第13期試題與參考解答

中學生通訊解題第十三期參考解答及評析

台北市立建國高級中學 數學科 問題編號

個 開始的 是自 個連續整數之乘積 開始的 是自 已知k 10001 10000 ,t 1 10000 請說明理由 是不是整數 則 若 連續奇數之乘積, n, n ? t k  解題重點與評析： 1. 答題方法較簡潔者 有：桃園縣國立陽 明高中廖威豪、台 南市建興國中黃信 溢、 彰化員林國中 羅元隆、台北縣福 和國中賈士卜、楊 智寰、北市大安國 中林永鴻、興雅國 中林洋德、仁愛國 中吳宗哲、台北縣 南門國中段佳宏、 秀峰高中翁宜靜、 板橋國中張源平等 以上同學採用參考解答之做法或類似之方法。 2. 這次參答學生人數有 36 位。不論你的方法是否是最簡潔的，但評閱這題的作答， 看到許多同學展現了相當大的耐心與毅力，而得出結果，各位的這股解題的企 圖心與是值得嘉勉的。繼續努力！加油！ 3. 參與徵答的共有 36 位同學，平均得分數 5.3 分，得分率為 75%。 問題編號 901302       是一個整數 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 個 10000 10000 2 19999 ... 5 3 1 20000 ... 10002 10001 19999 ... 5 3 1 2 ... 2 2 10000 .. ... 3 2 1 19999 ... 5 3 1 20000 ... 6 4 2 ) 10000 .. ... 3 2 1 ( 20000 ... 10002 10001 ) 10000 .... 3 2 1 ( 20000 ... 10002 10001 :                                                                Sol

兩個全等等腰直角三角形對稱地拼合後，加在正方形的一條邊上，得到一個五邊 形，試分割這個五邊形為三部分，使這三部分可重新拼合為一個新的等腰直角三 角形。 參考解答： 如果題中的正方形邊長為 2，那麼這個五邊形的面積為 5，所以新的等腰直角三 角形的直角邊為，這個數恰好是我們五邊形的每條長的對角線的長度因此，我們 可以把這五邊形沿一條長對角線分割，這樣割開後的兩條邊可作為新的等腰直角 三角形的直角邊，我們進一步發現，五邊形未被分割的其他角的頂點應在新的三 角形之內，而且由這些頂點出發的邊在新三角形內應對對吻合，故我們可以得到 這樣的分割法：沿任意一條長的對角線分割五邊形，再把這五邊形的一條與該對 角線沒有交點的邊對半平分，這樣做的結果，我們得到兩種不同的解法。（不把 鏡射也計算） 解題重點與評析： 1.本題為實際操作題所以解出答案者頗多，但是在思考過程中，有充分之時間， 故評分之標準採如下之方法： 7 分：由面積不變推出邊長，故作分割者可得兩種情形。 6 分：利用對稱或旋轉之概念解出一種者。 5 分：作出二圖或有一圖並加以證明者，或全討論到者。 A：找到直角邊長為最長對角線長者，得 2 分。 B：應將另一邊對分，得 1 分。 C：作出圖形，得 4 分。 2. 答題優良者有南門國中段佳宏，福和國中楊智寰，另外江翠國中黃明山以旋轉 法解題相當優秀，而秀峰高中國中部黃俊平，建興國中黃信溢，大直國中涂智 翔，興雅國中林洋德，明德國中王琨傑，民生國中黃彥豪，陽明國中侯景維， 新莊國中潘柏諺，介壽國中蔡佳珍，仁愛國小陳奕修，民生國中涂豫新，大安 國中林永鴻。

有 17 袋硬幣（每袋各 200 個）及一台特殊的天平，此天平上有指針可指出哪一 邊重及重多少。若只有一袋裝的全是假幣而其餘皆為真幣。已知所有真幣的質量一 樣，所有假幣也具有相同質量，但與真幣不同。試問至少需秤幾次方可確定哪一 袋為假幣？ 參考解答： 二次 第一次：先在一個盤子放上 16 袋之硬幣各 1 枚，然後在另一個盤子放上剩下的 那一袋的硬幣 16 枚，以確定何者較重。 第二次：在第 1 袋取 1 枚，第 2 袋取 2 枚，….第 16 袋取 16 枚硬幣放在一個盤子， 然後在另一個盤子放剩下哪一袋的硬幣 136 枚。 先設 x1為第 1 袋中 1 枚之重量 x2為第 2 袋中 1 枚之重量 …. x16為第 16 袋中 1 枚之重量 x17為另 1 袋中 1 枚之重量 由兩次稱量可求得 p,k 值，滿足下列兩個等式 x1+ x2+…+ x16＝16 x17+ p x1+ 2x2+…+16 x16＝136 x17+ k  (x1-x17)+(x2-x17)+…+ (x16-x17)＝p (x1-x17)+2(x2-x17)+…+16(x16-x17)＝k 若 x17為真幣之重量，則 p＝（1 枚假幣之重量－1 枚真幣之重量），馬上可推知 第||袋為假幣；若 x17為假幣之重量，則 p＝16（1 枚真幣之重量－1 枚假幣之重 量）， 因此第 17 袋即為假幣。 解題重點與評析： 1. 本題重點在於先求出一個真幣與一個偽幣之重量差，其次在於每一袋中取出不 同數目的錢幣共秤，由其重量差額即可知道何袋為偽幣。 2. 答題品質佳者有基隆市銘傳國中李曼鈺，台北市薇閣中學歐陽奕， 3. 參答人數有 43 人，得對率為 22.60﹪。板橋海山國中張源平，北縣福和國中賈 士卜，台北縣江翠國中黃明山，彰化縣陽明國中侯景維，高雄市立志國中林 華玉。 問題編號 901304

有一正方形隊伍長寬各 15m，以固定每小時 4㎞的速度向前推進。若一人自隊伍後 排中央處，以固定每小時 5㎞的速度，繞行隊伍，當他又回到隊伍後排中央時， 共花了幾分鐘？ 參考解答： 設一開始移至隊伍後排一端所需時間 t(hr) 2 1000 15 3t ,t= 則此人在隊伍的前排+後排移動所花時間為4=， 另此人在隊伍的左側及右廁所花時間為 4 5 1000 15  + 4 5 1000 15  = 故此人共花費(+)60=1.6（分鐘） 解題重點與評析： 1. 將問題分為隊伍前後及隊伍兩側來討論。 2. 隊伍兩側的情況為追趕問題。 3. 參答者當中，以板橋海山國中張源平之解答較清晰扼要。其次為北縣秀峰國 中唐韻如，北縣永和國中陳宏泰，北縣福和國中賈士卜，北縣新莊國中潘柏 諺，吳之堯。 4. 參答人數有 41 人，平均得分為 4.24 分，得分率為 60.70﹪。 問題編號 901305 4t 3t 5t

用一張邊長 10 公分的正方形紙張,摺成一個有蓋的正立方體盒子、紙張可重疊,但 不可剪破,試求此正立方體之最大體積？ 參考解答： 設摺成的正立方體之稜長為 a







立方公分



　 　 　 　 　 　 　 　 　 公分 對角線長 則 4 2 125 8 2 2 125 2 2 5 2 10 2 2 3 3                a V a a a 解題重點與評析： 1. 本題之解重點在於『紙張可以重疊，但不可剪破』。依此限制將正方形紙張之任 兩點的最大距離找出（也就是對角線長 10），即得正方體上任一點 P 環繞一週 之正交路徑長度：當 P 取在正方形之形心處，即得最大正方體。 2. 來函之同學共 24 位。其中解答最詳盡者，首推福和國中楊智寰，大直國中涂智 翔，江翠國中黃明山三位同學，其次為介壽國中涂耿華，北縣新莊國中吳之堯， 高雄市立志國中蔡政江等 12 位同學對解答完整性尚宜加強。 說明： (1)本期有五題徵答題，請照「中學生數學通訊解題答題規則」中的規定作答。（參 閱師大科學教育月刊 223 期） (2)本期徵答題不限您作答的題數，請於 90 年 5 月 1 日前將回函寄達： （100）台北市南海路 56 號，台北市立建國高級中學，楊希聰老師收。 （信封上請註明通訊解題） (3)徵答題可能有多種解法，本期參考答案與徵答者之優良解答，答題優良者姓名、 就讀學校，將於 90 年 6 月份在台灣師範大學科學教育月刊及建國高級中學數 學科網站上發布。 (4)進入建中網站方法： 1.先利用瀏覽器進入建中首頁（網址：http://www.ck.tp.edu.tw/ ） 2. 至最新消息點選數學科通訊解題。