擴展型熱帶半環及熱帶矩陣之研究 - 政大學術集成

全文

(1)On the Extended Tropical Semiring and 治. 政. 大. 立 Matrix Algebra Tropical 學. ‧. ‧ 國. 擴展型熱帶半環及熱帶矩陣之研究. n. Ch. engchi. er. io. al. 届屵屮履尲尸尬尲尰就尰. sit. y. Nat. 徐昌祺. i n U. v.

(2) Abstract 屔屲屯屰屩屣屡屬屧履屯屭履屴屲屹屩屳屴屨履屧履屯屭履屴屲屹層履尌屮履層屯屮屴屨履屴屲屯屰屩屣屡屬屳履屭屩屲屩屮屧尮屌屩屫履屴屨履屣屬屡屳屳屩屣屧履屯屭履屴屲屹尬屷履屭屵屳屴屵屮層履屲屳屴屡屮層屴屨履屰屲屯屰履屲屴屩履屳屯屦屬屩屮履屡屲屡屬屧履尭屢屲屡屩屮屴屲屯屰屩屣屡屬屧履屯屭履屴屲屹尮屉屮屴屨屩屳屴屨履屳屩屳尬屷履層屩屳屣屵屳屳屰屲屯屢屬履屭屳屯屦屭屡屴屲屩屸層履尌屮履層屯屮屴屲屯屰屩屣屡屬屳履屭屩屲屩屮屧尮屔屨屯屵屧屨屷履尌屮層屴屨屡屴屭屡屮屹屰屲屯屰履屲屴屩履屳屯屦屣屬屡屳屳屩屣屬屩屮履屡屲屡屬屧履屢屲屡屣屡屮屮屯屴屢履屡屰屰屬屩履層屩屮屴屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屲屩屸尬屷履層屯屣屡屮尌屮層屳屯屭履屳屩屭屩屬屩屡屲屰屲屯屰履屲屴屩履屳屩屮屴屨履屴屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屲屩屸層履尌屮履層屯屮屴屨履履屸尭屴履屮層履層屴屲屯屰屩屣屡屬屳履屭屩屲屩屮屧尮屗履屩屮屴屲屯層屵屣履屴屨履履屸屴履屮層履層屴屲屯屰屩屣屡屬屳履屭屩屲屩屮屧屣屯屮屳屴屲屵屣屴履層屢屹屉屺屨屡屫屩屡屮尬層履尌屮履履屸屴履屮層履層屴屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屲屩屸尬屡屮層層屩屳屣屵屳屳. 政治大. 屴屨履層屩尋履屲履屮屣履屢履屴屷履履屮履屸屴履屮層履層屴屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屲屩屸尬屴屲屡層屩屴屩屯屮屡屬屭屡屴屲屩屸尬屡屮層. 立. 屳屴屡屮層屡屲層屴屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屲屩屸尮. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 屩. i n U. v.

(3) 中文摘要熱帶幾何簡單的說是以熱帶半環為代數結構所定義出的幾何學。如古典幾何學一樣尬許多情況我們必需熟悉熱帶幾何中線性代數的性質。本篇論文是討論依熱帶半環上矩陣相關的問題。我們發現許多傳統矩陣有的性質在熱帶矩陣並沒有相通的性質尬但如果運用屉屺屨屡屫屩屡屮定義的擴展型熱帶半環尬許多定理就可以有類似傳統矩陣的結果。我們將介紹屉屺屨屡屫屩屡屮的擴展型熱帶半環尬定義擴展型熱帶矩陣尬討論其和傳統矩陣、標準熱帶矩陣之差異尬並探討其基本性質。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 屩屩. i n U. v.

(4) 目錄屁屢屳屴屲屡屣屴尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 屩. 中文摘要尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 屩屩. 1 序論. 立. 2 背景知識. 政治大. 1 3. 基本定義尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 尳. 尲尮尲. 變形體與其極限尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 尴. 尲尮尳. 以皮瑟級數的觀點來定義熱帶幾何尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 尷. ‧. ‧ 國. 學. 尲尮就. y. Nat. 3 擴展型熱帶半環. 10 就尰. 尳尮尲. 一些性質尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 就尳. n. al. er. sit. 基本定義與運算尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. io. 尳尮就. 4 擴展型熱帶矩陣. Ch. engchi. i n U. v. 15. 尴尮就. 基本運算與定義尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 就尵. 尴尮尲. 一些性質尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 就尹. 尴尮尳. 乘法反方陣之探索尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮尮. 尲尲. 5 結論. 26.

(5) 第一章. 序論. 熱帶幾何是近年來新興的數學分枝，最初討論熱帶半環是發展於計算機科學之理論，但並未成為計算機科學的主流屛尲屝。熱帶幾何屛尷屝視為是建立在T0 尽 R ∪ {−∞}上，由屜⊕尢尬屜

(6) 尢這兩個二元運算運算所形成的代數結構。對任何x, y ∈ T0 ，. 政治大道⊕,

(7) 同時具有結合性與立交換性，−∞為⊕的單位元素，而尰為對應於

(8) 的單位元. 我們定義x ⊕ y 尽屭屡屸{x, y}，x

(9) y 尽 x 尫 y為一般實數上的加法。我們可以知. ‧ 國. 學. 素，且

(10) 對⊕有分配律；因此，尨T0 , ⊕,

(11) 尩形成一個交換半環。其中，任何T0 中的元素x, x 6尽 −∞，−x

(12) x 尽 x

(13) −x 尽尰，−x為其乘法反元素；但是，T0 中之元素，加. ‧. 法反元素往往是不存在的。而除了以尨T0 , 屭屡屸, 尫尩的方式來定義熱帶幾何，也有一派的人使用尨T0 , 屭屩屮, 尫尩來定義熱帶幾何。. sit. y. Nat. 經過了二十多年的發展，熱帶幾何逐漸地建立了理論的基礎，也解決了一些重要的問題。理論上，我們在代數幾何所發展的性質與結果，在熱帶幾何中應有其相對應. io. n. al. er. 的性質與結構，我們可以在熱帶幾何的環境中以不同的觀點來解決問題，再反向推. Ch. i n U. v. 知原本代數幾何中的結果。這也是熱帶幾何慢慢在數學領域中受到重視的原因。例. engchi. 如屍屩屫屨屡屬屫屩屮屛尶屝以熱帶幾何的方法計算出在CP 2 上，次數為d，虧格尨屧履屮屵屳尩為g，通過尳d 尫 g − 就個點的曲線數目，便是一個重要的貢獻。以代數的角度來看，熱帶幾何定義在一個可交換的冪等半環尨屩層履屭屰屯屴履屮屴屳履屭屩屲尭屩屮屧尩，因此具備了交換代數的性質。仿效傳統的幾何學尬我們自然希望能在熱帶半環上發展完整線性代數的理論。因而近年來，部分的研究焦點亦放在如何仿照傳統線性代數的模式在熱帶幾何這個上建構出相似的理論屛就屝。我們要做線性代數相關問題的探討尬第一步自然是依熱帶半環定義矩陣。我們將會發現直接以熱帶半環定義出的矩陣尬很多地方並不能滿足原有矩陣的一些特性。比如說在定義奇異矩陣時尬就會發生直觀的定義並沒有原本傳統矩陣的特性。為了解決這樣的困難尬屉屺屨屡屫屫屩屡屮屛尴屝定義了所謂擴展型熱帶半環尨履屸屴履屮層屴屲屯屰屩屣屡屬. 就.

(14) 屳履屭屩屲屩屮屧尩。我們將會發現尬在這個新定義出來的代數結構中尬一些傳統矩陣的性質將有某種程度的保留。我們會將傳統矩陣、熱帶矩陣和擴展型熱帶矩陣做一些比較尬並且探討擴展型熱帶矩陣的基本性質。本篇論文的架構如下尺第二章我們先複習一些熱帶幾何的背景知識。第三章我們定義擴展型熱帶半環尬並且討論其代數上的基本性質。第四章我們介紹擴展型熱帶矩陣尬並討論其與古典矩陣、熱帶矩陣之異同。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 尲. i n U. v.

(15) 第二章. 2.1. 背景知識. 基本定義傳統的熱帶幾何所考慮的對象T0 ，是將實數R再加上{−∞}，並在T0 上定義兩個二. 元運算如下：. 立. 政治大. 定義 2.1.1 而對於x, y ∈ T0 ，我們定義x ⊕ y 尽屭屡屸{x，y}。 x

(16) y 尽 x 尫 y為實數上. ‧ 國. 學. 的加法 [2, 8, 9]。. 根據以上的定義，我們可以很快的發現，−∞為其加法單位元素，而尰為其乘法單. ‧. 位元素。. sit. y. Nat. 在一般代數幾何之中，我們定義多項式f 的根為使多項式的值為尰之元素所形成的集合；而在尨T0 , ⊕,

(17) 尩之中我們也可以定義熱帶多項式。但是若仿照傳統多項式根的方. io. n. al. er. 式，來定義熱帶多項式之根為使f 之多項式值為−∞之元素所成的集合，我們會發現一些問題。考慮下面的範例。. Ch. engchi. i n U. v. 範例 2.1.2 考慮f 尨x, y尩尽 x

(18) 2 ⊕ y ⊕ 尰為一熱帶多項式我們可以很快的發現，由於f 尨x, y尩尽屭屡屸{尨x 尫 x尩, y, 尰}，因此對任何x, y ∈ T0 ，f 尨x, y尩 6尽 −∞。在上面的範例中，我們很清楚的說明了無法將傳統多項式根的概念直接套用在尨T0 , ⊕,

(19) 尩之上，因此我們以下列的另一種方式來定義多項式的根屛尹屝。定義 2.1.3 考慮f 為一個佈於尨T0 , ⊕,

(20) 尩的多項式，我們定義其零根為至少可使其中兩項同時達到多項式值之元素所成之集合。我們先觀察以下的範例來說明熱帶多項式的根之圖形。範例 2.1.4 考慮多項式f 尨x, y尩尽 x

(21) 2 ⊕ y ⊕ 尰. 尳.

(22) 由於f 尨x, y尩尽 x

(23) 2 ⊕ y ⊕ 尰尽屭屡屸{尲x, y, 尰}，若尨x, y尩可使其中兩項達到多項式值，我們可以分為三種情形來討論。尨就尩若尲x 尽 y ≥ 尰，則圖形為y 尽尲x在第一象限的部分。尨尲尩若y 尽尰 ≥ 尲x，則圖形為x軸的左半部份。尨尳尩若尰尽 x ≥ y，則圖形為y軸的下半部分。我們可以由以上的討論得到f 尨x, y尩之根的圖形如下圖尲尮就所示：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. 圖尲尮就尺 f 尨x, y尩尽 x

(24) 2 ⊕ y ⊕ 尰. al. n. v i n Ch 熱帶多項式之間的關係。所謂的熱帶化尨屴屲屯屰屩屣屡屬屩屺屡屴屩屯屮尩指的是將傳統多項式中的加 engchi U 在介紹完熱帶多項式的定義之後，我們接下來要討論的重點則是傳統多項式與. 法屜尫尢和乘法屜×尢改為屜⊕尢和屜

(25) 尢；例如：考慮f 尨x, y尩尽 x2 尫 y 尫尳，則其熱帶化之後的多項式屴屲屯屰尨f 尨x, y尩尩尽 x

(26) 2 ⊕ y ⊕ 尰。只是，熱帶化有何理論基礎？還有為何要將屴屲屯屰尨尳尩當作尰？以下我們將略為解釋其發展。. 2.2. 變形體與其極限有時我們會採用代數的方法來處理幾何的問題，也會用幾何的方法來處理. 代數的問題；因此，對於無法用明確的圖形來表示一個佈於複數平面的曲線C 尺 f 尨z1 , z2 尩尽尰的零根時，數學家們是很困擾的。為了使其代數曲體較為具象，我們以變形體尨屁屭屯履屢屡屳尩的觀點來讓其零根的圖形更為具體屛尵屝。. 尴.

(27) 定義 2.2.1 考慮f 為一佈於C2 的多項式，曲線C 尽 {z 尽尨z1 , z2 尩|f 尨z1 , z2 尩尽尰}。若定義屌屯屧尺 C ∩ 尨C∗ 尩2 → R2 ，其中 z 尽尨z1 , z2 尩 7−→ 尨屬屯屧 |z1 |, 屬屯屧 |z2 |尩，我們稱屌屯屧在R2 所形成之值域為曲線C的變形體。要特別提醒的是，由於屬屯屧尰是不存在的，所以我們考慮的對象是C ∩ 尨C∗ 尩2 。以下，我們利用兩個範例來說明變形體的定義。範例 2.2.2 考慮定義在C2 上的曲線C 尽 {z|z1 尫 z2 尽就} 對於C上的任一點z 尽尨z1 , z2 尩，由於z1 尽就 − z2 ，可知當z2 趨近於尰時，z1 趨近於就；因此，我們可以得到當y 尽屬屯屧 |z2 |趨近於 −∞時，x 尽屬屯屧 |z1 |趨近於尰。同樣地，我們知. 政治大趨近於 ∞時y 趨近於 −∞，而且x 尽屬屯屧 |z | 尽屬屯屧 |就 − z | ≈ 屬屯屧 |z | 尽 y，因此當x以立. 道當x 趨近於 −∞時，y 趨近於尰。另外，由於z1 趨近於 ∞時，z2 會趨近於 ∞可知x 1. 2. 2. 及y趨近於無限大時，圖形會趨近直線y 尽 x。由以上的討論，我們知道C的變形體如下. ‧. ‧ 國. 學. 圖尲尮尲所示。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖尲尮尲尺 z1 尫 z2 尽就. 範例 2.2.3 考慮定義在C2 上的曲線C 尽 {z|e−2 z1 尫 e−1 z2 尽就} 若尨z1 , z2 尩為C上之點，我們知道當z2 趨近於e1 時，z1 趨近於尰，且z1 趨近於e2 時， z2 趨近於尰；因此，當y 尽屬屯屧 |z2 |趨近於就時，x 尽屬屯屧 |z1 |趨近於−∞，而x 尽屬屯屧 |z1 |趨近於尲時，y 尽屬屯屧 |z2 |趨近於−∞。另外，由於z2 尽 e − e−1 z1 ，我們知道當z1 趨近. 尵.

(28) 於∞時，z2 也會趨近於−∞且y 尽屬屯屧 |z2 | 尽屬屯屧 |e − e−1 z1 | ≈ 屬屯屧 |e−1 z1 | 尽 −就尫 x。所以我們也得到當x, y趨近於∞時，圖形會趨近於直線y 尽 −就尫 x。由以上討論可得到圖形有三個漸近線：x 尽尲，y 尽就，及y 尽 x − 就，而C的變形體如圖尲尮尳所示。. 政治大. 圖尲尮尳尺 e−2 z1 尫 e−1 z2 尽就. 學. ‧ 國. 立. ‧. 在前兩個例子中，我們以映射屌屯屧將佈於C2 的代數曲體映至R2 的一個具象的變形. y. Nat. 體；但是我們要如何將這個圖形轉變成熱帶多項式的零根圖形呢？. v ni. n. al. er. io. sit. 我們可以考慮另一個映射屌屯屧t 尺 C ∩ 尨C∗ 尩2 → R2 尬其中t為正數，. 屌屯屧t 尨z尩尽屌屯屧t 尨z1 , z2 尩尽尨− 屬屯屧t |z1 |, − 屬屯屧t |z2 |尩尽尨−. Ch. 屬屯屧 |z1 | 屬屯屧 |z2 | ,− 尩屬屯屧 t 屬屯屧 t. U e 屬屯屧 a chi n g 對於正實數a，我們知道屬屯屧尨a尩尽，因此當t趨近於零時，上述的變形體寬度 t. 屬屯屧 t 將會被縮減為零而成為熱帶幾何的圖形。例如先前所討論的例子 C 尽 {z|z1 尫 z2 尽就} ，將會變成如下圖尲尮尴所示。. 同樣地，我們考慮曲面 C 尽 {z|e−2 z1 尫 e−1 z2 尽就} 在映射屌屯屧t 且t趨近於零時的映象。考慮z 尽尨z1 , z2 尩為C上一點，當z1 趨近於尰時，z2 趨近於e，但是當t趨近屬屯屧 |z2 | 於尰時，屬屯屧t |z2 | 尽趨近於尰。我們發現當t趨近於尰時，映射屌屯屧t 不但將原本變屬屯屧 t 形體的寬度縮減至零，也將該圖形之頂點平移至原點。為了要避免這樣的情形，我們考慮另一類曲面族 Ct 尽 {z|t2 z1 尫 tz2 尽就}。對任何實數t，我們知道Ct 恆過尨t−2 , 尰尩，尨尰, t−1 尩兩點，因此屌屯屧t 尨C ∩ 尨C∗ 尩2 尩有兩條漸近線：x 尽尲以及y 尽就；而當t趨近於尰時，圖形的寬度趨近於尰而其頂點仍維持在尨尲, 就尩。. 尶.

(29) 圖尲尮尴尺. 政治大. 結果如下圖二所示。另外，我們也會在下一節以賦值尨屶屡屬屵屡屴屩屯屮尩的觀點來討論這個例子。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. e 圖n g 尲尮尵尺c h i. i n U. v. 以皮瑟級數的觀點來定義熱帶幾何. 2.3. 在上一個小節，我們利用將複數曲線的變形體取極限的方式來導出熱帶曲線，而這樣的方式有時顯得有些冗長；而在這一個小節，我們將以另一個角度建構出熱帶幾何的圖形。首先，我們先定義皮瑟級數尨屐屵屩屳履屵屸屓履屲屩履屳尩如下：定義 2.3.1 考慮Q0 尽 {q|q ∈ Q其中q有下界且有一共同分母}為一有理數的子集。則由. 尷.

(30) 數列a 尽. X. aq tq 所形成的集合K即為皮瑟級數。. q∈Q0. 我們知道皮瑟級數是一個代數封閉體，而對於K中的元素a 尽. X. aq tq ，我們可以. q∈Q0. 定義一個賦值如下：引理 2.3.2 考慮屶屡屬尺 K 7→ R，其中屶屡屬尨a尩尽 q0 , q0 尽屭屩屮{q|aq 6尽尰}，則屶屡屬是一個賦值。 proof 尮. 政治大尨尲尩對任何a, b ∈ K，令屶屡屬尨a尩尽 q ，屶屡屬尨b尩尽 q ；我們知道ab的最小非零次數立. 尨就尩對任何a ∈ K，屶屡屬尨a尩尽 ∞若且唯若a 尽尰 1. 2. 為q1 尫 q2 ，意即屶屡屬尨ab尩尽屶屡屬尨a尩尫屶屡屬尨b尩. ‧ 國. 學. 尨尳尩對任何a, b ∈ K，令屶屡屬尨a尩尽 q1 ，屶屡屬尨b尩尽 q2 ，且在不失一般性下，我們可. ‧. 以假設q1 ≤ q2 。則a 尫 b的最低非零次數必大於或等於q2 ，意即屶屡屬尨a 尫 b尩 ≥ 屭屩屮{屶屡屬尨a尩, 屶屡屬尨b尩}. sit. y. Nat. q. n. al. er. io. 由於當t趨近於尰時，屬屯屧t |a| ≈ 屬屯屧t |aval(a) tval(a) | 尽屬屯屧t |aval(a) | 尫屶屡屬尨a尩 ≈ 屶屡屬尨a尩，. i n U. v. 我們發現屶屡屬和上一節所談到的屬屯屧t 在t趨近於尰時的作用有著相似的結果，因此我們定義以下的屖屡屬尺尨K ∗ 尩2 7−→ R2 ，. Ch. engchi. 屖屡屬尨z1 , z2 尩尽尨−屶屡屬尨z1 尩, −屶屡屬尨z2 尩尩尽尨x, y尩 ∈ R2 再一次地，我們以屖屡屬的觀點來討論上述例子範例 2.3.3 考慮定義在尨K ∗ 尩2 上的曲線Ct 尽 {z|t2 z1 尫 t1 z2 尽就} 當屶屡屬尨z1 尩 > −尲，也就是x 尽 −屶屡屬尨z1 尩 < 尲時，我們可以將z2 寫作t−1 尨就 − t2 z1 尩尽 t−1 − tz1 ，因此y 尽 −屶屡屬尨z2 尩尽就。而當屶屡屬尨z2 尩 > −就，也就是y 尽 −屶屡屬尨z2 尩 < 就時，我們可以用相同的方式得到x 尽尲。. 尸.

(31) 若屶屡屬尨z1 尩 ≤ −尲且屶屡屬尨z2 尩 ≤ −就；由於 t2 z1 尫 t1 z2 尽就，我們知道t2 z1 及t1 z2 中的t項必須要相消去，因此其最低次數屶屡屬尨t2 z1 尩會等於屶屡屬尨t1 z2 尩。因此，−屶屡屬尨z1 尩 − 尲尽 −屶屡屬尨z2 尩 − 就，即x − y 尽就。由以上三種情形的討論，我們也同樣的得到上節圖二之熱帶圖形。藉由這種新的觀點，我們可以有下列的定義 2.3.4 考慮C為一個佈於K 2 的代數曲線，我們定義其熱帶曲線為屖屡屬尨C∩尨K ∗ 尩2 尩之閉包(closure)。由於屖屡屬尨C ∩ 尨K ∗ 尩2 尩為Q2 之子集，因此我們在上述定義中取其值域的閉包以使圖形具有完備性。而皮瑟數列K是一個代數封閉體，因此我們在K上可以做的運算等同於複. 政治大. 數，也因為屖屡屬的關係，在將多項式熱帶化時常數會變成尰。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 尹. i n U. v.

(32) 第三章. 擴展型熱帶半環. 大致上來說，本文的主要內容便是希望由傳統的尨T0 , ⊕,

(33) 尩來建構出一個新的結構屛尴屝。我們將其敘述如下：. 治政\ {−∞}記為T 大。. 定義 3.0.5 考慮Rv 為實數R的複製，我們定義T為Rt{−∞}tRv ，其中R，{−∞}，Rv 為互斥。另外，將R t v. {−∞}記為Rv ，T. 立. ∗. ‧ 國. 學. 另外，為了方便區別，我們採用a, b等代號表示R中之元素，av , bv 表示Rv 中之元素，x, y表示T中之元素。. ‧. 3.1. 基本定義與運算. y. Nat. er. io. sit. 首先，我們由以下的定義來說明在T中的順序屜≺尢. 定義 3.1.1 基於T0 中原本的順序“<”，我們可以將它一般化為T中的順序“≺”. n. al. Ch. (1) 對任何T∗ 中的元素x，−∞ ≺ x. engchi. i n U. v. (2) 對任何R中的元素a, b，且a < b；我們定義av ≺ b，a ≺ bv ，av ≺ bv (3) 對任何R中的元素a，a ≺ av (4) x y意即 x ≺ y或x 尽 y 由以上定義我們可以知道：註記 3.1.2 (1) “”滿足偏序(partial order)的三個特質：反身性(reflexivity)，反對稱性(antisymmetry)以及遞移性(transivity)。. 就尰.

(34) (2) 對任何R中的元素a < b，我們知道a ≺ av ≺ b ≺ bv (3) 只有當x和y同時在R或Rv 中時，等式x 尽 y會成立。接下來，我們由以下的定義來說明T中的二元運算屜⊕尢及屜

(35) 尢：定義 3.1.3 基於T0 中原本的二元運算⊕及

(36) ，我們利用它們來定義T中的運算“⊕”及“

(37) ” (1) 對於T中的元素x, y，x 6尽 y，定義x ⊕ y 尽屭屡屸{x, y} ≺. (2) 對任何T中的元素x，我們知道−∞ ⊕ x 尽 x ⊕ −∞ 尽 x. 政治大 (4) 對於T中的x，定義x

(38) −∞ 尽 −∞

(39) x 尽 −∞ 立 (3) 對於R中的元素a，定義a ⊕ a 尽 av ⊕ av 尽 av. ‧ 國. 學. (5) 對於R中的元素a, b，定義a

(40) b 尽 a 尫 b. (6) 對於R中的元素a, b，定義av

(41) b 尽 a

(42) bv 尽 av

(43) bv 尽尨a

(44) b尩v 尽尨a 尫 b尩v. ‧. sit. y. Nat. 在定義完T中的順序與二元運算之後，以下我們將說明T的一些性質。. n. al. er. io. 性質 3.1.4 T對加法⊕而言，有交換律以及結合律。另外−∞是其加法單位元素。. i n U. v. proof 尮由定義尳尮就尮尳我們可以知道，−∞為其加法單位元素；另外，對任何x, y ∈ T，. Ch. engchi. 我們知道x ⊕ y 尽 y ⊕ x。最後，我們驗證其結合律如下：. 尨就尩若x 6尽 y 6尽 z為T中之元素；則尨x⊕y尩⊕z 尽屭屡屸{屭屡屸{x, y}, z} 尽屭屡屸{x, y, z} 尽 ≺. ≺. ≺. 屭屡屸{x, 屭屡屸{y, z}} 尽 x ⊕ 尨y ⊕ z尩。 ≺. ≺. 尨尲尩若a, b為R中兩相異元素，則尨a ⊕ a尩 ⊕ b 尽 a ⊕ 尨a ⊕ b尩？我們分別以三種不同的情形討論：   v     a , b ≺ a a ⊕ a 尽 av , b ≺ a     左式尽 av ⊕ b 尽 av , b 尽 a ，而右式尽 a ⊕ av 尽 av , b 尽 a        b, b a  a ⊕ b 尽 b, ba 因此我們知道此式成立. 就就.

(45) 而其他情形我們也可以用相似的方法去處理。 q 性質 3.1.5 T對乘法

(46) 而言，有交換律以及結合律。另外尰是其乘法單位元素。 proof 尮對於x, y ∈ T，我們利用定義尳尮就尮尳在不同的情況來驗證交換律x

(47) y 尽 y

(48) x 尨就尩考慮a, b同為R中之元素；a

(49) b 尽 a 尫 b 尽 b 尫 a 尽 b

(50) a 尨尲尩考慮a ∈ R，bv ∈ Rv ；a

(51) bv 尽尨a 尫 b尩v 尽尨b 尫 a尩v 尽 bv

(52) a. 政治大. 尨尳尩考慮av , bv 同為Rv 中之元素；av

(53) bv 尽尨a 尫 b尩v 尽尨b 尫 a尩v 尽 bv

(54) av. 立. 另外，對任何T中的元素x, y，我們知道 x

(55) 尨y

(56) z尩尽 x

(57) 尨y

(58) z尩以及尰

(59) x 尽. 性質 3.1.6 在T之中，乘法

(60) 對加法⊕具有分配律。. sit. y. Nat. proof 尮. q. ‧. ‧ 國. 學. x

(61) 尰尽 x ，因此結合性成立，而尰為其乘法單位元。. n. al. er. io. 對於x, y, z ∈ T，欲說明x

(62) 尨y ⊕ z尩尽尨x

(63) y尩 ⊕ 尨x

(64) z尩，我們先討論x, y, z同時為R中之元素時之情形。. Ch. i n U. v.    a

(65) b, b c   我們可以將左式寫作a

(66) 尨b ⊕ c尩尽 a

(67) bv , b 尽 c ，     a

(68) c, b ≺ c    a

(69) b, bc   而右式可寫作尨a

(70) b尩 ⊕ 尨a

(71) c尩尽尨a

(72) b尩v , b 尽 c     a

(73) c, b≺c. engchi. 因此我們知道，在x, y, z同時為實數時，屜

(74) 尢對屜⊕尢具有分配性。而在其他有牽涉到Rv 中元素運算的情形，我們可以利用剛才所驗證實數間運算的分配律以及定義尳尮就尮尳來說明。例如：av

(75) 尨b ⊕ c尩尽尨a

(76) 尨b ⊕ c尩尩v 尽尨尨a

(77) b尩 ⊕ 尨a

(78) c尩尩v 尽尨a

(79) b尩v ⊕ 尨a

(80) c尩v 尽尨av

(81) b尩 ⊕ 尨av

(82) c尩. 就尲.

(83) q 上述的性質說明了T與其二元運算的基本規則，值得注意的是T的乘法單位元素是尰而不是尰v 。我們用以下的範例來說明。範例 3.1.7 在T之中，尰v 並不是乘法單位元。考慮av ∈ Rv ，我們知道av

(84) 尰v 尽尨a 尫尰尩v 尽 av 。但對於a ∈ R，我們知道a

(85) 尰v 尽尨a 尫尰尩v 6尽 a。因此，尰v 並不是T的乘法單位元。註記 3.1.8 (1) 在T之中，⊕，

(86) 都是不可逆的運算。我們找不到x, y滿足尳v ⊕ x 尽 −∞，尳v

(87). 政治大. x 尽尰。不過對

(88) 而言，它在實數部分是可逆的。. 立. (2) 考慮x ∈ T，av ∈ Rv ，我們知道x

(89) av ∈ Rv 。以“

(90) ”的觀點，Rv 會將T 中之. ‧ 國. 學. 元素吸收到Rv 之中。. ‧. (3) 由於在T之中，a ⊕ a 尽 av ，我們知道尨T, ⊕,

(91) 尩不是冪等(idempotent)。另外，Rv 中的元素av 可被視作為加法重數(additive multiplicities)大於就之元素。. y. Nat. sit. (4) 尨T, ⊕,

(92) 尩的構造是由R的複製與其本身所形成的；而同樣的程序也可以用在其. n. al. er. io. 他的冪等半環之上來建構出新的非冪等半環，例如是尨Z, 屭屡屸, 尫尩或尨R, 屭屩屮, 尫尩。. 3.2. 一些性質. Ch. engchi. i n U. v. 接下來我們由上一節所定義的T 及其運算，來提出幾個性質屛尴屝。為了便於敘述，我們使用記號xn 來表示n個x

(93) x

(94) · · ·

(95) x的乘積，並定義T中元素x的v值如下：定義 3.2.1 若a ∈ R，定義a的v值v尨a尩尽 av ；若av ∈ Rv ，定義v尨av 尩尽 av ；而v尨−∞尩尽 −∞ 值得提出的是，v可視為由尨T, ⊕,

(96) 尩至Rv 的一個映射。對於x, y ∈ T，我們知道v尨x ⊕ y尩尽 v尨x尩 ⊕ v尨y尩，v尨x

(97) y尩尽 v尨x尩

(98) v尨y尩。我們知道在傳統的熱帶幾何T0 之中，對任意x, y ∈ T0 ，n為正整數，等式尨x ⊕ y尩n 尽 xn ⊕ y n 成立。那麼在T之中是否也有一樣的性質呢？我們用以下的性質來說明：. 就尳.

(99) 性質 3.2.2 對任意x, y ∈ T，n為正整數，尨x ⊕ y尩n 尽 xn ⊕ y n proof 尮我們將利用數學歸納法來證明這個不等式尨就尩當n 尽就時，本式顯然成立。尨尲尩對於n > 就，左式尽尨x ⊕ y尩n 尽尨x ⊕ y尩

(100) 尨x ⊕ y尩n−1 尽尨x ⊕ y尩

(101) 尨xn−1 ⊕ y n−1 尩尽 xn ⊕ xn−1

(102) y ⊕ x

(103) y n−1 ⊕ y n · · · 尨∗尩若 x y，則xn xn−1

(104) y x

(105) y n−1 y n ，而尨∗尩尽 xn 尽 xn ⊕ y n 尮若x ≺ y，則尨∗尩尽 y n 尽 xn ⊕ y n. 政治大. 若x 尽 y，則尨∗尩尽 xn ⊕ xn−1

(106) y ⊕ x

(107) y n−1 ⊕ y n 尽 xn ⊕ xn ⊕ xn ⊕ xn 尽尨v尨x尩尩n 尽 xn ⊕ xn 尽 xn ⊕ y n. 立. 尨尳尩由上述討論及數學歸納法我們知道本式對任意正整數n皆成立。. ‧. ‧ 國. 學. q. 推論 3.2.3 對於正整數n，xi ∈ T, i 尽就, 尲, · · · , s，我們知道尨⊕si=1 xi 尩n 尽 ⊕si=1 尨xi 尩n 。. y. Nat. sit. 性質 3.2.4 給定正整數n，xi ∈ T，x1

(108) x2

(109) x3

(110) · · ·

(111) xn xn1 ⊕ xn2 ⊕ xn3 ⊕ · · · ⊕ xnn 。. n. al. er. io. 另外，當v尨x1 尩尽 v尨x2 尩尽 · · · 尽 v尨xn 尩，且至少存在一個xi ∈ Rv 時，原式之等號成立。 proof 尮. Ch. engchi. i n U. v. 令xs 尽屭屡屸{x1 , x2 , x3 , · · · , xn }，根據性質尳尮尲尮尲我們可將右式寫作 ≺. xn1 ⊕ xn2 ⊕ xn3 ⊕ · · · ⊕ xnn 尽尨x1 ⊕ x2 ⊕ · · · ⊕ xn 尩n xns 尽 xs

(112) xs

(113) · · ·

(114) xs x1

(115) x2

(116) x3

(117) · · ·

(118) xn v. 而等式僅當 v尨x1 尩尽 v尨x2 尩尽 · · · 尽 v尨xn 尩且至少一個xi ∈ R 。因為若對所有的xi 皆在實數R之中，左式為x1

(119) x2

(120) x3

(121) · · ·

(122) xn ∈ R， v. 而右式為 xn1 ⊕ xn2 ⊕ xn3 ⊕ · · · ⊕ xnn ∈ R ，本式顯然不成立。 q. 就尴.

(123) 第四章. 擴展型熱帶矩陣. 接下來的部分，我們將以上一章所發展出的尨T, ⊕,

(124) 尩為基礎，來介紹佈於其上的矩陣性質。相較於傳統的線性代數理論之中，矩陣是佈於體的一個代數結構；我們在尨T, ⊕,

(125) 尩上所定義出的矩陣及其運算會比較偏向組合數學層面。基於之前所建構出. 政治大. 廣義的熱帶半環，我們將定義熱帶矩陣及其相關理論。. 立基本運算與定義. ‧ 國. 學. 4.1. 仿照傳統線性代數的矩陣及其基本運算，我們可以由尨T, ⊕,

(126) 尩來定義n × n階的矩. ‧. 陣Mn 尨T尩及其運算屛尴屝如下：. y. Nat. sit. 定義 4.1.1 我們定義由n2 個T中元素所形成的n階方陣為一熱帶方陣。考慮兩熱帶方. n. al. er. io. 陣A 尽尨aij 尩n×n ，B 尽尨bij 尩n×n 以及x ∈ T，我們定義其基本運算如下：. i n U. v. (1) 對於熱帶方陣的加法，我們定義A ⊕ B 尽 C 尽尨cij 尩n×n ，其中cij 尽 aij ⊕ bij 。. Ch. engchi. (2) 對於熱帶方陣的乘法，我們定義 A

(127) B 尽 D 尽尨dij 尩n×n ，其中dij 尽 n M aik

(128) bkj k=1. (3) 對於熱帶方陣的係數積，我們定義x

(129) A 尽尨x

(130) aij 尩n×n 。 (4) 對於熱帶方陣的轉置，我們定義At 尽尨aji 尩n×n 。 (5) 定義行列式值|A| 尽. M. a1σ(1)

(131) a2σ(2)

(132) ...

(133) anσ(n) ，其中Sn 為由{就, 尲, 尳, · · · , n}對. σ∈Sn. 應到{就, 尲, 尳, · · · , n}的所有置換所形成之集合。 (6) 定義A的子矩陣(minor)Aij 為消去第i列及第j行元素後所成之尨n − 就尩階方陣。. 就尵.

(134) (7) 定義A之伴隨矩陣Adj尨A尩尽尨a0ij 尩tn×n ，其中a0ij 尽 |Aij |    根據以上的定義，我們可以知道Mn 尨T尩的乘法單位元是I 尽  . 尮尮尮 −∞. 而其加法單位元是尨−∞

(135) I尩接下來，我們來觀察兩個範例。 . . . . 就 −就 −∞ 尳尰就         範例 4.1.2 考慮矩陣A 尽  尲就尳  B 尽  −∞ 尲尰      尲尰就 −就 −尲就. 尵 ⊕ −∞ ⊕ 尲. 尲⊕尳⊕就. 學.   A

(136) B 尽 . . 尴 ⊕ −∞ ⊕ −∞ 就 ⊕ 就 ⊕ −∞ 尲 ⊕ −就 ⊕ −∞. ‧ 國. . 政治大. 立. 我們知道.    . 尳⊕就⊕尴. ‧. 尵 ⊕ −∞ ⊕ 尰尲 ⊕ 尲 ⊕ −就尳⊕尰⊕尲  尴就v 尲     尽 尵尳尴    v 尵尲尳   尴尵尵     t v v 尨A

(137) B尩尽尽  就尳尲    尲尴尳    尳 −∞ −就就尲尲       B t

(138) At 尽  尰尲 −尲   −就就尰     就尰就 −∞ 尳就  尴 ⊕ −∞ ⊕ −∞ 尵 ⊕ −∞ ⊕ 尲尵 ⊕ −∞ ⊕ 尰   尽  就 ⊕ 就 ⊕ −∞ 尲⊕尳⊕就尲 ⊕ 尲 ⊕ −就  尲 ⊕ −就 ⊕ −∞ 尳⊕就⊕尴尳⊕尰⊕尲   尴尵尵    v  v 尽 就尳尲    尲尴尳 . n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 就尶. i n U. −∞. 尰. v.     . 尰.    ， .

(139) . . a b c     範例 4.1.3 考慮A= x y z    u v w 矩陣A的行列式值|A| 尽a

(140) y

(141) w⊕a

(142) z

(143) v⊕b

(144) x

(145) w⊕b

(146) z

(147) u⊕c

(148) x

(149) v⊕c

(150) y

(151) u 尽 a

(152) 尨y

(153) w ⊕ z

(154) v尩 ⊕ b

(155) 尨x

(156) w ⊕ z

(157) u尩 ⊕ c

(158) 尨x

(159) v ⊕ y

(160) u尩尽 a

(161) |A11 | ⊕ b

(162) |A12 | ⊕ c

(163) |A13 |。藉由以上的定義及範例，我們知道熱帶矩陣有以下的性質。性質 4.1.4 (1) 尨A

(164) B尩t 尽 B t

(165) At 。. 立. ‧ 國. j=1. ‧. proof 尮. ai0 j

(166) |Ai0 j |，其中i0 為一定數。. 學. (2) A的行列式值|A| 尽. n M. 政治大. y. Nat. 尨就尩為了敘述上的方便，我們令AB 尽 C 尽尨cij 尩n×n ，而C t 中第i列第j行的元素，我. sit. n. al. er. io. 們用c0ij 表示，At 中第i列第j行的元素，我們用a0ij 表示，B t 中第i列第j行的元素， n M 我們用b0ij 表示。則尨A

(167) B尩t 中第i列第j行的元素尽 c0ij 尽 cji 尽 ajk

(168) bki 尽 n M. a0kj

(169) b0ik 尽. k=1. n M. Ch. engchi U. v ni. k=1. b0ik

(170) a0kj 為B t At 中第i列第j行的元素，因此尨A

(171) B尩t 尽 B t

(172) At. k=1. (i ). 尨尲尩首先，對於正整數就 ≤ i0 , k ≤ n我們定義集合Sn (k)0 為從 {就, 尲, · · · , n} \ {io } 映至 {就, 尲, · · · , n} \ {k} 之所有置換所成之集合。對於已知正整數就 ≤ io ≤ n， M |A| 尽 a1σ(1)

(173) a2σ(2)

(174) · · ·

(175) anσ(n) σ∈S n    ! ! K K  M   M  尽 ai 0 1

(176)  ajσ(j)  ⊕ ai0 2

(177)  ajσ(j)  ⊕ · · · (i ). σ∈Sn (1)0.   M ⊕ ai0 n

(178)  (i ). 0 σ∈Sn (n). j6=i0. (i ). σ∈Sn (2)0.  ! K  ajσ(j)  j6=i0. 尽 ai0 1

(179) |Ai0 1 | ⊕ · · · ⊕ ai0 n

(180) |Ai0 n |。. 就尷. j6=i0.

(181) q 除了上述的兩個性質之外，我們也可以發現以下和傳統線性代數相似的性質。性質 4.1.5 (1) 矩陣A的轉置；或者將其兩列，或兩行對調，矩陣的行列式值仍不會改變。 (2) 對矩陣的某一行(列)，矩陣的行列式對係數積而言是線性的。 proof 尮尨就尩對於矩陣A 尽尨aij 尩n×n 我們沿用性質尴尮就尮尴的記號，將At 記為尨a0ij 尩n×n 尽尨aji 尩n×n 。 n n M K M K t 0 則|A | 尽尨尨 aiσ(i) 尩尽 aσ(i)i 尩由於σ為一置換，我們知道σ −1 亦為一. 政治大 M K. σ∈Sn i=1. σ∈Sn i=1. 立尽置換，且可令j 尽 σ尨i尩而原式. n. 尨. ajσ−1 (j) 尩尽 |A|. ‧ 國. 學. σ∈Sn j=1. . sit. y. ain ⊕ k

(182) bin 尮尮尮 ann.      ，    . er. io. al. a1n 尮尮尮. ‧. Nat. a11 a12 ···  尮尮尮尮尮尮   尮尮尮   尨尲尩考慮矩陣A 尽  ai1 ⊕ k

(183) bi1 ai2 ⊕ k

(184) bi2 · · ·   尮尮尮尮尮尮  尮尮尮  an1 an2 ···. . n. 我們可以用降階的方式將|A|展開為 n n M M 尨aij ⊕ k

(185) bij 尩

(186) |Aij | 尽屛尨aij

(187) |Aij |尩 ⊕ 尨尨k

(188) bij 尩

(189) |Aij |尩屝. Ch. j=1.

(190) 

(191)

(192)

(193) 

(194) 

(195) 

(196) 

(197)  尽

(198) 

(199) 

(200) 

(201) 

(202) 

(203)

(204). engchi. i n U. v. j=1. a11 a12 · · · 尮尮尮尮尮尮尮尮尮. a1n 尮尮尮. ai2 · · · 尮尮尮尮尮尮. ain 尮尮尮. an1 an2 · · ·. ann. ai1 尮尮尮.

(205)  

(206)

(207)

(208)

(209)

(210) 

(211)

(212)  

(213)

(214)  

(215)

(216)  

(217)

(218)  

(219)

(220)  

(221) ⊕ k

(222)

(223)  

(224)

(225)  

(226)

(227)  

(228)

(229) 

(230)  

(231)

(232)

(233)

(234)

(235). a11 a12 · · · 尮尮尮尮尮尮尮尮尮. a1n 尮尮尮. ··· 尮尮尮. bin 尮尮尮. an1 an2 · · ·. ann. bi1 尮尮尮. bi2 尮尮尮. 

(236)

(237)

(238) 

(239) 

(240) 

(241) 

(242) 

(243) 

(244) 

(245) 

(246) 

(247) 

(248)

(249)

(250) q. 定義 4.1.6 考慮A ∈ Mn 尨T尩為一熱帶方陣。若|A| ∈ R，稱A為正則(regular)矩陣；否則，則稱A為奇異(Singular)矩陣。. 就尸.

(251) 註記 4.1.7 (1) 正則矩陣相乘的結果並不一定是正則矩陣。 (2) 等式|A

(252) B| 尽 |A|

(253) |B|並不是對所有的情形都成立。我們用下面的例子簡單的說明A, B皆為正則矩陣，但A

(254) B為奇異矩陣，且|A

(255) B| 6尽 |A|

(256) |B|  範例 4.1.8 A 尽 . 就就尲尳. . . ， B 尽 . . 尲尳就就. . 尳尴 。  尽治  政尵⊕尴尴尵大. 尳⊕尲尴⊕尲. 我們知道A

(257) B 尽 . . . . . v 尴⊕尴但|A| 尽尴⊕尳尽尴， |B| 尽尳⊕尴尽尴， |A

(258) B| 尽尸⊕尸v 尽尸v ，|A|

(259) |B| 尽尴

(260) 尴尽尸。. 立. ‧ 國. 學. 4.2. 一些性質. ‧. 我們知道在前一節所定義的矩陣行列式值之下，等式|A

(261) B| 尽 |A|

(262) |B|並不總是. sit. y. Nat. 成立的。而在這一個小節，我們將以兩個簡單的性質來提供一個判別的方法屛尴屝。. n. al. er. io. 定理 4.2.1 考慮一熱帶方陣A，若存在兩行(列)元素相同，則A為一奇異方陣。 proof 尮. Ch. engchi. 我們將以數學歸納法對正整數n ≥ 尲證明。. i n U. v. 若 n 尽尲，顯然滿足條件的矩陣A為一奇異矩陣。考慮矩陣A ∈ Mn 尨T尩，n ≥ 尳， n M 且該矩陣的前兩行元素相同。我們可以將其行列式值|A|展開如為 a1i |A1i |。 i=1. 尨就尩我們知道a11 尽 a12 且|A11 | 尽 |A12 |，因此 a11

(263) |A11 | ⊕ a12

(264) |A12 | ∈ Rv 。尨尲尩若 i ≥ 尳，矩陣A1i ∈ Mn−1 尨T尩，且其前兩行元素相同。由歸納法假設可知|A1i | ∈ Rv 。尨尳尩由以上兩點，我們知道對任何正整數n ≥ 尲， |A| 尽. n M. a1i

(265) |A1i | ∈ Rv 。. i=1. q. 就尹.

(266) 定理 4.2.2 若A，B皆為正則矩陣，且其乘積A

(267) B亦為正則矩陣，則|A

(268) B| 尽 |A|

(269) |B|。又若A或B有一為奇異矩陣，則A

(270) B亦為奇異矩陣。 proof 尮考慮A，B ∈ Mn 尨T尩，且A，B，A

(271) B均為正則矩陣。令N 尽 {就, 尲, 尳, · · · , n}而Sn 為所有由N 映至N 之置換，Fn 為所有由N 映至N 的映射所成之集合。其中，|Sn | 尽 n尡，而Fn 尽 nn ，Sn ⊂ Fn 。令AB 尽 C 尽尨cij 尩n×n ，則 ! n n n M MK MK aik

(272) bkσ(i) ciσ(i) 尽 |A

(273) B| 尽 σ∈Sn i=1. σ∈Sn i=1. M. k=1. . a11

(274) b1σ(1) ⊕ · · · ⊕ a1n

(275) bnσ(1)

(276) · · ·

(277) an1

(278) b1σ(n) ⊕ · · · ⊕ ann

(279) bnσ(n) σ∈Sn ! ! n n n K M M K M M K aiµ(i) bµ(i)σ(i) · · · 尨∗尩。 aiµ(i)

(280) bµ(i)σ(i) 尽尽尽. 政治大 K 而根據尨∗尩，我們將說明同時存在一組µ ∈ F ，σ ∈ S 使得 a 立 σ∈Sn µ∈Fn. i=1. σ∈Sn µ∈Fn. i=1. i=1. n. 0. n. 0. n. ‧ 國. aiµ(i) 有最大值。我們將說明存在σ0 ∈ Sn 使得. i=1. n K. aiµo (i). n. i=1. Ch. M σ∈Sn. y. 尽. n K. n K. bjσ0 (j) 尽 |B|。. j=1. sit. io. al. !. bjσ(j). j=1. σ∈Sn n K. !. ! bµ0 (i)σ(i). i=1 0. i n U. v. M. n K. σ∈Sn. j=1. 尽 |A|. er. Nat. 0. n K. M. ，其中µ0 尨i尩尽 j。考慮σ0 ∈ Sn ，其中σ0 尽 σ ◦µ0 ，則上式可寫作|A| 於|A|

(281) |B|。. bµ0 (i)σ0 (i) 有. i=1. 因為|B| ∈ R，所以存在σ ∈ Sn 使得令µ 尽 µ0 ，則尨∗尩尽. bµ(i)σ(i). i=1. ‧. 最大值。. iµ(i) 以及. 學. 尨就尩若µ0 ∈ Sn 使得. n K. i=1. 同時達到最大值。以下將由µ0 的情況來分類討論。 n K. . engchi. 當A為奇異矩陣，則存在相異置換µ1 , µ2 使. n K i=1. av ；或者是存在µ ∈ Sn 會涉及到非實數元素。. aiµ1 (i) 尽. n K. K. ! bjσ(µ−1 0 (j)) bjσ0 (j) 等. aiµ2 (i) 尽 a，|A| 尽. i=1. 在後面的情形，由於尨∗尩會有一個非實數的元素，因此|A

(282) B| ∈ Rv ；若是前者情 n n K K 形，我們可以找到σ1 , σ2 ∈ Sn 使得 aiµ1 (i)

(283) bµ1 (i)σ1 (i) 尽 aiµ2 (i)

(284) bµ2 (i)σ2 (i) i=1. i=1. 因此|A

(285) B| ∈ Rv 。尨尲尩若µo ∈ Fn \ Sn ，而σ0 ∈ Sn 為其相對應可使 ! n ! n n K K K 尨∗∗尩 aiµ(i)

(286) bµ(i)σ(i) 尽 aiµ(i) bµ(i)σ(i) 為最大之置換。 i=1. i=1. i=1. 尲尰.

(287) 因為µ0 ∈ Fn \ Sn ，所以存在i1 6尽 i2 使得 µ0 尨i1 尩尽 µ0 尨i2 尩尽 k，同時σ0 尨i1 尩尽 h1 ，σ0 尨i2 尩尽 h2 ，h1 6尽 h2 。我們知道尨∗∗尩 ! ! n K K 可寫為 aiµ0 (i) bµ0 (i1 )σ0 (i1 )

(288) bµ0 (i2 )σ0 (i2 ) bµ0 (i)σ0 (i) i=1. 尽. n K. i6=i1 ,i2. !. ! K. bkh1

(289) bkh2. aiµ0 (i). i=1. bµ0 (i)σ0 (i). i6=i1 ,i2. 考慮另一置換σ属0 ∈ Sn ，其中 σ属0 尨i1 尩尽 h2 尬 σ属0 尨i2 尩尽 h1 ；而對於i 6尽 i1 , i2 ，σ属0 尨i尩尽 σ0 尨i尩。在µ0 ，σ属0 的作用之下， ! ! n K K 尨∗∗尩可以寫作 aiµ0 (i) bµ0 (i1 )σˆ0 (i1 )

(290) bµ0 (i2 )σˆ0 (i2 ) bµ0 (i)σˆ0 (i) i=1. 尽. n K. !. 治! K 政 b 大. bkh2

(291) bkh1. aiµ0 (i). 立. i=1. i6=i1 ,i2. µ0 (i)σ0 (i). i6=i1 ,i2. 意謂著存在σ属0 6尽 σ0 可同時達到|A

(292) B| 的v−值，因此|A

(293) B| ∈ Rv 。此結果與假. ‧ 國. 學. 設矛盾，因此µ0 ∈ Sn ，証畢。. ‧. q. 我們已經知道了關於擴展型熱帶矩陣的乘法以及行列式運算的一些性質，接下來我. y. Nat. al. er. io. 否有相似的結論。. sit. 們將舉三個例子來說明定理尴尮尲尮就以及定理尴尮尲尮尲。並且以傳統熱帶半環的觀點來去觀察是. n. v i 尲尰 n Ch ， B 尽 U  範例 4.2.3 考慮兩正則矩陣 A 尽  e尲 n尴 g c h i 就尳  . 就就. . . 我們知道|A| 尽尵，|B|尽尵 ⊕ 就尽尵，而  尽尵 ⊕尳   就就尲尰尳尴  尽 ， A

(294) B 尽 尲尴就尳尵尷 |A

(295) B| 尽就尰 ⊕ 尹尽就尰，|A

(296) B| 尽 |A|

(297) |B|。因此我們知道若兩正則矩陣相乘之後仍為一正則矩陣，則|AB| 尽 |A||B| 滿足定理尴尮尲尮尲的結果。另外，由於在這個範例中我們並未涉及R

(298)  v 的元素，因此即使在傳統的熱帶半環中， 

(299)

(300)

(301)

(302) 尳尴

(303) 

(304) 尽就尰 ⊕ 尹尽就尰尽 |A|

(305) |B|。依循本文矩陣行列式的定義， |A

(306) B| 尽

(307)

(308) 

(309)

(310) 尵尷

(311) 尲就.

(312)  範例 4.2.4 考慮兩正則矩陣 A 尽 . 就就尲尳. . . ， B 尽  . 就就. 尳就尴尳. .  . 尳就. . . 尵尴. . ，尴尳尷尶尲尳 |A

(313) B| 尽就就 ⊕ 就就尽就就v ， |A

(314) B| 尽 6 |A|

(315) |B|。因此我們知道，兩個正則矩陣相乘我們知道|A| 尽尴，|B| 尽尶；而A

(316) B 尽 . . 尽. 後的結果有可能是奇異矩陣，而|A

(317) B| 6尽 |A|

(318) |B|。若以傳統的熱帶半環來考慮這個範例，我們知道

(319)  

(320)

(321)

(322)

(323) 尵尴

(324)

(325) 

(326) 尽就就 ⊕ 就就尽就就 6尽尴 ⊕ 尶尽 |A|

(327) |B|。 |A

(328) B| 尽

(329) 

(330)

(331) 尷尶

(332) 治  政尰就  以及一正則矩陣大 B尽 尳範例 4.2.5 考慮一奇異矩陣 A 尽  尰立就尲 . 就尲.  . ‧. ‧ 國. 學. 我們知道|A| ⊕ 尲尽尲v ，|B|  尽尲  尽 尵 ⊕ 就尽 尵，尰就尳就尳尳  尽  ，|A

(333) B| 尽尷 ⊕ 尷尽尷v 尽尲v

(334) 尵，而A

(335) B 尽  就尲尰尲尴尴而|A

(336) B| 尽 |A||B|。. sit. y. Nat. 由定理尴尮尲尮尲得知，奇異矩陣與正則矩陣相乘之後必為奇異矩陣，但在這個例子中我們發. n. al. er. io. 現|A

(337) B| 尽 |A|

(338) |B|仍有可能成立。定理尴尮尲尮尲的逆敘述不成立。

(339)  

(340)

(341)

(342)

(343) 尳尴

(344) 

(345) 尽尷 ⊕ 尷尽若以傳統的熱帶半環來考慮這個範例，我們知道 |A

(346) B| 尽

(347)

(348) 

(349)

(350) 尳尴

(351) 尷尽尲 ⊕ 尵尽 |A||B|。. Ch. engchi. i n U. v. 從以上三個範例中，我們不但可以知道定理尴尮尲尮尲的逆敘述不成立之外，也不難發現，定義Rv 的目的主要在讓我們可以辨別運算後元素的加法重數，而這個因素在等式|A

(352) B| 尽 |A|

(353) |B|是否能夠成立，佔了關鍵性的地位。. 4.3. 乘法反方陣之探索. 在定義了擴展型熱帶矩陣的基本運算之後，我們是否也可以定義出熱帶反方陣呢？   尰 −∞     尮尮由於熱帶矩陣的乘法單位元素是I 尽  尮 ，而無論是加法或乘法，除   −∞ 尰. 尲尲.

(354) 非涉及到−∞，否則運算的結果不會成為−∞。因此對於矩陣A，我們要找到另一個矩陣B使得A

(355) B 尽 B

(356) A 尽 I是很不容易的。以下，我們仿照傳統線性代數的觀點，試著去討論熱帶反方陣的可能性屛尴屝。定義 4.3.1 考慮一正則矩陣A，我們定義A5 尽. Adj尨A尩尽 Adj尨A尩

(357) 尨−|A|尩。 |A|. 上述的定義是仿照傳統線性代數中反方陣模式來建構的，而這樣的矩陣A5 具有哪些性質呢？我們先觀察以下的範例。   就尰 −就     範例 4.3.2 考慮正則矩陣A 尽  −就就尳    尶尳尰. 政治大我們知道|A| 尽尲 ⊕ 尷 ⊕ −就 ⊕ 尹 ⊕ 就 ⊕ 尶尽尹，立 尶尹尷   尶尲尳  t. ‧. ‧ 國. 學.         而其伴隨矩陣Adj尨A尩尽  尲尵尶  尽  尹尵尴 。     尷尶尲尳尴尲   −尳 −尷 −尶  Adj尨A尩    5 尽  尰 −尴 −尵 。 A 尽 |A|   −尲 −尳 −尷      v v 尰尨−尴尩尨−尵尩就尰 −就 −尳 −尷 −尶           則A

(358) A5 尽  −就就尳   尰 −尴 −尵  尽  就v 尰尨−尴尩v       v v 尶尳尰 −尲 −尳 −尷尳尨−就尩尰上述的的範例很快的使我們的期望落空了，要仿照傳統線性代數的方式來定義擴展. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 型熱帶反方陣是有困難的。但是對於上述定義中的A5 ，是否有怎樣的性質呢？我們將敘述如下：性質 4.3.3 考慮A ∈ Mn 尨T尩為一正則方陣，A5 尽尨bij 尩n×n 。則 (1) 對於正整數i，就 ≤ i ≤ n；bii 尽尰。 (2) 對於正整數i, j，就 ≤ i 6尽 j ≤ n；bij ∈ Rv 。 proof 尮. 尲尳. Adj尨A尩，A

(359) A5 尽 B 尽 |A|.

(360) 尨就尩對於方陣B之對角元素bii ，我們可以將bii 展開為. M. aik

(361) a5 ki. k. 尽. M. aik

(362). k. |Aik | |A|. !. . M. 尽. aik

(363) |Aik |.

(364) 尨−|A|尩尽尨|A|尩

(365) 尨−|A|尩尽尰. k. 尨尲尩對於方陣B之非對角元素bij , i 6尽 j，我們知道bij 尽. M. aik

(366) a5 kj. k. 尽. M. aik

(367). k. 由於. |Ajk | |A|. !. . M. 尽. aik

(368) |Ajk |.

(369) 尨−|A|尩。. k. M. aik

(370) |Ajk |可視為將A中第j列元素換為其第i列元素之矩陣之行列式值。 k M 根據定理尴尮尲尮就我們知道 aik

(371) |Ajk | ∈ Rv ， k. ! 而bij 尽. M. 立. aik

(372) |Ajk |. k. 政治大

(373) 尨−|A|尩 ∈ R 。 v. ‧ 國. 學. q. 除了上述的性質之外，我們由下面的性質可以知道，雖然A

(374) A5 的結果並不等於. ‧. 乘法單位元素I，但是卻有和I相似的冪等性質。. sit. y. Nat. 性質 4.3.4 考慮A ∈ Mn 尨T 尩為一正則矩陣，則AA5 是冪等(idempotent)的。. n. al. er. io. |Aji | proof 尮首先，我們令AA5 尽 B 尽尨bij 尩n×n 。由於a5 ，因此 ij 尽 |A| M M |Ajk | |Ajk1 | bij 尽 aik

(375) a5 尽 aik

(376) 尽 aik1

(377) ，其中k1 為某一固定整數。 kj |A| |A| k k 若令B

(378) B 尽 C 尽尨cij 尩n×n ，我們可以藉由說明cij 尽 bij 來證明C 尽 B

(379) B 尽 B，. Ch. engchi. i n U. v. 意即B 尽 A

(380) A5 是冪等的。 ! ! M M M M |Ajl | |Ahk | 展開cij 尽 bih

(381) bhj 尽 aik

(382) ahl

(383) |A| |A| h k l h MMM |Ahk | |Ajl | 尽 aik

(384)

(385) ahl

(386) |A| |A| h k l 因此，若cij 尽 bij ，即 MMM M aik

(387) |Ahk |

(388) ahl

(389) |Ajl | 尽 |A| aik

(390) |Ajk | · · · 尨†尩 h k l k MMM 若我們令尨†尩左式中h 尽 j我們知道左式尽 aik

(391) |Ahk |

(392) ahl

(393) |Ajl | h k l ! ! MM M M aik

(394) |Ajk |

(395) ajl

(396) |Ajl | 尽 aik

(397) |Ajk | ajl

(398) |Ajl | 尽右式。 k. l. k. 尲尴. l.

(399) 要說明尨†尩中左式等於右式，我們利用反證法，假設左式右式，且令h0 , k0 , l0 為使左式達到其值之足碼；則原敘述尨†尩可寫為 aik0

(400) |Ah0 k0 |

(401) ah0 l0

(402) |Ajl0 | aik1

(403) |Ajk1 |

(404) |A| 根據k1 之定義，我們知道aik1

(405) |Ajk1 | aik0

(406) |Ajk0 |；因此 aik0

(407) |Ah0 k0 |

(408) ah0 l0

(409) |Ajl0 | aik1

(410) |Ajk1 |

(411) |A| aik0

(412) |Ajk0 |

(413) |A| ⇒ |Ah0 k0 |

(414) ah0 l0

(415) |Ajl0 | |Ajk0 |

(416) |A|。另外，我們知道 |A| 尽 ah0 k0

(417) |Ah0 k0 |，因此 |Ah0 k0 |

(418) ah0 l0

(419) |Ajl0 | |Ajk0 |

(420) ah0 k0

(421) |Ah0 k0 | ⇒ ah0 l0

(422) |Ajl0 | ah0 k0

(423) |Ajk0 |，而這樣的結果與h0 , k0 , l0 之假設矛盾。因此左式右式不成立，左式尽右式。最後，我們以下面的範例來說明上述的兩個性質。     尰 −就就尰 為一正則矩陣，B 尽  為一奇異矩陣。範例 4.3.5 考慮A 尽  就尲尴尳. 政治大. . 我們知道|A| 尽尲，而A5 尽 . 尲. 就. t. . 學. ‧ 國. 立. 尰. 

(424) 尨−尲尩尽 . −尳. . ‧. 。 −就尰 −就 −尲      v 尰 −就尰 −尳尰尨−尳尩  尽 。 A

(425) A5 尽  就尲 −就尲就v 尰      v v v 尰尨−尳尩尰尨−尳尩尰尨−尳尩  尽  則A

(426) A5

(427) A

(428) A5 尽  v v v 就尰就尰就尰  t   尳尴尨−就尩v 尨−尴尩v v v 5    

(429) 尨尨−尴尩尩尽另外，|B| 尽尴。而B 尽 v v 尰就尰尨−尳尩    就尰尨−就尩v 尨−尴尩v 5     而B

(430) B 尽 v v 尴尳尰尨−尳尩      v v v v v v 尰尨−尳尩尰尨−尳尩尰尨−尳尩 ，    並不滿足上述性質。尽 尳v 尰尳v 尰尳v 尰. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 尲尵. i n U. v. q.

(431) 第五章. 結論. 本篇論文我們討論了擴展型熱帶半環的代數結構尬及定義擴展型熱帶矩陣。我們可以發現尬使用擴展型熱帶矩陣尬和原本熱帶矩陣的運算十分接近尬但是許多地方可以反映在古典矩陣理論有的性質。例如矩陣的奇異性就是一個例子。. 政治大能具備幾何上的意義尿如果依擴展型熱帶半環尬仿熱帶幾何的作法尬再定義出相對應的擴立我們除了討論擴展型熱帶矩陣的運算尬更進一步探討其基本性質。而這些性質是否. ‧ 國. 學. 展型熱帶幾何尬和熱帶幾何的關係為何尿是否能像熱帶幾何一樣尬反映傳統幾何的一些性質尿這些都是值得進一步研究的地方。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 尲尶. i n U. v.

(432) 參考文獻屛就屝屍屩屫履屄履屶履屬屩屮尬屆屲屡屮屣屩屳屣屯屓屡屮屴屯屳尬屡屮層层履屲屮層屓屴屵屲屭屦履屬屳尮屏屮屴屨履屲屡屮屫屯屦屡屴屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屲屩屸尮屉屮 Combinatorial and computational geometry尬屶屯屬屵屭履尵尲屯屦 Math. Sci. Res. Inst. Publ.尬屰屡屧履屳尲就尳屻尲尴尲尮屃屡屭屢屲屩層屧履展屮屩屶尮屐屲履屳屳尬屃屡屭屢屲屩層屧履尬尲尰尰尵尮. 政治大屛尲屝屁屮層屲履屡屳屇屡屴屨屭屡屮屮尮屔屲屯屰屩屣屡屬屡屬屧履屢屲屡屩屣屧履屯屭履屴屲屹尮 Jahresber. Deutsch. Math.立 Verein.尬就尰尸尨就尩尺尳屻尳尲尬尲尰尰尶尮. ‧ 國. 學. 屛尳屝屚屵屲屉屺屨屡屫屩屡屮尮屔屲屯屰屩屣屡屬屡屬屧履屢屲屡屩屣屳履屴屳尬屩層履屡屬屳屡屮層屡屮屡屬屧履屢屲屡屩屣屎屵屬屬屳屴履屬屬履屮屳屡屴屺尮. 屔屲屯屰屩屣屡屬屡屲屩屴屨屭履屴屩屣屡屮層屭屡屴屲屩屸屡屬屧履屢屲屡尮. Comm. Algebra尬. sit. y. Nat. 屛尴屝屚屵屲屉屺屨屡屫屩屡屮尮. ‧. Internat. J. Algebra Comput.尬就尸尨尶尩尺就尰尶尷屻就尰尹尸尬尲尰尰尸尮. io. er. 尳尷尨尴尩尺就尴尴尵屻就尴尶尸尬尲尰尰尹尮. al. v i n Different faces of geometry尬C屶屯屬屵屭履 h e n尳g屯屦 cInt.h Math. i U Ser. (N. Y.)尬屰屡屧履屳尲尵尷屻尳尰尰尮 n. 屛尵屝屇屲屩屧屯屲屹屍屩屫屨屡屬屫屩屮尮屁屭屯履屢屡屳屯屦屡屬屧履屢屲屡屩屣屶屡屲屩履屴屩履屳屡屮層屴屲屯屰屩屣屡屬屧履屯屭履屴屲屹尮屉屮. 屋屬屵屷履屲尯屐屬履屮屵屭尬屎履屷屙屯屲屫尬尲尰尰尴尮. 屛尶屝屇屲屩屧屯屲屹屍屩屫屨屡屬屫屩屮尮居屮屵屭履屲屡屴屩屶履屴屲屯屰屩屣屡屬屡屬屧履屢屲屡屩屣屧履屯屭履屴屲屹屩屮 R2 尮 J. Amer. Math. Soc.尬就尸尨尲尩尺尳就尳屻尳尷尷尨履屬履屣屴屲屯屮屩屣尩尬尲尰尰尵尮屛尷屝屇屲屩屧屯屲屹屍屩屫屨屡屬屫屩屮尮屔屲屯屰屩屣屡屬屧履屯屭履屴屲屹屡屮層屩屴屳屡屰屰屬屩屣屡屴屩屯屮屳尮屉屮 International Congress of Mathematicians. Vol. II尬屰屡屧履屳尸尲尷屻尸尵尲尮居屵屲尮屍屡屴屨尮屓屯屣尮尬屚屿屵屲屩屣屨尬尲尰尰尶尮屛尸屝届屿屵屲屧履屮屒屩屣屨屴履屲尭屇履屢履屲屴尬层履屲屮層屓屴屵屲屭屦履屬屳尬屡屮層屔屨屯屲屳屴履屮屔屨履屯屢屡屬層尮屆屩屲屳屴屳屴履屰屳屩屮屴屲屯屰屩屣屡屬屧履屯屭履屴屲屹尮屉屮 Idempotent mathematics and mathematical physics尬. 尲尷.

(433) 屶屯屬屵屭履尳尷尷屯屦 Contemp. Math.尬屰屡屧履屳尲尸尹屻尳就尷尮屁屭履屲尮屍屡屴屨尮屓屯屣尮尬屐屲屯屶屩層履屮屣履尬屒屉尬尲尰尰尵尮屛尹屝屄屡屶屩層屓屰履屹履屲屡屮層层履屲屮層屓屴屵屲屭屦履屬屳尮. 屔屲屯屰屩屣屡屬屭屡屴屨履屭屡屴屩屣屳尮. 尸尲尨尳尩尺就尶尳屻就尷尳尬尲尰尰尹尮. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 尲尸. i n U. v. Math. Mag.尬.

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