論的（theoretical）層次此階段的個體已能夠辨別構成各種圖形的要素，並能夠進一步加以定義、分類各種圖形的屬性，以及圖形間的包含關係。例如長方形是一種平行四邊形，而當平行四邊形有一個角是 90 度時，這個平行四邊形就一定是長方形。. 26.

(38) 4.層次四：形式邏輯的（formal logic）層次在這階段中，個體已能抽象思考，不需透過實物操作，只要經由邏輯推理的過程，就可以證明數學的幾何問題，並且知道證明的方法不只一種。例如四邊形若是兩雙對邊相等，就能判斷一定是平行四邊形，而不須將所有圖形的屬性詳列出來才能辨識其圖形。 5.層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical law）層次此階段的個體能在不同的公理體系中，建立幾何的定理，理解不同公理系統的區別，對於數學結構有很深的了解，就像是一位數學家。例如能區分歐幾里德幾何與非歐氏幾何的差異，也可了解抽象推理幾何，更甚者可自行創造出一套幾何公設系統。由上述可知，學齡前幼兒及國小低年級學生均屬於范希樂幾何概念發展的視覺層次（劉好、劉湘川，1992），該階段多著重在視覺的辨識以及透過具體實物不斷的操作，豐富他們的視覺經驗後，使幼兒了解圖形的初步概念，進而循序進到下一層次，意即范西樂主張的是幾何思考模式的層次會循序漸進,而非以生理成熟為依據,與皮亞傑依年齡及認知階段發展來區分（周淑惠，2007；洪文東、沈宴竹，2011；高耀琮，2002；薛建成，2003）。. 三、邏輯推理學齡前幼兒的數學教育強調推理的重要性，使幼兒覺察數學是有意義、有理可循、合乎邏輯的，並以培養解決問題的能力（NCTM，2000）。而在幼兒數學能力中所提到的「邏輯推理」是指引導幼兒思考、發現、辨識與判斷，使幼兒能連結相關事物，進而做出分類、辨別關係、找出序列、前後順序等概念的能力，主要的內容包含分類、型式及序列（Piaget＆Inheder, 1964；周淑惠，2007），茲分述如下。. 27.

(39) （一）分類（classification）分類是指依據事物間異同關係而形成各類組（引自周淑惠，1999），它同時牽扯到區分（sorting）和歸類（grouping）兩個並行的概念（Charlesworth ＆Radeloff, 1991），例如：把紅色的球從黃色及藍色的球中撿出來並放置成一堆，就是先使用紅色球必須與黃、藍色球分開的概念，再將紅色球歸類成同一類。也就是說，分類要先按照一定要求，逐一辨認物體的特徵，這個辨認的程序就是對物體的分析；接著再將具有相同特徵或屬同一類的物體歸類在一起，這就是綜合；分析和綜合是邏輯思考的基本能力，所以「分類」能促進幼兒邏輯推理的發展（林嘉綏、李丹玲，1999）。而學齡前幼兒處於前運思期，未具有保留概念，在思考上尚未具有邏輯推理的能力（Piaget ＆ Inhelder, 1976），但 Piaget 亦曾說過：「數的建構與邏輯的發展是相生相隨、共同發展的，數學前期相當於邏輯前期。」（周淑惠，2007）分類概念在學齡前如何發展呢？分述如下： 1. 3 至 4 歲幼兒已逐步覺察到分類的界限，對類別特徵的知覺逐漸精確幼兒在 3 至 4 歲時開始具有簡單的分類能力，能辨認物體的外部特徵並將他們分類，也就是使用知覺屬性進行揀選，像是從形狀、大小相同，但顏色不同的雪花片中，挑出紅色雪花片放在一起，意即 3 至 4 歲的幼兒可以分類一種不同特徵的物體，但尚未具有物體分類的包含概念（王文科，1992；周淑惠，2007；林嘉綏、李丹玲，1999）。 2. 4 至 5 歲幼兒能準確的覺察分類及特徵，並能基本理解分類及子分類的包含關係 4 至 5 歲幼兒按物體某一特徵分類的能力提升，不僅可以按物體的外部特徵做分類，還可以按數量和簡單用途做分類，並且在直觀的條件下；有 45％的 5 歲幼兒能理解三隻背著救生圈的小豬，其中有兩隻穿紅褲子，這樣是指背著救生圈的小豬比穿紅褲子的小豬多。意即 4 至 5 歲的幼兒可以準確的辨識分類及特徵，對「類」包含關係的理解發展較快，但仍處於基本理解的層次（林嘉綏、李丹玲，1999）。. 28.

(40) 3. 5 至 6 歲幼兒對分類的理解進一步提高和擴展 5 至 6 歲幼兒能按兩種特徵將物品分成兩種不同的子分類，例如從一組不同大小、顏色和形狀的雪花片中，把紅的大的雪花片拿出來，或是拿出小的圓的雪花片等等。60 ％的 6 歲幼兒可以理解上述實驗中，背著救生圈的小豬比穿紅褲子的小豬多的分類概念，也就是理解分類和子分類的關係，這有助於幼兒理解數的組成及加減運算（林嘉綏、李丹玲，1999）。. （二）型式（pattern）型式是指重複出現，有規則性的花樣、圖案、動作或事件等；而「型式辨識」是指辨識呈現於感官的一個重複性刺激（Burton, 1985），例如：數字、形狀或物體甚至是聲音、肢體動作的規則排列方式。數學其實是一套具有固定規則和型式的科學，透過型式的辨識及思考，幫助幼兒了解數學的含意；意即幼兒能理解到數學並不是一組不相關的事件或符號，而是要藉由型式辨認和運作來幫助自己預測將來會發生什麼事，例如日出 -日落-月升、一年四季春-夏-秋-冬、紅綠燈紅-綠-黃燈的轉換等等，甚至由覺察到日常生活中型式、運用型式來解決問題，例如運用奇數、偶數的門牌或車票號碼找到住址、公車上的座位等，這些規律的型式能轉換成一種公式並運用在類似的情況中，所以「型式」是跟我們的生活密不可分的（周淑惠，2007）。如果幼兒能將覺察到的型式與數學結合，他們就可以更牢記所學到的知識，並且將這些獲得的知識轉換成新的情境或問題（何雪芳、陳彥文，2003）。型式的種類分為三種：「重複的型式」、「增長的型式」、「關係的型式」（周淑惠，2007），茲分述如下： 1. 重複的型式「重複的型式」（repeating patterns）是最早被研究的一種型式，是指重複或循環的概念，一系列特定的形狀、顏色、聲音或其他表徵會一直反覆出現，例如：「321，321，. 29.

(41) 321…」、「紅－黃－藍、紅－黃－藍、紅－黃－藍…」或是「大聲－小聲－大聲、大聲－小聲－大聲、大聲－小聲－大聲…」（何雪芳、陳彥文，2003），此種為一維的規律型式，是幼兒學習數型和代數的準備。亦有較為複雜的重複樣式，例如：○□○□○□○□ －○□○□○□○□－○□○□○□○□…，這樣的型式在大小的特徵上為「大大小小小小大大」，稱作單位為 8 的循環，在形狀的特徵上為「圓方圓方圓方圓方」，稱作單位為 2 的循環，這樣的重複型式相當適合幼兒觀察學習（嚴雅筑，2007）；還有更為複雜的「鑲嵌圖形」（tessellation），屬於一種重複出現的規則圖形或形狀，不重疊並且沒有空隙，形成一種具有藝術及空間美感的型式，可以增進幼兒對型式排列的技巧、形狀、空間和角度的認識（彭子怡，2007）。在學齡前階段我們最常運用的重複型式活動有：型式積木的排列、串珠活動或是打擊節奏樂器等等（周淑惠，2007）。 2. 增長的型式增長的型式（growing patterns）是指符號、數字、圖案或物體漸漸增多的型式，例如：樹木的年輪會一年增加一圈、週曆上每週會規則的增加七天等等，雖然增長的型式與重複型式相比是較難理解的，但鼓勵幼兒了解增長型式並做歸納，可以幫助幼兒建立代數運算的概念，對幼兒的分析能力也很有幫助，（張英傑＆周菊美，2005；嚴雅筑， 2007）。 3. 關係的型式關係的型式（relationship patterns）是指在兩種事物中有相關連結，彼此會互相影響的型式，亦可稱為結構型式（structural patterns），例如：一盒彩色筆友 12 支，兩盒就有 24 支，以此類推；也就是在相互影響的兩件事物中產生規則（Owen, 1995；Smith, 2006）。著名的「費氏數列」就是一種特殊的關係型式，它開始於 1，1，再於前兩項之後加上前兩項的總合，形成 1，1，2，3，5，8…的數列。關係的型式通常不是線性的，所以在日常生活及自然環境中容易察覺，例如鸚鵡螺的螺紋型式或是向日葵種子的排序等等（張英傑＆周菊美，2005）. 30.

(42) 在上述的三種型式種類中，關係型式強調數型，不適合幼兒觀察學習，所以在學齡前階段，幼兒主要探究的是「重複的型式」以及「增長的型式」，在本研究中會以「重複的型式」作為評量幼兒分辨型式能力的類型。. （三）序列（seriation）序列是指比較兩項以上事物的排序，注重的是事物間的關係，並將相關事物依邏輯依序排列的概念（Charlesworth ＆ Radeloff, 1991；周淑惠，2007），也可以說是幼兒處理物體差異時，能按照由小到大或由大到小順序排列的概念（王文科，1992）。「序列」和「型式」十分相近，「序列」可說是「型式」的根本，也可以算是「型式」的一種，因為幼兒必須要對邏輯順序的排列有基本的認識才能創造「型式」，也就是說「序列」是一個要分辨逐漸遞增或遞減的「型式」（Charlesworth ＆ Radeloff, 1991；周淑惠， 2007），例如：○□、○□□、○□□□、…，具有型式的特徵，亦屬於遞增的序列，幼兒在日常生活中常遇到的按高矮排隊、益智教具中的子母套盒、衣服從大到小的尺寸等等，都是常見的序列。在皮亞傑讓幼兒排列 10 根木棒的研究中，發現前運思期與具體運思期的幼兒有以下三種能力上的差別： 1.前運思期幼兒無法同時思考兩個層面，容易忽略木棒的底部，只著重在木棒的頂端；而具體運思期的兒童則會同時思考兩個層面，會先將木棒的底部排列整齊，形成一條基準線，再來比較頂端，讓木棒由低至高成階梯狀排列。 2.前運思期幼兒沒有可逆思考的能力，例如: A 大於 B，無法推斷 B 小於 A，具體運思期的兒童則可從 A 小於 B，B 小於 C，推論出 C 大於 B，B 大於 A。 3.前運思期幼兒沒有遞移思考的能力，具體運思期的兒童則可以理解若 A 大於 B，B 大於 C，則 A 大於 C（阮淑宜，1990）。「序列」概念的發展有三個階段（陸有銓＆華意蓉，1989；周淑惠，2007），茲分. 31.

(43) 述如下： 1.次序無關階段（4 至 5 歲） 3 歲幼兒可能找得出最大和最小的木棒，但沒有排序的能力。4 至 5 歲幼兒只能排序幾根，或是任意排放，並沒有辦法做個整體統合的思考，這是因為此時幼兒只集中注意力在頂端，忽略了基準線。 2.嘗試錯誤階段（5 至 6 歲）此階段幼兒雖然可以按木棒的長度排序，但仍不是對整體作有系統的考量；他會先試試 A, 若 A 不行就換 B，在經過一次次的錯誤嘗試後將排序完成，但對排序的意涵並未真正的了解。 3.系統的整體化階段（7 歲以後）此時幼兒已能先找到最短的木棒，再找到次短的，依序的完成木棒由短到長的排序，以具備序列的概念；如果在 10 根木棒排序後，再交給幼兒其他木棒，此階段幼兒亦能正確的依木棒長短，再排入原 10 根木棒的序列中，顯示幼兒已能了解及協調兩個相反的關係，例如：B 大於 A，B 小於 C；C 大於 B，C 小於 D；亦具備了關係遞移的概念，如 A 大於 B，B 大於 C，則 A 大於 C（周淑惠，2007；陳琇珍，2007）。「分類」、「型式」和「序列」都與分辨事物間異同有關，而分辨異同是邏輯推理能力的基礎（Worth, 1990）。現代的幼兒數學教育強調培養幼兒思考推理及問題解決的能力，所以要評量幼兒數學能力時，「分類」、「型式」和「序列」的邏輯推理能力應納入考量的範圍。. 32.

(44) 第三節原住民數學能力的相關研究及評量工具. 本節針對國內外有關原住民數學能力及評量工具之相關研究進行檢視，第一部分是有關原住民在數學能力的測驗分析及影響學習因素的相關研究，第二部分是測量幼兒數學能力之工具及標準。. 一、原住民數學能力分析及影響學習因素之相關研究研究者認為有關原住民數學能力的相關研究大致上可分為三類：原住民學童數學能力測驗分析、原住民學童低數學成就之相關因素、提升原住民學童數學能力之教學策略，茲分述如下：. （一）原住民學童數學能力測驗分析在原住民學童數學能力測驗分析（表 2-3-1）中，多數的研究均指出原住民學童數學能力較一般地區學童低下（張意宗，2010；蔡馨儀，2008；），包含空間能力的表現，一般地區學童也顯著優於原住民學童（張慧如，2006），但在少數的研究中，仍有研究者指出國小四到六年級的原住民學童，在基本學力指標上通過率有百分之七十，具有一定的數學基本能力（廖信德，1999）。研究者在此發現有關原住民學齡前幼兒的數學能力分析研究相較於國小階段少，目前僅有蔡馨儀（2008）使用許慧欣所譯「幼兒數學能力測驗－第二版」，對屏東縣大班原住民幼兒的數概念做分析，此研究指出一般幼兒的數概念優於原住民幼兒，但原住民幼兒數概念已達到幼稚園課程標準中所定之概念範圍；與美國常模比較，一般幼兒與原住民幼兒的數學商數均在中等以上，優於美國常模。除了此研究外，較少與原住民幼兒數學能力相關的測驗工具及研究結論，希望本研究結果可提供日後有意探討原住民幼兒. 33.

(45) 數學能力之研究者參考。. （二）原住民學童低數學成就之相關因素在探究原住民學童低數學成就相關因素的研究中，以學習者個人學習態度、學習環境以及語文閱讀理解能力為主要研究方向。以學習者個人來說，學習態度及個人特質是直接影響數學態度的因素之一（徐右任，2001），原住民學童相較於一般學童在學習上較被動，尤其對數學的學習意願低落、學習信心不足（鍾宜芳，2014），並且因為家庭教育不彰，原住民父母本身學經歷不高，以勞動或農耕甚至外出謀生以維持家計，已無餘力在課後指導原住民學童學習（劉敬洲，1994；賴玉粉，1995）；加上偏鄉教師流動率甚高，素質不齊，甚至有開學後仍找不到大學畢業、沒有教師證之教師任教的狀況，這些原因均會影響原住民學童的學習狀況（李建興、簡茂發，1992；劉敬洲，1994）。而語文閱讀理解的能力也會直接影響學習者在面對數學文字題題意的了解，因為原住民語和漢語是兩種獨立的預言，在閱讀或口語表達時，兩種語言間的轉換會造成記憶和思考上的干擾（任秀媚，1986）。原住民語不僅和漢語的文法結構不同，音節也較長，發現音節的長短影響原住民學童學習（簡淑真，1998）。在林逸文（2002）的研究中也指出數學低成就的孩子在語文智商上有顯著差異，可見語言差異的確造成原住民學童在學習數學上的困難。. （三）提升原住民學童數學能力之教學策略在原住民學童較多低學習成就的情況下，有志改善原住民學童學習意願及學習效果的研究者，運用電子資源（尤信福，2011；陳盈達，2008；許鋑彬，2010；張振嘉，2009）或是繪本等資源（李俐怡，2014；林家榮，2011），或是其他教學策略的改變（高育昕， 2014；蔡敏潔，2013；劉仁傑，2013；王舒平，2009，顏素蘭，2009），運用各種方式並在教導者的循循善誘下，原住民學童在研究的成果中都有明顯的進步，由此可知，原. 34.

(46) 住民學童可能在傳統教學下需要克服前述中語言、學習環境的不利，但如果施予輔助的資源、教學策略的改變，或是行政策略的施行，如設立學前教育機構，原住民學童的數學學習成就勢必可提升。. 表 2-3-1 原住民數學能力之相關研究研究主題蔡馨儀（2008）原住民幼兒數概念之研究－以屏東縣為例. 研究對象大班幼兒. 研究重點. 研究結果. 採用許慧欣所譯「幼兒數學能力測驗－第. 一般幼兒之數概念表現優於原住民幼兒。父親. 二版」中文版，探討屏東縣大班一般幼兒與原住民幼兒數概念之表現情形。. 職業、族群、幼兒數學學習興趣、母親教育程度等四個變項對幼兒的數概念具有預測力。. 高育昕（2014）. 3 位原住. 採質性研究法，瞭解. 原住民幼兒的數學能力. 一所原住民幼兒園幼兒數學教學歷程探究 --以三位幼兒為例. 民幼兒. 原住民幼兒數學學習的情況與展現，並真實呈現幼兒建立數概念教與學之歷程。. 表現確實較低落。對遊戲、大肢體活動、可操作性等學習形式，幼兒學習的意願更高。經過教學引導，三位原住民幼兒在數能力的表現上都有明顯的進步。. 張慧如（2006）. 四至六年. 探討市區原住民學童與. 一般學童空間能力測驗. 原住民學童與一般學童空間能力之調查. 級學童. 一般學童空間能力的差異。. 的表現顯著優於原住民學童。. （續下頁）. 35.

(47) 研究主題廖信德（1999）原住民國小四至六年級數學基本學力指標初探--以南投縣仁愛鄉為例. 林宜城（1995）南投縣山地地區國小兒童位值概念發. 研究對象四至六年級學童. 研究重點編製適當的問卷以瞭解原住民國小數學科的基本學力指標項目，並透過施測以評量學生的基本學力。. 研究結果依基本學力指標項目編製試題施測後，發現通過率均達 70%以上，顯見原住民學生在本基本學力指標上，具有一定程度的數學基本學力。. 山區山地籍山區平地籍. 不同籍別、地區、年級的學童位值概念. 四年級學童位值概念顯著優於二、三年級學童。. 市區平地籍二、三、四年級學童共 135 位. 及其相關知識的發展情形. 平地籍學童無論居住於山區或市區，數值概念未有顯著差異，但均優於山地籍學童，顯示籍別間有顯著差異。. 花蓮縣國小泰雅族四、六年級學童共計 374 名. 探討花蓮地區國小泰雅族學童的 van Hiele 幾何思考層次. 泰雅族學童在等腰三角形以及直角三角形層次二的測驗，通過率較低，層次三的測驗對泰雅族學童較為困難。少數泰雅族學童在筆試過程中有跳躍現象。. 邵國志（2007）屏東地區國小五年級. 國小五年級原住民. 探討屏東地區國小五級學童在不同性別與. 國小五年級原住民女童在數學學習成就表現上. 原住民學童數學學習成就與數學焦慮之相關研究. 學童. 家庭結構對數學學習成就與數學焦慮上的差異情形. 優於原住民男童。國小五年級原住民學童數學學習成就與數學焦慮具有顯著的負相關。. 展之研究. 葛曉冬（2000）花蓮地區國小泰雅族學生 vanHiele 幾何思考層次之調查研究. （續下頁）. 36.