100學年度高二上第一次定期考

(1)

定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二上第一次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫：國立武陵高中謝文斌老師指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、朱亮儒教授小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、臺北市立北一女中蘇麗敏老師、、國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、國立高師大附中歐志昌老師

前言

99 課綱在今年進入三個年段的全面實施，對於從上學年剛帶完高三 95 課綱的教師而言，熟悉新課綱的方式除了研讀各出版社的課本及教師手冊外，參考去年的各校考題不啻為一條捷徑。為了提供教學現場的教師們有觀摩參考的機會，高中數學學科中心邀請全國各校上網分享定期考查試題，並依學校特性隨機抽樣，選出約16 所學校。再將試題交由試題研發小組成員討論研究，挑選出可供參考的優良試題，達成影響教學、訓練學生使之具備課綱要求的核心能力。此次的選題範圍以課綱第二學年：數學Ⅲ中的「三角」為主，選題工作亦僅能以個別題目的設計為主要考量，無法顧及整份試題的配分方式、題型、難易度… 等因素。因此，請各位教師運用本資料作為命題參考或學生日常練習時，尚需考量學生整體作答能力與施測時間。在選題工作的討論中，試題研發小組成員皆能感受到各校教師對教學與命題工作的用心，這也是台灣高中數學教育的最大利基。但為求精益求精，大部分試題在語句敘述之邏輯性與完整性仍須酌予修正，建議諸位先進能在命題的過程中同時重視之。例如：若題型為單選題，則敘述宜為「下列何者正確？」若題型為多選題，則敘述宜為「選出正確的選項。」選擇題的敘述結尾「為？」，宜完整敘述「為何？」

(2)

選題上難免有遺珠之憾，深感抱歉；評選或有偏漏，仍請不吝指正。期盼在數學學科中心這個交流平台，大家切磋琢磨，讓命題的工作，更上一層樓。

A. 基礎重要試題

1. (多選)下列有關ABC 的敘述，選出正確的選項？ (A) 若∠A＜∠B ，則 sinA＜sinB

(B) 若 sinA＋sinB ＞sinC，則ABC 為銳角三角形 (C) －cos ( A+B ) ＝ cosC

(D)

sin cos ( )

2 2

C A B



(E) 若sin2 Asin2 B  sin2C ，則ABC 為鈍角三角形。參考答案：ACD 出處：新店高中(竹北高中、臺中二中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議：選項安排可由易而難、類型相同(同為不等式)者放在一起。建議將選項(C)、(D)分別改為(A)、(B)，原選項(A)、(B)依序改為(C)、(D)；選項(E)不變。則參考答案調整為(A)(B)(C)。 2. (多選)若 θ 為第四象限角，且sin cos 1 5     ，則下列各式何者正確？ (A) 24 sin 2 25    (B) 7 sin cos 5      (C) sin cos 25 cos sin 12       (D) 3 3 13 sin cos 125   

(3)

(E) tan 3 4    參考答案：ABE 出處：新店高中(南崁高中、竹北高中、忠信高中、弘文高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議：若題型為多選題且答案有二個以上，則敘述宜為「下列哪些選項是正確的？」。 3. 已知 O 為原點，極座標平面上 2 點 P〔2,45°〕、Q〔4,-75°〕，求 OPQ 的面積 為。參考答案：2 3 出處：新店高中 修題建議：題目敘述修正用字為：「…，極坐標平面上兩點 P〔2,45°〕、 Q〔4,-75°〕，則 OPQ 的面積為。」。 4. 如圖，ABC 的內切圓分別切AB BC CA, , 於 D, E, F 點，已知AD4， 5 BE  ，_CF _₆，求： (1) ABC 的面積＝； (2) 外接圓半徑＝。參考答案：(1)30 2 , (2) 33 2 8 出處：新店高中修題建議：題幹敘述修正用字為：「…，_CF _₆，則 (1) ABC 的面積為；(2) 外接圓半徑為。」。

(4)

5. 如圖，在ABC中，ABAC10, AD8, BD4, CD 之長= 參考答案：9 出處：南崁高中(義民高中、明道中學、北港高中、長榮高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修正用字為：「…，在ABC中，設ABAC10, 8, AD BD4, 則_CD之長為。」。 6. 設90   180 , 180    270 , _且_cos 3_{, sin =-}12_, 5 13     sin



 



 。參考答案：16 65 出處：南崁高中(竹北高中、中壢高中、新竹高中、忠信高中、弘文高中、長榮高中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題目敘述修正用字為：「…，則sin



 



 。」。 2. 同一題中的符號宜一致，修改為：…且cos 3, 5    sin = 12 13   ，則sin



 



 。 7. (多選)△ABC 之三邊長為 5﹐6﹐7﹐則 (A) 面積為6 6 (B) 最大角的內角平分線長為 11 5 12 (C) 外接圓半徑為35 6 24

(5)

(D) 內切圓半徑為35 6 12 (E) 三中線中最短的長為 73 2 參考答案：AE 出處：中壢高中(明道中學、北港高中、長榮高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題幹敘述修正用字為：「若△ABC 之三邊長為 5﹐6﹐7﹐則」。 2. 因所求項目較多，使用上需注意配分(如原試卷本題配 10 分)。 8. 已知圓內接四邊形 ABCD 中， A 60 , _{AB BC}_ __{6 ,}_AD_₁₆_，則(1) CD =__________ (2)四邊形 ABCD 的面積為_________ 參考答案：(1) 10, (2) 39 3 出處：中壢高中(新店高中、南崁高中、竹北高中、三民高中等校亦有類似題) 修題建議：建議附參考圖形，有助學生作答。 9. 小峰站在四層樓高CD的教室走廊上，看操場上的一點 A，測得俯角為 30°﹐ 小峰向左轉 60°﹐俯視操場上另一點 B﹐測得俯角為 45°﹐已知點 A 到點 B 的距離是 40 公尺，試求大樓CD___________公尺。參考答案： 40 4 3 出處：中壢高中(弘文高中、鳳新高中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題目敘述修正用字為：「如圖，小峰站在四樓教室走廊 D 點上，看操 場上的一點 A，測得俯角為 30°﹐小峰向左轉 60°(即∠ACB)﹐俯視 操場上另一點 B﹐測得俯角為 45°﹐已知點 A 到點 B 的距離是 40 公

(6)

尺，則CD___________公尺。」。 2. 宜修正數據使得答案簡潔些。 10. 設ABC 中，AC3，AB8, BC  D 在7, AB上，_AD_₅. 求CD 。參考答案： 19 出處：新竹高中(義民高中、明道中學、北港高中、長榮高中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題目敘述修正用字為：「…，AD5 . 則CD 。」。 2. 建議附參考圖形，有助學生作答。 11. (多選)在ABC中, 下列敘述何者正確？ (A)sin(AB)sinC

(B)cos(AB)cosC

(C)若_sin2A__sin2B__sin2C_{, 則}__C_₉₀_°

(D)若sinA:sinB:sinC 3:5:7, 則

2 3 sinC 

(E)若2sinAcosBsinC, 則ABC為直角三角形參考答案：AD 出處：竹北高中(忠信高中、花蓮高中等校亦有類似題) 修題建議：若題型為多選題且答案有二個以上，則敘述宜為「下列哪些選項是正確的？」。 12. 已知180° 270°且 5 3 cos  , 則下列敘述何者正確？ (A) 5 4 sin  (B) 25 7 2 cos   (C) 7 24 2 tan   (D) 5 2 2 cos 

(7)

(E) 2 2 tan  參考答案：BE 出處：竹北高中(南崁高中、中壢高中、臺中二中、明道中學、金門高中等校亦有類似題) 修題建議：若題型為多選題且答案有二個以上，則敘述宜為「下列哪些選項是正確的？」。 13. 地面上三定點A,B,C_{, 測出一大樓的仰角皆為}₆₀_°_且_AB__150,_BC__120, 90 CA , 則該大樓的高度為。參考答案： 75 3 出處：竹北高中(明道中學等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修正用字為：「若從地面上三定點A,B,C_{, 分別測出} …」。 14. A、B、C 三點依序在一條水平筆直線上，且 現在 自 A、B、C 三點測直線旁的建築物，其仰角分別為 、、，求此建築物高度為幾公尺？參考答案： 9 出處：忠信高中(義民高中、三民高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修正用字為：「已知 A, B, C…現在自 A、B、C 三點測直 線旁的某一建築物，…」(在題號之後儘量避免數字或字母)。 15. 已知圓內接四邊形的各邊長為AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，則對角線BD的長度為_________。(需有理化) 參考答案： 77 5 出處：義民高中(南崁高中、鳳新高中、明道中學、花蓮高中等校亦有類似題) 修題建議：修正答案為 385 5 。 16. 已知∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，AB＝6，AC＝10，如下圖，則AD＝

(8)

_________。參考答案： 30 3 13 出處：義民高中(南崁高中、北港高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修正為「已知∠BAC＝120°，∠BAD＝30°且AB＝6， AC＝10，則AD＝_________。」 17. ABC中，a, b, c 分別為A, B, C 的對邊長，下列敘述何者正確？ (1) 若 C 90_{, 則} 2 2 2

sin Csin Asin B

(2) 若c 2, b  1, B 30 , _則_{ }_C ₄₅ (3) tan



A B



tanC (4) cos sin 2 2 A B C  _{ }    

(5) 若sin , sin , sinA B C均小於1

2, 則ABC不存在參考答案： (1)(4) 出處：臺中二中(金門高中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 若題型為多選題且答案有二個以上，則敘述宜為「下列哪些選項是正確的？」。 2. 選項(5)討論ABC的存在性似乎與題幹矛盾。建議將選項(5)改為：「若sin , sin , sinA B C均小於1

2, 則ABC必為銳角三角形」。

(9)

(1) 若



ha hb

 

: hbhc

 

: hcha



5 : 7 : 6, 試求sin : sin : sinA B C=? (2) 若邊長滿足



a b c a b c 

 

 







2 2



ab，試求cos C=? 參考答案：(1) 6:4:3 (2) 2 2  出處：明道中學(義民高中等校亦有類似題) 修題建議：將兩小題的順序對調並將敘述修正用字為：「…，試問： (1) 若邊長滿足



a b c a b c 

 

  





2 2



ab，則cos C=?

(2) 若



ha hb

 

: hbhc

 

: hcha



5 : 7 : 6, 則sin : sin : sinA B C=?」。

19.    4 1 ，求(1  tan )(1  tan )  　　　　　。（， 為銳角） 參考答案： 2 出處：北港高中(義民高中、弘文高中、三民高中等校亦有類似題) 修題建議：配合課綱弧度的教學進度，並將敘述修正用字為：「若， 為銳角且   45°，則(1  tan )(1  tan )  　　　　　。」。 20. 下列選項中，何者的值最大？ (1) 2 tan 25₂ 1 tan 25   (2) 2sin 40 cos 40  ₍₃₎_{cos 35}2 __{sin 35}2  (4) _{2sin 80}2 _₁₍₅₎_{2 cos 20}2 _₁ 參考答案： (1) 出處：鳳新高中(新店高中、中壢高中等校亦有類似題)

(10)

21. 如圖，設四邊形 ABCD 內接於一圓，其中AB BC 3, CD5, DA8, 求 BD= 。參考答案：7 出處：南崁高中(明道高中、花蓮高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修正用字為：「…，則_BD= 。」。 22. 如(圖 7)，AB CD, 皆與_BD垂直，AB5, CD4, O 在_BD上，OB12, 3. OD 求tan



AOC



= 。參考答案： 63 16  出處：新竹高中修題建議：題目敘述修正用字為：「AB CD, 皆與_BD垂直，O 在BD上。已知AB5, CD4, OB12且OD3, 則tan



AOC



= 。」。

(11)

23. 下圖由 5 個正方形所構成，求 tan   ____________﹒ 參考答案：7 6 出處：中壢高中(南崁高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修正用字為：「下圖由 5 個大小相同的正方形所構成，則 tan   ____________﹒」。

B. 新穎創意試題

24. 下列哪一個三角形面積最大？參考答案： (3) 出處：金門高中 25. 如圖，若 P 為ABC 外部一點，且∠BAC＝∠BPC ＝90°, AB15， 20 AC  ，_PB_₇，求 P 點到_AC之距離為。 B P

(12)

參考答案：1056 125 出處：新店高中 修題建議：題目敘述修正用字為：「…，則 P 點到直線_AC之距離為。」。 26. 圓內接四邊形 ABCD 中，若∠A＝120°, ∠B＝90°，且_AB_₁₂, _AD_₂₁，則_AC_ 。參考答案：_{6 31} 出處：新店高中

27. (多選)如圖，邊長為 1 的正三角形 APQ 內接於矩形 ABCD，且DAQ. 請問以下哪些敘述正確？

(1) PAB30 (2) CPQ60

(3) QCcos 30 cos  sin 30 sin  (4) PBsin 30 cos  cos 30 sin 

(5) 若在此矩形所在的平面上，以 A 為極點，AQ 射線為極軸，建立極座標系， 則 P 的極座標為[1,60 ] _. 參考答案：124 出處：新竹高中 修題建議：選項(5)敘述修正用字為：「…，建立極坐標系，則 P 的極坐標為 [1,60 ] _._」_。

(13)

28. 一架離地面 h 公尺的消防直昇機發現地面正西方俯角60_{的 A 處有火警發生。} 在同一瞬間該直昇機垂直下降 200 公尺並發現在東30_{南方位、俯角}₄₅_旳地 面 B 處有消防車。已知 A, B 相距 200 公尺，求 h= 。 參考答案：1800 7 出處：新竹高中 修題建議：題目敘述修正用字為：「…，則 h= 。」。

29. 設四邊形ABCD中, AB4,BC3,CD 5, ABC ACD °90 , 若

BAD    , 則 (1)BD  (2)cos  參考答案：(1) 58 (2) 2 10 出處：竹北高中修題建議：四邊形建議加註凸邊形，或題目附圖形。 30. 如圖(4)，ABC中，AB2, AC 3, BAC 60 . _分別以_{AB AC}_, _為一邊， 向外側作正方形 ABDE, ACFG. 求AEG的外接圓的半徑= 。

參考答案： 57 3 出處：新竹高中修題建議：題目敘述修正用字為：「…，則AEG的外接圓的半徑 = 。」。

(14)

31. 如圖(9)，ABC中，_AB__AC, D 點在_AB上，_CD_ _AB, 若BC13, 5, BD 求cos



ACD



= 。參考答案：120 169 出處：新竹高中修題建議：題目敘述修正用字為：「… ，則cos



ACD



= 。」。 32. 將Ａ, B, C 三點以極坐標表示分別為[3, 270 ], [4,150 ], [2,30 ]   _，試求__ABC 的面積為何？參考答案： 13 3 2 出處：明道中學

33. 如下圖，ACB ADB90 ,  ABC 2 ,  CBD,_又_AB__10,_BC__8,_求

(15)

參考答案：13 10 26 5  10 出處：新竹高中修題建議：題目敘述修正用字為：「… ，_BC_₈，則_AD_ 。」。 34. 設 ABCD 為圓內接四邊形，AB a BC b CD c DA d ,  ,  ,  . (1) 試證: 若 2 2 2 2 a b c d , 則_AC為直徑。 (2) 承(1), 若_a2__b2 __c2__d2 _₁_{, 求 ABCD 面積之最大值。} 參考答案：(1) 略 (2) 1 2 出處：新竹高中

C. 建議避免出現或可待討論改善之試題

1. 設sin( 67 ) k   _{, 試以 k 表示}_tan



₂₃₁₇



_{＝。} 參考答案： 1 k2 k   修題建議：配合課綱62 頁提到「三角函數在超過 360°的週期意涵留待三角函數章節時再處理」，角度超過 360°的問題不宜出現。 2. 下列哪些選項的三角函數為無意義 (A) (B) (C) (D) (E) 參考答案：BCD 修題建議：配合課綱61 頁提到「此處只需談到正弦、餘弦和正切即可。」剩下的倒數關係留待三角函數章節時再講授。