全國高級中等學校 103 學年度工業類科學生技藝競賽電腦軟體設計
壹、試卷說明: 1.請將寫好之程式原始檔依題號命名資料夾存檔，第一題取姓名_Q1，第二題取姓名_Q2，依序命名存檔，並存於 C 碟之資料夾”姓名_Contest”中。 2.競賽時間 4 小時。 3 將程式及編譯成執行檔儲存在 C 碟之資料夾姓名_Contest。 貳、評分說明:本試卷共六題，每題配分不一。 1. 每題評分只有對與錯兩種，對則給滿分，錯則不給分(即以零分計算) 。 2. 每解答完一題上傳(程式及執行檔)，評審人員將針對該題進行測試，若解題正確則回應正確，若解題錯 誤則扣該題一分至該題零分為止，答錯之題目可繼續作答。 試題一：台北市上班搭捷運、坐公車、和自己開車遲到的機率(17 分) 說明：假設在台北市上班的方式只有搭捷運、坐公車、和自己開車三種。假設搭捷運上班的機率為 x (0 ≤x≤ 1)； 坐公車上班的機率為 y (0 ≤y≤ 1)；自己開車上班的機率為 z (0 ≤z≤ 1)，x + y + z = 1。搭捷運遲到的機率為 a(0 ≤a≤ 1)；坐公車遲到的機率為 b(0 ≤b≤ 1)；開車遲到的機率為 c(0 ≤c≤ 1)。 請你設計一個程式，可用條件機率和貝氏定理來計算以下兩個問題的解。 (1) 在台北市的上班族遲到的機率是多少? (2) 如果已知有一個人上班遲到，那他是自己開車的機率為何? 說明 1：假設 E1和 E2事件發生的機率分別是 P(E1)和 P(E2)。在事件 E2發生的情況之下事件 E1發生的條件機 率P(E1|E2)定義為 其他 , 0 0 ) ( , ) ( ) ( ) | ( 2 2 2 1 2 1 E P E P E E P E E P 。 <舉例>：在圖 1 中 P(E2) = 0.4，P(E1E2) = 0.1，則條件機率P(E1|E2)=0.1 / 0.4 = 0.25。 圖 1 圖 2 說明 2：已知 n 個事件 E1，E2，∙∙∙∙En彼此之間沒有交集，而且 ( ) 1 1
n i i E P 。如果已知條件機率 n i i E A P( | )} 1 { ， 那麼事件 A 發生的機率可以表示為 ( ) ( ) ( | ) 1 i n i i P A E E P A P
。接著使用貝氏定理便可以反推得到“在事件 A 發 生的前提之下 Ei發生的條件機率P(Ei |A)”：
n j j j i i i i E A P E P E A P E P A P A E P A E P 1 ( ) ( | ) ) | ( ) ( ) ( ) ( ) | ( <舉例>：在圖 2 中 P(E1) +P(E2) +P(E3) +P(E4) = 1；其中 P(E1) = 0.1，P(E2) = 0.2，P(E3) = 0.3，P(E4) = 0.4；已
+ 0.4*0.8 + = 0.7。由貝氏定理可以得到條件機率P(E1|A) = (0.1*0.5)/ 0.7；P(E2 |A) = (0.2*0.6)/ 0.7；P(E3|A) = (0.3*0.7)/ 0.7；P(E4 |A) = (0.4*0.8)/ 0.7。 參考範例：當輸入 x、y、z、a、b、c 之數值均介於[0, 1]之間時可以正確的解出以上兩個問題之解： 圖 3(在台北市的上班族遲到的機率為 0.041) 圖 4(如果已知有一個人上班遲到，那他是自己開車的機率為 0.3658536585) 當輸入 x、y、z、a、b、c 任一個之數值未能介於[0, 1]之間時在答案區顯示”無解”
試題二：分堆問題(16 分) 說明：分堆問題是把聚在一起的資料，當作一堆，如下圖所示，為 20 個人之身高和體重之分佈，其中，水平 軸是體重，垂直軸是身高，由此圖，我們可以知道有三堆，每一堆的身高和體重都差不多，但是電腦要如何 知道有三堆呢? 有一個分堆演算法如下: 1. 輸入 N 個人(xi)之身高 Hi和體重 Wi資料, 1 i N。 2. 因為每個人之身高 Hi和體重 Wi，其單位不一樣，所以，以下列式子，來得到正規化之身高 NHi和 體重 NWi。 H H i i
H
NH
(1) W W i iW
NW
(2) 其中，H, W, H, W, 分別定義如下: N H N i i H
1
(3) N W N i i W
1
(4) N H N i H i H
1 2 ) (
(5) N W N i W i W
1 2 ) (
(6) 3. 初始分三堆 Sj, 0 j 2: 第一個人之身高和體重初始在第一堆 S0，第二個人之身高和體重初始在第二 堆 S1，第三個人之身高和體重初始在第三堆 S2，剩下的人，用亂數來初始分入這三堆中。4. 執行以下步驟 200 次，若是分堆穩定，即每一堆都沒有異動了，表示分堆完成，就提早結束。 5. 在第 t 次中，計算第 j 堆 Sj(t)中，所有人之平均身高 uj(t)(H)和平均體重 uj(t)(W)，其公式分別如下:
) ( ) ( 1 ) ( () ) ( t j i S x i i t j t j x H S H u (7)
) ( ) ( 1 ) ( () ) ( t j i S x i i t j t j x W S W u (8) 6. 其中，xi(Hi)和 xi(Wi)分別為第 xi位人之身高 Hi和體重 Wi，xiSj(t)是第 xi位人屬於在第 t 次中，第 j 堆 Sj(t)之人。 例如，假設有 d0, d1, d2 三個人聚成一堆，其體重和身高分別為 d0 = {64, 110}, d1 = {65, 160}, d2 = {72, 180}. 則這一堆之平均體重和平均身高為{(64+65+72)/3, (110+160+180)/3} = {67.0, 150.0}. 7. 依照這新的每堆之平均身高 uj(t)(H)和平均體重 uj(t)(W)，重新更動每一堆的人選，其做法是將第 xi 位人之身高和體重與第 j 堆之平均身高 uj(t)(H)和平均體重 uj(t)(W)計算距離 dj(xi)，其公式如下:
) ( 2 ) ()
(
t j i S x t j i i jx
x
d
(9) j*(
i)
arg
0min
j 2 j(
i)
x
d
x
d
(10) 其中，arg min 表示從 j 堆距離中，找出第 xi人距離哪一堆最近，j*表示，第 xi人要重新分配到第 j 堆 Sj(t)中。例如，假設有一 d0 人之身高和體重為{140, 68}，假設有三堆 c0, c1, c2 其平均身高和平均體 重分別為 c0 = {120.0, 66.0}, c1 = {160.0, 69.0}, 和 c2 = {130.0, 70.0}，在此我們用未正規化資料來說明， d0 和 c0 之距離為 sqrt((68 - 66.0)^2 + (140 - 120.0)^2) = 20.10，而 d0 和 c1 之距離為 sqrt((68 - 69.0)^2 + (140 - 160.0)^2) = 20.22，d0 和 c2 之距離為 sqrt((68 - 70.0)^2 + (140 - 130.0)^2) = 10.20. 所以，d0 最靠近 c2， 也就是 d0 要重新分配到第 2 堆中，sqrt 表示開根號。 程式功能：請利用上述演算法，寫一個程式，能完成以下功能要求: (1) 能讓使用者挑選文字檔，此文字檔之範例 Sample.txt 如下:其中，第一列之 20，表示有 20 個人，第一列之 2 表示每個人有體重和身高 2 個資料，第二列起是這 20 個人之體重和身高。 (2) 能讓正確分類。程式執行範例： 從上圖左邊開始，按 1 載入資料，可以讓使用者選擇輸入之文字檔，此例是選擇 Sample.txt，按 2 執行分堆， 會依照您所寫之程式，進行依照體重與身高來進行分堆動作，分堆結果，顯示分堆之結果，第 0 筆分到第 1 堆，在第 1 堆中確實有顯示此筆之體重與身高資料，第 1 筆分到第 0 堆，在第 0 堆中確實有顯示此筆之體重 與身高資料，第 2 筆分到第 2 堆，在第 2 堆中確實有顯示此筆之體重與身高資料，其他筆，依此列推，最後 分堆結果，顯示在上圖右邊。 若妳（你）的程式都完成上述功能和要求，才可以要求檢查功能。 試題三：
隨機八位元2的補數之整數相加與驗證系統
(17分) 說明：1.設計一個程式系統能隨機產生兩組八位元 2 的補數(two's complement, 簡寫 2's) 二進制整數值，並作 二進制相加運算及十進制驗證。如下圖系統所示，每當滑鼠點一下 Random 鍵，則隨機產生兩組八位元 2's 二 進制值 00000000~11111111 範圍之間整數值 A 與 B，並各顯示其右方，且清除其他空格。每當滑鼠點一下 Add 鍵，則執行二進制加法 Sum = A+B，其和之八位元 2's 二進制值顯示於右方；同時判斷如果 Sum 的和為不合理 值者，則附加顯示「underflow」或「overflow」於最下方。每當滑鼠點一下 Verify 鍵，則自動將 2's 二進制值 A、B、Sum 分別轉換為等效十進制值，並各顯示對應的右方，如和為超出範圍之不合理值，再附加顯示「不 足位」或「溢位」於右行之最下方空格。上述可重複操作，直至滑鼠點一下 Exit 鍵，則自動離開此系統。 Add A： 隨機八位元 2 的補數之整數相加與驗證系統 Exit 二進制加法 Random B： Sum： 十進制驗證 Verify 2.以八位元表示一個 2's 二進制整數值，最左方的位元為符號位元，0 代表正值而 1 代表負值，能表示的 2's 二 進制及等效十進制整數值的合理範圍為 1000000(2's) = -128 至 01111111(2's) = +127。例如： (a) 2's 二進制值 01001010(2's)轉換為十進制正整數值，即為 01001010(2's) = +74。 轉換方法：最左方符號位元為 0 表示正整數，剩下 7 位元再由左至右選擇原對應權重 64、32、 16、 8、4、2、1，即 64+8+2= 74。 (b) 2's 二進制值 11001010(2's) 轉換為十進制負整數值，即為 11001010(2's) = -54。轉換方法：最左方符號位元為 1 表示負整數，剩下 7 位元再由左至右選擇原對應權重 64、32、 16、 8、4、2、1，即 64+8+2= 74，再將 74 - 128 = -54。 3.當兩組八位元 2's 二進制值作相加運算時，如有進位而超過八位元者，超過的位元則可忽略；如被加數 A 與 加數 B 均為負值，而和 Sum 為正值，應為不合理值，即「underflow」或「不足位」；如被加數 A 與加數 B 均為正值，而和 Sum 為負值，應為不合理值，即「overflow」或「溢位」。 範例 1：滑鼠點一下 Random 鍵，隨機產生兩組八位元 2's 二進制 01001010 與 11001010，顯示在 A 與 B 的右 方，且清除其他空格。滑鼠再點一下 Add 鍵，二進制加法 Sum = A+B 的和顯示 Sum 的右方，此和為合理值， 如左下圖。滑鼠再點一下 Verify 鍵，則八位元 2's 二進制 A、B、Sum 之等效十進制值各顯示其對應右方，如 右下圖。 Add A： 隨機八位元 2 的補數之整數相加與驗證系統 Exit 二進制加法 01001010 Random B： 11001010 Sum： 00010100 十進制驗證 Verify Add A： 隨機八位元 2 的補數之整數相加與驗證系統 Exit 二進制加法 01001010 Random B： 11001010 Sum： 00010100 十進制驗證 74 -54 20 Verify
範例 2：左下圖為滑鼠依序點一下 Random 鍵與 Add 鍵之結果，A 與 B 均為負值，而和 Sum 為正值，則為不 合理值，即「underflow」。右下圖為滑鼠再點一下 Verify 鍵之驗證結果，等效十進制值 -86 + (-54) = -140 已 超出最小值-128 範圍，而和 Sum 結果卻為正值 +116，顯然為不合理值，即「不足位」。 Add A： 隨機八位元 2 的補數之整數相加與驗證系統 Exit 二進制加法 10101010 Random B： 11001010 Sum： 01110100 underflow 十進制驗證 Verify Add A： 隨機八位元 2 的補數之整數相加與驗證系統 Exit 二進制加法 10101010 Random B： 11001010 Sum： 01110100 underflow 十進制驗證 -86 -54 116 不足位 Verify 試題四：某校運動會報名管理程式(16 分) 說明：一、某校舉辦運動會競賽，採中小規模辦理，比賽的項目包含團體賽及個人賽，團體賽有大隊接力及 四項趣味競賽。四項趣味競賽為一顆球的距離、天旋地轉、滾大球袋鼠跳及牽手同心等。個人賽有 100 公尺、400 公尺接力、800 公尺及跳高等四項。同時，考量賽程的安排及參賽學生體能不若運 動員，因此，實施若干報名參賽的限制，規則如下： (一)分男生組及女生組。 (二)參加大隊接力不受男女生之限制，惟每多一位男生總成績增加 2 秒。 (三)參加大隊接力項目不受團體賽或個人賽之限制。 (四)選手可報名參加至多 2 項團體賽，已報名團體賽不可再報名個人賽。 (五)選手可報名參加至多 2 項個人賽，已報名個人賽不可再報名團體賽。 二、主辦單位受理選手報名並安排賽程前，為了處理報名的眾多資料，並須檢核選手是否遵守參賽報名 規則，因此，設計一程式處理這些報名資料並加以檢核。此外，選手在報名期限內反應漏報而需 補報，或更改報名項目等，該程式除接受補報，或更改項目外，同時線上檢測補報或更改的項目 是否仍符合報名參賽的限制。 三、此程式具有(1)批次輸入、(2)選手查詢、(3)刪除、(4)逐筆輸入及(5)顯示所有資料的功能。批次 輸入將檔案的選手資料一次整批輸入(或整批貼入元件)；選手查詢須輸入班級、學號、姓名等內
容；刪除資料須輸入班級、學號、姓名及報名項目等內容；逐筆輸入資料須輸入班級、學號、姓 名、性別及報名項目等內容；顯示所有資料則顯示已完成報名的資料。 輸入格式： 班級 學號 姓名 性別 報名項目 機 1 年 1 班 s1030101 徐強 男 跳高 機 1 年 1 班 s1030101 徐強 男 400 公尺接力 機 1 年 1 班 s1030101 徐強 男 大隊接力 機 1 年 1 班 s1030102 李濠 男 滾大球袋鼠跳 機 1 年 1 班 s1030102 李濠 男 天旋地轉 機 1 年 1 班 s1030102 李濠 男 大隊接力 (檔案如附件) 輸入及輸出參考畫面：1. 主選單 2. 選項操作：選手查詢 3. 選項操作：逐筆輸入
4. 選項操作：刪除
5. 選項操作：逐筆輸入
試題五：Email組合程式(16分)
請幫某班老師的所有學生學號組成 Email 字串，方便日後連絡。將數個 8 碼的字串數字先算出個別的檢查碼為 第 9 碼組成學生學號(共 9 碼)，再串“@antu.edu.tw”形成個人 Email，接著用一個分號及一個空白如“
;
”，將全部個人 Email 串在一起，但最後一個 Email 後面不需再串“
;
”。 檢查碼是將 8 位的字串數字由左至右分別依序乘以 1~8 後再相加之總和取 10 的餘數，接著再依下表取出對應 的檢查碼。 如 8 位的字串數字為 44030015，總和為4
*1+4
*2+0
*3+3
*4+0
*5+0
*6+1
*7+5
*8=71，總和取 10 的餘數為 1，所 以檢查碼為 7，該學生學號及 Email 分別為 440300157，440300157@antu.edu.tw。 請撰寫一支能完成上述 Email 組合的程式，該程式可輸入 8 位數的連續範圍(如下左圖 A)及 數個 8 位字串數字(如下左圖 B)。注意：個別的 8 位字串數字可用逗號或空白分隔。 餘數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 檢查碼 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3試題六：.模(Mod)指數計算 XP(mod N)(17 分)
說明： 若兩數 A 和 B 之差 A-B（或 B-A）能被 N 整除，或 A 與 B 被 N 除得相同餘數則稱 A 與 B 為模 N 同餘(數)， 其式可表示為 A≡B(mod N)，可唸成『A 和 B 對模 N 同餘』，此關係稱為同餘；而 N 稱此同餘之模。例如 26≡11(mod 5), 其意為 26 Mod5 和 11Mod 5 皆得餘數為 1; 同理 -7≡15(mod 11), 其意為 -7 Mod11 和 15Mod 11 皆得餘數為 4;
因 26-11=15 被 5 整除，-7-15=--22 被 11 整除。由定義知 A≡B(mod N)可表示成 A-B≡N‧Y，其中 Y≧0 整 數。若給定 A、B、N，卻沒有一個 Y 滿足同餘的條件，則 B 對模 N 而言是 A 的非同餘。若有相同餘數 A≡0(mod N)表示 A 可被 N 整除。例如 35≡0(mod 7)。同餘的應用不少，例如火車時程表校歷，求潤年，密碼等等。同餘 的運算法則有三個：
（a）若 A≡B(mod N)則對任一 Y 可得 A+Y=B+Y(mod N) （b）若 A≡B(mod N)則對任一 X 可得 AX=BX(mod N) （c）若 A≡B(mod N)則對任一 P 可得 AP=BP(mod N) 要計算 x 的 p 次方對 N 取餘數值，如果直接計算會數值會太大，請利用同餘的運算法則來計算: 例子 1：42551(mod 5)=？ 已知 42=16 且 42≡1(mod 5)，利用法則(c)，兩邊皆乘 p=1274 次方，可得(42)1274=42548, 42548≡1(mod 5)，再 利用法則(b)，兩邊再乘 X=43=64，可得 42548X43 = 42551,42551≡64(mod 5)，最終餘數為 4。 例子 2：可以利用上面的模的性質進行降冪計算。要計算 Xp(Mod N)的值如 6265Mod 133 可以利用法則(b)和 (c)採用如下的方法：:
6265 Mod 133= 62 * 6264 Mod 133= 62 * (622)32 Mod 133= 62 * 384432 Mod 133
= 62 * (3844 Mod 133)32 Mod 133= 62 * 12032Mod 133= 62 * (1202Mod 133)16 Mod133
=62 * 3616 Mod 133= 62 *(362Mod 133)8Mod133=62 * 998 Mod 133
= 62 * (992Mod 133)4Mod 133=62 * 924 Mod 133= 62 * (922 Mod 133)2 Mod 133
=62 * 852 Mod 133= 62 *(852 Mod 133) Mod 133=62 * 43 Mod 133= 2666 Mod 133= 6 請利用上述演算法，寫一個程式，能輸入 2≦X≦100, 0≦p≦3000, 0 <N≦200 計算 XP
(mod N)餘數， 如圖 2 所示清除鍵能清除輸入，能再輸入 X， P， N: 按結束鍵程式結束
42551
