100學年度高二上第一次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二上第一次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立武陵高中謝文斌老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師

前言

99 課綱在今年進入三個年段的全面實施,對於從上學年剛帶完高三 95 課綱的 教師而言,熟悉新課綱的方式除了研讀各出版社的課本及教師手冊外,參考去 年的各校考題不啻為一條捷徑。為了提供教學現場的教師們有觀摩參考的機會, 高中數學學科中心邀請全國各校上網分享定期考查試題,並依學校特性隨機抽 樣,選出約16 所學校。再將試題交由試題研發小組成員討論研究,挑選出可供 參考的優良試題,達成影響教學、訓練學生使之具備課綱要求的核心能力。 此次的選題範圍以課綱第二學年:數學Ⅲ中的「三角」為主,選題工作亦僅能 以個別題目的設計為主要考量,無法顧及整份試題的配分方式、題型、難易度… 等因素。因此,請各位教師運用本資料作為命題參考或學生日常練習時,尚需考 量學生整體作答能力與施測時間。 在選題工作的討論中,試題研發小組成員皆能感受到各校教師對教學與命題 工作的用心,這也是台灣高中數學教育的最大利基。但為求精益求精,大部分試 題在語句敘述之邏輯性與完整性仍須酌予修正,建議諸位先進能在命題的過程 中同時重視之。例如: 若題型為單選題,則敘述宜為「下列何者正確?」 若題型為多選題,則敘述宜為「選出正確的選項。」 選擇題的敘述結尾「為?」,宜完整敘述「為何?」

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選題上難免有遺珠之憾,深感抱歉;評選或有偏漏,仍請不吝指正。期盼在數 學學科中心這個交流平台,大家切磋琢磨,讓命題的工作,更上一層樓。

A. 基礎重要試題

1. (多選)下列有關ABC 的敘述,選出正確的選項? (A) 若∠A<∠B ,則 sinA<sinB

(B) 若 sinA+sinB >sinC,則ABC 為銳角三角形 (C) -cos ( A+B ) = cosC

(D)

sin cos ( )

2 2

C A B

(E) 若sin2 Asin2 B  sin2C ,則ABC 為鈍角三角形。 參考答案:ACD 出處:新店高中(竹北高中、臺中二中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議:選項安排可由易而難、類型相同(同為不等式)者放在一起。建議 將選項(C)、(D)分別改為(A)、(B),原選項(A)、(B)依序改為(C)、(D); 選項(E)不變。則參考答案調整為(A)(B)(C)。 2. (多選)若 θ 為第四象限角,且sin cos 1 5     ,則下列各式何者正確? (A) 24 sin 2 25    (B) 7 sin cos 5      (C) sin cos 25 cos sin 12       (D) 3 3 13 sin cos 125   

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(E) tan 3 4    參考答案:ABE 出處:新店高中(南崁高中、竹北高中、忠信高中、弘文高中、金門高中等校 亦有類似題) 修題建議:若題型為多選題且答案有二個以上,則敘述宜為「下列哪些選項 是正確的?」。 3. 已知 O 為原點,極座標平面上 2 點 P〔2,45°〕、Q〔4,-75°〕,求 OPQ 的面積 為 。 參考答案:2 3 出處:新店高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「…,極坐標平面上兩點 P〔2,45°〕、 Q〔4,-75°〕,則 OPQ 的面積為 。」。 4. 如圖,ABC 的內切圓分別切AB BC CA, , 於 D, E, F 點,已知AD4, 5 BE  ,CF 6, 求: (1) ABC 的面積= ; (2) 外接圓半徑= 。 參考答案:(1)30 2 , (2) 33 2 8 出處:新店高中 修題建議:題幹敘述修正用字為:「…,CF 6,則 (1) ABC 的面積為 ;(2) 外接圓半徑為 。」。

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5. 如圖,在ABC中,ABAC10, AD8, BD4, CD 之長= 參考答案:9 出處:南崁高中(義民高中、明道中學、北港高中、長榮高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修正用字為:「…,在ABC中,設ABAC10, 8, ADBD4, 則CD之長為 。」。 6. 設90   180 , 180    270 , cos 3, sin =-12, 5 13     sin

 

 。 參考答案:16 65 出處:南崁高中(竹北高中、中壢高中、新竹高中、忠信高中、弘文高中、長 榮高中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 題目敘述修正用字為:「…,則sin

 

 。」。 2. 同一題中的符號宜一致,修改為:…且cos 3, 5    sin = 12 13   , 則sin

 

 。 7. (多選)△ABC 之三邊長為 5﹐6﹐7﹐則 (A) 面積為6 6 (B) 最大角的內角平分線長為 11 5 12 (C) 外接圓半徑為35 6 24

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(D) 內切圓半徑為35 6 12 (E) 三中線中最短的長為 73 2 參考答案:AE 出處:中壢高中(明道中學、北港高中、長榮高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 題幹敘述修正用字為:「若△ABC 之三邊長為 5﹐6﹐7﹐則」。 2. 因所求項目較多,使用上需注意配分(如原試卷本題配 10 分)。 8. 已知圓內接四邊形 ABCD 中, A 60 , AB BC 6 , AD16,則(1) CD =__________ (2)四邊形 ABCD 的面積為_________ 參考答案:(1) 10, (2) 39 3 出處:中壢高中(新店高中、南崁高中、竹北高中、三民高中等校亦有類似題) 修題建議:建議附參考圖形,有助學生作答。 9. 小峰 站在四層樓高CD的教室走廊上,看操場上的一點 A,測得俯角為 30°﹐ 小峰向左轉 60°﹐俯視操場上另一點 B﹐測得俯角為 45°﹐已知點 A 到點 B 的 距離是 40 公尺,試求大樓CD___________公尺。 參考答案: 40 4 3 出處:中壢高中(弘文高中、鳳新高中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 題目敘述修正用字為:「如圖,小峰站在四樓教室走廊 D 點上,看操 場上的一點 A,測得俯角為 30°﹐小峰向左轉 60°(即∠ACB)﹐俯視 操場上另一點 B﹐測得俯角為 45°﹐已知點 A 到點 B 的距離是 40 公

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尺,則CD___________公尺。」。 2. 宜修正數據使得答案簡潔些。 10. 設ABC 中,AC3,AB8, BC  D 在7, AB上,AD5. 求CD 。 參考答案: 19 出處:新竹高中(義民高中、明道中學、北港高中、長榮高中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 題目敘述修正用字為:「…,AD5 . 則CD 。」。 2. 建議附參考圖形,有助學生作答。 11. (多選)在ABC中, 下列敘述何者正確? (A)sin(AB)sinC

(B)cos(AB)cosC

(C)若sin2Asin2Bsin2C, 則C90°

(D)若sinA:sinB:sinC 3:5:7, 則

2 3 sinC

(E)若2sinAcosBsinC, 則ABC為直角三角形 參考答案:AD 出處:竹北高中(忠信高中、花蓮高中等校亦有類似題) 修題建議:若題型為多選題且答案有二個以上,則敘述宜為「下列哪些選項 是正確的?」。 12. 已知180° 270°且 5 3 cos  , 則下列敘述何者正確? (A) 5 4 sin  (B) 25 7 2 cos   (C) 7 24 2 tan   (D) 5 2 2 cos 

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(E) 2 2 tan  參考答案:BE 出處:竹北高中(南崁高中、中壢高中、臺中二中、明道中學、金門高中等校 亦有類似題) 修題建議:若題型為多選題且答案有二個以上,則敘述宜為「下列哪些選項 是正確的?」。 13. 地面上三定點A,B,C, 測出一大樓的仰角皆為60°AB150,BC120, 90 CA , 則該大樓的高度為 。 參考答案: 75 3 出處:竹北高中(明道中學等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修正用字為:「若從地面上三定點A,B,C, 分別測出 …」。 14. A、B、C 三點依序在一條水平筆直線上,且 現在 自 A、B、C 三點測直線旁的建築物,其仰角分別為 、 、 ,求此建築 物高度為幾公尺? 參考答案: 9 出處:忠信高中(義民高中、三民高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修正用字為:「已知 A, B, C…現在自 A、B、C 三點測直 線旁的某一建築物,…」(在題號之後儘量避免數字或字母)。 15. 已知圓內接四邊形的各邊長為AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,則對 角線BD的長度為_________。(需有理化) 參考答案: 77 5 出處:義民高中(南崁高中、鳳新高中、明道中學、花蓮高中等校亦有類似題) 修題建議:修正答案為 385 5 。 16. 已知∠BAC=120°,∠BAD=30°,AB=6,AC=10,如下圖,則AD=

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_________。 參考答案: 30 3 13 出處:義民高中(南崁高中、北港高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修正為「已知∠BAC=120°,∠BAD=30°且AB=6, AC=10,則AD=_________。」 17. ABC中,a, b, c 分別為A, B, C 的對邊長,下列敘述何者正確? (1) 若 C 90, 則 2 2 2

sin Csin Asin B

(2) 若c 2, b  1, B 30 ,  C 45 (3) tan

A B

tanC (4) cos sin 2 2 A BC     

(5) 若sin , sin , sinA B C均小於1

2, 則ABC不存在 參考答案: (1)(4) 出處:臺中二中(金門高中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 若題型為多選題且答案有二個以上,則敘述宜為「下列哪些選項 是正確的?」。 2. 選項(5)討論ABC的存在性似乎與題幹矛盾。建議將選項(5)改為: 「若sin , sin , sinA B C均小於1

2, 則ABC必為銳角三角形」。

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(1) 若

hahb

 

: hbhc

 

: hcha

5 : 7 : 6, 試求sin : sin : sinA B C=? (2) 若邊長滿足

a b c a b c 

 

 

2 2

ab,試求cos C=? 參考答案:(1) 6:4:3 (2) 2 2  出處:明道中學(義民高中等校亦有類似題) 修題建議:將兩小題的順序對調並將敘述修正用字為:「…,試問: (1) 若邊長滿足

a b c a b c 

 

  

2 2

ab,則cos C=?

(2) 若

hahb

 

: hbhc

 

: hcha

5 : 7 : 6, 則sin : sin : sinA B C=?」。

19.    4 1 ,求(1  tan )(1  tan )       。(, 為銳角) 參考答案: 2 出處:北港高中(義民高中、弘文高中、三民高中等校亦有類似題) 修題建議:配合課綱弧度的教學進度,並將敘述修正用字為:「若, 為銳 角且   45°,則(1  tan )(1  tan )       。」。 20. 下列選項中,何者的值最大? (1) 2 tan 252 1 tan 25   (2) 2sin 40 cos 40   (3) cos 352 sin 352  (4) 2sin 802 1 (5) 2 cos 202 1 參考答案: (1) 出處:鳳新高中(新店高中、中壢高中等校亦有類似題)

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21. 如圖,設四邊形 ABCD 內接於一圓,其中AB BC 3, CD5, DA8, 求 BD= 。 參考答案:7 出處:南崁高中(明道高中、花蓮高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修正用字為:「…,則BD= 。」。 22. 如(圖 7),AB CD, 皆與BD垂直,AB5, CD4, O 在BD上,OB12, 3. OD 求tan

AOC

= 。 參考答案: 63 16  出處:新竹高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「AB CD, 皆與BD垂直,O 在BD上。已 知AB5, CD4, OB12且OD3, 則tan

AOC

= 。」。

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23. 下圖由 5 個正方形所構成,求 tan   ____________﹒ 參考答案:7 6 出處:中壢高中(南崁高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修正用字為:「下圖由 5 個大小相同的正方形所構成, 則 tan   ____________﹒」。

B. 新穎創意試題

24. 下列哪一個三角形面積最大? 參考答案: (3) 出處:金門高中 25. 如圖,若 P 為ABC 外部一點,且∠BAC=∠BPC =90°, AB15, 20 AC  ,PB7,求 P 點到AC之距離為 。 B P

(12)

參考答案:1056 125 出處:新店高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「…,則 P 點到直線AC之距離為 。」。 26. 圓內接四邊形 ABCD 中,若∠A=120°, ∠B=90°,且AB12, AD21,則AC 。 參考答案:6 31 出處:新店高中

27. (多選)如圖,邊長為 1 的正三角形 APQ 內接於矩形 ABCD,且DAQ. 請 問以下哪些敘述正確?

(1) PAB30 (2) CPQ60

(3) QCcos 30 cos  sin 30 sin  (4) PBsin 30 cos  cos 30 sin 

(5) 若在此矩形所在的平面上,以 A 為極點,AQ 射線為極軸,建立極座標系, 則 P 的極座標為[1,60 ] . 參考答案:124 出處:新竹高中 修題建議:選項(5)敘述修正用字為:「…,建立極坐標系,則 P 的極坐標為 [1,60 ] .

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28. 一架離地面 h 公尺的消防直昇機發現地面正西方俯角60的 A 處有火警發生。 在同一瞬間該直昇機垂直下降 200 公尺並發現在東30南方位、俯角45旳地 面 B 處有消防車。已知 A, B 相距 200 公尺,求 h= 。 參考答案:1800 7 出處:新竹高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「…,則 h= 。」。

29. 設四邊形ABCD中, AB4,BC3,CD 5, ABC ACD °90 , 若

BAD    , 則 (1)BD  (2)cos  參考答案:(1) 58 (2) 2 10 出處:竹北高中 修題建議:四邊形建議加註凸邊形,或題目附圖形。 30. 如圖(4),ABC中,AB2, AC 3, BAC 60 . 分別以AB AC, 為一邊, 向外側作正方形 ABDE, ACFG. 求AEG的外接圓的半徑= 。

參考答案: 57 3 出處:新竹高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「…,則AEG的外接圓的半徑 = 。」。

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31. 如圖(9),ABC中,ABAC, D 點在AB上,CD AB, 若BC13, 5, BD 求cos

ACD

= 。 參考答案:120 169 出處:新竹高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「… ,則cos

ACD

= 。」。 32. 將A, B, C 三點以極坐標表示分別為[3, 270 ], [4,150 ], [2,30 ]   ,試求ABC 的面積為何? 參考答案: 13 3 2 出處:明道中學

33. 如下圖,ACB ADB90 ,  ABC 2 ,  CBD,AB10, BC8,

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參考答案:13 10 26 5  10 出處:新竹高中 修題建議:題目敘述修正用字為:「… ,BC8,則AD 。」。 34. 設 ABCD 為圓內接四邊形,AB a BC b CD c DA d ,  ,  ,  . (1) 試證: 若 2 2 2 2 abcd , 則AC為直徑。 (2) 承(1), 若a2b2 c2d2 1, 求 ABCD 面積之最大值。 參考答案:(1) 略 (2) 1 2 出處:新竹高中

C. 建議避免出現或可待討論改善之試題

1. 設sin( 67 ) k   , 試以 k 表示tan

2317

= 。 參考答案: 1 k2 k   修題建議:配合課綱62 頁提到「三角函數在超過 360°的週期意涵留待三角 函數章節時再處理」,角度超過 360°的問題不宜出現。 2. 下列哪些選項的三角函數為無意義 (A) (B) (C) (D) (E) 參考答案:BCD 修題建議:配合課綱61 頁提到「此處只需談到正弦、餘弦和正切即可。」剩 下的倒數關係留待三角函數章節時再講授。

數據

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參考文獻

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