100學年度高二下第二次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二下第二次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立南科實中王志誦老師、 國立高師大附中歐志昌老師、國立屏東女中蔡欣蓉老師

前言

數學學科中心廣邀全國各校上網分享定期考試題,再依學校特性 隨機抽樣, 選出約16 所學校,並將試題交由試題研發小組成員討論研究,選出可供教師們 參考的優良試題,達到影響教學、互相交流的目的,並訓練學生使之具備課綱 要求的核心能力。鑑於各校考試範圍的差異,此次的選題範圍為第四冊 2-2~3-3,且依照 99 課綱的編排,高二數學分為 A、B 兩版,B 版所增加的題材試題加 註◎號以做區隔。 綜觀本次試題,教師們在命題時對重要試題與觀念上頗有共識,唯新穎創 意試題的比例偏低,值得大家重視。此外,空間圖示要清楚明確,盡量使用數 學繪圖軟體製作,避免造成學生混淆。例如: 「如右圖,正立方體 ABCD EFGH 的邊長為6, 若P為對角線 AG上任一點,則△PBD的面積的最小 值 。」(出處:北一女中) 此圖以數學繪圖軟體製作,且以陰影表示△PBD 的面積,能適當引導學生作答。

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部份試題的語句敘述仍須酌予修正,期盼各位先進在命題時皆能重視語句 敘述的邏輯性與完整性,例如:   若題型為單一答案的多選題,則敘述宜為「下列何者正確?」 若題型為多選題,則敘述宜為「下列哪些選項(敘述)是正確的?」 選擇題的敘述結尾「為?」,宜完整敘述「為何?」   填充題之敘述「試求…」,建議改以「則…」較佳。 選題工作僅針對個別試題設計提供教師們做為命題參考,期盼教師們運用 本資料時多加思量;而選題過程難免有疏漏或不周延之處,請各位先進不吝指 正。

A. 基礎重要試題

1. 設甲袋有1 白球 1 紅球,乙袋有 1 紅球,先自甲袋取一球放入乙袋,再 自乙袋取一球放入甲袋,如此稱為一局,求: (1) 二局後白球在甲袋的機率。 (2) 長期而言﹐白球在甲袋的機率。 參考答案:(1) 1116 (2) 23 出處:聖心高中(忠信高中、臺中一中、臺中二中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,如此稱為一局,則:…」。 1. 一架戰鬥機在空間坐標點P

60,70,120

處發生故障,所以沿著直線 60 70 120 1 2 2 xyz   的方向,以每秒18 單位的速度向海平面(即 xy 平 面)俯衝。試問飛機____________秒後接觸到海平面。 參考答案:10 出處:新店高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…俯衝,則飛機___秒後…。」。 2. 設平面 E:x  ay  3z  4 的 y 截距為45 ﹐且包含直線x b2yc4 24z ﹐則a  b  c 之值為____________。 參考答案: 19 出處:新店高中(泉僑高中、道明中學等校亦有類似題) 修題建議:題目提問宜修改為:「… , 則序組( , , )a b c _____。」;       如此能呈現各變數所代表的意義亦可清楚瞭解學生的作答情形。

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3. ◎請填入下列各聯立方程組所表示的圖形分別為(A)~(H)圖形中的哪一 個,以代號填入,並判斷聯立方程組的解為(甲)恰有一解 (乙)無解 (丙)無 限多組解,如 1 1 1 x y z x y z x y z               ﹐答案為(H)和(丙)。 (1) 3 2 1 2 5 3 3 2 0 x y z x y z x y z              ___________。  (2) 2 2 1 2 7 x y z x y z x y z               ___________。 (3) 2 2 2 2 2 5 2 x y z x y z x y z               __________。 參考答案:(1) (D)和(乙) (2) (A)和(甲) (3) (C)和(乙) 出處:新店高中(南山高中、臺中一中、中興高中、長榮女中等校亦有類似 題) 4. 已知 1 1 2 3 A     , 1 3 4 k B     ,若

A B

2 A22AB B 2,則 k  。 參考答案:32 出處:臺中一中(新竹女中等校亦有類似題)   修題建議:題目敘述修改用字為:「已知二階方陣A…,B…。若…, 則實數 k  _____。」。

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5. 已知 3 2 2 x u v w y u v w z u v w               且 3 2 2 a x y z b x y z c x y z               ,若M 為三階矩陣使得 a u b M v c w                    ,求M 矩陣=_____。 參考答案: 6 9 0 9 4 2 0 2 1             出處:中興高中(忠信高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,若三階方陣 M 滿足 a u b M v c w                    , 則M _____。」。 6. 矩陣 3 2 7 5 A     且 2 2 3 4 5 1 AX       ,求矩陣X _____。 參考答案: 2 20 13 2 29 18        出處:中興高中(鳳新高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「若矩陣A…,則矩陣X ___ _。」。 2. ◎關於線性方程組 2 3 2 1 3 2 1 x y z c x y az x y bz                 ,哪些選項正確? (1) 若此線性方程組有解,則必定恰有一組解 (2) 若 2a b  ,則此線性方程組有解3

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(3) 若c ,則此線性方程組有解1 (4) 若 2a b  ,則此線性方程組無解3 (5) 若c ,則此線性方程組有解1 參考答案:(2)(3) 出處:中興高中(臺中二中、北一女中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,下列哪些敘述是正確的?」。 7. (單選)下列增廣矩陣何者所表示之一次聯立方程式無解? (A) 0 0 1 2 0 2 0 1 3 0 0 8              (B) 1 5 8 0 3 15 24 0 2 10 16 0            (C) 1 5 8 6 3 15 24 6 2 10 16 6           (D) 1 3 5 7 2 4 6 8 3 5 7 9             (E) 0 2 0 1 5 2 1 1 3 2 3 1           參考答案:(C) 出處:臺南大學附中(中興高中、長榮女中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字並加註提問標示為:「下列哪一個增廣矩陣所 表示的一次聯立方程式無解?」。 8. 利用反方陣解矩陣方程式的方法運用在密碼學中,首先用矩陣將英文字 編碼,例如:a 以 0 1       表之,b 以 0 2       表之,c 以 0 3       表之,...,z 以 2 6       表之。 而單字“box”以 0 1 2 2 5 4       表之,其餘類推。今為了保密,將某英文單字以 矩陣A 表示,加密後再傳出,方法如下:選取二個二階方陣 1 2 1 3 B       、 1 2 3 4 C     ,計算(B2 )C A後,再傳出。假設收到的內容為矩陣

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14 13 8 35 32 20

 

 

 ,則原單字為何?(A) dog (B) cat (C) you (D) cow (E)

god 字母 a b c d e f g h i j k l m 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序號 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 參考答案:(E) 出處:臺南大學附中 9. (多選)在空間坐標系中,則下列敘述何者正確? (1) x  的圖形為一直線3 (2) 2 5 x y       的圖形為一直線 (3) 2 1 2 0 x y z x y z          的圖形與x y 3z4的圖形為平行關係 (4) 直線x21 y32 z11與平面2x3y z 3恰相交一點 (5) 直線x21 y32  z14 在平面3x y 3z 11上 參考答案:(2)(4)(5) 出處:鳳新高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,下列哪些敘述是正確的?」。 10. (多選)下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

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1 2 3 4 0 3 2 8 0 0 1 1           ? (1) 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1              (2) 1 2 3 4 2 3 4 8 3 1 2 3              (3) 1 2 3 4 2 3 4 8 3 4 5 12           (4) 2 3 4 8 5 2 1 10 1 2 3 4             (5) 3 4 1 0 2 1 4 0 5 3 9 0             參考答案:(1)(4) 出處:鳳新高中(泉僑高中等校亦有類似題) 11. 設方程組 5 5 2 3 2 a x a y                   無解,求 a 的值為____。 參考答案:2 出處:鳳新高中(新竹女中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「若方程組…,則實數a 的值為___ _。」。 12. 已知二階方陣 2 3 5 7 A       ,求滿足AX  3X 5A1的矩陣 X ___ _。 參考答案: 13 6 10 5         出處:鳳新高中(中興高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「已知兩個二階方陣A X, 滿足 1 3 5 AX   XA 。若 2 3 5 7 A       ,則X ____。」。

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13. 設 7 3 13 2 5 14 x y x y        的解為x a y b ,  ,且 7 3 11 2 5 12 x y x y      的解為x c y d ,  , 試求 a c b d       的反方陣為_____。 參考答案: 91 31 2 107 36 2              出處:鳳新高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「設 7 3 13 2 5 14 x y x y        …,則 a c b d       的反方陣 為_____。」。 14.

A

2

=

[

4 −5

1 −1

]

A

5

=

[

−18 25

−5

7

]

,求矩陣A_____。 參考答案: 3 5 1 2        出處:慈大附中(臺中一中、北一女中等校亦有類似題)   修題建議:題目敘述修改用字為:「若二階方陣A滿足A2  …,A5  …,A_____。」。 15. (多選)空間中三直線 1 1 2 1 : 2 1 3 x y z L      , 2 1 2 1 : 1 1 1 x y z L        , 3: 2 1 3 x y z L      ,以下敘述哪些正確?   (A) L1與L2交於一點

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  (B) L2與L3垂直 (C) L3與L1平行 (D) 存在平面E同時包含L L L1, 2, 3 (E) 存在平面E包含L L1, 2,且與L3平行 參考答案:(A)(C)(E) 出處:南山高中(鳳新高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,下列哪些敘述是正確的?」。 16. (單選)設 A﹐B 均為二階方陣﹐ 0 0 0 0 O    ﹐ 1 0 0 1 I    ﹐選出正確的選項: (1) (A  B)(A  B)  A2  B2恆成立 (2) (A  I)(A  I)  A2  I 恆成立 (3) (AB)2  A2B2恆成立 (4) 若 A2  O﹐則 A  O (5) 若 A2  I﹐則 A  I 或 A   I 參考答案:(2)   出處:泉僑高中(聖心高中、忠信高中、臺中一中、鳳新高中、建國高中等 校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則下列哪一個選項恆為正確?」。 17. 已知二階轉移矩陣A符合關係式XnAXn1,其中 n 為正整數,且 0 1 0 X       , 1 1 2 1 2 X              2 1 4 3 4 X              ,求轉移矩陣A為_____。   參考答案: 1 0 2 1 1 2            

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修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則A=_____。」。 18. 設 A 為 n 階方陣,其元素皆為自然數排列情形如下:   11 12 1 21 22 2 1 2 1 3 6 10 2 5 9 4 8 13 7 12 11 n n n n nn a a a a a a A a a a                                                ,求a36 _____。 參考答案:34 出處:臺中一中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則a36 _____。」。 19. ◎求空間中兩直線 1 1 2 : 7 1 5 x y z L      2 2 4 0 : 2 3 7 0 x y z L x y z            之間距離 為_____。 參考答案: 14 出處:北一女中(泉僑高中、中興高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「空間中兩直線 1 1 2 : 7 1 5 x y z L      …與 2 2 4 0 : 2 3 7 0 x y z L x y z            的距離為_____。」。 20. 在空間中,若 1 1 3 : 2 x y a z L b c   2 3 2 : 1 3 , 4 x t L y t t R z d t              為兩重合直線, 其中a b c d, , , 均為實數,則數對( , , )a b c 為_______。 參考答案:(2, 3, 4) 出處:建國高中   修題建議:題目敘述修改用字及提問為:「…,則序組( , , , )a b c d 為___ ____。」。答案為(2, 3, 4, 7) . 21. 在空間中,平面E x y z:   1與直線 2 3 8 3 2 4 3 x y z L x y z          的交點坐標為___。 參考答案:(3,1, 1)

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出處:建國高中   修題建議:題目敘述修改用字為:「…直線 2 3 8 3 2 4 3 x y z L x y z          : …。」

B. 新穎創意試題

22. 「微網誌」漸漸興起,逐漸取代網路使用者使用「電子報」、「網誌」 的服務,假設現在使用Weibo(微博)、Twitter(推特)、Plurk(噗浪)三 家微網誌服務的網路用戶分別各占20%、30%、50%,經過市場調查:今年 使用 Weibo 的用戶明年有 40% 的機率會繼續使用,各 30% 的機率跳槽到 Twitter 或 Plurk;今年使用 Twitter 的使用者明年有 80% 的機率會繼續使用, 各 10% 的機率跳槽到 Weibo 或 Plurk;今年使用 Plurk 的使用者明年有 60% 的機率會繼續使用,各 20% 的機率跳槽到 Weibo 或 Twitter,假設每 年的總使用者不變,且此調查持續有效,則: (1) 二年後,使用噗浪的用戶比例占____。 (2) 長期而言,三家用戶比例趨於穩定,使用推特的用戶比例占____。 參考答案:(1) 0.337 (2) 116 出處:中興高中 修題建議:1. 題材新穎。   2. 題目敘述修改用字為:「…三家微網誌服務的網路用戶分別各 占…,經過市場調查:今年使用 Weibo…,跳槽到 Twitter 及Plurk 各占 30% 的機率;今年使用 Twitter…,跳槽到 Weibo 及 Plurk 各占 10% 的機率;今年使用 Plurk…,跳槽 到 Weibo 及 Twitter 各占 20% 的機率,…。」。 23. 設某三元一次方程組之增廣矩陣為

[

3

a

1

1

b

2

−5

1

−3

−8

6

c

]

,經列運算後得

[

1

0

0

0

1

0

0

0

1

−2

b

c

]

,則序對( , , )a b c _____。 參考答案:(2, 3,1) 出處:慈大附中(北一女中、泉僑高中、南山高中、長榮女中、臺南大學附 中

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修題建議:1. 變數與原增廣矩陣有聯結。        2. 題目敘述修改用字為:「…..,則序組( , , )a b c ____ _。」。 24. (單選)某日老師讓五位同學分別在黑板上寫下坐標空間中「 x 軸」的直線方 程式:   小瑩:y0;小恩:y2z2  ;小怡:0 0 y z y z       ;小妃: 6 3 0 , 0 x t y t R z           ;小廷: 11 0 5 19 0 7 37 0 y z y z y z         請問以上有幾位同學寫的是正確的 x 軸方程式? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 參考答案:(D) 出處:北一女中 25. 設三階方陣 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A           , 0 1 0 1 0 0 0 0 1 B           , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C           ,則 10 1 ( ) 2 3 ABC            _____。 參考答案: 3 1 2           出處:北一女中 修題建議:題目敘述修改用字為:「設三個三階方陣…。」。

數據

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參考文獻

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