100學年度高二下第二次定期考

定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二下第二次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫：國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師 指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立南科實中王志誦老師、 國立高師大附中歐志昌老師、國立屏東女中蔡欣蓉老師

前言

數學學科中心廣邀全國各校上網分享定期考試題，再依學校特性 隨機抽樣， 選出約16 所學校，並將試題交由試題研發小組成員討論研究，選出可供教師們 參考的優良試題，達到影響教學、互相交流的目的，並訓練學生使之具備課綱 要求的核心能力。鑑於各校考試範圍的差異，此次的選題範圍為第四冊 2-2~3-3，且依照 99 課綱的編排，高二數學分為 A、B 兩版，B 版所增加的題材試題加 註◎號以做區隔。 綜觀本次試題，教師們在命題時對重要試題與觀念上頗有共識，唯新穎創 意試題的比例偏低，值得大家重視。此外，空間圖示要清楚明確，盡量使用數 學繪圖軟體製作，避免造成學生混淆。例如： 「如右圖，正立方體 ABCD EFGH 的邊長為6， 若_P為對角線 AG上任一點，則△_PBD的面積的最小 值 。」(出處：北一女中) 此圖以數學繪圖軟體製作，且以陰影表示△PBD 的面積，能適當引導學生作答。

部份試題的語句敘述仍須酌予修正，期盼各位先進在命題時皆能重視語句 敘述的邏輯性與完整性，例如： 　　若題型為單一答案的多選題，則敘述宜為「下列何者正確？」 若題型為多選題，則敘述宜為「下列哪些選項(敘述)是正確的？」 選擇題的敘述結尾「為？」，宜完整敘述「為何？」 　　填充題之敘述「試求…」，建議改以「則…」較佳。 選題工作僅針對個別試題設計提供教師們做為命題參考，期盼教師們運用 本資料時多加思量；而選題過程難免有疏漏或不周延之處，請各位先進不吝指 正。

A. 基礎重要試題

1. 設甲袋有1 白球 1 紅球，乙袋有 1 紅球，先自甲袋取一球放入乙袋，再 自乙袋取一球放入甲袋，如此稱為一局，求: (1) 二局後白球在甲袋的機率。 (2) 長期而言﹐白球在甲袋的機率。 參考答案：(1) 11₁₆ (2) 2₃ 出處：聖心高中(忠信高中、臺中一中、臺中二中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，如此稱為一局，則：…」。 1. 一架戰鬥機在空間坐標點P



60,70,120



處發生故障，所以沿著直線 60 70 120 1 2 2 x y z   _{的方向，以每秒18 單位的速度向海平面（即 xy 平} 面）俯衝。試問飛機____________秒後接觸到海平面。 參考答案：10 出處：新店高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…俯衝，則飛機＿＿＿秒後…。」。 2. 設平面 E：x  ay  3z  4 的 y 截距為4₅ ﹐且包含直線x b_₂  y_c4 2_₄z ﹐則a  b  c 之值為____________。 參考答案： 19 出處：新店高中(泉僑高中、道明中學等校亦有類似題) 修題建議：題目提問宜修改為：「… , 則序組( , , )a b c ＿＿＿＿＿。」； 　　　　　 如此能呈現各變數所代表的意義亦可清楚瞭解學生的作答情形。

3. ◎請填入下列各聯立方程組所表示的圖形分別為(A)～(H)圖形中的哪一 個，以代號填入，並判斷聯立方程組的解為(甲)恰有一解 (乙)無解 (丙)無 限多組解，如 1 1 1 x y z x y z x y z               ﹐答案為(H)和(丙)。 (1) 3 2 1 2 5 3 3 2 0 x y z x y z x y z      _{  }       ___________。　　(2) 2 2 1 2 7 x y z x y z x y z      _{  }   _{  }  ___________。 (3) 2 2 2 2 2 5 2 x y z x y z x y z      _{  }       __________。 參考答案：(1) (D)和(乙) (2) (A)和(甲) (3) (C)和(乙) 出處：新店高中(南山高中、臺中一中、中興高中、長榮女中等校亦有類似 題) 4. 已知 1 1 2 3 A_{ } _   ， 1 3 4 k B_{ } _   ，若



A B



2 A22AB B 2，則 k  。 參考答案：3₂ 出處：臺中一中(新竹女中等校亦有類似題) 　 修題建議：題目敘述修改用字為：「已知二階方陣A…，B…。若…， 則實數 k  ＿＿＿＿＿。」。

5. 已知 3 2 2 x u v w y u v w z u v w               且 3 2 2 a x y z b x y z c x y z               ，若M 為三階矩陣使得 a u b M v c w      _              ，求M 矩陣=＿＿＿＿＿。 參考答案： 6 9 0 9 4 2 0 2 1     _         出處：中興高中(忠信高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，若三階方陣 M 滿足 a u b M v c w      _              ， 則M ＿＿＿＿＿。」。 6. 矩陣 3 2 7 5 A_{ } _   且 2 2 3 4 5 1 AX _{ }  _   ，求矩陣X ＿＿＿＿＿。 參考答案： 2 20 13 2 29 18    _{ }    出處：中興高中(鳳新高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「若矩陣A…，則矩陣X ＿＿＿ ＿。」。 2. ◎關於線性方程組 2 3 2 1 3 2 1 x y z c x y az x y bz                 ，哪些選項正確？ (1) 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解 (2) 若 2a b  ，則此線性方程組有解3

(3) 若c ，則此線性方程組有解1 (4) 若 2a b  ，則此線性方程組無解3 (5) 若c ，則此線性方程組有解1 參考答案：(2)(3) 出處：中興高中(臺中二中、北一女中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，下列哪些敘述是正確的？」。 7. (單選)下列增廣矩陣何者所表示之一次聯立方程式無解？ (A) 0 0 1 2 0 2 0 1 3 0 0 8     _        　　(B) 1 5 8 0 3 15 24 0 2 10 16 0          　　(C) 1 5 8 6 3 15 24 6 2 10 16 6           (D) 1 3 5 7 2 4 6 8 3 5 7 9          　　 (E) 0 2 0 1 5 2 1 1 3 2 3 1           參考答案：(C) 出處：臺南大學附中(中興高中、長榮女中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字並加註提問標示為：「下列哪一個增廣矩陣所 表示的一次聯立方程式無解？」。 8. 利用反方陣解矩陣方程式的方法運用在密碼學中，首先用矩陣將英文字 編碼，例如：a 以 0 1       表之，b 以 0 2       表之，c 以 0 3       表之，...，z 以 2 6       表之。 而單字“box”以 0 1 2 2 5 4       表之，其餘類推。今為了保密，將某英文單字以 矩陣A 表示，加密後再傳出，方法如下：選取二個二階方陣 1 2 1 3 B_{ }  _    、 1 2 3 4 C_{ } _   ，計算(B2 )C A後，再傳出。假設收到的內容為矩陣

14 13 8 35 32 20

 

 

  ，則原單字為何？(A) dog (B) cat (C) you (D) cow (E)

god 字母 a b c d e f g h i j k l m 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序號 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 參考答案：(E) 出處：臺南大學附中 9. (多選)在空間坐標系中，則下列敘述何者正確？ (1) x  的圖形為一直線3 (2) 2 5 x y       的圖形為一直線 (3) 2 1 2 0 x y z x y z          的圖形與x y 3z4的圖形為平行關係 (4) 直線x₂1 y₃2 z_₁1與平面_{2x3y z 3}恰相交一點 (5) 直線x₂1 y_₃2  z₁4 在平面_{3x y 3z 11}上 參考答案：(2)(4)(5) 出處：鳳新高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，下列哪些敘述是正確的？」。 10. (多選)下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

1 2 3 4 0 3 2 8 0 0 1 1    _        ？ (1) 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1           　　　(2) 1 2 3 4 2 3 4 8 3 1 2 3           　　　(3) 1 2 3 4 2 3 4 8 3 4 5 12           (4) 2 3 4 8 5 2 1 10 1 2 3 4    _       　　 (5) 3 4 1 0 2 1 4 0 5 3 9 0    _{ }         參考答案：(1)(4) 出處：鳳新高中(泉僑高中等校亦有類似題) 11. 設方程組 5 5 2 3 2 a x a y       _ _{ }            無解，求 a 的值為＿＿＿＿。 參考答案：2 出處：鳳新高中(新竹女中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「若方程組…，則實數a 的值為＿＿＿ ＿。」。 12. 已知二階方陣 2 3 5 7 A_{ } _     ，求滿足_{AX  3X 5A}1_的矩陣 X ＿＿＿ ＿。 參考答案： 13 6 10 5         出處：鳳新高中(中興高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「已知兩個二階方陣A X, 滿足 1 3 5 AX   X  A 。若 2 3 5 7 A_{ } _     ，則X ＿＿＿＿。」。

13. 設 7 3 13 2 5 14 x y x y        的解為x a y b ,  ，且 7 3 11 2 5 12 x y x y     _{ }  的解為x c y d ,  ， 試求 a c b d       的反方陣為＿＿＿＿＿。 參考答案： 91 31 2 107 36 2        _      出處：鳳新高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「設 7 3 13 2 5 14 x y x y        …，則 a c b d       的反方陣 為＿＿＿＿＿。」。 14.

A

2

₌

[

4 −5

1 −1

]

，

A

5

₌

[

−18 25

−5

7

]

，求矩陣_A＿＿＿＿＿。 參考答案： 3 5 1 2    _    出處：慈大附中(臺中一中、北一女中等校亦有類似題) 　 修題建議：題目敘述修改用字為：「若二階方陣A滿足_A2 _{ …，A}5 _{ …，} 則A＿＿＿＿＿。」。 15. (多選)空間中三直線 1 1 2 1 : 2 1 3 x y z L      , 2 1 2 1 : 1 1 1 x y z L        _, 3: 2 1 3 x y z L     _{ ，以下敘述哪些正確？} 　　(A) L1與L2交於一點

　 (B) L2與L3垂直 (C) L3與L1平行 (D) 存在平面E同時包含L L L1, 2, 3 (E) 存在平面E包含L L1, 2，且與L3平行 參考答案：(A)(C)(E) 出處：南山高中(鳳新高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，下列哪些敘述是正確的？」。 16. (單選)設 A﹐B 均為二階方陣﹐ 0 0 0 0 O_{ } _  ﹐ 1 0 0 1 I_{ } _  ﹐選出正確的選項： (1) (A  B)(A  B)  A2 _{ B}2_恆成立 (2) (A  I)(A  I)  A2 _{ I 恆成立} (3) (AB)2 _{ A}2_B2_恆成立 (4) 若 A2 _{ O﹐則 A  O} (5) 若 A2 _{ I﹐則 A  I 或 A   I} 參考答案：(2) 　 出處：泉僑高中(聖心高中、忠信高中、臺中一中、鳳新高中、建國高中等 校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則下列哪一個選項恆為正確？」。 17. 已知二階轉移矩陣A符合關係式Xn  AXn1_{，其中 n 為正整數，且} 0 1 0 X _{  }    ， 1 1 2 1 2 X             _， 2 1 4 3 4 X              ，求轉移矩陣A為＿＿＿＿＿。 　 參考答案： 1 0 2 1 1 2            

修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則A＝＿＿＿＿＿。」。 18. 設 A 為 n 階方陣，其元素皆為自然數排列情形如下: 　 11 12 1 21 22 2 1 2 1 3 6 10 2 5 9 4 8 13 7 12 11 n n n n nn a a a a a a A a a a    _   _{  }  _{   }    _{  }   _   _  _{     }  _{  }                        _{  ，求}a36 ＿＿＿＿＿。 參考答案：34 出處：臺中一中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則a36 _{＿＿＿＿＿。」。} 19. ◎求空間中兩直線 1 1 2 : 7 1 5 x y z L      _與 2 2 4 0 : 2 3 7 0 x y z L x y z            _之間距離 為＿＿＿＿＿。 參考答案： 14 出處：北一女中(泉僑高中、中興高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「空間中兩直線 1 1 2 : 7 1 5 x y z L      _…與 2 2 4 0 : 2 3 7 0 x y z L x y z            _{的距離為＿＿＿＿＿。」。} 20. 在空間中，若 1 1 3 : 2 x y a z L b c  _  _   _與 2 3 2 : 1 3 , 4 x t L y t t R z d t              _{為兩重合直線，} 其中a b c d, , , 均為實數，則數對( , , )a b c 為＿＿＿＿＿＿＿。 參考答案：(2, 3, 4) 出處：建國高中 　 修題建議：題目敘述修改用字及提問為：「…，則序組( , , , )a b c d 為＿＿＿ ＿＿＿＿。」。答案為(2, 3, 4, 7) . 21. 在空間中，平面E x y z:   1與直線 2 3 8 3 2 4 3 x y z L x y z          _{的交點坐標為＿＿＿。} 參考答案：(3,1, 1)

出處：建國高中 　 修題建議：題目敘述修改用字為：「…直線 2 3 8 3 2 4 3 x y z L x y z          ： …。」

B. 新穎創意試題

22. 「微網誌」漸漸興起，逐漸取代網路使用者使用「電子報」、「網誌」 的服務，假設現在使用Weibo（微博）、Twitter（推特）、Plurk（噗浪）三 家微網誌服務的網路用戶分別各占20%、30%、50%，經過市場調查：今年 使用 Weibo 的用戶明年有 40% 的機率會繼續使用，各 30% 的機率跳槽到 Twitter 或 Plurk；今年使用 Twitter 的使用者明年有 80% 的機率會繼續使用， 各 10% 的機率跳槽到 Weibo 或 Plurk；今年使用 Plurk 的使用者明年有 60% 的機率會繼續使用，各 20% 的機率跳槽到 Weibo 或 Twitter，假設每 年的總使用者不變，且此調查持續有效，則： (1) 二年後，使用噗浪的用戶比例占＿＿＿＿。 (2) 長期而言，三家用戶比例趨於穩定，使用推特的用戶比例占＿＿＿＿。 參考答案：(1) 0.337 (2) ₁₁6 出處：中興高中 修題建議：1. 題材新穎。 　 2. 題目敘述修改用字為：「…三家微網誌服務的網路用戶分別各 占…，經過市場調查：今年使用 Weibo…，跳槽到 Twitter 及Plurk 各占 30% 的機率；今年使用 Twitter…，跳槽到 Weibo 及 Plurk 各占 10% 的機率；今年使用 Plurk…，跳槽 到 Weibo 及 Twitter 各占 20% 的機率，…。」。 23. 設某三元一次方程組之增廣矩陣為

[

3

a

1

1

b

2

−5

1

−3

−8

6

c

]

，經列運算後得

[

1

0

0

0

1

0

0

0

1

−2

b

c

]

，則序對( , , )a b c ＿＿＿＿＿。 參考答案：(2, 3,1) 出處：慈大附中(北一女中、泉僑高中、南山高中、長榮女中、臺南大學附 中

修題建議：1. 變數與原增廣矩陣有聯結。 　　　　　　 2. 題目敘述修改用字為：「…..，則序組( , , )a b c ＿＿＿＿ ＿。」。 24. (單選)某日老師讓五位同學分別在黑板上寫下坐標空間中「 x 軸」的直線方 程式： 　 小瑩：y0；小恩：y2z2  ；小怡：0 0 y z y z       _；小妃： 6 3 0 , 0 x t y t R z           _；小廷： 11 0 5 19 0 7 37 0 y z y z y z         _{ }  請問以上有幾位同學寫的是正確的 x 軸方程式？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 參考答案：(D) 出處：北一女中 25. 設三階方陣 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A           ， 0 1 0 1 0 0 0 0 1 B           ， 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C           ，則 10 1 ( ) 2 3 ABC            ＿＿＿＿＿。 參考答案： 3 1 2           出處：北一女中 修題建議：題目敘述修改用字為：「設三個三階方陣…。」。