极限与连续

第二章·极限与连续

微积分课程

2020 年 8 月 29 日

.

.

.

.

数列的极限

.

第一节

.

.

函数的极限 I

.

第二节

.

.

函数的极限 II

.

第三节

.

.

无穷小量与无穷大量

.

第四节

.

.

两个重要极限

.

第五节

.

.

.

.

.

数列的极限

.

第一节

.

.

数列极限的定义

.

A

.

.

数列极限的运算

.

B

.

.

数列极限的性质

.

C

.

.

数列的定义

定义 1

一列按照顺序排列的数 

1

,



2

,



3

,

· · ·

,

n

,

· · ·

称为

数列

，记为 {

n

}．第 n 项 

n

的表达式称为数列

的

通项

或一般项．

问题

随着 n 的增大，

n

也跟着变化．当 n 趋于无

穷大时，

n

是否会

无限接近

一个确定的数？

.

.

.

数列的定义

定义 1

一列按照顺序排列的数 

1

,



2

,



3

,

· · ·

,

n

,

· · ·

称为

数列

，记为 {

n

}．第 n 项 

n

的表达式称为数列

的

通项

或一般项．

问题

随着 n 的增大，

n

也跟着变化．当 n 趋于无

穷大时，

n

是否会

无限接近

一个确定的数？

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2

n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

5

.

.

数列的例子

1

n

= 3

3,

3,

3,

3,

· · ·

−→ 3

2



_n

=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

3

n

=

1

2

n

1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

,

· · ·

−→ 0

4

n

=

n

n

+1

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

,

· · ·

−→ 1

5



_n

=

(−1)

n

n

−1

,

1

2

,

−

1

3

,

1

4

,

· · ·

−→ 0

6

n

= 2

n

2,

4,

8,

16,

· · ·

5

7

n

= (−1)

n

−1

,

1,

−1

,

1,

· · ·

5

.

.

.

数列的趋势

例子

如下数列不容易凭借观察得出其变化趋势：

1

n

=

p

n

n

2

n

=

€

1

+

1

_n

Š

n

.

.

数列的极限

定义 2

设 {

n

} 为一个数列，如果存在常数 A，对

任何 ε > 0，总存在 N > 0，使得当 n > N 时，总有

|

n

− A| < ε

则称数列 {

n

} 的

极限

等于 A，或者称数列 {

n

}

收

敛

于 A，记为

lim

n

_→∞

n

= A.

如果这样的常数 A 不存在，则称数列 {

n

}

发散

．

.

.

.

数列极限的基本公式

1

lim

n

→∞

C

= C

2

lim

n

→∞

1

n

k

= 0，（k > 0）

3

lim

n

→∞

(−1)

n

n

k

= 0，（k > 0）

4

lim

n

→∞

1



n

= 0，（|| > 1）

.

.

数列极限

例子

设 

n

= C，证明 lim

n

_→∞

n

= C．

证明

∀ε > 0，取 N

= 1，则当 n > N 时就有

|

n

− C| = |C − C| = 0 < ε.

例子

证明 lim

n

→∞

1

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

1

n

− 0

=

1

n

< ε.

.

.

.

数列极限

例子

设 

n

= C，证明 lim

n

_→∞

n

= C．

证明

∀ε > 0，取 N

= 1，则当 n > N 时就有

|

n

− C| = |C − C| = 0 < ε.

例子

证明 lim

n

→∞

1

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

1

n

− 0

=

1

n

< ε.

.

.

数列极限

例子

设 

n

= C，证明 lim

n

_→∞

n

= C．

证明

∀ε > 0，取 N

= 1，则当 n > N 时就有

|

n

− C| = |C − C| = 0 < ε.

例子

证明 lim

n

→∞

1

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

1

n

− 0

=

1

n

< ε.

.

.

.

数列极限

例子

设 

n

= C，证明 lim

n

_→∞

n

= C．

证明

∀ε > 0，取 N

= 1，则当 n > N 时就有

|

n

− C| = |C − C| = 0 < ε.

例子

证明 lim

n

→∞

1

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

ε

，则当 n > N 时就有

.

.

数列极限

例子

证明 lim

n

→∞

(−1)

n

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

(−1)

_n

n

− 0

=

1

n

< ε.

例子

证明 lim

n

_→∞

1

2

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

₂

1

n

− 0

=

1

2

n

<

1

n

< ε.

其中不等式 2

n

_{> n 可由数学归纳法得到．}

.

.

.

数列极限

例子

证明 lim

n

→∞

(−1)

n

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

(−1)

_n

n

− 0

=

1

n

< ε.

例子

证明 lim

n

_→∞

1

2

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

₂

1

n

− 0

=

1

2

n

<

1

n

< ε.

其中不等式 2

n

_{> n 可由数学归纳法得到．}

.

.

数列极限

例子

证明 lim

n

→∞

(−1)

n

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

(−1)

_n

n

− 0

=

1

n

< ε.

例子

证明 lim

n

_→∞

1

2

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

₂

1

n

− 0

=

1

2

n

<

1

n

< ε.

其中不等式 2

n

_{> n 可由数学归纳法得到．}

.

.

.

数列极限

例子

证明 lim

n

→∞

(−1)

n

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

|

n

− 0| =

(−1)

_n

n

− 0

=

1

n

< ε.

例子

证明 lim

n

_→∞

1

2

n

= 0．

证明

∀ε > 0，取 N

=

1

_ε

，则当 n > N 时就有

.

.

发散数列

发散的数列至少有这两种可能：

1

无界型的：比如 

_n

= 2

n

；

2

摆动型的：比如 

_n

= (−1)

n

．

.

.

.

.

.

数列的极限

.

第一节

.

.

数列极限的定义

.

A

.

.

数列极限的运算

.

B

.

.

数列极限的性质

.

C

.

.

数列极限的四则运算

定理 1

如果 lim

n

→∞



n

= A， lim

n

→∞

y

n

= B，那么

1

lim

n

→∞

(

n

± y

n

) = lim

n

→∞



n

± lim

n

→∞

y

n

= A ± B；

2

lim

n

→∞

(

n

· y

n

) = lim

n

→∞

n

· lim

n

→∞

yn

= A · B；

3

lim

n

_→∞

n

yn

=

lim

n

_→∞

n

lim

n

→∞

yn

=

A

B

（要求分母不为零）．

推论

lim

n

→∞

(c · 

n

) = c lim

n

→∞



n

．

.

.

.

数列极限的四则运算

定理 1

如果 lim

n

→∞



n

= A， lim

n

→∞

y

n

= B，那么

1

lim

n

→∞

(

n

± y

n

) = lim

n

→∞



n

± lim

n

→∞

y

n

= A ± B；

2

lim

n

→∞

(

n

· y

n

) = lim

n

→∞

n

· lim

n

→∞

yn

= A · B；

3

lim

n

_→∞

n

yn

=

lim

n

_→∞

n

lim

n

→∞

yn

=

A

B

（要求分母不为零）．

.

.

例 1

求数列极限 lim

n

→∞



1

−

1

n

2



.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

− lim

n

→∞

1

n

2

= 1 − 0 = 1．

例 2

求数列极限 lim

n

→∞

n

n

+ 1

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

1

+

1

_n

=

lim

n

_→∞

1

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

=

1

1

+ 0

= 1.

.

.

.

例 1

求数列极限 lim

n

→∞



1

−

1

n

2



.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

− lim

n

→∞

1

n

2

= 1 − 0 = 1．

例 2

求数列极限 lim

n

→∞

n

n

+ 1

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

1

+

1

_n

=

lim

n

_→∞

1

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

=

1

1

+ 0

= 1.

.

.

例 1

求数列极限 lim

n

→∞



1

−

1

n

2



.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

− lim

n

→∞

1

n

2

= 1 − 0 = 1．

例 2

求数列极限 lim

n

→∞

n

n

+ 1

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

1

+

1

_n

=

lim

n

_→∞

1

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

=

1

1

+ 0

= 1.

.

.

.

例 1

求数列极限 lim

n

→∞



1

−

1

n

2



.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

− lim

n

→∞

1

n

2

= 1 − 0 = 1．

例 2

求数列极限 lim

n

→∞

n

n

+ 1

.

解答

原式

_{= lim}

n

_→∞

1

1

+

1

_n

=

lim

n

_→∞

1

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

.

.

数列极限的计算

例 3

求数列极限 lim

n

→∞

3n

2

_{+ 1}

n

2

_{+ 4n}

.

解答

原式

_{= lim}

n

_→∞

3

+

1

n

2

1

+ 4 ·

1

n

=

lim

n

_→∞

3

+ lim

n

_→∞

1

n

2

lim

n

→∞

1

+ 4 lim

n

→∞

1

n

=

3

+ 0

1

+ 4 · 0

= 3.

.

.

.

数列极限的计算

例 3

求数列极限 lim

n

→∞

3n

2

_{+ 1}

n

2

_{+ 4n}

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

3

+

1

n

2

1

+ 4 ·

1

n

=

lim

n

→∞

3

+ lim

n

→∞

1

n

2

lim

n

→∞

1

+ 4 lim

n

→∞

1

n

=

3

+ 0

= 3.

.

.

数列极限的计算

例 4

求数列极限 lim

n

→∞

n

+ 4

n

2

_{+ 1}

.

解答

原式

_{= lim}

n

_→∞

1

n

+ 4 ·

1

n

2

1

+

1

n

2

=

lim

n

_→∞

1

n

+ 4 lim

n

_→∞

1

n

2

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

2

=

0

+ 4 × 0

1

+ 0

= 0.

.

.

.

数列极限的计算

例 4

求数列极限 lim

n

→∞

n

+ 4

n

2

_{+ 1}

.

解答

原式

_{= lim}

n

_→∞

1

n

+ 4 ·

1

n

2

1

+

1

n

2

=

lim

n

_→∞

1

n

+ 4 lim

n

_→∞

1

n

2

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

2

=

0

+ 4 × 0

= 0.

.

.

数列极限的计算

例 5

求数列极限 lim

n

→∞

n

+ (−1)

n

n

+ 1

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

+

(−1)

_n

n

1

+

1

_n

=

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

(−1)

n

n

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

=

1

+ 0

1

+ 0

= 1.

.

.

.

数列极限的计算

例 5

求数列极限 lim

n

→∞

n

+ (−1)

n

n

+ 1

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

1

+

(−1)

_n

n

1

+

1

_n

=

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

(−1)

n

n

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

n

=

1

+ 0

1

+ 0

= 1.

.

.

数列极限的计算

例 6

求数列极限 lim

n

→∞

2

× 3

n

3

n

_{+ 1}

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

2

1

+

1

3

n

=

n

lim

→∞

2

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

3

n

=

2

1

+ 0

= 2.

.

.

.

数列极限的计算

例 6

求数列极限 lim

n

→∞

2

× 3

n

3

n

_{+ 1}

.

解答

原式

_{= lim}

n

→∞

2

1

+

1

3

n

=

n

lim

→∞

2

lim

n

→∞

1

+ lim

n

→∞

1

3

n

=

2

1

+ 0

= 2.

.

.

数列极限的计算

练习 2

求数列极限

(1) lim

n

→∞

2n

+ 3n

2

1

+ n

3

(2) lim

n

_→∞

3n

+ (−1)

n

n

+ (−1)

n

(3) lim

n

→∞

3

n

_{+ 1}

6

n

_{+ 1}

.

.

.

.

.

数列的极限

.

第一节

.

.

数列极限的定义

.

A

.

.

数列极限的运算

.

B

.

.

数列极限的性质

.

C

.

.

数列极限的性质

性质 1

(有界性)

设 {

n

} 收敛，则存在 M > 0 使得

|

n

|

¶

M．

证明

设 lim

n

→∞

n

= A．取 ε = 1，则存在 N > 0，使

得当 n > N 时有

_|

n

− A| < ε = 1．此时

|

n

| = |(

n

− A) + A|

¶

|

n

− A| + |A| < 1 + |A|

取 M

_{= mx{}

1

,



2

,

· · ·

,



[N]

,

1

+ |A|}，则对任何 n

都有

_|

n

|

¶

M．

例子

n

= 1 − 5/n 收敛于 1，此时有 |

n

|

¶

4．

.

.

.

数列极限的性质

性质 1

(有界性)

设 {

n

} 收敛，则存在 M > 0 使得

|

n

|

¶

M．

证明

设 lim

n

→∞

n

= A．取 ε = 1，则存在 N > 0，使

得当 n > N 时有

_|

n

− A| < ε = 1．此时

|

n

| = |(

n

− A) + A|

¶

|

n

− A| + |A| < 1 + |A|

取 M

_{= mx{}

1

,



2

,

· · ·

,



[N]

,

1

+ |A|}，则对任何 n

都有

_|

n

|

¶

M．

例子

n

= 1 − 5/n 收敛于 1，此时有 |

n

|

¶

4．

.

.

数列极限的性质

性质 1

(有界性)

设 {

n

} 收敛，则存在 M > 0 使得

|

n

|

¶

M．

证明

设 lim

n

→∞

n

= A．取 ε = 1，则存在 N > 0，使

得当 n > N 时有

_|

n

− A| < ε = 1．此时

|

n

| = |(

n

− A) + A|

¶

|

n

− A| + |A| < 1 + |A|

取 M

_{= mx{}

1

,



2

,

· · ·

,



[N]

,

1

+ |A|}，则对任何 n

都有

_|

n

|

¶

M．

例子

n

= 1 − 5/n 收敛于 1，此时有 |

n

|

¶

4．

.

.

.

数列极限的性质

性质 2

(保号性)

设数列收敛于 A > 0（或 A < 0），

则存在 N > 0，使得当 n > N 时有 

n

> 0 （或

n

< 0）．

证明

取 ε

_{= A/2，则存在 N > 0，使得当 n > N 时}

有

_|

n

− A| < ε = A/2．此时 

n

> A/ 2 > 0．

例子

n

= 1 − 5/n 收敛于 1 > 0，此时当 n > 5

时，有 

n

> 0．

.

.

数列极限的性质

性质 2

(保号性)

设数列收敛于 A > 0（或 A < 0），

则存在 N > 0，使得当 n > N 时有 

n

> 0 （或

n

< 0）．

证明

取 ε

_{= A/2，则存在 N > 0，使得当 n > N 时}

有

_|

n

− A| < ε = A/2．此时 

n

> A/ 2 > 0．

例子

n

= 1 − 5/n 收敛于 1 > 0，此时当 n > 5

时，有 

n

> 0．

.

.

.

数列极限的性质

性质 2

(保号性)

设数列收敛于 A > 0（或 A < 0），

则存在 N > 0，使得当 n > N 时有 

n

> 0 （或

n

< 0）．

证明

取 ε

_{= A/2，则存在 N > 0，使得当 n > N 时}

有

_|

n

− A| < ε = A/2．此时 

n

> A/ 2 > 0．

例子

n

= 1 − 5/n 收敛于 1 > 0，此时当 n > 5

.

.

数列极限的性质

定理

(保号性)

设数列 

n

¾

0（或 

n

¶

0），且

lim

n

→∞



n

= A，则有 A

¾

0（或 A

¶

0）．

推论

如果 

n

¾

y

n

，而且 lim

n

→∞



n

= A，lim

n

→∞

y

n

= B，

则有 A

_¾

B．

.

.

.

数列极限的性质

定理

(保号性)

设数列 

n

¾

0（或 

n

¶

0），且

lim

n

→∞



n

= A，则有 A

¾

0（或 A

¶

0）．

推论

如果 

n

¾

yn

，而且 lim

n

→∞

n

= A，lim

n

→∞

yn

= B，

则有 A

_¾

B．

.

.

复习与提高

选择

已知数列 {

n

} 的通项为 

n

= (−1)

n n

_n

₊₁

，则

该数列

· · · ·

(

)

(A) 收敛且有界

(B) 收敛且无界

(C) 发散且有界

(D) 发散且无界

.

.

.

.

.

数列的极限

.

第一节

.

.

函数的极限 I

.

第二节

.

.

函数的极限 II

.

第三节

.

.

无穷小量与无穷大量

.

第四节

.

.

两个重要极限

.

第五节

.

.

.

.

函数的极限 I

.

第二节

.

.

函数极限的定义

.

A

.

.

函数极限的运算

.

B

.

.

函数极限的性质

.

C

.

.

.

函数极限的例子

1

y

=

1





→ +∞ 时 y → 0



→ −∞ 时 y → 0

2

y

=

1



2



→ +∞ 时 y → 0



→ −∞ 时 y → 0

3

y

=

€

₁

2

Š





→ +∞ 时 y → 0

4

y

= 2





→ −∞ 时 y → 0

.

.

函数极限的例子

1

y

=

1





→ +∞ 时 y → 0



→ −∞ 时 y → 0

2

y

=

1



2



→ +∞ 时 y → 0



→ −∞ 时 y → 0

3

y

=

€

₁

2

Š





→ +∞ 时 y → 0

4

y

= 2

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→ −∞ 时 y → 0

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.

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函数极限的例子

1

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=

1

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→ +∞ 时 y → 0

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2

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1

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3

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函数极限的例子

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