有效數字的正確使用

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(1)有的正確使用數字效. 生物統計. 農試所作物組呂椿棠農試所副所長呂秀英. 一、前言研究人員在實驗過程中或是撰寫報告、整理圖表時，常常遇到數字不知道要取到幾位數的問題。此涉及到「有效數字(effective number)」的基本觀念，尤其在統計應用上，由於很多計量資料在測量時受限於工具的精確度，總有無法避免的誤差；另記錄資料時，可能配合實務需要記錄成較簡約的數值。因此記錄結果的數字，當如何以有效數字的方法來表示實驗精確度，是每位研究人員應具備的重要基本知能。. 二、有效數字的表示法在自然科學領域裡，用來記錄結果的數字，幾乎全是由觀測得來。有效數字，簡單來說就是測量時可判讀的數字，亦即確實有根據的數字。當多次測量同一物件，所有觀測值是固定不變的數字，該數字稱為「精確數字」或「可靠數字」(certain digits)，例如3次秤量某化學合成物的結果各為 4.0843, 4.0842, 4.0844 (g) (g)，則前四個數字是可靠數字，第五位則否，稱為「欠準數字」. 作者：呂椿棠副研究員連絡電話：04-23317127. (uncertain digits)。在實際工作中，為不降低觀測值的準確度，最後一位數允許是欠準的，但不能再多。因此，這可靠數字加上一位估計之欠準數字所組合的所有數字，稱為有效數字。而「有效位數(significant figures or significant digits)」為可靠數字與欠準數字的位數之總和，即可靠數字的位數加一，如本例的3次測量值是5位有效數字。. 三、有效數字的位數決定準則有效數字的位數決定準則，整理如（表一）所示。「0」這個數字的出現常令有效位數有些困擾，其原則為：小數點後面的「0」與夾在數字中間的「0」均為有效數字，所有非零數值前的「0」均不是有效數字，因此例如3.0075是5位有效數字、0.0360是3位有效數字。然而在整數中的尾數若為「0」時會具有混淆性，例如1500可能是2位有效數字，但也可能是3位或4位有效數字，除了在數學上可以利用非零後面加小數點符號「.」或零上面加符號「－」來定位有效數字外，在自然科學實驗上最常以科學記數法來表示較大測量值的有效數字，例如為正確表示1500 mL測量值的有效數字，可根據儀器的最小測量單位，以下列科學記數法來表示：. 農業試驗所技術服務．2013年03月．93期. 11.

(2) 生物統計. 1.5×10 3 mL（2位有效數字，表示 ± 100 mL） 1.50×103 mL（3位有效數字，表示 ± 10 mL） 1.500×10 3 mL（4位有效數字，表示 ± 1 mL）這些數值都是1500 mL，但精確度不同，如1.500×103 mL較1.5×103 mL的精確度增加了一百倍，確度增加了一百倍，因為最後多了兩個 0，這兩個0也是有效數字。倘若根據最小測量單位，1500 mL需表示到5位有效數字時，則應寫成1500.0 mL或以科學記數1.5000×103 mL呈現。. 四、實驗分析數據的有效數字這可以從直接測量、計算及統計量之三種不同應用場合，分別說明。. （一）測量數據的有效數字 1. 具刻度之測量：通常我們以儀器最小能讀到的刻度值（精確數字）外加一位估計值（欠準數字）作為記錄的結果。例如（圖一）的量筒之最小測量單位是 0.1 mL，依刻度上可準確讀到的最小刻度為3.1 mL，並可從3.1到3.2之間粗略估. 表一、有效數字的位數決定準則準則. 12. 計溶液體積大致為3.13 mL，此「1」後面的「3」估計值可能隨不同的人判讀而有不同的估計差異，所記錄的讀值3.13 mL是3位有效數字。 2. 數位化電子螢幕顯示：由於科技進步，現代很多儀表顯示都已數位化（直接顯示數值），在正常情形下，最後一位顯示的數值，已包含了儀器幫忙估計的成分，的成分，故通常以直接記錄有數值為原則。以電子天平為例，同一藥品若用兩種不同精密度的天平稱重，各得到1.20g 及1.1835g兩組數據，顯示這兩台天平的精密度分別為 ± 4 0.01g及 ± 0.0001g。以第一台天平來說，記錄數字1.20g中的「0」便很重要，不 3 能簡略寫成1.2g，否則會讓人誤以為天平的稱重誤差為 ± 0.1g。因此記錄實驗測量數據時，要特別 2 注意有效數字，即記錄精確讀到的數值再圖一、量筒測量的實例加一位估計值。 (最小刻度0.1mL)。. 範例. 1. 所有非零數字皆為有效數字. 148（3位有效數字）、48.26（4位有效數字）. 2. 在兩非零數字間的數字亦皆為有效數字. 4308（4位有效數字）、3.0075（5位有效數字）. 3. 純小數中，非零數字前面的零不計而後面的零要計入有效數字. 0.0360（3位有效數字）. 4. 帶小數中，非零數字後面的零皆為有效數字. 2.30（3位有效數字）. 5. 整數後面的零，可計或不計為有效數字，除非零後面加小數點符號「.」或零上面加符號「－」. 47,500（3位有效數字）、1500（2位有效數字）、 1500.（4位有效數字）、1500（3位有效數字）. 6. 任何量度之數字皆可寫成科學記號： a×10n；則a的位數全為有效數字. 4.75×104（3位有效數字）、4.750×104（4位有效數字）. 7. 非因測量得到的精確數字（exact number），有效位數為無窮多位. 像是由定義而來的數字，如1in= 2.54cm、π、無理數、一世紀100年等；與測量無關的計數值，如 3個果實等. 農業試驗所技術服務．2013年03月．93期.

(3) 但是，並非數位化儀器所顯示的數值，都必須完全記錄。儀器顯示的最小刻度值，應該要配合儀器的精密度。但儀器商基於成本問題，可能使用相同的顯示元件來生產不同精密度的儀器，造成其顯示數值可能多於實際的精密度；另外儀器確實夠精密，卻因為測量週遭環境影響，而可能超過儀器精密度的範圍。例如使用例如使用6 6位數精密電表測量電阻位數精密電表測量電阻，，結果數值後幾位連續不斷跳動（即選用太過精密的儀器），此時就沒有必要多記錄後面一直變動的數值，徒增計算和記錄的負擔而已。 3. 測量尺度轉換：當實際測量數據進行測量尺度的轉換後，原來測量值的有效位數應不變。例如以儀器測量到 148.2mm的4位有效數字，若將此長度測量值的單位由mm轉換成cm表示時，應寫成14.82cm，以維持原有的4位有效數字。. （二）計算數據的有效數字在運算各有效數字時，先不要對個別數字進行四捨五入，應該在運算後，根據以下有效位數運算規則再進行四捨五入。 1. 加法、減法：以小數點的位數為準，取小數點後面位數最少者。例如3.145（4 位有效數字）+1.12（3位有效數字）= 4.265，最後應以四捨五入後數值4.27的3 位有效數字來表示，因為1.12的小數點後第2位的「2」是欠準數字，加上其他數字所產生的合計數字，其小數點後第2位數後面的所有數字自然也是欠準的，不當作有效數字。 2. 乘法、除法：取所有運算式子中最少位數者。例如3.0（2位有效數字）×12.6 （3位有效數字）=37.80，最後應以38的 2位有效數字來表示。. 3. 乘方、開根號：有效數字的位數不變。例如2位有效數字1.5的兩次方為 1.52=2.25，最後應以四捨五入後數值2.3 的2位有效數字來表示。. 生. （三）統計數據的有效數字. 統. 一般統計軟體通常會將計算結果以至少8個有效位數來顯示統計量，但太多的位數不易閱讀，因此我們在撰寫報告或製作簡報時，為求精簡，在不影響其精準度下得將其四捨五入。以下列舉一些常用統計量之有效數字的表示原則。 1. 大部分的統計量需以2位有效數字，或當統計量數值<1時以小數點後2位數呈現，例如以下統計量：相對比值：12, 2.6, 0.64 百分比：73%, 7.3%, 0.73% 相關係數(r)或迴歸決定係數(R2)： 0.97, 0.23, 0.05 除非該統計量的數值小到0.01以下，例如0.0032，若將其四捨五入到小數點後第2位，會讓人以為數值是0，此時就應取到小數點後3位數，以0.003 來表示。同理，若統計量的數值不超過1，也勿將其四捨五入到看起來等於 1，例如0.995。 2. 標準差SD（或平均值標準差SE），通常需2個有效位數（除非SD或SE＜ 0.01），而平均值(mean)須配合SD（或 SE）的精確度，使兩者小數點後的位數一致，例如： 23500 ± 1300 (而非23538 ± 1341 等) 2350 ± 130 235 ± 13 2.35 ± 0.13 0.235 ± 0.013 由於這些例子中的SD(或SE)都是2位有效數字，而平均值應與SD(或SE)的小數點後位數是一樣的。. 計. 農業試驗所技術服務．2013年03月．93期. 物. 13.

(4) 生物統計. 14. 在某些情況下，有些性狀如高度、重量、年齡、公頃產量等，因平均值較大，且SD（或SE）本身從整數來看已可充分表現出應有的變異性，其所損失的精確度便顯得不重要，則可縮減SD（或 SE）的有效位數，甚至簡約成整數呈現即可，而平均值配合SD（或SE）也一致取到整數，例如：高度：高度：178 ± 7 cm 重量： 67 ± 5 kg 年齡： 23 ± 4 y. 農業試驗所技術服務．2013年03月．93期. 但若是23.4 ± 0.4則不應取至整數，否則會讓人以為誤差項（SD或SE）是0。一些統計顯著性測驗法，如卡方、 t、F等測驗的檢定值，通常以小數點後2 位數來表示即可，例如記錄t = 2.56。顯著性機率值(P)，常以 * 及 ** 來表示顯著性測驗是否已達P < 0.05及P<0.01 之顯著水準，但有時候統計圖表內因需要而直接顯示所計算出的P 要而直接顯示所計算出的 P 機率值時機率值時，，為避免讓圖表看起來擁擠，除非精確 P 值是必要的，否則該 P 值勿超過2位有效數字，例如應寫成 P = 0.002、0.04、0.35等。.

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